प्रायिकता व सांख्यिकी — यादृच्छिक चर, पाँच बंटन व बेज़

विद्यालयी प्रायिकता परिणाम गिनती है; GATE की प्रायिकता उनका वर्णन यादृच्छिक चर से करती है, और यही ढाँचे का परिवर्तन पूरी कठिनाई है। जब कोई राशि यादृच्छिक चर बन जाती है तो आप "कितने तरीके" पूछना छोड़ देते हैं और उसके विषय में तीन प्रश्न पूछने लगते हैं — वह कौन मान ले सकती है, किन प्रायिकताओं से, और उसका माध्य व प्रसरण क्या है — और इस प्रकरण का प्रत्येक प्रश्न इन तीनों में से एक है। लगभग सब कुछ पाँच बंटनों को उनके माध्य व प्रसरण से जानने में सिमट जाता है, और उन्हें समय के दबाव में व्युत्पन्न करने के बजाय तालिका के रूप में सीखना उपयोगी है: द्विपद का माध्य np व प्रसरण np(1 − p); प्वासों का माध्य λ व प्रसरण λ, बराबर, जो उसका हस्ताक्षर है; [a, b] पर एकसमान का माध्य (a + b)/2 व प्रसरण (b − a)²/12; दर λ वाले चरघातांकी का माध्य 1/λ व प्रसरण 1/λ²; प्रसामान्य अपने माध्य व प्रसरण को अपने ही दो प्राचलों के रूप में वहन करता है। प्रश्न किसका वर्णन कर रहा है यह पहचानना आधे से अधिक काम है, और संकेत संगत हैं: दो-दो परिणामों वाले नियत संख्या के स्वतंत्र प्रयास द्विपद हैं, नियत अंतराल में घटनाओं की गिनती प्वासों, अगली घटना तक प्रतीक्षा-काल चरघातांकी, और मापन-त्रुटि प्रसामान्य। दो और विचार अपना मूल्य चुकाते हैं। बेज़ प्रमेय किसी भी ऐसे प्रश्न से निकलने का एकमात्र विश्वसनीय मार्ग है जो एक दिशा में सप्रतिबंध प्रायिकताएँ देकर दूसरी दिशा पूछता है — यह दोषपूर्ण वस्तु किस मशीन ने बनाई, यह धनात्मक परीक्षण किस रोग का संकेत है — और यांत्रिक मार्ग यह है कि पहले साक्ष्य की कुल प्रायिकता निकालें और उसे हर बनाएँ। तथा प्रसरण E[X²] − (E[X])² से निकाला जाता है, हाथ से विचलनों का औसत लेकर कभी नहीं; निष्पक्ष पासे हेतु वह 91/6 − 12.25 = 35/12 ≈ 2.917 है, छह के बजाय दो पंक्तियों में।

पाँच बंटन, व प्रत्येक को कैसे पहचानें

अत्यंत दृढ़ता से जानने योग्य तालिका
बंटनमाध्य व प्रसरणप्रश्न में संकेत
द्विपद (n, p)np तथा np(1 − p)नियत संख्या के स्वतंत्र प्रयास, प्रत्येक के दो परिणाम। n = 5, p = 0.2 से माध्य 1 व प्रसरण 0.8।
प्वासों (λ)λ तथा λ — बराबरसमय या स्थान के नियत अंतराल में घटनाओं की गिनती, कोई नियत n नहीं। माध्य = प्रसरण उसका हस्ताक्षर है, और दोनों बताने वाला प्रश्न परिवार की पुष्टि कर रहा है।
एकसमान [a, b](a + b)/2 तथा (b − a)²/12संतत परिसर पर समसंभाव्य। [0, 6] पर प्रसरण 36/12 = 3 है, 3.5 या 6 नहीं — 12 ही वह भाग है जो ग़लत याद रहता है।
चरघातांकी (दर λ)1/λ तथा 1/λ²अगली घटना तक प्रतीक्षा-काल। P(X > t) = e−λt, अतः माध्य 10 पर 10 से अधिक होने की प्रायिकता e⁻¹ ≈ 0.368 है — और माध्य से अधिक होने हेतु वह माध्य जो भी हो, वही रहती है।
प्रसामान्य (μ, σ²)μ तथा σ²मापन-त्रुटि, या अनेक छोटे स्वतंत्र प्रभावों का योग। 68–95–99.7 नियम अधिकांश प्रश्नों का उत्तर तालिका के बिना दे देता है।
🧠 माध्य 2 वाला प्वासों: पूरी गणना e⁻² है
P(X = k) = e−λλk/k!, अतः P(X = 0) = e−λ — k = 0 पर क्रमगुणित व घात दोनों ढह जाते हैं। λ = 2 पर वह e⁻² ≈ 0.1353 है। वही लघु-मार्ग "कम-से-कम एक" को भी समेटता है, जो 1 − e−λ ≈ 0.8647 है, और प्रश्न प्रायः उसी रीति से पूछे जाते हैं ठीक इसलिए कि पूरक तेज़ मार्ग है। ध्यान दें कि λ को प्रश्न के अंतराल से मिलना चाहिए: यदि 2 प्रति घंटा माध्य है और प्रश्न आधे घंटे का पूछे, तो λ, 1 बन जाता है।
🎯 चरघातांकी बंटन की स्मृति क्यों नहीं होती
P(X > s + t | X > s) = e−λ(s+t)/e−λs = e−λt = P(X > t)। जो पुरज़ा s घंटे पहले ही जी चुका है उसके अगले t घंटे जीने की संभावना ठीक उतनी ही है जितनी नए की — बंटन अपना अतीत भूल जाता है। इसीलिए चरघातांकी स्मृति-रहित विफलता-प्रक्रिया का मानक निदर्श है और, महत्वपूर्ण रूप से, इसीलिए वह क्षय हेतु ग़लत निदर्श है, जहाँ जीवित रहना विफलता को समसंभाव्य के बजाय अधिक संभाव्य बनाता है। GATE इसे संख्यात्मक मान पूछने से कम नहीं, वैचारिक एक-अंक प्रश्न के रूप में पूछता है।

प्रत्याशा व प्रसरण, तेज़ मार्ग

  • Var(X) = E[X²] − (E[X])²। निष्पक्ष पासे हेतु E[X] = 3.5 व E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6, अतः प्रसरण 91/6 − 12.25 = 35/12 ≈ 2.917 तथा मानक विचलन लगभग 1.708 है। एक-एक करके वर्ग-विचलनों का औसत लेने पर छह गुना काम के बाद वही संख्या मिलती है।
  • संतत घनत्व का समाकल 1 होना चाहिए, और अज्ञात अचर सदा इसी से मिलता है। [0, 2] पर f(x) = kx हेतु ∫₀² kx dx = 2k = 1 से k = 0.5, और तब E[X] = ∫₀² x·0.5x dx = 4/3 ≈ 1.333। ध्यान दें कि माध्य मध्य-बिंदु 1 के दाईं ओर बैठता है, जैसा x के साथ बढ़ते घनत्व हेतु होना ही चाहिए।
  • प्रसरण रैखिक नहीं है। Var(aX + b) = a²·Var(X), अतः स्थानांतरण b पूर्णतः लुप्त हो जाता है और मापक का वर्ग हो जाता है। इसके विपरीत माध्य रैखिक है: E[aX + b] = a·E[X] + b। दोनों नियमों को मिला देना दो-अंक प्रश्न खोने का विश्वसनीय उपाय है।
  • विषम-वितरित समुच्चय हेतु माध्य, माध्यिका व बहुलक पृथक हो जाते हैं। 5, 8, 8, 11, 13 हेतु माध्य 9, माध्यिका 8 व बहुलक 8 है: एक बड़ा मान माध्य को माध्यिका से ऊपर खींच देता है, और दक्षिण-विषमता का अर्थ यही है। असंतुलित आँकड़ा-समुच्चय देने वाला प्रश्न प्रायः ठीक यही क्रम लक्ष्य कराना चाहता है।

बेज़ व प्रतिचयन प्रमेय

बेज़ के प्रश्न अपने आकार से पहचाने जाते हैं: आपको प्रत्येक कारण के दिए होने पर साक्ष्य की प्रायिकता बताई जाती है, और साक्ष्य के दिए होने पर कारण की प्रायिकता पूछी जाती है। यांत्रिक मार्ग के दो चरण हैं, और उन्हें इसी क्रम में करना भ्रम हटा देता है।

  1. साक्ष्य की कुल प्रायिकता निकालें, प्रत्येक कारण हेतु एक गुणनफल जोड़ते हुए। दो मशीनें उत्पादन का 60% व 40% देती हैं और उनकी दोष-दरें 2% व 5% हैं: P(दोषपूर्ण) = 0.60×0.02 + 0.40×0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032।
  2. जिस एक गुणनफल की चिंता है उसे उस कुल से भाग दें। P(मशीन 1 | दोषपूर्ण) = 0.012/0.032 = 0.375। परिणाम पर ध्यान दें: मशीन 1 अधिकांश उत्पादन करती है पर दोष का कम संभाव्य स्रोत है, क्योंकि उसकी दोष-दर मशीन 2 की आधी से भी कम है — और 0.60 उत्तर देने वाले अभ्यर्थी ने पश्च के स्थान पर पूर्व प्रायिकता बता दी है।
⚠️ प्रतिचयन प्रमेय प्रतिदर्श के माध्य के विषय में हैं, प्रतिदर्श के नहीं
केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि n स्वतंत्र प्रेक्षणों का प्रतिदर्श माध्य बड़े n हेतु लगभग प्रसामान्य होता है, जिसका माध्य समष्टि के समान व प्रसरण σ²/n होता है — अतः उसका मानक विचलन σ/√n, अर्थात् मानक त्रुटि है। दो परिणाम परीक्षा-योग्य हैं। अधिक प्रेक्षण लेने से व्यक्तिगत प्रेक्षण प्रसामान्य नहीं हो जाते; केवल उनका माध्य प्रसामान्य होता है। और यथार्थता n के बजाय √n के साथ सुधरती है: प्रतिदर्श-आकार चौगुना करना मानक त्रुटि आधी करता है, इसीलिए "त्रुटि आधी करने हेतु कितने प्रतिदर्श" वाले प्रश्न का उत्तर दो के बजाय चार है।

मुख्य बिंदु

  • पाँच बंटनों को माध्य व प्रसरण की तालिका के रूप में सीखें: np व np(1−p); λ व λ; (a+b)/2 व (b−a)²/12; 1/λ व 1/λ²; μ व σ²।
  • संकेत से परिवार पहचानें: नियत प्रयास द्विपद, अंतराल में गिनती प्वासों, प्रतीक्षा-काल चरघातांकी, मापन-त्रुटि प्रसामान्य।
  • समान माध्य व प्रसरण प्वासों का हस्ताक्षर है, और P(X = 0) केवल e−λ है — λ को प्रश्न में नामित अंतराल के अनुसार पुनः मापित करके।
  • चरघातांकी बंटन स्मृति-रहित है: s घंटे जी चुके पुरज़े के अगले t घंटे चलने की संभावना नए जितनी ही है। अतः वह क्षय हेतु ग़लत निदर्श है।
  • Var(X) = E[X²] − (E[X])² का प्रयोग करें, और स्मरण रखें Var(aX + b) = a²Var(X) — स्थानांतरण लुप्त हो जाता है जबकि मापक का वर्ग होता है।
  • बेज़ के प्रश्न में पहले साक्ष्य की कुल प्रायिकता निकालें और उसे हर बनाएँ। पश्च के स्थान पर पूर्व प्रायिकता बताना मानक त्रुटि है।
  • केंद्रीय सीमा प्रमेय प्रतिदर्श माध्य को प्रसामान्य करता है, प्रेक्षणों को नहीं, और यथार्थता √n के साथ सुधरती है — मानक त्रुटि आधी करने हेतु प्रतिदर्श चौगुना करें।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी द्विपद यादृच्छिक चर हेतु n = 5 व p = 0.2 है। उसका प्रसरण है:

    1. 1.0
    2. 0.8
    3. 0.2
    4. 4.0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.8

    प्रसरण np(1 − p) = 5 × 0.2 × 0.8 = 0.8 है। विकल्प A माध्य, np = 1, है, और प्रसरण के प्रश्न में माध्य को भ्रामक विकल्प देना इसका सबसे आम रूप है — पढ़ें कि क्या पूछा गया। उपयोगी संरचनात्मक जाँच: द्विपद चर हेतु प्रसरण सदा माध्य से छोटा होता है, क्योंकि वह माध्य को (1 − p) से गुणा है जो 1 से कम है। अतः np से बड़ा विकल्प, जैसे 4.0, तुरंत हटाया जा सकता है।

  2. किसी सहायता-केंद्र पर कॉल प्वासों प्रक्रिया के अनुसार आती हैं, माध्य 2 कॉल प्रति घंटा। किसी दिए घंटे में कोई कॉल न आने की प्रायिकता लगभग है:

    1. 0.135
    2. 0.271
    3. 0.500
    4. 0.865
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.135

    λ = 2 सहित P(X = k) = e−λλk/k!, और k = 0 पर λk व k! दोनों 1 हैं, अतः पूरा व्यंजक केवल e⁻² ≈ 0.1353 है। विकल्प D पूरक, 1 − e⁻² ≈ 0.865 है, जो "कम-से-कम एक कॉल" का उत्तर देता है — यह प्रश्न भी उतनी ही बार पूछा जाता है, और इसीलिए प्रश्न दो बार पढ़ना चाहिए। विकल्प B, 2e⁻² ≈ 0.271 है, ठीक एक कॉल की प्रायिकता। तीनों संख्याएँ उसी दो-सेकंड की गणना से आती हैं, अतः यहाँ अंक पूर्णतः उत्तर को प्रश्न से मिलाने में हैं।

  3. कोई यादृच्छिक चर [0, 6] पर एकसमान बंटित है। उसका प्रसरण है:

    1. 3
    2. 3.5
    3. 6
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 3

    [a, b] पर एकसमान बंटन का प्रसरण (b − a)²/12 = 36/12 = 3 है। माध्य भी (a + b)/2 = 3 है, जो इन विशिष्ट सीमाओं पर संयोग है और सामान्य तथ्य नहीं — [0, 4] पर माध्य 2 है जबकि प्रसरण 16/12 = 4/3। विकल्प B निष्पक्ष पासे का माध्य है और यहाँ उसका कोई संबंध नहीं; विकल्प D भाजक 12 को उत्तर मान लेना है, जो जितना होना चाहिए उससे अधिक बार होता है। यदि सूत्र फिसल जाए तो व्युत्पन्न करें: E[X²] = ∫₀⁶ x²/6 dx = 12, और 12 − 3² = 3।

  4. किसी पुरज़े का जीवनकाल 10 घंटे माध्य सहित चरघातांकी बंटित है। उसके 10 घंटे से अधिक चलने की प्रायिकता लगभग है:

    1. 0.5
    2. 0.368
    3. 0.632
    4. 0.1
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.368

    माध्य 10 का अर्थ दर λ = 1/10, और P(X > t) = e−λt, अतः P(X > 10) = e−1 ≈ 0.368। विकल्प A यह सहज बोध है कि पुरज़े का अपने माध्य जीवनकाल से आगे जाना या न जाना समसंभाव्य होना चाहिए, और वह ग़लत है क्योंकि चरघातांकी बंटन विषम है — माध्य माध्यिका से ऊपर बैठता है, जो (ln 2)/λ ≈ 6.93 घंटे है। विकल्प C पूरक है, 10 घंटे के भीतर विफल होने की प्रायिकता। साथ रखने योग्य: किसी भी चरघातांकी बंटन हेतु माध्य से अधिक होने की प्रायिकता e⁻¹ है, स्वयं माध्य से निरपेक्ष।

  5. मशीनें M1 व M2 किसी कारखाने का 60% व 40% उत्पादन करती हैं, दोष-दर क्रमशः 2% व 5%। यादृच्छिक रूप से निकाली वस्तु दोषपूर्ण पाई जाती है। उसके M1 से आने की प्रायिकता है:

    1. 0.600
    2. 0.375
    3. 0.625
    4. 0.012
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.375

    पहले दोष की कुल प्रायिकता: 0.60 × 0.02 + 0.40 × 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032। फिर P(M1 | दोषपूर्ण) = 0.012/0.032 = 0.375। विकल्प A, M1 की पूर्व प्रायिकता है, जो भिन्न प्रश्न का उत्तर है — साक्ष्य को उसे हिलाना चाहिए, और यहाँ वह उसे नीचे ले जाता है, क्योंकि M1 स्वच्छ मशीन है। विकल्प C, P(M2 | दोषपूर्ण) = 0.020/0.032 = 0.625 है, और ध्यान दें कि दोनों पश्च प्रायिकताओं का योग ठीक 1 है। विकल्प D अकेला अंश है, जो पूछी गई सप्रतिबंध प्रायिकता के बजाय M1 तथा दोषपूर्ण की संयुक्त प्रायिकता है।

  6. आँकड़ा-समुच्चय 5, 8, 8, 11, 13 हेतु (माध्य − माध्यिका) का मान है:

    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. −1
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1

    माध्य (5 + 8 + 8 + 11 + 13)/5 = 45/5 = 9 है। समुच्चय पहले से क्रमबद्ध है और उसमें पाँच मान हैं, अतः माध्यिका तीसरा, 8 है। अतः माध्य − माध्यिका = 9 − 8 = 1। बहुलक भी 8 है, क्योंकि 8 दो बार आता है। विकल्प A वह है जो सममित समुच्चय देता; यह 13 द्वारा दाईं ओर खिंचा है, इसीलिए माध्य माध्यिका से ऊपर बैठता है — और वह संबंध, दक्षिण-विषम समुच्चय हेतु माध्य माध्यिका से ऊपर, स्वयं वैचारिक प्रश्न के रूप में परीक्षा-योग्य है।

  7. किसी संतत यादृच्छिक चर का घनत्व [0, 2] पर f(x) = kx तथा अन्यत्र शून्य है। तब k व E[X] हैं:

    1. k = 0.5, E[X] = 4/3
    2. k = 0.5, E[X] = 1
    3. k = 1, E[X] = 4/3
    4. k = 2, E[X] = 2/3
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — k = 0.5, E[X] = 4/3

    घनत्व का अपने आधार पर समाकल 1 होता है: ∫₀² kx dx = k·[x²/2]₀² = 2k = 1, अतः k = 0.5। तब E[X] = ∫₀² x·(0.5x) dx = 0.5·[x³/3]₀² = 0.5 × 8/3 = 4/3 ≈ 1.333। विकल्प B सही k को अंतराल के मध्य-बिंदु से युग्मित करता है, जो माध्य केवल एकसमान घनत्व हेतु होता — यहाँ घनत्व x के साथ बढ़ता है, अतः माध्य 1 के दाईं ओर होना चाहिए, और यह देख लेना B को बिना किसी समाकलन के हटा देता है। यह सामान्यीकरण-फिर-समाकलन का युग्म प्रत्येक संतत-घनत्व प्रश्न का मानक दो-चरण है।

  8. निष्पक्ष छह-फलकीय पासे के एक फेंक में आई संख्या का प्रसरण _____ है (तीन दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.917

    Var(X) = E[X²] − (E[X])² का प्रयोग करें। यहाँ E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5 तथा E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6 ≈ 15.1667, अतः प्रसरण 15.1667 − 12.25 = 35/12 ≈ 2.917 तथा मानक विचलन लगभग 1.708 है। हाथ से छह वर्ग-विचलनों का औसत लेने पर छह गुना श्रम में वही उत्तर मिलता है, जो तीन-घंटे के पेपर में महत्व रखता है। ध्यान दें कि यह संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न है, अतः ऋणात्मक अंकन लागू नहीं और मान सदा भरा जाना चाहिए।

  9. X प्राचल λ > 0 सहित प्वासों यादृच्छिक चर है। निम्नलिखित में कौन-से सत्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. उसका माध्य व प्रसरण बराबर हैं
    2. P(X = 0) = e−λ
    3. वह संतत बंटन है
    4. वह केवल अनृणात्मक पूर्णांक मान लेता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसका माध्य व प्रसरण बराबर हैं; B — P(X = 0) = e^{−λ}; D — वह केवल अनृणात्मक पूर्णांक मान लेता है

    चारों में तीन सत्य हैं। माध्य व प्रसरण दोनों λ हैं, जो प्वासों का हस्ताक्षर है और प्रायः यही वह रीति है जिससे प्रश्न बताता है कि वह कौन-सा बंटन मान रहा है — विकल्प A। P(X = k) = e−λλk/k!, k = 0 पर e−λ तक सिमट जाता है, क्योंकि λ⁰ व 0! दोनों 1 हैं — विकल्प B। और प्वासों चर घटनाएँ गिनता है, अतः उसके मान 0, 1, 2, … हैं — विकल्प D। केवल विकल्प C असत्य है: गिनती विविक्त होती है, और संतत वह चरघातांकी बंटन है — प्वासों घटनाओं के बीच का प्रतीक्षा-काल। दोनों प्रायः एक ही प्रश्न में रखे जाते हैं ठीक इसलिए कि वे एक ही प्रक्रिया का विपरीत सिरों से वर्णन करते हैं।