सदिश कलन — प्रवणता, अपसरण, कुंडली व तीन प्रमेय

तीन संकारक व तीन प्रमेय, और सम्पूर्ण प्रकरण उनका पारस्परिक संबंध है। प्रवणता अदिश को सदिश बनाती है और तीव्रतम वृद्धि की दिशा में संकेत करती है; अपसरण सदिश को अदिश बनाता है और मापता है कि किसी बिंदु पर क्षेत्र कितना फैल रहा है; कुंडली सदिश को सदिश बनाती है और मापती है कि वह कितना परिचालन कर रहा है। निवेश व निर्गम के प्रकार ठीक रखना शब्द-पांडित्य नहीं है — यह ग़लत विकल्प तुरंत हटा देता है, क्योंकि सदिश क्षेत्र का अपसरण कभी सदिश नहीं हो सकता और अदिश की प्रवणता कभी अदिश नहीं। परिभाषाओं से दो सर्वसमिकाएँ निकलती हैं जिन्हें अत्यंत दृढ़ता से जानना चाहिए, क्योंकि वे लगभग प्रतिवर्ष एक-अंक प्रश्न के रूप में आती हैं: किसी भी अदिश f हेतु curl(grad f) = 0, तथा किसी भी सदिश F हेतु div(curl F) = 0। दोनों मिश्रित आंशिक अवकलजों के क्रम-निरपेक्ष होने के परिणाम हैं, और दोनों का अर्थ है कि संकारक परस्पर स्वतंत्र नहीं हैं। इनके ऊपर ग्रीन, स्टोक्स व गाउस बैठते हैं, जो भिन्न विमाओं में एक ही कथन हैं: क्षेत्र पर समाकल उसकी सीमा पर समाकल के बराबर है। ग्रीन समतल क्षेत्रफल पर द्वि-समाकल को उसे घेरने वाले वक्र पर रेखा-समाकल से जोड़ता है, स्टोक्स कुंडली के पृष्ठ-समाकल को पृष्ठ की परिधि पर रेखा-समाकल से, और गाउस अपसरण के त्रि-समाकल को आयतन को घेरने वाले बंद पृष्ठ से गुजरते अभिवाह से। अतः नाम नहीं, ज्यामिति पढ़ें: भीतर आयतन सहित बंद पृष्ठ का अर्थ गाउस, पृष्ठ को घेरने वाला बंद वक्र का अर्थ स्टोक्स या ग्रीन। और जब भी रेखा-समाकल पूछा जाए, पहले जाँचें कि curl F = 0 है या नहीं — संरक्षी क्षेत्र का विभव फलन होता है, समाकल दो विभव-मानों का अंतर बन जाता है, और पथ का महत्व पूर्णतः समाप्त हो जाता है।

तीन संकारक व वे क्या लौटाते हैं

निवेश व निर्गम प्रकार, जो आधे विकल्प तय कर देते हैं
संकारकलेता है → लौटाता हैअर्थ, तथा एक हल किया मान
grad f = ∇fअदिश → सदिशतीव्रतम वृद्धि की दिशा। f = x² + y² + z² हेतु ∇f = (2x, 2y, 2z), जो (1, 1, 1) पर (2, 2, 2) है।
div F = ∇·Fसदिश → अदिशप्रति एकांक आयतन शुद्ध बहिर्वाह। F = (x²y, y²z, z²x) हेतु div F = 2xy + 2yz + 2zx, जो (1, 1, 1) पर 6 है।
curl F = ∇×Fसदिश → सदिशप्रति एकांक क्षेत्रफल परिचालन। समतल में केवल k-घटक बचता है: ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y।
🧠 दैशिक अवकलज एकांक सदिश के साथ अदिश गुणनफल है
सदिश a की दिशा में f के परिवर्तन की दर ∇f · (a/|a|) है। एकांक-सदिश का चरण ही पूरी कठिनाई है: f = x² + y² + z² हेतु (1, 1, 1) पर (1, 1, 1) दिशा में ∇f = (2, 2, 2) तथा एकांक सदिश (1, 1, 1)/√3 है, अतः उत्तर 6/√3 = 2√3 ≈ 3.464 है। असामान्यीकृत (1, 1, 1) से अदिश गुणनफल 6 देता है, जो इस आकार के प्रत्येक प्रश्न में भ्रामक विकल्प होता है। किसी बिंदु पर संभव अधिकतम दैशिक अवकलज स्वयं |∇f| है, जो ∇f की दिशा में प्राप्त होता है, और यही तथ्य अपने आप प्रश्नों के पूरे परिवार का उत्तर दे देता है।
  • प्रत्येक अदिश क्षेत्र f हेतु curl(grad f) = 0। प्रवणता-क्षेत्र कभी परिचालन नहीं करता, जो यही कहना है कि विभव वाला क्षेत्र संरक्षी है।
  • प्रत्येक सदिश क्षेत्र F हेतु div(curl F) = 0। कुंडली-क्षेत्र में कभी स्रोत या अवशोषक नहीं होते, अतः div(curl F) हेतु अशून्य उत्तर देने वाला प्रश्न कुछ भी निकाले बिना तय किया जा सकता है।
  • div(grad f) = ∇²f, अर्थात् लाप्लासीय। जिस फलन हेतु ∇²f = 0 हो उसे प्रसंवादी कहते हैं, और वही शर्त सम्मिश्र-चर अध्याय में तथा लाप्लास समीकरण में आती है — तीनों प्रकरण यहीं मिलते हैं।

रेखा-समाकल व संरक्षी लघु-मार्ग

रेखा-समाकल ∫_C F·dr सामान्यतः प्राचलीकरण का अभ्यास है: x, y, z को किसी प्राचल के फलन के रूप में लिखें, प्रतिस्थापित करें, और प्राचल पर समाकलन करें। परंतु ऐसा कुछ भी करने से पहले जाँचें कि क्षेत्र संरक्षी है या नहीं, क्योंकि यदि है तो काम अंकगणित में सिमट जाता है।

  1. curl F निकालें। समतल में वह एक घटाव है: F = (2xy, x²) हेतु वह ∂(x²)/∂x − ∂(2xy)/∂y = 2x − 2x = 0 है, अतः क्षेत्र संरक्षी है।
  2. वह विभव φ खोजें जिसके लिए ∇φ = F हो। यहाँ φ = x²y है, क्योंकि ∂φ/∂x = 2xy व ∂φ/∂y = x²।
  3. अब समाकल φ(अंत) − φ(आरंभ) है, और पथ अप्रासंगिक। φ = xyz हेतु (0, 0, 0) से (1, 2, 3) तक उत्तर 6 − 0 = 6 है, दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाला वक्र जो भी हो।
🎯 संरक्षी क्षेत्र में बंद पथ शून्य क्यों देता है
यदि समाकल दोनों सिरों पर विभवों का अंतर है, तो बंद पथ — जहाँ सिरे संपाती हैं — शून्य ही देगा। यह एक अवलोकन "इस क्षेत्र द्वारा इस बंद पाश पर किया गया कार्य" रूप के किसी भी प्रश्न का उत्तर दे देता है, बशर्ते curl F = 0 हो, और वह भी बिना प्राचलीकरण। यह यह भी बताता है कि बंद पाश पर अशून्य उत्तर इस बात का प्रमाण है कि क्षेत्र संरक्षी नहीं है, जो कभी-कभी वास्तविक प्रश्न होता है।

ग्रीन, स्टोक्स व गाउस — ज्यामिति से चुनाव

एक कथन, तीन विमाएँ
प्रमेयबदलता हैप्रयोग करें जब प्रश्न दिखाए
ग्रीनसमतल क्षेत्र पर द्वि-समाकल ↔ उसकी सीमा-वक्र पर रेखा-समाकलxy-तल में बंद वक्र। विशेष स्थिति ∮(−y dx + x dy) = 2·क्षेत्रफल याद रखने योग्य है: इकाई वृत्त पर वह 2π है।
स्टोक्सcurl F का पृष्ठ-समाकल ↔ पृष्ठ की परिधि पर F का रेखा-समाकलसीमा-वक्र सहित खुला पृष्ठ — अर्धगोला, वृत्तखंड, परवलयज टोपी। एक ही परिधि वाले कोई भी दो पृष्ठ समान उत्तर देते हैं।
गाउस (अपसरण)div F का त्रि-समाकल ↔ आयतन को घेरने वाले बंद पृष्ठ से F का अभिवाहभीतर आयतन सहित बंद पृष्ठ। इकाई गोले पर F = (x, y, z) हेतु: div F = 3, अतः अभिवाह 3·(4π/3) = 4π।
⚠️ गाउस हेतु पृष्ठ बंद चाहिए, स्टोक्स हेतु खुला
अपसरण प्रमेय खुले पृष्ठ हेतु असत्य है — अकेला अर्धगोला किसी का परिसीमा नहीं है, और उस पर गाउस लगाना उस चपटे वृत्तखंड को चुपचाप छोड़ देता है जो उसे बंद करता। यदि प्रश्न अर्धगोला देकर अभिवाह पूछे, तो या उसे वृत्तखंड से बंद करके वृत्तखंड का योगदान घटाएँ, या सीधे समाकलन करें। इसके विपरीत स्टोक्स को घेरने हेतु परिधि चाहिए, अतः वह बंद पृष्ठ के विषय में कुछ नहीं कहता: बंद पृष्ठ पर परिधि रिक्त होती है और इससे curl F का पृष्ठ-समाकल शून्य होता है, जो स्वयं में सुथरा परिणाम है और कभी-कभी उत्तर।

मुख्य बिंदु

  • प्रवणता अदिश से सदिश बनाती है, अपसरण सदिश से अदिश, कुंडली सदिश से सदिश। विकल्पों के प्रकार जाँचना किसी भी गणना से पहले ग़लत विकल्प हटा देता है।
  • curl(grad f) = 0 तथा div(curl F) = 0 सदा। दोनों एक-अंक प्रश्न हैं और किसी को गणना की आवश्यकता नहीं।
  • दैशिक अवकलज हेतु एकांक सदिश चाहिए: ∇f·(a/|a|)। सामान्यीकरण भूलना मानक त्रुटि है, और असामान्यीकृत मान सदा विकल्पों में होता है।
  • रेखा-समाकल का प्राचलीकरण करने से पहले curl F जाँचें। यदि वह लुप्त हो, विभव खोजें और दो संख्याओं का अंतर लें; तब बंद पाश शून्य देता है।
  • ग्रीन, स्टोक्स व गाउस सभी क्षेत्र-समाकल को सीमा-समाकल से बदलते हैं। ज्यामिति से चुनें: आयतन सहित बंद पृष्ठ अर्थात् गाउस, पृष्ठ को घेरने वाला वक्र अर्थात् स्टोक्स या ग्रीन।
  • अपसरण प्रमेय हेतु बंद पृष्ठ आवश्यक है। अकेले अर्धगोले पर लगाने से वह बंद करने वाला वृत्तखंड चुपचाप छूट जाता है।
  • दो साथ रखने योग्य: ∮(−y dx + x dy) = 2 × क्षेत्रफल, तथा किसी भी बंद पृष्ठ से (x, y, z) का अभिवाह 3 × घिरा आयतन है।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. F = (x²y, y²z, z²x) हेतु बिंदु (1, 1, 1) पर F का अपसरण है:

    1. 3
    2. 6
    3. 0
    4. (2, 2, 2)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 6

    div F = ∂(x²y)/∂x + ∂(y²z)/∂y + ∂(z²x)/∂z = 2xy + 2yz + 2zx, जो (1, 1, 1) पर 2 + 2 + 2 = 6 है। विकल्प D केवल प्रकार से हटाया जा सकता है: सदिश क्षेत्र का अपसरण अदिश होता है, सदिश कभी नहीं, और त्रिक वाला विकल्प प्रवणता या कुंडली के विषय में प्रश्न का उत्तर दे रहा है। विकल्प A वह है जो प्रत्येक घटक का उसके अपने चर के सापेक्ष अवकलन करके दूसरे चर से आने वाला गुणक भूलने पर मिलता है — एक पद हाथ से जाँचकर पकड़ने योग्य भूल।

  2. किसी भी द्वि-अवकलनीय अदिश क्षेत्र f हेतु curl(grad f) का मान है:

    1. शून्य सदिश
    2. अदिश शून्य
    3. ∇²f
    4. यह f पर निर्भर करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — शून्य सदिश

    किसी भी प्रवणता की कुंडली सर्वसमरूप से शून्य सदिश है, क्योंकि परिणाम का प्रत्येक घटक विपरीत क्रमों में लिए दो मिश्रित द्वितीय आंशिक अवकलजों का अंतर है, और द्वि-अवकलनीय फलन हेतु वे बराबर होते हैं। विकल्प A व B केवल प्रकार में भिन्न हैं, और यही भेद मुद्दा है: कुंडली सदिश लौटाती है, अतः उत्तर शून्य सदिश है, और दोनों देने वाला परीक्षक यह जाँच रहा है कि आप जानते हैं कि कुंडली क्या उत्पन्न करती है। विकल्प C, div(grad f) अर्थात् लाप्लासीय है — उन्हीं दो संकारकों का भिन्न संयोजन, और वही जो सामान्यतः शून्य नहीं होता।

  3. सदिश (1, 1, 1) की दिशा में (1, 1, 1) पर f = x² + y² + z² का दैशिक अवकलज है:

    1. 6
    2. 2√3
    3. 2
    4. 6√3
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2√3

    बिंदु पर ∇f = (2x, 2y, 2z) अर्थात् (2, 2, 2) है। दिशा एकांक सदिश होनी चाहिए, अतः (1, 1, 1) को उसके परिमाण √3 से भाग दें। तब दैशिक अवकलज (2, 2, 2)·(1, 1, 1)/√3 = 6/√3 = 2√3 ≈ 3.464 है। विकल्प A ठीक वह उत्तर है जो असामान्यीकृत दिशा-सदिश से अदिश गुणनफल लेने पर मिलता है, और वह इस आकार के प्रत्येक प्रश्न में आता है — सामान्यीकरण ही जाँचा जा रहा चरण है। जाँच के रूप में, इस बिंदु पर उपलब्ध सर्वाधिक दैशिक अवकलज |∇f| = 2√3 है, और दी गई दिशा संयोगवश ठीक ∇f की दिशा है, अतः उत्तर अधिकतम ही होना था।

  4. इकाई गोले x² + y² + z² = 1 के बंद पृष्ठ से बाहर की ओर F = (x, y, z) का अभिवाह है:

    1. 4π
    2. 4π/3
    3. 3
    4. 12π
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 4π

    पृष्ठ-समाकल के बजाय अपसरण प्रमेय का प्रयोग करें। div F = 1 + 1 + 1 = 3, एक अचर, अतः अभिवाह 3 × (घिरा आयतन) = 3 × (4π/3) = 4π है। विकल्प B अकेला इकाई गोले का आयतन है, जो अपसरण से गुणा करना भूलने पर मिलता है; विकल्प C अकेला अपसरण है, आयतन भूलने पर। सामान्य परिणाम परीक्षा में साथ ले जाने योग्य है: स्थिति-क्षेत्र (x, y, z) का किसी भी बंद पृष्ठ से बाह्य अभिवाह उसके घिरे आयतन का तीन गुना होता है, आकार जो भी हो।

  5. इकाई वृत्त पर वामावर्त लिया रेखा-समाकल ∮_C (−y dx + x dy) बराबर है:

    1. 0
    2. π
    3. 2π
    4. 4π
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 2π

    ग्रीन प्रमेय से समाकल ∫∫ (∂x/∂x − ∂(−y)/∂y) dA = ∫∫ (1 + 1) dA = 2 × क्षेत्रफल के बराबर है, जो इकाई वृत्त हेतु 2π है क्योंकि उसका क्षेत्रफल π है। अतः उत्तर 2π है। विकल्प A संरक्षी क्षेत्र हेतु उत्तर है, और जाँच शीघ्र है: यहाँ समतल कुंडली 1 − (−1) = 2 ≠ 0 है, अतः क्षेत्र संरक्षी नहीं और बंद पाश को शून्य देना आवश्यक नहीं। विकल्प B स्वयं क्षेत्रफल है, गुणक 2 भूलने पर। सर्वसमिका ∮(−y dx + x dy) = 2 × क्षेत्रफल स्वयं याद रखने योग्य है — वह "इस वक्र से घिरा क्षेत्रफल निकालें" जैसे किसी भी प्रश्न को रेखा-समाकल में और वापस बदल देती है।

  6. समतल सदिश क्षेत्र F = (2xy, x²) है:

    1. संरक्षी, विभव x²y सहित
    2. संरक्षी, विभव 2x²y सहित
    3. संरक्षी नहीं
    4. केवल सरल-रेखीय पथों पर संरक्षी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संरक्षी, विभव x²y सहित

    समतल कुंडली ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y = ∂(x²)/∂x − ∂(2xy)/∂y = 2x − 2x = 0 है, अतः क्षेत्र संरक्षी है। उसका विभव ∂φ/∂x = 2xy व ∂φ/∂y = x² संतुष्ट करना चाहिए, और φ = x²y दोनों करता है — दोनों आंशिक अवकलज जाँचना ही सत्यापन-चरण है, क्योंकि विकल्प B किसी को संतुष्ट नहीं करता। विकल्प D ऐसी बात कहता है जो हो नहीं सकती: संरक्षिता क्षेत्र का गुण है, पथों के किसी वर्ग का नहीं, और एक बार लागू हो जाने पर रेखा-समाकल उन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाले प्रत्येक पथ हेतु पथ-निरपेक्ष है।

  7. संतत द्वितीय अवकलज वाले किसी भी सदिश क्षेत्र F हेतु div(curl F) है:

    1. सदा शून्य
    2. शून्य केवल तब जब F संरक्षी हो
    3. ∇²F के बराबर
    4. सामान्यतः अशून्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सदा शून्य

    div(curl F) = 0 सदा, उसी संरचनात्मक कारण से जिससे curl(grad f) = 0: उसका विस्तार मिश्रित तृतीय-कोटि आंशिक अवकलजों के युग्म देता है जो पदशः निरस्त हो जाते हैं। चिकनाई से आगे F का कोई गुण आवश्यक नहीं, अतः विकल्प B ऐसी शर्त जोड़ता है जो कुछ नहीं करती — और ध्यान दें कि संरक्षी क्षेत्र में तो curl F = 0 पहले से होता है, जिससे उसका अपसरण तुच्छ रूप से शून्य हो जाता है, जो विशेष स्थिति है, कारण नहीं। यह सर्वसमिका उस भौतिक तथ्य के पीछे का गणितीय कथन है कि चुंबकीय क्षेत्र, कुंडली होने के कारण, एकध्रुव नहीं रखता।

  8. F = ∇φ तथा φ = xyz। (0, 0, 0) से (1, 2, 3) तक किसी भी पथ पर ∫_C F·dr का मान _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    F प्रवणता है, अतः वह संरक्षी है और समाकल केवल φ(अंत) − φ(आरंभ) = (1·2·3) − 0 = 6 है। प्रश्न में "किसी भी पथ पर" वाक्यांश परीक्षक द्वारा यह पुष्टि है कि पथ-निरपेक्षता लागू है, और वह संकेत भी है: यदि उत्तर पथ पर निर्भर होता तो प्रश्न उस रीति से पूछा ही नहीं जा सकता था। कोई प्राचलीकरण नहीं, कोई वक्र नहीं, कोई समाकलन नहीं — पृष्ठ भर काम जैसा दिखते प्रश्न का दो-पंक्ति उत्तर। संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न होने से इस पर ऋणात्मक अंकन नहीं, अतः इसे कभी रिक्त न छोड़ें।

  9. किसी भी पर्याप्त चिकने अदिश क्षेत्र f तथा सदिश क्षेत्र F हेतु निम्नलिखित में कौन-से सर्वसमरूप से शून्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. grad(div F)
    2. curl(grad f)
    3. div(grad f)
    4. div(curl F)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — curl(grad f); D — div(curl **F**)

    लुप्त होने वाली दो सर्वसमिकाएँ curl(grad f) = 0 तथा div(curl F) = 0 हैं, दोनों इसलिए कि मिश्रित द्वितीय आंशिक अवकलज क्रम-निरपेक्ष होते हैं — विकल्प B व D। विकल्प C लाप्लासीय ∇²f है, जो केवल प्रसंवादी फलन हेतु शून्य होता है, सामान्यतः नहीं; विकल्प A पूर्णतः साधारण सदिश क्षेत्र है जिसके लुप्त होने का कोई कारण नहीं। चारों विकल्प जान-बूझकर वे चार संयोजन हैं जो प्रकार-सम्मत हैं, और इनमें कौन दो सर्वसमिकाएँ हैं यह जानना एक-अंक का तथ्य है जो लगभग प्रतिवर्ष आता है — यहाँ वह MSQ के रूप में पूछा गया है, जहाँ चार में तीन निर्णय सही होने पर भी कुछ नहीं मिलता।