नेटवर्क अवयव, नेटवर्क प्रमेय, क्षणिक अनुक्रिया व प्रत्यावर्ती शक्ति

रोबोटिकी व स्वचालन पेपर का खंड A.2, मेकाट्रॉनिक्स के मूल तत्त्व, साझा भाग A आरंभ करता है; उसके सात उप-शीर्षक छह अध्यायों में लिए गए हैं, और पहला विद्युत नेटवर्क है: आदर्श वोल्टता व धारा स्रोत, आश्रित स्रोत तथा R, L, C व M अवयव; नोड व मेश विश्लेषण सहित किरचॉफ़ के नियम; थेवेनिन, नॉर्टन, अध्यारोपण व अधिकतम-शक्ति-स्थानांतरण प्रमेय; DC व AC नेटवर्कों की क्षणिक अनुक्रिया; ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था, अनुनाद व द्वि-द्वार नेटवर्क; तथा सम्मिश्र शक्ति व शक्ति गुणांक सहित संतुलित त्रि-कला परिपथ। यह वही परिपथ सिद्धांत है जिससे पेपर के शेष भाग का प्रत्येक संवेदक सेतु, मोटर ड्राइव व नियंत्रक बोर्ड बनता है, और GATE इसे छोटी गणनाओं के रूप में पूछता है।

1. अवयव, स्रोत, तथा नोड व मेश विश्लेषण

आदर्श वोल्टता स्रोत अपनी टर्मिनल वोल्टता बनाए रखता है चाहे जितनी धारा बहे — शून्य आंतरिक प्रतिरोध; आदर्श धारा स्रोत अपनी धारा देता है चाहे वोल्टता जो हो — अनंत आंतरिक प्रतिरोध। आश्रित स्रोत परिपथ में अन्यत्र की वोल्टता या धारा से तय होता है: VCVS, VCCS, CCVS व CCCS। निष्क्रिय अवयव v = Ri, v = L di/dt व i = C dv/dt का पालन करते हैं; प्रेरक ½Li² व संधारित्र ½Cv² संचित करता है। अन्योन्य प्रेरकत्व M दो कुंडलियों को युग्मित करता है, v₂ = M di₁/dt, युग्मन गुणांक k = M/√(L₁L₂) ≤ 1 सहित; श्रेणी में कुल प्रेरकत्व सहायक पर L₁ + L₂ + 2M व विरोधी पर L₁ + L₂ − 2M है, दिशा बिंदु परिपाटी से तय।

KCL: किसी नोड से निकलने वाली धाराओं का योग शून्य है। KVL: किसी पाश के चारों ओर वोल्टताओं का योग शून्य है। नोड विश्लेषण एक नोड को संदर्भ लेकर शेष n − 1 पर नोड वोल्टताओं में KCL लिखता है; दो असंदर्भ नोडों के बीच वोल्टता स्रोत को सुपरनोड के रूप में लिया जाता है। मेश विश्लेषण समतलीय नेटवर्क के b − n + 1 मेशों में से प्रत्येक पर मेश धाराओं में KVL लिखता है; दो मेशों में साझा धारा स्रोत सुपरमेश देता है। मेश विश्लेषण को समतलीय नेटवर्क चाहिए; नोड विश्लेषण को नहीं।

2. थेवेनिन, नॉर्टन, अध्यारोपण व अधिकतम शक्ति स्थानांतरण

कोई भी रैखिक द्वि-टर्मिनल नेटवर्क एक स्रोत V_th (खुला-परिपथ वोल्टता) के श्रेणी में R_th (स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय करने पर दिखने वाला प्रतिरोध) के तुल्य है, या नॉर्टन स्रोत I_N = V_th/R_th (लघु-परिपथ धारा) के उसी प्रतिरोध के समांतर में; आश्रित स्रोत होने पर भी R_th = V_oc/I_sc काम करता है। अध्यारोपण प्रत्येक स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने की अनुक्रियाएँ जोड़ता है, अन्य निष्क्रिय — वोल्टता स्रोत के स्थान पर लघु-पथ, धारा स्रोत के स्थान पर खुला-पथ — और आश्रित स्रोत यथास्थान। यह वोल्टताओं व धाराओं पर लागू है, शक्ति पर सीधे कभी नहीं।

अधिकतम शक्ति प्रतिरोधी भार तक तब पहुँचती है जब R_L = R_th, और यह P_max = V_th²/(4R_th) है, 50% दक्षता पर; AC स्रोत हेतु अधिकतम शक्ति लेने वाला भार संयुग्मी Z_L = Z_th* है। हल: 12 V स्रोत, 4 Ω श्रेणी सहित, टर्मिनलों पर 12 Ω शंट प्रतिरोधक को पोषित करता है। V_th = 12 × 12/16 = 9 V, R_th = 4 ∥ 12 = 3 Ω, I_N = 3 A, और 3 Ω भार 81/12 = 6.75 W लेता है।

⚠️ आश्रित स्रोत चालू रहते हैं
R_th निकालते या अध्यारोपण लगाते समय केवल स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय किए जाते हैं। आश्रित स्रोत को शून्य करना परिपथ के अपने व्यवहार का अंश हटा देता है और गलत प्रतिरोध देता है; उसकी उपस्थिति में R_th परीक्षण स्रोत लगाकर या V_oc/I_sc से निकालें।

3. DC व AC नेटवर्कों की क्षणिक अनुक्रिया

प्रेरक की धारा व संधारित्र की वोल्टता तत्क्षण नहीं बदल सकती — दोनों को अनंत शक्ति चाहिए होगी — अतः ये स्विचन क्षण के पार परिपथ को ले जाती हैं। प्रत्येक प्रथम-कोटि अनुक्रिया x(t) = x(∞) + [x(0⁺) − x(∞)] e−t/τ है, τ = RC या τ = L/R सहित, R भंडारण अवयव द्वारा देखा गया थेवेनिन प्रतिरोध है। 10 V स्रोत से 10 kΩ के माध्यम से 100 μF आवेशित करने पर τ = 1 s, और v(1 s) = 10(1 − e−1) ≈ 6.32 V: एक काल-नियतांक में 63.2% दूरी, और लगभग 5τ के बाद 1% के भीतर।

श्रेणी RLC परिपथ द्वितीय कोटि का है, ω_n = 1/√(LC) व अवमंदन अनुपात ζ = (R/2)√(C/L) सहित: ζ > 1 पर अति-अवमंदित, ζ = 1 पर क्रांतिक अवमंदित, ζ < 1 पर अल्प-अवमंदित और ω_d = ω_n√(1 − ζ²) पर दोलायमान। AC स्रोत चालू करने पर अनुक्रिया ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था व उसी τ या ζ से क्षीण होने वाली क्षणिक अनुक्रिया का योग है; क्षणिक का आकार स्विचन क्षण पर निर्भर करता है, इसीलिए प्रेरकीय भार पर शून्य वोल्टता के क्षण में स्विच बंद करने से सबसे बड़ा धारा-विचलन मिलता है।

4. ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था, अनुनाद व द्वि-द्वार नेटवर्क

ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था में प्रत्येक राशि फेज़र है और प्रत्येक अवयव प्रतिबाधा: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)। श्रेणी RLC परिपथ अनुनादी है जब प्रतिघात परस्पर निरस्त हों, ω₀ = 1/√(LC) पर; तब प्रतिबाधा न्यूनतम, R, धारा अधिकतम होती है, और गुणता गुणांक Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) बैंड-चौड़ाई तय करता है, BW = ω₀/Q। L = 10 mH, C = 1 μF व R = 10 Ω सहित: ω₀ = 10⁴ rad/s (f₀ ≈ 1592 Hz) व Q = (1/10)√(10⁻²/10⁻⁶) = 10। समांतर LC टैंक इसका द्वैत है: अनुनाद पर प्रतिबाधा अधिकतम।

द्वि-द्वार प्राचल समुच्चय
समुच्चयपरिभाषिक समीकरणव्युत्क्रमी नेटवर्क
z (प्रतिबाधा)V₁ = z₁₁I₁ + z₁₂I₂, V₂ = z₂₁I₁ + z₂₂I₂z₁₂ = z₂₁
y (प्रवेश्यता)I₁ = y₁₁V₁ + y₁₂V₂, I₂ = y₂₁V₁ + y₂₂V₂y₁₂ = y₂₁
h (संकर)V₁ = h₁₁I₁ + h₁₂V₂, I₂ = h₂₁I₁ + h₂₂V₂h₁₂ = −h₂₁
ABCD (संचरण)V₁ = AV₂ − BI₂, I₁ = CV₂ − DI₂AD − BC = 1

नेटवर्क सममित भी है जब z₁₁ = z₂₂ (या A = D) — व्युत्क्रमिता से प्रबल गुण, जो R, L, C व M अवयवों के प्रत्येक नेटवर्क में होता है। h प्राचल ट्रांज़िस्टर के लघु-संकेत मॉडल का स्वाभाविक वर्णन हैं, और सोपानी द्वि-द्वार अपने ABCD आव्यूहों को गुणा करते हैं।

5. संतुलित त्रि-कला परिपथ, सम्मिश्र शक्ति व शक्ति गुणांक

संतुलित त्रि-कला आपूर्ति में 120° के अंतर पर तीन समान फेज़र होते हैं। तारा (Y) में V_L = √3 V_ph व I_L = I_ph; डेल्टा (Δ) में V_L = V_ph व I_L = √3 I_ph। दोनों ही स्थितियों में कुल शक्ति P = √3 V_L I_L cos φ है, φ प्रति-कला प्रतिबाधा का कोण। 400 V लाइन आपूर्ति से प्रति कला 10 Ω प्रतिरोधकों का संतुलित तारा: V_ph = 400/√3 ≈ 230.9 V, I = 23.1 A, और P = 3 × 230.9²/10 = 400²/10 = 16 kW। वही प्रतिरोधक डेल्टा में पूरा 400 V देखते हैं और तिगुना, 48 kW, लेते हैं।

सम्मिश्र शक्ति S = V I* = P + jQ: वाट में P वास्तविक शक्ति है, वोल्ट-ऐम्पियर प्रतिघाती (VAR) में Q प्रतिघाती शक्ति, प्रेरकीय भार हेतु धनात्मक, और VA में |S| आभासी शक्ति। शक्ति गुणांक cos φ = P/|S| है। 0.8 पश्चगामी पर 10 kW का भार |S| = 12.5 kVA व Q = √(12.5² − 10²) = 7.5 kVAR लेता है; यह 7.5 kVAR देने वाला शंट संधारित्र शक्ति गुणांक को 1 कर देता है और लाइन धारा को पाँचवाँ भाग घटा देता है, भार का अपना P अपरिवर्तित।

मुख्य बिंदु

  • आदर्श वोल्टता स्रोत का आंतरिक प्रतिरोध शून्य व आदर्श धारा स्रोत का अनंत है; M कुंडलियों को k = M/√(L₁L₂) से युग्मित करता है और श्रेणी में L = L₁ + L₂ ± 2M।
  • केवल स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय करें: वोल्टता स्रोत लघु-पथ, धारा स्रोत खुला-पथ बनता है। R_L = R_th पर P_max = V_th²/(4R_th)।
  • प्रथम-कोटि: x(t) = x(∞) + [x(0⁺) − x(∞)]e−t/τ; प्रेरक धारा व संधारित्र वोल्टता संतत हैं।
  • श्रेणी अनुनाद ω₀ = 1/√(LC) पर, Q = (1/R)√(L/C), BW = ω₀/Q; व्युत्क्रमिता z₁₂ = z₂₁, h₁₂ = −h₂₁, AD − BC = 1 है।
  • तारा: V_L = √3 V_ph; डेल्टा: I_L = √3 I_ph; P = √3 V_L I_L cos φ। S = P + jQ व pf = P/|S|।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आदर्श धारा स्रोत का आंतरिक प्रतिरोध है:

    1. अनंत
    2. शून्य
    3. भार प्रतिरोध के बराबर
    4. भार के थेवेनिन प्रतिरोध के बराबर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अनंत

    आदर्श धारा स्रोत किसी भी भार में अपनी धारा देता है, जिसके लिए आवश्यक है कि उसका कोई अंश आंतरिक शंट से न बहे — अनंत समांतर प्रतिरोध। आदर्श वोल्टता स्रोत इसका द्वैत है, शून्य श्रेणी प्रतिरोध सहित।

  2. 4 Ω के श्रेणी में 12 V आदर्श स्रोत टर्मिनल a–b को पोषित करता है, जिनके आर-पार 12 Ω प्रतिरोधक जुड़ा है। a–b पर थेवेनिन वोल्टता ____ V है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 9

    a–b खुले रहने पर 4 Ω व 12 Ω विभाजक बनाते हैं: V_th = 12 × 12/(4 + 12) = 9 V। 12 V बताना श्रेणी 4 Ω पर पतन की उपेक्षा करता है।

  3. एक 12 V आदर्श स्रोत, श्रेणी में 4 Ω सहित, टर्मिनल a–b को देता है, जिनके आर-पार स्थिर 12 Ω प्रतिरोधक जुड़ा है। अब a–b के आर-पार परिवर्ती प्रतिरोधी भार भी जोड़ा जाता है। इस परिवर्ती भार को दी जा सकने वाली अधिकतम शक्ति ____ W है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6.75

    स्रोत लघु-पथित करने पर R_th = 4 ∥ 12 = 48/16 = 3 Ω, अतः भार 3 Ω और P_max = V_th²/(4R_th) = 81/12 = 6.75 W। R_th = 4 Ω लेना समांतर 12 Ω भूलता है और 81/16 ≈ 5.06 W देता है।

  4. स्वतंत्र व आश्रित स्रोतों वाले परिपथ पर अध्यारोपण लगाते समय, विचाराधीन न होने वाले स्रोत को इस प्रकार लिया जाता है:

    1. स्वतंत्र वोल्टता स्रोतों को लघु-पथ, स्वतंत्र धारा स्रोतों को खुला-पथ, और आश्रित स्रोतों को यथास्थान रखकर
    2. प्रत्येक वोल्टता स्रोत को खुला-पथ और प्रत्येक धारा स्रोत को लघु-पथ करके
    3. प्रत्येक स्रोत, आश्रित हो या नहीं, को लघु-पथ करके
    4. प्रत्येक स्रोत, आश्रित सहित, को उसके आंतरिक प्रतिरोध से बदलकर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्वतंत्र वोल्टता स्रोतों को लघु-पथ, स्वतंत्र धारा स्रोतों को खुला-पथ, और आश्रित स्रोतों को यथास्थान रखकर

    शून्य-मान वोल्टता स्रोत लघु-पथ है और शून्य-मान धारा स्रोत खुला-पथ। आश्रित स्रोत निवेश नहीं हैं; वे बताते हैं कि परिपथ स्वयं कैसे व्यवहार करता है, अतः वे बने रहते हैं। वोल्टता स्रोत को खुला-पथ करने से स्रोत शून्य होने के स्थान पर परिपथ टूट जाएगा।

  5. अनावेशित 100 μF संधारित्र को 10 kΩ के माध्यम से 10 V DC स्रोत से आवेशित किया जाता है, स्विच t = 0 पर बंद होता है। t = 1 s पर संधारित्र वोल्टता, दो दशमलव स्थानों तक, ____ V है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6.32

    τ = RC = 10⁴ × 10⁻⁴ = 1 s, और v = 10(1 − e−t/τ) = 10(1 − e−1) = 10 × 0.6321 = 6.32 V। 10e−1 ≈ 3.68 V लिखना इसके स्थान पर निरावेशन वक्र देता है।

  6. परिमित स्रोत वोल्टताओं वाले RLC परिपथ में स्विच संचालित होने के क्षण कौन-सी राशियाँ तत्क्षण नहीं बदल सकतीं?

    1. प्रेरक धारा व संधारित्र वोल्टता
    2. प्रेरक वोल्टता व संधारित्र धारा
    3. सभी शाखा धाराएँ
    4. प्रतिरोधक वोल्टताएँ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रेरक धारा व संधारित्र वोल्टता

    प्रेरक धारा में सोपान को अनंत v = L di/dt चाहिए, और संधारित्र वोल्टता में सोपान को अनंत i = C dv/dt; संचित ऊर्जाएँ ½Li² व ½Cv² संतत हैं। प्रेरक वोल्टता व संधारित्र धारा उछल सकती हैं, और प्रायः उछलती हैं।

  7. एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 10 Ω, L = 10 mH व C = 1 μF हैं। अनुनाद पर इसका गुणता गुणांक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(10⁻⁸) = 10⁴ rad/s, और Q = ω₀L/R = 10⁴ × 0.01/10 = 10, जो (1/R)√(L/C) = (1/10)√(10⁴) = 10 के समान है। बैंड-चौड़ाई ω₀/Q = 1000 rad/s है।

  8. युग्मन गुणांक 0.5 वाली 4 mH व 9 mH की दो युग्मित कुंडलियाँ श्रेणी-विरोधी जोड़ी गई हैं। कुल प्रेरकत्व है:

    1. 7 mH
    2. 19 mH
    3. 13 mH
    4. 10 mH
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7 mH

    M = k√(L₁L₂) = 0.5 × √36 = 3 mH। विरोधी: L = L₁ + L₂ − 2M = 13 − 6 = 7 mH। सहायक 19 mH देगा; 13 mH युग्मन की उपेक्षा करता है, और 10 mH, M को केवल एक बार घटाता है।

  9. प्रति कला 10 Ω प्रतिरोध का संतुलित तारा-संयोजित भार 400 V (लाइन), त्रि-कला आपूर्ति से पोषित है। कुल ली गई शक्ति ____ kW है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16

    V_ph = 400/√3 ≈ 230.9 V, अतः प्रत्येक कला V_ph²/R = (160000/3)/10 ≈ 5333 W लेती है और कुल 16 000 W = 16 kW; समतुल्य रूप से √3 V_L I_L = √3 × 400 × 23.09 ≈ 16 kW। प्रत्येक प्रतिरोधक पर 400 V लेना डेल्टा संयोजन है और 48 kW देता है।

  10. व्युत्क्रमी द्वि-द्वार नेटवर्क हेतु कौन-से संबंध सदा सत्य हैं?

    1. z₁₂ = z₂₁
    2. AD − BC = 1
    3. h₁₂ = −h₂₁
    4. y₁₁ = y₂₂
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — z₁₂ = z₂₁; B — AD − BC = 1; C — h₁₂ = −h₂₁

    व्युत्क्रमिता का अर्थ है कि स्थानांतरण अनुपात दोनों दिशाओं में समान है, जो चारों समुच्चयों में z₁₂ = z₂₁, y₁₂ = y₂₁, h₁₂ = −h₂₁ व AD − BC = 1 के रूप में पढ़ा जाता है। y₁₁ = y₂₂ सममिति है, अतिरिक्त शर्त: असमान भुजाओं वाला T-नेटवर्क व्युत्क्रमी है पर सममित नहीं।

  11. किसी भार द्वारा ली गई प्रतिघाती शक्ति व्यक्त की जाती है:

    1. वोल्ट-ऐम्पियर प्रतिघाती (VAR) में
    2. वाट (W) में
    3. वोल्ट-ऐम्पियर (VA) में
    4. जूल (J) में
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वोल्ट-ऐम्पियर प्रतिघाती (VAR) में

    S = P + jQ: वास्तविक शक्ति P वाट में, प्रतिघाती शक्ति Q VAR में और आभासी शक्ति |S| VA में। तीनों विमीय रूप से V × A हैं; भिन्न नाम बताते हैं कि S का कौन-सा भाग अभिप्रेत है।

  12. एक भार 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणांक पर 10 kW लेता है। इसकी प्रतिघाती शक्ति ____ kVAR है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7.5

    |S| = P/cos φ = 10/0.8 = 12.5 kVA, और Q = |S| sin φ = 12.5 × 0.6 = 7.5 kVAR (या √(12.5² − 10²))। 12.5 आभासी शक्ति है, प्रतिघाती भाग नहीं।

  13. एक संबद्ध समतलीय नेटवर्क में n नोड व b शाखाएँ हैं। नोड व मेश विश्लेषण के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. इसमें n − 1 स्वतंत्र KCL समीकरण हैं
    2. इसमें b − n + 1 स्वतंत्र मेश समीकरण हैं
    3. दो असंदर्भ नोडों के बीच वोल्टता स्रोत को सुपरनोड माना जाता है
    4. मेश विश्लेषण असमतलीय नेटवर्कों पर सीधे लागू होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इसमें n − 1 स्वतंत्र KCL समीकरण हैं; B — इसमें b − n + 1 स्वतंत्र मेश समीकरण हैं; C — दो असंदर्भ नोडों के बीच वोल्टता स्रोत को सुपरनोड माना जाता है

    (A) n KCL समीकरणों का योग 0 = 0 है, अतः एक आश्रित है। (B) शाखा अज्ञातों में से नोड समीकरण घटाकर: b − (n − 1)। (C) स्रोत दोनों नोड वोल्टताओं का अंतर तय करता है, अतः दोनों के चारों ओर एक साथ KCL लिखा जाता है। (D) असत्य: मेश केवल समतलीय आरेखण हेतु परिभाषित हैं; असमतलीय नेटवर्क को पाश या नोड विश्लेषण चाहिए।