खुली नालिका जल-विज्ञान: विशिष्ट ऊर्जा, जल-उछाल, एकसमान व क्रमिक परिवर्ती प्रवाह
E = y + V²/2g, गहराई का ऐसा फलन है जिसका निम्नतम होता है, और जिस गहराई पर वह निम्नतम है वही आयताकार नालिका हेतु क्रांतिक गहराई y_c = (q²/g)^(1/3) है। y_c के ऊपर प्रवाह गहरा व धीमा है, अवक्रांतिक, Fr < 1 सहित; उसके नीचे प्रवाह उथला व तीव्र है, अधिक्रांतिक, Fr > 1 सहित; और निम्नतम से ऊपर की प्रत्येक विशिष्ट ऊर्जा हेतु दो गहराइयाँ हैं जो वही निस्सरण वहन करती हैं — वैकल्पिक गहराइयाँ। नालिका वस्तुतः किस पर है यह ढाल तथा अनुप्रवाह में जो है उससे तय होता है, और वही दूसरा संगठक विचार है: अवक्रांतिक प्रवाह अनुप्रवाह से नियंत्रित है और अधिक्रांतिक उपरिप्रवाह से, क्योंकि विक्षोभ √(gy) पर चलता है और तभी ऊपर की ओर जा सकता है जब प्रवाह उससे धीमा हो। जब अधिक्रांतिक प्रवाह को अवक्रांतिक होना ही हो तब वह सहजता से ऐसा नहीं कर सकता, क्योंकि दोनों गहराइयाँ ऊर्जा-वक्र के अनुदिश नहीं जुड़तीं; वह जल-उछाल से होकर ऐसा करता है, जो प्रचंड, छोटा है, और ऊर्जा नष्ट करता है — और अतः उसका विश्लेषण ऊर्जा के बजाय संवेग से होना ही चाहिए, चूँकि हानि ठीक वही अज्ञात है। एकसमान प्रवाह वह साम्य-गहराई है जिस पर लंबी प्रिज़्मीय नालिका मैनिंग के V = (1/n) R^(2/3) S^(1/2) के अंतर्गत बैठ जाती है, और उस सामान्य गहराई की क्रांतिक गहराई से तुलना ढाल को मंद अथवा तीव्र वर्गीकृत करती है। ऐसी दो अवस्थाओं के बीच का सब कुछ क्रमिक परिवर्ती प्रवाह है, जिसकी परिच्छेदिका dy/dx = (S₀ − S_f)/(1 − Fr²) के चिह्न से नियत है — दो चिह्न, और M, S व C वक्रों का सम्पूर्ण वर्गीकरण उन्हीं से निकल आता है।विशिष्ट ऊर्जा, क्रांतिक गहराई, तथा उसे साझा करती दो गहराइयाँ
विशिष्ट ऊर्जा नालिका-तल से मापी प्रति एकांक भार ऊर्जा है, E = y + V²/2g, जो प्रति एकांक चौड़ाई q निस्सरण वहन करती आयताकार नालिका हेतु E = y + q²/(2gy²) हो जाती है। नियत q पर उसे गहराई के सम्मुख आलेखित करें और वक्र की दो भुजाएँ हैं। y बड़ा होने पर वेग-शीर्ष लुप्त हो जाता है और E → y, अतः ऊपरी भुजा 45° रेखा के निकट पहुँचती है। y छोटा होने पर वेग-शीर्ष 1/y² की भाँति फूल जाता है, अतः निचली भुजा अनंत की ओर भाग जाती है। उनके बीच वक्र मुड़ता है, और मोड़-बिंदु पर dE/dy = 0, q² = g y³ देता है, अर्थात् y_c = (q²/g)^(1/3) — क्रांतिक गहराई, जिस पर विशिष्ट ऊर्जा निम्नतम है। q = 4 m³/s प्रति m पर y_c = 1.1771 m तथा E_min = 1.5 y_c = 1.7657 m, और दो तत्समक एक बार जाँचने योग्य हैं: उस गहराई पर फ़्रूड संख्या ठीक 1.000000 निकलती है, और वेग-शीर्ष ठीक y_c/2 है।
E_min से ऊपर E का प्रत्येक मान दो गहराइयों पर पहुँचा जाता है, और दोनों वही निस्सरण वहन करती हैं। q = 4 सहित E = 2.5 m पर y + 4²/(2gy²) = 2.5 हल करने पर Fr = 0.354 सहित y = 2.3527 m, तथा Fr = 2.344 सहित y = 0.6670 m मिलता है। ये वैकल्पिक गहराइयाँ हैं: वही जल, वही ऊर्जा, वही प्रवाह, दो पूर्णतः भिन्न अवस्थाओं में — एक गहरी व शांत, एक उथली व वेगवान। वास्तविक नालिका किसमें है यह ऊर्जा तय करती ही नहीं, चूँकि ऊर्जा उन्हें पृथक् नहीं कर सकती। वह ढाल से तय होता है, जो सामान्य गहराई नियत करती है, तथा नियंत्रण से, जो वह है जहाँ गहराई बाहर से आरोपित की जाती है। वही दूसरा विचार पकड़े रखने योग्य है। मुक्त पृष्ठ पर विक्षोभ √(gy) के वेग से चलता है, अतः वह ऊपर की ओर तभी संचरित हो सकता है जब प्रवाह उससे धीमा हो, जो ठीक Fr < 1 है। अतः अवक्रांतिक प्रवाह अनुप्रवाह से नियंत्रित है — बंधिका, द्वार, पहुँच के अंत का जलाशय गहराई नियत करता है और प्रभाव नालिका में ऊपर तक लौटता है — जबकि अधिक्रांतिक प्रवाह उपरिप्रवाह से नियंत्रित है, क्योंकि अनुप्रवाह में कुछ भी उसके विरुद्ध संकेत नहीं भेज सकता। इसीलिए पश्चजल-वक्र बाँध के उपरिप्रवाह किलोमीटरों तक फैलता है, और इसीलिए जल-द्वार के नीचे का प्रवाह उससे अनजान रहता है जो अनुप्रवाह में है, जब तक उसे उछाल से होकर ध्यान देने को बाध्य न किया जाए। जो अभ्यर्थी दोनों वैकल्पिक गहराइयाँ जानता है किंतु यह नहीं कि नियंत्रण किस सिरे पर बैठा है, वह समस्या की प्रत्येक संख्या गणित कर सकता है और फिर भी जल-पृष्ठ उल्टा खींच सकता है।जल-उछाल: उसे ऊर्जा से नहीं, संवेग से हल करें
जिस अधिक्रांतिक प्रवाह को अवक्रांतिक होना ही हो वह एक वैकल्पिक गहराई से दूसरी तक विशिष्ट ऊर्जा वक्र के अनुदिश सरक नहीं सकता, क्योंकि ऐसा करने हेतु मार्ग में ऊर्जा प्राप्त करनी पड़ती। इसके बजाय जो होता है वह जल-उछाल है: छोटा, विक्षुब्ध, वायु-अंतर्ग्रस्त संक्रमण जिसमें गहराई अकस्मात् चढ़ती है और ऊर्जा का बड़ा भाग नष्ट हो जाता है। विश्लेषण ऊर्जा से नहीं, संवेग से होना ही चाहिए — और कारण शैली का नहीं, यथार्थ है। ऊर्जा-हानि ठीक वही राशि है जो आप नहीं जानते, अतः ऊर्जा-समीकरण में दो अज्ञात हैं और वह हल नहीं हो सकता; उछाल पर संवेग-समीकरण में केवल दाब-बल व संवेग-अभिवाह हैं, दोनों गहराइयों से गणनीय, अतः वह बंद हो जाता है। आयताकार नालिका के दोनों ओर विशिष्ट बल बराबर रखने पर अनुवर्ती गहराई संबंध y₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr₁²) − 1) मिलता है।
y₁ = 0.5 m की गहराई पर पहुँचता q = 4 m³/s प्रति m लें। वेग 8 m/s है और Fr₁ = 8/√(9.81 × 0.5) = 3.612, दृढ़तापूर्वक अधिक्रांतिक। अनुवर्ती गहराई y₂ = 0.5 × 0.5 × (√(1 + 8 × 13.048) − 1) = 2.3164 m है, 4.63 के गुणनखंड की वृद्धि, और अनुप्रवाह Fr₂ = 0.362, अपेक्षानुसार अवक्रांतिक। अब ऊर्जा गिनें। E₁ = 0.5 + 8²/19.62 = 3.762 m तथा E₂ = 2.3164 + 1.7268²/19.62 = 2.468 m, अतः हानि 1.294 m — पहुँची ऊर्जा का 34.4 प्रतिशत है। उसे संवृत रूप ΔE = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂) = 1.8164³/(4 × 0.5 × 2.3164) = 1.294 m के सम्मुख जाँचें ✓, और छह अंकों तक की सहमति यह चिह्न है कि संवेग-हल तथा ऊर्जा-लेखा संगत हैं। तीन बातें अनुसरण करती हैं। हानि Fr₁ के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ती है, गहराई-अंतर के घन की भाँति, अतः Fr₁ = 2 पर उछाल केवल कुछ प्रतिशत क्षय करता है जबकि Fr₁ = 9 वाला 70 से अधिक — और इसीलिए उत्प्लव-मार्ग के नीचे शांतिकारी कुंड ऐसा अभिकल्पित होता है कि उछाल उसके भीतर होने को बाध्य हो, जहाँ ऊर्जा नदी-तल के बजाय कंक्रीट पर निरापद रूप से नष्ट हो सके। उछाल एक-मार्गी युक्ति है: वह अधिक्रांतिक को अवक्रांतिक में बदलता है और उल्टा कभी नहीं, क्योंकि उल्टे को ऊर्जा उत्पन्न करनी पड़ती। और स्थिति उतनी ही महत्वपूर्ण है जितनी विद्यमानता — जो उछाल बहुत दूर अनुप्रवाह बनता है वह उसे पहले ही अपरदित कर चुका है जिसकी उसे रक्षा करनी थी, और इसीलिए पश्चजल-गहराई y₂ के सम्मुख जाँची जाती है, पर्याप्त मान नहीं ली जाती।एकसमान प्रवाह, तथा ढाल को मंद क्या बनाता है
अचर ढाल की लंबी प्रिज़्मीय नालिका में गहराई उस मान पर बैठ जाती है जिस पर ढाल के अनुदिश गुरुत्व का घटक सीमा-प्रतिरोध को ठीक संतुलित करे। वही सामान्य गहराई y_n है, और मैनिंग का समीकरण उसे देता है: V = (1/n) R^(2/3) S^(1/2), R = A/P जलीय त्रिज्या सहित। एक उदाहरण चलाएँ। 0.001 की ढाल पर n = 0.015 पर 1.5 m गहरी बहती 5 m चौड़ी आयताकार नालिका का A = 7.5 m², P = 8 m तथा R = 0.9375 m है, अतः V = 2.019 m/s और Q = 15.15 m³/s। ध्यान दें कि n विमाहीन नहीं है और ऐसी इकाइयाँ वहन करता है जो सूत्र को केवल SI में काम करने देती हैं, तथा यह कि R पर घातांक का अर्थ है कि नालिका की दक्षता उसकी आकृति पर निर्भर है, केवल उसके क्षेत्रफल पर नहीं — और इसीलिए जल-वैज्ञानिकतः सर्वाधिक दक्ष आयताकार काट वह है जिसमें b = 2y हो, दिए गए क्षेत्रफल हेतु R अधिकतम करते हुए।
उपयोगी चरण वह तुलना है जो अनुसरण करती है। इस नालिका हेतु q = 15.15/5 = 3.029 m³/s प्रति m, अतः y_c = (3.029²/9.81)^(1/3) = 0.978 m। चूँकि y_n = 1.5 m > y_c = 0.978 m, सामान्य प्रवाह अवक्रांतिक है — Fr = 0.526 उसे पुष्ट करता है — और ढाल मंद वर्गीकृत है। उसे दूसरे, स्वतंत्र प्रकार से यह गणना करके जाँचें कि कौन-सी ढाल इसी नालिका को इसी निस्सरण पर क्रांतिक बनाती: S_c = 0.003453, अथवा 1 में 290, वास्तविक 1 में 1000 के सम्मुख। वास्तविक ढाल मंदतर है, और दोनों परीक्षाएँ सहमत हैं। वह वर्गीकरण शब्दावली नहीं है; वही तय करता है कि उस पहुँच पर कौन-सी क्रमिक परिवर्ती परिच्छेदिकाएँ विद्यमान हो सकती हैं, और अतः किसी भी नियंत्रण के निकट पहुँचते समय जल-पृष्ठ किस ओर मुड़ता है।
क्रमिक परिवर्ती प्रवाह: दो चिह्न प्रत्येक परिच्छेदिका देते हैं
नियंत्रण तथा पहुँच की सामान्य गहराई के बीच प्रवाह न एकसमान है न अकस्मात्: गहराई लंबी दूरी पर क्रमिक रूप से बदलती है, और शासक समीकरण dy/dx = (S₀ − S_f)/(1 − Fr²) है। जल-पृष्ठ की आकृति के विषय में सब कुछ उस भिन्न के चिह्नों में है, और उन्हें पढ़ना परिच्छेदिका-नामों की सारणी स्मरण रखने से तीव्र है। अंश तल-ढाल की तुलना घर्षण-ढाल से करता है, अतः वह तब धनात्मक है जब प्रवाह सामान्य से अधिक गहरा हो — अधिक गहरा प्रवाह धीमा है, अतः उसे घर्षण पार करने हेतु कम ढाल चाहिए। हर तब धनात्मक है जब प्रवाह अवक्रांतिक हो और तब ऋणात्मक जब अधिक्रांतिक। उन्हें संयोजित करें: दो धनात्मक अथवा दो ऋणात्मक चढ़ता पृष्ठ देते हैं, प्रत्येक में से एक गिरता।
| परिच्छेदिका | गहराई परिसर | S₀ − S_f | 1 − Fr² | dy/dx | जहाँ वह दिखती है |
|---|---|---|---|---|---|
| M1 | y > y_n > y_c | + | + | + पश्चजल | बाँध अथवा बंधिका के उपरिप्रवाह |
| M2 | y_n > y > y_c | − | + | − अवनमन | मुक्त प्रपात के निकट |
| M3 | y_n > y_c > y | − | − | + चढ़ती | जल-द्वार के नीचे, उछाल तक |
दो सीमा-व्यवहार चित्र पूर्ण करते हैं और कंठस्थ करने के बजाय तर्क से निकालने योग्य हैं। जैसे-जैसे गहराई सामान्य गहराई के निकट पहुँचती है, S_f → S₀, अंश शून्य की ओर जाता है और dy/dx → 0 — परिच्छेदिका सामान्य गहराई रेखा की अनंतस्पर्शी हो जाती है, उसके निकट पहुँचते हुए किंतु कभी पार न करते हुए। जैसे-जैसे गहराई क्रांतिक गहराई के निकट पहुँचती है, Fr → 1, हर शून्य की ओर जाता है और dy/dx → ∞ — जल-पृष्ठ ऊर्ध्व हो जाता है, जो समीकरण की यह घोषणा है कि क्रमिक परिवर्ती मान्यता टूट चुकी है और कुछ अकस्मात् होने वाला है। ठीक वहीं जल-उछाल अथवा मुक्त प्रपात प्रकट होता है, और इसीलिए सिद्धांत अपनी ही सीमा का पूर्वानुमान करता है। सारणी की M3 परिच्छेदिका दोनों विचारों को साथ काम करते दिखाती है: जल-द्वार के नीचे से तीव्र व उथला निकलता जल M3 वक्र के अनुदिश तब तक चढ़ता है जब तक वह अधिक्रांतिक रह न सके, और अवक्रांतिक M-व्यवस्था में संक्रमण वक्र से नहीं बल्कि उछाल से होकर होता है।
अस्थायी प्रवाह व गतिशील नालिकाएँ
ऊपर का सब कुछ यह मानता रहा कि प्रवाह स्थायी था और तल दृढ़। GATE 2027 संशोधन दोनों अभिधारणाओं को शिथिल करने योग्य वस्तुओं के रूप में नामित करता है। अस्थायी प्रवाह — द्वार बंद होना, कपाट खुलना, बाढ़ गुज़रना — तरंग के रूप में संचरित होता है, और उसे नियंत्रित करने वाली राशि शांत जल में छोटे विक्षोभ की वेगता है, c = √(gy)। 2 m गहराई पर वह 4.429 m/s है; 1 m पर 3.132; 4 m पर 6.264 — अतः गहरी नालिका सूचना तेज़ी से ले जाती है, और यही कारण है कि बाढ़-तरंग उसमें के जल से आगे निकल जाती है।
y = 2 m गहराई पर V = 1.5 m/s ले जाती नालिका में द्वार बंद कीजिए। उछाल बनता है और तट के सापेक्ष V + c पर ऊपर की ओर चलता है — या ठीक कहें, विक्षोभ जल के सापेक्ष c = 4.429 m/s पर चलता है, और जल 1.5 पर नीचे की ओर चल रहा है, अतः प्रवाह के विरुद्ध चलती तरंग ऊपर की ओर c − V = 2.929 m/s पर चलती है और उसके साथ चलती c + V = 5.929 m/s पर। दोनों चिह्न वास्तविक हैं, और c − V का चिह्न ही फ्राउड संख्या का सम्पूर्ण अभिप्राय है: यहाँ Fr = V/c = 1.5/4.429 = 0.339 < 1, प्रवाह अवक्रांतिक है, और विक्षोभ ऊपर व नीचे दोनों ओर चल सकता है। प्रवाह को अधिक्रांतिक कीजिए, Fr > 1, और V > c: कुछ भी ऊपर की ओर चल ही नहीं सकता, अतः बंद होता द्वार अपनी ओर आते जल को कोई चेतावनी नहीं भेजता, और वही भौतिक कारण है कि अधिक्रांतिक भाग ऊपर से नियंत्रित होता है और अवक्रांतिक नीचे से — वही नियम जिसने इस अध्याय में पहले क्रमिक-परिवर्ती-प्रवाह गणना की दिशा तय की थी, ऊर्जा-पक्ष के बजाय तरंग-पक्ष से पाया गया। गतिशील नालिकाएँ दूसरी अभिधारणा शिथिल करती हैं। जहाँ तल अपरदनीय हो वहाँ नालिका अपनी ज्यामिति तब तक समायोजित करती है जब तक वह अपने ले जाते तलछट-भार के साथ व्यवस्था में न आ जाए — और वही अगले अध्याय में लेसी व केनेडी का आनुभविक क्षेत्र है — और नियामक देहली वह क्रांतिक अपरूपण प्रतिबल है जिस पर कण चलने लगते हैं। व्यावहारिक परिणाम वही है जिससे हर नहर-अभियंता मिलता है: अपरदनीय सामग्री में नियत काट हेतु अभिकल्पित नालिका उस काट में रहती नहीं, अतः उसे या तो एक साथ अ-अपघर्षी व अ-गादकारी होने हेतु अभिकल्पित करना होगा, या अस्तरित कर प्रश्न ही हटा देना होगा।मुख्य बिंदु
E = y + q²/2gy²का निम्नतमy_c = (q²/g)^(1/3)पर है, जहाँFr = 1ठीक है तथाE_min = 1.5 y_c। निम्नतम से ऊपर प्रत्येकEको दो वैकल्पिक गहराइयाँ साझा करती हैं जो वही निस्सरण वहन करती हैं।- विक्षोभ
√(gy)पर चलता है, अतः अवक्रांतिक प्रवाह अनुप्रवाह से नियंत्रित है और अधिक्रांतिक उपरिप्रवाह से। उसे गलत करें और प्रत्येक संख्या सही हो सकती है जबकि जल-पृष्ठ उल्टा खिंचा हो। - उछाल संवेग से हल करें, क्योंकि ऊर्जा-हानि ही अज्ञात है।
y₂/y₁ = ½(√(1+8Fr₁²) − 1); Fr₁ = 3.61 पर गहराई 4.63× चढ़ती है और आती ऊर्जा का 34% नष्ट हो जाता है। - मैनिंग सामान्य गहराई देता है; उसकी
y_cसे तुलना ढाल को वर्गीकृत करती है। हल की गई नालिका काy_n = 1.5 > y_c = 0.978है, अतः मंद — वास्तविक 1 में 1000 के सम्मुखS_c = 1 में 290से स्वतंत्रतः पुष्ट। - प्रत्येक GVF परिच्छेदिका
dy/dx = (S₀ − S_f)/(1 − Fr²)के दो चिह्नों से निकल आती है। सामान्य गहराई परdy/dx → 0(अनंतस्पर्शी) और क्रांतिक पर→ ∞— जहाँ सिद्धांत अपने ही टूटने की घोषणा करता है और उछाल अथवा प्रपात प्रकट होता है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
आयताकार नालिका प्रति मीटर चौड़ाई 4 m³/s का निस्सरण वहन करती है। क्रांतिक गहराई, मीटर में, ______ है (तीन दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.177
1.177 m। आयताकार नालिका हेतुy_c = (q²/g)^(1/3) = (16/9.81)^(1/3) = (1.6310)^(1/3) = 1.17711 m। तीन जाँचें उसे पुष्ट करती हैं, और प्रत्येक एक बार चलाने योग्य है क्योंकि विषय उन्हीं तत्समकों पर बना है। प्रथम, उस गहराई पर फ़्रूड संख्या:V_c = q/y_c = 3.398 m/sतथाFr = V/√(gy) = 3.398/√(9.81 × 1.177) = 1.000000— क्रांतिक गहराईFr = 1से परिभाषित है, और घनमूल-सूत्र केवल वही शर्त पुनर्व्यवस्थित है। द्वितीय, क्रांतिक पर वेग-शीर्षV_c²/2g = 0.5886 mहै, जो ठीकy_c/2है — आयताकार नालिकाओं हेतु विशिष्ट संबंध तथा अंकगणितीय चूक पकड़ने का तीव्र मार्ग। तृतीय, निम्नतम विशिष्ट ऊर्जाE_min = y_c + y_c/2 = 1.5 y_c = 1.766 mहै, अतः कोई आयताकार नालिका 1.766 m से कम विशिष्ट ऊर्जा पर 4 m³/s प्रति मीटर नहीं निकाल सकती, उसकी गहराई चाहे जैसे व्यवस्थित हो। क्रांतिक गहराई वह नहीं है जिस पर नालिका वस्तुतः बहती है। वह सामान्य गहराई है, जो मैनिंग के माध्यम से ढाल व खुरदरेपन से नियत है, और दोनों के बीच की तुलना ही ढाल को वर्गीकृत करती है:y_n > y_cमंद व अवक्रांतिक है,y_n < y_cतीव्र व अधिक्रांतिक। यह भी ध्यान दें कि दी गई नालिका-आकृति हेतुy_cकेवल निस्सरण पर निर्भर है — ढाल पर नहीं, खुरदरेपन पर नहीं,nपर नहीं। तल-ढाल बदलें औरy_nचलता है जबकिy_cठीक वहीं रहता है जहाँ था।जल-उछाल का विश्लेषण ऊर्जा समीकरण के बजाय संवेग समीकरण से होना चाहिए क्योंकि
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उत्तर: B — उछाल पर ऊर्जा-हानि स्वयं अज्ञात है, अतः ऊर्जा समीकरण बंद नहीं हो सकता
ऊर्जा-हानि स्वयं अज्ञात है। उछाल पर ऊर्जा समीकरण लिखें और उसमेंy₁,y₂तथाh_Lहैं, तीन राशियाँ जिनमें से दो अज्ञात हैं — वह हल नहीं हो सकता। संवेग समीकरण लिखें और उसमें केवल दोनों फलकों पर दाब-बल तथा उनसे होकर संवेग-अभिवाह हैं, सभी गहराइयों व निस्सरण से गणनीय, अतः वह बंद हो जाता है और अनुवर्ती गहराईy₂/y₁ = ½(√(1 + 8Fr₁²) − 1)देता है।y₂ज्ञात होते ही ऊर्जा समीकरण पुनः उपयोगी हो जाता है — गहराइयाँ खोजने हेतु नहीं बल्कि परिणाम की भाँति हानि निकालने हेतु:y₁ = 0.5 mतथाq = 4हेतुE₁ = 3.762 mऔरE₂ = 2.468 m, अतःh_L = 1.294 m, जो आती ऊर्जा का 34.4 प्रतिशत है और संवृत रूप(y₂ − y₁)³/(4y₁y₂)से छह अंकों तक मेल खाता है। विकल्प A शिथिल शब्दों में है और जैसा कहा गया वैसा गलत है: संवेग भी सामान्यतः संरक्षित नहीं — वह यहाँ केवल इसलिए संरक्षित है कि उछाल की छोटी लंबाई पर बाह्य बल उपेक्षणीय रूप से लघु हैं, और ढालू अथवा सोपानित तल पर वह मान्यता विफल हो जाती है और विश्लेषण बदल जाता है। विकल्प C असत्य है, चूँकि विशिष्ट ऊर्जा दोनों ओर पूर्णतः सुपरिभाषित है। विकल्प D प्रवाह का गलत वर्णन करता है, जो माध्य में स्थायी है; विक्षोभ तीव्र है किंतु उछाल स्वयं को स्थापित कर लेने पर चलता नहीं। सामान्य शिक्षा इस विषय से आगे भी साथ ले जाने योग्य है: वह संरक्षण-नियम प्रयोग करें जिसके अज्ञात पदों का आप मूल्यांकन कर सकें, और दूसरे को उसे निकालने हेतु रखें जिसे आप मान नहीं सके।प्रति मीटर चौड़ाई 4 m³/s पर जल 0.5 मीटर की गहराई पर जल-उछाल में प्रवेश करता है। अनुवर्ती (संयुग्मी) गहराई, मीटर में, ______ है (तीन दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2.316
2.316 m। पहले आती फ़्रूड संख्या:V₁ = q/y₁ = 4/0.5 = 8 m/sतथाFr₁ = 8/√(9.81 × 0.5) = 8/2.2147 = 3.612, सुखपूर्वक अधिक्रांतिक। तत्पश्चात् अनुवर्ती गहराई संबंध, जो उछाल पर विशिष्ट बल बराबर रखने से आता है:y₂ = ½ y₁ (√(1 + 8Fr₁²) − 1) = 0.25 × (√(1 + 104.38) − 1) = 0.25 × 9.266 = 2.3164 m। गहराई-अनुपात4.63है, और अनुप्रवाहFr₂ = 0.362, अवक्रांतिक जैसा होना ही चाहिए। ऊर्जा-लेखा रोचक भाग है और उत्तर को स्वतंत्रतः पुष्ट करता है:E₁ = 0.5 + 8²/19.62 = 3.762 m,E₂ = 2.3164 + 1.727²/19.62 = 2.468 m, अतः 1.294 m — आती ऊर्जा का 34.4 प्रतिशत — नष्ट हो चुका है, और संवृत रूप(y₂ − y₁)³/(4y₁y₂)वही 1.294 m लौटाता है। संवेग-व्युत्पन्न गहराई तथा ऊर्जा-व्युत्पन्न हानि के बीच वही सहमति चलाने योग्य जाँच है। दो सावधानियाँ। अनुवर्ती गहराइयाँ वैकल्पिक गहराइयाँ नहीं हैं: वैकल्पिक गहराइयाँ वही विशिष्ट ऊर्जा साझा करती हैं और वही हैं जिन्हें सहज संक्रमण जोड़ता, जबकि अनुवर्ती गहराइयाँ वही विशिष्ट बल साझा करती हैं और वही हैं जिन्हें उछाल जोड़ता है — उछाल ठीक इसलिए विद्यमान है कि प्रवाह वैकल्पिक गहराइयों के बीच ऊर्जा प्राप्त किए बिना चल नहीं सकता। और हानि(y₂ − y₁)के घन की भाँति बढ़ती है, अतः वहFr₁के साथ तीव्रता से चढ़ती है:Fr₁ = 2पर उछाल केवल कुछ प्रतिशत क्षय करता है जबकिFr₁ = 9वाला 70 से अधिक, और इसीलिए उत्प्लव-मार्ग के नीचे शांतिकारी कुंड का आकार ऐसा रखा जाता है कि उछाल वहाँ रहे जहाँ कंक्रीट उसे ले सके।5 मीटर चौड़ी आयताकार नालिका 0.001 की तल-ढाल पर n = 0.015 सहित 1.5 मीटर गहरी बहती है। निस्सरण, m³/s में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 15.15
15.15 m³/s।A = 5 × 1.5 = 7.5 m², आर्द्र परिमापP = 5 + 2(1.5) = 8 mहै — मुक्त पृष्ठ आर्द्र नहीं है और कभी सम्मिलित नहीं किया जाता — अतःR = A/P = 0.9375 m। मैनिंगV = (1/n)R^(2/3)S^(1/2) = (1/0.015)(0.9375)^(2/3)(0.001)^(1/2) = 66.667 × 0.9579 × 0.03162 = 2.019 m/sदेता है, औरQ = AV = 15.15 m³/s। आर्द्र परिमाप वहाँ है जहाँ अधिकांश अंक खोए जाते हैं: जल-पृष्ठ सम्मिलित करने परP = 11,R = 0.68तथा 12 प्रतिशत कम उत्तर मिलता है। अगला लेने योग्य चरण वर्गीकरण है। यहाँq = 15.15/5 = 3.029 m³/s प्रति m, अतःy_c = (3.029²/9.81)^(1/3) = 0.978 m। चूँकिy_n = 1.5 m > y_c = 0.978 m, प्रवाह अवक्रांतिक है —Fr = 2.019/√(9.81 × 1.5) = 0.526सहमत है — और ढाल मंद है। उसे दूसरे प्रकार से यह पूछकर पुष्ट करें कि कौन-सी ढाल इसी नालिका को इसी निस्सरण पर क्रांतिक बनाती:S_c = 0.003453, अथवा 1 में 290, वास्तविक 1 में 1000 के सम्मुख, अतः वास्तविक तल क्रांतिक से मंदतर है और दोनों परीक्षाएँ सहमत हैं। वह वर्गीकरण शब्दावली नहीं है; वह नियत करता है कि उस पहुँच पर कौन-सी क्रमिक परिवर्ती परिच्छेदिकाएँ विद्यमान हो सकती हैं और अतः किसी भी नियंत्रण के निकट पृष्ठ किस ओर मुड़ता है। मैनिंग के दो गुणधर्म साथ ले जाने योग्य:nविमाहीन नहीं है, अतः लिखा गया सूत्र केवल SI इकाइयों में टिकता है, औरR^(2/3)का अर्थ है कि दक्षता आकृति पर निर्भर है — सर्वाधिक दक्ष आयताकार काट काb = 2yहै, दिए गए क्षेत्रफल हेतुRअधिकतम करते हुए।खुली नालिका में अवक्रांतिक प्रवाह में, अनुप्रवाह रखी बंधिका जैसा विक्षोभ
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उत्तर: B — उपरिप्रवाह गहराई को प्रभावित करेगा, क्योंकि प्रवाह तरंग-वेग से धीमा है
वह उपरिप्रवाह गहराई को प्रभावित करता है, क्योंकि प्रवाह तरंग-वेग से धीमा है। लघु पृष्ठ-विक्षोभ जल के सापेक्ष वेगc = √(gy)से चलता है। अवक्रांतिक प्रवाह मेंV < c, अर्थात्Fr < 1, अतः विक्षोभ धारा के विरुद्ध ऊपर की ओर संचरित हो सकता है, और अनुप्रवाह की बंधिका, द्वार अथवा जलाशय का प्रभाव नालिका में ऊपर तक लौटता है — कभी-कभी किलोमीटरों तक, बाँध के ऊपर M1 पश्चजल-वक्र की भाँति। इस कथन का सम्पूर्ण अर्थ यही है कि अवक्रांतिक प्रवाह अनुप्रवाह से नियंत्रित है। अधिक्रांतिक प्रवाह मेंV > c, कोई संकेत ऊपर की ओर नहीं जा सकता, और प्रवाह इसके बजाय उपरिप्रवाह से नियंत्रित है — और इसीलिए जल-द्वार से निकलता जल उससे अनजान रहता है जो उसके आगे है, जब तक उसे उछाल से होकर ध्यान देने को बाध्य न किया जाए। विकल्प A ऐसी सहजबुद्धि को आकर्षित करता है जो केवल गलत है: जो ऊपर की ओर जाता है वह जल नहीं बल्कि सूचना है, मुक्त पृष्ठ पर दाब-तरंग, और वह अपने से धीमी धारा के विरुद्ध जा सकती है। विकल्प C स्थिति उलट देता है, चूँकि तीव्र ढाल का अर्थ अधिक्रांतिक प्रवाह है और अतः कोई उपरिप्रवाह प्रभाव नहीं। विकल्प D वर्णन करता है कि विपरीत स्थिति में क्या होता है — उछाल वहाँ बनता है जहाँ अधिक्रांतिक प्रवाह को अवक्रांतिक होने को बाध्य किया जाए, वहाँ नहीं जहाँ अवक्रांतिक प्रवाह किसी अवरोध से मिले। इसे सही करने का व्यावहारिक मूल्य यह है कि वह बताता है कि गणना किस सिरे से आरंभ करनी है: क्रमिक परिवर्ती प्रवाह परिच्छेदिका अवक्रांतिक प्रवाह में नियंत्रण से उपरिप्रवाह की ओर तथा अधिक्रांतिक में उससे अनुप्रवाह की ओर समाकलित की जाती है, और गलत सिरे से आरंभ करना ऐसी परिच्छेदिका देता है जो सामान्य गहराई पर बैठने के बजाय अपसरित हो जाती है।मंद ढाल पर, बाँध के उपरिप्रवाह जल-पृष्ठ परिच्छेदिका वर्गीकृत है
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उत्तर: A — M1, पश्चजल वक्र जिसमें गहराई अनुप्रवाह दिशा में चढ़ती है
M1, पश्चजल वक्र। उसे स्मरण किए चित्र के बजाय चिह्नों से निकालें। बाँध गहराई को सामान्य गहराई से ऊपर उठाता है, अतः उसके उपरिप्रवाह की पहुँच मेंy > y_n > y_cहै — वही M1 क्षेत्र है। अबdy/dx = (S₀ − S_f)/(1 − Fr²)पढ़ें। प्रवाह सामान्य से अधिक गहरा है, अतः सामान्य से धीमा है, अतः घर्षण-ढालS_fतल-ढालS₀से कम है और अंश धनात्मक है। प्रवाह अवक्रांतिक है, अतःFr < 1और हर भी धनात्मक है। अतःdy/dx > 0: गहराई अनुप्रवाह दिशा में बढ़ती है, और पश्चजल वक्र ठीक वैसा ही दिखता है — बाँध के निकट पहुँचते समय पृष्ठ चढ़ता है। विकल्प B, M2 क्षेत्र है,y_n > y > y_c, जो वहाँ होता है जहाँ मंद नालिका मुक्त प्रपात के निकट पहुँचे और गहराई क्रांतिक की ओर नीचे खींची जाए। विकल्प C, M3 क्षेत्र है, क्रांतिक से नीचे, जो मंद ढाल पर उछाल से पूर्व जल-द्वार के नीचे होता है। विकल्प D संरचना को तल से मिला देता है: बाँध उस नालिका की ढाल नहीं बदलता जिसमें वह बैठा है, और S-परिच्छेदिकाएँ उन नालिकाओं की हैं जिनकी तल-ढाल इतनी तीव्र हो कि सामान्य गहराई अधिक्रांतिक हो। दो सीमांत व्यवहार M1 वक्र खींचना सुगम बना देते हैं। बहुत ऊपरy → y_n, अतःS_f → S₀, अंश लुप्त हो जाता है और परिच्छेदिका सामान्य गहराई रेखा की अनंतस्पर्शी हो जाती है। बाँध पर पृष्ठ क्षैतिज के निकट पहुँचता है, चूँकि वहाँ वेग लगभग शून्य है। दोनों के बीच वह सहज चढ़ता वक्र है, और उसकी लंबाई — प्रायः कई किलोमीटर — इसका कारण है कि जलाशय का पश्चजल अनुमानित नहीं बल्कि गणित किया जाता है।आयताकार नालिका हेतु, क्रांतिक गहराई के गुणज की भाँति व्यक्त निम्नतम विशिष्ट ऊर्जा ______ है
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.5
1.5। क्रांतिक गहराई परFr = 1, अतःV_c = √(g y_c)और वेग-शीर्षV_c²/2g = g y_c/2g = y_c/2है। तबE_min = y_c + y_c/2 = 1.5 y_c। संबंध आयताकार नालिका हेतु विशिष्ट है — सामान्य काट हेतु क्रांतिक शर्तQ²T/(gA³) = 1है,Tशीर्ष-चौड़ाई सहित, और गुणज 1.5 नहीं। उसे हल किए उदाहरण पर जाँचें:q = 4 m³/s प्रति m,y_c = 1.177 mतथाE_min = 1.766 mदेता है, और1.766/1.177 = 1.500✓। यह परिणाम दो बातों हेतु अच्छा है। वह तत्काल निम्न सीमा देता है: कोई आयताकार नालिका दिए गएqको1.5 y_cसे कम विशिष्ट ऊर्जा पर नहीं निकाल सकती, वह चाहे किसी गहराई पर बहे, अतः यदि कोई संक्रमण उससे कम दे, तो प्रवाह को अवरुद्ध होकर तब तक पीछे चढ़ना ही होगा जब तक पर्याप्त न हो। ठीक वही चौड़े-शिखर बंधिका अथवा उठे तल पर होता है — प्रवाह नियंत्रण पर क्रांतिक से होकर जाता है और उपरिप्रवाह गहराई1.5 y_cतथा सोपान देने हेतु चढ़ती है। और वह विशिष्ट ऊर्जा वक्र खींचना सुगम बनाता है: निम्नतम(1.5 y_c, y_c)पर बैठता है, ऊपरी भुजा वेग-शीर्ष लुप्त होते ही 45° रेखा की अनंतस्पर्शी हो जाती है, और निचली भुजाy → 0पर अनंत की ओर भागती है क्योंकि वेग-शीर्ष1/y²की भाँति फूल जाता है। एक-तिहाई/दो-तिहाई विभाजन भी ध्यान देने योग्य है — क्रांतिक गहराई पर प्रवाह अपनी विशिष्ट ऊर्जा का दो-तिहाई गहराई की भाँति तथा एक-तिहाई वेग-शीर्ष की भाँति वहन करता है, जो उपलब्ध सर्वाधिक दक्ष विभाजन है और उस स्थिति को क्रांतिक कहे जाने का कारण।खुली नालिका में क्रांतिक प्रवाह के विषय में निम्नलिखित में कौन सत्य हैं? (एक अथवा अधिक)
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उत्तर: A — दिए गए निस्सरण हेतु विशिष्ट ऊर्जा निम्नतम है; B — फ़्रूड संख्या 1 के बराबर है; C — क्रांतिक गहराई निस्सरण पर निर्भर है किंतु तल-ढाल अथवा खुरदरेपन पर नहीं
A, B तथा C। ये उसी स्थिति के तीन वर्णन हैं। A वह परिभाषा है जिससेy_cसामान्यतः व्युत्पन्न होती है:E = y + q²/2gy²परdE/dy = 0रखने सेq² = gy³मिलता है, अतःy_c = (q²/g)^(1/3)। B वही शर्त पुनर्व्यवस्थित है —q² = gy³अर्थात्V²y² = gy³, अर्थात्V² = gyतथाFr = 1— और दोनों समतुल्य कथन हैं, पृथक् तथ्य नहीं। C वह है जो लोगों को पकड़ता है, और वह महत्व रखता है। क्रांतिक गहराई केवल निस्सरण तथा नालिका की आकृति से निकलती है:y_c = (q²/g)^(1/3)में कहीं कोईnनहीं और कोईS₀नहीं। अतः तल-ढाल बदलना सामान्य गहराई चलाता है जबकिy_cको ठीक वहीं छोड़ देता है जहाँ वह थी, और ठीक इसीलिए दोनों की तुलना ढाल को मंद अथवा तीव्र वर्गीकृत करती है। इसका यह भी अर्थ है कि नालिका में किसी भी परिवर्तन को आँकने हेतुy_cसही संदर्भ है, चूँकि वह टिकी रहती है जबकि शेष सब चलता है। D असत्य है, और वही जाल है। क्रांतिक प्रवाह परV = c = √(gy), अतः वेगcसे ऊपर की ओर जाता विक्षोभ धारा द्वारा ठीक स्थिर रखा जाता है — वह न आगे बढ़ता है न बहाया जाता है। ऊपर की ओर संचरण कोV < cचाहिए, अर्थात् अवक्रांतिक प्रवाह। इसीलिए क्रांतिक प्रवाह नियंत्रण है: क्रांतिक होने को बाध्य काट, बंधिका-शिखर अथवा उठे तल पर, गहराई व निस्सरण के बीच अद्वितीय संबंध आरोपित करती है और उपरिप्रवाह पहुँच को अनुप्रवाह से पृथक् करती है, और यही ऐसी काट को प्रवाह मापने का विश्वसनीय स्थान बनाता है।