सदिश समष्टि, कोटि–शून्यता, वियोजन व द्विघात रूप

इसे पढ़ने से पहले अपना पेपर जाँचें। अभियांत्रिकी पेपर — यांत्रिक, सिविल, विद्युत, यंत्रीकरण, रासायनिक — अपना रैखिक बीजगणित आइगेन-मानों पर रोक देते हैं और आगे का कुछ नहीं पूछते। इलेक्ट्रॉनिक्स पहला आधा पूछता है: सदिश समष्टि, आधार, रैखिक परावलंबन व स्वातंत्र्य, कोटि, तथा हलों का अस्तित्व व अद्वितीयता। कंप्यूटर विज्ञान उसमें LU वियोजन जोड़ता है। आँकड़ा विज्ञान व AI सब कुछ पूछता है — सदिश समष्टि व उपसमष्टि, प्रक्षेप, लांबिक व वर्गसम आव्यूह, द्विघात रूप, कोटि व शून्यता, LU तथा अनन्य मान वियोजन — और वह उस पेपर का सर्वाधिक भार वाला गणित-प्रकरण है। संगठक विचार एक संख्या है। कोटि वास्तव में स्वतंत्र स्तंभों की गिनती है, और वह मिल जाने पर लगभग शेष सब बिना आगे काम के निकल आता है: शून्यता स्तंभ घटा कोटि है, अतः चौड़े आव्यूह की शून्य-समष्टि सदा अतुच्छ होती है; स्तंभ ठीक तब स्वतंत्र हैं जब कोटि उनकी संख्या के बराबर हो; वर्ग आव्यूह ठीक तब प्रतिलोमनीय है जब उसकी कोटि पूर्ण हो; और समघात निकाय का केवल तुच्छ हल ठीक तब है जब कोटि अज्ञातों की संख्या के बराबर हो। कोटि + शून्यता = स्तंभों की संख्या, पंक्तियों की नहीं, और उसे उलटना इस प्रकरण की सबसे आम एकल त्रुटि है — वह प्रतिचित्रण के प्रांत के विषय में कथन है, और प्रांत की प्रति स्तंभ एक विमा होती है। विशेष आव्यूह प्रत्येक एक समीकरण से परिभाषित हैं और अपने आइगेन-मान तुरंत दे देते हैं: लांबिक आव्यूह हेतु QᵀQ = I, अतः उसका प्रतिलोम उसका परिवर्त है और सारणिक ±1; वर्गसम आव्यूह हेतु A² = A, अतः उसके आइगेन-मान केवल 0 या 1 हो सकते हैं, और इससे उसका ट्रेस उसकी कोटि के बराबर होता है — यह तथ्य प्रक्षेपों के अधिकांश प्रश्नों का उत्तर एक पंक्ति में दे देता है। प्रक्षेप सममित वर्गसम स्थिति है, और (3, 1) को (1, 1) से जाती रेखा पर प्रक्षेपित करने पर वह मूल सदिश पर कहीं नहीं, बल्कि (2, 2) पर उतरता है। अंततः द्विघात रूप उसके पीछे के सममित आव्यूह से पढ़ा जाता है, और जाल गणित में नहीं, लेखन में है: 2x² + 2xy + 2y² में विकर्णेतर प्रविष्टियाँ प्रतिच्छेदी गुणांक की आधी हैं, अतः आव्यूह [[2, 1], [1, 2]] है, [[2, 2], [2, 2]] नहीं। वह आधा करना ठीक कर लें और निश्चितता केवल आइगेन-मानों का, या समतुल्य रूप से अग्रणी प्रमुख उपसारणिकों का, चिह्न है।

पहले केवल कोटि ही आवश्यक संख्या है

कोटि वास्तव में स्वतंत्र स्तंभों की संख्या है — समतुल्य रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की, क्योंकि दोनों गिनतियाँ सदा बराबर होती हैं। शून्यता शून्य-समष्टि की विमा है, अर्थात् उन सदिशों का समुच्चय जिन्हें आव्यूह शून्य पर भेजता है। कोटि–शून्यता प्रमेय दोनों को बाँधता है: कोटि + शून्यता = स्तंभों की संख्या।

एक संख्या, पाँच उत्तर
प्रश्नकोटि से उत्तरित
क्ये ये n स्तंभ स्वतंत्र हैं?हाँ, ठीक तब जब कोटि n हो। वर्ग आव्यूह हेतु वह अशून्य सारणिक के समान है।
शून्यता क्या है?स्तंभ − कोटि। कोटि 2 के 3×4 आव्यूह की शून्यता 2 है; कोटि 1 के 3×3 की भी 2।
क्या Ax = 0 का अतुच्छ हल है?हाँ, ठीक तब जब शून्यता धनात्मक हो, अर्थात् कोटि अज्ञातों की संख्या से कम हो। चौड़ा आव्यूह सदा रखता है।
क्या A प्रतिलोमनीय है?हाँ, ठीक तब जब वह वर्ग हो और उसकी कोटि पूर्ण — जो "शून्यता शून्य" व "कोई शून्य आइगेन-मान नहीं" भी है।
कितने अशून्य अनन्य मान?ठीक कोटि जितने। SVD से कोटि पढ़ने का सबसे तेज़ मार्ग वही समता है, और उस पर सबसे तेज़ विवेक-जाँच भी।
⚠️ स्तंभ, पंक्तियाँ नहीं
कोटि + शून्यता स्तंभ गिनती है। प्रमेय रैखिक प्रतिचित्रण के प्रांत के विषय में कथन है, और प्रांत की प्रति स्तंभ एक विमा होती है — 3×4 आव्यूह 4-सदिश लेता है और 3-सदिश देता है, अतः उसकी कोटि व शून्यता का योग 4 होना ही चाहिए, यद्यपि उसकी केवल तीन पंक्तियाँ हैं। कोटि 2 पर शून्यता 2 है, 1 नहीं। पंक्ति-संख्या इस सर्वसमिका में आती ही नहीं, और उसे रखने की भूल सबसे देर तक टिकती है क्योंकि वह प्रत्येक वर्ग आव्यूह हेतु सही उत्तर देती है।

LU, तथा एक समीकरण से परिभाषित आव्यूह

LU वियोजन A = LU लिखता है, जहाँ L एकक निचला त्रिभुजाकार व U ऊपरी त्रिभुजाकार है, और वह गुणकों को रख लेने वाले गाउस निरसन से अधिक कुछ नहीं। A = [[2, 1], [4, 3]] हेतु निरसन दूसरी पंक्ति में से पहली का दुगुना घटाता है, अतः L = [[1, 0], [2, 1]] व U = [[2, 1], [0, 1]] — और उन्हें गुणा करने पर A वापस मिलता है, और चलाने योग्य जाँच वही है। GATE वास्तव में जो पूछता है वे दो परिणाम हैं: गुणक ही L की प्रविष्टियाँ हैं, तथा U के विकर्ण का गुणनफल सारणिक है, क्योंकि det A = det L · det U = 1 · (पिवटों का गुणनफल)।

तीन विशेष आव्यूह, प्रत्येक एक समीकरण
प्रकारपरिभाषावह निःशुल्क क्या देता है
लांबिकQᵀQ = IQ⁻¹ = Qᵀ, det Q = ±1, स्तंभ लांबिक-प्रसामान्य, तथा लंबाइयाँ संरक्षित: |Qx| = |x|।
वर्गसमA² = Aआइगेन-मान केवल 0 या 1, अतः ट्रेस = कोटि। [[2, −2], [1, −1]] वर्गसम है, ट्रेस 1 व कोटि 1 सहित।
प्रक्षेपA² = A तथा Aᵀ = Aसममित वर्गसम स्थिति। (1, 1) से जाती रेखा पर वह ½[[1, 1], [1, 1]] है, और (3, 1) को (2, 2) पर भेजता है।
🧠 SVD निकाले बिना अनन्य मान
A के अनन्य मान AᵀA के आइगेन-मानों के वर्गमूल हैं, सबसे बड़े से क्रमबद्ध, और वे सदा वास्तविक व अनृणात्मक होते हैं, तब भी जब A के आइगेन-मान सम्मिश्र हों या वह वर्ग न हो। A = [[3, 0], [0, −2]] हेतु AᵀA = [[9, 0], [0, 4]] और अनन्य मान 3 व 2 हैं — ध्यान दें कि वे आइगेन-मान 3 व −2 नहीं हैं, और अंतर ही मुद्दा है: अनन्य मान खिंचाव मापता है, जिसका कोई चिह्न नहीं होता। अशून्य अनन्य मानों की गिनती कोटि है, अतः कोटि-न्यून आव्यूह में उनके बीच एक शून्य होता है: [[2, 0], [0, 0]] के अनन्य मान 2 व 0 हैं, और कोटि 1।

द्विघात रूप व निश्चितता

प्रत्येक द्विघात रूप q(x) = xᵀAx सममित A के साथ लिखा जाता है, और वह A बनाने में ही अंक खोए जाते हैं। विकर्ण प्रविष्टियाँ वर्गों के गुणांक हैं; प्रत्येक विकर्णेतर प्रविष्टि संगत प्रतिच्छेदी पद के गुणांक की आधी है, क्योंकि वह पद गुणनफल में दो बार आता है। अतः 2x² + 2xy + 2y² हेतु A = [[2, 1], [1, 2]], और x² + 4xy + y² हेतु A = [[1, 2], [2, 1]]।

  • आइगेन-मानों से। सभी धनात्मक → धन निश्चित; सभी ऋणात्मक → ऋण निश्चित; मिश्रित चिह्न → अनिश्चित; कुछ शून्य व शेष एक ही चिह्न के → अर्ध-निश्चित। [[2, 1], [1, 2]] के आइगेन-मान 3 व 1 हैं, अतः 2x² + 2xy + 2y² धन निश्चित है।
  • अग्रणी प्रमुख उपसारणिकों से, जो 2×2 या 3×3 हेतु तेज़ है: धन निश्चित ठीक तब जब प्रत्येक अग्रणी उपसारणिक धनात्मक हो। [[2, 1], [1, 2]] हेतु वे 2 व 3 हैं — दोनों धनात्मक। [[1, 2], [2, 1]] हेतु वे 1 व −3 हैं, अतः वह अनिश्चित है, और उसके आइगेन-मान 3 व −1 सहमत हैं।
  • वास्तविक सममित आव्यूह के आइगेन-मान सदा वास्तविक व आइगेन-सदिशों का समुच्चय लांबिक होता है, इसीलिए निश्चितता का प्रश्न सुपरिभाषित है — आइगेन-मान सम्मिश्र हो ही नहीं सकते, अतः उनके चिह्न सदा तुलनीय हैं।

मुख्य बिंदु

  • पहले अपना पेपर जाँचें: अभियांत्रिकी पेपर आइगेन-मानों पर रुकते हैं, EC सदिश-समष्टि वाला आधा पूछता है, CS उसमें LU जोड़ता है, और DA सब कुछ पूछता है, उस पेपर के सर्वाधिक भार पर।
  • कोटि + शून्यता = स्तंभों की संख्या। कोटि 2 के 3×4 आव्यूह की शून्यता 2 है, और पंक्ति-संख्या का प्रयोग वह त्रुटि है जो सबसे देर तक टिकती है क्योंकि वह प्रत्येक वर्ग आव्यूह हेतु सही है।
  • एक कोटि पाँच प्रश्नों का उत्तर देती है: स्वातंत्र्य, शून्यता, अतुच्छ हल, प्रतिलोमनीयता, तथा अशून्य अनन्य मानों की संख्या।
  • LU गुणकों को रख लेने वाला गाउस निरसन है: वे ही L की प्रविष्टियाँ हैं, और U के विकर्ण का गुणनफल सारणिक है।
  • वर्गसम का अर्थ A² = A, अतः आइगेन-मान 0 या 1 और ट्रेस = कोटि। प्रक्षेप सममित स्थिति है, और वह सदिश को स्वयं पर नहीं, कहीं नए स्थान पर उतारता है।
  • अनन्य मान AᵀA के आइगेन-मानों के वर्गमूल हैं — सदा वास्तविक व अनृणात्मक, अतः जिस आव्यूह के आइगेन-मान 3 व −2 हों उसके 3 व 2।
  • द्विघात रूप में विकर्णेतर प्रविष्टि प्रतिच्छेदी गुणांक की आधी है। वह आधा करना ठीक कर लें और निश्चितता केवल आइगेन-मानों का, या अग्रणी प्रमुख उपसारणिकों का, चिह्न है।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आकार 3×4 के आव्यूह A की कोटि 2 है। उसकी शून्यता है:

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2

    कोटि + शून्यता = स्तंभों की संख्या, अतः शून्यता = 4 − 2 = 2। विकल्प A वह है जो पंक्ति-संख्या देती है — 3 − 2 = 1 — और वही उत्तर वह अभ्यर्थी पाता है जो प्रमेय को प्रतिचित्रण के बजाय आव्यूह के विषय में याद रखता है। प्रतिचित्रण 4-सदिशों को 3-सदिशों पर भेजता है, और सर्वसमिका उसके प्रांत के विषय में कथन है, अतः चारों स्तंभों का हिसाब होना चाहिए। निःशुल्क जाँच: 3×4 आव्यूह की कोटि 3 से ऊपर कभी नहीं हो सकती, अतः और कुछ भी हो उसकी शून्यता कम-से-कम 1 है, और चौड़े आव्यूह की शून्य-समष्टि सदा अतुच्छ होती है।

  2. सदिश (1, 2, 3), (4, 5, 6) व (7, 8, 9) हैं:

    1. रैखिकतः स्वतंत्र, तथा ℝ³ का आधार
    2. रैखिकतः परावलंबी, 2-विमीय उपसमष्टि विस्तारित करते हुए
    3. रैखिकतः परावलंबी, 1-विमीय उपसमष्टि विस्तारित करते हुए
    4. लांबिक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — रैखिकतः परावलंबी, 2-विमीय उपसमष्टि विस्तारित करते हुए

    उन्हें पंक्तियों के रूप में रखकर सारणिक लें: वह 0 है, अतः वे परावलंबी हैं और विकल्प A हट जाता है। कितने परावलंबी, यह कोटि बताती है — पंक्ति-ह्रास से कोटि 2 मिलती है, अतः वे रेखा नहीं, समतल विस्तारित करते हैं। परावलंबन खोजने पर बिना किसी अंकगणित के दिखता है: तीसरा सदिश दूसरे का दुगुना घटा पहला है, और समान रूप से तीनों समांतर श्रेढ़ी में हैं, जो सदा मध्य वाले को अन्य दो का औसत बना देता है। विकल्प C हेतु कोटि 1 चाहिए, जो केवल तब होता है जब प्रत्येक सदिश किसी एक का गुणज हो — (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) हेतु सत्य, इनके लिए नहीं। विकल्प D पहले ही अदिश गुणनफल पर विफल है, 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32।

  3. A = [[2, 1], [4, 3]] हेतु एकक निचले त्रिभुजाकार L सहित LU वियोजन A = LU देता है:

    1. L = [[1, 0], [2, 1]], U = [[2, 1], [0, 1]]
    2. L = [[1, 0], [4, 1]], U = [[2, 1], [0, 3]]
    3. L = [[2, 0], [4, 1]], U = [[1, 1], [0, 1]]
    4. A का कोई LU वियोजन नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — L = [[1, 0], [2, 1]], U = [[2, 1], [0, 1]]

    निरसन करें: पिवट 2 के नीचे का 4 साफ़ करने वाला गुणक 4/2 = 2 है, और दूसरी पंक्ति में से पहली का दुगुना घटाने पर U = [[2, 1], [0, 1]] मिलता है। गुणक ही L की प्रविष्टि है, अतः L = [[1, 0], [2, 1]]। जाँच हेतु गुणा करें: [[1, 0], [2, 1]]·[[2, 1], [0, 1]] = [[2, 1], [4, 3]] = A। विकल्प B गुणक 4/2 के बजाय स्वयं प्रविष्टि 4 का प्रयोग करता है, जो मानक भूल है। विकल्प C "एकक" शर्त तोड़ता है — L के विकर्ण पर 1 होने चाहिए, और प्रश्न ने वह कहा था। साथ रखने योग्य दो बातें: U के विकर्ण का गुणनफल, 2 × 1 = 2, det A है; और पंक्ति-विनिमय के बिना LU वियोजन वास्तव में विद्यमान न होना संभव है, इसीलिए आंशिक पिवटिंग है।

  4. A ट्रेस 1 वाला वर्गसम आव्यूह (A² = A) है। उसकी कोटि है:

    1. 0
    2. 1
    3. A के आकार के बराबर
    4. ट्रेस से निर्धारित नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1

    यदि A² = A हो तो प्रत्येक आइगेन-मान λ, λ² = λ संतुष्ट करता है, अतः λ या 0 है या 1 — कोई अन्य मान संभव नहीं। ट्रेस आइगेन-मानों का योग है, अतः वह केवल 1 की गिनती है; और वर्गसम आव्यूह विकर्णनीय होता है, अतः वही गिनती कोटि भी है। ट्रेस 1 से कोटि 1। विकल्प D लुभावना उत्तर है क्योंकि ट्रेस सामान्यतः कोटि निर्धारित नहीं करता — यहाँ वह ठीक वर्गसमता के कारण करता है, और कौन-सी परिकल्पना काम कर रही है यह देखना ही जाँचा जा रहा कौशल है। [[2, −2], [1, −1]] ठोस उदाहरण है: वह अपना ही वर्ग है, उसका ट्रेस 1 है, और कोटि 1।

  5. द्विघात रूप q(x, y) = 2x² + 2xy + 2y² है:

    1. धन निश्चित
    2. ऋण निश्चित
    3. अनिश्चित
    4. धन अर्ध-निश्चित पर निश्चित नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — धन निश्चित

    प्रतिच्छेदी गुणांक को आधा करते हुए सममित आव्यूह बनाएँ: A = [[2, 1], [1, 2]], [[2, 2], [2, 2]] नहीं। उसके अग्रणी प्रमुख उपसारणिक 2 व det = 4 − 1 = 3 हैं, दोनों धनात्मक, अतः रूप धन निश्चित है; आइगेन-मान 3 व 1 सहमत हैं। आधा करना ही पूरा प्रश्न है। प्रतिच्छेदी गुणांक बिना आधा किए आव्यूह [[2, 2], [2, 2]] होता, जिसका सारणिक 0 है और जिसके उपसारणिक अर्ध-निश्चित सुझाते — विकल्प D, जो ठीक उसी को पकड़ने हेतु है। निःशुल्क विवेक-जाँच: q(1, −1) = 2 − 2 + 2 = 2 > 0, और जो रूप उस बिंदु पर धनात्मक हो जहाँ उसके ऋणात्मक होने की सर्वाधिक संभावना थी, उसके अनिश्चित होने की संभावना कम है।

  6. Q वास्तविक लांबिक आव्यूह है। निम्नलिखित में कौन अवश्य सत्य है?

    1. det Q = 1
    2. det Q = ±1
    3. Q सममित है
    4. Q का प्रत्येक आइगेन-मान 1 है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — det Q = ±1

    QᵀQ = I से सारणिक लें: det(Qᵀ)·det(Q) = 1, और det(Qᵀ) = det(Q), अतः (det Q)² = 1 तथा det Q = ±1। विकल्प A अत्यधिक प्रबल है — परावर्तन लांबिक है और उसका सारणिक −1, तथा +1 केवल घूर्णनों का। विकल्प C असत्य है: [[0, 1], [−1, 0]] लांबिक है और सममित नहीं। विकल्प D उसी आव्यूह हेतु असत्य है, जिसके आइगेन-मान ±i हैं — लांबिक आव्यूह लंबाइयाँ संरक्षित करता है, अतः उसके आइगेन-मानों का मापांक 1 होता है, पर उनका वास्तविक होना आवश्यक नहीं। सारणिक से आगे साथ रखने योग्य गुण यह है कि Q⁻¹ = Qᵀ, जो लांबिक आव्यूह को रैखिक बीजगणित का सबसे सस्ता प्रतिलोम बना देता है।

  7. A वास्तविक m×n आव्यूह है। निम्नलिखित में कौन सदा सत्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. rank(A) + nullity(A) = n
    2. A के अशून्य अनन्य मानों की संख्या rank(A) के बराबर है
    3. rank(A) ≤ min(m, n)
    4. यदि m < n हो तो Ax = 0 का केवल तुच्छ हल है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — rank(A) + nullity(A) = n; B — A के अशून्य अनन्य मानों की संख्या rank(A) के बराबर है; C — rank(A) ≤ min(m, n)

    तीन प्रत्येक वास्तविक आव्यूह हेतु सत्य हैं। A कोटि–शून्यता प्रमेय है, स्तंभ गिनते हुए। B अनन्य मान वियोजन से पढ़ी गई कोटि की परिभाषा है, और इसी कारण कोटि का आंकिक आकलन SVD से किया जाता है। C इसलिए सत्य है कि कोटि न तो स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या से अधिक हो सकती है, न स्वतंत्र स्तंभों की। केवल D विफल है, और वह उलटा विफल होता है: m < n का अर्थ अज्ञातों से कम समीकरण, अतः कोटि अधिकतम m < n है, शून्यता कम-से-कम n − m > 0, और निकाय का अतुच्छ हल होना ही चाहिए। चौड़े आव्यूह का सदा होता है, जो कथन का उपयोगी रूप है और विकल्प D के दावे का ठीक विपरीत।

  8. A = [[3, 0], [0, −2]] का सबसे बड़ा अनन्य मान _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    अनन्य मान AᵀA के आइगेन-मानों के वर्गमूल हैं। यहाँ AᵀA = [[9, 0], [0, 4]] है, जिसके आइगेन-मान 9 व 4 हैं, अतः अनन्य मान 3 व 2 और सबसे बड़ा 3। ध्यान दें क्या नहीं हुआ: स्वयं A के आइगेन-मान 3 व −2 हैं, और अनन्य मान 3 व 2। अनन्य मान मापता है कि आव्यूह किसी दिशा को कितना खींचता है, और खिंचाव का कोई चिह्न नहीं होता, अतः अनन्य मान सदा वास्तविक व अनृणात्मक होते हैं, तब भी जब आइगेन-मान ऋणात्मक या सम्मिश्र हों या आव्यूह वर्ग न हो। इस विकर्ण आव्यूह हेतु दोनों संयोगवश परिमाण में मिल जाते हैं; सामान्य आव्यूह हेतु उनका संबंध होना आवश्यक ही नहीं।

  9. आव्यूह [[1, 2, 1], [2, 4, 2], [3, 6, 3]] की शून्यता _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    प्रत्येक पंक्ति पहली की गुणज है, अतः कोटि 1 है — गणना नहीं, पहचान से। आव्यूह के 3 स्तंभ हैं, अतः शून्यता 3 − 1 = 2। दो निःशुल्क जाँचें जो भूल पकड़ती हैं: शून्य-समष्टि वास्तव में द्वि-विमीय है, क्योंकि एकमात्र समीकरण x + 2y + z = 0, ℝ³ में मूल बिंदु से जाता समतल परिभाषित करता है; और आइगेन-मान 0, 0 तथा ट्रेस 1 + 4 + 3 = 8 होने चाहिए, जो इस बात के अनुरूप है कि कोटि-1 आव्यूह का ठीक एक अशून्य आइगेन-मान होता है। ह्रास से पहले अनुपाती पंक्तियाँ पहचानना उन दो सेकंडों के योग्य है — वह पूरे प्रश्न को घटाव बना देता है।