सम्मिश्र चर — वैश्लेषिक फलन, कौशी के प्रमेय व अवशेष

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. फलन f(z) = z̄ (z का सम्मिश्र संयुग्मी) है:

   1. हर स्थान पर वैश्लेषिक
   2. केवल मूल बिंदु पर वैश्लेषिक
   3. कहीं वैश्लेषिक नहीं
   4. मूल बिंदु को छोड़कर हर स्थान पर वैश्लेषिक
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — कहीं वैश्लेषिक नहीं

   z̄ = x − iy लिखें, अतः u = x व v = −y। तब uₓ = 1 जबकि v_y = −1, और पहला कौशी–रीमान समीकरण uₓ = v_y प्रत्येक बिंदु पर विफल है — ऐसा कोई बिंदु नहीं जहाँ 1 = −1 हो। अतः फलन कहीं वैश्लेषिक नहीं है। ध्यान दें यह कितना प्रति-सहज है और इसीलिए यह बारंबार पूछा जाता है: u व v दो वास्तविक चरों के फलन के रूप में जितने चिकने हो सकते हैं उतने हैं, अनंततः अवकलनीय, और उसमें से कुछ सहायक नहीं। वैश्लेषिकता इस बात की शर्त है कि वास्तविक व काल्पनिक भाग कैसे युग्मित हैं, यह नहीं कि प्रत्येक अलग से कितना चिकना है।

2. वृत्त |z| = 1 पर वामावर्त लिया ∮ dz/z का मान है:

   1. 0
   2. 2πi
   3. 2π
   4. πi
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 2πi

   समाकल्य का z = 0 पर साधारण ध्रुव है, जिसे परिपथ घेरता है, अतः कौशी का समाकल प्रमेय लागू नहीं होता और उत्तर शून्य नहीं है। या f(z) = 1 सहित समाकल सूत्र का प्रयोग करें, जो 2πi·f(0) = 2πi देता है, या z = e^iθ प्रतिस्थापित करें: dz = ie^iθdθ और समाकल ∫₀^2π i dθ = 2πi बन जाता है। विकल्प A वह उत्तर है जब ध्रुव परिपथ के बाहर हो, और विकल्प C, i छोड़ देता है — यह प्रकरण का सर्वाधिक प्रयुक्त परिणाम है, अतः यह निश्चित होना उपयोगी है कि उत्तर काल्पनिक है।

3. वृत्त |z| = 1/2 पर ∮ dz/(z − 1) का मान है:

   1. 2πi
   2. 0
   3. πi
   4. −2πi
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 0

   एकमात्र विचित्रता z = 1 पर है, और परिपथ मूल बिंदु के चारों ओर त्रिज्या 1/2 का वृत्त है, जो केवल |z| = 0.5 तक पहुँचता है। ध्रुव बाहर है, अतः समाकल्य परिपथ पर व उसके भीतर वैश्लेषिक है और कौशी का समाकल प्रमेय 0 देता है। विकल्प A उसी समाकल्य हेतु |z| = 2 पर उत्तर है, जहाँ ध्रुव घिरा है — समाकल्य दोनों प्रश्नों में समान है और उत्तर पूर्णतः भिन्न, और परीक्षक ठीक यही बात कह रहे हैं। किसी सूत्र तक पहुँचने से पहले सदा ध्रुवों की स्थिति परिपथ के सापेक्ष निर्धारित करें।

4. z = i पर f(z) = 1/(z² + 1) का अवशेष है:

   1. −i/2
   2. i/2
   3. 1/2
   4. 2i
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — −i/2

   हर का गुणनखंड (z − i)(z + i) करें, अतः z = i साधारण ध्रुव है। अवशेष lim(z→i) (z − i)·f(z) = z = i पर मूल्यांकित 1/(z + i) है, जो 1/(2i) है। ऊपर-नीचे i से गुणा करके परिमेय बनाएँ: i/(2i²) = i/(−2) = −i/2। विकल्प B उस अंतिम चिह्न-चरण के बिना उत्तर है, और लगभग प्रत्येक त्रुटि इस प्रश्न में वहीं होती है — 1/i, −i है, i नहीं। जाँच के रूप में, तब अवशेष प्रमेय केवल z = i को घेरने वाले परिपथ पर ∮f dz = 2πi·(−i/2) = π देता है, एक धनात्मक वास्तविक संख्या, जो सही चिह्न वाले अवशेष से यहाँ मिलनी ही चाहिए।

5. वृत्त |z| = 1 पर ∮ e^z/z dz का मान है:

   1. 2πi·e
   2. 2πi
   3. 0
   4. 2π
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 2πi

   कौशी का समाकल सूत्र है ∮ f(z)/(z − a) dz = 2πi·f(a)। यहाँ f(z) = e^z है, जो पूर्ण फलन है, तथा a = 0, अतः समाकल 2πi·e⁰ = 2πi·1 = 2πi है। विकल्प A, f का मूल्यांकन ध्रुव के बजाय z = 1 पर करता है — सूत्र f को विचित्रता पर माँगता है, और परिपथ की त्रिज्या कभी नहीं आती। विकल्प C हेतु समाकल्य का भीतर वैश्लेषिक होना आवश्यक होता, परंतु e^z/z का मूल बिंदु पर साधारण ध्रुव है, जो पूर्णतः घिरा है।

6. फलन f(z) = (z + 1)/[z²(z − 3)] का z = 0 पर ध्रुव किस कोटि का है:

   1. 1
   2. 2
   3. 3
   4. वह विलोपनीय विचित्रता है, ध्रुव नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 2

   कोटि हर से पढ़ें: z का वर्ग आया है और अंश z + 1, z = 0 पर 1 के बराबर है, अतः कुछ निरस्त नहीं होता और ध्रुव की कोटि 2 है। दूसरी विचित्रता, z = 3 पर, साधारण है। विकल्प D हेतु अंश का z = 0 पर कम-से-कम द्वितीय कोटि तक लुप्त होना आवश्यक होता, और वह वहाँ लुप्त होता ही नहीं। कोटि लेबल के रूप में नहीं, व्यावहारिक रूप से महत्व रखती है: इस द्विक ध्रुव पर अवशेष हेतु सीमा लेने से पहले z²f(z) का एक बार अवकलन आवश्यक है, जबकि z = 3 का साधारण ध्रुव सीधे प्रतिस्थापन से हल हो जाता है।

7. यदि u = x² − y² किसी वैश्लेषिक फलन f(z) का वास्तविक भाग हो, तो f(z) है:

   1. z² (एक योज्य अचर तक)
   2. z̄²
   3. 2xy
   4. ऐसा कोई वैश्लेषिक फलन विद्यमान नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — z² (एक योज्य अचर तक)

   पहले जाँचें कि u किसी वैश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग हो सकता है या नहीं: uₓₓ + u_yy = 2 + (−2) = 0, अतः u प्रसंवादी है और विकल्प D हट जाता है। अब कौशी–रीमान समीकरणों से v प्राप्त करें: v_y = uₓ = 2x से v = 2xy + g(x), तथा vₓ = −u_y = 2y से g′(x) = 0। अतः v = 2xy और f = (x² − y²) + i(2xy) = z², एक योज्य अचर तक जिसे शर्तें निर्धारित नहीं कर सकतीं। विकल्प C अकेला v है, जो वास्तविक फलन है और f नहीं हो सकता; विकल्प B कौशी–रीमान परीक्षण में विफल होता है, जैसा z̄ का कोई भी फलन होता है।

8. f(z) = z/[(z − 1)(z − 2)] के सभी ध्रुवों पर अवशेषों का योग _____ है।

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

   उत्तर देखें

   उत्तर: 1

   दोनों ध्रुव साधारण हैं। z = 1 पर अवशेष z = 1 पर मूल्यांकित z/(z − 2), अर्थात् 1/(−1) = −1 है। z = 2 पर वह z = 2 पर z/(z − 1), अर्थात् 2/1 = 2 है। योग −1 + 2 = 1 है। अतः दोनों को घेरने वाला परिपथ, जैसे |z| = 3, ∮f dz = 2πi·1 = 2πi देता है, जबकि केवल z = 1 को घेरने वाला परिपथ, जैसे |z| = 1.5, 2πi·(−1) = −2πi देता है। दोनों उत्तर परिमाण के साथ चिह्न में भी भिन्न हैं, इसीलिए परिपथ को फलन जितनी ही सावधानी से पढ़ना पड़ता है। संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न होने से ग़लत प्रविष्टि पर कुछ नहीं जाता।

9. निम्नलिखित में कौन-से फलन सम्मिश्र तल के प्रत्येक बिंदु पर वैश्लेषिक हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

   1. e^z
   2. 1/z
   3. z̄
   4. z²
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — e^{z}; D — z²

   e^z तथा z² पूर्ण फलन हैं — तल के प्रत्येक बिंदु पर वैश्लेषिक — अतः विकल्प A व D सही हैं। विकल्प B ठीक एक बिंदु पर विफल होता है: 1/z, z = 0 को छोड़कर हर स्थान पर वैश्लेषिक है, जहाँ उसका साधारण ध्रुव है, और इससे "प्रत्येक बिंदु पर" असत्य है, यद्यपि फलन लगभग हर स्थान पर वैश्लेषिक है। विकल्प C प्रत्येक बिंदु पर विफल होता है, क्योंकि z̄ = x − iy से uₓ = 1 जबकि v_y = −1 मिलता है और पहला कौशी–रीमान समीकरण कभी लागू नहीं होता। इस युग्म को युग्म के रूप में देखना उपयोगी है: B व C वे दो तरीके हैं जिनसे फलन पूर्ण होने में विफल हो सकता है — एक बुरा बिंदु, या एक भी अच्छा बिंदु न होना।