आव्यूह सिद्धांत: उपसमष्टियाँ, कोटि, आंतर गुणन व ग्राम–श्मिट, विशेष आव्यूह, समरूपता, निश्चितता व अनन्य मान वियोजन

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 2 आव्यूह सिद्धांत है, और वह ℝⁿ व ℂⁿ दोनों पर रैखिक बीजगणित के प्रथम पाठ्यक्रम जैसा है। साझा रैखिक बीजगणित व सदिश समष्टि अध्याय कोटि व संगतता, आइगेन-मान के लघु मार्ग, केली–हैमिल्टन, LU, द्विघात रूप व अनन्य मान पढ़ाते हैं; यह अध्याय वह जोड़ता है जो सांख्यिकी सूची उनसे आगे नामित करती है: उपसमष्टियाँ, विस्तृति (span), आधार व विमा, पंक्ति व स्तंभ समष्टियाँ तथा पंक्ति-समानीत सोपानक रूप; ℝⁿ व ℂⁿ में आंतर गुणन तथा ग्राम–श्मिट प्रसामान्य-लांबिकीकरण; सममित, विषम-सममित, हर्मिटी, विषम-हर्मिटी, लांबिक व ऐकिक आव्यूहों के आइगेन-मान; आधार-परिवर्तन, तुल्यता व समरूपता; धनात्मक निश्चित व अर्धनिश्चित आव्यूहों के गुण; तथा अनन्य मान वियोजन। आगे के खंडों का प्रत्येक सहप्रसरण आव्यूह एक धनात्मक अर्धनिश्चित सममित आव्यूह है, और प्रत्येक समाश्रयण एक प्रक्षेप — दोनों की तैयारी इसी अध्याय में है।

1. उपसमष्टियाँ, विस्तृति, आधार, विमा, पंक्ति व स्तंभ समष्टियाँ, तथा कोटि

ℝⁿ या ℂⁿ की उपसमष्टि एक अरिक्त समुच्चय है जो योग व अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत हो (अतः उसमें 0 है)। सदिशों की विस्तृति (span) उनके रैखिक संयोजनों का समुच्चय है, उन्हें समाविष्ट करने वाली सबसे छोटी उपसमष्टि। सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं यदि 0 देने वाला एकमात्र संयोजन तुच्छ हो; आधार एक स्वतंत्र विस्तारक समुच्चय है, और सभी आधारों का आकार समान होता है, विमा। उपसमष्टियों U, W हेतु: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W) — अतः ℝ⁵ में 3-विमीय व 4-विमीय उपसमष्टियाँ, जिनका योग ℝ⁵ हो, एक 2-विमीय उपसमष्टि में मिलती हैं।

m × n आव्यूह A की पंक्ति समष्टि व स्तंभ समष्टि की विमा समान है, कोटि; शून्य समष्टि {x : Ax = 0} की विमा n − कोटि है, शून्यता। पंक्ति संक्रियाएँ पंक्ति समष्टि व शून्य समष्टि को संरक्षित रखती हैं (स्तंभ समष्टि को नहीं), और A को उसके अद्वितीय पंक्ति-समानीत सोपानक रूप (RREF) तक घटाती हैं: अग्रणी 1, उनके ऊपर-नीचे शून्य, प्रत्येक अग्रणी 1 ऊपर वाले के दाहिने। A के पिवट स्तंभ — मूल स्तंभ, RREF के नहीं — स्तंभ समष्टि का आधार बनाते हैं। संगत Ax = b का हल-समुच्चय एक विशेष हल और शून्य समष्टि का योग है।

  • ट्रेस: tr(A + B) = tr A + tr B तथा tr(AB) = tr(BA), AB ≠ BA होने पर भी; tr A = आइगेन-मानों का योग।
  • सारणिक: det(AB) = det A det B, det Aᵀ = det A, n × n हेतु det(cA) = cⁿ det A; det A = आइगेन-मानों का गुणनफल। व्यापकतः det(A + B) ≠ det A + det B।
  • प्रतिलोम: विद्यमान यदि और केवल यदि det A ≠ 0 यदि और केवल यदि कोटि n; A⁻¹ = adj A/det A; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ।
  • rank(AB) ≤ min(rank A, rank B), rank(AᵀA) = rank A, rank(A + B) ≤ rank A + rank B।

2. आंतर गुणन व ग्राम–श्मिट प्रसामान्य-लांबिकीकरण

मानक आंतर गुणन ℝⁿ पर ⟨x, y⟩ = Σxᵢyᵢ तथा ℂⁿ पर ⟨x, y⟩ = Σxᵢȳᵢ = y*x है, संयुग्मी सहित ताकि ⟨x, x⟩ = Σ|xᵢ|² ≥ 0। यह प्रथम तर्क में रैखिक, संयुग्मी-सममित (⟨y, x⟩ = conj⟨x, y⟩) व धनात्मक निश्चित है। कौशी–श्वार्ज़: |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖‖y‖, समता यदि और केवल यदि x व y आश्रित हों — सांख्यिकी में, सहसंबंध के [−1, 1] में होने का कारण। इकाई सदिश e पर v का प्रक्षेप ⟨v, e⟩e है।

ग्राम–श्मिट स्वतंत्र v₁, …, v_k को उनकी विस्तृति के प्रसामान्य-लांबिक आधार में बदलता है: w₁ = v₁, wⱼ = vⱼ − Σi<j ⟨vⱼ, eᵢ⟩eᵢ, eⱼ = wⱼ/‖wⱼ‖। v₁ = (1, 1, 0), v₂ = (1, 0, 1) हेतु: e₁ = (1, 1, 0)/√2; ⟨v₂, e₁⟩ = 1/√2, अतः w₂ = (1, 0, 1) − ½(1, 1, 0) = (½, −½, 1), ‖w₂‖² = 3/2 सहित, और e₂ = (1, −1, 2)/√6। परिणाम को A = QR लिखना, Q प्रसामान्य-लांबिक स्तंभों व R ऊपरी त्रिभुजाकार सहित, QR वियोजन है।

3. आइगेन-मान, केली–हैमिल्टन व विशेष आव्यूह

आइगेन-मान n घात के अभिलक्षणिक बहुपद det(λI − A) के मूल हैं; उनका योग ट्रेस व गुणनफल सारणिक है। केली–हैमिल्टन: A अपने ही अभिलक्षणिक बहुपद को संतुष्ट करता है। A = [[2, 1], [1, 2]] हेतु λ² − 4λ + 3 = 0, अतः A² = 4A − 3I व A⁻¹ = (4I − A)/3; आइगेन-मान 3 व 1 होने से tr A⁵ = 3⁵ + 1 = 244।

विशेष आव्यूह व उनके आइगेन-मान
आव्यूहपरिभाषाआइगेन-मान
वास्तविक सममितAᵀ = Aवास्तविक; लांबिक आइगेन-सदिश
हर्मिटीA* = Aवास्तविक; लांबिक आइगेन-सदिश
वास्तविक विषम-सममितAᵀ = −Aशुद्ध काल्पनिक या 0
विषम-हर्मिटीA* = −Aशुद्ध काल्पनिक या 0
लांबिकAᵀA = I|λ| = 1; det = ±1
ऐकिकA*A = I|λ| = 1
वर्गसमA² = A0 या 1; ट्रेस = कोटि

प्रमाण एक-एक पंक्ति के हैं: यदि x ≠ 0 सहित Ax = λx व A हर्मिटी हो, तो λ‖x‖² = xAx वास्तविक है क्योंकि (xAx)* = xAx = x*Ax। यदि A ऐकिक हो, ‖Ax‖ = ‖x‖ से |λ| = 1। विषम कोटि के वास्तविक लांबिक आव्यूह का सदा एक वास्तविक आइगेन-मान होता है, जो ±1 होना चाहिए, क्योंकि सम्मिश्र आइगेन-मान संयुग्मी युग्मों में आते हैं।

4. आधार-परिवर्तन, तुल्यता, समरूपता व विकर्णनीयता

यदि व्युत्क्रमणीय P के स्तंभ नया आधार हों, तो पुराने निर्देशांक x वाले सदिश के नए निर्देशांक P⁻¹x हैं, और पुराने आधार में आव्यूह A वाले रैखिक प्रतिचित्रण का नए में आव्यूह P⁻¹AP है — कार्यरत आधार-परिवर्तन आव्यूह। A व B समरूप हैं यदि B = P⁻¹AP; तब उनका अभिलक्षणिक बहुपद, आइगेन-मान (बीजीय व ज्यामितीय बहुलताओं सहित), ट्रेस, सारणिक व कोटि समान होते हैं — पर आइगेन-सदिश नहीं, जो P⁻¹ से रूपांतरित होते हैं। A व B तुल्य हैं यदि व्युत्क्रमणीय P, Q हेतु B = PAQ; तुल्यता केवल कोटि संरक्षित करती है, और समान आकार के दो आव्यूह तुल्य हैं यदि और केवल यदि उनकी कोटि समान हो।

A विकर्णनीय है — किसी विकर्ण आव्यूह के समरूप — यदि और केवल यदि उसके n स्वतंत्र आइगेन-सदिश हों, यदि और केवल यदि प्रत्येक आइगेन-मान की ज्यामितीय बहुलता उसकी बीजीय बहुलता के बराबर हो। भिन्न आइगेन-मान पर्याप्त हैं; हर्मिटी (और व्यापकतः, सामान्य: AA* = A*A) आव्यूह ऐकिकतः विकर्णनीय हैं, A = UDU*। तब Aᵏ = PDᵏP⁻¹। आइगेन-मान 5 व 2 वाले A = [[4, 1], [2, 3]] हेतु A³ = [[86, 39], [78, 47]], जिसका ट्रेस 133 = 5³ + 2³ अंकगणित की जाँच करता है।

⚠️ समान निश्चर, फिर भी समरूप नहीं
[[1, 1], [0, 1]] व I का अभिलक्षणिक बहुपद (λ − 1)², ट्रेस, सारणिक व कोटि समान हैं, पर वे समरूप नहीं: प्रत्येक P हेतु P⁻¹IP = I, अतः I के समरूप एकमात्र आव्यूह स्वयं I है। निश्चरों का मिलना समरूपता हेतु आवश्यक है, कभी पर्याप्त नहीं। दोनों तुल्य अवश्य हैं, क्योंकि दोनों की कोटि 2 है।

5. धनात्मक निश्चित व अर्धनिश्चित आव्यूह, द्विघात रूप व SVD

हर्मिटी (वास्तविक सममित) A धनात्मक निश्चित (PD) है यदि सभी x ≠ 0 हेतु x*Ax > 0 तथा धनात्मक अर्धनिश्चित (PSD) यदि x*Ax ≥ 0। PD हेतु समतुल्य परीक्षण: सभी आइगेन-मान धनात्मक; सभी अग्रणी मुख्य उपसारणिक धनात्मक (सिल्वेस्टर); किसी व्युत्क्रमणीय B हेतु A = BᵀB (चोलेस्की, B त्रिभुजाकार)। PSD हेतु: सभी आइगेन-मान ≥ 0; सभी मुख्य उपसारणिक ≥ 0; किसी B हेतु A = BᵀB। परिणाम: PD आव्यूह की विकर्ण प्रविष्टियाँ धनात्मक, सारणिक धनात्मक व प्रतिलोम PD होता है; PD आव्यूहों का योग PD है; |aᵢⱼ|² ≤ aᵢᵢaⱼⱼ। प्रत्येक सहप्रसरण आव्यूह PSD है, क्योंकि Var(aᵀX) = aᵀΣa ≥ 0।

⚠️ अग्रणी उपसारणिक केवल निश्चितता हेतु पर्याप्त हैं
diag(0, −1) के अग्रणी मुख्य उपसारणिक 0 व 0 हैं, दोनों अऋणात्मक, फिर भी वह PSD नहीं (e₂ᵀAe₂ = −1)। अर्धनिश्चितता को प्रत्येक मुख्य उपसारणिक ≥ 0 चाहिए — यहाँ 1 × 1 उपसारणिक −1 विफल है। अऋणात्मक अग्रणी उपसारणिक PSD का निहितार्थ नहीं।

द्विघात रूप q(x) = xᵀAx सममित A से लिखा जाता है: 2x² + 6xy + 5y² का A = [[2, 3], [3, 5]], सारणिक 1 > 0 व a₁₁ > 0, अतः यह धनात्मक निश्चित है। अनन्य मान वियोजन A = UΣV* प्रत्येक m × n आव्यूह हेतु सत्य है, U, V ऐकिक व Σ विकर्ण सहित, σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0, अनन्य मान — A*A के आइगेन-मानों के वर्गमूल। अशून्य σᵢ की संख्या कोटि है, σ₁ = max ‖Ax‖/‖x‖, तथा Σσᵢ² = Σ|aᵢⱼ|²। A = [[3, 0], [4, 5]] हेतु AᵀA = [[25, 20], [20, 25]] के आइगेन-मान 45 व 5 हैं, अतः σ = √45 ≈ 6.71 व √5 ≈ 2.24; उनका गुणनफल 15 = |det A|।

मुख्य बिंदु

  • पंक्ति कोटि = स्तंभ कोटि; शून्यता = n − कोटि; dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W)। मूल आव्यूह के पिवट स्तंभ उसकी स्तंभ समष्टि का आधार हैं।
  • ℂⁿ पर ⟨x, y⟩ = y*x; ग्राम–श्मिट पूर्ववर्ती प्रसामान्य-लांबिक सदिशों पर प्रक्षेप घटाकर प्रसामान्यीकरण करता है।
  • हर्मिटी/सममित → वास्तविक आइगेन-मान; विषम-हर्मिटी → काल्पनिक या 0; ऐकिक/लांबिक → |λ| = 1; वर्गसम → 0 या 1।
  • समरूप आव्यूहों के आइगेन-मान, ट्रेस, सारणिक व कोटि समान होते हैं पर आइगेन-सदिश नहीं; तुल्य आव्यूहों की केवल कोटि। [[1, 1], [0, 1]], I के समरूप नहीं।
  • PD ⇔ आइगेन-मान > 0 ⇔ अग्रणी उपसारणिक > 0; PSD को सभी मुख्य उपसारणिक ≥ 0 चाहिए। सहप्रसरण आव्यूह PSD होते हैं।
  • अनन्य मान √eig(A*A) हैं; उनकी संख्या कोटि, सबसे बड़ा 2-मानक, और वर्ग A हेतु उनका गुणनफल |det A| है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. A = [[1, 2, 1, 0], [2, 4, 3, 1], [3, 6, 4, 1]] की शून्य समष्टि की विमा ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    R₂ − 2R₁ = (0, 0, 1, 1) तथा R₃ = R₁ + R₂, अतः कोटि 2 है। A के 4 स्तंभ हैं, अतः शून्यता 4 − 2 = 2। 4 स्तंभों के स्थान पर 3 पंक्तियाँ लेना 1 देता है — कोटि–शून्यता स्तंभ गिनती है।

  2. U व W, ℝ⁵ की उपसमष्टियाँ हैं जिनमें dim U = 3, dim W = 4 व U + W = ℝ⁵। U ∩ W की विमा ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    dim(U ∩ W) = dim U + dim W − dim(U + W) = 3 + 4 − 5 = 2। यहाँ प्रतिच्छेद {0} नहीं हो सकता: जिन दो उपसमष्टियों की विमाओं का योग 5 से अधिक हो, वे ℝ⁵ में अवश्य कोई अशून्य सदिश साझा करती हैं।

  3. v₁ = (1, 1, 0), v₂ = (1, 0, 1) पर ग्राम–श्मिट लगाया जाता है। w₂ = v₂ − projv₁v₂ (प्रसामान्यीकरण से पहले) की वर्गित लंबाई ‖w₂‖², एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.5

    projv₁v₂ = (⟨v₂, v₁⟩/⟨v₁, v₁⟩)v₁ = (1/2)(1, 1, 0)। अतः w₂ = (1/2, −1/2, 1) व ‖w₂‖² = 1/4 + 1/4 + 1 = 1.5। जाँच: ⟨w₂, v₁⟩ = 1/2 − 1/2 = 0। ‖v₁‖² = 2 से भाग दिए बिना ⟨v₂, v₁⟩v₁ घटाना (0, −1, 1) देता है, जो v₁ के लांबिक नहीं।

  4. आइगेन-मानों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. हर्मिटी आव्यूह का प्रत्येक आइगेन-मान वास्तविक है
    2. ऐकिक आव्यूह के प्रत्येक आइगेन-मान का मापांक 1 है
    3. विषम-हर्मिटी आव्यूह का प्रत्येक आइगेन-मान वास्तविक है
    4. प्रत्येक 3 × 3 वास्तविक लांबिक आव्यूह का 1 या −1 आइगेन-मान है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — हर्मिटी आव्यूह का प्रत्येक आइगेन-मान वास्तविक है; B — ऐकिक आव्यूह के प्रत्येक आइगेन-मान का मापांक 1 है; D — प्रत्येक 3 × 3 वास्तविक लांबिक आव्यूह का 1 या −1 आइगेन-मान है

    (A) λ‖x‖² = x*Ax वास्तविक है। (B) ‖Ax‖ = ‖x‖ से |λ| = 1। (C) असत्य: A विषम-हर्मिटी हो तो iA हर्मिटी है, अतः A के आइगेन-मान शुद्ध काल्पनिक या 0 — जैसे [[i]] का आइगेन-मान i। (D) अभिलक्षणिक बहुपद वास्तविक त्रिघात है, अतः उसका एक वास्तविक मूल है, और लांबिक आव्यूह के वास्तविक आइगेन-मान का मापांक 1 है।

  5. A = [[2, 1], [1, 2]] हेतु A⁵ का ट्रेस ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 244

    ट्रेस 4 व सारणिक 3 से आइगेन-मान 3 व 1। A⁵ के आइगेन-मान 3⁵ = 243 व 1 हैं, अतः tr A⁵ = 244। स्वयं ट्रेस की घात, 4⁵ = 1024, ट्रेस को आइगेन-मान मान लेती है।

  6. यदि किसी व्युत्क्रमणीय P हेतु B = P⁻¹AP, तो निम्न में से किसका A व B हेतु समान होना आवश्यक नहीं?

    1. आइगेन-सदिश
    2. अभिलक्षणिक बहुपद
    3. ट्रेस
    4. कोटि
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    उत्तर: A — आइगेन-सदिश

    det(λI − P⁻¹AP) = det(P⁻¹(λI − A)P) = det(λI − A), अतः अभिलक्षणिक बहुपद, और उसके साथ ट्रेस व सारणिक, समान हैं; व्युत्क्रमणीय गुणनखंड कोटि नहीं बदलते। पर यदि Ax = λx तो B(P⁻¹x) = λ(P⁻¹x): B के आइगेन-सदिश A के आइगेन-सदिशों के P⁻¹ गुना हैं।

  7. मान लें A = [[1, 1], [0, 1]]। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. A का अभिलक्षणिक बहुपद (λ − 1)² है
    2. A विकर्णनीय है
    3. A तत्समक आव्यूह के समरूप है
    4. A तत्समक आव्यूह के तुल्य है (व्युत्क्रमणीय P, Q हेतु B = PAQ)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A का अभिलक्षणिक बहुपद (λ − 1)² है; D — A तत्समक आव्यूह के तुल्य है (व्युत्क्रमणीय P, Q हेतु B = PAQ)

    (A) A त्रिभुजाकार है, विकर्ण 1, 1 सहित। (B) A − I = [[0, 1], [0, 0]] की शून्य समष्टि एक-विमीय है: ज्यामितीय बहुलता 1 < 2, विकर्णनीय नहीं। (C) प्रत्येक P हेतु P⁻¹IP = I, अतः केवल I ही I के समरूप है। (D) तुल्यता को केवल समान कोटि चाहिए, और दोनों की कोटि 2 है (P = A⁻¹, Q = I लें)।

  8. A = [[4, 1], [2, 3]] हेतु A³ की (1, 2) प्रविष्टि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 39

    A² = [[18, 7], [14, 11]] तथा A³ = A²A = [[72 + 14, 18 + 21], [56 + 22, 14 + 33]] = [[86, 39], [78, 47]]। जाँच: tr A³ = 133 = 5³ + 2³ (आइगेन-मान 5 व 2), तथा det A³ = 86 × 47 − 39 × 78 = 1000 = 10³। प्रविष्टि 1 का घन 1 देता है, जो भूलता है कि आव्यूह घातें प्रविष्टियों को मिश्रित करती हैं।

  9. मान लें M = [[1, 2], [2, 4]]। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. M धनात्मक अर्धनिश्चित है
    2. M धनात्मक निश्चित है
    3. किसी सदिश v हेतु M = vvᵀ
    4. प्रत्येक x हेतु xᵀMx = (x₁ + 2x₂)²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — M धनात्मक अर्धनिश्चित है; C — किसी सदिश v हेतु M = vvᵀ; D — प्रत्येक x हेतु xᵀMx = (x₁ + 2x₂)²

    ट्रेस 5 व सारणिक 0 से आइगेन-मान 5 व 0, अतः M, PSD है पर PD नहीं (x = (2, −1) से xᵀMx = 0)। v = (1, 2) सहित vvᵀ = M, तथा xᵀMx = (vᵀx)² = (x₁ + 2x₂)²। यहाँ शून्य सारणिक ही अर्धनिश्चित को निश्चित से अलग करता है।

  10. किसी वास्तविक सममित आव्यूह के सभी अग्रणी मुख्य उपसारणिक अऋणात्मक हैं। तब आव्यूह:

    1. अनिवार्यतः धनात्मक अर्धनिश्चित है
    2. अनिवार्यतः धनात्मक निश्चित है
    3. धनात्मक अर्धनिश्चित होना आवश्यक नहीं
    4. अनिवार्यतः अव्युत्क्रमणीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — धनात्मक अर्धनिश्चित होना आवश्यक नहीं

    diag(0, −1) के अग्रणी उपसारणिक 0 व 0 हैं पर द्विघात रूप (0, 1) पर −1 मान लेता है, अतः PSD नहीं। कठोर असमिकाओं सहित सिल्वेस्टर कसौटी PD को अभिलक्षित करती है; PSD हेतु केवल अग्रणी नहीं, प्रत्येक मुख्य उपसारणिक ≥ 0 होना चाहिए। और diag(1, 1) दर्शाता है कि आव्यूह का अव्युत्क्रमणीय होना आवश्यक नहीं।

  11. A = [[3, 0], [4, 5]] का सबसे बड़ा अनन्य मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6.71

    AᵀA = [[9 + 16, 20], [20, 25]] = [[25, 20], [20, 25]], आइगेन-मान 25 ± 20 = 45 व 5 सहित। σ₁ = √45 = 6.708 → 6.71। स्वयं A के आइगेन-मान 3 व 5 हैं (वह त्रिभुजाकार है), और 5 उत्तर आइगेन-मानों को अनन्य मानों से भ्रमित करता है; जाँच: σ₁σ₂ = √225 = 15 = |det A|।

  12. द्विघात रूप q(x, y) = 2x² + 6xy + 5y² के सममित आव्यूह का सारणिक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    विकर्णेतर प्रविष्टियाँ मिश्र गुणांक की आधी हैं: A = [[2, 3], [3, 5]], सारणिक = 10 − 9 = 1। a₁₁ = 2 > 0 सहित रूप धनात्मक निश्चित है। विकर्ण से बाहर 6 रखना 10 − 36 = −26 व गलत निर्णय "अनिश्चित" देता है।

  13. n × n आव्यूहों A व B हेतु कौन-सी सर्वसमिका सदा सत्य है?

    1. tr(AB) = tr(BA)
    2. AB = BA
    3. det(A + B) = det A + det B (सारणिक योगात्मक है)
    4. rank(A + B) = rank A + rank B (कोटि योगात्मक है)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — tr(AB) = tr(BA)

    सभी वर्ग A, B हेतु tr(AB) = Σᵢ Σⱼ aᵢⱼbⱼᵢ = tr(BA), AB ≠ BA होने पर भी। सारणिक गुणनात्मक है, योगात्मक नहीं (2 × 2 में A = B = I से 4 ≠ 2), और कोटि केवल उपयोगात्मक है: rank(A + B) ≤ rank A + rank B।

  14. मान लें J वह 5 × 5 आव्यूह है जिसकी प्रत्येक प्रविष्टि 1 है। J + 2I का सारणिक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 112

    J = 11ᵀ की कोटि 1 है, अतः उसके आइगेन-मान 5 (आइगेन-सदिश 1) व चार बार 0 हैं। J + 2I के आइगेन-मान 7 व 2, 2, 2, 2 हैं, अतः सारणिक = 7 × 2⁴ = 112। केवल अशून्य आइगेन-मान में 2 जोड़ना 7 देता है, यह भूलते हुए कि स्थानांतरण पाँचों पर लगता है।