तरल यांत्रिकी: स्थैतिकी, ऊर्जा, नलिका प्रवाह व सादृश्यता

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. 2 मीटर चौड़े ऊर्ध्व आयताकार जल-द्वार का ऊपरी किनारा जल-पृष्ठ से 1 मीटर तथा निचला किनारा 3 मीटर नीचे है। द्वार पर कुल जलस्थैतिक बल, kN में, ______ है (ρg = 9.81 kN/m³ लें)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

   उत्तर देखें

   उत्तर: 78.48

   78.48 kN। F = ρg h̄ A, जहाँ h̄ द्वार के केंद्रक की गहराई है, जल-पृष्ठ अथवा निचले किनारे की नहीं। द्वार 2 m चौड़ा व 2 m ऊँचा है, अतः A = 4 m², और उसका केंद्रक 1 मीटर व 3 मीटर के मध्य में है, अतः h̄ = 2 m। तब F = 9.81 × 2 × 4 = 78.48 kN। संबंधित प्रश्न, जहाँ अधिकांश अंक खोए जाते हैं, यह है कि वह बल कहाँ कार्य करता है। दाब केंद्र h_cp = h̄ + I_G/(A h̄) है, I_G = bd³/12 = 2(2)³/12 = 1.3333 m⁴ सहित, h_cp = 2 + 1.3333/8 = 2.167 m पृष्ठ से नीचे देते हुए — जो 2 m के द्वार में 1.167 m नीचे है, अथवा आधे के बजाय नीचे का 0.583। परिणामी को मध्य-ऊँचाई पर लेना निचले कब्ज़े के परितः आघूर्ण को लगभग 17 प्रतिशत कम बताता है। अंतर की दो विशेषताएँ जानने योग्य हैं। वह सदा केंद्रक से नीचे है, क्योंकि दाब बिना अपवाद गहराई के साथ चढ़ता है, अतः I_G/(A h̄) निश्चित रूप से धनात्मक है। और वह गहराई के साथ सिकुड़ता है: h̄ = 10 m पर वही द्वार का दाब केंद्र केंद्रक से केवल 33 mm नीचे है, क्योंकि जो महत्व रखता है वह माध्य की तुलना में द्वार पर दाब का परिवर्तन है, और गहरे द्वार लगभग एकसमान दाब देखते हैं। पहचानने योग्य विशेष स्थिति वह द्वार है जिसका ऊपरी किनारा पृष्ठ पर हो: तब h̄ = d/2 तथा h_cp = 2d/3, परिचित तृतीयांश-बिंदु परिणाम, जो एकमात्र स्थिति है जहाँ उत्तर द्वार-ऊँचाई का नियत अंश है।

2. जल ऐसी नलिका में बहता है जो 300 mm से घटकर 150 mm व्यास हो जाती है। छोटी नलिका में वेग है

   1. बड़ी नलिका के दोगुना
   2. बड़ी नलिका का चार गुना
   3. बड़ी नलिका का आधा
   4. वही, चूँकि निस्सरण वही है
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — बड़ी नलिका का चार गुना

   चार गुना। असंपीड्य तरल हेतु संतति A₁V₁ = A₂V₂ है, और क्षेत्रफल व्यास के वर्ग की भाँति चलता है — अतः व्यास आधा करना क्षेत्रफल चौथाई करता है और वही निस्सरण निकालने हेतु वेग को चार गुना चढ़ना ही होगा। विकल्प A वह उत्तर है जो क्षेत्रफल के बजाय व्यास का अनुसरण करने से मिलता है, और यहाँ की सर्वाधिक सामान्य चूक है। विकल्प D निस्सरण के विषय में सही है और उससे जो निकलता है उसके विषय में गलत: प्रति सेकंड आयतन वस्तुतः अपरिवर्तित है ही, और ठीक इसीलिए नलिका सँकरी होने पर चाल बढ़नी ही चाहिए। Q = 0.05 m³/s पर संख्याएँ चलाएँ: V₁ = 0.707 m/s तथा V₂ = 2.829 m/s, 4.000 का अनुपात। साथ ले जाने योग्य परिणाम यह है कि दाब का क्या होता है। वेग-शीर्ष V²/2g = 0.0255 m तथा 0.408 m हैं, अतः बरनूली अपेक्षित करता है कि संकुचन पर दाब-शीर्ष 0.383 m गिरे — ऊर्जा खोई नहीं, उसने दाब से वेग में रूप बदला है। उसे पर्याप्त दूर धकेलें और निरपेक्ष दाब जल के वाष्प-दाब पर पहुँच जाता है, जो ठंडा ही उबलता है, और ढहते वाष्प-बुलबुले अनुप्रवाह की धातु को गड्ढेदार कर देते हैं: वही गुहिकायन है, पंप-प्रवेश तथा अंशतः बंद वाल्व में क्षति का सर्वाधिक सामान्य कारण, और वह इसी गणना को उसकी सीमा तक ले जाने से अधिक कुछ नहीं। उल्टा वेंचुरी के विसारक अथवा पंप के कुंडल में होता है, जहाँ वेग-शीर्ष को पुनः दाब में बदलने हेतु प्रवाह जानबूझकर धीमा किया जाता है।

3. 1000 मीटर लंबी 300 mm व्यास की नलिका f = 0.02 घर्षण गुणक सहित 1 m/s पर जल वहन करती है। घर्षण के कारण शीर्ष-हानि, मीटर में, ______ है (दो दशमलव तक)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

   उत्तर देखें

   उत्तर: 3.40

   3.40 m। डार्सी-वाइसबाख: h_f = fLV²/(2gD) = 0.02(1000)(1²)/(2 × 9.81 × 0.3) = 20/5.886 = 3.398 m। निस्सरण Q = VA = 1 × 0.0707 = 0.0707 m³/s है, अतः क्षयित शक्ति ρgQh_f = 9810 × 0.0707 × 3.398 = 2.36 kW है — वह पंपन-शक्ति जो केवल घर्षण एक किलोमीटर की मुख्य नलिका पर खा जाता है। सम्मान योग्य पद V² है। वेग दोगुना करें और शीर्ष-हानि चौगुनी हो जाती है, 13.59 m तक; और चूँकि शक्ति ρgQh_f है तथा Q भी दोगुना हुआ है, पंपन-शक्ति आठ गुनी चढ़ती है। प्रवाह व शक्ति के बीच वही घन-संबंध जल-प्रदाय अर्थशास्त्र का बहुत कुछ शासित करता है: तनिक बड़ी नलिका अभिकल्प-आयु पर लगभग सदा तनिक बड़े पंप से सस्ती है, और मुख्य नलिकाओं में अभिकल्प-वेग अधिक धकेलने के बजाय 1 से 2 m/s के निकट रखे जाते हैं। प्रश्न एक जाँच आमंत्रित करता है: f = 0.02 विश्वसनीय भी है क्या? Re = VD/ν = 1 × 0.3/10⁻⁶ = 300 000, सुखपूर्वक विक्षुब्ध, जहाँ 0.02 का घर्षण-गुणक मध्यम रूप से चिकनी नलिका हेतु प्रारूपिक है — अतः हाँ। संबंधित जाल f = 64/Re है, जो स्तरीय परिणाम है और यहाँ 0.00021 देता। स्तरीय नलिका-प्रवाह को Re < 2000 चाहिए, जो इस व्यास पर 6.7 mm/s से नीचे वेग का अर्थ रखता है: जल-प्रदाय की नलिकाएँ कभी स्तरीय नहीं चलतीं, अतः घर्षण-गुणक सदा मूडी चार्ट अथवा कोलब्रुक-व्हाइट संगति से आता है, और नलिका की खुरदरापन सदा महत्व रखती है।

4. 300 mm व्यास की दो समरूप नलिकाएँ उन्हीं दो बिंदुओं के बीच समांतर चलती हैं। समान लंबाई की उस एकल नलिका का व्यास जो उसी शीर्ष-हानि के अंतर्गत वही कुल निस्सरण वहन करे, mm में, ______ है (एक दशमलव तक)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

   उत्तर देखें

   उत्तर: 344.6

   344.6 mm। डार्सी-वाइसबाख को निस्सरण के पदों में लिखें: V = Q/A = 4Q/πD² प्रतिस्थापित करने पर h_f = 8fLQ²/(π²gD⁵) मिलता है, अतः नियत शीर्ष-हानि व लंबाई हेतु Q ∝ D^2.5 और तुल्य एकल नलिका D_e⁵ = Σ D_i⁵ संतुष्ट करती है। समान आकार की दो नलिकाओं सहित D_e = 2^(1/5) × 300 = 1.1487 × 300 = 344.6 mm। अतः दोगुनी क्षमता केवल 14.9 प्रतिशत बड़े व्यास से खरीदी जाती है, और वह परिणाम लगभग कोई सही अनुमान नहीं लगाता — यह सहजबुद्धि कि दो नलिकाओं को "दोगुनी बड़ी एक नलिका" चाहिए, क्षेत्रफल में लगभग छह के गुणनखंड से चूकती है। तीन नलिकाएँ 373.7 mm देती हैं और चार 395.9 mm, अतः प्रतिफल घटते हैं, किंतु दिशा संगत है: क्षमता बोर के प्रति असाधारण रूप से संवेदी है। तीन व्यावहारिक परिणाम अनुसरण करते हैं। मुख्य नलिका के बगल दूसरी नलिका डालकर उसकी प्रतिकृति बनाना, दूसरी खाई, दूसरा फ़िटिंग-समुच्चय व दूसरा अनुरक्षण-दायित्व गिन लेने पर, एक बड़ी नलिका डालने के सम्मुख सामान्यतः दुर्बल मूल्य है। बोर की मामूली हानि महँगी है: व्यास से 10 प्रतिशत लेती पपड़ी अथवा गाँठ प्रवाह से 23 प्रतिशत ले लेती है, और इसीलिए पुरानी ढलवाँ-लोहे की नलिकाएँ अपनी अखंडता खोने से बहुत पहले क्षमता खो देती हैं। और वही D^2.5 समझाता है कि माँग संचित होते समय वितरण-जाल में नलिका-आकार इतने धीरे क्यों चढ़ते हैं। प्रश्न जिस मान्यता पर टिका है उस पर ध्यान दें: नलिकाएँ समान लंबाई की हैं और उनका f समान है। यदि लंबाइयाँ भिन्न हों, तो तुल्यता D⁵ के बजाय D⁵/L प्रयोग करती है।

5. उत्प्लव-मार्ग का 1:25 पैमाने का प्रतिरूप परीक्षित किया जाना है। उपयुक्त सादृश्यता तथा उससे मिलता निस्सरण अनुपात हैं

   1. रेनॉल्ड्स सादृश्यता, 25 के निस्सरण अनुपात सहित
   2. फ़्रूड सादृश्यता, 3125 के निस्सरण अनुपात सहित
   3. फ़्रूड सादृश्यता, 625 के निस्सरण अनुपात सहित
   4. पूर्ण सादृश्यता हेतु दोनों एक साथ
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — फ़्रूड सादृश्यता, 3125 के निस्सरण अनुपात सहित

   फ़्रूड, 3125 के निस्सरण अनुपात सहित। उत्प्लव-मार्ग का मुक्त पृष्ठ है, अतः प्रभावी संतुलन गुरुत्व के सम्मुख जड़त्व है और मिलाने योग्य समूह फ़्रूड संख्या Fr = V/√(gL) है। दोनों पैमानों पर g समान रखते हुए Fr_m = Fr_p रखने पर V_r = √L_r = √25 = 5 मिलता है, और चूँकि Q = AV ∝ L²V, निस्सरण अनुपात L_r^2.5 = 25^2.5 = 3125 है। अतः प्रतिरूप पर 1 लीटर/s प्रोटोटाइप पर 3.125 m³/s के अनुरूप है, और 1 m/s का प्रतिरूप-वेग वास्तविक संरचना में 5 m/s का अर्थ रखता है। विकल्प C L_r² प्रयोग करता है, यह भूलकर कि वेग भी मापित होता है। विकल्प A गलत समूह चुनता है: रेनॉल्ड्स ऐसे प्रवाह का शासन करता है जिसका मुक्त पृष्ठ न हो — नलिका के भीतर, निमग्न पिंड के चारों ओर, वाल्व से होकर — जहाँ गुरुत्व प्रवाह-प्रतिरूप पर कोई कार्य नहीं करता। विकल्प D केवल अस्वीकार करने के बजाय समझने योग्य है, क्योंकि वह ऐसी वस्तु का वर्णन करता है जो उसी तरल से वस्तुतः असंभव है। 1:25 पर Re मिलाना अपेक्षित करता है कि प्रतिरूप-वेग प्रोटोटाइप से 25 गुना ऊँचा हो; Fr मिलाना उसे 5 गुना नीचा अपेक्षित करता है। कोई एकल तरल दोनों संतुष्ट नहीं कर सकता, अतः अभियंता वह समूह चुनता है जो परिघटना का शासन करे और शेष में पैमाना-प्रभाव स्वीकार करता है। फ़्रूड-मापित उत्प्लव-मार्ग प्रतिरूप हेतु वह शेष त्रुटि मुख्यतः घर्षण व श्यान हानियों में बैठती है, और इसीलिए ऐसा प्रतिरूप जल-उछाल की आकृति व स्थिति निष्ठापूर्वक पुनरुत्पादित करता है जबकि ऊर्जा-क्षय कुछ गलत करता है — ऐसी सीमा जो छिपाने के बजाय बताने योग्य है।

6. 300 mm प्रवेश तथा 150 mm कंठ वाले वेंचुरी मापक का निस्सरण गुणांक 0.98 है और वह 0.5 मीटर जल का शीर्ष-अंतर अभिलिखित करता है। निस्सरण लीटर प्रति सेकंड में ______ है (दो दशमलव तक)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

   उत्तर देखें

   उत्तर: 56.02

   56.02 लीटर/s। A₁ = π(0.3)²/4 = 0.070686 m² तथा A₂ = π(0.15)²/4 = 0.017671 m², अतः A₂/A₁ = 0.25 और 1 − (A₂/A₁)² = 0.9375। तब Q = C_d A₂ √[2gΔh/(1 − (A₂/A₁)²)] = 0.98 × 0.017671 × √(9.81/0.9375) = 0.98 × 0.017671 × 3.2348 = 0.056021 m³/s। व्युत्पत्ति कंठस्थ करने के बजाय पुनर्निर्मित करने योग्य है: वह प्रवेश व कंठ के बीच बरनूली है, दाब-अंतर से वेग-अंतर देते हुए, दोनों वेगों में से एक को हटाने हेतु संतति से बंद किया गया — सम्पूर्ण मापक वही दो समीकरण हैं जो यंत्र में बदल दिए गए। दो प्रेक्षण। C_d = 0.98, 1 के निकट है क्योंकि सुनिर्मित वेंचुरी का कंठ के अनुप्रवाह क्रमिक अपसारी शंकु होता है, जो प्रवाह को बिना पृथक्करण मंद करता है और उधार लिए दाब का अधिकांश पुनःप्राप्त कर लेता है; स्थायी शीर्ष-हानि मापे गए अंतर का केवल लगभग 10 प्रतिशत है। वही प्रवाह मापती छिद्र-पट्टी का C_d ≈ 0.62 है और वह कहीं अधिक स्थायी रूप से खोती है, क्योंकि धारा तीक्ष्ण किनारे से पृथक् हो जाती है और ऊर्जा अपुनःप्राप्य रूप से विक्षोभ में चली जाती है। दोनों के बीच वही अदला-बदली है: छिद्र सस्ता, संहत व हानिकर है, वेंचुरी लंबी, महँगी व दक्ष — अतः मुख्य नलिका पर स्थायी संस्थापन हेतु वेंचुरी चुनी जाती है जहाँ हानि की पंपन-लागत प्रतिदिन चुकाई जाती है, और अस्थायी अथवा कभी-कभार के माप हेतु छिद्र। यह भी ध्यान दें कि शीर्ष-अंतर बहते तरल के मीटरों में व्यक्त होना चाहिए; पारे में मैनोमीटर का पाठ पहले आपेक्षिक घनत्वों के अनुपात से परिवर्तित करना पड़ता है, जो खोए अंकों का नियमित स्रोत है।

7. घर्षण गुणक संबंध f = 64/Re लागू होता है

   1. समस्त नलिका प्रवाह पर, स्तरीय व विक्षुब्ध
   2. केवल स्तरीय नलिका प्रवाह पर, जो जल-प्रदाय की नलिकाएँ वस्तुतः कभी नहीं दिखातीं
   3. केवल चिकनी नलिकाओं में विक्षुब्ध प्रवाह पर
   4. खुली नालिका के प्रवाह पर
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — केवल स्तरीय नलिका प्रवाह पर, जो जल-प्रदाय की नलिकाएँ वस्तुतः कभी नहीं दिखातीं

   केवल स्तरीय नलिका प्रवाह पर — और जल-नलिकाएँ वस्तुतः कभी स्तरीय नहीं चलतीं। संबंध पूर्णतः विकसित स्तरीय प्रवाह की परवलयिक वेग-परिच्छेदिका के समाकलन से निकलता है, अतः वह संक्रमण से नीचे कठोरता से टिकता है, परिपाटीगत रूप से Re ≈ 2000। जाँचें कि वह व्यवस्था व्यवहार में पहुँच-योग्य है क्या। ν = 10⁻⁶ m²/s सहित 1 m/s पर जल वहन करती 300 mm की मुख्य नलिका में Re = VD/ν = 300 000 — संक्रमण से दो कोटि आगे। उसी नलिका को स्तरीय परिसर में लाने हेतु वेग को 2000 × 10⁻⁶/0.3 = 0.0067 m/s से नीचे गिरना पड़ता, अर्थात् 6.7 मिलीमीटर प्रति सेकंड, जो ऐसा प्रवाह नहीं जिसके लिए कोई अभिकल्प करे। अतः विकल्प A दो बार गलत है: संबंध सार्वत्रिक नहीं, और वह जिस व्यवस्था का वर्णन करता है वह वह नहीं जिसमें सिविल की नलिकाएँ हैं। विकल्प C गलत सूत्र हेतु सही व्यवस्था का नाम लेता है — चिकनी नलिकाओं में विक्षुब्ध प्रवाह के अपने सहसंबंध हैं, जैसे ब्लेसियस f = 0.316 Re^(−0.25), और उसके आगे कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण अथवा मूडी चार्ट, जो सापेक्ष खुरदरापन k/D लाते हैं। खुरदरेपन पर वही निर्भरता व्यावहारिक बिंदु है: स्तरीय प्रवाह में भित्ति की खुरदरापन प्रकट ही नहीं होती, क्योंकि भित्ति के निकट प्रवाह व्यवस्थित है और उभार श्यान परत के भीतर बैठते हैं, जबकि विक्षुब्ध प्रवाह में वे उसमें उभरते हैं और उच्च Re पर हानि पर हावी रहते हैं। विकल्प D पूर्णतः भिन्न कुल का है — खुली नालिकाएँ मैनिंग अथवा शेज़ी प्रयोग करती हैं, जिनमें प्रतिरोध-गुणांक भिन्न विमाएँ वहन करता है और व्यास का स्थान जलीय त्रिज्या ले लेती है। स्तरीय प्रवाह श्यान तेलों, भूजल अंतःस्रवण व प्रयोगशाला हेतु जानने योग्य है, उर्ध्वगामी नलिका हेतु नहीं।

8. मुख्य नलिका से होकर जल पंप किया जाता है। निम्नलिखित में कौन सत्य हैं? (एक अथवा अधिक)

   1. प्रवाह-दर दोगुनी करना घर्षण शीर्ष-हानि चौगुनी करता है
   2. प्रवाह-दर दोगुनी करना पंपन शक्ति को आठ से गुणा करता है
   3. बोर 10% घटाना उसी शीर्ष-हानि पर क्षमता लगभग 23% घटाता है
   4. निमग्न द्वार पर दाब केंद्र उसके केंद्रक से ऊपर स्थित है
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — प्रवाह-दर दोगुनी करना घर्षण शीर्ष-हानि चौगुनी करता है; B — प्रवाह-दर दोगुनी करना पंपन शक्ति को आठ से गुणा करता है; C — बोर 10% घटाना उसी शीर्ष-हानि पर क्षमता लगभग 23% घटाता है

   A, B तथा C। तीनों डार्सी-वाइसबाख से निकलते हैं जब वह निस्सरण के पदों में लिखा जाए, h_f = 8fLQ²/(π²gD⁵)। A: h_f ∝ Q², अतः प्रवाह दोगुना करना हानि चौगुनी करता है — हल की गई मुख्य नलिका पर 3.40 m से 13.59 m तक। B: पंपन शक्ति ρgQh_f है, और यदि Q दोगुना हो जबकि h_f चौगुना, तो शक्ति आठ से चढ़ती है। वही घन-नियम जल-प्रदाय अर्थशास्त्र का सर्वाधिक परिणामकारी एक संबंध है — इसीलिए अभिकल्प-वेग 1 से 2 m/s के निकट रखे जाते हैं, और इसीलिए तनिक बड़ी नलिका अभिकल्प-आयु पर सामान्यतः तनिक बड़े पंप को हरा देती है। C: नियत शीर्ष-हानि पर Q ∝ D^2.5, अतः 0.9D तक घटा बोर प्रवाह का 0.9^2.5 = 0.768 वहन करता है, व्यास की 10 प्रतिशत हानि हेतु 23.2 प्रतिशत की हानि। वही चरम संवेदनशीलता इसका कारण है कि पुरानी नलिकाओं में गाँठ व पपड़ी अखंडता को संकट में डालने से बहुत पहले क्षमता नष्ट कर देती हैं, और वही घातांक समांतर की दो 300 mm नलिकाओं को एकल 344.6 mm वाली के तुल्य बनाता है। D असत्य है और इस अध्याय के प्रथम खंड का है: दाब केंद्र सदा केंद्रक से नीचे है, h_cp = h̄ + I_G/(A h̄) पर, क्योंकि दाब बिना अपवाद गहराई के साथ बढ़ता है, अतः जोड़ा गया पद निश्चित रूप से धनात्मक है। द्वार के गहरा जाने पर वह केंद्रक के निकट आता है — h̄ = 2 m पर 167 mm नीचे और h̄ = 10 m पर केवल 33 mm नीचे — किंतु वह उस तक कभी नहीं पहुँचता और कभी उससे ऊपर नहीं चढ़ता।