बहुचर कलन — आंशिक अवकलज, उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ व बहु-समाकल

एकचर कलन पूछता है कि फलन कैसे बदलता है; बहुचर कलन पूछता है कि वह किस दिशा में बदलता है, और इस अध्याय की लगभग प्रत्येक कठिनाई यह भूलने से आती है कि दिशा बतानी पड़ती है। आंशिक अवकलज सामान्य अवकलज से अधिक रहस्यमय कुछ नहीं है, जो अन्य चरों को स्थिर रखकर लिया जाता है — x के सापेक्ष अवकलन करें और y को अचर मानें, ठीक वैसे जैसे 5 को मानते हैं। दो आदतें तुरंत अपना मूल्य चुका देती हैं। पहली, द्वि-समाकल में सीमाएँ उस चर की होती हैं जिसका समाकलन पहले होता है, और उन्हें उलटा पढ़ लेना इस प्रकरण में अंक खोने का सबसे बड़ा एकल कारण है; क्षेत्र का रेखाचित्र बनाने में पंद्रह सेकंड लगते हैं और यह सदा के लिए तय हो जाता है। दूसरी, दो चरों हेतु द्वितीय-अवकलज परीक्षण दो पृथक परीक्षण नहीं है। आप एक संख्या निकालते हैं, D = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)², और पहले केवल उसका चिह्न महत्व रखता है: D < 0 का अर्थ अन्य किसी बात के बिना पल्याण बिंदु है, D > 0 आपको निम्निष्ठ या उच्चिष्ठ हेतु fₓₓ के चिह्न पर भेजता है, और D = 0 कुछ नहीं बताता तथा परीक्षण विफल हो जाता है। अभ्यर्थी D से पहले fₓₓ जाँचकर अंक खोते हैं, जो उस प्रश्न का उत्तर देता है जहाँ परीक्षण अभी पहुँचा ही नहीं। यहाँ शेष सब यांत्रिक है: जब आंतरिक समाकल का प्रारंभिक प्रतिअवकलज न हो तो समाकलन का क्रम बदलें, समाकल्य में x² + y² या वृत्ताकार क्षेत्र दिखते ही ध्रुवीय निर्देशांक में जाएँ, और स्मरण रखें कि r dr dθ में जैकोबियन गुणक r प्रतिस्थापन का भाग है, कोई वैकल्पिक सजावट नहीं।

आंशिक अवकलज, सम्पूर्ण अवकलज व आयलर प्रमेय

  • आंशिक अवकलज अन्य चरों को स्थिर कर देता है। f = x³ + x²y + y³ हेतु fₓ = 3x² + 2xy तथा f_y = x² + 3y²। प्रक्रिया में कुछ नया नहीं; केवल लेखा-जोखा नया है।
  • GATE द्वारा दिए जाने वाले फलनों हेतु मिश्रित आंशिक अवकलज क्रम-निरपेक्ष होते हैं: fₓ_y = f_yₓ। अतः एक पूछकर दूसरा देने वाला प्रश्न पहले ही उत्तरित है, और कठिन क्रम निकालना व्यर्थ श्रम है।
  • सम्पूर्ण अवकलज प्रत्येक पथ से शृंखलित होता है। यदि z = f(x, y) तथा x व y दोनों t के फलन हों, तो dz/dt = fₓ·(dx/dt) + f_y·(dy/dt)। z = x²y तथा x = t², y = t³ हेतु यह 4t⁶ + 3t⁶ = 7t⁶ देता है, अतः t = 1 पर dz/dt = 7 — और पहले प्रतिस्थापन करने पर z = t⁷ मिलता है, जिसका अवकलज 7t⁶ है। दोनों मार्गों का मिलना अनिवार्य है, जिससे प्रतिस्थापन निःशुल्क जाँच बन जाता है।
  • समघात फलनों हेतु आयलर प्रमेय एक निःशुल्क सर्वसमिका है। यदि f के प्रत्येक पद की कुल घात समान n हो, तो x·fₓ + y·f_y = n·f। f = x³ + x²y + y³ हेतु प्रत्येक पद की घात 3 है, अतः यह संयोजन ठीक 3f है — पदशः सत्यापित। जो प्रश्न पृष्ठ भर अवकलन माँगते दिखते हैं वे प्रायः इससे एक पंक्ति में सिमट जाते हैं।
🧠 माध्यमान प्रमेय व अनिर्धार्य रूप, उस रूप में जिसमें GATE उनका प्रयोग करता है
रोल हेतु f का [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय तथा f(a) = f(b) होना आवश्यक है; लाग्रांज अंतिम शर्त हटा देता है और f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a) निष्कर्ष देता है। GATE लगभग कभी c निकालने को नहीं कहता — वह पूछता है कि परिकल्पनाएँ लागू होती हैं या नहीं, और उत्तर प्रायः नहीं होता क्योंकि फलन के भीतर कहीं कोण या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है। अनिर्धार्य रूपों हेतु ल-हॉपिटल केवल 0/0 व ∞/∞ पर लगाएँ, और प्रत्येक प्रयोग के बाद रूप पुनः जाँचें: lim(x→0) (x − sin x)/x³ हेतु नियम तीन बार चाहिए और उत्तर 1/6 आता है, तथा एक चरण पहले रुकने पर उत्तर के बजाय 0/0 मिलता है।

उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ व पल्याण बिंदु

fₓ = 0 व f_y = 0 रखकर युग्म हल करें — वे क्रांतिक बिंदु हैं, और प्रायः एक से अधिक होते हैं। फिर प्रत्येक पर पृथक रूप से D = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)² निकालें। एक ही फलन एक क्रांतिक बिंदु पर निम्निष्ठ और दूसरे पर पल्याण रख सकता है, अतः फलन व एक बिंदु देने वाला प्रश्न एक मूल्यांकन जाँच रहा है, सम्पूर्ण भू-दृश्य नहीं।

द्वितीय-अवकलज परीक्षण, f = x³ + y³ − 3xy पर हल किया गया
क्रांतिक बिंदुD = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)²निर्णय
(0, 0)0·0 − (−3)² = −9D < 0 → पल्याण बिंदु। यहाँ fₓₓ का चिह्न अप्रासंगिक है और देखा नहीं जाना चाहिए।
(1, 1)6·6 − (−3)² = 27D > 0 तथा fₓₓ = 6 > 0 → स्थानीय निम्निष्ठ।
⚠️ D = 0 का अर्थ "कोई नहीं" नहीं — अर्थ "परीक्षण विफल" है
जब D = 0 हो तो परीक्षण मौन है, और बिंदु फिर भी उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या पल्याण हो सकता है। यदि विकल्पों में "द्वितीय-अवकलज परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं" हो, तो वह वास्तविक उत्तर है और प्रायः सही। D = 0 को पल्याण का प्रमाण मानना निश्चित त्रुटि है, और वह प्रिय भ्रामक विकल्प ठीक इसलिए है कि वह निर्णय जैसा लगता है।

द्वि- व त्रि-समाकल, तथा कब कुछ बदलना है

  • सीमाएँ भीतर से बाहर पढ़ें। ∫₀¹ ∫₀ˣ (x + y) dy dx में आंतरिक समाकल y पर 0 से x तक चलता है और x स्थिर रहता है, जिससे y = x पर मूल्यांकित xy + y²/2, अर्थात् 3x²/2 मिलता है; बाहरी समाकल तब 1/2 देता है। यदि आपने x-सीमाओं को आंतरिक पढ़ा होता तो भिन्न क्षेत्र पर समाकलन होता और भिन्न संख्या मिलती।
  • जब आंतरिक समाकल न हो सके तो क्रम बदलें। ∫₀¹ ∫_y¹ ex² dx dy जैसा लिखा है वैसा असंभव है, क्योंकि ex² का प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं है। क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ — वह त्रिभुज 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 है — और उसे ∫₀¹ ∫₀ˣ ex² dy dx लिखें। अब आंतरिक समाकल तुच्छ है, समाकल्य x·ex² बन जाता है, और उत्तर (e − 1)/2 है। असंभव दिखता समाकल क्रम बदलने का संकेत है, आगे बढ़ने का नहीं।
  • x² + y² दिखते ही ध्रुवीय हो जाएँ। इकाई वृत्त पर ∫∫ (x² + y²) dA बनता है ∫₀2π ∫₀¹ r²·r dr dθ = 2π·(1/4) = π/2। अतिरिक्त r जैकोबियन है; उसे छोड़ देना मानक त्रुटि है, और वह क्षेत्रफल-अवयव को लंबाई-अवयव बना देती है।
  • घनाभ पर त्रि-समाकल गुणनफल में विभक्त हो जाता है। इकाई घन पर ∫∫∫ xyz = (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz) = (1/2)³ = 1/8। विभाजन तभी चलता है जब समाकल्य भी गुणनखंडित हो और सीमाएँ अचर हों — जिस क्षण कोई सीमा दूसरे चर का उल्लेख करे, यह लघु-मार्ग समाप्त।

मुख्य बिंदु

  • आंशिक अवकलज अन्य चरों को अचर रखकर लिया सामान्य अवकलज है। मिश्रित आंशिक अवकलज क्रम-निरपेक्ष हैं, अतः जो क्रम सरल हो वही निकालें।
  • सम्पूर्ण अवकलज प्रत्येक पथ हेतु एक पद जोड़ता है: dz/dt = fₓ·dx/dt + f_y·dy/dt। पहले प्रतिस्थापन करना उसी उत्तर की स्वतंत्र जाँच है।
  • n घात के समघात फलन हेतु x·fₓ + y·f_y = n·f। समान घात पहचानना पृष्ठ भर अवकलन की जगह ले लेता है।
  • पहले D = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)² निकालें। D < 0 का अर्थ अन्य कुछ भी होने पर पल्याण है; D > 0 आपको fₓₓ पर भेजता है; D = 0 का अर्थ परीक्षण विफल, यह नहीं कि बिंदु कोई नहीं है।
  • द्वि-समाकल में सर्वाधिक आंतरिक सीमाएँ उस चर की हैं जिसका समाकलन पहले होता है। क्षेत्र का रेखाचित्र इस प्रकरण की सबसे आम त्रुटि रोक देता है।
  • प्रारंभिक प्रतिअवकलज रहित आंतरिक समाकल, जैसे ex², समाकलन-क्रम बदलने का निर्देश है — गतिरोध नहीं।
  • x² + y² या वृत्ताकार क्षेत्र दिखने पर ध्रुवीय निर्देशांक में जाएँ, और जैकोबियन साथ रखें: dA = r dr dθ।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. f(x, y) = x³ + y³ − 3xy हेतु बिंदु (0, 0) है:

    1. स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु
    2. स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु
    3. पल्याण बिंदु
    4. क्रांतिक बिंदु ही नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — पल्याण बिंदु

    fₓ = 3x² − 3y तथा f_y = 3y² − 3x दोनों (0, 0) पर लुप्त होते हैं, अतः वह क्रांतिक बिंदु है और विकल्प D हट जाता है। अब fₓₓ = 6x, f_yy = 6y व fₓ_y = −3, अतः मूल बिंदु पर D = 0·0 − (−3)² = −9 < 0, जो उसे पल्याण बिंदु बनाता है — और fₓₓ का चिह्न देखा नहीं जाना चाहिए, क्योंकि वह उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ में निर्णय D धनात्मक होने पर ही करता है। इसी फलन का उसके दूसरे क्रांतिक बिंदु (1, 1) पर वास्तविक स्थानीय निम्निष्ठ है, जहाँ D = 36 − 9 = 27 > 0 व fₓₓ = 6 > 0, इसीलिए इस फलन पर प्रश्न को बिंदु नामित करना पड़ता है।

  2. ∫₀¹ ∫₀ˣ (x + y) dy dx का मान है:

    1. 1/2
    2. 1/3
    3. 1
    4. 3/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/2

    पहले y पर समाकलन करें, x को अचर मानते हुए: ∫₀ˣ (x + y) dy = [xy + y²/2] का 0 से x तक = x² + x²/2 = 3x²/2। फिर ∫₀¹ (3x²/2) dx = (3/2)·(1/3) = 1/2। क्षेत्र इकाई वर्ग में रेखा y = x के नीचे का त्रिभुज है, और उसे एक बार बनाना उपयोगी है: यदि भूल से x को 0 से y तथा y को 0 से 1 तक लें तो आप दूसरे त्रिभुज पर काम कर रहे हैं, जो इस समाकल्य हेतु सममिति से 1/2 ही देता है — एक संयोग जो यहाँ त्रुटि छिपा देता है और अगले प्रश्न में नहीं छिपाएगा। सीमाएँ प्रत्येक बार भीतर से बाहर पढ़ें।

  3. समाकलन का क्रम बदलने पर ∫₀¹ ∫_y¹ ex² dx dy बराबर है:

    1. (e − 1)/2
    2. e − 1
    3. e/2
    4. समाकल को बंद रूप में नहीं निकाला जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (e − 1)/2

    जैसा लिखा है, आंतरिक समाकल ex² का प्रतिअवकलज माँगता है, जो प्रारंभिक फलनों में नहीं है — और यही संकेत है, बाधा नहीं। क्षेत्र 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, अर्थात् y = x के नीचे का त्रिभुज है, अतः क्रम बदलने पर ∫₀¹ ∫₀ˣ ex² dy dx मिलता है। आंतरिक समाकल अब केवल ex²·x है, और ∫₀¹ x·ex² dx = [ex²/2] का 0 से 1 तक = (e − 1)/2। विकल्प D वह उत्तर है जिस पर अभ्यर्थी आंतरिक समाकल की असंभवता को अंकित मूल्य पर लेकर पहुँचता है, और वह इस रीति से बने प्रश्नों के पूरे परिवार हेतु ग़लत है: प्रतिअवकलज रहित आंतरिक समाकल्य परीक्षक का यह कहना है कि क्रम बदलिए।

  4. f(x, y) = x³ + x²y + y³ हेतु व्यंजक x·∂f/∂x + y·∂f/∂y बराबर है:

    1. f
    2. 2f
    3. 3f
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 3f

    f के प्रत्येक पद की कुल घात 3 है — x³, x²y व y³ सभी के घातांकों का योग 3 है — अतः f घात 3 का समघात है और आयलर प्रमेय x·fₓ + y·f_y = 3f देता है। लंबे मार्ग से भी यही मिलता है: x(3x² + 2xy) + y(x² + 3y²) = 3x³ + 2x²y + x²y + 3y³ = 3(x³ + x²y + y³)। परीक्षा-योग्य कौशल एक दृष्टि में समान घात पहचानना है; ऊपर का अंकगणित जाँच है, विधि नहीं। ध्यान दें कि x³ + y² जैसा फलन समघात नहीं है, और आयलर प्रमेय उस पर लागू ही नहीं होता।

  5. वृत्त x² + y² ≤ 1 पर ∫∫ (x² + y²) dA का मान है:

    1. π/4
    2. π/2
    3. π
    4. 2π
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — π/2

    ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल्य x² + y² केवल r² है, क्षेत्र 0 ≤ r ≤ 1 तथा θ 0 से 2π तक है, और क्षेत्रफल-अवयव r dr dθ। अतः समाकल ∫₀2π ∫₀¹ r²·r dr dθ = 2π·[r⁴/4]₀¹ = 2π·(1/4) = π/2 है। विकल्प A वह है जो जैकोबियन r छोड़कर r² dr dθ का समाकलन करने पर मिलता है, जो प्रत्येक ध्रुवीय प्रश्न की मानक त्रुटि है — r, dA का भाग है, कोई वैकल्पिक अतिरिक्त नहीं। विकल्प D वृत्त के क्षेत्रफल का दुगुना है और उस तक कोई मार्ग नहीं; यह पहचानना कि उत्तर क्षेत्रफल π गुणा अधिकतम समाकल्य 1 से छोटा होना चाहिए, उपयोगी विवेक-सीमा है।

  6. यदि z = x²y तथा x = t², y = t³ हो, तो t = 1 पर dz/dt है:

    1. 5
    2. 6
    3. 7
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 7

    शृंखला नियम से dz/dt = fₓ·(dx/dt) + f_y·(dy/dt) = 2xy·2t + x²·3t²। x = t² व y = t³ रखने पर 2t⁵·2t + t⁴·3t² = 4t⁶ + 3t⁶ = 7t⁶ मिलता है, जो t = 1 पर 7 है। पहले प्रतिस्थापन करना निःशुल्क जाँच है और उसे मिलना चाहिए: z = (t²)²·t³ = t⁷, अतः dz/dt = 7t⁶। विकल्प A दोनों पथों के योगदानों के बजाय उनके घातांक जोड़ने से आता है, और विकल्प D केवल x-पथ का अवकलन करके दुगुना करने से — दोनों एक ही भूल के रूप हैं, योग का एक पद छोड़ देना।

  7. lim(x→0) (x − sin x)/x³ का मान है:

    1. 0
    2. 1/6
    3. 1/3
    4. सीमा विद्यमान नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/6

    रूप 0/0 है, अतः ल-हॉपिटल लागू है — परंतु उसे रूप साफ़ होने तक लगाना पड़ता है। एक बार: (1 − cos x)/3x², अभी भी 0/0। दो बार: sin x/6x, अभी भी 0/0। तीन बार: cos x/6 → 1/6। श्रेणी-मार्ग तेज़ व कम त्रुटि-प्रवण है: sin x = x − x³/6 + …, अतः x − sin x = x³/6 − … और x³ से भाग देने पर 1/6 बचता है। विकल्प A वह है जो एक प्रयोग के बाद रुककर 0/0 को 0 पढ़ने से मिलता है, जो यह प्रश्न खोने का सबसे आम तरीका है; विकल्प D इस बात की अवहेलना करता है कि सीमा पूर्णतः साधारण परिमित संख्या है।

  8. ∫₀¹ ∫₀¹ ∫₀¹ xyz dx dy dz का मान _____ है (आवश्यक हो तो तीन दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.125

    समाकल्य गुणनखंडित है और छहों सीमाएँ अचर हैं, अतः त्रि-समाकल तीन समान एक-समाकलों के गुणनफल में विभक्त हो जाता है: (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz) = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8 = 0.125। विभाजन दोनों शर्तों पर ही वैध है — गुणनखंडित समाकल्य तथा अचर सीमाएँ। x की ऊपरी सीमा y कर दें और यह लघु-मार्ग समाप्त हो जाता है, क्योंकि तब x-समाकल y पर निर्भर है और गुणनफल से बाहर नहीं निकाला जा सकता। संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न होने से ग़लत प्रविष्टि पर कोई दंड नहीं, अतः रिक्त छोड़ने के बजाय मान टाइप करें।

  9. किसी बिंदु P पर फलन f(x, y) हेतु fₓ = f_y = 0 तथा D = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)² = 0 है। निम्नलिखित में कौन-से कथन अवश्य सत्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. P पर द्वितीय-अवकलज परीक्षण कोई निष्कर्ष नहीं देता
    2. P अनिवार्यतः पल्याण बिंदु है
    3. P, f का क्रांतिक बिंदु नहीं है
    4. P स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु अवश्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P पर द्वितीय-अवकलज परीक्षण कोई निष्कर्ष नहीं देता

    केवल विकल्प A सत्य है। D = 0 अनिर्णायक स्थिति है: बिंदु उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या पल्याण हो सकता है, और परीक्षण नहीं बता सकता कि कौन-सा — अतः B व D दोनों आँकड़ों से अधिक दावा करते हैं। विकल्प C सर्वथा असत्य है, क्योंकि fₓ = f_y = 0 ही क्रांतिक बिंदु की परिभाषा है। ध्यान दें यह प्रश्न वास्तव में क्या जाँच रहा है, और वह कलन नहीं है: MSQ का ठीक एक विकल्प सही हो सकता है, और "एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं" को "कम-से-कम दो सही हैं" पढ़ने वाला अभ्यर्थी A के साथ B या D जोड़ेगा और कुछ नहीं पाएगा, क्योंकि GATE आंशिक अंक नहीं देता। जो न्यायसंगत कर सकें वही चुनें, उससे अधिक कुछ नहीं।