संरचनात्मक विश्लेषण: अनिर्धार्यता, बल व विस्थापन विधियाँ, केबल, मेहराब व प्रभाव रेखाएँ

विश्लेषण गिनने से आरंभ होता है, गणना से नहीं। समतल फ़्रेम हेतु D_s = 3m + r − 3j बताता है कि कितने अज्ञात स्थैतिकी के समीकरणों की पहुँच से बाहर हैं, और जब तक आप वह संख्या न जानें तब तक आप नहीं जानते कि आपको कौन-सी विधि प्रयोग करने की अनुमति है। निर्धार्य और स्थैतिकी कार्य पूरा कर देती है; अनिर्धार्य और आपको प्रति अतिरिक्त एक अधिक समीकरण चाहिए, और वहीं से दो महान कुल आते हैं। बल विधि — जिसे नम्यता अथवा संगतता विधि भी कहते हैं — अतिरिक्तों को तब तक मुक्त करती है जब तक संरचना निर्धार्य न हो जाए, उस विस्थापन की गणना करती है जो मुक्ति खोलती है, और तत्पश्चात् वह अतिरिक्त बल लगाती है जो उसे पुनः बंद कर दे; आप बलों हेतु हल करते हैं, और युगपत् समीकरणों की संख्या D_s है। विस्थापन विधि — प्रवणता-विक्षेप, आघूर्ण-वितरण, तथा वह दृढ़ता विधि जो प्रत्येक सॉफ़्टवेयर चलाता है — उल्टा करती है: वह संधि-घूर्णनों व स्थानांतरणों को अज्ञात मानती है, प्रत्येक सदस्य के सिरा-आघूर्ण उनके पदों में लिखती है, और संधियों पर साम्य लागू करती है। दोनों के बीच चयन अंकगणित है, सिद्धांत नहीं: जिसमें कम अज्ञात हों वही चुनें, जो संतत धरन हेतु सामान्यतः बल विधि है और बहुमंज़िला फ़्रेम हेतु सदा विस्थापन विधि। दोनों अध्यारोपण पर टिके हैं, जो केवल तब तक वैध है जब तक पदार्थ रैखिक हो और विक्षेप इतने लघु कि साम्य अविरूपित आकृति पर लिखा जा सके। तत्पश्चात् दो संरचनाएँ जो बंकन के बजाय आकृति से भार वहन करती हैं — केबल, जो अपना स्वयं का रज्जु-रूप खोज लेती है, तथा मेहराब, जो उल्टी की गई केबल है और उसी बीजगणित से वही क्षैतिज प्रणोद wL²/8h पाती है। और प्रभाव रेखाएँ, जो अपने से पूर्व प्रत्येक आरेख से भिन्न प्रश्न का उत्तर देती हैं: यह नहीं कि यह भारण सर्वत्र क्या करता है, बल्कि यह कि चलता हुआ एकांक भार यहाँ क्या करता है।

गणना से पूर्व गिनना

दृढ़-संधित समतल फ़्रेम हेतु स्थैतिक अनिर्धार्यता की कोटि D_s = 3m + r − 3j है, जहाँ m सदस्य गिनता है, r प्रतिक्रिया-घटक और j आधारों सहित संधियाँ। प्रत्येक सदस्य तीन आंतरिक बल-घटक वहन करता है और प्रत्येक संधि तीन साम्य-समीकरण देती है, अतः व्यंजक समीकरणों के सम्मुख अज्ञातों का सीधा लेखा है। आंतरिक मुक्ति — सदस्य में डाली गई कीलक — प्रत्येक मुक्त किए आघूर्ण हेतु गिनती से एक घटाती है। उसे उस पोर्टल फ़्रेम पर चलाएँ जिससे प्रत्येक प्रश्न बनता है: दो स्तंभ व एक धरन अर्थात् m = 3, चार संधियाँ अर्थात् j = 4, और दो जड़ित आधार r = 6 देते हैं, अतः D_s = 9 + 6 − 12 = 3। आधारों को कीलकों में बदलें और r घटकर 4 हो जाता है, अतः D_s = 1। धरन के मध्य भी कीलक रखें और वह 2 पर गिर जाता है। अभी तक कुछ भी गणित नहीं हुआ, और विधि पहले ही तय हो गई।

ℹ️ दो भिन्न गिनतियाँ, तथा वह जो तय करती है कि कौन-सी विधि सस्ती है
स्थैतिक अनिर्धार्यता D_s उन बलों को गिनती है जो स्थैतिकी नहीं खोज सकती। गतिक अनिर्धार्यता D_k उन स्वतंत्र विस्थापनों को गिनती है जो संधियाँ भोग सकती हैं — समतल फ़्रेम में प्रति मुक्त संधि तीन, घटाकर वह जो आधार रोकते हैं, और पुनः घटाकर यदि सदस्य अक्षीयतः दृढ़ माने जाएँ। दोनों भिन्न संख्याएँ हैं और भिन्न विधियों की ओर संकेत करती हैं, क्योंकि D_s उन युगपत् समीकरणों की संख्या है जो बल विधि को हल करने हैं और D_k वह जो विस्थापन विधि को। सरल आधारों पर दो-विस्तार संतत धरन हेतु D_s = 1 है जबकि D_k तीन घूर्णन हैं, अतः बल विधि सहजता से जीतती है और ऐसी समस्याएँ इसी प्रकार रखी जाती हैं। चार-मंज़िला, तीन-खंड फ़्रेम हेतु चित्र पूर्णतः उलट जाता है: D_s दर्जनों में चला जाता है जबकि संधियाँ, अक्षीय विरूपण उपेक्षित करने पर, प्रत्येक एक घूर्णन तथा प्रति मंज़िल एक झूलन देती हैं। इसी कारण अब तक लिखा गया प्रत्येक संरचनात्मक विश्लेषण पैकेज दृढ़ता विधि लागू करता है, नम्यता विधि नहीं — इसलिए नहीं कि वह अधिक यथार्थ है, क्योंकि दोनों अभिन्न उत्तर देती हैं, बल्कि इसलिए कि सदस्य-योगदानों से दृढ़ता आव्यूह जोड़ना क्रमबद्ध है, जबकि अतिरिक्तों का अच्छा समुच्चय चुनना ऐसा विवेक है जो कंप्यूटर सुगमता से नहीं कर सकता।

बल विधि, तथा अतिरिक्त क्या खरीदता है

बल विधि के तीन चरण हैं और मध्य वाला ही सम्पूर्ण विचार है। इतने अतिरिक्त मुक्त करें कि निर्धार्य संरचना शेष रहे, और वह चुनने को आप स्वतंत्र हैं — मुक्त की गई संरचना एक उपकरण है, वास्तविक नहीं। लगाए गए भारों के अंतर्गत उस बिंदु पर मुक्ति जो विस्थापन खोलती है उसकी गणना करें। तत्पश्चात् अतिरिक्त लगाएँ और अपेक्षित करें कि वह अंतराल ठीक-ठीक बंद कर दे, क्योंकि वास्तविक संरचना में वह विस्थापन शून्य है। प्रति अतिरिक्त एक संगतता समीकरण, और अज्ञात बल हैं।

🎯 टेकित शहतीर, तथा वह टेक जो भित्ति-आघूर्ण का तीन-चौथाई हटा देती है
6 मीटर का शहतीर लें जो 20 kN/m का UDL वहन करता है, मुक्त सिरे पर बेलन-आधार से टेकित। D_s = 1। टेक मुक्त करें और आपके पास सादा शहतीर है, जिसका मुक्त सिरा wL⁴/8EI गिरता है। अब उसी शहतीर पर टेक-प्रतिक्रिया P ऊपर की ओर लगाएँ, जो सिरे को PL³/3EI उठाती है। वास्तविक संरचना में बेलन-आधार उस बिंदु को स्थिर रखता है, अतः दोनों को निरसित होना ही चाहिए: wL⁴/8EI = PL³/3EI, और P = 3wL/8 = 45 kN — ध्यान दें कि EI विभाजित होकर निकल जाता है, अतः उत्तर दृढ़ता पर तनिक भी निर्भर नहीं, जो ऐसी किसी भी संरचना हेतु सत्य है जिसका अतिरिक्त समान पदार्थ के सदस्यों द्वारा प्रतिरोधित हो। शेष अनुसरण करता है: जड़ित सिरा 120 − 45 = 75 kN लेता है, और आधार-आघूर्ण wL²/8 = 90 kN·m है। अब उसकी तुलना उसी धरन से करें जो बिना टेक के हो, जहाँ भित्ति wL²/2 = 360 kN·m वहन करती है। टेक ने भित्ति-आघूर्ण ठीक चौथाई कर दिया, और लागत एक बेलन-आधार। अतिरेक यही खरीदता है, और सामान्य शिक्षा कहने योग्य है: संरचना में अवरोध जोड़ना केवल भार बाँटता नहीं, वह आंतरिक बलों को अधिक दृढ़ पथ की ओर पुनर्वितरित करता है, और सामान्यतः शिखर-माँग तीव्रता से घटाता है। उसी तथ्य में एक डंक है — क्योंकि अब बल सापेक्ष दृढ़ता पर निर्भर हैं, अनिर्धार्य संरचना उन बातों से आंतरिक बल विकसित करती है जिन्हें निर्धार्य पूर्णतः उपेक्षित कर देती है: बैठ जाता आधार, तापमान-परिवर्तन, तनिक छोटा गढ़ा गया सदस्य। निर्धार्य संरचना बस चल देती है; अनिर्धार्य स्वयं से झगड़ती है।

प्रवणता-विक्षेप, आघूर्ण-वितरण, तथा दृढ़ता

प्रवणता-विक्षेप प्रत्येक सदस्य के सिरा-आघूर्ण उसके दोनों सिरों के घूर्णनों तथा किसी सापेक्ष झूलन के पदों में लिखता है: M_AB = (2EI/L)(2θ_A + θ_B − 3Δ/L) + FEM_AB। प्रत्येक पद का एक कार्य है। जड़ित-सिरा आघूर्ण वह है जो सदस्य वहन करता यदि उसके सिरे तनिक भी न चल पाते; घूर्णन-पद संधियों के घूमने पर उसे कम करते हैं; झूलन-पद वह जोड़ता है जो मंज़िल का विचलन देता है। प्रति सदस्य-सिरा एक ऐसा व्यंजक लिखें, फिर प्रत्येक संधि पर साम्य लागू करें — दृढ़ संधि पर मिलते आघूर्णों का योग शून्य होना ही चाहिए — और आपके पास उतने समीकरण हैं जितने अज्ञात घूर्णन। आघूर्ण-वितरण वही गणित है जो पुनरावृत्त रूप से किया जाता है ताकि हाथ से हो सके: प्रत्येक संधि जकड़ें, जड़ित-सिरा आघूर्ण निकालें, फिर संधियाँ एक-एक करके मुक्त करें, प्रत्येक असंतुलित आघूर्ण को वहाँ मिलते सदस्यों में उनकी दृढ़ता 4EI/L के अनुपात में बाँटते हुए, और जो बाँटें उसका आधा दूर के सिरे तक ले जाते हुए। तब तक दोहराएँ जब तक संशोधन नगण्य न हो जाएँ। दोनों वही उत्तर देते हैं क्योंकि वे वही समीकरण हैं।

20 kN/m के अंतर्गत दो समान 6 मीटर विस्तार, सिरे सरल आलंबित: संतति क्या बदलती है
राशिदो संतत विस्तारदो पृथक् सरल विस्तार
मध्य आधार पर आघूर्ण−90 kN·m (उन्नमन)0
अधिकतम अवनमन आघूर्णx = 2.25 m पर 50.625 kN·mमध्य-विस्तार पर 90 kN·m
सिरा प्रतिक्रियाएँप्रत्येक 45 kNप्रत्येक 60 kN
मध्य आधार प्रतिक्रिया150 kN120 kN
वहन किया कुल भार240 kN240 kN

उस सारणी को एक ही अदला-बदली की भाँति पढ़ें। संतति अवनमन आघूर्ण का 44 प्रतिशत हटा देती है — 90 से घटकर 50.6 — और उसका मूल्य मध्य आधार पर 90 kN·m का उन्नमन आघूर्ण उत्पन्न करके चुकाती है जो पहले था ही नहीं, तथा उस आधार को 120 के बजाय 150 kN से भारित करके। कुछ भी निःशुल्क नहीं मिला: कुल भार दोनों प्रकार से 240 kN है। जो बदला है वह यह है कि संरचना से कहाँ बलवान होने को कहा जा रहा है, और यही विधि का मर्म है। वह किसी भी प्रबलित कंक्रीट स्लैब पर दृश्य एक विवरण भी समझाता है: इस्पात मध्य-विस्तार पर तल के निकट चलता है, जहाँ आघूर्ण अवनमन करता है, और आधारों के ऊपर शीर्ष पर पार करता है, जहाँ वह उन्नमन करता है। केवल तल-इस्पात सहित विवरणित संतत धरन गलत आरेख हेतु प्रबलित की जा रही है।

केबल, मेहराब, तथा प्रभाव रेखाएँ

केबल शुद्ध तनन में भार वहन करती है और अपनी आकृति के विषय में उसके पास चयन नहीं: वह उसी वक्र में लटकती है जो बंकन आघूर्ण को सर्वत्र शून्य बना दे, और वही भार का रज्जु-रूप है। क्षैतिज के अनुदिश एकसमान भार के अंतर्गत — निलंबन सेतु का पट — वह वक्र परवलय है, और केबल-तनाव का क्षैतिज घटक सम्पूर्ण लंबाई पर अचर है, H = wL²/8h पर, जहाँ h अवनति है। 10 kN/m के अंतर्गत 4 मीटर अवनति सहित 40 मीटर विस्तार हेतु H = 500 kN, प्रत्येक आधार पर ऊर्ध्व घटक wL/2 = 200 kN है, और महत्तम तनाव, जो आधारों पर होता है जहाँ केबल सर्वाधिक तीव्र है, √(500² + 200²) = 538.5 kN है। ध्यान दें कि H अवनति के साथ क्या करता है: वह व्युत्क्रमानुपाती है, अतः अवनति आधी करके 2 मीटर करना प्रणोद दोगुना करके 1000 kN कर देता है। सपाट केबल महँगी केबल है, और इसीलिए निलंबन सेतु उतना झुकते हैं जितना वे झुकते हैं।

💡 मेहराब उल्टी की गई केबल है, और बीजगणित उसे सिद्ध करता है
उसी 40 मीटर विस्तार तथा 4 मीटर उत्थान का त्रि-कीलक परवलयिक मेहराब लें, उसी 10 kN/m के अंतर्गत। आधे मेहराब हेतु शिखर-कीलक के परितः आघूर्ण लेने पर क्षैतिज प्रणोद H = wL²/8r = 500 kN मिलता है — केबल जैसा ही व्यंजक, अवनति के स्थान पर उत्थान सहित। वह संयोग नहीं है, और कारण बंकन आघूर्ण में दृश्य है। किसी भी काट पर मेहराब-आघूर्ण उसी विस्तार व भार हेतु सरल-धरन आघूर्ण है, घटा H गुणा मेहराब-अक्ष की ऊँचाई: M = M_beam − Hy। उसे चतुर्थांश-बिंदु पर आँकें: y = 3.0 m, M_beam = 1500 kN·m, Hy = 500 × 3 = 1500 kN·m, अतः M = 0। शिखर पर: y = 4.0, M_beam = 2000, Hy = 2000, अतः पुनः M = 0। तीन-चौथाई बिंदु पर पुनः शून्य। बंकन आघूर्ण प्रत्येक काट पर सर्वथा शून्य है, क्योंकि परवलय एकसमान वितरित भार हेतु रज्जु-आकृति है और मेहराब उसी के अनुदिश बनाया गया है। मेहराब 400 kN भार बिना किसी बंकन के वहन कर रहा है, पूर्णतः संपीडन में — और ठीक वही केबल तनन में करती है, प्रतिबिंबित। व्यावहारिक परिणाम वही है जो मेहराब-अभिकल्प का शासक है: यह लोप केवल उसी भार हेतु टिकता है जिसके लिए आकृति खींची गई थी। उसी मेहराब पर बिंदु-भार रखें, अथवा केवल आधा विस्तार भारित करें, और उस भारण का रज्जु-रूप भिन्न वक्र है, मेहराब अब उसका अनुसरण नहीं करता, और बंकन आघूर्ण तत्काल प्रकट हो जाते हैं। इसी कारण चिनाई के मेहराब-सेतु, जो अधिक बंकन नहीं ले सकते, भारी बनाए जाते हैं — मृत भार एकसमान व प्रभावी है, अतः जीवंत भार ऐसी आकृति के परितः लघु विक्षोभ है जो मृत भार हेतु सही है।

प्रभाव रेखा ऐसे प्रश्न का उत्तर देती है जिसका उत्तर पूर्व का कोई आरेख नहीं देता। बंकन आघूर्ण आरेख दिखाता है कि एक नियत भारण प्रत्येक काट पर क्या करता है; एक चुनी हुई काट पर आघूर्ण की प्रभाव रेखा दिखाती है कि एकांक भार विस्तार पर चलते हुए वहाँ क्या करता है। दोनों को मिला देना सुगम है और भेद ही सम्पूर्ण विषय है: बंकन आघूर्ण आरेख का क्षैतिज अक्ष वह है जहाँ आप देख रहे हैं, और प्रभाव रेखा का क्षैतिज अक्ष वह है जहाँ भार है। सरल आलंबित विस्तार हेतु A पर प्रतिक्रिया की प्रभाव रेखा A पर 1 से B पर 0 तक सरल रेखा है; किसी काट से ठीक वाम अपरूपण हेतु वह उस काट पर एकांक सोपान सहित समांतर रेखाओं का युग्म है; और मध्य-विस्तार पर आघूर्ण हेतु वह L/4 पर शिखर बनाता त्रिभुज है। 20 मीटर विस्तार पर वह शिखर-कोटि 5 m है, अतः एक ही 100 kN का पहिया मध्य-विस्तार पर खड़ा होने पर 500 kN·m का अधिकतम मध्य-विस्तार आघूर्ण उत्पन्न करता है — और प्रभाव रेखा ने आपको मान तथा भार रखने की स्थिति दोनों बता दी, और वह इसी हेतु विद्यमान है। दूसरा उत्तर सेतु हेतु उपयोगी है, जहाँ भार धुरों की ऐसी शृंखला है जो कहीं भी खड़ी हो सकती है।

कैस्टिग्लियानो का द्वितीय प्रमेय

GATE 2027 संशोधन बल व ऊर्जा विधियों में कैस्टिग्लियानो के द्वितीय प्रमेय को स्पष्ट रूप से नामित करता है, और वह आभासी कार्य के स्थान पर नहीं, उसके साथ बैठता है: दोनों विकृति-ऊर्जा के विषय में कथन हैं, और जब अभीष्ट राशि ऐसे बिंदु पर विस्थापन हो जहाँ भार पहले से लगा है तब प्रमेय छोटा मार्ग है। वह ठीक यही कहता है: कुल विकृति-ऊर्जा का किसी भार के सापेक्ष आंशिक अवकलज उसी भार पर, उसकी ही दिशा में, विस्थापन के बराबर है — δ = ∂U/∂P। उसके टिकने हेतु संरचना के निर्धार्य होने की आवश्यकता नहीं।

🎯 वह ऊर्जा-तर्क से `PL³/3EI` पुनःनिर्मित करता है, और वही प्रमाण है
सरलतम स्थिति हल कीजिए और देखिए कि अपरिचित मार्ग से परिचित उत्तर निकल आता है। L = 3 m लंबाई का कैंटिलीवर अपने मुक्त सिरे पर P = 20 kN वहन करता है, जहाँ EI = 20,000 kN·m²। मुक्त सिरे से x दूरी पर बंकन आघूर्ण M = Px है, अतः विकृति-ऊर्जा U = ∫M²/(2EI) dx = ∫₀ᴸ (Px)²/(2EI) dx = P²L³/(6EI) = 0.09 kN·m है। भार के सापेक्ष अवकलन कीजिए: δ = ∂U/∂P = PL³/(3EI) = 20 × 27/(3 × 20,000) = 0.009 m = 9.00 mm — जो ठीक मानक कैंटिलीवर विक्षेप सूत्र है, बिना कोई वक्रता समाकलित किए या संयुग्मी धरन खींचे प्राप्त। तीन बातें प्रमेय को मात्र सुरुचिपूर्ण न रहने देकर रखने योग्य बनाती हैं। वह किसी भी संरचना पर काम करता है जिसकी विकृति-ऊर्जा लिखी जा सके, जिसमें ट्रस भी हैं (जहाँ U = Σ N²L/2AE और अवकलज समाकल नहीं, योग है) तथा अनिर्धार्य फ्रेम। वह घूर्णन भी उतनी ही सरलता से देता है, आघूर्ण के सापेक्ष अवकलन करके: यहाँ θ = ∂U/∂M = PL²/(2EI) = 0.00450 rad। और जहाँ अभीष्ट बिंदु पर कोई भार न लगा हो वहाँ उपाय यह है कि वहाँ छायादार भार Q लगाइए, अवकलन कीजिए, फिर Q = 0 रखिए — जिस बिंदु पर विधि आभासी कार्य बन चुकी है, और यही कारण है कि दोनों प्रतिद्वंद्वी न होकर एक ही खंड में बैठते हैं। एक प्रतिबंध स्पष्ट कहने योग्य: यहाँ प्रयुक्त रूप में प्रमेय रैखिक प्रत्यास्थ व्यवहार मानता है, अतः वह प्रवाह के आगे की संरचना के विषय में कुछ नहीं कहता।

मुख्य बिंदु

  • पहले गिनें: D_s = 3m + r − 3j, प्रति मुक्त आघूर्ण एक घटाकर। D_s वह है कि बल विधि कितने समीकरण हल करती है और D_k वह कि विस्थापन विधि कितने — छोटा चुनें, और इसीलिए सॉफ़्टवेयर सदा दृढ़ता प्रयोग करता है।
  • बल विधि है मुक्त करो, अंतराल नापो, बंद करो। 20 kN/m के अंतर्गत 6 मीटर टेकित शहतीर पर टेक 3wL/8 = 45 kN लेती है — EI निरसित होते हुए — और भित्ति-आघूर्ण 360 से घटाकर 90 kN·m कर देती है, ठीक चौथाई।
  • संतति माँग हटाती नहीं, स्थानांतरित करती है: दो 6 मीटर विस्तार अवनमन आघूर्ण 90 से घटाकर 50.6 kN·m करते हैं और मध्य आधार पर −90 उत्पन्न करते हैं। वही कुल भार, बलवान होने का भिन्न स्थान — और इसीलिए स्लैब का इस्पात आधारों के ऊपर शीर्ष पर पार करता है।
  • केबल तथा त्रि-कीलक परवलयिक मेहराब H = wL²/8h साझा करते हैं, और UDL के अंतर्गत मेहराब प्रत्येक काट पर शून्य बंकन वहन करता है क्योंकि उसकी आकृति रज्जु-रूप है। भारण बदलें और बंकन तत्काल लौट आता है।
  • प्रभाव रेखा आलेखित करती है कि भार कहाँ है, यह नहीं कि आप कहाँ देख रहे हैं। सरल आलंबित विस्तार पर मध्य-विस्तार आघूर्ण L/4 पर शिखर बनाता है — 20 मीटर विस्तार पर 5 मीटर, अतः एक 100 kN का पहिया 500 kN·m देता है, और आरेख यह भी बताता है कि उसे कहाँ खड़ा करना है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक-खंड एक-मंज़िला दृढ़ पोर्टल फ़्रेम के दोनों स्तंभ-आधार जड़ित हैं। उसकी स्थैतिक अनिर्धार्यता की कोटि ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    3। D_s = 3m + r − 3j प्रयोग करें। फ़्रेम में m = 3 सदस्य हैं — दो स्तंभ व एक धरन — तथा j = 4 संधियाँ, दोनों आधार व दोनों कोने गिनते हुए। दो जड़ित आधार प्रत्येक तीन प्रतिक्रिया-घटक देते हैं, अतः r = 6। तब D_s = 3(3) + 6 − 3(4) = 9 + 6 − 12 = 3। अंकगणित के साथ भौतिक पाठ भी रखने योग्य है: धरन को कहीं भी काटें और आप तीन आंतरिक बल उघाड़ते हैं — अक्षीय, अपरूपण व आघूर्ण — जिनमें से कोई भी स्थैतिकी नहीं खोज सकती, और वही 3 है। आधार बदलें और गिनती उनके साथ चलती है। कीलित आधार r = 4 तथा D_s = 1 देते हैं, और इसीलिए कीलित पादों पर पोर्टल हाथ से विश्लेषित करना कहीं सुगम है और इसीलिए वही मानक पाठ्यपुस्तक-स्थिति है। धरन के मध्य भी कीलक जोड़ें और मुक्ति एक और घटाती है, D_s = 2 शेष रखते हुए। दो सामान्य त्रुटियाँ: यह भूल जाना कि आधार भी संधियाँ हैं, जो j = 2 तथा निरर्थक उत्तर देता है; और जड़ित आधार को तीन के बजाय दो प्रतिक्रियाएँ मानना, जो आघूर्ण खो देता है और 1 देता है। कोई भी विश्लेषण करने से पूर्व गिनती करने योग्य है, क्योंकि वह विधि तय करती है — D_s = 3 पर बल विधि को तीन युगपत् संगतता समीकरण चाहिए, जबकि विस्थापन विधि को केवल दो संधि-घूर्णन व एक झूलन।

  2. 6 मीटर विस्तार का शहतीर 20 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करता है और अपने मुक्त सिरे पर बेलन-आधार से टेकित है। टेक पर प्रतिक्रिया, kN में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 45

    45 kN। संरचना एक बार अनिर्धार्य है, अतः टेक मुक्त करें और संगतता पुनःस्थापित करें। सादे शहतीर की भाँति मुक्त सिरा wL⁴/8EI गिरता है; उस सिरे पर ऊपर की ओर कार्य करती टेक-प्रतिक्रिया P उसे PL³/3EI उठाती है। बेलन-आधार बिंदु को स्थिर रखता है, अतः wL⁴/8EI = PL³/3EI, जिससे P = 3wL/8 = 3(20)(6)/8 = 45 kN। ध्यान दें कि EI निरसित हो जाता है: उत्तर काट व पदार्थ चाहे जो हों टिकता है, बशर्ते दोनों सर्वत्र समान हों। शेष संरचना अनुसरण करती है — जड़ित सिरा 120 − 45 = 75 kN वहन करता है, और आधार-आघूर्ण wL²/8 = 90 kN·m है। उसकी तुलना उसी बिना-टेक धरन से करें, जहाँ भित्ति wL²/2 = 360 kN·m वहन करती है: एक बेलन-आधार ने भित्ति-आघूर्ण का तीन-चौथाई हटा दिया। अतिरेक के विषय में वही सामान्य शिक्षा है, और उसके साथ सामान्य चेतावनी आती है। चूँकि अब बल सापेक्ष दृढ़ता पर निर्भर हैं, यह धरन उन कारणों से आंतरिक बल विकसित करती है जिन्हें निर्धार्य धरन पूर्णतः उपेक्षित कर देती है — यदि टेक कुछ मिलीमीटर भी बैठ जाए, P बदल जाता है; ताप-प्रवणता अथवा तनिक छोटा गढ़ा गया सदस्य वही करता है। निर्धार्य संरचना ऐसी बातें चलकर समायोजित कर लेती है। अनिर्धार्य उनका प्रतिरोध करती है, और प्रतिरोध वास्तविक प्रतिबल है।

  3. आघूर्ण-वितरण विधि में, ऐसे प्रिज़्मीय सदस्य हेतु वहन-गुणक जिसका दूर का सिरा जड़ित है

    1. 1
    2. 1/2
    3. 0
    4. 3/4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/2

    1/2। ऐसे प्रिज़्मीय सदस्य के एक सिरे पर आघूर्ण लगाएँ जिसका दूसरा सिरा जड़ित हो और हल करें: दूर का सिरा ठीक आधा लगाया गया आघूर्ण विकसित करता है, उसी चिह्न-परिपाटी सहित। वही वहन-गुणक है, और वह सदस्य का गुणधर्म है, संरचना का नहीं, अतः वह प्रत्येक बार टिकता है जब दूर का सिरा जड़ित हो। शेष विधि उसके चारों ओर का लेखा है: सभी संधियाँ जकड़ें, जड़ित-सिरा आघूर्ण निकालें, फिर संधियाँ एक-एक करके मुक्त करें, असंतुलित आघूर्ण को वहाँ मिलते सदस्यों में उनकी दृढ़ता 4EI/L के अनुपात में बाँटते हुए, प्रत्येक वितरित आघूर्ण का आधा दूर के सिरे तक ले जाते हुए, और तब तक दोहराते हुए जब तक वहन की गई मात्राएँ नगण्य न हो जाएँ। विकल्प C भिन्न दूर-सिरा स्थिति हेतु सही है — कीलित दूर सिरा कुछ नहीं वहन करता, और उसकी दृढ़ता तदनुसार 3EI/L तक घट जाती है, जो वह मानक संशोधन है जो सरल आलंबित सिरे वाली धरन का विश्लेषण छोटा कर देता है। विकल्प A का अर्थ होता कि दूर का सिरा पूरा लगाया गया आघूर्ण अनुभव करता है, जो विधि को अभिसरित करने के बजाय अपसरित कर देता। प्रक्रिया समाप्त होने का कारण ठीक यही है कि प्रत्येक चक्र केवल आधा वहन करता है और तत्पश्चात् उसका अंश बाँटता है, अतः संशोधन ज्यामितीय रूप से सिकुड़ते हैं — आघूर्ण-वितरण उन्हीं युगपत् समीकरणों का पुनरावृत्त हल है जिन्हें प्रवणता-विक्षेप सीधे लिखता है, और वह इसीलिए अभिसरित होता है कि वहन-गुणक एक से कम है।

  4. दो-विस्तार संतत धरन के 6 मीटर के समान विस्तार हैं और वह दोनों विस्तारों पर 20 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करती है। सिरा-आधार सरल हैं। मध्य आधार पर बंकन आघूर्ण का परिमाण, kN·m में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 90

    90 kN·m (उन्नमन)। सममिति से दोनों विस्तार समरूप व्यवहार करते हैं, अतः धरन का प्रत्येक अर्धांश मध्य आधार के परितः टेकित शहतीर है, और मानक परिणाम wL²/8 = 20(36)/8 = 90 kN·m लागू होता है। त्रि-आघूर्ण समीकरण अथवा आघूर्ण-वितरण का एक चक्र वही देता है। सम्पूर्ण चित्र साथ ले जाने योग्य है: सिरा-प्रतिक्रियाएँ प्रत्येक 3wL/8 = 45 kN हैं, मध्य आधार 2 × 5wL/8 = 150 kN लेता है, और तीनों का योग 240 kN है, जो कुल भार 2 × 120 है ✓ — वह जाँच सदा चलाएँ। प्रथम विस्तार में अपरूपण x = 45/20 = 2.25 m पर लुप्त होता है, जहाँ अवनमन आघूर्ण 45(2.25) − 20(2.25²)/2 = 50.625 kN·m पर शिखर बनाता है। दो पृथक् सरल आलंबित 6 मीटर विस्तारों से तुलना करें, जो मध्य-विस्तार पर wL²/8 = 90 kN·m वहन करते और आधार पर कुछ नहीं। संतति ने अवनमन आघूर्ण 44 प्रतिशत काटा है और उसका मूल्य आधार पर समान आकार के उन्नमन आघूर्ण से चुकाया है, साथ ही 120 के बजाय 150 kN की मध्य प्रतिक्रिया से। कुछ भी बिना कुछ दिए नहीं मिला — माँग सिकुड़ी नहीं, स्थानांतरित हुई। और वह स्थानांतरण किसी भी संतत स्लैब में दृश्य है: प्रबलन विस्तारों में तल के निकट चलता है और आधारों के ऊपर शीर्ष पर पार करता है, क्योंकि अब तनन वहीं है।

  5. 40 मीटर विस्तार की केबल 10 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करती है और उसकी केंद्रीय अवनति 4 मीटर है। केबल-तनाव का क्षैतिज घटक, kN में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 500

    500 kN। क्षैतिज के अनुदिश एकसमान भार के अंतर्गत केबल हेतु परिच्छेदिका परवलयिक है और तनाव का क्षैतिज घटक सम्पूर्ण लंबाई पर अचर है, H = wL²/(8h) = 10(40²)/(8 × 4) = 16000/32 = 500 kN पर। H का अचर होना ही वह तथ्य है जिसे पकड़े रखना उचित है — केबल-तनाव लंबाई के अनुदिश बदलता है क्योंकि ऊर्ध्व घटक बदलता है, निम्नतम बिंदु पर शून्य और प्रत्येक आधार पर wL/2 = 200 kN होते हुए, अतः महत्तम तनाव आधारों पर है जहाँ केबल सर्वाधिक तीव्र है: T_max = √(500² + 200²) = 538.5 kN, H से केवल 7.7 प्रतिशत ऊपर। अवनति अभिकल्प-चर है, और H उसका व्युत्क्रमानुपाती है: अवनति आधी करके 2 मीटर करें और प्रणोद दोगुना होकर 1000 kN हो जाता है। अधिक सपाट केबल सस्ती नहीं — वह अधिक भारित है, और उसके लंगर बड़े होने चाहिए, और इसीलिए निलंबन सेतु उतनी झोल सहित बनाए जाते हैं जितनी निकासी अनुमति दे। दो संबंधित परिणाम यहाँ जोड़ने योग्य हैं। उसी विस्तार तथा 4 मीटर उत्थान का त्रि-कीलक परवलयिक मेहराब उसी भार के अंतर्गत ठीक उसी बीजगणित से H = wL²/8r = 500 kN लेता है, क्योंकि मेहराब उल्टी की गई केबल है। और क्षैतिज के बजाय केबल के अनुदिश एकसमान भार के अंतर्गत — केवल अपना भार वहन करती केबल — वास्तविक परिच्छेदिका परवलय नहीं बल्कि रज्जु-वक्र है, यद्यपि उथली झोलों हेतु दोनों में बहुत कम अंतर है।

  6. L विस्तार व r उत्थान का त्रि-कीलक परवलयिक मेहराब अपने सम्पूर्ण विस्तार पर w का एकसमान वितरित भार वहन करता है। मेहराब की किसी भी काट पर बंकन आघूर्ण है

    1. शिखर पर अधिकतम
    2. सर्वत्र शून्य
    3. चतुर्थांश-बिंदुओं पर अधिकतम
    4. सर्वत्र wL²/8 के बराबर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सर्वत्र शून्य

    सर्वत्र शून्य। किसी भी काट पर मेहराब-आघूर्ण उसी विस्तार व भारण हेतु सरल-धरन आघूर्ण है, घटा क्षैतिज प्रणोद गुणा मेहराब-अक्ष की ऊँचाई: M = M_beam − Hy। पूर्ण-विस्तार UDL के अंतर्गत M_beam = wx(L−x)/2, परवलयिक अक्ष y = 4rx(L−x)/L² है, और प्रणोद H = wL²/8r। प्रतिस्थापित करने पर Hy = (wL²/8r)(4rx(L−x)/L²) = wx(L−x)/2, जो ठीक M_beam है — अतः दोनों पद सर्वथा निरसित हो जाते हैं और प्रत्येक x पर M = 0। r = 4 m व w = 10 kN/m सहित 40 मीटर विस्तार पर उसे संख्यात्मकतः जाँचें, जहाँ H = 500 kN: चतुर्थांश-बिंदु पर y = 3 m तथा M_beam = 1500 kN·m के सम्मुख Hy = 1500; शिखर पर y = 4 तथा M_beam = 2000 के सम्मुख Hy = 2000। दोनों बार शून्य। कारण यह है कि परवलय एकसमान वितरित भार हेतु रज्जु-आकृति है, अतः मेहराब प्रणोद-रेखा का अनुसरण कर रहा है और सम्पूर्ण 400 kN शुद्ध संपीडन में वहन करता है। आवश्यक शर्त, और परीक्षक सामान्यतः उसी की जाँच करता है: यह केवल उसी भारण हेतु टिकता है जिसके अनुकूल आकृति है। मेहराब पर संकेंद्रित भार रखें, अथवा आधा विस्तार भारित करें, और उस स्थिति का रज्जु-रूप भिन्न वक्र है, मेहराब अब उसके अनुदिश नहीं है, और बंकन आघूर्ण तत्काल प्रकट हो जाते हैं। इसी कारण चिनाई के मेहराब, जिनकी बंकन-क्षमता अल्प है, विशाल बनाए जाते हैं — प्रभावी एकसमान मृत भार वास्तविक प्रणोद-रेखा को उस आकृति के निकट रखता है जो खींची गई थी।

  7. L विस्तार की सरल आलंबित धरन के मध्य-विस्तार पर बंकन आघूर्ण की प्रभाव रेखा है

    1. L²/8 की शिखर-कोटि वाला परवलय
    2. मध्य-विस्तार पर L/4 की शिखर-कोटि वाला त्रिभुज
    3. L/4 की अचर कोटि वाला आयत
    4. मध्य-विस्तार पर 1 की शिखर-कोटि वाला त्रिभुज
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मध्य-विस्तार पर `L/4` की शिखर-कोटि वाला त्रिभुज

    L/4 पर शिखर बनाता त्रिभुज। बाएँ आधार से a दूरी पर एकांक भार रखें। बाईं प्रतिक्रिया (L − a)/L है, और जब तक भार मध्य-विस्तार के दक्षिण है तब तक मध्य-विस्तार पर आघूर्ण (L−a)/L × L/2 है, जो a = 0 पर शून्य से रैखिकतः चढ़कर भार के मध्य-विस्तार पर पहुँचने पर L/4 हो जाता है; सममिति से वह रैखिकतः शून्य पर लौट आता है। अतः L/4 की शिखर-कोटि वाला त्रिभुज — एक लंबाई, क्योंकि आघूर्ण की प्रभाव रेखा की इकाई प्रति एकांक भार लंबाई है। 20 मीटर विस्तार पर शिखर 5 m है, अतः एक 100 kN का पहिया मध्य-विस्तार पर खड़े होने पर 500 kN·m उत्पन्न करता है। विकल्प A एकांक तीव्रता के UDL हेतु बंकन आघूर्ण आरेख है, और दोनों को मिला देना ही वह त्रुटि है जिसे पकड़ने हेतु यह प्रश्न विद्यमान है: बंकन आघूर्ण आरेख आलेखित करता है कि एक नियत भारण प्रत्येक काट पर क्या करता है, जबकि प्रभाव रेखा आलेखित करती है कि चलता एकांक भार एक काट पर क्या करता है। क्षैतिज अक्षों का अर्थ भिन्न है। विकल्प D आघूर्ण की प्रभाव रेखा को प्रतिक्रिया वाली से मिला देता है, जो 1 पर शिखर बनाती ही है और विमाहीन है। विकल्प C कहता कि भार की स्थिति महत्व नहीं रखती, और ठीक उसी का निषेध करने हेतु प्रभाव रेखा विद्यमान है। और व्यावहारिक मूल्य वह दूसरा उत्तर है जो वह देती है: सेतु पर धुरा-भारों की शृंखला हेतु आरेख आपको केवल प्रभाव नहीं बताता बल्कि यह भी कि उसे अधिकतम करने हेतु वाहन कहाँ खड़ा करना है।

  8. निम्नलिखित में कौन अनिर्धार्य संरचना हेतु सत्य हैं किंतु निर्धार्य हेतु नहीं? (एक अथवा अधिक)

    1. एक आधार के बैठ जाने से आंतरिक बल विकसित होते हैं
    2. मुक्त प्रसार रोके जाने सहित एकसमान ताप-वृद्धि से आंतरिक बल विकसित होते हैं
    3. आंतरिक बलों का वितरण सदस्यों की सापेक्ष दृढ़ता पर निर्भर है
    4. वहन किया गया कुल भार प्रतिक्रियाओं के योग के बराबर होना ही चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक आधार के बैठ जाने से आंतरिक बल विकसित होते हैं; B — मुक्त प्रसार रोके जाने सहित एकसमान ताप-वृद्धि से आंतरिक बल विकसित होते हैं; C — आंतरिक बलों का वितरण सदस्यों की सापेक्ष दृढ़ता पर निर्भर है

    A, B तथा C। तीनों वही अंतर्निहित गुणधर्म भिन्न दिशाओं से वर्णित करते हैं। निर्धार्य संरचना में आंतरिक बल केवल साम्य से निकलते हैं, अतः जो कुछ भी भार बदले बिना केवल आकृति बदलता है — बैठता आधार, ताप-परिवर्तन, तनिक छोटा गढ़ा सदस्य — वह संरचना के केवल चल देने से समायोजित हो जाता है, और तनिक भी प्रतिबल उत्पन्न नहीं करता। अनिर्धार्य संरचना में उन विस्थापनों का प्रतिरोध अतिरिक्त अवरोध करते हैं, और प्रतिरोध का अर्थ बल है। A चिरपरिचित स्थिति है: संतत धरन का एक आधार बैठाएँ और आघूर्ण-आरेख सर्वत्र बदल जाता है, लगाए गए भार में कोई परिवर्तन बिना। B तापमान के माध्यम से वही क्रियाविधि है, और इसीलिए लंबे सेतुओं को प्रसार-संधियाँ व धारक दिए जाते हैं — इसलिए नहीं कि पदार्थ विकृति नहीं ले सकता, बल्कि इसलिए कि गति रोकना ऐसे बल उत्पन्न करता है जो किसी और ने माँगे ही नहीं थे। C दोनों का सामान्य कथन है, और वही अनिर्धार्य विश्लेषण को कठिन बनाता है: उत्तर EI अनुपातों पर निर्भर है, अतः आप काटों के विषय में कुछ जाने बिना बलों हेतु हल नहीं कर सकते, जबकि निर्धार्य संरचना में बल कोई काट चुने जाने से पूर्व निकल आते हैं। D भेदक कथन के रूप में असत्य है, और वही जाल है: समग्र साम्य प्रत्येक खड़ी संरचना हेतु टिकता है, निर्धार्य हो अथवा नहीं। अनिर्धार्यता का अर्थ है कि सभी अज्ञात खोजने हेतु स्थैतिकी पर्याप्त नहीं, यह कभी नहीं कि वह सत्य होना बंद कर देती है — और इसीलिए कुल भार के सम्मुख प्रतिक्रियाओं का योग करना अनिर्धार्य विश्लेषण पर भी वैध अंकगणितीय जाँच बनी रहती है, जैसी वह इस अध्याय की 240 kN वाली दो-विस्तार धरन हेतु थी।