सांख्यिकी हेतु वास्तविक विश्लेषण: गणनीय समुच्चय, अनुक्रम, श्रेणी, घात श्रेणी, सांतत्य, माध्यमान प्रमेय व रीमान समाकलन

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 1 कलन है, और वह अभियांत्रिकी तकनीक के रूप में नहीं बल्कि वास्तविक विश्लेषण के प्रथम पाठ्यक्रम की गहराई पर पूछा जाता है। साझा एक-चरीय अध्याय सीमा, अवकलज व समाकलन को विधियों के रूप में पढ़ाते हैं; यह अध्याय वह पढ़ाता है जो सांख्यिकी पाठ्यक्रम उनमें जोड़ता है: परिमित, गणनीय व अगणनीय समुच्चय; अनुक्रम, परिबद्धता, एकदिष्ट अभिसरण व कौशी कसौटी; श्रेणियाँ व उनके अभिसरण परीक्षण, एकांतर श्रेणी, निरपेक्ष व सप्रतिबंध अभिसरण; घात श्रेणी व अभिसरण त्रिज्या; एकसमान सांतत्य, शेषफल सहित टेलर प्रमेय; तथा अनुचित समाकलों सहित रीमान समाकल। प्रत्येक विचार वहाँ से जोड़ा गया है जहाँ प्रायिकता उसका प्रयोग करती है — बंटन फलन में अधिक से अधिक गणनीय उछाल होते हैं, प्रत्याशा एक श्रेणी या अनुचित समाकल है जिसका अभिसारी होना आवश्यक है, और आघूर्ण जनक फलन एक घात श्रेणी है।

1. परिमित, गणनीय व अगणनीय समुच्चय

कोई समुच्चय गणनीय है यदि उसे ℕ के किसी उपसमुच्चय से एकैकी संगति में रखा जा सके — परिमित, या a₁, a₂, a₃, … के रूप में सूचीबद्ध। ℤ गणनीय है (0, 1, −1, 2, −2, …), और ℚ भी, भिन्नों p/q को एक जाली के विकर्णों के अनुदिश सूचीबद्ध करके। गणनीय समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन गणनीय है, और गणनीय समुच्चयों का परिमित गुणनफल (ℚ × ℚ) गणनीय है। अतः पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों का समुच्चय गणनीय है, और उनके मूल, बीजीय संख्याएँ, भी।

ℝ अगणनीय है — कैंटर का विकर्ण तर्क: (0, 1) में संख्याओं की कोई भी सूची दी हो, एक दशमलव बनाइए जिसका n-वाँ अंक n-वीं संख्या के n-वें अंक से भिन्न हो; वह किसी सूची में नहीं है। अतः अपरिमेय संख्याएँ अगणनीय हैं (ℝ में से एक गणनीय समुच्चय घटाने पर), प्रत्येक अनपभ्रष्ट अंतराल अगणनीय है, और ℕ का घात समुच्चय अगणनीय है (उसकी गणनांकता ℝ की है)।

ℹ️ सांख्यिकी इसका प्रयोग कहाँ करती है
बंटन फलन F अह्रासमान है, अतः प्रत्येक असांतत्य एक उछाल है, और प्रत्येक उछाल में एक भिन्न परिमेय संख्या होती है। अतः F में अधिक से अधिक गणनीय असांतत्य होते हैं — इसीलिए असतत यादृच्छिक चर अधिक से अधिक गणनीय मान लेता है, और बंटन में अभिसरण केवल सांतत्य बिंदुओं (गणनीय को छोड़ सभी) पर ही सत्य होना चाहिए।

2. अनुक्रम: अभिसरण, परिबद्धता, एकदिष्टता व कौशी कसौटी

aₙ → L का अर्थ: प्रत्येक ε > 0 हेतु कोई N है जिससे सभी n ≥ N हेतु |aₙ − L| < ε। अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होता है, पर परिबद्ध अनुक्रम का अभिसारी होना आवश्यक नहीं ((−1)ⁿ)। एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय: परिबद्ध एकदिष्ट अनुक्रम अभिसारी है — वर्धमान हो तो अपने उच्चक (supremum) की ओर। बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास: प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है। कौशी कसौटी: (aₙ) ℝ में अभिसारी है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 हेतु कोई N हो जिससे सभी m, n ≥ N हेतु |aₘ − aₙ| < ε — सीमा जाने बिना अभिसरण का परीक्षण।

मानक सीमाएँ
अनुक्रमसीमा
n1/n1
(1 + x/n)ⁿeˣ
aⁿ, |a| < 10
nᵏ aⁿ, |a| < 10
aⁿ/n!0
n!/nⁿ0
(n!)1/n/n1/e
√(n² + an) − na/2

पुनरावर्ती परिभाषित अनुक्रम एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से सुलझता है: दिखाइए कि वह एकदिष्ट व परिबद्ध है, फिर L = g(L) हल कीजिए। a₁ = 1, aₙ₊₁ = √(2 + aₙ) हेतु: आगमन से aₙ < 2 व aₙ₊₁ > aₙ, अतः सीमा विद्यमान है और L = √(2 + L) संतुष्ट करती है, अर्थात् L² − L − 2 = 0, अतः L = 2 (मूल −1 बाहर है क्योंकि प्रत्येक पद धनात्मक है)।

⚠️ क्रमागत पदों का निकट आना कौशी नहीं है
|aₙ₊₁ − aₙ| → 0 किसी अनुक्रम को कौशी नहीं बनाता। आंशिक योग Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n में Hₙ₊₁ − Hₙ = 1/(n + 1) → 0, फिर भी Hₙ → ∞। कौशी प्रतिबंध को सभी बड़े m व n हेतु |aₘ − aₙ| छोटा चाहिए, केवल पड़ोसियों हेतु नहीं। और ℚ में कौशी अनुक्रम का अभिसारी होना आवश्यक नहीं: √2 के दशमलव खंडन 1, 1.4, 1.41, … कौशी हैं पर उनकी कोई परिमेय सीमा नहीं — पूर्णता ℝ का गुण है।

3. श्रेणियाँ, अभिसरण परीक्षण व घात श्रेणी

Σaₙ अभिसारी है जब उसके आंशिक योग अभिसारी हों। आवश्यक प्रतिबंध: aₙ → 0 (पर्याप्त नहीं — Σ1/n अपसारी है)। गुणोत्तर श्रेणी Σrⁿ अभिसारी है यदि और केवल यदि |r| < 1, 1/(1 − r) की ओर; p-श्रेणी Σ1/nᵖ अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1। उपयोगी योग: |x| < 1 हेतु Σn≥1 n xⁿ = x/(1 − x)² तथा Σn≥1 n² xⁿ = x(1 + x)/(1 − x)³ — पहला Σ n/2ⁿ = 2 देता है, जो वेश बदले गुणोत्तर यादृच्छिक चर का माध्य है।

धनात्मक श्रेणियों हेतु अभिसरण परीक्षण
परीक्षणकथनविशिष्ट प्रयोग
तुलना0 ≤ aₙ ≤ bₙ: Σbₙ अभिसारी ⇒ Σaₙ अभिसारीΣ1/(n² + 1) की Σ1/n² से तुलना
सीमा तुलनाaₙ/bₙ → c ∈ (0, ∞): दोनों अभिसारी या दोनों अपसारीΣ sin(1/n), Σ1/n की तरह अपसारी
अनुपात (डी’एलम्बर्ट)aₙ₊₁/aₙ → ℓ: ℓ < 1 अभिसारी, ℓ > 1 अपसारी, ℓ = 1 निर्णय नहींक्रमगुणित व घातें: Σ n²/2ⁿ
मूल (कौशी)aₙ1/n → ℓ: वही निर्णयn-वीं घातें: Σ (n/(2n + 1))ⁿ
समाकलf धनात्मक ह्रासमान: Σf(n) व ∫₁^∞ f साथ-साथ अभिसारीΣ 1/(n ln n) अपसारी, Σ 1/(n (ln n)²) अभिसारी

एकांतर श्रेणी (लाइबनिज़): यदि bₙ ह्रासमान होकर 0 की ओर जाए, तो Σ(−1)ⁿbₙ अभिसारी है, और n पदों के बाद त्रुटि अधिक से अधिक bₙ₊₁ है। Σ|aₙ| का अभिसारी होना निरपेक्ष अभिसरण है, जो अभिसरण का निहितार्थ है; जो श्रेणी अभिसारी हो पर निरपेक्षतः नहीं — Σ(−1)ⁿ/n, Σ(−1)ⁿ/√n — वह सप्रतिबंध अभिसारी है, और रीमान के पुनर्विन्यास प्रमेय से उसे किसी भी योग तक पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। निरपेक्ष अभिसारी श्रेणियाँ स्वतंत्र रूप से पुनर्व्यवस्थित की जा सकती हैं, इसीलिए E[X] हेतु E|X| < ∞ अपेक्षित है: प्रत्याशा का मान योग के क्रम पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

घात श्रेणी Σaₙ(x − c)ⁿ, |x − c| < R हेतु निरपेक्षतः अभिसारी व |x − c| > R हेतु अपसारी है, जहाँ 1/R = lim sup |aₙ|1/n (कौशी–हैडामार्ड), या R = lim |aₙ/aₙ₊₁| जब वह सीमा विद्यमान हो। अंत्य बिंदु अलग से जाँचने होते हैं: Σxⁿ/n की R = 1 है, x = −1 पर अभिसारी व x = 1 पर अपसारी। त्रिज्या के भीतर घात श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन व समाकलन किया जा सकता है — वही गुण जो आघूर्ण जनक फलन को आघूर्ण देने देता है।

4. वास्तविक चर के फलन: सांतत्य, एकसमान सांतत्य, माध्यमान प्रमेय व टेलर

f बिंदु c पर संतत है यदि प्रत्येक xₙ → c हेतु f(xₙ) → f(c)। एकदिष्ट फलन की सर्वत्र एकपक्षीय सीमाएँ होती हैं और केवल उछाल असांतत्य, अधिक से अधिक गणनीय। f किसी समुच्चय पर एकसमान संतत है यदि दिए ε हेतु एक ही δ प्रत्येक बिंदु पर काम करे: |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε। संवृत परिबद्ध अंतराल पर सांतत्य एकसमान सांतत्य का निहितार्थ है (हाइने–कैंटर), और लिप्शिट्ज़ फलन (|f(x) − f(y)| ≤ K|x − y|, जैसे परिबद्ध अवकलज) एकसमान संतत है।

एकसमान संतत है या नहीं
फलन व प्रांतनिर्णयकारण
x², ℝनहींढाल अपरिबद्ध: (n + 1/n)² − n² → 2
1/x, (0, 1)नहींबिंदु मनमाने निकट पर अंतर −1
sin(1/x), (0, 1)नहीं0 के निकट ±1 के बीच दोलन
√x, [0, ∞)हाँ|√x − √y| ≤ √|x − y|
sin x, ℝहाँK = 1 सहित लिप्शिट्ज़
  • रोल: f, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय, f(a) = f(b) ⇒ किसी c ∈ (a, b) हेतु f′(c) = 0।
  • लाग्रांज MVT: f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a)। [0, 3] पर x³ हेतु 3c² = 9 से c = √3 ≈ 1.73। कौशी MVT: [f(b) − f(a)]g′(c) = [g(b) − g(a)]f′(c) — लॉपिटाल नियम के पीछे का प्रमेय।
  • लाग्रांज शेषफल सहित टेलर: a व x के बीच किसी ξ हेतु f(x) = Σk=0n f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! + f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)!। मैक्लॉरिन श्रेणी में xᵏ का गुणांक f⁽ᵏ⁾(0)/k! है, अतः 0 पर अवकलज ज्ञात श्रेणियों के गुणनफल से पढ़े जा सकते हैं।
  • लॉपिटाल: 0/0 या ∞/∞ हेतु lim f/g = lim f′/g′ जब दायाँ पक्ष विद्यमान हो। limx→0 (x − sin x)/x³ = lim (1 − cos x)/3x² = lim sin x/6x = 1/6।
  • उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ: f′(c) = 0 व f″(c) < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, f″(c) > 0 स्थानीय निम्निष्ठ देता है; यदि f″(c) = 0 हो तो पहले अशून्य उच्च अवकलज पर जाइए — सम कोटि उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ तय करती है, विषम कोटि का अर्थ कोई नहीं।

5. रीमान समाकलन व अनुचित समाकल

[a, b] पर परिबद्ध f व विभाजन P हेतु उपरि व निम्न योग U(P, f) = ΣMᵢΔxᵢ व L(P, f) = ΣmᵢΔxᵢ प्रत्येक खंड पर sup व inf लेते हैं। f रीमान समाकलनीय है जब sup L = inf U; समतुल्यतः, प्रत्येक ε हेतु कोई P हो जिससे U − L < ε। संतत फलन, एकदिष्ट फलन व परिमित (वस्तुतः गणनीय) असांतत्य वाले परिबद्ध फलन समाकलनीय हैं। डिरिक्ले फलन (परिमेयों पर 1, अपरिमेयों पर 0) नहीं है: प्रत्येक U = 1 व प्रत्येक L = 0। थोमे फलन (p/q पर 1/q, अपरिमेयों पर 0) समाकलनीय है और समाकल 0 है, यद्यपि वह प्रत्येक परिमेय पर असंतत है।

गुण: रैखिकता, एकदिष्टता (f ≤ g ⇒ ∫f ≤ ∫g), |∫f| ≤ ∫|f|, अंतरालों पर योज्यता, समाकलों हेतु माध्यमान प्रमेय, तथा मूलभूत प्रमेय: F(x) = ∫ₐˣ f संतत है, और जहाँ f संतत हो वहाँ F′ = f — इसीलिए घनत्व अपने बंटन फलन का अवकलज है।

अभिसरण तय करने वाले अनुचित समाकल
समाकलअभिसारी कब
∫₁^∞ x−p dxp > 1
∫₀¹ x−p dxp < 1
∫₀^∞ xa−1 e−x dx = Γ(a)a > 0
∫₀¹ xa−1(1 − x)b−1 dx = B(a, b)a > 0, b > 0

गामा व बीटा: पूर्णांकों हेतु Γ(n) = (n − 1)!, Γ(a + 1) = aΓ(a), Γ(1/2) = √π, B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b), तथा ∫₀^∞ xⁿe−λx dx = n!/λⁿ⁺¹, अतः ∫₀^∞ x³e−2x dx = 6/16 = 0.375। अनुचित समाकल श्रेणियों की तरह तुलना परीक्षण मानते हैं: ∫₁^∞ e−x² dx अभिसारी है क्योंकि वहाँ e−x² ≤ e−x।

⚠️ ∫₀^∞ x^{−p} के दोनों सिरे
∫₀^∞ x−p dx किसी भी p हेतु अभिसारी नहीं: 0 के निकट का भाग p < 1 चाहता है और ∞ के निकट का भाग p > 1। दोनों सिरों पर अनुचित समाकल को विभाजित कर प्रत्येक खंड जाँचिए — दोनों को एक साथ सँभालता प्रतीत होता एकल प्रतिस्थापन प्रायः एक अपसारी आधा छिपा देता है।

मुख्य बिंदु

  • ℚ, ℤ, ℕ के परिमित उपसमुच्चय व पूर्णांक बहुपद गणनीय हैं; ℝ, अपरिमेय, प्रत्येक अंतराल व ℕ का घात समुच्चय नहीं। बंटन फलन में अधिक से अधिक गणनीय उछाल होते हैं।
  • परिबद्ध + एकदिष्ट ⇒ अभिसारी; ℝ में अभिसारी ⇔ कौशी; |aₙ₊₁ − aₙ| → 0 पर्याप्त नहीं।
  • aₙ → 0 आवश्यक है, पर्याप्त नहीं। Σ1/nᵖ को p > 1 चाहिए; ℓ = 1 पर अनुपात व मूल परीक्षण मौन हैं; निरपेक्ष अभिसरण पुनर्विन्यास सह लेता है, सप्रतिबंध नहीं।
  • अभिसरण त्रिज्या: 1/R = lim sup |aₙ|1/n या R = lim |aₙ/aₙ₊₁|; अंत्य बिंदु सदा अलग से जाँचें।
  • [a, b] पर संतत ⇒ एकसमान संतत; ℝ पर x² व (0, 1) पर 1/x मानक विफलताएँ हैं। टेलर गुणांक f⁽ᵏ⁾(0)/k! हैं।
  • ∫₁^∞ x−p को p > 1, ∫₀¹ x−p को p < 1 चाहिए; Γ(n) = (n − 1)! व Γ(1/2) = √π। डिरिक्ले फलन रीमान समाकलनीय नहीं है।

अभ्यास प्रश्न (15)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. n → ∞ पर अनुक्रम aₙ = √(n² + 3n) − n की सीमा, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.5

    संयुग्मी से गुणा करें: aₙ = 3n/(√(n² + 3n) + n) = 3/(√(1 + 3/n) + 1) → 3/2 = 1.5। "दोनों पद n की तरह बढ़ते हैं" कहकर 0 उत्तर देना भूलता है कि उनका अंतर n-कोटि की दो राशियों का अनुपात है।

  2. घात श्रेणी Σn≥1 (n!/nⁿ) xⁿ की अभिसरण त्रिज्या, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.72

    aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)! nⁿ/((n + 1)ⁿ⁺¹ n!) = nⁿ/(n + 1)ⁿ = (1 + 1/n)−n → 1/e, अतः R = lim aₙ/aₙ₊₁ = e ≈ 2.718 → 2.72। 1/e ≈ 0.37 उत्तर अनुपात उलट देता है: त्रिज्या aₙ₊₁/aₙ की सीमा का व्युत्क्रम है।

  3. श्रेणी Σn=1∞ n/2ⁿ का योग ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    Σxⁿ = 1/(1 − x) का अवकलन कर x से गुणा करें: Σ n xⁿ = x/(1 − x)²। x = 1/2 पर यह (1/2)/(1/4) = 2 है। आंशिक योगों से जाँच: 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 = 1.625 और बढ़ता हुआ। 1 उत्तर (Σ1/2ⁿ का योग) गुणक n छोड़ देता है।

  4. निम्न में से कौन-सी श्रेणियाँ अभिसारी हैं?

    1. Σ (−1)ⁿ/√n
    2. Σ 1/(n ln n), n ≥ 2
    3. Σ n²/2ⁿ
    4. Σ sin(1/n)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ (−1)ⁿ/√n; C — Σ n²/2ⁿ

    (A) 1/√n ह्रासमान होकर 0 की ओर, अतः लाइबनिज़ से अभिसारी (सप्रतिबंध, क्योंकि Σ1/√n अपसारी)। (B) ∫ dx/(x ln x) = ln ln x → ∞, अतः समाकल परीक्षण से अपसारी, यद्यपि पद 1/n से तेज़ घटते हैं। (C) अनुपात (n + 1)²/(2n²) → 1/2 < 1: अभिसारी। (D) sin(1/n)/(1/n) → 1, अतः सीमा तुलना से Σ1/n के साथ अपसारी।

  5. निम्न में से कौन-से समुच्चय गणनीय हैं?

    1. ℚ × ℚ
    2. ℕ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय
    3. (0, 1) में अपरिमेय संख्याएँ
    4. पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों का समुच्चय
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ℚ × ℚ; D — पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों का समुच्चय

    (A) गणनीय समुच्चयों का परिमित गुणनफल गणनीय है। (B) ℕ का घात समुच्चय द्विआधारी अनुक्रमों से, अर्थात् [0, 1] से एकैकी संगति में है — अगणनीय (कैंटर)। (C) यदि (0, 1) के अपरिमेय गणनीय होते, तो (0, 1) दो गणनीय समुच्चयों का सम्मिलन होकर गणनीय होता — विरोधाभास। (D) पूर्णांक गुणांकों वाले n घात के बहुपद ℤⁿ⁺¹ के संगत हैं, गणनीय, और n पर गणनीय सम्मिलन गणनीय रहता है।

  6. कौन-सा फलन दिए प्रांत पर एकसमान संतत है?

    1. ℝ पर f(x) = x²
    2. (0, 1) पर f(x) = 1/x
    3. [0, ∞) पर f(x) = √x
    4. (0, 1) पर f(x) = sin(1/x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — [0, ∞) पर f(x) = √x

    |√x − √y| ≤ √|x − y|, अतः δ = ε² सर्वत्र काम करता है, यद्यपि 0 के निकट अवकलज अपरिबद्ध है — अपरिबद्ध अवकलज अकेले एकसमान सांतत्य को नहीं नकारता। x² विफल है क्योंकि उसका ढाल असीम बढ़ता है; 1/x व sin(1/x) विफल हैं क्योंकि वे खुले सिरे 0 के निकट अनंत होते या दोलन करते हैं।

  7. [0, 3] पर f(x) = x³ हेतु लाग्रांज माध्यमान प्रमेय से प्राप्त (0, 3) में बिंदु c, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.73

    f′(c) = 3c² को (27 − 0)/(3 − 0) = 9 के बराबर होना चाहिए, अतः c² = 3 व c = √3 = 1.732 → 1.73 (मूल −√3 अंतराल के बाहर है)। मध्य-बिंदु c = 1.5 लेना प्रमेय को उस सममिति से भ्रमित करता है जो केवल द्विघात में होती है।

  8. f(x) = ex² cos x हेतु चतुर्थ अवकलज f⁽⁴⁾(0) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    मैक्लॉरिन श्रेणियों का गुणन करें: ex² = 1 + x² + x⁴/2 + …, cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 − …। x⁴ का गुणांक 1/24 − 1/2 + 1/2 = 1/24 है, और f⁽⁴⁾(0) = 4! × (1/24) = 1। मिश्र पद x² × (−x²/2) भूलने पर 13/24 × 24 = 13 आता है।

  9. limx→0 (x − sin x)/x³ का मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.167

    लॉपिटाल तीन बार (प्रत्येक चरण 0/0): (1 − cos x)/(3x²) → sin x/(6x) → cos x/6 → 1/6 = 0.1667 → 0.167। या श्रेणी से: x − sin x = x³/6 − x⁵/120 + …। एक बार के बाद रुककर (1 − cos x)/3x² में x = 0 रखना अनिर्धार्य 0/0 देता है, 0 नहीं।

  10. अनुचित समाकल ∫₀^∞ x³ e−2x dx का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.375

    u = 2x रखें: ∫₀^∞ (u/2)³ e−u du/2 = Γ(4)/2⁴ = 3!/16 = 6/16 = 0.375। Γ(4) = 4! = 24 लिखना 1.5 देता है — गामा फलन एक से खिसका है: Γ(n) = (n − 1)!।

  11. किस वास्तविक p हेतु ∫₁^∞ x−p dx व ∫₀¹ x−p dx दोनों अभिसारी हैं?

    1. p > 1
    2. p < 1
    3. p = 1
    4. किसी वास्तविक p हेतु नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — किसी वास्तविक p हेतु नहीं

    पुच्छ समाकल को p > 1 व 0 के निकट का समाकल p < 1 चाहता है; दोनों प्रतिबंध असंगत हैं, और p = 1 पर दोनों लघुगणकीय रूप से अपसारी। अतः ∫₀^∞ x−p dx कभी अभिसारी नहीं। किसी एकपक्षीय प्रतिबंध को चुनना प्रश्न का केवल आधा उत्तर है।

  12. निम्न में से कौन-सा फलन [0, 1] पर रीमान समाकलनीय नहीं है?

    1. परिमेय x हेतु f(x) = 1 व अपरिमेय x हेतु 0
    2. x ≠ 0 हेतु f(x) = sin(1/x), f(0) = 0
    3. f(x) = ⌊3x⌋
    4. थोमे फलन: न्यूनतम रूप x = p/q पर 1/q, अपरिमेयों पर 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परिमेय x हेतु f(x) = 1 व अपरिमेय x हेतु 0

    प्रत्येक उप-अंतराल में परिमेय व अपरिमेय दोनों होते हैं, अतः डिरिक्ले फलन हेतु प्रत्येक उपरि योग 1 व प्रत्येक निम्न योग 0 है। sin(1/x) परिबद्ध है और उसका एक ही असांतत्य है, ⌊3x⌋ एकदिष्ट है, और थोमे फलन केवल एक गणनीय समुच्चय पर असंतत है — तीनों समाकलनीय हैं (थोमे का समाकल 0)। अनंत बिंदुओं पर असंतत होना विफलता नहीं; सर्वत्र असंतत होना है।

  13. मान लें a₁ = 1 व aₙ₊₁ = √(2 + aₙ)। (aₙ) की सीमा ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    आगमन से 0 < aₙ < 2 तथा aₙ₊₁² − aₙ² = 2 + aₙ − aₙ² = (2 − aₙ)(1 + aₙ) > 0, अतः अनुक्रम वर्धमान व परिबद्ध है: अभिसारी। उसकी सीमा L = √(2 + L), L² − L − 2 = 0, L = 2 हल करती है। मूल −1 अस्वीकार है क्योंकि प्रत्येक aₙ धनात्मक है।

  14. वास्तविक अनुक्रमों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कौशी अनुक्रम है
    2. परिमेय संख्याओं का प्रत्येक कौशी अनुक्रम किसी परिमेय संख्या की ओर अभिसारी है
    3. प्रत्येक कौशी अनुक्रम परिबद्ध है
    4. यदि |aₙ₊₁ − aₙ| → 0 तो (aₙ) कौशी अनुक्रम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कौशी अनुक्रम है; C — प्रत्येक कौशी अनुक्रम परिबद्ध है

    (A) |aₘ − aₙ| ≤ |aₘ − L| + |L − aₙ| < ε। (B) असत्य: √2 के खंडन परिमेय व कौशी हैं पर सीमा अपरिमेय है — ℚ पूर्ण नहीं। (C) ε = 1 लें: N के आगे सभी पद a_N से 1 के भीतर हैं, और शेष परिमित पद परिबद्ध हैं। (D) असत्य: हरात्मक आंशिक योग Hₙ में Hₙ₊₁ − Hₙ = 1/(n + 1) → 0 पर वे अपसारी हैं।

  15. p-श्रेणी Σn≥1 1/nᵖ अभिसारी है यदि और केवल यदि:

    1. p > 1
    2. p ≥ 1
    3. p > 0
    4. p < 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — p > 1

    समाकल परीक्षण से Σ1/nᵖ, ∫₁^∞ x−p dx की तरह व्यवहार करती है, जो ठीक p > 1 हेतु अभिसारी है। p = 1 पर यह हरात्मक श्रेणी है, जो अपसारी है, अतः "p ≥ 1" गलत है; p > 0 केवल पदों को शून्य की ओर ले जाता है, जो आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं।