अभियांत्रिकी यांत्रिकी: साम्य, आंतरिक बल व सरल प्रतिबल

संरचनात्मक अभियांत्रिकी सिविल पेपर का सर्वाधिक भारी खंड है, और वह उन दो कौशलों से आरंभ होता है जो प्रत्येक परवर्ती अध्याय व्यय करता है: किसी काट पर आंतरिक बल पढ़ना, तथा यह जानना कि कौन-सा पदार्थ-नियतांक उठाना है। पाठ्यक्रम पहले को संरचनाओं में आंतरिक बल कहता है, और उस वाक्यांश को शब्दशः लेना उचित है। किसी सदस्य को कहीं भी काटें और जो भाग आप फेंकते हैं वह समतल में ठीक तीन राशियों से प्रतिस्थापित हो जाता है — अक्षीय बल, अपरूपण बल तथा बंकन आघूर्ण — और आप जितने भी आरेख कभी खींचेंगे वे लंबाई के अनुदिश आलेखित यही तीन हैं। इनके बीच के संबंध तीन पृथक् तथ्य नहीं बल्कि एक ही हैं: dV/dx = −w तथा dM/dx = V, अतः जहाँ अपरूपण लुप्त होता है वहाँ आघूर्ण स्थिर होता है, भार-तीव्रता अपरूपण-आरेख की प्रवणता है, और बिंदु-भार अपरूपण में सोपान तथा आघूर्ण में मोड़ डालता है। वही अंतिम स्थिति वह है जहाँ अभ्यर्थी अंक खोते हैं, क्योंकि जो अपरूपण-आरेख बिंदु-भार पर शून्य से होकर छलाँग लगाता है वह अधिकतम आघूर्ण फिर भी स्थापित करता है, यद्यपि वहाँ V = 0 का कोई हल नहीं। घर्षण दूसरा स्थान है जहाँ अंक जाते हैं, और संरचना हेतु प्रश्न विरले ही μ कितना है होता है बल्कि कौन-सी विफलता पहले आती है — ढाल पर रखा पिंड tan θ > μ पर सर्पण करता है और tan θ > b/h पर पलटता है, और जो देहली निम्नतर हो वही निर्णय करती है। आभासी कार्य का सिद्धांत खंड का मौन कार्यकर्ता है: संरचना को ऐसा विस्थापन दें जिसकी उसे अनुमति है, कुल कार्य को शून्य रखें, और कोई भी प्रतिक्रिया अथवा सदस्य-बल उन प्रतिक्रियाओं के कभी प्रकट हुए बिना निकल आता है जो आपने पूछी ही नहीं थीं। तत्पश्चात् प्रतिबल व विकृति, जहाँ सम्पूर्ण प्रत्यास्थ कथा दो स्वतंत्र नियतांक हैं: E, G, K व ν में से कोई दो चुनें और शेष दो G = E/2(1+ν) तथा K = E/3(1−2ν) से निकल आते हैं।

मुक्त पिंड, साम्य, तथा तीन आंतरिक बल

मुक्त-पिंड आरेख से आरंभ करें, और उसे प्रस्तावना नहीं, उत्तर मानें। जिस भाग को रख रहे हैं उसके चारों ओर बंद सीमा खींचें, उस सीमा को पार करता प्रत्येक बल लौटा दें, और रेखाचित्र पूर्ण होने तक कुछ भी वियोजित न करें। तत्पश्चात् समतल में दृढ़ पिंड पर कार्यरत बल-निकाय आपको ठीक तीन स्वतंत्र समीकरण देता है — ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 तथा जिस किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0 — और उस अंतिम वाक्यांश की स्वतंत्रता ही वह अंकगणित है जो आप बचाते हैं: उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ दो अज्ञात प्रतिच्छेद करते हैं और दोनों समीकरण से निकल जाते हैं। आधार इससे अधिक कुछ नहीं कि वह इन तीनों में से क्या दे सकता है, इसका वचन है। बेलन-आधार अपने पृष्ठ के अभिलंब एक बल देता है; कीलक दो देती है; जड़ित सिरा दो बल व एक आघूर्ण देता है। कुछ भी गणना करने से पूर्व प्रतिक्रियाओं को समीकरणों के सम्मुख गिनें: तीन प्रतिक्रियाएँ व तीन समीकरण अर्थात् स्थैतिकतः निर्धार्य और केवल स्थैतिकी कार्य पूरा कर देगी, जबकि चार प्रतिक्रियाएँ अर्थात् एक समीकरण कम और अब उत्तर इस पर निर्भर है कि सदस्य कितने दृढ़ हैं।

अब सदस्य को काटें। जो आपने हटाया वह उस फलक पर कार्य करती तीन राशियों से प्रतिस्थापित हो जाता है जिसे आपने रखा: सदस्य के अनुदिश अक्षीय बल N, उसके आर-पार अपरूपण बल V, तथा काट के परितः बंकन आघूर्ण M। प्रत्येक को लंबाई के अनुदिश आलेखित करें और आपके पास वे तीन आरेख हैं जिन पर इस खंड का शेष जीवित है। उन्हें शीघ्र बनाता यह है कि वे स्वतंत्र नहीं हैं। धरन के अनुदिश अवकलन करें तो dV/dx = −w तथा dM/dx = V, जिनसे तीन कार्य-नियम तत्काल निकलते हैं: जो लंबाई कोई भार नहीं वहन करती उसका अपरूपण अचर है और अतः आघूर्ण-आरेख सरल रेखा; एकसमान वितरित भार अपरूपण को सरल रेखा व आघूर्ण को परवलयिक बनाता है; तथा आघूर्ण ठीक वहाँ स्थिर होता है जहाँ अपरूपण शून्य से होकर जाता है। अंतिम को खोज-निर्देश की भाँति पढ़ें, क्योंकि वह "अधिकतम आघूर्ण कहाँ है?" को "अपरूपण कहाँ चिह्न बदलता है?" में बदल देता है, और दूसरे प्रश्न का उत्तर उस आरेख को देखकर मिल जाता है जो आप पहले ही खींच चुके हैं।

⚠️ वह धरन जिस पर यह अध्याय बारंबार लौटता है, तथा वह शून्य जो वहाँ है ही नहीं
8 मीटर विस्तार की सरल आलंबित धरन लें जो अपनी सम्पूर्ण लंबाई पर 12 kN/m का UDL तथा A से 3 मीटर पर 40 kN बिंदु-भार वहन करती है। UDL कुल 96 kN है जो 4 मीटर पर कार्य करता है, अतः A के परितः आघूर्ण R_B × 8 = 96(4) + 40(3) = 504 देते हैं, जिससे R_B = 63 kN तथा R_A = 73 kN — और जाँच 73 + 63 = 136 = 96 + 40 एक क्षण लेती है व अधिकांश चूकें पकड़ लेती है। अब अधिकतम आघूर्ण को यांत्रिक रीति से खोजें, अपरूपण को शून्य रखकर। भार के वाम अपरूपण 73 − 12x है, जो x = 6.083 m पर लुप्त होता है — किंतु वह भार के वाम नहीं है, अतः वह वास्तविक मूल नहीं। भार के दक्षिण अपरूपण 73 − 12x − 40 है, जो x = 2.75 m पर लुप्त होता है — और वह भी भार के दक्षिण नहीं है। किसी भी समीकरण का ग्राह्य मूल नहीं है, और जो अभ्यर्थी आरेख से अधिक बीजगणित पर विश्वास करता है वह निष्कर्ष निकालता है कि कोई अधिकतम है ही नहीं। वस्तुतः जो होता है वह आलेखित करते ही दिख जाता है: अपरूपण A पर +73 चलता है, भार से ठीक वाम +37 तक गिरता है, पूरे 40 kN से गिरकर उससे ठीक दक्षिण −3 हो जाता है, और B पर −63 तक चलता रहता है। वह शून्य के ऊपर से छलाँगकर चिह्न बदलता है, x = 3 पर, और वहीं आघूर्ण शिखर पर है: M = 73(3) − 12(3)(1.5) = 165 kN·m, दूसरे सिरे से 63(5) − 12(5)(2.5) = 165 द्वारा पुष्ट ✓। मध्य-विस्तार, जहाँ असावधान अभ्यर्थी पहले देखता है, केवल 156 kN·m वहन करता है। साथ ले जाने योग्य नियम प्रत्येक पाठ्यपुस्तक वाले का ईमानदार रूप है: अधिकतम आघूर्ण वहाँ है जहाँ अपरूपण चिह्न बदलता है, जो सदा वहाँ नहीं जहाँ वह शून्य के बराबर हो।
8 मीटर धरन, पाँच कटों पर पढ़ी गई (अवनमन आघूर्ण धनात्मक)
काटअपरूपण V (kN)आघूर्ण M (kN·m)
A से ठीक दक्षिण+730
x = 2 m+49122
x = 3 m, भार से ठीक वाम+37165 — अधिकतम
x = 3 m, भार से ठीक दक्षिण−3165 — M में कोई छलाँग नहीं
x = 4 m (मध्य-विस्तार)−15156
B से ठीक वाम−630

उस सारणी की दो विशेषताएँ नाम लेने योग्य हैं क्योंकि परीक्षक उन्हीं की जाँच करता है। प्रथम, अपरूपण ठीक बिंदु-भार जितना छलाँगता है और आघूर्ण बिल्कुल नहीं छलाँगता — संकेंद्रित बल V में सोपान है और M में केवल प्रवणता का परिवर्तन, और इसीलिए आघूर्ण काट के दोनों ओर 165 पढ़ता है। संकेंद्रित आघूर्ण इसके विपरीत व्यवहार करता है: वह आघूर्ण-आरेख में सोपान डालता है और अपरूपण को अछूता छोड़ देता है। द्वितीय, भार पर आघूर्ण मध्य-विस्तार से बड़ा है यद्यपि अकेला UDL मध्य-विस्तार पर ही शिखर बनाता, क्योंकि दोनों भारण अपने अधिकतम भिन्न स्थानों पर रखते हैं और योग उनके बीच शिखर बनाता है, विच्छिन्नता पर। अध्यारोपण यहाँ वैध है — धरन रैखिक प्रत्यास्थ है और भार स्वतंत्र — किंतु दोनों के अधिकतम मानों का अध्यारोपण वैध नहीं, क्योंकि वे भिन्न कटों पर होते हैं। आरेख जोड़ें, फिर अधिकतम खोजें; अधिकतमों को कभी न जोड़ें।

घर्षण: कौन-सी विफलता पहले आती है — तथा आभासी कार्य

F = μN इस खंड का सर्वाधिक अति-प्रयुक्त सूत्र है। वह घर्षण-बल केवल आसन्न गति पर अथवा सर्पण के दौरान देता है; उस देहली के नीचे घर्षण वही है जो साम्य माँगे, उससे अधिक नहीं, अतः प्रथम प्रश्न सदा यही है कि पिंड गतिमान है भी क्या। किंतु सिविल संरचनाओं हेतु दूसरा प्रश्न अधिक महत्वपूर्ण है, और पाठ्यक्रम का वाक्यांश घर्षण तथा उसके अनुप्रयोग उसी की ओर संकेत करता है: ढाल पर टिका पिंड, मृदा द्वारा धकेली प्रतिधारक भित्ति, जल द्वारा धकेला गुरुत्व बाँध — प्रत्येक दो स्वतंत्र प्रकारों से विफल हो सकता है, और अभिकल्प उसी से शासित है जो पहले आए। वह सर्पण कर सकता है, जो तब होता है जब चालक बल μN से अधिक हो; अथवा वह पलट सकता है, जो तब होता है जब परिणामी आधार से बाहर निकल जाए। कोई दूसरे को अंतर्भूत नहीं करता, और केवल एक की जाँच करना वही है जिससे संरचना गलत विफलता के विरुद्ध अभिकल्पित हो जाती है।

🎯 वही गुटका एक ऊँचाई पर सर्पण करता है और दूसरी पर पलटता है
b = 0.6 m आधार व h = 1.2 m ऊँचाई का आयताकार गुटका ऐसे तल पर बैठा है जिसका कोण धीरे-धीरे बढ़ाया जा रहा है, μ = 0.4 सहित। दो देहलियाँ, और दोनों शुद्ध ज्यामिति। वह सर्पण तब करता है जब भार का ढाल-अनुदिश घटक घर्षण को हरा दे: W sin θ > μ W cos θ, अर्थात् tan θ > μ = 0.4, अतः θ = 21.80° पर। वह पलटता तब है जब भार-सदिश, जो h/2 ऊँचाई पर केंद्रक से होकर कार्य करता है, निचले कोने से बाहर पड़ जाए: वह तब होता है जब tan θ > b/h = 0.5, अतः θ = 26.57° पर। चूँकि 0.4 < 0.5, यह गुटका पहले सर्पण करता है और पलटने वाले कोण तक कभी नहीं पहुँचता। अब एक संख्या बदलें और कुछ नहीं — उसे h = 2.0 m पर पतला बनाएँ, वही आधार व वही μ रखते हुए। अब b/h = 0.3 है, जो μ से नीचे है, और गुटका पहले पलटता है, 16.70° पर, ऐसी ढाल पर जो उसे सर्पण कराने हेतु कहीं अधिक मंद है। ध्यान दें कि निर्णय किसने किया: भार ने नहीं, जो दोनों कसौटियों से निरसित हो जाता है, और गुटके के पदार्थ ने नहीं, बल्कि μ के सम्मुख अनुपात b/h ने। पतले पिंड पलटते हैं, ठिगने सर्पण करते हैं — और वही एक तुलना, μ बनाम b/h, इसका सर्वस्व है। इसी कारण प्रतिधारक भित्ति की दो बार जाँच होती है और इसी कारण गुरुत्व बाँध का आधार चौड़ा करना पलटने का मानक उपचार है जबकि उसकी नींव खुरदरी करना सर्पण का उपचार है: दो विफलताओं के दो भिन्न उपचार हैं।

आभासी कार्य का सिद्धांत कहता है कि साम्य में स्थित संरचना उस किसी भी लघु विस्थापन से शून्य नेट कार्य करती है जिसकी आधार अनुमति देते हैं। आगे की दिशा में प्रयुक्त होकर वह प्रतिक्रिया खोजता है, और उसका लाभ पूर्णतः व्यावहारिक है: जो राशियाँ आपने पूछी नहीं वे कोई कार्य नहीं करतीं और समीकरण में कभी प्रवेश नहीं करतीं। 8 मीटर धरन पर लौटें। B पर बेलन-आधार मुक्त करें, धरन को A की कीलक के परितः दृढ़तापूर्वक घूमने दें, और B को 1 का आभासी अधोमुखी विस्थापन दें। प्रत्येक बिंदु A से अपनी दूरी के समानुपात में नीचे आता है, अतः 3 मीटर पर 40 kN भार 3/8 चलता है और 4 मीटर पर 96 kN UDL-परिणामी 4/8 चलता है। कुल कार्य को शून्य रखने पर R_B(1) = 40(0.375) + 96(0.5) = 15 + 48, अतः R_B = 63 kN — आघूर्ण-समीकरण जैसा ही उत्तर, A पर कीलक-प्रतिक्रिया का कोई घटक लिखे बिना प्राप्त, क्योंकि जो कीलक चलती नहीं वह कार्य नहीं करती।

🧠 एकांक भार विधि, जो वही सिद्धांत उल्टी दिशा में चलाया गया है
भूमिकाएँ बदलें और आभासी कार्य प्रतिक्रिया के बजाय विक्षेप निकालता है। उस बिंदु पर और उसी दिशा में एक काल्पनिक एकांक भार लगाएँ जिसकी गति आप चाहते हैं, उससे उत्पन्न आंतरिक बल m निकालें, और उसके बाह्य कार्य को उन बलों द्वारा वास्तविक विरूपणों पर किए आंतरिक कार्य के बराबर रखें: बंकन हेतु 1 × Δ = ∫ (m M / EI) dx, अथवा ट्रस हेतु Σ (n N L / AE)। एकांक भार लेखा-उपकरण है और अपनी कोई इकाई नहीं रखता; वह केवल उस विस्थापन को छाँटता है जो आपने माँगा। 3 मीटर का शहतीर लें, सिरे पर 20 kN सहित, E = 200 GPa, I = 9 × 10⁷ mm⁴। सिरे से x दूरी पर वास्तविक आघूर्ण M = −20x है; एकांक भार m = −x देता है; और ∫₀³ (20x²/EI) dx = 20L³/3EI, जो परिचित PL³/3EI है और ठीक 10.0 mm निकलता है। इससे आपको दो वस्तुएँ मिलती हैं जो मानक सूत्र नहीं देता। वह ऐसे भार को सँभाल लेती है जो सारणियों में सूचीबद्ध नहीं, क्योंकि समाकल को इससे कोई सरोकार नहीं कि भारण कितना विचित्र है। और वह कहीं भी विक्षेप देती है, उस बिंदु पर भी जो कोई भार वहन नहीं कर रहा — एकांक भार वहाँ रखें और विधि फिर भी चलती है, और यही वह स्थिति है जिसे सूत्र-पत्र आवृत नहीं कर सकता।

केंद्रक, द्रव्यमान केंद्र, तथा आवेग–संवेग

संयुक्त क्षेत्रफल का केंद्रक भारित माध्य है और इससे अधिक कुछ नहीं: x̄ = Σ(A_i x_i)/ΣA_i, प्रत्येक भाग उसके अपने केंद्रक तक किसी उभयनिष्ठ मूल-बिंदु से मापा गया। दो आदतें इसे विश्वसनीय बनाती हैं। मूल-बिंदु आकृति के किसी कोने पर चुनें ताकि कोई निर्देशांक ऋणात्मक न हो जब तक वह वस्तुतः न हो, और छिद्र को ऋण चिह्न सहित क्षेत्रफल मानें, न कि शेष आकृति पर तर्क करने का प्रयास करें। अगले अध्याय के काट-गुणधर्मों हेतु केंद्रक सजावट नहीं है — शुद्ध बंकन में धरन का उदासीन अक्ष उससे होकर जाता है, अतः आपके द्वारा गणित किया प्रत्येक बंकन प्रतिबल इस पर निर्भर है कि आपने उसे पहले सही स्थापित किया।

ℹ️ वह L-काट जिसका केंद्रक हवा में है
150 mm × 10 mm की ऊर्ध्व भुजा तथा 100 mm × 10 mm की क्षैतिज भुजा वाला कोण लें, मूल-बिंदु पर कोना साझा करते हुए। उसे ऐसे बाँटें कि कुछ दो बार न गिना जाए: ऊर्ध्व भुजा 10 × 150 = 1500 mm² है जिसका केंद्र (5, 75) पर है, और क्षैतिज भुजा शेष 90 × 10 = 900 mm² है जिसका केंद्र (55, 5) पर है। कुल क्षेत्रफल 2400 mm²। तब x̄ = [1500(5) + 900(55)]/2400 = 57000/2400 = 23.75 mm तथा ȳ = [1500(75) + 900(5)]/2400 = 117000/2400 = 48.75 mm। अब देखें कि वह बिंदु कहाँ है। ऊर्ध्व भुजा केवल 10 mm चौड़ी है और क्षैतिज भुजा केवल 10 mm मोटी, अतः (23.75, 48.75) पर केंद्रक कोण के भीतर की रिक्त जगह में पड़ता है, किसी धातु पर नहीं। वह त्रुटि नहीं है और असामान्य नहीं — चैनल, अश्वनाल व वलय सभी वही करते हैं। केंद्रक क्षेत्रफल के वितरण का गुणधर्म है, पदार्थ का बिंदु नहीं, और एकमात्र महत्वपूर्ण परिणाम स्मरण रखने योग्य यह है: आप किसी पिंड को उसके केंद्रक पर आलंबित नहीं कर सकते जब तक वहाँ पकड़ने को कुछ हो न।

गतिकी हेतु सिविल पाठ्यक्रम बिंदु-द्रव्यमान व दृढ़-पिंड की गति-विज्ञान, ऊर्जा-विधियाँ, तथा आवेग–संवेग माँगता है — और अंतिम दो के बीच चयन इससे तय होता है कि प्रश्न आपको क्या देता है। यदि वह दूरी कहे, कार्य–ऊर्जा प्रयोग करें। यदि वह समय कहे, आवेग–संवेग प्रयोग करें: F Δt = m Δv, जो पुनर्व्यवस्थित होकर वह तथ्य देता है जिसके कारण यह जानने योग्य है। संवेग का दिया गया परिवर्तन लंबे समय तक लघु बल से अथवा अल्प समय तक विशाल बल से उत्पन्न किया जा सकता है, और संरचनाएँ नियमित रूप से दूसरे से शासित होती हैं। 2 मीटर गिराया गया 500 kg का पाइल-हथौड़ा v = √(2gh) = 6.264 m/s पर पहुँचता है और 3132 kg·m/s संवेग वहन करता है। उसे 0.05 s में रोकें और औसत बल 3132/0.05 = 62.6 kN है — हथौड़े के भार का 12.8 गुना, और पाइल व आसपास की मृदा वस्तुतः उसी गुणक को अनुभव करती है, द्रव्यमान को नहीं। रोकने का समय आधा करें और ठीक उसी गिरावट हेतु बल दोगुना हो जाता है।

सरल प्रतिबल व विकृति, तथा दो स्वतंत्र नियतांक

प्रत्यक्ष प्रतिबल σ = P/A है और प्रत्यक्ष विकृति ε = δ/L, और हुक का नियम उन्हें σ = Eε से बाँधता है, जिससे प्रिज़्मीय छड़ का दीर्घन δ = PL/AE है। सूत्र तुच्छ है; परीक्षणीय भाग यह है कि A वही क्षेत्रफल है जो उस काट पर हो जिसे आप देख रहे हैं, अतः बदलती काट वाली छड़ एक योग है, एक ही अनुप्रयोग नहीं। E = 200 GPa सहित 60 kN वहन करती सोपानित इस्पात छड़ बात स्पष्ट करती है: 600 mm² की 1.5 मीटर 100 MPa पर चलती है और 0.75 mm खिंचती है, जबकि 300 mm² की 1.0 मीटर 200 MPa पर चलती है और 1.00 mm खिंचती है। कुल 1.75 mm, और छोटा खंड अधिक योगदान देता है — क्षेत्रफल आधा करने से प्रतिबल व विकृति दोनों दोगुने होते हैं, अतः पतला भाग दो बार हावी होता है। वही तर्क शुंडाकार छड़ को आवृत करता है, जहाँ योग समाकल बन जाता है, तथा श्रेणी में दो पदार्थों की छड़ को, जहाँ E पद-दर-पद बदलता है।

समदैशिक प्रत्यास्थ पदार्थ के ठीक दो स्वतंत्र नियतांक होते हैं, और जिन चार से आपका सामना होता है वे G = E/2(1+ν) तथा K = E/3(1−2ν) से संबंधित हैं। कोई दो जानें और शेष निकल आते हैं — और इसीलिए परीक्षक आपको E व K देकर ν माँग सकता है। संबंध अपने हरों में भौतिकी भी वहन करते हैं। जैसे-जैसे ν → 0.5, पद (1−2ν) शून्य की ओर जाता है और K अपसरित हो जाता है: ν = 0.5 वाला पदार्थ आयतन बिल्कुल नहीं बदल सकता, असंपीड्य का यही अर्थ है, और रबर उसके निकट बैठता है। दूसरे छोर पर ν = 0, K = E/3 देता है, ऐसा पदार्थ जो खिंचने पर तनिक भी पतला नहीं होता। कॉर्क उसके निकट है, और ठीक इसीलिए कॉर्क बोतल की गर्दन में चला जाता है और रबर का डाट आपसे लड़ता है।

E = 210 GPa पर प्रत्यास्थ नियतांक: दोनों व्युत्पन्न मान यथातथ आते हैं
राशिसंबंधν = 0.25 पर मान
अपरूपण गुणांक GE/2(1+ν)210/2.5 = 84 GPa
आयतन गुणांक KE/3(1−2ν)210/1.5 = 140 GPa
E पर प्रति-जाँच9KG/(3K+G)210 GPa ✓
सीमा ν → 0.5K → ∞असंपीड्य
सीमा ν = 0K = E/370 GPa

मुख्य बिंदु

  • काटें, और तीन राशियाँ उसे प्रतिस्थापित कर देती हैं जो आपने हटाया: अक्षीय बल, अपरूपण व बंकन आघूर्ण। dV/dx = −w तथा dM/dx = V तीनों आरेखों को एक ही वस्तु बनाते हैं, तीन नहीं।
  • अधिकतम आघूर्ण वहाँ बैठता है जहाँ अपरूपण चिह्न बदलता है — जो बिंदु-भार पर शून्य के आर-पार छलाँग है, V = 0 का मूल नहीं। 8 मीटर धरन पर वह भार पर 165 kN·m है और मध्य-विस्तार पर केवल 156।
  • सर्पण व पलटना स्वतंत्र विफलताएँ हैं जिनके उपचार भी स्वतंत्र हैं। tan θ > μ पर सर्पण, tan θ > b/h पर पलटना; भार दोनों से निरसित हो जाता है, अतः केवल ज्यामिति व घर्षण निर्णय करते हैं।
  • आभासी कार्य लोप द्वारा अपना मूल्य अर्जित करता है: जो आधार चलता नहीं वह कार्य नहीं करता और कभी प्रकट नहीं होता। आगे चलाएँ तो वह प्रतिक्रिया देता है; एकांक भार सहित पीछे चलाएँ तो वह कहीं भी विक्षेप देता है, वहाँ भी जहाँ कोई भार नहीं।
  • समदैशिक पदार्थ के दो स्वतंत्र प्रत्यास्थ नियतांक होते हैं, अधिक नहीं: G = E/2(1+ν) तथा K = E/3(1−2ν)। हर भौतिकी वहन करते हैं — ν = 0.5, K को अनंत बना देता है, असंपीड्य का यही अर्थ है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 8 मीटर विस्तार की सरल आलंबित धरन अपनी पूरी लंबाई पर 12 kN/m का UDL तथा बाएँ आधार A से 3 मीटर पर 40 kN का बिंदु-भार वहन करती है। अधिकतम बंकन आघूर्ण, kN·m में, ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 165

    165 kN·m, बिंदु-भार पर। पहले प्रतिक्रियाएँ: UDL कुल 12 × 8 = 96 kN है जो मध्य-विस्तार पर कार्य करता है, अतः R_B × 8 = 96(4) + 40(3) = 504, जिससे R_B = 63 तथा R_A = 136 − 63 = 73 kN। अब खोजें कि अपरूपण कहाँ चिह्न बदलता है, और बीजगणित पर न रुकें। भार के वाम V = 73 − 12x, x = 6.083 m पर लुप्त होता है, जो भार के वाम नहीं; उसके दक्षिण V = 73 − 12x − 40, x = 2.75 m पर लुप्त होता है, जो भार के दक्षिण नहीं। कोई भी मूल ग्राह्य नहीं — अपरूपण भार से ठीक वाम +37 तक गिरता है, पूरे 40 kN से गिराकर उससे ठीक दक्षिण −3 कर दिया जाता है, और इस प्रकार x = 3 पर शून्य के आर-पार छलाँगकर चिह्न बदलता है। वहीं आघूर्ण शिखर पर है: M = 73(3) − 12(3)(1.5) = 219 − 54 = 165 kN·m, और उसे दूर के सिरे से 63(5) − 12(5)(2.5) = 165 गणित करना उसे पुष्ट करता है। सामान्य गलत उत्तर 156 है, जो मध्य-विस्तार पर मिलता है, जहाँ अकेला UDL शिखर बनाता; बिंदु-भार अधिकतम को अपनी ओर खींच लेता है। यह भी ध्यान दें कि भार पर आघूर्ण नहीं छलाँगता यद्यपि अपरूपण छलाँगता है — संकेंद्रित बल आघूर्ण-आरेख में मोड़ डालता है, सोपान नहीं।

  2. b आधार-चौड़ाई व h ऊँचाई का गुटका ऐसे तल पर टिका है जिसका झुकाव धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है। घर्षण गुणांक μ है। गुटका सर्पण से पूर्व पलटेगा यदि

    1. b/h < μ
    2. b/h > μ
    3. b/h < 1/μ
    4. यह गुटके के भार पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — `b/h < μ`

    b/h < μ। दो देहलियाँ, प्रत्येक शुद्ध अनुपात। सर्पण तब आरंभ होता है जब चालक घटक घर्षण को हरा दे, W sin θ > μ W cos θ, अर्थात् tan θ = μ पर। पलटना तब आरंभ होता है जब केंद्रक से होकर जाता भार-सदिश निचले कोने से बाहर पड़ जाए, जो tan θ = b/h पर है। θ बढ़ते समय जो देहली पहले पहुँचे वही शासन करती है, अतः गुटका पहले तब पलटता है जब b/h < μ। संख्याओं पर जाँचें: b = 0.6 m, h = 1.2 m व μ = 0.4 सहित, b/h = 0.5 > 0.4, अतः यह गुटका पहले सर्पण करता है, 21.80° पर, और अपने 26.57° के पलटन-कोण तक कभी नहीं पहुँचता। उसे h = 2.0 m पर पतला बनाएँ और अब b/h = 0.3 < 0.4, अतः वही गुटका उसी पृष्ठ पर पहले पलटता है, 16.70° पर। विकल्प B वही तुलना उल्टी है और सर्पण का वर्णन करता है। विकल्प D वह जाल है जिसे केवल टालने के बजाय समझना उचित है: W दोनों कसौटियों से निरसित हो जाता है, अतः समान अनुपातों का भारी गुटका ठीक उसी कोण पर ठीक उसी प्रकार विफल होता है — द्रव्यमान बल बदलता है, यह नहीं कि कौन-सी देहली पहले आती है। यही कारण है कि प्रतिधारक भित्ति की सर्पण व पलटने के विरुद्ध पृथक्-पृथक् जाँच होनी चाहिए, और इसीलिए उसका आधार चौड़ा करना एक का उपचार है जबकि उसकी नींव खुरदरी करना दूसरे का।

  3. इस्पात छड़ 60 kN का अक्षीय कर्षण वहन करती है। वह 600 mm² क्षेत्रफल की 1.5 मीटर लंबाई तथा उसके पश्चात् 300 mm² क्षेत्रफल की 1.0 मीटर लंबाई से बनी है। E = 200 GPa लेते हुए, कुल दीर्घन mm में ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.75

    1.75 mm। भार दोनों खंडों में समान है — श्रेणी में छड़ अपनी आकृति चाहे जो हो, सर्वत्र वही अक्षीय बल वहन करती है — अतः केवल A बदलता है। प्रथम खंड: σ = 60000/600 = 100 MPa, तथा δ = PL/AE = 60000(1500)/(600 × 200000) = 0.75 mm। द्वितीय: σ = 60000/300 = 200 MPa, तथा δ = 60000(1000)/(300 × 200000) = 1.00 mm। कुल 1.75 mm। शिक्षाप्रद भाग विभाजन है: छोटा खंड अधिक योगदान देता है, और बड़े अंतर से। क्षेत्रफल आधा करने से प्रतिबल दोगुना होता है, और चूँकि विकृति प्रतिबल के समानुपाती है, प्रति एकांक लंबाई विकृति भी दोगुनी हो जाती है — अतः पतले भाग को दो बार दंड मिलता है और वह दो-तिहाई लंबाई पर भी कुल पर हावी रहता है। गलत उत्तर निदानकारी हैं। 2.5 मीटर पर 450 mm² का औसत क्षेत्रफल प्रयोग करने से 1.667 mm मिलता है, जो वही वस्तु नहीं है और कभी नहीं होती। केवल बड़ा क्षेत्रफल प्रयोग करने से 1.25 mm मिलता है। और जो अभ्यर्थी मान लेता है कि छड़ भर प्रतिबल एकसमान है उसने वही एक त्रुटि की है जिसे पकड़ने हेतु यह प्रश्न विद्यमान है: बल एकसमान है, प्रतिबल नहीं।

  4. E = 210 GPa तथा पॉइसन अनुपात 0.25 वाले पदार्थ हेतु आयतन गुणांक GPa में ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 140

    140 GPa। सीधे K = E/3(1−2ν) = 210/[3(1 − 0.5)] = 210/1.5 = 140 GPa से, और उसी पदार्थ हेतु G = E/2(1+ν) = 210/2.5 = 84 GPa। दोनों ν = 0.25 पर यथातथ आते हैं, और इसीलिए वह मान प्रश्न-पत्रों का प्रिय है। उल्टी दिशा से पुष्ट करें: E = 9KG/(3K+G) = 9(140)(84)/(420 + 84) = 105840/504 = 210 ✓। संबंध अंकगणित से अधिक महत्व रखते हैं क्योंकि वे कहते हैं कि समदैशिक पदार्थ के केवल दो स्वतंत्र प्रत्यास्थ नियतांक हैं — कोई दो दें और शेष दो नियत हो जाते हैं, अतः प्रश्न आपको K व G देकर ν माँग सकता है। हर भी भौतिकी वहन करते हैं। जैसे-जैसे ν → 0.5, गुणनखंड (1 − 2ν) → 0 और K → ∞: पदार्थ आयतन-परिवर्तन का पूर्ण प्रतिरोध करता है, असंपीड्य का यही अर्थ है और इसीलिए रबर, लगभग 0.4997 पर, वैसे ही माना जाता है। ν = 0 पर वही संबंध K = E/3 = 70 GPa देता है। ऊष्मागतिक स्थायित्व −1 < ν < 0.5 अपेक्षित करता है, अतः 0.6 का दावा किया गया पॉइसन अनुपात असामान्य पदार्थ नहीं बल्कि अंकगणितीय त्रुटि है।

  5. सरल आलंबित धरन पर आभासी कार्य का सिद्धांत B के बेलन-आधार को मुक्त करके और उसे एकांक आभासी विस्थापन देकर लगाया जाता है। A के परितः आघूर्ण लेने पर इसका मुख्य लाभ यह है कि

    1. वह प्रतिक्रिया का भिन्न, अधिक यथार्थ मान देता है
    2. A पर प्रतिक्रिया कोई कार्य नहीं करती और समीकरण में कभी प्रवेश नहीं करती
    3. वह अनिर्धार्य संरचनाओं पर लागू होता है जहाँ स्थैतिकी विफल है
    4. वह यह जानने की आवश्यकता हटा देता है कि भार कहाँ कार्य करते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — A पर प्रतिक्रिया कोई कार्य नहीं करती और समीकरण में कभी प्रवेश नहीं करती

    A पर प्रतिक्रिया कोई कार्य नहीं करती और समीकरण में कभी प्रवेश नहीं करती। जो कीलक विस्थापित नहीं होती वह कार्य-समीकरण में कुछ योगदान नहीं करती, अतः जो अज्ञात आपने पूछा ही नहीं वह बीजगणित से नहीं बल्कि आभासी विस्थापन के चयन से निरस्त हो जाता है। 8 मीटर धरन पर, δ_B = 1 सहित A के परितः दृढ़ घूर्णन 3 मीटर पर 40 kN भार को 3/8 तथा 4 मीटर पर 96 kN UDL-परिणामी को 1/2 चलाता है, अतः R_B = 40(0.375) + 96(0.5) = 63 kN — आघूर्ण-समीकरण से अभिन्न, जैसा होना ही चाहिए। विकल्प A वह त्रुटि है जिसे नाम देना उचित है: आभासी कार्य वही स्थैतिकी है, अतः वह ठीक वही संख्या देता है, कभी बेहतर नहीं; जिसे भिन्न उत्तर मिले उसने त्रुटि की है, कोई परिष्कार नहीं खोजा। विकल्प C अतिकथन है — सिद्धांत अनिर्धार्य संरचनाओं तक विस्तृत होता ही है, किंतु तभी जब संगतता भी साथ लाई जाए, और यहाँ प्रयुक्त रूप शुद्ध साम्य है। विकल्प D सत्य का उल्टा है: विधि पूर्णतः इस पर निर्भर है कि प्रत्येक भार कहाँ कार्य करता है, क्योंकि प्रत्येक का किया कार्य उसका परिमाण गुणा उसके अपने बिंदु पर विस्थापन है, और सर्वप्रथम इसी से 3/8 व 1/2 भिन्न संख्याएँ बनती हैं।

  6. कोण-काट 150 mm × 10 mm की ऊर्ध्व भुजा तथा 100 mm × 10 mm की क्षैतिज भुजा से बना है जो एक कोने पर मिलती हैं। ऊर्ध्व भुजा के बाह्य फलक से मापने पर केंद्रक की दूरी mm में ______ है (दो दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 23.75

    23.75 mm। एकमात्र वास्तविक कठिनाई कोने को दो बार न गिनना है। कोण को पूर्ण ऊर्ध्व भुजा में बाँटें, 10 × 150 = 1500 mm² जिसका केंद्रक x = 5 mm पर है, तथा क्षैतिज भुजा के शेष भाग में, 90 × 10 = 900 mm² जिसका केंद्रक x = 10 + 45 = 55 mm पर है। कुल क्षेत्रफल 2400 mm², तथा x̄ = [1500(5) + 900(55)]/2400 = (7500 + 49500)/2400 = 57000/2400 = 23.75 mm। दूसरे अक्ष पर वही यात्रा ȳ = [1500(75) + 900(5)]/2400 = 48.75 mm देती है। अब उस बिंदु को रेखाचित्र पर रखें: ऊर्ध्व भुजा केवल 0 ≤ x ≤ 10 घेरती है और क्षैतिज भुजा केवल 0 ≤ y ≤ 10, अतः (23.75, 48.75) पर केंद्रक कोण के भीतर की रिक्त जगह में बैठता है, किसी पदार्थ पर नहीं। कोण, चैनल अथवा वलय हेतु वह सामान्य है, और एक बार देख लेना उचित है, क्योंकि केंद्रक इसका गुणधर्म है कि क्षेत्रफल कैसे वितरित है, न कि पिंड का कोई बिंदु। चिरपरिचित गलत उत्तर, 27.5 mm, क्षैतिज भुजा को x = 50 पर पूरे 100 mm मानने से आता है और इस प्रकार 10 × 10 का कोना दो बार गिनने से।

  7. UDL तथा संकेंद्रित भार दोनों वहन करती धरन पर, उस काट पर जहाँ संकेंद्रित भार कार्य करता है,

    1. अपरूपण बल व बंकन आघूर्ण दोनों विच्छिन्न हैं
    2. अपरूपण बल विच्छिन्न है और बंकन आघूर्ण एक प्रवणता-परिवर्तन सहित संतत है
    3. बंकन आघूर्ण विच्छिन्न है और अपरूपण बल संतत है
    4. दोनों संतत हैं, क्योंकि धरन स्वयं संतत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अपरूपण बल विच्छिन्न है और बंकन आघूर्ण एक प्रवणता-परिवर्तन सहित संतत है

    अपरूपण में सोपान, आघूर्ण में मोड़। भार के चारों ओर लुप्त होती चौड़ाई का टुकड़ा लें। उस टुकड़े के ऊर्ध्व साम्य को सम्पूर्ण संकेंद्रित बल आत्मसात् करना ही होगा, अतः V उसके आर-पार ठीक भार जितना बदलता है — एक सोपान। उसी लुप्त होते टुकड़े के आघूर्ण-साम्य में भार गुणा ऐसी बाहु आती है जो शून्य की ओर जाती है, अतः M उसके आर-पार बदल नहीं सकता — वह संतत है — किंतु चूँकि dM/dx = V और V अभी छलाँगा है, आघूर्ण-आरेख की प्रवणता अकस्मात् बदल जाती है। वह मोड़ है, विच्छेद नहीं। 8 मीटर धरन दोनों दिखाती है: भार के आर-पार V, +37 से −3 चलता है जबकि M दोनों ओर 165 पढ़ता है। विकल्प C भिन्न और उतनी ही परीक्षणीय स्थिति का वर्णन करता है — धरन पर लगाया गया संकेंद्रित बल-युग्म आघूर्ण-आरेख में अपने परिमाण जितना सोपान डालता है और अपरूपण को अछूता छोड़ता है, जो दर्पण-प्रतिबिंब है और यह जाँचने का प्रिय मार्ग कि दोनों एक विचार की भाँति सीखे गए हैं अथवा दो कंठस्थ चित्रों की भाँति। विकल्प D धरन की संतति को आंतरिक-बल आरेखों की संतति से मिला देता है; इन सभी स्थितियों में धरन संतत है और आरेख नहीं।

  8. 500 kg द्रव्यमान का पाइल-हथौड़ा 2 मीटर मुक्त रूप से पाइल पर गिराया जाता है और 0.05 s में विराम पर लाया जाता है। निम्नलिखित में कौन सही हैं? (एक अथवा अधिक)

    1. आघात वेग लगभग 6.26 m/s है
    2. औसत प्रतिरोधी बल लगभग 62.6 kN है
    3. औसत बल हथौड़े के भार का लगभग 12.8 गुना है
    4. रोकने का समय आधा करने से औसत बल अपरिवर्तित रहेगा
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आघात वेग लगभग 6.26 m/s है; B — औसत प्रतिरोधी बल लगभग 62.6 kN है; C — औसत बल हथौड़े के भार का लगभग 12.8 गुना है

    A, B तथा C। 2 मीटर मुक्त पतन v = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 2) = 6.264 m/s देता है, अतः A सही है, और पहुँचता संवेग 500 × 6.264 = 3132 kg·m/s है। रोकने के अंतराल पर आवेग–संवेग F Δt = m Δv देता है, अतः F = 3132/0.05 = 62 642 N ≈ 62.6 kN — B सही है। हथौड़े के अपने भार 500 × 9.81 = 4.905 kN के सम्मुख वह 62.642/4.905 = 12.77 का गुणनखंड है, अतः C भी सही है, और व्यवहार में वही संख्या महत्व रखती है: पाइल व उसके नीचे की मृदा द्रव्यमान को नहीं, गुणक को अनुभव करती है। D असत्य है, और वही प्रश्न का मर्म है। आवेग m Δv गिरावट से नियत है, अतः बल व समय व्युत्क्रमतः अदल-बदल करते हैं — रोकने का समय आधा करें और बल दोगुना हो जाता है, लगभग 125 kN तक। इसी कारण पाइल के शीर्ष पर गद्दी अथवा डॉली रखी जाती है: वह उस संवेग को नहीं बदल सकती जिसके साथ हथौड़ा आता है, किंतु Δt बढ़ाकर वह शिखर बल घटाती है, और वही कंक्रीट पाइलों को चटकाता है। वही अदला-बदली क्रम्पल ज़ोन व सुरक्षा-जालों के पीछे है, और संबंध को F = m Δv/Δt दिशा में पढ़ना उचित है, न कि एक बार हल किए जाने वाले सूत्र की भाँति।