अंकीय परिपथ: बूलीय बीजगणित, बहुसंकेतक, कूटलेखक व विकूटक, फ्लिप-फ्लॉप व गणित्र

खंड A.2 का दूसरा उप-शीर्षक बूलीय बीजगणित, संयोजी परिपथ — बहुसंकेतक, कूटलेखक व विकूटक — तथा अनुक्रमिक परिपथ — फ्लिप-फ्लॉप व गणित्र — नामित करता है। मेकाट्रॉनिक तंत्र में ये संवेदकों व प्रवर्तकों के बीच का तर्क हैं: प्रेस को रोकने वाला अंतर्बंधन, युक्ति चुनने वाला विकूटक, एनकोडर स्पंदों का योग करने वाला गणित्र। GATE न्यूनीकृत व्यंजक, छोटे परिपथ का निर्गम, घड़ी-किनारे पर फ्लिप-फ्लॉप का व्यवहार, या गणित्र का मापांक व गति पूछता है।

1. बूलीय बीजगणित व न्यूनीकरण

  • सर्वसमिकाएँ: A + 0 = A, A · 1 = A, A + A = A, A + A′ = 1, A · A′ = 0, A + 1 = 1।
  • अवशोषण: A + AB = A व A(A + B) = A; साथ ही A + A′B = A + B।
  • डी मॉर्गन: (A + B)′ = A′B′ व (AB)′ = A′ + B′ — इसी कारण NAND व NOR प्रत्येक सार्वत्रिक है: अकेला कोई भी NOT, AND व OR बना देता है।
  • सर्वसम्मति: AB + A′C + BC = AB + A′C — BC पद अनावश्यक है क्योंकि A जो भी मान ले, वह आच्छादित है।

फलन मिनटर्मों के योग (SOP) या मैक्सटर्मों के गुणनफल (POS) के रूप में लिखा जाता है। कार्नो मानचित्र मिनटर्मों को ग्रे-कूट क्रम में रखता है जिससे आसन्न कोष्ठ एक चर में भिन्न हों; 1, 2, 4 या 8 कोष्ठों के आयतों में 1 को समूहित करना, किनारों के पार लपेटते हुए, समूह के भीतर बदलने वाले चर हटा देता है। "उपेक्षणीय" कोष्ठ 1 गिने जा सकते हैं जब वे समूह बड़ा करें। F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15) हेतु: चारों कोने (0, 2, 8, 10) B′D′ बनाते हैं और केंद्रीय खंड (5, 7, 13, 15) BD, अतः F = B′D′ + BD, B व D का XNOR।

2. बहुसंकेतक, कूटलेखक व विकूटक

बहुसंकेतक n चयन रेखाओं के अंतर्गत 2ⁿ आँकड़ा निवेशों में से एक को निर्गम पर भेजता है: 32-से-1 MUX को 5 चाहिए। यह सार्वत्रिक फलन जनित्र भी है — 2ⁿ-से-1 MUX अपने आँकड़ा निवेशों को 0 या 1 से जोड़कर n चरों का कोई भी फलन, और अतिरिक्त चर (या उसका पूरक) आँकड़ा निवेशों पर अनुमत हो तो n + 1 चरों का कोई भी फलन, कार्यान्वित करता है। विकूटक के n निवेश व 2ⁿ निर्गम होते हैं, ठीक एक सक्रिय: ABC = 101 (A सर्वाधिक सार्थक) वाला 3-से-8 विकूटक निर्गम 5 सक्रिय करता है। चूँकि प्रत्येक निर्गम एक मिनटर्म है, OR द्वार सहित विकूटक कोई भी फलन कार्यान्वित करता है।

कूटलेखक इसका विपरीत है: 2ⁿ निवेश, एक सक्रिय, से n-बिट कूट। साधारण कूटलेखक दो निवेश एक साथ सक्रिय होने पर निरर्थक परिणाम देता है, अतः व्यावहारिक रूप प्राथमिकता कूटलेखक है, जो सर्वोच्च-क्रमांक सक्रिय निवेश और एक वैधता ध्वज बताता है: 4-से-2 प्राथमिकता कूटलेखक पर D₁ व D₂ दोनों उच्च होने पर निर्गम 10 है, D₂ हेतु। अर्ध व पूर्ण योजक, तुलनित्र व कूट परिवर्तक अन्य संयोजी खंड हैं; संयोजी परिपथ में स्मृति नहीं होती, उसका निर्गम केवल वर्तमान निवेशों का फलन है।

3. लैच व फ्लिप-फ्लॉप

लैच स्तर-संवेदी है: सक्षम रहने तक यह अपने निवेश का अनुसरण करता है। फ्लिप-फ्लॉप किनारा-प्रेरित है: यह घड़ी के किनारे पर प्रतिचयन करता है और किनारों के बीच धारित रखता है, जिससे तुल्यकालिक अभिकल्प संभव होता है। चारों प्रकार अपने अभिलक्षणिक समीकरणों से परिभाषित हैं।

फ्लिप-फ्लॉप अभिलक्षणिक समीकरण
प्रकारअगली अवस्था Q⁺टिप्पणी
SRS + R′Q, with SR = 0S = R = 1 अनुमत नहीं।
JKJQ′ + K′QJ = K = 1 पर टॉगल।
DDविलंब: निर्गम किनारे पर D की प्रतिलिपि।
TT ⊕ QT = 1 पर टॉगल, T = 0 पर धारण।
🎯 रेस-अराउंड, और मास्टर–स्लेव उपचार
J = K = 1 वाला स्तर-प्रेरित JK लैच घड़ी उच्च रहने तक बार-बार टॉगल करता है, अप्रत्याशित अवस्था में समाप्त होता है — रेस-अराउंड स्थिति। मास्टर–स्लेव JK फ्लिप-फ्लॉप घड़ी उच्च रहने पर मास्टर को प्रतिक्रिया करने देता है और गिरने पर ही स्लेव को स्थानांतरित करता है, अतः निर्गम प्रति घड़ी एक बार बदलता है; किनारा-प्रेरित अभिकल्प भी यही करता है।

4. गणित्र

मापांक N वाले गणित्र को 2ⁿ ≥ N सहित n फ्लिप-फ्लॉप चाहिए: मॉड-10 (दशक गणित्र) को 4। अतुल्यकालिक (रिपल) गणित्र में प्रत्येक फ्लिप-फ्लॉप पिछले के निर्गम से घड़ी पाता है, अतः विलंब जुड़ते हैं: t_pd विलंब के n चरणों सहित निर्गम घड़ी के n·t_pd बाद स्थिर होता है, और अधिकतम घड़ी आवृत्ति 1/(n·t_pd) है — 25 ns के चार चरणों हेतु 10 MHz। प्रत्येक चरण आवृत्ति आधी करता है, अतः n-बिट रिपल गणित्र 2ⁿ से भाग देता है: 1 kHz घड़ी तीसरे चरण पर 125 Hz देती है। तुल्यकालिक गणित्र प्रत्येक फ्लिप-फ्लॉप को एक साथ घड़ी देता है और द्वारों से तय करता है कि कौन टॉगल करे, अतः उसकी गति एक फ्लिप-फ्लॉप विलंब व द्वार विलंब से तय होती है, लंबाई से स्वतंत्र।

शिफ़्ट-रजिस्टर गणित्र सरल विकूटन हेतु फ्लिप-फ्लॉपों का विनिमय करते हैं: n-चरण वलय गणित्र एक 1 को घुमाता है और इसकी n अवस्थाएँ हैं; जॉनसन (मुड़ा-वलय) गणित्र अंतिम चरण का पूरक वापस देता है और इसकी 2n अवस्थाएँ हैं — चार फ्लिप-फ्लॉप हेतु 8। द्विआधारी गणित्र से मॉड-N गणित्र अवस्था N पहचानकर रीसेट करके बनता है, और ऊर्ध्व/अधो गणित्र द्वार-व्यवस्था उलट देते हैं।

मुख्य बिंदु

  • डी मॉर्गन NAND व NOR को सार्वत्रिक बनाता है; AB + A′C + BC में सर्वसम्मति पद BC अनावश्यक है।
  • K-मानचित्र के 1, 2, 4, 8 के समूह किनारों के पार लपेटते हैं; 4-चर मानचित्र के चारों कोने एक समूह हैं।
  • 2ⁿ-से-1 MUX में n चयन रेखाएँ हैं; विकूटक निर्गम एक मिनटर्म है; प्राथमिकता कूटलेखक सर्वोच्च सक्रिय निवेश बताता है।
  • JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q, J = K = 1 पर टॉगल; T: Q⁺ = T ⊕ Q; D: Q⁺ = D; मास्टर–स्लेव रेस-अराउंड हटाता है।
  • मॉड-N को 2ⁿ ≥ N चाहिए; रिपल गणित्र अधिकतम 1/(n t_pd) पर चलता है और 2ⁿ से भाग देता है; वलय की n अवस्थाएँ, जॉनसन की 2n।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. डी मॉर्गन प्रमेय से (A + B)′ बराबर है:

    1. A′B′
    2. A′ + B′
    3. AB
    4. A + B′
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A′B′

    योग का पूरक पूरकों का गुणनफल है: A + B केवल तब 0 है जब दोनों 0 हों, अतः (A + B)′ केवल तब 1 है जब A′ व B′ दोनों 1 हों। A′ + B′, AB का पूरक है, प्रमेय का दूसरा आधा।

  2. व्यंजक AB + A′C + BC सरल होकर बनता है:

    1. AB + A′C
    2. AB + BC
    3. A′C + BC
    4. B + C
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — AB + A′C

    BC = BC(A + A′) = ABC + A′BC, और ABC, AB में तथा A′BC, A′C में अवशोषित होता है, अतः BC कुछ नहीं जोड़ता: सर्वसम्मति प्रमेय। B + C, A = 1, B = 0, C = 1 पर गलत है, जहाँ मूल 0 है।

  3. 32-से-1 बहुसंकेतक को आवश्यक चयन रेखाओं की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    n चयन रेखाएँ 2ⁿ निवेशों को संबोधित करती हैं, और 2⁵ = 32। आँकड़ा निवेशों की संख्या, 32, चयन रेखाओं की संख्या नहीं है।

  4. F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15) का न्यूनतम गुणनफल-योग रूप है:

    1. B′D′ + BD
    2. B′D + BD′
    3. A′B′ + CD
    4. BD
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — B′D′ + BD

    मिनटर्म 0, 2, 8, 10 सभी में B = 0, D = 0 — मानचित्र के चारों कोने — जिससे B′D′; मिनटर्म 5, 7, 13, 15 सभी में B = 1, D = 1, जिससे BD। प्रत्येक समूह में A व C दोनों मान लेते हैं और हट जाते हैं। B′D + BD′, XOR है, उत्तर का पूरक।

  5. सक्रिय-उच्च निर्गमों Y₀ से Y₇ वाले 3-से-8 विकूटक को निवेश A = 1, B = 0, C = 1 मिलते हैं, A सर्वाधिक सार्थक बिट है। उच्च होने वाला निर्गम Y____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    ABC = 101₂ = 4 + 0 + 1 = 5, अतः Y₅ एकमात्र सक्रिय निर्गम है। C को सर्वाधिक सार्थक पढ़ने पर यहाँ फिर 101 आता है, पर तब 110, 6 के स्थान पर 3 बन जाएगा।

  6. 4-से-2 प्राथमिकता कूटलेखक सर्वोच्च-क्रमांक निवेश को प्राथमिकता देता है। D₁ = 1, D₂ = 1 व D₀ = D₃ = 0 होने पर उसका निर्गम Y₁Y₀ है:

    1. 10
    2. 01
    3. 11
    4. 00
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 10

    D₂, D₁ से ऊपर है, अतः 2 का कूट, द्विआधारी 10, निर्गत होता है। साधारण कूटलेखक 01 व 10 कूटों का OR लेकर 11 देगा, जो D₃ को नामित करता है, एक निवेश जो सक्रिय ही नहीं — यही विफलता रोकने हेतु प्राथमिकता कूटलेखन है।

  7. J = 1 व K = 1 वाला किनारा-प्रेरित JK फ्लिप-फ्लॉप घड़ी-किनारा पाता है। उसका निर्गम:

    1. टॉगल होता है
    2. 1 पर सेट होता है
    3. 0 पर रीसेट होता है
    4. अनिर्धार्य हो जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — टॉगल होता है

    Q⁺ = JQ′ + K′Q = Q′ + 0 = Q′: अवस्था उलट जाती है। अनिर्धार्य स्थिति S = R = 1 वाले SR फ्लिप-फ्लॉप की है, जिसे बदलने हेतु JK अभिकल्प बना।

  8. कौन-से अभिलक्षणिक समीकरण सही हैं?

    1. D फ्लिप-फ्लॉप: Q⁺ = D
    2. T फ्लिप-फ्लॉप: Q⁺ = T ⊕ Q
    3. JK फ्लिप-फ्लॉप: Q⁺ = JQ′ + K′Q
    4. SR फ्लिप-फ्लॉप: S = R = 1 अनुमत निवेश है जो अवस्था धारित रखता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — D फ्लिप-फ्लॉप: Q⁺ = D; B — T फ्लिप-फ्लॉप: Q⁺ = T ⊕ Q; C — JK फ्लिप-फ्लॉप: Q⁺ = JQ′ + K′Q

    (A)–(C) परिभाषिक समीकरण हैं। (D) असत्य: S = R = 1, SR फ्लिप-फ्लॉप का वर्जित निवेश है — दोनों निर्गम एक ही मान पर चलाए जाते हैं और मुक्त होने के बाद की अवस्था अप्रत्याशित है। धारण निवेश S = R = 0 है।

  9. मॉड-10 गणित्र बनाने हेतु आवश्यक फ्लिप-फ्लॉपों की न्यूनतम संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    n फ्लिप-फ्लॉप 2ⁿ अवस्थाएँ देते हैं, और 2³ = 8 < 10 ≤ 16 = 2⁴, अतः चार चाहिए, सोलह में से छह अवस्थाएँ अप्रयुक्त। दस वलय गणित्र की गिनती होगी, द्विआधारी की नहीं।

  10. 4-बिट रिपल गणित्र ऐसे फ्लिप-फ्लॉपों से बना है जिनमें प्रत्येक का संचरण विलंब 25 ns है। अगले घड़ी-किनारे से पहले गणित्र को पूर्णतः स्थिर होने देते हुए, उसकी अधिकतम घड़ी आवृत्ति ____ MHz है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    सबसे खराब स्थिति में स्थिरीकरण काल 4 × 25 = 100 ns है, क्योंकि प्रत्येक चरण पिछले की प्रतीक्षा करता है, अतः f_max = 1/100 ns = 10 MHz। एक ही विलंब लेने पर 40 MHz आता है, जो तुल्यकालिक गणित्र का आँकड़ा है (द्वार विलंबों से पहले)।

  11. चार फ्लिप-फ्लॉपों से बने जॉनसन (मुड़ा-वलय) गणित्र के गणन अनुक्रम में कितनी विशिष्ट अवस्थाएँ हैं?

    1. 8
    2. 4
    3. 16
    4. 15
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 8

    अंतिम चरण का पूरक वापस देने से रजिस्टर पहले 1 से, फिर 0 से भरता है: 0000, 1000, 1100, 1110, 1111, 0111, 0011, 0001 — 2n = 8 अवस्थाएँ। वलय गणित्र की n = 4; द्विआधारी गणित्र की 2ⁿ = 16।

  12. कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. केवल NAND द्वार कोई भी बूलीय फलन कार्यान्वित कर सकते हैं
    2. 4-से-1 बहुसंकेतक तीन चरों का कोई भी फलन कार्यान्वित कर सकता है यदि एक चर या उसका पूरक आँकड़ा निवेशों पर लगाया जा सके
    3. रिपल गणित्र में सभी फ्लिप-फ्लॉप एक साथ घड़ी पाते हैं
    4. मास्टर–स्लेव JK फ्लिप-फ्लॉप रेस-अराउंड स्थिति से बचाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल NAND द्वार कोई भी बूलीय फलन कार्यान्वित कर सकते हैं; B — 4-से-1 बहुसंकेतक तीन चरों का कोई भी फलन कार्यान्वित कर सकता है यदि एक चर या उसका पूरक आँकड़ा निवेशों पर लगाया जा सके; D — मास्टर–स्लेव JK फ्लिप-फ्लॉप रेस-अराउंड स्थिति से बचाता है

    (A) NAND से NOT (जुड़े निवेश), AND (NAND फिर NOT) व OR (डी मॉर्गन से) बनते हैं। (B) दो चर चयन रेखाएँ चलाते हैं और प्रत्येक आँकड़ा निवेश 0, 1, C या C′ है। (C) असत्य: वह तुल्यकालिक गणित्र है; रिपल गणित्र में प्रत्येक चरण अगले को घड़ी देता है। (D) मास्टर व स्लेव विपरीत घड़ी-स्तरों पर सक्षम होते हैं, अतः निर्गम प्रति चक्र एक बार बदलता है।

  13. 1 kHz वर्ग तरंग 3-बिट रिपल गणित्र को घड़ी देती है। सर्वाधिक सार्थक फ्लिप-फ्लॉप के निर्गम की आवृत्ति ____ Hz है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 125

    प्रत्येक टॉगल चरण आवृत्ति आधी करता है: तीसरे चरण पर 1000 → 500 → 250 → 125 Hz, 2³ = 8 से भाग। 3 से भाग देना चरणों की संख्या को भाग-अनुपात से भ्रमित करता है।