ठोस यांत्रिकी: बंकन, अपरूपण केंद्र, ऐंठन, बंकुचन व संयुक्त प्रतिबल

इस अध्याय का सब कुछ एक समीकरण से तथा यह पूछने के अनुशासन से निकलता है कि वह क्या मानकर चलता है। सरल बंकन सिद्धांत कहता है σ/y = M/I = E/R, और मध्य पद को σ = M/Z में पुनर्व्यवस्थित करना सिविल पेपर की सर्वाधिक प्रयुक्त एक पंक्ति है। उसकी मान्यताएँ नाम लेने योग्य हैं क्योंकि प्रत्येक एक परीक्षणीय विफलता है: पदार्थ प्रत्यास्थ है और तनन व संपीडन में समान, काट भारण-तल के परितः सममित है, धरन आरंभ में सीधी है, तथा समतल काटें समतल रहती हैं। दूसरी तोड़ें और उदासीन अक्ष केंद्रक छोड़ देता है; अंतिम तोड़ें और आप गहरी धरनों के क्षेत्र में हैं, जहाँ सूत्र चुपचाप सत्य होना बंद कर देता है। बंकन के साथ अपरूपण चलता है, और दोनों भिन्न प्रकार से पढ़े जाते हैं — बंकन प्रतिबल छोर-तंतु पर सर्वाधिक और उदासीन अक्ष पर शून्य है, जबकि अपरूपण ठीक उल्टा करता है, अतः आयत हेतु 1.5 V/A उदासीन-अक्ष की राशि है और छोर-तंतु कोई अपरूपण वहन नहीं करता। तत्पश्चात् वह मद जो सिविल माँगता है और यांत्रिक नहीं: अपरूपण केंद्र, वह बिंदु जिससे होकर अनुप्रस्थ भार जाना चाहिए यदि सदस्य को ऐंठे बिना बंकित होना है — और चैनल हेतु वह काट पर ही नहीं है। एकसमान ऐंठन τ = Tr/J तथा θ = TL/GJ देती है, और दूसरा पहले जितना ही मूल्यवान है, क्योंकि शाफ़्ट अथवा वक्र गर्डर सामान्यतः इससे शासित है कि वह कितना घूमता है। बंकुचन वहाँ है जहाँ स्तंभ सामर्थ्य-समस्या होना बंद कर देता है: P_cr = π²EI/L_e² में कोई सामर्थ्य-पद ही नहीं, अतः अधिक बलवान इस्पात कुछ नहीं खरीदता और केवल E, क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण तथा प्रभावी लंबाई महत्व रखते हैं। और संयुक्त प्रत्यक्ष व बंकन प्रतिबल, σ = P/A ± Pe/Z, मध्य-तृतीयांश नियम देता है — वह उत्केंद्रता जिस पर स्तंभ का एक फलक ठीक शून्य प्रतिबल पर पहुँचता है, और जिसके आगे वह तनन में चला जाता है।

सरल बंकन सिद्धांत, तथा अपरूपण उल्टा क्यों पढ़ता है

बंकन समीकरण तीन राशियों को बराबर रखता है: σ/y = M/I = E/R। प्रथम युग्म लें और उदासीन अक्ष से y दूरी पर तंतु का प्रतिबल σ = My/I है, छोर-तंतु पर सर्वाधिक जहाँ y = y_max, और इसीलिए सम्पूर्ण गणना सामान्यतः काट-गुणांक Z = I/y_max में भर दी जाती है और σ = M/Z की भाँति पढ़ी जाती है। इसके बजाय द्वितीय युग्म लें और आपके पास वक्रता है, 1/R = M/EI, जो वह समीकरण है जिसे प्रत्येक विक्षेप-गणना समाकलित करती है। उसे σ = M/Z लिखने का व्यावहारिक मूल्य यह है कि वह अभिकल्प-निर्णय के दो अर्धांश पृथक् कर देता है: भारण M नियत करता है और काट Z नियत करती है, अतः धरन चुनना एक संख्या चुनना है। पूर्व अध्याय की 8 मीटर धरन पर लौटें, जिसने M = 165 kN·m माँगा था। 165 MPa के अनुमेय प्रतिबल के सम्मुख अपेक्षा Z = 165 × 10⁶/165 = 1.000 × 10⁶ mm³ ठीक है; अनुमेय को 150 MPa पर गिराएँ और अपेक्षा 1.100 × 10⁶ तक चढ़ जाती है। धरन के विषय में कुछ नहीं बदला — केवल यह कि आप इस्पात को क्या करने देने को तैयार हैं।

उसी काट पर अपरूपण प्रतिबल τ = VQ/(Ib) है, जिसमें Q तंतु से परे के क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्ण है। उसकी आकृति बंकन-वितरण के ठीक विपरीत है, और सूत्र के बजाय वही तथ्य साथ ले जाने योग्य है। छोर-तंतु पर उससे परे कोई क्षेत्रफल नहीं, अतः Q = 0 और छोर-तंतु कोई अपरूपण वहन नहीं करता; उदासीन अक्ष पर Q सर्वाधिक है और τ भी। आयत हेतु वितरण परवलयिक है और 1.5 V/A पर शिखर बनाता है, अतः परिचित V/A माध्य है और निकृष्टतम बिंदु को आधे से कम बताता है। धरन का V = 73 kN वहन करती 300 × 450 काट पर संख्याएँ चलाएँ: माध्य 0.541 MPa है और उदासीन-अक्ष अधिकतम 0.811 MPa। दोनों लघु हैं — और वही वास्तविक शिक्षा है, क्योंकि सामान्य अनुपातों की धरन हेतु बंकन शासन करता है और अपरूपण नहीं, और अपरूपण तभी अधिकार लेता है जब विस्तार गहराई की तुलना में छोटा हो जाए अथवा जब जाल पतला हो जाए, और ठीक इसीलिए पट्ट-गर्डर की जाल-अपरूपण हेतु जाँच होती है और गृह-तल की धरनी की नहीं।

300 × 450 आयत पर बंकन व अपरूपण, पूर्व अध्याय की धरन-बलों के अंतर्गत
राशिजहाँ वह सर्वाधिक हैमान
बंकन प्रतिबल, M = 165 kN·mछोर-तंतुM/Z = 16.30 MPa
बंकन प्रतिबलउदासीन अक्षशून्य
अपरूपण प्रतिबल, V = 73 kNउदासीन अक्ष1.5 V/A = 0.811 MPa
अपरूपण प्रतिबलछोर-तंतुशून्य
तुलना हेतु माध्य अपरूपण—V/A = 0.541 MPa

अपरूपण केंद्र, तथा वह काट से बाहर क्यों है

बंकन सिद्धांत चुपचाप मान लेता है कि भार ऐसे लगाया गया है कि सदस्य बंकित हो और ऐंठे नहीं। सममिति के दो अक्षों वाली काट हेतु — आयत, वृत्त, मानक I-धरन — वह केंद्रक पर स्वतः होता है, और मान्यता अदृश्य है। केवल एक सममिति-अक्ष वाली, अथवा किसी भी अक्ष के बिना वाली काट हेतु वह नहीं होता, और वह बिंदु जिससे होकर अनुप्रस्थ भार को ऐंठन-रहित बंकन उत्पन्न करने हेतु जाना चाहिए, उसका अपना नाम है: अपरूपण केंद्र। वह वहाँ है जहाँ अपरूपण-प्रवाह की परिणामी कार्य करती है, और वह केवल आकृति का गुणधर्म है — ज्यामिति का, भार, पदार्थ अथवा परिमाण का नहीं।

🎯 एक चैनल, तथा हवा में 37 mm दूर एक बिंदु
100 mm चौड़े फ़्लैंज, फ़्लैंज-केंद्ररेखाओं के बीच 200 mm तथा 10 mm की एकसमान मोटाई वाला पतला चैनल लें, जाल के समांतर भारित। अपरूपण-प्रवाह का अनुसरण करें। वह ऊपरी फ़्लैंज में सिरे से जाल की ओर चलता है, जाल में नीचे मुड़ता है, और निचले फ़्लैंज के अनुदिश बाहर लौटता है — अतः दोनों फ़्लैंज-प्रवाह गहराई से पृथक्, समान व विपरीत क्षैतिज बलों का युग्म हैं: एक बल-युग्म। जाल-प्रवाह लगभग सम्पूर्ण ऊर्ध्व अपरूपण वहन करता है और जाल से होकर जाता है, अतः वह जाल के परितः कोई ऐंठन उत्पन्न नहीं करता। फ़्लैंज-युग्म को किसी को संतुलित करना ही होगा, और एकमात्र मार्ग यह है कि लगाया गया भार किसी अंतर पर कार्य करे। उसकी गणना: I_web = 6.667 × 10⁶ तथा दोनों फ़्लैंज 2.002 × 10⁷ जोड़ते हैं, जिससे I_x = 2.668 × 10⁷ mm⁴, और e = b²h²t/(4I_x) = (100²)(200²)(10)/(4 × 2.668 × 10⁷) = 37.48 mm। वह फ़्लैंज-चौड़ाई का 0.375 है, जाल-केंद्ररेखा से मापा गया तथा फ़्लैंजों से दूर की ओर — पूर्णतः धातु के बाहर, हवा में। अतः अपने जाल के अनुदिश भारित चैनल, जहाँ वास्तविक भार स्वाभाविक रूप से बैठेगा, अपने अपरूपण केंद्र से 37 mm दूर भारित है और अतः ऐंठ रहा है, बंकन-गणना कितनी भी सावधानी से की गई हो। यह कौतुक नहीं है: इसी कारण चैनल पीठ-से-पीठ जोड़ों में प्रयुक्त होते हैं, इसी कारण पर्लिन को प्रति-अवनमन बंधनी मिलती है, और इसी कारण लिंटेल की भाँति प्रयुक्त कोण विक्षेपित होते हुए घूमता है। रखने योग्य दो परिणाम। पतले भागों से बनी किसी भी ऐसी काट हेतु जो एक बिंदु पर मिलते हैं — कोण, टी, क्रूसाकार — अपरूपण केंद्र उसी बिंदु पर है, क्योंकि प्रत्येक अपरूपण-प्रवाह उससे होकर जाता है और कोई बल-युग्म नहीं बन सकता। और सममिति के दो अक्षों वाली काट हेतु अपरूपण केंद्र केंद्रक से संपाती है, और I-धरन हेतु मान्यता भूल जाना केवल इसी कारण सुरक्षित है।

प्रतिबल का रूपांतरण, तथा एकसमान ऐंठन

समतल प्रतिबल की अवस्था तीन संख्याएँ हैं — σ_x, σ_y तथा τ_xy — और वे उन अक्षों पर निर्भर हैं जो आपने चुने, पदार्थ पर नहीं। रूपांतरण उत्तर देता है कि θ से घुमाए गए तल पर वही अवस्था क्या पढ़ती है, और मोर-वृत्त सम्पूर्ण उत्तर एक बार खींचा गया है: केंद्र (σ_x + σ_y)/2 पर, त्रिज्या √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²]। मुख्य प्रतिबल क्षैतिज व्यास के दो सिरे हैं, केंद्र ± त्रिज्या, और अधिकतम अंतः-तल अपरूपण स्वयं त्रिज्या है, मुख्य तलों से 45° पर तलों पर — और वह इस अध्याय का सर्वाधिक उपयोगी एक ज्यामितीय तथ्य है, क्योंकि वह समझाता है कि तनन में तन्य छड़ 45° के शंकु पर क्यों सिकुड़ती है और भंगुर छड़ आर-पार समकोण पर क्यों टूटती है।

🧠 एक रूपांतरण, तथा वह अपरिवर्तक जो उसकी जाँच करता है
σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa, τ_xy = 40 MPa लें। केंद्र = (80 + 20)/2 = 50; त्रिज्या = √(30² + 40²) = 50। अतः σ₁ = 100 MPa तथा σ₂ = 0 — ठीक शून्य, जो इसे गलत अक्षों से देखी गई शुद्ध एकाक्षीय तनन की अवस्था बना देता है, और यह अच्छा स्मारक है कि तीन अशून्य घटकों वाली अवस्था छद्मवेश में एक-आयामी हो सकती है। अंतः-तल अधिकतम अपरूपण त्रिज्या है, 50 MPa। कोणों हेतु, tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y) = 80/60, अतः 2θ_p = 53.13° और θ_p = 26.57°, अधिकतम अपरूपण का तल 45° दूर 71.57° पर। अब वह जाँच जो कुछ नहीं लेती: अभिलंब प्रतिबलों का योग घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तक है, अतः σ₁ + σ₂ को σ_x + σ_y के बराबर होना ही चाहिए, और 100 + 0 = 80 + 20 ✓। उसे प्रत्येक बार चलाएँ — वह τ में चिह्न-त्रुटि पकड़ लेती है, जो यहाँ सर्वाधिक सामान्य चूक है, एक पंक्ति में। और तृतीय मुख्य प्रतिबल पर ध्यान दें: समतल प्रतिबल में σ₃ = 0, अतः निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण यहाँ (σ₁ − σ₃)/2 = 50 MPa है, जो अंतः-तल मान के बराबर केवल इस कारण निकलता है कि σ₂ स्वयं शून्य है। जब दोनों अंतः-तल मुख्य धनात्मक हों तब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण अंतः-तल वाले से अधिक होता है, और जो अभ्यर्थी अंतः-तल आँकड़ा बताता है उसने तन्य पदार्थ पर माँग को कम आँका है।

वृत्तीय शाफ़्ट की एकसमान ऐंठन τ/r = T/J = Gθ/L देती है, बंकन जैसी ही त्रि-मार्गी समता, और वैसे ही पढ़ी जाती है। प्रतिबल-रूप τ_max = Tr/J है, अथवा ठोस वृत्त हेतु 16T/πd³; दृढ़ता-रूप θ = TL/GJ है। d = 100 mm, T = 10 kN·m, G = 80 GPa, L = 2 m पर लें: J = πd⁴/32 = 9.82 × 10⁶ mm⁴, अतः τ_max = 50.93 MPa — दोनों सूत्र सहमत, जैसा होना ही चाहिए — तथा θ = 0.0255 rad = 1.46°। सिविल संरचना हेतु सामान्यतः दूसरी संख्या ही निर्णय करती है, क्योंकि वक्र सेतु-गर्डर अथवा उत्केंद्रतः भारित धरन घूर्णन से सीमित है, ऐंठन-प्रतिबल से नहीं। एक महत्वपूर्ण प्रतिबंध पर ध्यान दें: यह सिद्धांत वृत्तीय काटों हेतु है। अवृत्तीय काट ऐंठने पर तल से बाहर विकृत होती है, समतल काटें समतल नहीं रहतीं, और J ऐसे ऐंठन-नियतांक से प्रतिस्थापित हो जाता है जो ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण नहीं — और इसीलिए खुली पतली-भित्तीय काट ऐंठन में अपने ध्रुवीय आघूर्ण के सुझाव से नाटकीय रूप से बुरी है।

बंकुचन, तथा संयुक्त प्रत्यक्ष व बंकन प्रतिबल

छोटा स्तंभ पिसता है और लंबा बंकुचित होता है, और दोनों भिन्न समीकरणों से शासित हैं जिनमें कुछ भी समान नहीं। यूलर का भार P_cr = π²EI/L_e² है, और चौंकाने वाली विशेषता यह है कि क्या अनुपस्थित है: उसमें कहीं भी कोई सामर्थ्य-पद प्रकट नहीं होता। जो स्तंभ बंकुचित होता है वह दृढ़ता व ज्यामिति से नियत भार पर होता है, अतः इस्पात की अधिक बलवान श्रेणी निर्दिष्ट करना ठीक कुछ नहीं खरीदता, जबकि काट को गहरी बनाना अथवा प्रभावी लंबाई छोटी करना बहुत कुछ खरीदता है। L_e प्रभावी लंबाई है, और अंक वहीं हैं: I = 9 × 10⁷ mm⁴ तथा E = 200 GPa वाला वही 6 मीटर स्तंभ दोनों सिरों पर कीलित होने पर 4935 kN वहन करता है, दोनों पर जड़ित होने पर 19 739 kN — चार गुना, क्योंकि भार 1/L_e² की भाँति चलता है और L_e आधा हुआ — तथा जड़ित-मुक्त शहतीर की भाँति केवल 1234 kN, कीलित मान का चौथाई। अतः स्तंभ के दोनों सिरे जड़ित करना पदार्थ के किसी भी परिवर्तन से अधिक मूल्यवान है।

वही 6 मीटर स्तंभ, चार सिरा-स्थितियाँ (E = 200 GPa, I = 9 × 10⁷ mm⁴)
सिरा-स्थितियाँL_eP_cr (kN)सापेक्ष
दोनों सिरे कीलितL4 9351.00
दोनों सिरे जड़ित0.5 L19 7394.00
एक जड़ित, एक कीलित0.7 L10 1002.05
तल पर जड़ित, शीर्ष पर मुक्त2 L1 2340.25
⚠️ मध्य-तृतीयांश नियम, तथा वह उत्केंद्रता जिस पर प्रतिबल ठीक शून्य पर पहुँचता है
जब अक्षीय भार केंद्रक से चूकता है तब वह प्रत्यक्ष प्रतिबल व बंकन दोनों उत्पन्न करता है, और दोनों अध्यारोपित होते हैं: σ = P/A ± Pe/Z। 500 kN वहन करता 300 × 450 का स्तंभ लें। प्रत्यक्ष प्रतिबल 500 000/135 000 = 3.704 MPa है, एकसमान। भार को 450 mm विमा के अनुदिश केंद्र से 50 mm दूर रखें और बंकन-पद 500 000 × 50/(10.125 × 10⁶) = 2.469 MPa है, अतः दोनों फलक 6.173 व 1.235 MPa पढ़ते हैं — दोनों अभी भी संपीडन। उत्केंद्रता को e = 75 mm तक बढ़ाएँ और बंकन-पद 3.704 MPa हो जाता है, प्रत्यक्ष प्रतिबल के ठीक बराबर, अतः एक फलक 7.407 और दूसरा ठीक शून्य पढ़ता है। वह उत्केंद्रता d/6 है, और चूँकि वह दोनों ओर लागू होती है, भार काट के मध्य तृतीयांश में कहीं भी बैठ सकता है और कहीं तनन उत्पन्न नहीं करेगा। e = 100 mm पर जाएँ और दूर का फलक −1.235 MPa पढ़ता है: तनन। इस्पात हेतु वह अनुल्लेखनीय होता। चिनाई, सादा कंक्रीट अथवा मृदा-अंतरापृष्ठ हेतु — जिनमें से किसी पर तनन में भरोसा नहीं किया जा सकता — वह शासक कसौटी है, और इसी कारण गुरुत्व बाँध की एड़ी पर तनन-रहितता हेतु जाँच होती है, चिनाई का स्तंभ केवल आकारित नहीं बल्कि अनुपातित किया जाता है, और नींव को मध्य तृतीयांश के भीतर परिणामी के नीचे रखा जाता है। अंकगणित का जाल Z है: वह उस अक्ष के परितः काट-गुणांक होना चाहिए जिसके परितः उत्केंद्रता सदस्य को बंकित करती है, अतः 450 mm विमा के अनुदिश उत्केंद्रता d = 450 सहित bd²/6 प्रयोग करती है, और 300 mm विमा के अनुदिश वही 100 mm अंतर कहीं अधिक गंभीर विषय है।

मुख्य बिंदु

  • σ/y = M/I = E/R एक समीकरण है जो तीन प्रकार से पढ़ा जाता है: प्रतिबल हेतु σ = M/Z, वक्रता हेतु 1/R = M/EI। ch01 की धरन के 165 kN·m को 165 MPa पर ठीक 1.0 × 10⁶ mm³ काट-गुणांक चाहिए।
  • बंकन व अपरूपण एक-दूसरे के उल्टे पढ़ते हैं: बंकन छोर-तंतु पर सर्वाधिक और उदासीन अक्ष पर शून्य, अपरूपण उल्टा। आयत हेतु 1.5 V/A उदासीन-अक्ष का मान है, औसत नहीं।
  • चैनल का अपरूपण केंद्र काट से बाहर है — यहाँ हल किए गए हेतु 37.5 mm दूर — अतः चैनल को उसके जाल के अनुदिश भारित करना उसे ऐंठ देता है। एक बिंदु पर मिलते पतले भाग अपरूपण केंद्र उसी बिंदु पर रखते हैं; सममिति के दो अक्ष उसे केंद्रक पर रखते हैं।
  • मोर-वृत्त एक पंक्ति में: केंद्र (σ_x+σ_y)/2, त्रिज्या √[((σ_x−σ_y)/2)² + τ²]। अपरिवर्तक σ₁ + σ₂ = σ_x + σ_y सदा जाँचें — वह τ में चिह्न-त्रुटि तत्काल पकड़ लेता है।
  • P_cr = π²EI/L_e² में कोई सामर्थ्य-पद नहीं, अतः अधिक बलवान इस्पात बंकुचित होते स्तंभ हेतु कुछ नहीं करता। दोनों सिरे जड़ित करना L_e² को चौथाई करता है और भार चौगुना; जड़ित-मुक्त स्तंभ कीलित मान का केवल चौथाई वहन करता है।
  • σ = P/A ± Pe/Z, मध्य-तृतीयांश नियम देता है: e = d/6 पर एक फलक ठीक शून्य पर पहुँचता है और उसके आगे तनन में चला जाता है। चिनाई, सादे कंक्रीट व मृदा हेतु निर्णायक, जिनमें से किसी पर तनन में भरोसा नहीं किया जा सकता।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. धरन-काट को 165 MPa के अनुमेय बंकन प्रतिबल पर 165 kN·m का बंकन आघूर्ण सहना है। अपेक्षित काट-गुणांक, 10³ mm³ की इकाइयों में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1000

    1000 × 10³ mm³, अर्थात् 1.0 × 10⁶ mm³। सीधे σ = M/Z से, अतः Z = M/σ = (165 × 10⁶ N·mm)/(165 N/mm²) = 1.000 × 10⁶ mm³। एकमात्र जाल इकाई-स्वच्छता है, और अधिकांश अंक वहीं जाते हैं: kN·m में आघूर्ण को 10⁶ से गुणा करके N·mm बनना ही चाहिए, और MPa पहले से N/mm² है, अतः उत्तर mm³ में आ जाता है और कुछ करने को शेष नहीं। अंकगणित से अधिक मूल्यवान दो प्रेक्षण। प्रथम, Z एक माँग है, किसी विशेष धरन का गुणधर्म नहीं — वह बताता है कि पुस्तिका की कौन-सी काटें ग्राह्य हैं और यह कुछ नहीं कहता कि कौन-सी किफ़ायती है, क्योंकि गहरी पतली काट व ठिगनी मोटी काट एक ही Z साझा कर सकती हैं। द्वितीय, अनुमेय प्रतिबल कसना खर्चीला है: 165 के बजाय 150 MPa पर वही आघूर्ण 1.100 × 10⁶ mm³ माँगता है, 9 प्रतिशत निम्न प्रतिबल हेतु 10 प्रतिशत बड़ा काट-गुणांक। और ध्यान दें कि Z क्या आवृत नहीं करता — विक्षेप I पर निर्भर है, Z पर नहीं, अतः केवल सामर्थ्य पर चुनी गई काट सेवा-योग्यता जाँच में विफल हो सकती है, और ठीक इसीलिए अभिकल्प दोनों से होकर बढ़ता है।

  2. अनुप्रस्थ भारण के अंतर्गत आयताकार धरन-काट में अपरूपण प्रतिबल

    1. छोर-तंतुओं पर अधिकतम व उदासीन अक्ष पर शून्य है
    2. उदासीन अक्ष पर अधिकतम व छोर-तंतुओं पर शून्य है, 1.5 V/A पर शिखर बनाते हुए
    3. गहराई भर एकसमान व V/A के बराबर है
    4. उदासीन अक्ष पर अधिकतम व वहाँ V/A के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — उदासीन अक्ष पर अधिकतम व छोर-तंतुओं पर शून्य है, `1.5 V/A` पर शिखर बनाते हुए

    उदासीन अक्ष पर अधिकतम, छोर-तंतुओं पर शून्य, 1.5 V/A पर शिखर। वितरण τ = VQ/(Ib) से आता है, और Q जाँचे जा रहे तंतु से परे के क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्ण है। छोर-तंतु पर उससे परे कोई क्षेत्रफल नहीं, अतः Q = 0 और अपरूपण प्रतिबल वहाँ लुप्त हो जाता है; उदासीन अक्ष पर Q अपने सर्वाधिक पर है और τ भी। गहराई पर परवलय का समाकलन V लौटाना ही चाहिए, जो शिखर को माध्य के 1.5 गुना पर बाध्य करता है — अतः उत्तर 1.5 V/A है, V/A नहीं। विकल्प A बंकन-वितरण है, जो ठीक उल्टा पढ़ता है, और दोनों को साथ कहना ही युग्म को स्मरण रखने का सर्वोत्तम मार्ग है। विकल्प C प्रत्यक्ष अपरूपण में रिवेट अथवा बोल्ट में की गई मान्यता का वर्णन करता है, जहाँ काट इतनी छोटी है कि एकसमान औसत सही आदर्शीकरण है; धरन का जाल वह स्थिति नहीं। विकल्प D स्थान सही और परिमाण 1.5 के गुणनखंड से गलत करता है, और वही उत्तर सर्वाधिक बार एक अंक लेता है। V = 73 kN वहन करती 300 × 450 काट पर माध्य 0.541 MPa है और वास्तविक अधिकतम 0.811 MPa — और यह तथ्य कि दोनों लघु हैं, इसीलिए बंकन, अपरूपण नहीं, सामान्य धरन का आकार तय करता है।

  3. अपने जाल के समांतर भारित चैनल-काट हेतु, अपरूपण केंद्र स्थित है

    1. काट के केंद्रक पर
    2. जाल पर, फ़्लैंजों के मध्य में
    3. काट के बाहर, फ़्लैंजों से दूर जाल की ओर
    4. जाल तथा किसी भी फ़्लैंज के संगम पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — काट के बाहर, फ़्लैंजों से दूर जाल की ओर

    काट के बाहर, जाल की दूर की ओर। अपरूपण-प्रवाह का अनुरेखण करें: वह एक फ़्लैंज के अनुदिश भीतर चलता है, जाल में नीचे, और दूसरे के अनुदिश बाहर, अतः दोनों फ़्लैंज-प्रवाह गहराई से पृथक् समान व विपरीत क्षैतिज बलों का बल-युग्म बनाते हैं, जबकि जाल लगभग सम्पूर्ण ऊर्ध्व अपरूपण वहन करता है। सदस्य को ऐंठे बिना बंकित होने हेतु लगाए गए भार को ऐसा आघूर्ण उत्पन्न करना चाहिए जो उस फ़्लैंज-युग्म को निरसित करे, और एकमात्र मार्ग किसी अंतर पर कार्य करना है। फ़्लैंज-केंद्ररेखाओं के बीच 200 mm व 10 mm मोटाई सहित 100 mm चौड़े फ़्लैंजों हेतु I_x = 2.668 × 10⁷ mm⁴ तथा e = b²h²t/(4I_x) = 37.5 mm जाल-केंद्ररेखा से — लगभग फ़्लैंज-चौड़ाई का 0.375, और किसी धातु से मुक्त। विकल्प A केवल द्वि-सममित काट हेतु सही उत्तर है, और इसी कारण I-धरन हेतु संकल्पना उपेक्षित की जा सकती है। विकल्प B वहाँ है जहाँ वास्तविक भार वस्तुतः बैठता है, और ठीक वही समस्या है: अपने जाल पर भारित चैनल अपने अपरूपण केंद्र से 37.5 mm दूर भारित है और अतः ऐंठता है। विकल्प D काटों के भिन्न कुल हेतु सही है — कोण, टी, क्रूसाकार, कुछ भी जो एक बिंदु पर मिलते पतले भागों से बना हो, जहाँ प्रत्येक अपरूपण-प्रवाह उस बिंदु से होकर जाता है और कोई बल-युग्म नहीं बन सकता। व्यावहारिक परिणाम स्थल पर दृश्य है: चैनल पीठ-से-पीठ जोड़ों में प्रयुक्त होते हैं, पर्लिनों को प्रति-अवनमन बंधनियाँ मिलती हैं, और कोण-लिंटेल विक्षेपित होते हुए घूमता है।

  4. किसी बिंदु पर σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa तथा τ_xy = 40 MPa। दीर्घ मुख्य प्रतिबल, MPa में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 100

    100 MPa। मोर-वृत्त का केंद्र = (80 + 20)/2 = 50; त्रिज्या = √[((80 − 20)/2)² + 40²] = √(900 + 1600) = √2500 = 50। अतः σ₁ = 50 + 50 = 100 MPa तथा σ₂ = 50 − 50 = 0 — लघु मुख्य प्रतिबल ठीक शून्य है, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्यक्षतः तीन-घटक अवस्था घुमाए गए अक्षों से देखी गई एकाक्षीय तनन है। कुछ भी लिखने से पूर्व अपरिवर्तक जाँचें: σ₁ + σ₂ को σ_x + σ_y के बराबर होना ही चाहिए, और 100 + 0 = 100 ✓। वही एक पंक्ति यहाँ की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि पकड़ती है, τ पर चिह्न-चूक, जो उसी परिमाण की त्रिज्या देती किंतु मुख्य दिशाएँ गलत ओर। मुख्य तल θ_p = ½ arctan[2(40)/(80 − 20)] = ½ arctan(1.333) = 26.57° पर है, और अधिकतम अंतः-तल अपरूपण का तल उससे 45° पर, 71.57° पर, τ = 50 MPa वहन करते हुए। संख्याएँ एक और बात सुगमता से दिखाती हैं: चूँकि यह समतल प्रतिबल है, तृतीय मुख्य प्रतिबल σ₃ = 0 है, अतः निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण (σ₁ − σ₃)/2 = 50 MPa है, जो अंतः-तल आँकड़े के बराबर केवल इस कारण है कि σ₂ संयोगवश शून्य है। जब दोनों अंतः-तल मुख्य धनात्मक निकलें, तब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण अंतः-तल वाले से बड़ा होता है, और तब अंतः-तल मान उद्धृत करना तन्य पदार्थ पर माँग को कम आँकता है।

  5. दो समरूप स्तंभ केवल अपनी सिरा-स्थितियों में भिन्न हैं: एक दोनों सिरों पर कीलित है, दूसरा दोनों पर जड़ित। उनके यूलर बंकुचन भारों का अनुपात (जड़ित से कीलित) है

    1. 2
    2. 4
    3. 1, क्योंकि पदार्थ व काट समरूप हैं
    4. √2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4

    4। P_cr = π²EI/L_e², और दोनों सिरे जड़ित करना प्रभावी लंबाई को L से 0.5L तक आधा कर देता है। चूँकि भार 1/L_e² की भाँति चलता है, L_e आधा करना P_cr चौगुना कर देता है। हल किए गए स्तंभ पर — L = 6 m, E = 200 GPa, I = 9 × 10⁷ mm⁴ — वह कीलित 4935 kN के सम्मुख जड़ित 19 739 kN है, और अनुपात ठीक 4.000। विकल्प A वह उत्तर है जो यह स्मरण रखने से मिलता है कि भार प्रभावी लंबाई पर निर्भर है किंतु यह स्मरण न रखने से कि वह उसके वर्ग पर निर्भर है। विकल्प D वही चूक दूसरी दिशा में है। विकल्प C वह जाल है जिसे केवल टालने के बजाय समझना उचित है, और वह दिखने से अधिक सूक्ष्म है: पदार्थ व काट वस्तुतः समरूप ही हैं, और P_cr में वस्तुतः कोई सामर्थ्य-पद नहीं — किंतु सिरा-स्थितियाँ बंकुचित आकृति बदल देती हैं, और अतः वह लंबाई भी जिस पर स्तंभ झुकने को स्वतंत्र है, और L_e उसी को मापता है। वही तर्क सम्पूर्ण कुल का क्रम बनाता है: जड़ित-जड़ित 0.5L, जड़ित-कीलित 0.7L, कीलित-कीलित L, जड़ित-मुक्त 2L। अंतिम अपनी टिप्पणी योग्य है, क्योंकि शहतीर-स्तंभ कीलित मान का केवल चौथाई वहन करता है — अतः अनवरोधित शीर्ष वाला ध्वज-दंड जैसा स्तंभ उपलब्ध निकृष्टतम व्यवस्था है, और शीर्ष पर कोई भी पार्श्व अवरोध देना उपलब्ध सर्वाधिक सस्ता सुदृढ़ीकरण है।

  6. 300 mm × 450 mm का छोटा चिनाई-स्तंभ 500 kN का ऊर्ध्व भार वहन करता है। 450 mm विमा के अनुदिश मापी गई अधिकतम उत्केंद्रता, जिस पर काट में कहीं तनन उत्पन्न नहीं होता, mm में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 75

    75 mm, जो d/6 है। तनन-रहितता अपेक्षित करती है कि बंकन-पद प्रत्यक्ष पद से बड़ा न हो: Pe/Z ≤ P/A, अतः e ≤ Z/A, और आयत हेतु Z/A = (bd²/6)/(bd) = d/6 = 450/6 = 75 mm। ध्यान दें कि P निरसित हो जाता है — सीमा केवल काट का गुणधर्म है, अतः प्रश्न में 500 kN जानबूझकर अप्रासंगिक है, और जो अभ्यर्थी उसे प्रयोग करने का प्रयास करता है उसने पढ़ा ही गलत है कि क्या पूछा जा रहा है। संख्याएँ इसे मूर्त बनाती हैं। प्रत्यक्ष प्रतिबल 500 000/135 000 = 3.704 MPa है। e = 50 mm पर बंकन-पद 2.469 MPa है और दोनों फलक 6.173 व 1.235 MPa पढ़ते हैं, दोनों संपीडन। e = 75 mm पर बंकन-पद 3.704 MPa है, प्रत्यक्ष प्रतिबल के ठीक बराबर, अतः एक फलक 7.407 MPa और दूसरा ठीक शून्य पढ़ता है। उसके आगे, e = 100 mm पर, दूर का फलक −1.235 MPa पढ़ता है — तनन। चूँकि वही सीमा दोनों ओर लागू होती है, भार काट के मध्य तृतीयांश में कहीं भी बैठ सकता है, और वहीं से नियम को उसका नाम मिलता है। वह ठीक वहाँ निर्णायक है जहाँ तनन पर भरोसा नहीं किया जा सकता: चिनाई, सादा कंक्रीट, तथा नींव व मृदा के बीच का अंतरापृष्ठ, और इसीलिए गुरुत्व बाँध की एड़ी पर तनन-रहितता हेतु जाँच होती है और नींव को ऐसे अनुपातित किया जाता है कि परिणामी मध्य तृतीयांश के भीतर रहे। अंकगणित में एक जाल: Z उस अक्ष के परितः लिया जाना चाहिए जिसके परितः उत्केंद्रता स्तंभ को बंकित करती है, अतः 300 mm विमा के अनुदिश वही 75 mm इसके बजाय 300/6 = 50 mm होता।

  7. 100 mm व्यास का ठोस वृत्तीय शाफ़्ट 10 kN·m का बल-आघूर्ण संचारित करता है। अधिकतम अपरूपण प्रतिबल, MPa में, ______ है (दो दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 50.93

    50.93 MPa। दोनों मार्ग चलते हैं और वही उत्तर दो बार मिलना ही जाँच है। ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण J = πd⁴/32 = π(100)⁴/32 = 9.817 × 10⁶ mm⁴, अतः τ_max = Tr/J = (10 × 10⁶)(50)/(9.817 × 10⁶) = 50.93 MPa। अथवा सीधे ठोस वृत्त के संवृत रूप पर, τ_max = 16T/(πd³) = 16(10 × 10⁶)/(π × 10⁶) = 50.93 MPa ✓। संख्या जितनी ही मूल्यवान दो बातें। प्रथम, उसी समता का दृढ़ता पक्ष: θ = TL/GJ, जो G = 80 GPa पर 2 मीटर लंबाई पर 0.0255 rad = 1.46° है। अधिकांश सिविल अनुप्रयोगों हेतु — वक्र सेतु-गर्डर, उत्केंद्रतः भारित किनारा-धरन — वही घूर्णन अभिकल्प का शासक है, प्रतिबल नहीं, अतः उसे केवल पूछे जाने पर नहीं, आदतवश गणित करना उचित है। द्वितीय, प्रतिबंध: यह सिद्धांत वृत्तीय काटों हेतु टिकता है, जहाँ समतल काटें समतल रहती हैं और त्रिज्याएँ सीधी। अवृत्तीय काट ऐंठने पर विकृत होती है, अतः J ऐसे ऐंठन-नियतांक से प्रतिस्थापित हो जाता है जो ध्रुवीय आघूर्ण नहीं, और खुली पतली-भित्तीय काट हेतु — चैनल, I — वह नियतांक ध्रुवीय आघूर्ण के सुझाव से बहुत छोटा है। बेल्लित I-काट पर πd⁴/32 का तर्क प्रयोग करना उसकी ऐंठन-क्षमता को परिमाण की एक कोटि से अधिक आँकता है, और इसीलिए इस्पात संरचनाओं में ऐंठन का प्रतिरोध नहीं किया जाता बल्कि काट बंद करके उसे अभिकल्प से बाहर किया जाता है।

  8. स्तंभ के यूलर बंकुचन भार के विषय में निम्नलिखित कथनों में कौन सही हैं? (एक अथवा अधिक)

    1. वह पदार्थ के पराभव सामर्थ्य से स्वतंत्र है
    2. वह प्रभावी लंबाई के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है
    3. दिए गए क्षेत्रफल हेतु, वह उस काट हेतु बड़ा है जिसका पदार्थ केंद्रक से अधिक दूर हो
    4. वह छोटे, ठिगने स्तंभों के अभिकल्प का शासक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वह पदार्थ के पराभव सामर्थ्य से स्वतंत्र है; B — वह प्रभावी लंबाई के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है; C — दिए गए क्षेत्रफल हेतु, वह उस काट हेतु बड़ा है जिसका पदार्थ केंद्रक से अधिक दूर हो

    A, B तथा C। P_cr = π²EI/L_e² पढ़ें और प्रत्येक दावे को उसके सम्मुख जाँचें। A सही है और इस अध्याय का सर्वाधिक परिणामकारी तथ्य है: व्यंजक में कोई सामर्थ्य-पद ही प्रकट नहीं होता, अतः इस्पात की उच्चतर श्रेणी पिसने की क्षमता बढ़ाती है और बंकुचन भार हेतु कुछ भी नहीं करती — सामर्थ्य पर व्यय किया धन पतले स्तंभ पर व्यर्थ किया धन है। B सही है, और वर्ग ही सिरा-अवरोध को इतना मूल्यवान बनाता है: दोनों सिरे जड़ित करना L_e आधा करता है और अतः P_cr चौगुना, इस अध्याय में हल किए गए स्तंभ पर 4935 kN से 19 739 kN तक। C सही है और काटें वस्तुतः इसी प्रकार चुनी जाती हैं: I = Σ A y², अतः नियत क्षेत्रफल हेतु पदार्थ को केंद्रक से दूर धकेलना I बढ़ाता है — और इसीलिए खोखली नली समान क्षेत्रफल की ठोस छड़ को हराती है, और इसीलिए संयोजित स्तंभ को गुच्छित करने के बजाय जालक सहित फैलाया जाता है। D असत्य है, और प्रश्न उसी उलटाव की जाँच कर रहा है। छोटा ठिगना स्तंभ बंकुचित नहीं होता; वह पिसता है, और उसकी क्षमता σ_y A है, शुद्ध सामर्थ्य-गणना। यूलर तभी शासन करता है जब सदस्य इतना पतला हो जाए कि बंकुचन भार पिसने के भार से नीचे गिर जाए, और जिस पतलेपन पर दोनों संपाती होते हैं वही संक्रमण-बिंदु है। वास्तविक अभिकल्प-वक्र दोनों शाखाओं को आनुभविक संगति से जोड़ते हैं — रैंकिन-गॉर्डन, अथवा संहिता के बंकुचन-वक्र — ठीक इसीलिए कि कोई भी शुद्ध सिद्धांत मध्यवर्ती स्तंभ का वर्णन नहीं करता, जहाँ आरंभिक टेढ़ापन व अवशिष्ट प्रतिबल वास्तविक क्षमता को दोनों से नीचे रख देते हैं।