आंकिक विधियाँ — मूल, संख्यात्मक समाकलन व ODE का चरण-हल

आंकिक विधियाँ अभियांत्रिकी गणित का सर्वाधिक पूर्वानुमेय प्रकरण है, क्योंकि प्रश्न केवल दो आकारों में आते हैं। या आपसे एक-दो पुनरावृत्तियाँ हाथ से चलाने को कहा जाता है, जहाँ अंक शुद्ध अंकगणितीय सावधानी हैं, या विधि का कोई गुण पूछा जाता है — उसकी अभिसरण-कोटि, उसकी त्रुटि की कोटि, एक चरण में कितने फलन-मूल्यांकन लगते हैं, उप-अंतरालों की संख्या सम होनी आवश्यक है या नहीं। दूसरी प्रकार में सस्ते अंक हैं, और वे सस्ते इसलिए हैं कि उत्तर समस्या पर निर्भर ही नहीं करते: न्यूटन–रैफ़्सन द्विघातीय रूप से अभिसरित होता है, द्विभाजन रैखिक रूप से, सिकैंट विधि दोनों के बीच लगभग 1.618 पर; समलंब नियम की त्रुटि h² कोटि की है और वह सरल रेखाओं हेतु यथार्थ है, सिम्पसन के 1/3 नियम की त्रुटि h⁴ कोटि की है और वह घन बहुपदों हेतु यथार्थ; आयलर विधि प्रथम कोटि की है और प्रति चरण एक फलन-मूल्यांकन लेती है, तथा शास्त्रीय रुंगे–कुट्टा चतुर्थ कोटि की है और चार लेती है। यह अनुच्छेद सीख लें और एक-अंक प्रश्नों की श्रेणी कैलकुलेटर छुए बिना तय हो जाती है। जब पुनरावृत्ति करनी ही पड़े तो दो आदतें अंक बचाती हैं। कुछ भी प्रतिस्थापित करने से पहले पुनरावृत्ति-सूत्र लिख लें, क्योंकि न्यूटन–रैफ़्सन में सबसे आम खोया अंक चिह्न का होता है — सूत्र x − f(x)/f′(x) है, और ऋणात्मक f(x) संशोधन को धनात्मक बना देता है। और उत्तर को इससे जाँचें कि विधि को क्या करना चाहिए: द्विभाजन को प्रत्येक बार अंतराल आधा करना ही है, अतः दो चरणों के बाद कोष्ठक अपनी मूल चौड़ाई का ठीक चौथाई होता है, फलन जो भी रहा हो। एक गुण ज़ोर देकर कहने योग्य है क्योंकि वह इस प्रकरण का सर्वाधिक संतोषजनक परिणाम देता है: सिम्पसन का नियम किसी भी घन बहुपद का समाकलन यथार्थ करता है, इसीलिए केवल तीन बिंदुओं से ∫₀¹x² dx पर उसे लगाने से 1/3 बिना किसी त्रुटि के मिलता है, जबकि उन्हीं तीन बिंदुओं पर समलंब नियम 0.375 देता है और 1/24 से ग़लत है।

मूल-खोज — तीन विधियाँ व उनका अभिसरण

प्रत्येक विधि की लागत व गारंटी
विधिअभिसरण-कोटिउसे क्या चाहिए, और वह क्या वचन देती है
द्विभाजनरैखिक (कोटि 1)कोष्ठक पर चिह्न-परिवर्तन चाहिए। धीमी, परंतु वह विफल नहीं हो सकती — अंतराल प्रत्येक चरण में आधा होता है, अतः त्रुटि पहले से परिबद्ध है।
न्यूटन–रैफ़्सनद्विघातीय (कोटि 2)f′ तथा अच्छा आरंभ-बिंदु चाहिए। प्रत्येक चरण में सही अंक लगभग दुगुने कर देती है, परंतु f′ शून्य के निकट हो या आरंभ कमज़ोर हो तो अपसरित हो जाती है।
सिकैंटलगभग 1.618न्यूटन, जिसमें अवकलज को अंतर-भागफल से बदल दिया गया। प्रति चरण न्यूटन से धीमी, परंतु प्रत्येक चरण सस्ता क्योंकि f′ की आवश्यकता नहीं।

न्यूटन–रैफ़्सन हल किया, f(x) = x² − 2 पर x₀ = 1 से। सूत्र x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1 − (−1)/2 = 1.5 है — ध्यान दें f(1) = −1 ऋणात्मक है, अतः संशोधन जोड़ता है। एक और चरण: x₂ = 1.5 − (0.25)/3 = 17/12 ≈ 1.41667, जबकि √2 ≈ 1.41421। कच्चे आरंभ से दो पुनरावृत्तियों ने तीन सही अंक दे दिए, और व्यवहार में द्विघातीय अभिसरण ऐसा ही दिखता है।

🧠 द्विभाजन के प्रश्न फलन पर नहीं, अंतराल पर अंकगणित से हल होते हैं
[1, 2] पर f(x) = x³ − x − 1 हेतु: f(1) = −1 व f(2) = 5, अतः मूल कोष्ठकित है। मध्य-बिंदु 1.5 पर f = 0.875 > 0, अतः कोष्ठक [1, 1.5] बनता है; अगला मध्य-बिंदु 1.25 पर f = −19/64 ≈ −0.297 < 0, अतः कोष्ठक [1.25, 1.5] बनता है। यदि प्रश्न दो पुनरावृत्तियों के बाद केवल चौड़ाई पूछे, तो उत्तर (2 − 1)/2² = 0.25 है और कोई फलन-मान कभी आवश्यक नहीं हुआ — द्विभाजन रचना से ही अंतराल आधा करता है, उसके भीतर f जो भी करे।

समलंब व सिम्पसन — और यहाँ सिम्पसन क्यों जीतता है

दोनों नियम समान अंतराल पर लिए बिंदुओं से एक सरल वक्र फिट करके समाकल का सन्निकटन करते हैं। समलंब नियम उन्हें सरल रेखाओं से जोड़ता है और आंतरिक बिंदुओं को दो-दो भार देता है: (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन का 1/3 नियम तीन-तीन बिंदुओं से परवलय फिट करता है और उन्हें 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 भार देता है: (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]।

h = 0.5 सहित ∫₀¹ x² dx पर दोनों नियम, जिसका यथार्थ मान 1/3 है
नियमगणनापरिणाम व त्रुटि
समलंब(0.5/2)[0 + 2(0.25) + 1]0.375, त्रुटि +1/24 ≈ 0.0417। वह अधिक आँकता है क्योंकि x² उन्नतोदर है और जीवाएँ वक्र के ऊपर रहती हैं।
सिम्पसन का 1/3(0.5/3)[0 + 4(0.25) + 1]ठीक 1/3, त्रुटि शून्य — नियम परवलय फिट करता है, और x² परवलय ही है।
🎯 सिम्पसन घन बहुपदों हेतु भी यथार्थ है, केवल परवलयों हेतु नहीं
नियम परवलय फिट करके बनाया गया है, अतः वह द्विघात हेतु स्पष्टतः यथार्थ है — परंतु घन त्रुटि-पद उप-अंतरालों के युग्म पर सममिति से निरस्त हो जाता है, अतः वह घन बहुपदों हेतु भी यथार्थ है, और उसकी त्रुटि h³ के बजाय h⁴ कोटि की है। यह प्रिय एक-अंक प्रश्न है। उसके साथ दो शर्तें आती हैं: उप-अंतरालों की संख्या सम होनी चाहिए (क्योंकि बिंदु तीन-तीन लिए जाते हैं और सिरे साझा होते हैं), और अंतराल एकसमान होना चाहिए। विषम संख्या के उप-अंतराल देकर सिम्पसन का आकलन पूछने वाला प्रश्न यह जाँच रहा है कि आप यह देखते हैं या नहीं कि नियम लागू ही नहीं होता।

ODE हेतु एकल-चरण व बहु-चरण विधियाँ

  • आयलर। yn+1 = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) — एक फलन-मूल्यांकन, प्रथम-कोटि यथार्थता, और त्रुटि तेज़ी से संचित होती है। y(0) = 1 व h = 0.1 सहित y′ = y पर एक चरण 1 + 0.1 = 1.1 देता है, जबकि यथार्थ e0.1 ≈ 1.10517: अत्यंत सरल समस्या के एक ही चरण के बाद लगभग 0.005 की त्रुटि।
  • संशोधित आयलर / ह्यून। एक आयलर चरण लें, वहाँ भी प्रवणता निकालें, और दोनों प्रवणताओं का औसत लें। दो फलन-मूल्यांकन, द्वितीय-कोटि यथार्थता — उपलब्ध सबसे सस्ता वास्तविक सुधार, और वही प्रतिरूप जिसका प्रत्येक उच्चतर विधि सामान्यीकरण है।
  • शास्त्रीय रुंगे–कुट्टा (RK4)। प्रति चरण चार फलन-मूल्यांकन, चतुर्थ-कोटि यथार्थता। व्यवहार में यह पूर्व-निर्धारित चुनाव है क्योंकि h आधा करने पर त्रुटि सोलहवें भाग रह जाती है, अतः चार मूल्यांकन चार गुना से कहीं अधिक यथार्थता खरीदते हैं।
  • एकल-चरण बनाम बहु-चरण वही भेद है जिसे पाठ्यक्रम नामित करता है। एकल-चरण विधि — आयलर, RK4 — केवल वर्तमान बिंदु का प्रयोग करती है, अतः वह अकेली प्रारंभिक शर्त से आरंभ हो सकती है। एडम्स–बैशफ़र्थ जैसी बहु-चरण विधि कई पूर्व बिंदुओं का प्रयोग करती है, जिससे प्रत्येक चरण सस्ता होता है पर उसका अर्थ है कि वह स्वयं आरंभ नहीं हो सकती: पहले कुछ बिंदुओं हेतु उसे किसी एकल-चरण विधि से प्रारंभ कराना पड़ता है।
⚠️ यथार्थता की कोटि, मूल्यांकनों की संख्या नहीं है
RK4 हेतु दोनों संयोगवश चार पर मिल जाते हैं, और अभ्यर्थी उसी से उन विधियों पर सामान्यीकरण कर लेते हैं जहाँ वे नहीं मिलते: ह्यून दो मूल्यांकन लेती है और द्वितीय कोटि की है, परंतु दो-मूल्यांकन वाली विधि का द्वितीय कोटि होना आवश्यक नहीं, और चतुर्थ-कोटि बहु-चरण विधि संचित मानों का पुनः प्रयोग करके प्रति चरण केवल एक नया मूल्यांकन ले सकती है। जब प्रश्न दोनों में से एक पूछे, तो पूछे गए का उत्तर दें — और "कोटि" को त्रुटि-पद में h का घातांक पढ़ें, जो वही परिभाषा है जिस पर पूरा प्रकरण चलता है।

मुख्य बिंदु

  • अभिसरण-कोटियाँ, किसी समस्या से निरपेक्ष: द्विभाजन 1, सिकैंट लगभग 1.618, न्यूटन–रैफ़्सन 2। ये बिना किसी गणना वाले एक-अंक प्रश्न हैं।
  • चिह्न-परिवर्तन से मूल कोष्ठकित हो जाने पर द्विभाजन विफल नहीं हो सकता, और वह प्रत्येक चरण में अंतराल आधा करता है — अतः k चरणों के बाद चौड़ाई मूल का 2k भाग है।
  • प्रतिस्थापन से पहले x − f(x)/f′(x) लिख लें। ऋणात्मक f(x) संशोधन को धनात्मक बनाता है, और वही चिह्न न्यूटन–रैफ़्सन में सबसे आम खोया अंक है।
  • समलंब त्रुटि h² कोटि की है और वह उन्नतोदर फलन को अधिक आँकता है; सिम्पसन के 1/3 की त्रुटि h⁴ कोटि की है और वह घन बहुपदों हेतु यथार्थ है।
  • सिम्पसन के नियम हेतु उप-अंतरालों की सम संख्या व एकसमान अंतराल आवश्यक है। विषम संख्या वाला प्रश्न यह जाँच रहा है कि आप देखते हैं या नहीं कि नियम लागू नहीं होता।
  • आयलर प्रथम कोटि, एक मूल्यांकन; ह्यून द्वितीय, दो; RK4 चतुर्थ, चार। कोटि का अर्थ त्रुटि में h का घातांक है, मूल्यांकनों की गिनती नहीं।
  • एकल-चरण विधि अकेली प्रारंभिक शर्त से आरंभ हो सकती है; बहु-चरण विधि को किसी एकल-चरण विधि से प्रारंभ कराना पड़ता है, क्योंकि उसे कई पूर्व बिंदु चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. x₀ = 1 सहित f(x) = x² − 2 पर न्यूटन–रैफ़्सन लगाया जाता है। पहला पुनरावृत्त x₁ है:

    1. 1.5
    2. 0.5
    3. 1.4142
    4. 2.0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1.5

    x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀), जहाँ f(1) = 1 − 2 = −1 व f′(1) = 2, अतः x₁ = 1 − (−1)/2 = 1 + 0.5 = 1.5। विकल्प B वह है जो जोड़ने के बजाय घटाने से मिलता है, अर्थात् f(1) पर ऋण चिह्न छोड़ने से — इस सूत्र की सर्वाधिक आम एकल त्रुटि, और प्रतिस्थापन से पहले सूत्र लिखने का कारण। विकल्प C स्वयं √2 है, जिसके निकट विधि जाती है पर एक चरण में पहुँचती नहीं: अगला पुनरावृत्त 17/12 ≈ 1.41667 है, जो पहले से तीन दशमलव तक सही है, और द्विघातीय अभिसरण यही खरीदता है।

  2. द्विभाजन, सिकैंट व न्यूटन–रैफ़्सन विधियों की अभिसरण-कोटियाँ क्रमशः हैं:

    1. 1, लगभग 1.618, तथा 2
    2. 1, 2 तथा 3
    3. 2, 1.618 तथा 1
    4. तीनों रैखिक हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1, लगभग 1.618, तथा 2

    द्विभाजन रैखिक है — त्रुटि प्रत्येक चरण में आधी होती है, एक अचर गुणक, और कोटि 1 का अर्थ ठीक यही है। न्यूटन–रैफ़्सन द्विघातीय, कोटि 2 है, जो प्रति चरण सही अंकों की संख्या लगभग दुगुनी करती है। सिकैंट विधि उनके बीच स्वर्ण अनुपात पर, लगभग 1.618 पर बैठती है, क्योंकि वह अवकलज के स्थान पर अंतर-भागफल का प्रयोग करती है। विकल्प C सूची उलट देता है, जो उस अभ्यर्थी का उत्तर है जिसे तीनों संख्याएँ याद हैं पर यह नहीं कि कौन विधि किसकी स्वामी है — और क्रम लागत से पुनः रचा जा सकता है: जिस विधि को प्रति चरण सर्वाधिक सूचना चाहिए (न्यूटन, जिसे f′ चाहिए) वही सबसे तेज़ अभिसरित होती है।

  3. h = 0.5 सहित ∫₀¹ x² dx पर समलंब नियम लगाने से मिलता है:

    1. 0.3333
    2. 0.375
    3. 0.25
    4. 0.5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.375

    h = 0.5 पर तीन नोड 0, 0.5 व 1 हैं, जहाँ f क्रमशः 0, 0.25 व 1 है। नियम देता है (h/2)[f₀ + 2f₁ + f₂] = 0.25[0 + 0.5 + 1] = 0.375। यथार्थ मान 1/3 ≈ 0.3333 है, अतः आकलन 1/24 ≈ 0.0417 से अधिक है — और वह कम के बजाय अधिक है, एक जानने योग्य संरचनात्मक कारण से: x² उन्नतोदर है, अतः नोडों को जोड़ती जीवाएँ वक्र के ऊपर रहती हैं और समलंब अधिक गिन लेते हैं। विकल्प A यथार्थ उत्तर है, जो उन्हीं तीन बिंदुओं पर सिम्पसन का नियम देता है; दोनों देने वाला प्रश्न यह जाँच रहा है कि आपने नामित नियम ही लगाया।

  4. h = 0.5 सहित ∫₀¹ x² dx पर सिम्पसन का 1/3 नियम यथार्थ उत्तर 1/3 देता है। कारण यह है कि:

    1. चरण-आकार संयोगवश पर्याप्त छोटा है
    2. सिम्पसन का नियम तीन घात तक के बहुपदों हेतु यथार्थ है
    3. समाकल्य अंतराल पर धनात्मक है
    4. उप-अंतरालों की संख्या सम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सिम्पसन का नियम तीन घात तक के बहुपदों हेतु यथार्थ है

    सिम्पसन का नियम तीन-तीन नोडों के प्रत्येक समूह से परवलय फिट करता है, अतः वह रचना से ही द्विघातों हेतु यथार्थ है — और घन त्रुटि-पद उप-अंतरालों के युग्म पर सममिति से निरस्त हो जाता है, अतः वह घन बहुपदों हेतु भी यथार्थ है। उसकी त्रुटि h⁴ कोटि की है। चूँकि x² द्विघात है, नियम केवल तीन बिंदुओं से समाकल यथार्थ पुनरुत्पादित कर देता है, h जो भी हो, अतः विकल्प A कारण के विषय में ग़लत है: बड़ा h भी वही यथार्थ उत्तर देता। विकल्प D वास्तविक शर्त बताता है — नियम के लागू होने हेतु ही उप-अंतरालों की संख्या सम होनी चाहिए — परंतु वह नियम को यहाँ प्रयोज्य बनाता है, यथार्थ नहीं।

  5. y(0) = 1 सहित y′ = y पर h = 0.1 के साथ आयलर विधि लगाई जाती है। एक चरण के बाद y है:

    1. 1.10517
    2. 1.1
    3. 1.01
    4. 1.2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1.1

    y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀) = 1 + 0.1 × 1 = 1.1। विकल्प A यथार्थ हल e0.1 ≈ 1.10517 है, और सर्वाधिक सरल ODE पर एक ही चरण के बाद लगभग 0.005 का अंतर प्रश्न का मुद्दा है: आयलर प्रथम कोटि की है, अतः उसकी त्रुटि केवल h के अनुपात में घटती है, और उसे यहाँ यथार्थ मान के साथ रखा गया है यह जाँचने हेतु कि आपने सत्य के बजाय विधि का निर्गम बताया। h आधा करके 0.05 और दो चरण लेने पर 1.1025 मिलता है, निकट पर अभी भी कम — वह धीमी पहुँच ही प्रथम-कोटि यथार्थता का अर्थ है।

  6. शास्त्रीय चतुर्थ-कोटि रुंगे–कुट्टा विधि को प्रति चरण आवश्यक है:

    1. एक फलन-मूल्यांकन
    2. दो फलन-मूल्यांकन
    3. चार फलन-मूल्यांकन
    4. एक फलन-मूल्यांकन व एक अवकलज-मूल्यांकन
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — चार फलन-मूल्यांकन

    RK4 प्रति चरण चार प्रवणताएँ k₁ से k₄ निकालती है और उन्हें भारित औसत (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6 में मिलाती है, अतः उसे चार फलन-मूल्यांकन चाहिए। विकल्प A आयलर है और विकल्प B संशोधित आयलर या ह्यून विधि, जो द्वितीय कोटि की है। विकल्प D किसी ODE-हलकर्ता के बजाय न्यूटन–रैफ़्सन का वर्णन करता है — और ध्यान दें कि RK4, प्रत्येक रुंगे–कुट्टा विधि की तरह, f के अवकलज निकालने से जान-बूझकर बचती है: अतिरिक्त प्रवणताएँ सस्ती हैं, अतिरिक्त अवकलज नहीं, और यही सौदा इस परिवार का पूरा अभिकल्प-विचार है।

  7. एडम्स–बैशफ़र्थ जैसी बहु-चरण विधि अकेली प्रारंभिक शर्त से आरंभ नहीं हो सकती क्योंकि:

    1. उसे कई पूर्व बिंदु चाहिए, जो किसी एकल-चरण विधि से देने पड़ते हैं
    2. वह छोटे चरण-आकारों हेतु अस्थायी है
    3. उसे f का अवकलज चाहिए
    4. वह केवल रैखिक अवकल समीकरणों हेतु चलती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसे कई पूर्व बिंदु चाहिए, जो किसी एकल-चरण विधि से देने पड़ते हैं

    बहु-चरण सूत्र yn+1 को कई पूर्ववर्ती बिंदुओं के y से निकालता है, अतः आरंभ में वे पूर्ववर्ती बिंदु अभी विद्यमान ही नहीं होते। उन्हें RK4 जैसी एकल-चरण विधि से उत्पन्न — प्रारंभ — कराना पड़ता है, जिसके बाद बहु-चरण विधि कार्यभार ले लेती है और प्रति चरण सस्ती होती है क्योंकि वह पहले निकाली प्रवणताओं का पुनः प्रयोग करती है। विकल्प B सामान्य स्थायित्व-चित्र उलट देता है, और विकल्प C न्यूटन–रैफ़्सन का वर्णन करता है। यही एकल-चरण बनाम बहु-चरण भेद वह है जिसे पाठ्यक्रम का वाक्यांश "एकल व बहु-चरण विधियाँ" नामित करता है, और वह गणना से कहीं अधिक बार संकल्पना के रूप में पूछा जाता है।

  8. अंतराल [1, 2] पर f(x) = x³ − x − 1 पर द्विभाजन विधि लगाई जाती है। दो पुनरावृत्तियों के बाद कोष्ठकित अंतराल की चौड़ाई _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    द्विभाजन रचना से ही प्रत्येक पुनरावृत्ति में अंतराल आधा करता है, अतः दो के बाद चौड़ाई (2 − 1)/2² = 0.25 है — और यह कहने हेतु किसी फलन-मान की आवश्यकता नहीं हुई। अभिलेख हेतु कोष्ठक ये हैं: f(1) = −1 व f(2) = 5 चिह्न-परिवर्तन देते हैं; मध्य-बिंदु 1.5 पर f = 0.875 > 0, अतः कोष्ठक [1, 1.5] बनता है; अगले मध्य-बिंदु 1.25 पर f = −19/64 ≈ −0.297 < 0, अतः कोष्ठक [1.25, 1.5] बनता है, चौड़ाई 0.25, जैसा पूर्वानुमानित था। यही पूर्वानुमेयता द्विभाजन का पूरा विक्रय-बिंदु है: आप विधि चलाने से पहले त्रुटि-सीमा बता सकते हैं, जो कोई तेज़ विधि करने नहीं देती।

  9. सिम्पसन के 1/3 नियम के विषय में निम्नलिखित में कौन-से कथन सही हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. उसे उप-अंतरालों की संख्या सम चाहिए
    2. उसकी त्रुटि h⁴ कोटि की है
    3. वह किसी भी घन बहुपद का समाकलन यथार्थ करता है
    4. उसे समाकल्य का अवकलज चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसे उप-अंतरालों की संख्या सम चाहिए; B — उसकी त्रुटि h⁴ कोटि की है; C — वह किसी भी घन बहुपद का समाकलन यथार्थ करता है

    पहले तीन सही हैं और वे तीन पृथक तथ्य नहीं, परस्पर जुड़े हैं। नियम साझा सिरों के साथ तीन-तीन बिंदु लेता है, अतः उप-अंतरालों की संख्या सम होनी चाहिए — विकल्प A। वह प्रत्येक त्रिक से परवलय फिट करता है, और घन त्रुटि-पद युग्म पर सममिति से निरस्त हो जाता है, इसीलिए वह घन बहुपदों हेतु यथार्थ है — विकल्प C — और इसीलिए उसकी त्रुटि h³ के बजाय h⁴ कोटि की है — विकल्प B। केवल विकल्प D असत्य है: संख्यात्मक समाकलन नियम नोडों पर फलन-मानों का प्रयोग करते हैं और अवकलज का कभी नहीं, और ठीक यही उन्हें ऐसे सारणीबद्ध आँकड़ों पर प्रयोज्य बनाता है जिनके पीछे कोई सूत्र नहीं। ध्यान दें कि पूरा समुच्चय बिना किसी अंकगणित के सिद्धांत से तय हो जाता है, और यही गुण-प्रश्नों को इस प्रकरण के सबसे सस्ते अंक बनाता है।