रूपांतर सिद्धांत — फुरिये श्रेणी, फुरिये रूपांतर व z-रूपांतर

आरंभ से पहले जाँचें कि आपका भाग कौन-सा है। विद्युत यह सब पूछता है — रूपांतर सिद्धांत उसके गणित-खंड का नामित शीर्षक है और उसका कलन फुरिये श्रेणी भी नामित करता है। यांत्रिक व यंत्रीकरण केवल पहला खंड पूछते हैं: दोनों अपने कलन में फुरिये श्रेणी नामित करते हैं और कोई भी अपने गणित-खंड में कोई रूपांतर नामित नहीं करता, अतः खंड एक पढ़कर रुक जाएँ। यंत्रीकरण में लाप्लास व z-रूपांतर आते तो हैं, परंतु संकेत व तंत्र के अंतर्गत, जो अनुशासन-खंड है, यह नहीं। कोई अन्य सत्यापित पेपर अपने गणित-खंड में इसमें कुछ नामित नहीं करता, और यदि आपका इन तीन में नहीं है तो यहाँ समय देने से पहले अपना पाठ्यक्रम देखें। तीनों उपकरणों को जोड़ने वाला एक विचार सूत्रों से ऊपर रखने योग्य है: रूपांतर कठिन संक्रिया को सरल से बदल देता है। अवकलन गुणन बन जाता है, संवलन साधारण गुणन, और अवकल समीकरण बीजगणित — ठीक वही जो लाप्लास रूपांतर ने अवकल समीकरण अध्याय में प्रारंभिक-मान समस्याओं हेतु किया, और ये वही चाल दो अन्य परिवेशों में हैं। फुरिये श्रेणी आवर्ती फलन को ज्या व कोज्या के योग के रूप में लिखती है, और उसके विषय में सर्वाधिक उपयोगी एक तथ्य यह है कि सममिति आधे गुणांक मार देती है: सम फलन में केवल कोज्या पद होते हैं, विषम में केवल ज्या, और समाकलन से पहले यह देख लेना कि आपके पास कौन-सा है, हर बार आधा काम बचाता है। दूसरा सर्वाधिक उपयोगी तथ्य यह है कि विच्छेद पर क्या होता है — श्रेणी कोई पक्ष नहीं चुनती, वह दोनों एक-पार्श्वीय सीमाओं के औसत पर अभिसरित होती है, अतः −1 से +1 तक कूदने वाली वर्ग-तरंग की श्रेणी उस कदम पर 0 के बराबर होती है। फुरिये रूपांतर वही वियोजन उस फलन हेतु है जो कभी दोहराता नहीं, योग के बजाय समाकल, और वह काल्पनिक अक्ष पर मूल्यांकित लाप्लास रूपांतर है: L{e−atu(t)} = 1/(s + a) बनकर 1/(a + jω) हो जाता है, जो ठीक उसी संकेत का फुरिये रूपांतर है। z-रूपांतर विविक्त समकक्ष है, X(z) = Σ x[n]z−n, और वह एक बात वहन करता है जिसके विषय में अन्य सोचने पर विवश नहीं करते: अभिसरण क्षेत्र। z/(z − a), |z| > |a| पर a^n u[n] का रूपांतर है और |z| < |a| पर एक सर्वथा भिन्न, वाम-पार्श्वीय अनुक्रम का — बीजगणित समान है और संकेत नहीं, अतः जो उत्तर ROC के बिना सूत्र देता है उसने आधा प्रश्न उत्तरित किया है।

फुरिये श्रेणी — पहले सममिति, फिर समाकलन

(−π, π) पर आवर्ती f को a₀/2 + Σ [aₙ cos nx + bₙ sin nx] लिखा जाता है, जहाँ आवर्त पर aₙ = (1/π)∫f cos nx dx व bₙ = (1/π)∫f sin nx dx। कोई भी समाकल निकालने से पहले सममिति देखें — वह तय करती है कि इनमें कौन शून्य है, और वह काम से नहीं, एक दृष्टि से तय होती है।

सममिति, व दो हल की गई श्रेणियाँ
(−π, π) पर फलनसममितिगुणांक, निकाले गए
f(x) = xविषमसभी aₙ = 0, a₀ सहित। bₙ = 2(−1)n+1/n, अतः b₁ = 2, b₂ = −1, b₃ = 2/3 — शुद्ध ज्या-श्रेणी।
f(x) = x²समसभी bₙ = 0। a₀/2 = π²/3 तथा aₙ = 4(−1)ⁿ/n², अतः a₁ = −4 व a₂ = 1 — शुद्ध कोज्या-श्रेणी।
⚠️ विच्छेद पर श्रेणी पक्ष नहीं, औसत लेती है
जहाँ f संतत है वहाँ फुरिये श्रेणी f पर अभिसरित होती है। जहाँ वह कूदती है, वहाँ श्रेणी [f(x⁻) + f(x⁺)]/2 पर अभिसरित होती है, अर्थात् दोनों एक-पार्श्वीय सीमाओं के मध्य-बिंदु पर — वह किसी शाखा की नहीं होती। जो वर्ग-तरंग (−π, 0) पर −1 और (0, π) पर +1 है, उसकी श्रेणी x = 0 पर (−1 + 1)/2 = 0 है, जो मान फलन स्वयं कभी नहीं लेता। वही x = π पर होता है, जहाँ आवर्ती विस्तार वापस नीचे उतरता है। "x = 0 पर श्रेणी किस मान पर अभिसरित होती है" पूछने वाला प्रश्न ठीक यही पूछ रहा है, और विकल्पों में −1, 0 व +1 होंगे।

फुरिये रूपांतर, व उसका लाप्लास सजातीय

  • परिभाषा। सम्पूर्ण रेखा पर F(ω) = ∫ f(t)e−jωt dt। यह उस फलन हेतु फुरिये श्रेणी वाला विचार है जो कभी दोहराता नहीं: विविक्त संनादियों पर योग बनकर आवृत्तियों के सातत्य पर समाकल हो जाता है।
  • कंठस्थ रखने योग्य दो रूपांतर। e−a|t| का रूपांतर 2a/(a² + ω²) है, तथा जो आयताकार स्पंद [−T, T] पर 1 है उसका 2 sin(ωT)/ω, जो ω → 0 पर 2T की ओर जाता है — स्पंद के नीचे का क्षेत्रफल, जैसा परिभाषा माँगती है जब चरघातांकी 1 हो जाता है।
  • काल में संकीर्ण, आवृत्ति में चौड़ा। T घटाने पर स्पंद छोटा और उसका रूपांतर चौड़ा होता है, और दोनों चौड़ाइयों का गुणनफल छोटा नहीं किया जा सकता। यह अनिश्चितता सिद्धांत का एक कथन है और वही कारण कि छोटे स्पंद को चौड़ा चैनल चाहिए।
  • वह काल्पनिक अक्ष पर लाप्लास है। जो संकेत t = 0 से पहले शून्य है और क्षय होता है, उसके लाप्लास रूपांतर में s = jω रखने पर फुरिये रूपांतर मिलता है: L{e−atu(t)} = 1/(s + a) बनकर 1/(a + jω) हो जाता है, और फुरिये परिभाषा का सीधा समाकलन वही देता है। इसीलिए अवकल समीकरण अध्याय इस अध्याय का अधिकांश काम पहले ही कर चुका है।

z-रूपांतर, और ROC आधा उत्तर क्यों है

GATE द्वारा दिए जाने वाले चार रूपांतर, प्रत्येक अपने अभिसरण क्षेत्र सहित
x[n]X(z)अभिसरण क्षेत्र
δ[n]1सम्पूर्ण तल — एक पद, अभिसरित होने को कुछ नहीं।
u[n] (एकक पद)z/(z − 1)|z| > 1
aⁿ u[n]z/(z − a)|z| > |a| — दक्षिण-पार्श्वीय, अतः ROC ध्रुव के बाहर है।
−aⁿ u[−n − 1]z/(z − a) — वही व्यंजक|z| < |a| — वाम-पार्श्वीय, अतः ROC ध्रुव के भीतर है। समान बीजगणित, भिन्न संकेत।
🎯 अभिसरण क्षेत्र परिशिष्ट क्यों नहीं है
उस तालिका की अंतिम दो पंक्तियों का X(z) समान है और x[n] सर्वथा भिन्न — एक काल में आगे क्षय होता है, दूसरा पीछे। अतः अकेला व्यंजक संकेत निर्धारित नहीं करता, और जो प्रश्न ROC दिए बिना z/(z − a) का प्रतिलोम z-रूपांतर पूछता है वह या अपूर्ण है या यह परख रहा है कि आप ध्यान देते हैं या नहीं। ROC स्थायित्व का उत्तर भी वहन करता है: विविक्त निकाय ठीक तब स्थायी है जब उसका ROC एकक वृत्त समेटे, जो कारणिक निकाय हेतु यही है कि प्रत्येक ध्रुव कड़ाई से |z| = 1 के भीतर हो। अंतिम-मान प्रमेय दूसरा साथ रखने योग्य परिणाम है — सीमा विद्यमान हो तो lim x[n] = lim(z→1) (z − 1)X(z), अतः X(z) = z/(z − 1) − z/(z − ½) हेतु वह 1 देता है, जो x[n] = 1 − (½)ⁿ से मेल खाता है।

मुख्य बिंदु

  • जाँचें कि आपका भाग कौन-सा है: विद्युत यह सब पूछता है, यांत्रिक केवल फुरिये-श्रेणी खंड, और कोई अन्य सत्यापित पेपर अपने गणित-खंड में इसमें कुछ नामित नहीं करता।
  • रूपांतर कठिन संक्रिया को सरल से बदलता है — अवकलन गुणन बन जाता है और अवकल समीकरण बीजगणित। यह वही चाल है जो लाप्लास रूपांतर ने चली।
  • समाकलन से पहले सममिति देखें: सम फलन में केवल कोज्या पद, विषम में केवल ज्या। यह हर बार आधा काम बचाता है।
  • विच्छेद पर श्रेणी एक-पार्श्वीय सीमाओं के औसत पर अभिसरित होती है, जो मान फलन कभी न लेता हो। ±1 वर्ग-तरंग हेतु वह कदम पर 0 है।
  • दो फुरिये रूपांतर जानें: e−a|t| → 2a/(a² + ω²), तथा [−T, T] पर स्पंद → 2 sin(ωT)/ω, जिसका ω = 0 पर मान क्षेत्रफल 2T है।
  • फुरिये रूपांतर काल्पनिक अक्ष पर लाप्लास है: s = jω पर 1/(s + a) अर्थात् 1/(a + jω), उसी क्षयी संकेत का रूपांतर।
  • ROC के अनुसार z/(z − a) दो भिन्न संकेत हैं — ध्रुव के बाहर दक्षिण-पार्श्वीय, भीतर वाम-पार्श्वीय। ROC रहित उत्तर आधा उत्तर है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. (−π, π) पर f(x) = x की फुरिये श्रेणी में होते हैं:

    1. केवल कोज्या पद
    2. केवल ज्या पद
    3. ज्या व कोज्या दोनों पद
    4. अचर पद व कोज्या पद
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — केवल ज्या पद

    f(x) = x विषम है, और सममित अंतराल पर सम फलन cos nx के साथ विषम फलन का समाकलन शून्य देता है — अतः प्रत्येक aₙ लुप्त हो जाता है, a₀ सहित, और केवल ज्या पद बचते हैं। उन्हें निकालने पर पुष्टि होती है: bₙ = 2(−1)n+1/n, अतः b₁ = 2, b₂ = −1, b₃ = 2/3। गुणांकों के बजाय साथ रखने योग्य सामान्य नियम है: विषम → केवल ज्या, सम → केवल कोज्या (तथा अचर)। विकल्प D, x² जैसे सम फलन हेतु उत्तर है, जिसकी श्रेणी π²/3 + Σ 4(−1)ⁿ cos nx / n² है। पहले सममिति जाँचना लघु-मार्ग से अधिक विधि है — वह किसी भी समाकल के होने से पहले आधे समाकल तय कर देता है।

  2. कोई आवर्ती फलन (−π, 0) पर −1 व (0, π) पर +1 है। x = 0 पर उसकी फुरिये श्रेणी अभिसरित होती है:

    1. −1
    2. 0
    3. +1
    4. x = 0 पर श्रेणी अपसरित होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0

    विच्छेद पर श्रेणी एक-पार्श्वीय सीमाओं के औसत पर अभिसरित होती है: [f(0⁻) + f(0⁺)]/2 = (−1 + 1)/2 = 0। ध्यान दें कि फलन कहीं भी मान 0 नहीं लेता, अतः श्रेणी उस पर अभिसरित होती है जो फलन नहीं है — प्रश्न का पूरा मुद्दा यही है और इसीलिए −1 व +1 दोनों दिए गए हैं। इस श्रेणी का प्रत्येक आंशिक योग x = 0 पर वस्तुतः ठीक 0 है, क्योंकि श्रेणी शुद्ध ज्या है और प्रत्येक ज्या वहाँ लुप्त होती है। विकल्प D गलत है: डिरिख़्ले शर्तें संतुष्ट करने वाले फलन हेतु श्रेणी हर स्थान पर अभिसरित होती है, और परिमित विच्छेद अनुमत है। वही औसत x = ±π पर लागू होता है, जहाँ आवर्ती विस्तार वापस नीचे उतरता है।

  3. परिपाटी F(ω) = ∫ f(t)e−jωt dt सहित e−a|t| (a > 0) का फुरिये रूपांतर है:

    1. 1/(a + jω)
    2. 2a/(a² + ω²)
    3. a/(a² + ω²)
    4. 2/(a² + ω²)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2a/(a² + ω²)

    समाकल को शून्य पर विभाजित करें और सममिति का प्रयोग करें: संकेत सम है, अतः रूपांतर वास्तविक है और t > 0 पर e−atcos ωt के समाकल का दुगुना, अर्थात् 2a/(a² + ω²)। विकल्प A एक-पार्श्वीय e−atu(t) का रूपांतर है, जो वही क्षय है पर बाईं ओर प्रतिबिंब के बिना — भिन्न संकेत, और वही विकल्प जिस तक अभ्यर्थी निरपेक्ष मान भूलकर पहुँचता है। निःशुल्क जाँच: ω = 0 पर रूपांतर वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए, और ∫e−a|t|dt = 2/a, जो B देता है और C नहीं। वह जाँच अनुपस्थित गुणक 2 व हर में गलत घात दोनों पकड़ लेती है।

  4. एकक पद u[n] का z-रूपांतर है:

    1. 1, सभी z हेतु
    2. z/(z − 1), |z| > 1 हेतु
    3. 1/(z − 1), |z| > 1 हेतु
    4. z/(z − 1), |z| < 1 हेतु
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — z/(z − 1), |z| > 1 हेतु

    X(z) = Σn≥0 z−n अनुपात 1/z वाली गुणोत्तर श्रेणी है, अतः उसका योग 1/(1 − 1/z) = z/(z − 1) है, और वह ठीक तब अभिसरित होती है जब |1/z| < 1 हो, अर्थात् |z| > 1। विकल्प D सही व्यंजक को गलत क्षेत्र से युग्मित करता है, और वह युग्मन विवरण-मात्र नहीं: |z| < 1 पर वही व्यंजक वाम-पार्श्वीय अनुक्रम −u[−n − 1] का रूपांतर है, जो सर्वथा भिन्न संकेत है। विकल्प A, δ[n] का रूपांतर है, वही एक अनुक्रम जिसका रूपांतर हर स्थान पर अभिसरित होता है क्योंकि योग में एक ही पद है। विकल्प C वह है जो n = 0 के बजाय n = 1 से योग लेने पर मिलता है, जो मूल बिंदु का प्रतिदर्श छोड़ देता है।

  5. X(z) = z/(z − a)। कौन कथन सही है?

    1. यह aⁿu[n] का रूपांतर है, अभिसरण क्षेत्र जो भी हो
    2. यह |z| > |a| पर aⁿu[n] है और |z| < |a| पर भिन्न, वाम-पार्श्वीय अनुक्रम
    3. a = 0 के अतिरिक्त इसका कोई प्रतिलोम नहीं
    4. उसका अभिसरण क्षेत्र सदा सम्पूर्ण z-तल है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — यह |z| > |a| पर aⁿu[n] है और |z| < |a| पर भिन्न, वाम-पार्श्वीय अनुक्रम

    अकेला व्यंजक संकेत निर्धारित नहीं करता। ROC |z| > |a| पर प्रतिलोम दक्षिण-पार्श्वीय aⁿu[n] है; ROC |z| < |a| पर वह वाम-पार्श्वीय −aⁿu[−n − 1]। समान बीजगणित, काल में विपरीत दिशा — इसीलिए प्रतिलोम z-रूपांतर का प्रश्न ROC के बिना अपूर्ण है, और इसीलिए विकल्प A जाल है। ROC स्थायित्व का उत्तर भी देता है: कारणिक निकाय ठीक तब स्थायी है जब उसका ROC एकक वृत्त समेटे, अर्थात् |a| < 1। विकल्प D किसी भी a ≠ 0 हेतु असत्य है, क्योंकि श्रेणी स्वयं ध्रुव पर अभिसरित नहीं हो सकती, और केवल δ[n] का रूपांतर सम्पूर्ण तल पर अभिसरित होता है।

  6. निम्नलिखित में कौन सही हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. सम फलन की फुरिये श्रेणी में कोई ज्या पद नहीं होता
    2. कारणिक, निरपेक्षतः समाकलनीय संकेत हेतु फुरिये रूपांतर, s = jω पर लाप्लास रूपांतर है
    3. δ[n] का z-रूपांतर प्रत्येक z हेतु अभिसरित होता है
    4. फुरिये श्रेणी प्रत्येक बिंदु पर f(x) पर अभिसरित होती है, विच्छेदों सहित
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सम फलन की फुरिये श्रेणी में कोई ज्या पद नहीं होता; B — कारणिक, निरपेक्षतः समाकलनीय संकेत हेतु फुरिये रूपांतर, s = jω पर लाप्लास रूपांतर है; C — δ[n] का z-रूपांतर प्रत्येक z हेतु अभिसरित होता है

    तीन सत्य हैं। A सममिति-नियम है — सममित अंतराल पर sin nx के साथ सम f का समाकलन शून्य देता है। B इस अध्याय में हल किया संबंध है: s = jω पर 1/(s + a) अर्थात् 1/(a + jω), जो फुरिये परिभाषा के समाकलन से मिलता है। C सत्य है क्योंकि योग में ठीक एक अशून्य पद है, अतः अभिसरित होने को कुछ नहीं और ROC सम्पूर्ण तल है — तालिका का वही एक रूपांतर जिसके लिए ऐसा है। केवल D विफल है, ठीक उन्हीं बिंदुओं पर जिनकी चेतावनी अध्याय देता है: विच्छेद पर श्रेणी एक-पार्श्वीय सीमाओं के औसत पर अभिसरित होती है, जो सामान्यतः f(x) नहीं होता और ऐसा मान हो सकता है जो f कभी न ले।

  7. (−π, π) पर f(x) = x की फुरिये श्रेणी हेतु गुणांक b₁ _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    bₙ = (1/π)∫−ππ x sin nx dx, और खंडशः समाकलन से bₙ = 2(−1)n+1/n मिलता है, अतः b₁ = 2। हर बार पुनः निकालने के बजाय प्रतिरूप पढ़ लेना उपयोगी है: b₂ = −1, b₃ = 2/3, b₄ = −1/2 — चिह्न में एकांतर और 1/n के रूप में क्षयी, जो उस फलन की अभिलाक्षणिक धीमी क्षय है जिसका आवर्ती विस्तार कूदता है। किसी भी फुरिये गुणांक पर उपयोगी जाँच: n बढ़ने पर aₙ व bₙ को शून्य की ओर जाना चाहिए, अतः जो गुणांक क्षय न हो वह, अंकगणित जो भी कहे, गलत है।

  8. किसी विविक्त संकेत का X(z) = z/(z − 1) − z/(z − 0.5) है, अभिसरण क्षेत्र |z| > 1। अंतिम-मान प्रमेय से lim(n→∞) x[n] _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    अंतिम-मान प्रमेय lim x[n] = lim(z→1) (z − 1)X(z) देता है। (z − 1) पहले ध्रुव को निरस्त करता है और दूसरा पद मार देता है, जिससे z में z → 1 बचता है, अतः सीमा 1 है। स्वयं अनुक्रम से जाँचें: दोनों पद प्रतिलोमित होकर u[n] व (0.5)ⁿu[n] बनते हैं, अतः x[n] = 1 − (0.5)ⁿ, जो 1 की ओर जाता ही है। प्रमेय की एक शर्त सम्मान योग्य है — वह तभी लागू है जब सीमा विद्यमान हो, जो कारणिक संकेत हेतु यही है कि (z − 1)X(z) का प्रत्येक ध्रुव कड़ाई से एकक वृत्त के भीतर हो। 0.5 को 2 कर दें और अनुक्रम अपसरित हो जाता है जबकि बीजगणित फिर भी कोई संख्या दे देता है, और कठिन वर्षों में यह प्रश्न इसी जाल के रूप में रखा जाता है।