अवकल समीकरण — उच्च कोटि, आयलर–कौशी, लाप्लास व आंशिक अवकल समीकरण

अचर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण अभियांत्रिकी गणित की सबसे मित्रवत् वस्तु है, क्योंकि उसे हल करना वास्तव में कलन ही नहीं है — वह बहुपद के मूल खोजना है। प्रत्येक अवकलज d/dt को प्रतीक m से बदलें, बने सहायक समीकरण को हल करें, और मूलों से हल पढ़ लें: भिन्न वास्तविक मूल चरघातांकी देते हैं, पुनरावृत्त मूल उनमें एक को t से गुणा करता है, और सम्मिश्र युग्म eat(A cos bt + B sin bt) देता है। समघात स्थिति हेतु यही पूरी विधि है, और यह यांत्रिक है जब आप स्वीकार कर लें कि काम बहुपद कर रहा है। दो संरचनात्मक तथ्य किसी भी तकनीक से अधिक अंक बचाते हैं। पहला, n-कोटि समीकरण का व्यापक हल ठीक n स्वेच्छ अचर वहन करता है — अतः द्वितीय-कोटि समस्या का वह उत्तर जिसमें एक अचर हो, कुछ और जाँचने से पहले ही ग़लत है, और यह अकेला विकल्प हटा देता है। दूसरा, प्रारंभिक-मान समस्या व सीमा-मान समस्या एक जाति नहीं हैं: IVP फलन व उसके अवकलज एक बिंदु पर नियत करती है और उसका सदा ठीक एक हल होता है, जबकि BVP दो भिन्न बिंदुओं पर मान नियत करती है और उसका एक हल, कोई हल नहीं, या अनंत हल हो सकते हैं। परीक्षक इस भेद का जान-बूझकर उपयोग करते हैं। अचर-गुणांक स्थिति के आगे दो विशेष रूप हैं जिन्हें देखते ही पहचानना चाहिए: आयलर–कौशी समीकरण, जहाँ प्रत्येक अवकलज x की मेल खाती घात से गुणित होता है और प्रतिस्थापन y = xm उसे बीजीय समीकरण बना देता है, तथा लाप्लास रूपांतरण, जो प्रारंभिक-मान समस्या को चर s में बीजगणित बनाता है, वहीं हल करता है, और वापस रूपांतरित कर देता है। GATE द्वारा दिए जाने वाले तीन आंशिक अवकल समीकरण — लाप्लास, ऊष्मा व तरंग — विविक्तकर B² − 4AC से ठीक उसी प्रकार वर्गीकृत होते हैं जैसे शांकव, और वर्गीकरण प्रायः पूरा प्रश्न ही होता है।

सारा काम सहायक समीकरण करता है

सहायक समीकरण के मूल → हल का रूप
मूलव्यापक हलहल किया उदाहरण
भिन्न वास्तविक m₁, m₂c₁em₁t + c₂em₂ty″ − 5y′ + 6y = 0 से m² − 5m + 6 = 0, मूल 2 व 3, अतः y = c₁e2t + c₂e3t।
पुनरावृत्त वास्तविक m(c₁ + c₂t)emty″ − 4y′ + 4y = 0 से (m − 2)² = 0, अतः y = (c₁ + c₂t)e2t। दूसरा अचर गुणक t ही देता है।
सम्मिश्र a ± ibeat(A cos bt + B sin bt)y″ + 4y = 0 से m = ±2i, अतः y = A cos 2t + B sin 2t — अवमंदन-रहित दोलन, क्योंकि वास्तविक भाग शून्य है।
🧠 विकल्प पढ़ने से पहले अचर गिनें
n-कोटि रैखिक समीकरण के व्यापक हल में ठीक n स्वेच्छ अचर होते हैं, और उनकी ग़लत संख्या वाला विकल्प किसी आगे के विश्लेषण के बिना ग़लत है। पुनरावृत्त-मूल स्थिति में दूसरा हल दूसरे चरघातांकी के बजाय t·emt होता है, ठीक इसलिए कि emt की दो प्रतियाँ केवल एक स्वतंत्र फलन देतीं — t वहाँ गिनती ईमानदार रखने हेतु है, याद करने योग्य कोई संकेतन नहीं।

अशून्य दाहिने पक्ष पर हल समघात हल तथा एक विशिष्ट समाकल का योग है, और विशिष्ट समाकल का अनुमान दाहिने पक्ष के आकार से होता है: बहुपद हेतु बहुपद, चरघातांकी हेतु Aekt, तथा साइन या कोसाइन दोनों में से किसी हेतु A cos ωt + B sin ωt — सदा दोनों पद, तब भी जब दाहिनी ओर एक ही आए। सावधानी माँगने वाली एकमात्र स्थिति अनुनाद है, जहाँ अनुमानित रूप पहले से समघात समीकरण का हल है; तब प्रतिस्थापन से पहले अनुमान को t से गुणा करें, ठीक जैसे पुनरावृत्त-मूल स्थिति में।

आयलर–कौशी, तथा BVP, IVP क्यों नहीं है

आयलर–कौशी समीकरण उसकी अंतर्वस्तु से नहीं, उसके प्रतिरूप से पहचाना जाता है: y″ का गुणांक x², y′ का x, y का अचर — प्रत्येक अवकलज अपनी कोटि के बराबर x की घात से युग्मित। y = xm प्रतिस्थापित करने पर वह m में बीजीय समीकरण बन जाता है। x²y″ − 3xy′ + 4y = 0 हेतु वह m(m − 1) − 3m + 4 = m² − 4m + 4 = 0, अर्थात् पुनरावृत्त मूल m = 2 है, और पुनरावृत्त-मूल नियम पूर्ववत् रूप लेता है, t के स्थान पर ln x सहित: y = (c₁ + c₂ ln x)x²।

⚠️ सीमा-मान समस्या का कोई हल हो ही नहीं सकता
y″ + y = 0 का व्यापक हल A cos x + B sin x है। प्रारंभिक शर्तें y(0) = 0, y′(0) = 1 लगाएँ और ठीक एक हल है, sin x — संतत गुणांकों वाली IVP का सदा एक ही हल होता है। अब उसके स्थान पर सीमा शर्तें y(0) = 0 व y(π) = 1 लगाएँ: पहली A = 0 कर देती है, अतः y = B sin x, और तब प्रत्येक B हेतु y(π) = B sin π = 0 ≠ 1। कोई हल नहीं है। दूसरी शर्त y(π) = 0 कर दें और प्रत्येक B चलता है — अनंत हल। वही समीकरण, तीन भिन्न परिणाम, और निर्णय पूर्णतः इससे कि शर्तें कहाँ लगाई गईं। यदि प्रश्न दो बिंदुओं का उल्लेख करे, तो अद्वितीय हल के अस्तित्व की कल्पना न करें।

लाप्लास रूपांतरण — कलन को बीजगणित बनाना

तालिका के बिना जानने योग्य रूपांतरण
f(t)F(s)टिप्पणी
11/sतथा tn देता है n!/sn+1, अतः t → 1/s²।
eat1/(s − a)स्थानांतरण नियम: f(t) को eat से गुणा करना हर स्थान पर s को s − a से बदल देता है। अतः t·e−2t का रूपांतरण 1/(s + 2)² है।
sin ωt, cos ωtω/(s² + ω²), s/(s² + ω²)साइन हेतु अंश ω, कोसाइन हेतु s — दबाव में सबसे आम रूप से उलटा जाने वाला युग्म।
f′(t)sF(s) − f(0)यही सारा मुद्दा है: प्रारंभिक शर्त अंत में लगाए जाने के बजाय बीजगणित में स्वतः प्रवेश कर जाती है।

विधि तीन चरणों में, y′ + y = 1 तथा y(0) = 0 पर। दोनों पक्षों का रूपांतरण करें: sY − 0 + Y = 1/s। बीजीय रूप से हल करें: Y = 1/[s(s + 1)]। आंशिक भिन्नों 1/s − 1/(s + 1) से प्रतिलोम लें, और y = 1 − e−t मिलता है। कहीं कोई समाकलन नहीं हुआ, और प्रारंभिक शर्त का प्रयोग अंतिम के बजाय पहली पंक्ति में हुआ। इसीलिए विच्छिन्न या आवेगी दाहिने पक्ष वाली IVP हेतु लाप्लास चुनी जाने वाली विधि है, जहाँ शास्त्रीय मार्ग को प्रत्येक अंतराल पर पृथक हल चाहिए।

तीन आंशिक अवकल समीकरण, व विविक्तकर से वर्गीकरण

द्वितीय-कोटि समीकरण A·u_xx + B·u_xy + C·u_yy + … = 0 हेतु B² − 4AC का चिह्न उसे वर्गीकृत करता है, ठीक जैसे वह शांकव को करता है। ऋणात्मक अर्थात् दीर्घवृत्तीय, शून्य अर्थात् परवलयी, धनात्मक अर्थात् अतिपरवलयी। अतः 4u_xx + 4u_xy + u_yy = 0 हेतु B² − 4AC = 16 − 16 = 0 है और वह परवलयी है, और अंकगणित ही पूरा प्रश्न है।

  • लाप्लास, u_xx + u_yy = 0 — दीर्घवृत्तीय। B² − 4AC = 0 − 4 = −4। यह स्थायी-अवस्था समीकरण है: इसमें समय नहीं आता, अतः वह संतुलन का वर्णन करता है, और उसके हल वही प्रसंवादी फलन हैं जो सदिश कलन व सम्मिश्र चर में भी आते हैं।
  • ऊष्मा, u_t = k·u_xx — परवलयी। दो स्थान-अवकलजों के सामने एक समय-अवकलज। वह अपने प्रारंभिक आँकड़ों को चिकना कर देता है और उलटा नहीं चलाया जा सकता, जो अनुत्क्रमणीयता का गणितीय रूप है।
  • तरंग, u_tt = c²·u_xx — अतिपरवलयी। दो स्थान-अवकलजों के सामने दो समय-अवकलज, अतः B² − 4AC > 0। वह विक्षोभों को परिमित चाल c पर संचारित करता है और उत्क्रमणीय है, इसीलिए वह तीक्ष्ण स्पंद को तीक्ष्ण रखता है जबकि ऊष्मा समीकरण उसे धुँधला कर देता।
🎯 चर-पृथक्करण क्यों चलता है, और कब नहीं
मान लें u(x, t) = X(x)·T(t), प्रतिस्थापित करें, और XT से भाग दें: अब प्रत्येक पद में केवल x या केवल t है। x का वह फलन जो सभी x व t हेतु t के फलन के बराबर हो, अचर ही होगा, और वही अचर पृथक्करण अचर है। इससे एक PDE दो ODE में बदल जाता है, और तब सीमा-शर्तें उस अचर को क्वांटित कर देती हैं — यहीं से आइगेन-मान समस्याएँ व फुरिये श्रेणी आती हैं। यह इसलिए चलता है कि समीकरण रैखिक व समघात है और सीमाएँ निर्देशांकों का सम्मान करती हैं; असमघात सीमा-शर्त को पहले प्रतिस्थापन से हटाना पड़ता है, और अरैखिक PDE पृथक ही नहीं होता।

मुख्य बिंदु

  • d/dt को m से बदलें और सहायक बहुपद हल करें। भिन्न मूल चरघातांकी देते हैं, पुनरावृत्त मूल गुणक t लाता है, सम्मिश्र युग्म eat(A cos bt + B sin bt) देता है।
  • n-कोटि समीकरण के व्यापक हल में ठीक n स्वेच्छ अचर होते हैं, अतः ग़लत गिनती वाले विकल्प कुछ भी हल किए बिना हटाए जा सकते हैं।
  • संतत गुणांकों वाली IVP का सदा ठीक एक हल होता है। BVP का एक, कोई नहीं, या अनंत हो सकते हैं — दो बिंदु नामित हों तो अस्तित्व की कल्पना कभी न करें।
  • आयलर–कौशी समीकरण प्रत्येक अवकलज को x की मेल खाती घात से युग्मित करता है। y = xm रखने पर वह बीजीय बन जाता है; पुनरावृत्त मूल t के बजाय ln x लाता है।
  • लाप्लास रूपांतरण L{f′} = sF(s) − f(0) के द्वारा प्रारंभिक शर्त को बीजगणित में डाल देते हैं, अतः IVP एक बार भी समाकलन किए बिना हल हो जाती है।
  • स्थानांतरण नियम एक पंक्ति में पूरी रूपांतरण-तालिका है: eat से गुणा करना s को s − a से बदल देता है, अतः t·e−2t का रूपांतरण 1/(s + 2)² है।
  • द्वितीय-कोटि PDE का वर्गीकरण B² − 4AC से करें: ऋणात्मक दीर्घवृत्तीय (लाप्लास), शून्य परवलयी (ऊष्मा), धनात्मक अतिपरवलयी (तरंग)। वह अंकगणित प्रायः पूरा प्रश्न होता है।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. y″ − 5y′ + 6y = 0 का व्यापक हल है:

    1. c₁e2t + c₂e3t
    2. c₁e−2t + c₂e−3t
    3. (c₁ + c₂t)e5t
    4. c₁ cos 2t + c₂ sin 3t
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — c₁e^{2t} + c₂e^{3t}

    सहायक समीकरण m² − 5m + 6 = 0 है, जिसका गुणनखंड (m − 2)(m − 3) = 0 है, अतः मूल 2 व 3 हैं और हल c₁e2t + c₂e3t। विकल्प B दोनों चिह्न पलट देता है, जो मूलों को गुणनखंडन के बजाय गुणांकों से पढ़ने की भूल है — m² − 5m + 6 के मूल धनात्मक हैं क्योंकि योग 5 व गुणनफल 6 दोनों धनात्मक हैं। विकल्प C हेतु पुनरावृत्त मूल चाहिए और विकल्प D हेतु सम्मिश्र युग्म; विविक्तकर 25 − 24 = 1 को धनात्मक व अशून्य देखते ही दोनों हट जाते हैं।

  2. y(0) = 0 व y′(0) = 2 सहित y″ + 4y = 0 का हल है:

    1. sin 2t
    2. 2 sin 2t
    3. cos 2t
    4. 2 sin t
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — sin 2t

    मूल m = ±2i हैं, अतः y = A cos 2t + B sin 2t। तब y(0) = A = 0, जिससे y = B sin 2t बचता है, और y′ = 2B cos 2t से y′(0) = 2B = 2, अतः B = 1 व y = sin 2t। विकल्प B वह है जो B को दिए अवकलज-मान के बराबर रखकर शृंखला नियम से आने वाले गुणक 2 से भाग न देने पर मिलता है — इस परिवार की सबसे आम भूल। विकल्प D के स्थान पर y″ + y = 0 हल करता है: समीकरण का 4 साइन के भीतर 2 बनता है, क्योंकि m² = −4।

  3. आयलर–कौशी समीकरण x²y″ − 3xy′ + 4y = 0 का व्यापक हल है:

    1. c₁x² + c₂x⁴
    2. (c₁ + c₂ ln x)x²
    3. c₁e2x + c₂xe2x
    4. (c₁ + c₂x)x²
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — (c₁ + c₂ ln x)x²

    y = xm रखने पर m(m − 1) − 3m + 4 = m² − 4m + 4 = (m − 2)² = 0 मिलता है, अर्थात् पुनरावृत्त मूल m = 2। आयलर–कौशी समीकरण हेतु दूसरा स्वतंत्र हल पहले को x से नहीं, ln x से गुणा करता है, अतः उत्तर (c₁ + c₂ ln x)x² है। विकल्प D अचर-गुणांक पुनरावृत्त-मूल नियम को उस प्रतिस्थापन x = et के बिना उठा लाता है जो उसे न्यायसंगत बनाता है, और प्रतिस्थापन पर वह विफल हो जाता है। विकल्प C पूर्णतः भिन्न समीकरण y″ − 4y′ + 4y = 0 का उत्तर है — दोनों परिवारों में आप किसमें हैं यह पहचानना ही यहाँ पूरा कौशल है, और संकेत यह है कि प्रत्येक अवकलज x की मेल खाती घात वहन करता है।

  4. t·e−2t का लाप्लास रूपांतरण है:

    1. 1/(s + 2)²
    2. 1/(s − 2)²
    3. 1/(s² + 2)
    4. 2/(s + 2)²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/(s + 2)²

    L{t} = 1/s² से आरंभ करें। स्थानांतरण नियम कहता है कि eat से गुणा करना s को s − a से बदल देता है, और यहाँ a = −2 है, अतः s, s + 2 बनता है और उत्तर 1/(s + 2)² है। विकल्प B स्थानांतरण ग़लत दिशा में लगाता है, जो इस नियम की सबसे आम एकल त्रुटि है — घातांक का चिह्न हर में जाते समय पलट जाता है, अतः क्षयी चरघातांकी s धन क्षय-दर देता है। विकल्प D अतिरिक्त 2 से गुणा करता है, जो 2t·e−2t का रूपांतरण होता।

  5. लाप्लास रूपांतरण से y(0) = 0 सहित y′ + y = 1 हल करने पर मिलता है:

    1. y = 1 − e−t
    2. y = e−t
    3. y = 1 + e−t
    4. y = t·e−t
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y = 1 − e^{−t}

    L{y′} = sY − y(0) = sY का प्रयोग करके दोनों पक्षों का रूपांतरण करें: (s + 1)Y = 1/s, अतः Y = 1/[s(s + 1)] = 1/s − 1/(s + 1), और पदशः प्रतिलोम लेने पर y = 1 − e−t मिलता है। दो जाँचें इसकी पुष्टि करती हैं और परीक्षा में करने योग्य हैं: y(0) = 1 − 1 = 0 प्रारंभिक शर्त संतुष्ट करता है, और t → ∞ पर हल 1 की ओर जाता है, जो ठीक वही स्थायी अवस्था है जिसकी अपेक्षा मूल समीकरण में y′ = 0 से होती। विकल्प C समीकरण संतुष्ट करता है पर y(0) = 2 देता है, और वह आंशिक भिन्नों में चिह्न ग़लत करने से उत्पन्न उत्तर है।

  6. आंशिक अवकल समीकरण 4u_xx + 4u_xy + u_yy = 0 है:

    1. दीर्घवृत्तीय
    2. परवलयी
    3. अतिपरवलयी
    4. वर्गीकरण-योग्य नहीं, क्योंकि उसमें समय-चर नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — परवलयी

    A = 4, B = 4, C = 1 पढ़ें और विविक्तकर निकालें: B² − 4AC = 16 − 16 = 0, जो परवलयी स्थिति है। अंकगणित ही पूरा प्रश्न है, और एकमात्र जाल B में है: मिश्रित अवकलज का गुणांक स्वयं B है, उसका आधा नहीं, अतः उसे आधा करने वाले अभ्यर्थी को 4 − 16 = −12 मिलता है और वह "दीर्घवृत्तीय" उत्तर देता है। विकल्प D असत्य नियम है — वर्गीकरण केवल तीन गुणांकों पर निर्भर है और इसकी चिंता नहीं करता कि चरों के नाम क्या हैं; ऊष्मा समीकरण परवलयी है, चाहे उसका दूसरा चर समय हो या न हो।

  7. सीमा-शर्तों y(0) = 0 व y(π) = 1 सहित y″ + y = 0 हेतु हलों की संख्या है:

    1. ठीक एक
    2. कोई नहीं
    3. अनंत
    4. ठीक दो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोई नहीं

    व्यापक हल A cos x + B sin x है। शर्त y(0) = 0, A = 0 कर देती है, अतः y = B sin x। परंतु तब B के प्रत्येक मान हेतु y(π) = B sin π = 0 है, और दूसरी शर्त 1 माँगती है। कोई B नहीं चलता, अतः कोई हल नहीं है। यह एक ही उदाहरण में सीमा-मान समस्या व प्रारंभिक-मान समस्या का अंतर है: वही समीकरण y(0) = 0, y′(0) = 1 सहित ठीक एक हल रखता है। दूसरी सीमा-शर्त y(π) = 0 कर दें और प्रत्येक B उसे संतुष्ट करता है, जिससे अनंत हल — अतः इस एक समीकरण से शर्तों के अनुसार विकल्प A, B व C तीनों तक पहुँचा जा सकता है, इसीलिए परीक्षक इसे रखते हैं।

  8. y(0) = 1 व y′(0) = 0 सहित y″ + 3y′ + 2y = 0 हेतु हल y = c₁e−t + c₂e−2t है। c₁ का मान _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    सहायक समीकरण m² + 3m + 2 = 0 के मूल −1 व −2 हैं, जो दिए रूप की पुष्टि करते हैं। अब शर्तें लगाएँ: y(0) = c₁ + c₂ = 1 तथा y′(0) = −c₁ − 2c₂ = 0। दूसरी से c₁ = −2c₂; पहली में रखने पर −2c₂ + c₂ = 1, अतः c₂ = −1 व c₁ = 2। हल 2e−t − e−2t है, और दोनों शर्तें मिलती हैं: y(0) = 2 − 1 = 1 तथा y′(0) = −2 + 2 = 0। साथ रखने योग्य चिह्न-प्रतिरूप पर ध्यान दें — दोनों मूल ऋणात्मक होने पर हल शून्य तक क्षय होता है, और धीमे क्षय वाले पद का गुणांक बड़ा होता है।

  9. निम्नलिखित में कौन-से y″ + 4y = 0 के हल हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. e2x
    2. cos 2x
    3. sin 2x
    4. x·sin 2x
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — cos 2x; C — sin 2x

    सहायक समीकरण m² + 4 = 0 से m = ±2i, अतः व्यापक हल A cos 2x + B sin 2x है और cos 2x व sin 2x दोनों हल हैं — विकल्प B व C। विकल्प A प्रतिस्थापन पर विफल: (e2x)″ + 4e2x = 4e2x + 4e2x = 8e2x ≠ 0, और जाल साझा 2 है, जो m² = −4 से आता है और इसीलिए वास्तविक घातांक के बजाय साइन या कोसाइन के भीतर बैठता है। विकल्प D भी विफल: (x sin 2x)″ + 4x sin 2x = 4 cos 2x ≠ 0। गुणक x केवल तब आता है जब सहायक समीकरण का मूल पुनरावृत्त हो, और ±2i भिन्न युग्म है। प्रत्येक संभावित हल को प्रतिस्थापित करना चार पंक्तियों का काम है और चारों निर्णय तय कर देता है, और गलत होने पर कुछ न लेने वाले प्रश्न का यही सही उपयोग है।