अनेक चरों के फलन: सीमा, दिशात्मक अवकलज, टेलर प्रमेय, चरम मान, लाग्रांज गुणक व बहु-समाकल

GATE सांख्यिकी पेपर के खंड 1 का दूसरा अनुच्छेद अनेक-चर कलन है: सीमा, सांतत्य, आंशिक व दिशात्मक अवकलज, प्रवणता, टेलर प्रमेय, सम्पूर्ण अवकलज, उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ व पल्याण बिंदु, लाग्रांज गुणक विधि, तथा द्वि- व त्रि-समाकल व उनके अनुप्रयोग। साझा बहुचर अध्याय आंशिक अवकलज, द्वितीय-अवकलज परीक्षण व बहु-समाकलों का मूल्यांकन पढ़ाता है; यह अध्याय उसके आगे वे भाग जोड़ता है जो सांख्यिकीविद् को चाहिए — आंशिक अवकलज वहाँ भी क्यों विद्यमान हो सकते हैं जहाँ फलन संतत तक नहीं, दिशात्मक अवकलज ∇f · u के रूप में, टेलर प्रमेय व हेसियन, लाग्रांज गुणकों से प्रतिबंधित अनुकूलन (प्रतिबंध के अधीन संभाविता अधिकतम करने के पीछे की विधि), तथा जैकोबियन चर-परिवर्तन जो द्वि-समाकल को प्रायिकता में बदलता है।

1. अनेक चरों में सीमा व सांतत्य

lim(x,y)→(a,b) f = L का अर्थ है 0 < ‖(x, y) − (a, b)‖ < δ होने पर |f − L| < ε — एक साथ प्रत्येक पथ के अनुदिश। अतः एक पथ का भिन्न मान देना, या पथों का ऐसा कुल जो पथ पर निर्भर मान दे, सिद्ध करता है कि सीमा विद्यमान नहीं। f = xy/(x² + y²) हेतु रेखा y = mx से m/(1 + m²) मिलता है, जो m के साथ बदलता है: मूल बिंदु पर सीमा नहीं। f = x²y/(x² + y²) हेतु ध्रुवीय निर्देशांक |f| = r|cos²θ sin θ| ≤ r → 0 देते हैं, और सीमा 0 है।

⚠️ सरल रेखाएँ पर्याप्त नहीं
प्रत्येक सरल रेखा के अनुदिश सहमति सीमा सिद्ध नहीं करती। f = x²y/(x⁴ + y²) प्रत्येक रेखा y = mx के अनुदिश 0 की ओर जाता है, पर परवलय y = x² के अनुदिश 1/2 के बराबर है। सीमा का अस्तित्व सिद्ध करने हेतु |f − L| को केवल दूरी r पर निर्भर किसी राशि से परिबद्ध करें, जैसा ध्रुवीय तर्क करता है।

2. आंशिक अवकलज, दिशात्मक अवकलज, प्रवणता व सम्पूर्ण अवकलज

इकाई सदिश u की दिशा में a पर f का दिशात्मक अवकलज D_u f(a) = limh→0 [f(a + hu) − f(a)]/h है। जब f अवकलनीय हो, D_u f = ∇f · u, जहाँ ∇f = (f_x, f_y, f_z) प्रवणता है। इससे निकलता है कि f, ∇f की दिशा में ‖∇f‖ दर से सबसे तेज़ बढ़ता है, और उसके लंबवत दिशाओं में बिल्कुल नहीं — अतः ∇f समतल पृष्ठों f = c पर अभिलंब है। (1, 1, 1) पर f = x²y + yz³ हेतु ∇f = (2xy, x² + z³, 3yz²) = (2, 2, 3); दिशा (1, 2, 2)/3 में अवकलज (2 + 4 + 6)/3 = 4 है।

f बिंदु a पर अवकलनीय है यदि किसी रैखिक प्रतिचित्रण L हेतु f(a + h) = f(a) + L(h) + o(‖h‖) — सम्पूर्ण अवकलज, जिसका आव्यूह आंशिक अवकलजों का जैकोबियन है (अदिश f हेतु पंक्ति ∇f)। अवकलनीय ⇒ संतत व सभी दिशात्मक अवकलज विद्यमान। संतत आंशिक अवकलज ⇒ अवकलनीय (पर्याप्त प्रतिबंध)। विलोम शृंखला प्रत्येक चरण पर विफल है: f = xy/(x² + y²), f(0, 0) = 0 में f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0, क्योंकि f दोनों अक्षों पर शून्य है, फिर भी वह मूल बिंदु पर संतत नहीं, अवकलनीय तो दूर।

किसी बिंदु पर क्या किसका निहितार्थ है
कथननिहितार्थनिहितार्थ नहीं
a के निकट आंशिक अवकलज संततa पर अवकलनीय—
a पर अवकलनीयसंतत; सभी u हेतु D_u f = ∇f · uसंतत आंशिक अवकलज
a पर आंशिक अवकलज विद्यमानअन्य दिशाओं के विषय में कुछ नहींसांतत्य, अवकलनीयता

3. टेलर प्रमेय, हेसियन, तथा उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ व पल्याण बिंदु

अनेक चरों में द्वितीय कोटि तक टेलर प्रमेय: f(a + h) = f(a) + ∇f(a) · h + ½ hᵀ H(a) h + o(‖h‖²), जहाँ H = [∂²f/∂xᵢ∂xⱼ] हेसियन है, जो द्वितीय आंशिक अवकलज संतत होने पर सममित होता है। (0, 0) के परितः e^x cos y हेतु: f = 1, ∇f = (1, 0), H = [[1, 0], [0, −1]], अतः f ≈ 1 + x + (x² − y²)/2।

क्रांतिक बिंदु ∇f = 0 पर द्विघात पद निर्णय करता है: H धनात्मक निश्चित ⇒ निरपेक्ष स्थानीय निम्निष्ठ; ऋणात्मक निश्चित ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ; अनिश्चित (दोनों चिह्नों के आइगेन-मान) ⇒ पल्याण बिंदु; अर्धनिश्चित ⇒ परीक्षण मौन। दो चरों में r = f_xx, s = f_xy, t = f_yy सहित: rt − s² > 0 व r > 0 निम्निष्ठ, rt − s² > 0 व r < 0 उच्चिष्ठ, rt − s² < 0 पल्याण। f = x³ + y³ − 3xy हेतु ∇f = 0 से (0, 0) व (1, 1); (0, 0) पर rt − s² = −9, पल्याण; (1, 1) पर यह 36 − 9 = 27 है व r = 6, मान −1 का स्थानीय निम्निष्ठ।

⚠️ विफल परीक्षण "कोई नहीं" नहीं है
x⁴ + y⁴ व x⁴ − y⁴ दोनों का मूल बिंदु पर हेसियन शून्य है, अतः दोनों हेतु rt − s² = 0 — फिर भी पहले का वहाँ निरपेक्ष निम्निष्ठ है और दूसरे का पल्याण। हेसियन अव्युत्क्रमणीय हो तो उस बिंदु से होकर रेखाओं के अनुदिश स्वयं फलन को देखिए।

4. लाग्रांज गुणक विधि

g = c के अधीन f के चरम मान ज्ञात करने हेतु वे बिंदु खोजें जहाँ f का समतल वक्र प्रतिबंध को स्पर्श करे: ∇f = λ∇g, g = c के साथ। अनेक प्रतिबंधों सहित ∇f = Σλᵢ∇gᵢ। गुणक λ वह दर है जिससे इष्टतम मान c के साथ बदलता है। x + y + z = 12 (धनात्मक चर) के अधीन xyz अधिकतम करना: yz = xz = xy = λ से x = y = z = 4 व अधिकतम 64। x + 2y + 2z = 6 के अधीन x² + y² + z² न्यूनतम करना: (2x, 2y, 2z) = λ(1, 2, 2) से (x, y, z) = (2/3, 4/3, 4/3) व न्यूनतम 4, मूल बिंदु से समतल तक की वर्गित दूरी 6²/(1 + 4 + 4)।

ℹ️ प्रतिबंध के अधीन संभाविता
गणनाओं n₁, …, n_k वाले बहुपद बंटन में Σpᵢ = 1 के अधीन Σnᵢ ln pᵢ अधिकतम करें: प्रत्येक i हेतु nᵢ/pᵢ = λ, अतः pᵢ ∝ nᵢ व λ = n, जिससे p̂ᵢ = nᵢ/n। यही गणना, एक दूसरे प्रतिबंध सहित, अधिकतम-एन्ट्रॉपी बंटन देती है।

5. द्वि- व त्रि-समाकल, जैकोबियन, व अनुप्रयोग

फ़ूबिनी: किसी क्षेत्र पर समाकलनीय f हेतु द्वि-समाकल किसी भी पुनरावृत्त समाकल के बराबर है, अतः क्रम बदला जा सकता है — और बदलना असंभव आंतरिक समाकल को संभव बना सकता है। ∫₀¹∫ₓ¹ ey² dy dx का कोई प्रारंभिक आंतरिक समाकल नहीं; उसी त्रिभुज 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 पर दूसरे क्रम में यह ∫₀¹ y ey² dy = (e − 1)/2 ≈ 0.859 है।

चर-परिवर्तन: यदि (x, y) = T(u, v) एकैकी व निष्कोण हो, तो dx dy = |J| du dv, जहाँ J = ∂(x, y)/∂(u, v)। ध्रुवीय: |J| = r; बेलनाकार: r; गोलीय: ρ² sin φ। ध्रुवीय परिवर्तन ∫∫ℝ² e−(x²+y²) dx dy = ∫₀2π∫₀^∞ e−r² r dr dθ = π देता है, अतः ∫_ℝ e−x² dx = √π — प्रसामान्य घनत्व का प्रसामान्यीकरण नियतांक।

  • क्षेत्रफल व आयतन: क्षेत्रफल = ∫∫_R dA; z = f(x, y) के नीचे आयतन = ∫∫_R f dA; ठोस का आयतन = ∫∫∫ dV।
  • द्रव्यमान व केन्द्रक: घनत्व ρ सहित द्रव्यमान = ∫∫ρ dA तथा x̄ = ∫∫xρ dA / द्रव्यमान।
  • प्रायिकता: संयुक्त घनत्व f(x, y) हेतु P((X, Y) ∈ A) = ∫∫_A f। इकाई वर्ग पर f = x + y सहित P(X ≤ 1/2) = ∫₀1/2(x + 1/2) dx = 1/8 + 1/4 = 3/8।

मुख्य बिंदु

  • दो-चर सीमा प्रत्येक पथ के अनुदिश समान होनी चाहिए; असहमत दो पथ उसे खंडित करते हैं, और केवल r पर निर्भर परिबंध उसे सिद्ध करता है।
  • इकाई सदिश u हेतु D_u f = ∇f · u; अधिकतम दर ∇f की दिशा में ‖∇f‖ है।
  • संतत आंशिक अवकलज ⇒ अवकलनीय ⇒ संतत; आंशिक अवकलजों का मात्र अस्तित्व किसी का निहितार्थ नहीं (xy/(x² + y²))।
  • ∇f = 0 पर: हेसियन धनात्मक निश्चित → निम्निष्ठ, ऋणात्मक निश्चित → उच्चिष्ठ, अनिश्चित → पल्याण, अव्युत्क्रमणीय → परीक्षण मौन।
  • लाग्रांज: g = c सहित ∇f = λ∇g; बहुपद MLE p̂ᵢ = nᵢ/n यही विधि है।
  • dx dy = |J| du dv (ध्रुवीय r, गोलीय ρ² sin φ); ध्रुवीय परिवर्तन ∫e−x² = √π देता है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. f(x, y) = xy/(x² + y²) हेतु (x, y) → (0, 0) पर f की सीमा:

    1. 0 है
    2. 1/2 है
    3. विद्यमान नहीं है
    4. 1 है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — विद्यमान नहीं है

    y = mx के अनुदिश f = m/(1 + m²): x-अक्ष (m = 0) के अनुदिश 0 व y = x के अनुदिश 1/2। दो पथ भिन्न मान देते हैं, अतः सीमा नहीं। 0 उत्तर केवल अक्षों को जाँचता है, जहाँ f सर्वथा शून्य है।

  2. (1, 1, 1) पर सदिश (1, 2, 2) की दिशा में f(x, y, z) = x²y + yz³ का दिशात्मक अवकलज ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    (1, 1, 1) पर ∇f = (2xy, x² + z³, 3yz²) = (2, 2, 3)। इकाई सदिश (1, 2, 2)/3 है, अतः D_u f = (2 + 4 + 6)/3 = 4। प्रसामान्यीकरण भूलने पर 12 आता है, तीन गुना अधिक।

  3. बिंदु (3, 4) पर f(x, y) = x² + y² की परिवर्तन की अधिकतम दर ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    अधिकतम दिशात्मक अवकलज ‖∇f‖ = ‖(2x, 2y)‖ = ‖(6, 8)‖ = 10 है, दिशा (3, 4)/5 में। 5, मूल बिंदु तक दूरी, उत्तर प्रवणता को स्थिति सदिश से भ्रमित करता है।

  4. मान लें (x, y) ≠ (0, 0) हेतु f(x, y) = xy/(x² + y²) व f(0, 0) = 0। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. f_x(0, 0) विद्यमान है और 0 के बराबर है
    2. f, (0, 0) पर संतत है
    3. f, (0, 0) पर अवकलनीय है
    4. f_y(0, 0) विद्यमान है और 0 के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — f_x(0, 0) विद्यमान है और 0 के बराबर है; D — f_y(0, 0) विद्यमान है और 0 के बराबर है

    (A), (D) सभी h हेतु f(h, 0) = 0 व f(0, h) = 0, अतः दोनों अंतर-भागफल 0 हैं। (B) y = x के अनुदिश f = 1/2 ≠ f(0, 0): संतत नहीं। (C) अवकलनीयता सांतत्य का निहितार्थ है, अतः वह भी विफल। यह मानक प्रति-उदाहरण है: आंशिक अवकलज विद्यमान हैं, फिर भी फलन संतत तक नहीं।

  5. f(x, y) = x³ + y³ − 3xy का उसके स्थानीय निम्निष्ठ पर मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -1

    f_x = 3x² − 3y = 0 व f_y = 3y² − 3x = 0 से (0, 0) व (1, 1)। (1, 1) पर: r = 6x = 6, t = 6, s = −3, rt − s² = 27 > 0 व r > 0, निम्निष्ठ, और f = 1 + 1 − 3 = −1। (0, 0) पर rt − s² = −9 < 0 — पल्याण, अतः वहाँ का मान 0 उत्तर नहीं। उत्तर -1 के रूप में टाइप करें।

  6. मूल बिंदु पर f(x, y) = x⁴ + y⁴ हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. (0, 0) एक क्रांतिक बिंदु है
    2. वहाँ द्वितीय-अवकलज परीक्षण (rt − s²) अनिर्णायक है
    3. (0, 0) निरपेक्ष स्थानीय निम्निष्ठ है
    4. (0, 0) पल्याण बिंदु है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (0, 0) एक क्रांतिक बिंदु है; B — वहाँ द्वितीय-अवकलज परीक्षण (rt − s²) अनिर्णायक है; C — (0, 0) निरपेक्ष स्थानीय निम्निष्ठ है

    मूल बिंदु पर ∇f = (4x³, 4y³) = 0। वहाँ सभी द्वितीय आंशिक अवकलज शून्य हैं, अतः rt − s² = 0 और परीक्षण कुछ नहीं कहता। पर प्रत्येक अन्य बिंदु पर f > 0 = f(0, 0), अतः मूल बिंदु निरपेक्ष निम्निष्ठ है, पल्याण नहीं। x⁴ − y⁴ से तुलना करें, जिसका वही शून्य हेसियन है और जो पल्याण है।

  7. x + y + z = 12 के अधीन धनात्मक x, y, z हेतु xyz का अधिकतम मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 64

    ∇(xyz) = λ∇(x + y + z) से yz = xz = xy = λ, अतः x = y = z = 4 व xyz = 64। समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका पुष्टि करती है: xyz ≤ ((x + y + z)/3)³ = 64। 48 (= 4 × 12) उत्तर गलत राशियों का गुणन है।

  8. x + 2y + 2z = 6 के अधीन x² + y² + z² का न्यूनतम मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    (2x, 2y, 2z) = λ(1, 2, 2) से x = λ/2, y = z = λ; प्रतिबंध से λ/2 + 4λ = 6, λ = 4/3, अतः (x, y, z) = (2/3, 4/3, 4/3) व x² + y² + z² = 4/9 + 16/9 + 16/9 = 4। ज्यामितीय रूप से यह समतल तक वर्गित दूरी 6²/9 = 4 है; 2 उत्तर दूरी देता है, उसका वर्ग नहीं।

  9. इकाई चक्रिका x² + y² ≤ 1 पर ∫∫ e−(x² + y²) dx dy का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.99

    ध्रुवीय निर्देशांकों में: ∫₀2π∫₀¹ e−r² r dr dθ = 2π × [−e−r²/2]₀¹ = π(1 − e−1) = 3.1416 × 0.6321 = 1.986 → 1.99। जैकोबियन r छोड़ने पर ∫₀¹e−r² dr बचता है, जिसका कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं — r ही समाकल को संभव बनाता है।

  10. ∫₀¹ ∫ₓ¹ ey² dy dx का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.86

    क्षेत्र 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 है। क्रम उलटने पर: ∫₀¹ ∫₀^y ey² dx dy = ∫₀¹ y ey² dy = (e − 1)/2 = 0.859 → 0.86। दिए क्रम पर टिके रहना ∫ey² dy पर अटकता है, जो क्रम बदलने का संकेत है।

  11. x = r cos θ, y = r sin θ के अंतर्गत अवयव dx dy बनता है:

    1. r dr dθ
    2. dr dθ
    3. r² dr dθ
    4. r sin θ dr dθ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — r dr dθ

    ∂(x, y)/∂(r, θ) = det[[cos θ, −r sin θ], [sin θ, r cos θ]] = r cos²θ + r sin²θ = r। गुणक r² sin φ त्रि-विमीय गोलीय निर्देशांकों का है; अकेला dr dθ जैकोबियन पूर्णतः भूलता है।

  12. (X, Y) का संयुक्त घनत्व इकाई वर्ग 0 < x, y < 1 पर f(x, y) = x + y है। P(X ≤ 1/2), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.375

    पहले y पर समाकलन: ∫₀¹(x + y) dy = x + 1/2, X का उपांत घनत्व। फिर ∫₀1/2(x + 1/2) dx = 1/8 + 1/4 = 3/8 = 0.375। 0.5 उत्तर X को एकसमान मानता है; उसका उपांत घनत्व x + 1/2, 1 के निकट अधिक द्रव्यमान रखता है।

  13. (0, 0) के परितः f(x, y) = eˣ cos y का द्वितीय-कोटि टेलर बहुपद है:

    1. 1 + x + (x² − y²)/2
    2. 1 + x + (x² + y²)/2
    3. 1 + x − y + (x² − y²)/2
    4. 1 + x + x² − y²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1 + x + (x² − y²)/2

    f(0, 0) = 1, f_x = 1, f_y = −eˣ sin y = 0, f_xx = 1, f_xy = 0, f_yy = −1। अतः f ≈ 1 + x + ½(x² − y²)। "+y²" विकल्प f_yy का चिह्न गलत लेता है, और ½ छोड़ना भूलता है कि द्विघात पद ½hᵀHh है।

  14. f(x, y) = x² + 4xy + y² हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. (0, 0) एक क्रांतिक बिंदु है
    2. (0, 0) पर हेसियन अनिश्चित है
    3. (0, 0) पल्याण बिंदु है
    4. (0, 0) स्थानीय निम्निष्ठ है क्योंकि f_xx > 0 व f_yy > 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (0, 0) एक क्रांतिक बिंदु है; B — (0, 0) पर हेसियन अनिश्चित है; C — (0, 0) पल्याण बिंदु है

    ∇f = (2x + 4y, 4x + 2y) = 0 केवल मूल बिंदु पर। H = [[2, 4], [4, 2]] का सारणिक 4 − 16 = −12 < 0, आइगेन-मान 6 व −2: अनिश्चित, अतः पल्याण — y = −x के अनुदिश f = −2x² < 0। धनात्मक विकर्ण प्रविष्टियाँ आव्यूह को धनात्मक निश्चित नहीं बनातीं; मिश्र पद हावी है।