कंक्रीट व इस्पात संरचनाएँ: सीमा अवस्था, आसंजन, पूर्वप्रतिबल व सुघट्य विश्लेषण
1.5 से गुणा करता है और कंक्रीट को 1.5 तथा इस्पात को 1.15 से विभाजित, 0.446 f_ck तथा 0.87 f_y के अभिकल्प-प्रतिबल देते हुए; IS 800 इस्पात को पराभव हेतु 1.10 तथा बोल्ट-छिद्र पर विदरण हेतु 1.25 से विभाजित करता है। इस्पात को छोटा पदार्थ-गुणक मिलता है क्योंकि वह निर्मित व परीक्षित है, कंक्रीट को बड़ा क्योंकि वह स्थल पर मिश्रित व पक्व होता है। वहाँ से प्रबलित कंक्रीट का बंकन एक ही दोहराया प्रश्न है: उदासीन अक्ष कहाँ है? अधिक इस्पात डालें और वह नीचे उतरता है, जब तक x_u,max पर कंक्रीट उसी क्षण पिस जाए जब इस्पात पराभव करे, और उस बिंदु के आगे इस्पात जोड़ना अधिक बलवान धरन के बजाय भंगुर विफलता खरीदता है — और इसीलिए संहिता x_u/d की अधिसीमा रखती है और इसीलिए Fe415 हेतु M_u,lim = 0.138 f_ck b d² अधिसीमा है, लक्ष्य नहीं। आसंजन तय करता है कि इस्पात पर भरोसा किया जा सकता है क्या: छड़ अपना सामर्थ्य केवल किसी लंबाई पर विकसित करती है, M20 में Fe415 हेतु L_d ≈ 47φ, और छोटी कटी छड़ वह छड़ है जो वहाँ नहीं है। पूर्वप्रतिबल समस्या को उलट देता है, कंक्रीट को पूर्व-संपीडित करके, ताकि सेवा-आघूर्ण उसे तनन-फलक चटकाने के बजाय एकसमान प्रतिबल पर ले आए। और इस्पात की ओर, सुघट्य विश्लेषण प्रथम कीलक बनते ही प्रत्यास्थ आरेख छोड़ देता है और केवल यह पूछता है कि अंततः कौन-सी क्रियाविधि ध्वस्त होती है।दो आंशिक गुणक, तथा वे दो क्यों हैं
कार्य प्रतिबल अभिकल्प एक ही सुरक्षा-गुणक लेता था, उसे पदार्थ-सामर्थ्य पर लगाता था, और संरचना को प्रत्यास्थ रखता था। वह सुरक्षित है, किंतु वह उस प्रश्न का उत्तर छिपा देता है जो अभियंता को वस्तुतः चाहिए: गिरने से पूर्व कितना अधिक भार? सीमा अवस्था अभिकल्प अनिश्चितता के दो स्रोत पृथक् करके उत्तर देता है। भार गुणक इस संभावना को आवृत करता है कि भारण मानी गई मात्रा से अधिक हो — IS 456 मृत व आरोपित भार के संयोजन पर 1.5 प्रयोग करता है। पदार्थ गुणक इस संभावना को आवृत करता है कि पदार्थ निर्दिष्ट से दुर्बल हो, और वह प्रत्येक पदार्थ पर स्वतंत्र रूप से लगाया जाता है: कंक्रीट हेतु 1.5 तथा इस्पात हेतु 1.15, अतः अभिकल्प-प्रतिबल 0.67 f_ck/1.5 = 0.446 f_ck तथा f_y/1.15 = 0.87 f_y हो जाते हैं। असममिति जानबूझकर है और समझाने योग्य है: इस्पात नियंत्रण में निर्मित होता है और कुंडली-दर-कुंडली परीक्षित; कंक्रीट स्थल पर शीघ्रता में लगे लोगों द्वारा मिश्रित, रखा, संपीडित व पक्व किया जाता है। बड़ा गुणक उसी अंतर से खरीदा गया है, पदार्थ की किसी अंतर्निहित बात से नहीं।
प्रबलित कंक्रीट में बंकन: उदासीन अक्ष कहाँ है?
प्रत्येक प्रबलित कंक्रीट बंकन-गणना वही गणना है। कंक्रीट संपीडन लेता है, इस्पात तनन लेता है, और उदासीन अक्ष वहाँ बैठता है जहाँ दोनों साम्य में हों: 0.36 f_ck b x_u = 0.87 f_y A_st। इस्पात जोड़ें और x_u नीचे उतरता है; कंक्रीट जोड़ें और वह चढ़ता है। तत्पश्चात् प्रतिरोध का आघूर्ण वह बल-युग्म गुणा उसकी उत्तोलक-बाहु है, M_u = 0.87 f_y A_st (d − 0.42 x_u), और 0.36 व 0.42 मानी गई परवलयिक-आयताकार प्रतिबल-गुटिका का क्षेत्रफल व केंद्रक हैं, भौतिक नियतांक नहीं। इसे अभिकल्प-नियम में बदलता है यह सीमा कि उदासीन अक्ष को कितना नीचे उतरने की अनुमति है, और सीमा का कारण सामर्थ्य नहीं बल्कि विफलता का प्रकार है।
x_u,max/d की अधिसीमा Fe250 हेतु 0.53, Fe415 हेतु 0.48 तथा Fe500 हेतु 0.46 रखकर नियत करती है — उच्चतर सामर्थ्य के इस्पात को उथला उदासीन अक्ष चाहिए क्योंकि उसे पराभव हेतु अधिक विकृत होना पड़ता है। अधिसीमा को आघूर्ण-व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर अधिसीमा M_u,lim = 0.36(x_u,max/d)(1 − 0.42 x_u,max/d) f_ck b d² मिलती है, जो उन तीन श्रेणियों हेतु 0.148, 0.138 तथा 0.134 f_ck b d² निकलती है। उसे इस अधिसीमा की भाँति पढ़ें कि दिए गए आकार की एकल प्रबलित काट को क्या वहन करने की अनुमति दी जा सकती है: उसके आगे आप अधिक तनन-इस्पात नहीं जोड़ते, आप धरन गहरी करते हैं अथवा संपीडन-इस्पात जोड़कर उसे द्वि-प्रबलित के रूप में अभिकल्पित करते हैं।165 kN·m का कार्यकारी बंकन आघूर्ण पाया। अध्याय 2 ने उसे 300 × 450 काट पर रखा और 16.3 MPa का प्रत्यास्थ छोर-तंतु प्रतिबल पढ़ा। अब उसे M20 कंक्रीट व Fe415 में अभिकल्पित करें। पहले भार पर गुणक लगाएँ: M_u = 1.5 × 165 = 247.5 kN·m। फिर खोजें कि काट क्या ले सकती है: M_u,lim = 0.138 × 20 × 300 × 450² = 167.7 kN·m। माँग अधिसीमा से 48 प्रतिशत बड़ी है, अतः यह काट उस आघूर्ण को एकल प्रबलित धरन की भाँति वहन नहीं कर सकती — और कितना भी अतिरिक्त तनन-इस्पात उसे नहीं बदलेगा, क्योंकि अधिसीमा कंक्रीट व उदासीन अक्ष की सीमा से नियत है, दिए गए इस्पात से नहीं। विकल्प वही वास्तविक हैं जो अभियंता के पास हैं: धरन को d = √(247.5 × 10⁶/(0.138 × 20 × 300)) = 547 mm तक गहरी करें; गहराई रखें और संपीडन-इस्पात जोड़कर उसे द्वि-प्रबलित अभिकल्पित करें; अथवा कंक्रीट की श्रेणी बढ़ाएँ, चूँकि M_u,lim, f_ck का समानुपाती है। ध्यान दें कि अध्याय 2 की प्रत्यास्थ गणना ने आपको क्या नहीं बताया। 16.3 MPa, इस्पात के 165 MPa अनुमेय के आगे मामूली संख्या दिखी, और इस्पात की धरन हेतु वह होती भी — किंतु M20 श्रेणी के सादे कंक्रीट का बंकन में अनुमेय संपीडन प्रतिबल लगभग 7 MPa है, अतः वही आँकड़ा पहले से चेतावनी था। जो प्रतिबल एक पदार्थ में सुखद है वह दूसरे में विफलता है, और इसीलिए प्रबलित कंक्रीट सीमा अवस्था से अभिकल्पित होता है, इस्पात की गणना से प्रत्यास्थ प्रतिबल उठाकर लाने से नहीं।आसंजन, विकास लंबाई, तथा पूर्वप्रतिबलित कंक्रीट
प्रबलन तभी काम करता है यदि कंक्रीट उसमें बल संचारित कर सके, और वह संचरण किसी लंबाई पर होता है। छड़ जो बल वहन कर सकती है उसे उसके पृष्ठ के चारों ओर उपलब्ध आसंजन के बराबर रखने पर, (π φ²/4)(0.87 f_y) = (π φ L_d) τ_bd, विकास लंबाई L_d = φ(0.87 f_y)/(4 τ_bd) मिलती है। M20 हेतु τ_bd = 1.2 MPa को विरूपित छड़ों हेतु संहिता के 1.6 गुणक से बढ़ाने पर, वह Fe415 हेतु 47φ है — अतः 20 mm छड़ को पूर्ण सामर्थ्य पर भरोसा किए जाने से पूर्व लगभग 940 mm अंतःस्थापन चाहिए। परिणाम सभी व्यावहारिक हैं: छड़ को अधिकतम आघूर्ण के बिंदु से आगे बढ़ना ही चाहिए, अतिव्यापी जोड़ इतना लंबा होना चाहिए कि बल सौंप सके, आधार से पहले रुक जाती छड़ ने अपना इस्पात दिया ही नहीं, और उच्चतर श्रेणी के इस्पात को अधिक लंबा लंगर चाहिए, छोटा नहीं — Fe250 के 28.3φ के सम्मुख Fe500 हेतु 56.6φ — क्योंकि आसंजन-सामर्थ्य कंक्रीट पर निर्भर है जबकि संचारित किया जाने वाला बल इस्पात पर।
σ = P/A ± Pe/Z ∓ M/Z, दो भार-अवस्थाओं पर जाँचा गया, क्योंकि वे भिन्न समस्याएँ हैं। 300 × 600 की आयताकार धरन लें, केंद्रक से 150 mm नीचे उत्केंद्रता पर 900 kN का पूर्वप्रतिबल बल सहित। A = 180 000 mm² तथा Z = 18 × 10⁶ mm³, अतः P/A = 5.0 MPa और Pe/Z = 7.5 MPa। अंतरण पर, धरन के कुछ वहन करने से पूर्व, ऊपरी तंतु 5.0 − 7.5 = −2.5 MPa पढ़ता है — तनन, शीर्ष पर, ऐसी धरन में जो अभी भारित हुई ही नहीं, और ठीक वही अवस्था है जो धरन को उठाने-रखने के दौरान चटकाती है तथा अंतरण की जाँच होने का कारण है। तल +12.5 MPa पढ़ता है। सेवा पर, आघूर्ण जोड़ें। 90 kN·m के अंतर्गत तंतु 2.5 व 7.5 पढ़ते हैं। 135 kN·m के अंतर्गत लगाया गया M/Z = 7.5 MPa पूर्वप्रतिबल-आघूर्ण को ठीक निरसित कर देता है और दोनों तंतु 5.0 MPa पढ़ते हैं — काट एकसमान संपीडन में है, अपने पदार्थ का उतना समान उपयोग करती हुई जितना संभव है, और वही वह अवस्था है जिसे अभिकल्प लक्ष्य कर रहा था। 180 kN·m के अंतर्गत वे 7.5 व 2.5 पढ़ते हैं, अंतरण-अवस्था के उल्टे। वही क्रम सम्पूर्ण विचार है: पूर्वप्रतिबलित धरन अपने जीवन के विपरीत छोरों पर दो भार-स्थितियों हेतु अभिकल्पित होती है, और जो काट सेवा पर सुखद है वह अंतरण पर चटक रही हो सकती है।इस्पात सदस्य, संयोजन, तथा सुघट्य विश्लेषण
इस्पात का तनन सदस्य पेपर की सर्वाधिक सुगम वस्तु दिखता है और दो स्वतंत्र जाँचें वहन करता है, और वही उसका सर्वस्व है। स्थूल काट का पराभव पूर्ण क्षेत्रफल को पराभव प्रतिबल पर छोटे आंशिक गुणक सहित लेता है: T_dg = A_g f_y/1.10। नेट काट का विदरण बोल्ट-छिद्रों के पश्चात् शेष क्षेत्रफल को परम प्रतिबल पर बड़े गुणक तथा एक और 0.9 सहित लेता है: T_dn = 0.9 A_n f_u/1.25। अभिकल्प-क्षमता लघुतर है, और किसी को छोड़ा नहीं जा सकता क्योंकि कौन शासन करता है यह छिद्र-प्रतिरूप व श्रेणी पर निर्भर है। एक 22 mm छिद्र सहित Fe410 की 100 × 10 पट्टी चलाएँ: T_dg = 1000 × 250/1.10 = 227.3 kN तथा T_dn = 0.9 × 780 × 410/1.25 = 230.3 kN। स्थूल पराभव शासन करता है — 1.3 प्रतिशत से। वही अंतर प्रत्येक बार दोनों गणनाएँ करने का तर्क है: तनिक चौड़ा छिद्र, उसी रेखा में दूसरा बोल्ट, अथवा उच्चतर श्रेणी का इस्पात पलट देता है कि कौन जीतता है, और दोनों उत्तर इतने निकट हैं कि चुनने हेतु सहजबुद्धि पर भरोसा नहीं किया जा सकता।
संपीडन सदस्य युग्म का दूसरा अर्धांश है और उससे बिल्कुल भिन्न व्यवहार करता है, क्योंकि तनन सदस्य बंकुचित नहीं हो सकता और संपीडन सदस्य सामान्यतः होता है। उसकी क्षमता पतलेपन λ = KL/r से शासित है, और अभिकल्प संपीडन प्रतिबल ऐसे बंकुचन-वक्र से पढ़ा जाता है जो दोनों सीमांत व्यवहार मिलाता है: ठिगने सदस्य हेतु f_y पर पिसाई तथा पतले हेतु π²E/λ² पर यूलर बंकुचन। दोनों λ = π√(E/f_y) पर बराबर हैं, जो E = 200 GPa तथा f_y = 250 MPa हेतु λ = 88.9 है। उससे नीचे यूलर प्रतिबल पराभव प्रतिबल से अधिक है और पराभव शासन करता है — λ = 40 पर यूलर मान 1234 MPa है, जिस तक इस्पात कभी नहीं पहुँचेगा — और उससे ऊपर बंकुचन शासन करता है, यूलर प्रतिबल λ = 120 पर 137 MPa तथा λ = 180 पर 61 MPa तक नीचे। वास्तविक वक्र दोनों आदर्शीकरणों से नीचे बैठते हैं, क्योंकि वास्तविक स्तंभ न पूर्णतः सीधा है न बेल्लन व वेल्डन के अवशिष्ट प्रतिबल से मुक्त, और संहिताएँ ठीक इसी कारण काट-आकृति व अक्ष से चुने कई वक्र वहन करती हैं। धरन-स्तंभ अक्षीय भार व बंकन दोनों वहन करता है, और किसी एक सीमा के बजाय अन्योन्यक्रिया-व्यंजक के सम्मुख जाँचा जाता है, चूँकि अक्षीय बल P–δ प्रभाव से बंकन प्रवर्धित करता है और बंकन अक्षीय क्षमता घटाता है।
सुघट्य विश्लेषण इस्पात की तन्यता को गंभीरता से लेता है। काट का छोर-तंतु पराभव करते ही अधिक आघूर्ण धरन को तोड़ता नहीं: पराभव भीतर की ओर फैलता है जब तक सम्पूर्ण काट f_y पर न हो, जिस बिंदु पर काट सुघट्य कीलक है और अचर M_p = f_y Z_p वहन करती है, जहाँ Z_p सुघट्य गुणांक है और समान-क्षेत्रफल अक्ष के परितः पूर्ण क्षेत्रफल लेता है। अनुपात Z_p/Z_e आकृति-गुणक है, और वह आकृति का शुद्ध गुणधर्म है: आयत हेतु ठीक 1.5, ठोस वृत्त हेतु 16/3π = 1.698, समचतुर्भुज हेतु 2.0, तथा बेल्लित I-काट हेतु केवल लगभग 1.12–1.14 — क्योंकि I के पास पहले से अपना अधिकांश पदार्थ छोर-तंतुओं पर है, अतः भर्ती करने को अल्प शेष है। वही अंतिम संख्या इसका कारण है कि सुघट्य अभिकल्प I-धरन पर आयत के सुझाव से बहुत कम मूल्यवान है। तत्पश्चात् ध्वंस तब नहीं आता जब प्रथम कीलक बने बल्कि जब इतने कीलक बनें कि क्रियाविधि बन जाए: UDL हेतु सरल आलंबित विस्तार पर 8M_p/L², टेकित पर 11.66M_p/L², तथा दोनों सिरों पर जड़ित पर 16M_p/L² — सरल आलंबित ध्वंस-भार का ठीक दोगुना, क्योंकि जड़ित धरन को एक के बजाय तीन कीलक बनाने पड़ते हैं।
| काट | आकृति-गुणक Z_p/Z_e | प्रथम पराभव के आगे आरक्षित |
|---|---|---|
| आयत | ठीक 1.500 | 50% |
| ठोस वृत्त | 16/3π = 1.698 | 70% |
| समचतुर्भुज | 2.000 | 100% |
| बेल्लित I-काट | लगभग 1.12–1.14 | केवल 12–14% |
मुख्य बिंदु
- सीमा अवस्था भार ऊपर और पदार्थ नीचे, पृथक्-पृथक् गुणक लगाती है: भार पर
1.5, कंक्रीट पर1.5, इस्पात पर1.15,0.446 f_ckतथा0.87 f_yदेते हुए। कंक्रीट को बड़ा गुणक मिलता है क्योंकि वह स्थल पर बनता है। - अति-प्रबलित धरन अधिक बलवान व निषिद्ध है: वह बिना चेतावनी पिसती है। संहिता Fe250 / Fe415 / Fe500 हेतु
x_u,max/dकी अधिसीमा 0.53 / 0.48 / 0.46 रखती है,M_u,lim= 0.148 / 0.138 / 0.134f_ck b d²देते हुए। L_d = φ(0.87 f_y)/(4 τ_bd)— M20 में Fe415 हेतु लगभग47φ। अधिक बलवान इस्पात को अधिक लंबा लंगर चाहिए, क्योंकि बल इस्पात के साथ बढ़ता है जबकि आसंजन कंक्रीट पर निर्भर है।- पूर्वप्रतिबलित काट दो अवस्थाओं पर जाँची जाती है। e = 150 पर 900 kN सहित 300 × 600 धरन के शीर्ष पर अंतरण पर −2.5 MPa तनन है, और 135 kN·m के सेवा-आघूर्ण पर दोनों तंतु ठीक 5.0 MPa पढ़ते हैं — एकसमान संपीडन।
- इस्पात के तनन सदस्य को दोनों जाँचें चाहिए —
A_g f_y/1.10तथा0.9 A_n f_u/1.25। हल की गई पट्टी पर वे 1.3% से भिन्न हैं, और इसीलिए किसी का अनुमान नहीं लगाया जा सकता। - आकृति-गुणक
Z_p/Z_eहै: आयत हेतु ठीक 1.5 किंतु बेल्लित I हेतु केवल 1.12–1.14, क्योंकि I के पास अपनी धातु पहले से छोर-तंतुओं पर है। जड़ित-सिरा धरन16M_p/L²पर ध्वस्त होती है, सरल आलंबित मान का दोगुना।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
प्रबलित कंक्रीट के सीमा अवस्था अभिकल्प में, अति-प्रबलित धरन मुख्यतः इसलिए अनुमत नहीं है कि
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उत्तर: B — वह बिना चेतावनी कंक्रीट के अकस्मात् पिसने से विफल होती है
वह अकस्मात् पिसने से, बिना चेतावनी, विफल होती है। अति-प्रबलित धरन में कंक्रीट अपनी पिसाई-विकृति पर पहुँचता है जबकि इस्पात अभी प्रत्यास्थ है, अतः संपीडन-फलक जाने से पूर्व कोई पराभव-पठार नहीं, कोई बड़ा विक्षेप नहीं और कोई दृश्य दरार-प्रतिरूप नहीं। अल्प-प्रबलित धरन में इस्पात पहले पराभव करता है और तत्पश्चात् लगभग अचर बल पर बहुत दूर तक खिंचता है — उदासीन अक्ष चढ़ता है, दरारें खुलती व चौड़ी होती हैं, विक्षेप बढ़ता है, और कंक्रीट के अंततः पिसने से पूर्व धरन मंद, दृश्य चेतावनी देती है। विकल्प A जाल है और सत्य का उल्टा है: अति-प्रबलित काट अधिक बलवान है, दुर्बल नहीं, और वही नियम को रोचक बनाता है। संहिता जानबूझकर चेतावनी खरीदने हेतु सामर्थ्य छोड़ती है, और वह Fe250, Fe415 तथा Fe500 हेतुx_u,max/dकी अधिसीमा 0.53, 0.48 व 0.46 रखकर उस अदला-बदली को लागू करती है। विकल्प D ऐसी किसी बात का वर्णन करता है जो होती ही नहीं — तनन-इस्पात जोड़ना उदासीन अक्ष को नीचे, तनन-फलक की ओर धकेलता है, और ठीक इसीलिए अधिसीमाx_uपर ऊपरी सीमा की भाँति व्यक्त की जाती है। विकल्प C गढ़ा हुआ है। स्मरण रखने योग्य अभिकल्प-परिणाम यही है: काट हेतु माँगM_u,limसे अधिक हो जाने पर अधिक तनन-इस्पात उत्तर नहीं है। धरन गहरी करें, कंक्रीट की श्रेणी बढ़ाएँ, अथवा संपीडन-इस्पात जोड़कर उसे द्वि-प्रबलित अभिकल्पित करें।M20 कंक्रीट व Fe415 इस्पात हेतु, 300 mm चौड़ी तथा 450 mm प्रभावी गहराई वाली एकल प्रबलित काट का सीमांत प्रतिरोध-आघूर्ण, kN·m में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 167.67
167.67 kN·m। Fe415 हेतु संहिताx_u,max/dकी अधिसीमा 0.48 रखती है, औरM_u,lim = 0.36(x_u,max/d)(1 − 0.42 x_u,max/d) f_ck b d²में प्रतिस्थापित करने पर गुणांक0.36(0.48)(1 − 0.2016) = 0.138मिलता है। तबM_u,lim = 0.138 × 20 × 300 × 450² = 0.138 × 20 × 300 × 202 500 = 167.67 × 10⁶ N·mm = 167.67 kN·m। गुणांक श्रेणी-विशिष्ट है और उन्हें मिला देना यहाँ की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है: वह Fe250 हेतु0.148तथा Fe500 हेतु0.134है, उच्चतर सामर्थ्य का इस्पात लघुतर मान देते हुए क्योंकि उसे अपनी बड़ी पराभव-विकृति तक पहुँचने हेतु उथला उदासीन अक्ष चाहिए। इस संख्या को गणित करने योग्य बनाता है उसका अर्थ।M_u,limकाट पर अधिसीमा है, प्रबलन का गुणधर्म नहीं — संतुलित मात्रा से अधिक तनन-इस्पात दें और काट किसी भी ऐसे प्रकार से अधिक आघूर्ण वहन नहीं करती जिसे संहिता स्वीकारे, वह केवल अति-प्रबलित व भंगुर हो जाती है। और वह उस धरन में अभिकल्प-विफलता उघाड़ता है जिसे इस पाठ्यक्रम ने चार अध्यायों तक साथ रखा है: उस धरन का कार्यकारी आघूर्ण 165 kN·m है, जो गुणक लगने पर1.5 × 165 = 247.5 kN·mहो जाता है, इस अधिसीमा से लगभग 48 प्रतिशत ऊपर। काट कोd = √(247.5 × 10⁶/(0.138 × 20 × 300)) = 547 mmचाहिए, अथवा संपीडन-इस्पात, अथवा अधिक बलवान कंक्रीट —M_u,limसीधेf_ckके साथ बदलता है, अतः M25 उसे 209.6 kN·m तक बढ़ाता और फिर भी पर्याप्त न होता।उसी कंक्रीट श्रेणी हेतु, दिए गए व्यास की विरूपित छड़ हेतु अपेक्षित विकास लंबाई
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उत्तर: B — Fe250 की तुलना में Fe500 हेतु लंबी है, क्योंकि संचारित किया जाने वाला बल बड़ा है
Fe500 हेतु लंबी, क्योंकि संचारित किया जाने वाला बल बड़ा है। छड़-बल को उसके पृष्ठ पर उपलब्ध आसंजन के बराबर रखें:(πφ²/4)(0.87 f_y) = (πφ L_d) τ_bd, अतःL_d = φ(0.87 f_y)/(4 τ_bd)। आसंजन प्रतिबलτ_bdकंक्रीट का गुणधर्म है — M20 हेतु 1.2 MPa, विरूपित छड़ों हेतु संहिता के गुणक 1.6 से बढ़कर 1.92 — जबकि विकसित किया जाने वाला बल इस्पात का गुणधर्म है।f_yबढ़ाएँ और अंश बढ़ता है, हर में मेल खाने को कुछ नहीं, अतः लंगर लंबा हो जाता है: Fe250 हेतु28.3φ, Fe415 हेतु47.0φ, Fe500 हेतु56.6φ। विकल्प A भौतिकी उलट देता है और क्रियाविधि भी गढ़ता है; आसंजन कंक्रीट व छड़ के पृष्ठ पर निर्भर है, और भीतर के इस्पात की श्रेणी इससे अप्रासंगिक है कि कंक्रीट उसे कितना अच्छा पकड़ता है। विकल्प C अंश केf_yको उपेक्षित करता है। विकल्प D सामने बैठेφसे खंडित है — यद्यपि रोचक भाग यह है कि वह व्यास पर कैसे निर्भर है:L_d,φका समानुपाती है, अतः M20 में 20 mm की Fe415 छड़ को लगभग 940 mm चाहिए, जबकि 12 mm छड़ को 564 mm। व्यावहारिक पाठ यह है कि उच्च-सामर्थ्य इस्पात निःशुल्क बचत नहीं है। वह अपेक्षित इस्पात का क्षेत्रफल घटाता है किंतु प्रत्येक लंगर व प्रत्येक अतिव्यापन लंबा कर देता है, और उथले सदस्य अथवा सँकरे स्तंभ में छड़ को अपेक्षित लंगर हेतु स्थान ही न हो — और इसीलिए विवरणकार कभी-कभी कम बड़ी छड़ों के बजाय छोटे व्यास की अधिक छड़ें चुनते हैं।300 mm × 600 mm की आयताकार पूर्वप्रतिबलित धरन केंद्रक से 150 mm नीचे उत्केंद्रता पर 900 kN का पूर्वप्रतिबल बल वहन करती है। अंतरण पर, बिना किसी बाह्य भार, ऊपरी तंतु पर प्रतिबल MPa में ______ है (तनन को ऋणात्मक लें)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: -2.5
−2.5 MPa, अर्थात् 2.5 MPa तनन।A = 300 × 600 = 180 000 mm²तथाZ = 300 × 600²/6 = 18 × 10⁶ mm³। प्रत्यक्ष पदP/A = 900 000/180 000 = 5.0 MPaसंपीडन है, सर्वत्र। उत्केंद्रता केंद्रक से नीचे है, अतः उसका आघूर्ण शीर्ष पर तनन रखता है:Pe/Z = 900 000 × 150/(18 × 10⁶) = 7.5 MPa। अतः ऊपरी तंतु5.0 − 7.5 = −2.5 MPaपढ़ता है और तल5.0 + 7.5 = +12.5 MPa। अभारित पूर्वप्रतिबलित धरन के शीर्ष पर तनन अभ्यर्थियों को प्रत्येक वर्ष चौंकाता है, और ठीक इसीलिए संहिता अंतरण पर पृथक् जाँच अपेक्षित करती है: धरन कुछ भी वहन करने से पूर्व अपने सर्वाधिक उत्केंद्रतः प्रतिबलित होने पर है, और इसी कारण धरनें ढलाई-स्थल पर चटकी हैं। उसी काट का सेवा में अनुसरण करें और चित्र उलट जाता है। 90 kN·m का सेवा-आघूर्ण शीर्ष परM/Z = 5.0 MPaजोड़ता है और तल पर घटाता है, 2.5 व 7.5 देते हुए। 135 kN·m पर लगाया गयाM/Z = 7.5 MPaपूर्वप्रतिबल-आघूर्ण को ठीक निरसित कर देता है, और दोनों तंतु5.0 MPaपढ़ते हैं — एकसमान संपीडन, काट द्वारा प्राप्य पदार्थ का सर्वाधिक समान उपयोग, और वही अवस्था जिसे उत्पन्न करने हेतु उत्केंद्रता चुनी गई थी। 180 kN·m पर वे 7.5 व 2.5 पढ़ते हैं, अंतरण का दर्पण। धरन के जीवन के विपरीत छोरों पर दो भार-स्थितियाँ, और एक पर संतोषजनक काट दूसरी पर चटक रही हो सकती है।Fe410 इस्पात (f_y = 250 MPa, f_u = 410 MPa) की 100 mm × 10 mm पट्टी में 22 mm व्यास का एक बोल्ट-छिद्र है। γ_m0 = 1.10 तथा γ_m1 = 1.25 लेते हुए, अभिकल्प तनन सामर्थ्य kN में ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 227.27
227.27 kN, स्थूल काट के पराभव से शासित। दोनों जाँचें चलानी ही होंगी और लघुतर लेनी होगी। स्थूल काट का पराभव:T_dg = A_g f_y/γ_m0 = (100 × 10)(250)/1.10 = 227 273 N = 227.27 kN। नेट काट का विदरण: छिद्र22 × 10 = 220 mm²हटाता है,A_n = 780 mm²शेष रखते हुए, औरT_dn = 0.9 A_n f_u/γ_m1 = 0.9 × 780 × 410/1.25 = 230 256 N = 230.26 kN। अभिकल्प सामर्थ्य लघुतर है,227.27 kN। इसे अच्छा प्रश्न बनाता है वह अंतर: दोनों उत्तर 1.31 प्रतिशत से भिन्न हैं, अतः कोई अंगूठा-नियम नहीं जो बताए कि कौन शासन करता है, और दोनों प्रत्येक बार गणित करने ही होंगे। ज्यामिति तनिक बदलें और विजेता बदल जाता है — छिद्र चौड़ा करें, उसी रेखा में दूसरा बोल्ट रखें, अथवा बड़ेf_y/f_uअनुपात वाला उच्चतर श्रेणी का इस्पात निर्दिष्ट करें, और विदरण अधिकार ले लेता है। दोनों व्यंजकों की संरचना कंठस्थ करने के बजाय समझने योग्य है। स्थूल पराभव पराभव प्रतिबल को छोटे गुणक 1.10 सहित प्रयोग करता है, क्योंकि अपनी सम्पूर्ण लंबाई पर पराभव करता सदस्य सेवा-योग्यता की विपत्ति है किंतु ध्वंस नहीं। नेट विदरण परम प्रतिबल को बड़े गुणक 1.25 तथा अतिरिक्त 0.9 सहित प्रयोग करता है, क्योंकि छिद्र पर भंग अकस्मात् व स्थानिक है, और छिद्र के चारों ओर प्रतिबल-संकेंद्रण का अर्थ है कि औसत नेट-काट प्रतिबल उसे कम बताता है जो छिद्र के निकट का पदार्थ वस्तुतः देखता है। भिन्न परिणामों वाले दो विफलता-प्रकारों को भिन्न गुणक मिलते हैं, और वही सीमा अवस्था अभिकल्प का सम्पूर्ण तर्क है, एक ही सदस्य के भीतर लगाया गया।आयताकार अनुप्रस्थ काट का आकृति-गुणक ______ है
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उत्तर: 1.5
ठीक 1.5। आकृति-गुणकZ_p/Z_eहै। प्रत्यास्थ गुणांकZ_e = bd²/6है। सुघट्य गुणांक सम्पूर्ण काट को पराभव पर लेता है, अतः आयत हेतु तनन व संपीडन गुटिकाएँ प्रत्येकbd/2हैं जो समान-क्षेत्रफल अक्ष सेd/4पर कार्य करती हैं,Z_p = 2(bd/2)(d/4) = bd²/4देते हुए। अनुपात(bd²/4)/(bd²/6) = 1.5है, अतः आयताकार काट के पास छोर-तंतु पर प्रथम पराभव के आगे 50 प्रतिशत आरक्षित आघूर्ण-क्षमता है। व्यवहार में अधिक महत्वपूर्ण संख्या बेल्लित I-काट की है: लगभग 1.12 से 1.14, और कारण देखने योग्य है। आकृति-गुणक मापता है कि छोर-तंतुओं से भीतर की ओर पराभव फैलते समय भर्ती करने को कितना पदार्थ उपलब्ध है — और I-काट ने अपनी लगभग सारी धातु पहले से फ़्लैंजों में, छोर-तंतुओं पर, ठीकZ_eअधिकतम करने हेतु रख दी है। जाल में लाने को बहुत अल्प शेष है, अतः सुघट्य आरक्षित लघु है। आयत, जो अपने उदासीन अक्ष के निकट पदार्थ व्यर्थ करता है जहाँ प्रत्यास्थ प्रतिबल निम्न है, के पास भर्ती करने को बहुत है; समचतुर्भुज, जो पदार्थ उदासीन अक्ष पर संकेंद्रित करता है, के पास सर्वाधिक है, 2.0 के आकृति-गुणक पर, और ठोस वृत्त16/3π = 1.698पर बैठता है। व्यावहारिक निष्कर्ष वही है जिसे अभ्यर्थी सर्वाधिक बार उल्टा समझते हैं: सुघट्य अभिकल्प ठीक उन काटों पर न्यूनतम अतिरिक्त क्षमता देता है जिन्हें इस्पात-कार्य वस्तुतः प्रयोग करता है। फ़्रेम में उसका वास्तविक मूल्य काट का आरक्षित नहीं बल्कि पुनर्वितरण है — जड़ित-सिरा धरन सरल आलंबित के8M_p/L²के सम्मुख16M_p/L²पर ध्वस्त होती है, भार का दोगुना, क्योंकि एक के बजाय तीन कीलक बनने ही चाहिए।IS 456 के अनुरूप सीमा अवस्था अभिकल्प में, कंक्रीट हेतु आंशिक सुरक्षा गुणक 1.5 है और इस्पात हेतु 1.15। अंतर इसलिए है कि
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उत्तर: B — कंक्रीट स्थल पर बनाया व पक्व किया जाता है, अतः उसका यथास्थान सामर्थ्य अधिक परिवर्तनशील है
कंक्रीट स्थल पर बनाया व पक्व किया जाता है, अतः उसका यथास्थान सामर्थ्य कहीं अधिक परिवर्तनशील है। आंशिक पदार्थ-गुणक प्रकीर्णन के विषय में कथन है, सामर्थ्य के विषय में नहीं। प्रबलन इस्पात कारखाने में प्रक्रिया-नियंत्रण में बेल्लित होता है, कुंडली-दर-कुंडली परीक्षित, और स्थल पर ज्ञात उत्पाद की भाँति आता है; उसके पराभव सामर्थ्य का वितरण सँकरा है, अतः 1.15 का गुणक पुच्छ को आवृत कर देता है। कंक्रीट स्थल पर बैच किया, ढोया, रखा, संपीडित व पक्व किया जाता है, और उन प्रत्येक चरणों में ऐसे प्रकार से गड़बड़ हो सकती है जो सदस्य में वस्तुतः उपस्थित सामर्थ्य घटा दे — मिश्रक पर अतिरिक्त जल, संकुल प्रबलन के चारों ओर दुर्बल संपीडन, गर्म मौसम में शीघ्र रोक दिया गया पक्वन। वितरण चौड़ा है, अतः गुणक बड़ा है। विकल्प A उसे दो बार उल्टा करता है: कंक्रीट प्रति एकांक क्षेत्रफल इस्पात से कहीं दुर्बल है, और किसी भी स्थिति में गुणक परिवर्तनशीलता नियत करती है, माध्य नहीं। विकल्प C सुरक्षा-कसौटी को आर्थिक कसौटी से मिला देता है; गुणक विश्वसनीयता पर अंशांकित हैं, और यदि लागत उन्हें चलाती तो सस्ते पदार्थ को ढील दी जाती। विकल्प D वह उत्तर है जिसके विरुद्ध सर्वाधिक दृढ़ता से तर्क करने योग्य है — गुणक चुने गए हैं, स्वेच्छ नहीं, और उनके पीछे का तर्क परीक्षणीय है। वही तर्क IS 800 में इस्पात-अभिकल्प के भीतर के विभाजन को समझाता है: पराभव हेतुγ_m0 = 1.10, जो तन्य व क्रमिक है, बनाम बोल्ट-छिद्र पर विदरण हेतुγ_m1 = 1.25, जो अकस्मात् व स्थानिक है। गुणक विफलता-प्रकार के परिणाम व अनिश्चितता का अनुसरण करता है, पदार्थ की प्रतिष्ठा का नहीं।M_p सुघट्य आघूर्ण क्षमता की प्रिज़्मीय इस्पात धरन एकसमान वितरित भार वहन करती है। निम्नलिखित ध्वंस-भारों में कौन सही हैं? (एक अथवा अधिक)
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उत्तर: A — सरल आलंबित: `w_u = 8M_p/L²`; B — दोनों सिरों पर जड़ित: `w_u = 16M_p/L²`; C — जड़ित-सिरा धरन सरल आलंबित भार के दोगुने पर ध्वस्त होती है
A, B तथा C। सरल आलंबित विस्तार हेतु अधिकतम आघूर्णw L²/8है, अतः ध्वंस तब आता है जब वहM_pपर पहुँचे,w_u = 8M_p/L²देते हुए — A सही है, और ध्यान दें कि यहाँ एक कीलक पर्याप्त है, क्योंकि सरल आलंबित धरन निर्धार्य है और एक ही कीलक उसे क्रियाविधि बना देता है। दोनों सिरे जड़ित करना धरन को दो बार अनिर्धार्य बनाता है: कीलक पहले दोनों आधारों पर बनते हैं, और धरन उन कीलकों के अचरM_pपर घूमते हुए भार वहन करती रहती है जब तक मध्य-विस्तार पर तृतीय कीलक न बने। उस त्रि-कीलक क्रियाविधि हेतु आंतरिक व बाह्य कार्य बराबर रखने परw_u = 16M_p/L²मिलता है — B सही है, और C तत्काल अनुसरण करता है अनुपात 16/8 = 2 की भाँति। D असत्य है, और वही सुघट्य विश्लेषण का सम्पूर्ण मर्म है। निर्धार्य संरचना में प्रथम कीलक उसे समाप्त कर देता ही है; अनिर्धार्य में नहीं करता, क्योंकि संरचना केवल पुनर्वितरित करती है — कीलक उस काट पर आघूर्ण की अधिसीमा रख देता है, और अधिक भार उन भागों द्वारा वहन किया जाता है जिन्होंने अभी पराभव नहीं किया। वही पुनर्वितरण फ़्रेमों में सुघट्य अभिकल्प का वास्तविक लाभ है, और वह काट-स्तर के लाभ से बहुत बड़ा है: बेल्लित I-काट का आकृति-गुणक केवल लगभग 1.12 है, अतः काट के भीतर आरक्षित 12 प्रतिशत है, जबकि जड़ित-सिरा धरन में पुनर्वितरण से आरक्षित 100 प्रतिशत है। वह एक शर्त भी वहन करता है जो कहने योग्य है: पुनर्वितरण को तन्यता चाहिए, अतः तर्क संरचनात्मक इस्पात हेतु टिकता है और भंगुर पदार्थ हेतु अथवा कीलक बनने से पूर्व स्थानिक रूप से बंकुचित होने योग्य पतली इस्पात-काट हेतु विफल हो जाता है। इसी कारण सुघट्य अभिकल्प सुघट्य अथवा संहत वर्गीकृत काटों तक सीमित है।