रैखिक बीजगणित — कोटि, संगतता, आइगेन-मान व आइगेन-सदिश

रैखिक बीजगणित अभियांत्रिकी गणित का सबसे सस्ता खंड है, और आइगेन-मान उसका सबसे सस्ता भाग, क्योंकि अधिकांश आइगेन-मान प्रश्नों का उत्तर कुछ भी हल किए बिना दिया जा सकता है। दो तथ्य काम कर देते हैं: आइगेन-मानों का योग ट्रेस है तथा उनका गुणनफल सारणिक। 2×2 आव्यूह हेतु यही पूरा अभिलक्षणिक समीकरण है, और 3×3 हेतु यह सारणिक लिखने से पहले ही अधिकांश विकल्प तय कर देता है। किसी विधि से पहले इन दोनों को सीखें। इनके नीचे एक विचार है जो शेष अध्याय को जोड़ता है — कोटि (rank), अर्थात् वास्तव में स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या। समीकरण-निकाय संगत है जब गुणांक आव्यूह व संवर्धित आव्यूह की कोटि समान हो; उसका अद्वितीय हल है जब वह समान कोटि अज्ञातों की संख्या के भी बराबर हो, और अनंत हल जब वह कम पड़े। वर्ग आव्यूह प्रतिलोमनीय है जब उसकी कोटि पूर्ण हो, जो यही कहना है कि उसका सारणिक अशून्य है, जो यही कहना है कि शून्य उसका आइगेन-मान नहीं है। ये याद करने योग्य चार तथ्य नहीं हैं। ये एक ही तथ्य के चार वेश हैं, और वेश पहचानना ही परीक्षा-योग्य कौशल है। इस अध्याय में परीक्षक का प्रिय जाल पुनरावृत्त आइगेन-मान है: पुनरावृत्त आइगेन-मान वाला आव्यूह विकर्णनीय हो भी सकता है और नहीं भी, और प्रश्न सदा यह है कि उसके पास पर्याप्त स्वतंत्र आइगेन-सदिश हैं या नहीं — अतः विकर्णनीयता पूछी जाए तो आइगेन-सदिश गिनें, आइगेन-मान कभी नहीं।

रैखिक निकाय के विषय में सब कुछ कोटि तय करती है

n अज्ञातों सहित निकाय को Ax = b लिखें। गुणांक आव्यूह A तथा संवर्धित आव्यूह [A | b] का पंक्ति-ह्रास करें और दोनों कोटियों की तुलना करें। ठीक तीन परिणाम हैं, और चौथा संभव नहीं।

सम्पूर्ण संगतता-परीक्षण
कोटियाँअर्थहलों की संख्या
rank(A) < rank[A | b]कोई पंक्ति 0 = अशून्य तक घट गई। समीकरण परस्पर विरोधी हैं।असंगत — एक भी नहीं
rank(A) = rank[A | b] = nअज्ञातों जितने ही स्वतंत्र समीकरण।ठीक एक
rank(A) = rank[A | b] = r < nसंगत पर सूचना कम: n − r अज्ञात मुक्त रहते हैं।अनंत, n − r मुक्त प्राचलों सहित
⚠️ शून्य सारणिक का अर्थ "कोई हल नहीं" नहीं है
जब |A| = 0 हो तो निकाय का या कोई हल नहीं होता या अनंत, और अकेला सारणिक यह नहीं बता सकता कि कौन-सा — इसके लिए संवर्धित आव्यूह देखना पड़ता है। यह इस प्रकरण की सबसे आम एकल त्रुटि है, और परीक्षक इसे जान-बूझकर रखते हैं: वे प्राचल सहित निकाय देते हैं, वह मान पूछते हैं जो उसे अव्युत्क्रमणीय बनाता है, और फिर "कोई हल नहीं" तथा "अनंत हल" दोनों विकल्प रखते हैं। केवल |A| नहीं, [A | b] की कोटि निकालें।

समघात निकाय Ax = 0 में संवर्धित स्तंभ शून्य है, अतः कोटियाँ कभी भिन्न नहीं हो सकतीं और निकाय सदा संगत है — A जो भी हो, x = 0 एक हल है। पूछने योग्य एकमात्र प्रश्न यह है कि दूसरा हल है या नहीं, और वह ठीक तब है जब rank(A) < n, जो वर्ग A हेतु ठीक तब है जब |A| = 0। इसीलिए "निकाय का अतुच्छ हल है" तथा "सारणिक लुप्त होता है" प्रश्न में परस्पर विनिमेय वाक्यांश हैं।

अभिलक्षणिक समीकरण हल किए बिना आइगेन-मान

  • योग = ट्रेस, गुणनफल = सारणिक। A = [[4, 1], [2, 3]] हेतु ट्रेस 7 व सारणिक 10 है, अतः आइगेन-मान वे दो संख्याएँ हैं जिनका योग 7 व गुणनफल 10 हो: 5 व 2। कोई अभिलक्षणिक बहुपद नहीं लिखा गया।
  • त्रिभुजाकार का अर्थ विकर्ण पढ़ना। यदि A ऊपरी या निचला त्रिभुजाकार है — और विकर्ण आव्यूह दोनों है — तो उसके आइगेन-मान उसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं, क्योंकि तब |A − λI| विकर्ण पदों का गुणनफल होता है।
  • A के फलन आइगेन-मान बदलते हैं, आइगेन-सदिश नहीं। यदि Ax = λx तो Ak x = λk x, (A + cI)x = (λ + c)x, तथा λ ≠ 0 पर A⁻¹x = (1/λ)x। अतः 1, 2, 3 आइगेन-मान वाले आव्यूह के A² के आइगेन-मान 1, 4, 9 हैं और इससे ट्रेस 14 — A² बनाए बिना निकाला गया।
  • सममिति उत्तर को सीमित करती है। वास्तविक सममित आव्यूह के आइगेन-मान वास्तविक व आइगेन-सदिश लांबिक होते हैं; वास्तविक विषम-सममित आव्यूह के आइगेन-मान पूर्णतः काल्पनिक या शून्य होते हैं। [[0, 2], [−2, 0]] के आइगेन-मान ±2i हैं, और वास्तविक संख्याओं वाली विकल्प-सूची देखते ही हटाई जा सकती है।
  • केली–हैमिल्टन उच्च घातों को निम्न में बदलता है। प्रत्येक आव्यूह अपने ही अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। B = [[1, 2], [3, 4]] हेतु, जिसका अभिलक्षणिक बहुपद λ² − 5λ − 2 है, इससे B² = 5B + 2I मिलता है — और दोनों पक्ष वास्तव में [[7, 10], [15, 22]] हैं। B के पदों में B⁴ या B⁻¹ पूछने वाला कोई भी प्रश्न इसी सर्वसमिका का दो बार प्रयोग है।
🎯 पुनरावृत्त आइगेन-मान उत्तर नहीं, प्रश्न क्यों है
अभिलक्षणिक बहुपद में k बार दोहराए गए आइगेन-मान की बीजीय बहुलता k है; वह वास्तव में जितने स्वतंत्र आइगेन-सदिश देता है वह उसकी ज्यामितीय बहुलता है, और वह छोटी हो सकती है। [[3, 1], [0, 3]] का एकमात्र आइगेन-मान 3 है जिसकी बीजीय बहुलता 2 है, परंतु (A − 3I)x = 0 हल करने पर एक-विमीय समष्टि मिलती है — ज्यामितीय बहुलता 1। 2×2 आव्यूह हेतु केवल एक आइगेन-सदिश होने पर आइगेन-सदिशों का आधार नहीं बनता, अतः आव्यूह विकर्णनीय नहीं है। वास्तविक सममित आव्यूह में यह समस्या कभी नहीं आती, इसीलिए सममिति सबसे पहले देखने योग्य है।

गाउस निरसन व LU — GATE वास्तव में क्या पूछता है

निरसन के प्रश्न लगभग कभी "इस निकाय को हल करें" नहीं होते। वे एक मध्यवर्ती राशि पूछते हैं: दो चरणों के बाद किसी पिवट का मान, आंशिक पिवटिंग हेतु आवश्यक पंक्ति-विनिमयों की संख्या, L या U की कोई प्रविष्टि, या निकलती कोटि। अतः विधि द्वारा निर्धारित क्रम में ह्रास करें और जिस क्षण पूछी गई संख्या मिले रुक जाएँ, x, y, z तक हल करके फिर उत्तर ढूँढ़ने के बजाय।

  • प्राथमिक पंक्ति संक्रियाएँ कोटि नहीं बदलतीं, और हल-समुच्चय भी नहीं बदलतीं। वे सारणिक को ज्ञात रीति से बदलती हैं: दो पंक्तियों का विनिमय उसका चिह्न पलटता है, किसी पंक्ति को c से गुणा करना उसे c से गुणा करता है, और एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना उसे अपरिवर्तित छोड़ता है।
  • आंशिक पिवटिंग अंकगणित हेतु है, बीजगणित हेतु नहीं। सबसे बड़े पिवट वाली पंक्ति को लाना यथार्थ उत्तर बदलता ही नहीं; वह छोटे पिवट को सन्निकटन-त्रुटि बढ़ाने से रोकता है। पिवटिंग क्यों की जाती है — यह पूछने वाला प्रश्न आंकिक स्थायित्व के विषय में है, और विकल्पों में खोजने योग्य शब्द "विधि की यथार्थता" नहीं बल्कि "सन्निकटन-त्रुटि की वृद्धि" है।
  • एक-कोटि आव्यूह पहचाना जाता है, गणित नहीं किया जाता। [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] में प्रत्येक पंक्ति पहली का गुणज है, अतः कोटि 1 है — और इससे दो आइगेन-मान 0 तथा तीसरा ट्रेस, 14 है। अनुपाती पंक्तियाँ पहचानना पूरा ह्रास बचा देता है।

मुख्य बिंदु

  • आइगेन-मानों का योग = ट्रेस, गुणनफल = सारणिक। 2×2 हेतु यही पूरा अभिलक्षणिक समीकरण है, और 3×3 हेतु यह किसी भी काम से पहले अधिकांश विकल्प हटा देता है।
  • संगतता कोटि-तुलना है: असमान कोटि अर्थात् कोई हल नहीं, समान कोटि n के बराबर अर्थात् एक, समान कोटि n से कम अर्थात् n − r मुक्त प्राचलों सहित अनंत।
  • लुप्त सारणिक "कोई हल नहीं" व "अनंत हल" के बीच निर्णय नहीं करता — केवल संवर्धित आव्यूह करता है। परीक्षक दोनों विकल्प जान-बूझकर देते हैं।
  • A की घातें, प्रतिलोम व स्थानांतरण आइगेन-सदिश रखते हैं और आइगेन-मान रूपांतरित करते हैं: λ बनता है λk, 1/λ या λ + c। Trace(A²) केवल आइगेन-मानों से निकल आता है।
  • विकर्णनीयता आइगेन-सदिशों की बात है, आइगेन-मानों की नहीं। [[3, 1], [0, 3]] आइगेन-मान 3 दोहराता है पर केवल एक आइगेन-सदिश देता है, अतः वह विकर्णनीय नहीं; वास्तविक सममित आव्यूह सदा होता है।
  • केली–हैमिल्टन आव्यूह की उच्च घात को निम्न घातों के रैखिक संयोजन से बदल देता है: [[1, 2], [3, 4]] हेतु A² = 5A + 2I।
  • अनुपाती पंक्तियाँ कोटि 1 दर्शाती हैं, जो एक को छोड़ सभी आइगेन-मान शून्य कर देती हैं और शेष को ट्रेस के बराबर बना देती हैं।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आव्यूह [[4, 1], [2, 3]] के आइगेन-मान हैं:

    1. 5 व 2
    2. 4 व 3
    3. 7 व 10
    4. 6 व 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 5 व 2

    अभिलक्षणिक बहुपद न बनाएँ। ट्रेस 4 + 3 = 7 तथा सारणिक 4·3 − 1·2 = 10 है, अतः आइगेन-मान वह युग्म है जिसका योग 7 व गुणनफल 10 हो: 5 व 2। विकल्प B विकर्ण है, जो उत्तर तभी होता जब आव्यूह त्रिभुजाकार होता — वह नहीं है, क्योंकि विकर्ण के ऊपर की प्रविष्टि 1 अशून्य है। विकल्प C ट्रेस व सारणिक को ही आइगेन-मान मान लेता है, जो यहाँ की सबसे आम भूल है: वे आइगेन-मानों के योग व गुणनफल हैं, आइगेन-मान नहीं।

  2. किसी 3×3 आव्यूह A के आइगेन-मान 1, 2 व 3 हैं। A² का ट्रेस है:

    1. 36
    2. 14
    3. 6
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 14

    आव्यूह का वर्ग उसके आइगेन-मानों का वर्ग करता है और आइगेन-सदिश अपरिवर्तित छोड़ता है, अतः A² के आइगेन-मान 1, 4 व 9 हैं। ट्रेस आइगेन-मानों का योग है, अतः trace(A²) = 1 + 4 + 9 = 14। A स्वयं कभी आवश्यक नहीं हुआ। विकल्प A, A के ट्रेस का वर्ग (6² = 36) है, जो भिन्न राशि है — वर्ग का ट्रेस, ट्रेस का वर्ग नहीं होता। विकल्प C, trace(A) है, और विकल्प D, A² के सारणिक (1·4·9 = 36) की ग़लत स्मृति; ध्यान दें det(A²) = 36 है जबकि trace(A²) = 14, और दोनों देने वाला प्रश्न यह जाँचता है कि आपने पढ़ा कि क्या पूछा गया।

  3. निकाय x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 4, x + 3y + λz = 6 हेतु, λ = 5 का मान निकाय को बनाता है:

    1. अनंत हल वाला
    2. अद्वितीय हल वाला
    3. असंगत, कोई हल नहीं
    4. ठीक दो हल वाला
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — असंगत, कोई हल नहीं

    गुणांक आव्यूह का सारणिक λ − 5 निकलता है, अतः λ = 5 उसे अव्युत्क्रमणीय बना देता है और अद्वितीय-हल की स्थिति समाप्त हो जाती है। यह आधा काम ही है। λ = 5 पर संवर्धित आव्यूह का पंक्ति-ह्रास करें: दूसरी में से पहली घटाने पर (0, 1, 2 | 3) तथा तीसरी में से पहली घटाने पर (0, 2, 4 | 5) मिलता है, और इनमें पहली का दुगुना (0, 2, 4 | 6) है — जो (0, 2, 4 | 5) का विरोध करता है। अतः rank(A) = 2 जबकि rank[A | b] = 3, और निकाय असंगत है। विकल्प A जाल है: शून्य सारणिक A व C दोनों के अनुरूप है, और उनमें निर्णय केवल संवर्धित आव्यूह करता है। विकल्प D सैद्धांतिक रूप से हटाया जा सकता है — रैखिक निकाय के कभी एक से अधिक परिमित हल नहीं होते।

  4. निकाय x + y + z = 6, 2x + 2y + 2z = 12, x + 2y + 3z = 14 का है:

    1. अद्वितीय हल
    2. एक मुक्त प्राचल सहित अनंत हल
    3. कोई हल नहीं
    4. चौथा समीकरण जोड़ने पर ही अद्वितीय हल
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — एक मुक्त प्राचल सहित अनंत हल

    दूसरा समीकरण ठीक पहले का दुगुना है, अतः वह कोई नई सूचना नहीं देता। दो स्वतंत्र समीकरण बचते हैं, जिससे rank(A) = 2, और संवर्धित आव्यूह भी कोटि 2 तक घटता है — दोहराई पंक्ति संगत है, विरोधी नहीं। तीन अज्ञात व कोटि 2 होने पर n − r = 3 − 2 = 1 मुक्त प्राचल है और इससे अनंत हल। विकल्प C हेतु कोटियों का भिन्न होना आवश्यक होता, जो तब होता है जब दोहराई पंक्ति का दाहिना पक्ष भिन्न हो: 12 को 13 कर दें और वही निकाय असंगत हो जाता है। वह एक अंक ही दोनों उत्तरों का पूरा अंतर है, और वहीं परीक्षक यह प्रश्न रखते हैं।

  5. आव्यूह [[3, 1], [0, 3]] है:

    1. विकर्णनीय, आइगेन-मान 3 व 1 सहित
    2. विकर्णनीय, पुनरावृत्त आइगेन-मान 3 सहित
    3. विकर्णनीय नहीं, क्योंकि उसका केवल एक स्वतंत्र आइगेन-सदिश है
    4. विकर्णनीय नहीं, क्योंकि उसका सारणिक शून्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — विकर्णनीय नहीं, क्योंकि उसका केवल एक स्वतंत्र आइगेन-सदिश है

    आव्यूह त्रिभुजाकार है, अतः आइगेन-मान विकर्ण-प्रविष्टियाँ हैं: 3 दो बार — बीजीय बहुलता 2। अब (A − 3I)x = 0, अर्थात् [[0, 1], [0, 0]]x = 0 हल करें, जो दूसरे घटक को शून्य कर देता है और पहले को मुक्त छोड़ता है: एक-विमीय आइगेन-समष्टि, ज्यामितीय बहुलता 1। 2×2 आव्यूह को विकर्णनीय होने हेतु दो स्वतंत्र आइगेन-सदिश चाहिए, अतः यह नहीं है। विकल्प A विकर्णेतर 1 को आइगेन-मान पढ़ लेता है। विकल्प D सत्य निष्कर्ष से जुड़ा असत्य कारण है: सारणिक 9 है, 0 नहीं, और वैसे भी शून्य सारणिक विकर्णन को नहीं रोकता — शून्य आव्यूह पहले से विकर्ण है।

  6. A = [[1, 2], [3, 4]] हेतु केली–हैमिल्टन प्रमेय से A² बराबर है:

    1. 5A + 2I
    2. 5A − 2I
    3. 2A + 5I
    4. −5A + 2I
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 5A + 2I

    ट्रेस 5 तथा सारणिक 1·4 − 2·3 = −2 है, अतः अभिलक्षणिक समीकरण λ² − (ट्रेस)λ + (सारणिक) = λ² − 5λ − 2 = 0 है। केली–हैमिल्टन कहता है कि आव्यूह उसे संतुष्ट करता है: A² − 5A − 2I = 0, अतः A² = 5A + 2I। दोनों पक्ष जाँचें: A² = [[7, 10], [15, 22]] तथा 5A + 2I = [[5 + 2, 10], [15, 20 + 2]] = [[7, 10], [15, 22]]। विकल्प B ऋण सारणिक का चिह्न छोड़ने से मिलता है, जो प्रश्न की एकमात्र वास्तविक कठिनाई है — अभिलक्षणिक बहुपद का अचर पद +सारणिक है, और यहाँ सारणिक स्वयं ऋणात्मक है।

  7. वास्तविक विषम-सममित आव्यूह [[0, 2], [−2, 0]] के आइगेन-मान हैं:

    1. 2 व −2
    2. 2i व −2i
    3. 0 व 0
    4. 4 व −4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2i व −2i

    ट्रेस 0 तथा सारणिक 0·0 − 2·(−2) = 4 है, अतः आइगेन-मानों का योग 0 व गुणनफल 4 है — वे ±2i ही हो सकते हैं, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या-युग्म का योग शून्य और गुणनफल धनात्मक नहीं होता। साथ रखने योग्य सामान्य नियम यही है: वास्तविक विषम-सममित आव्यूह के आइगेन-मान पूर्णतः काल्पनिक या शून्य होते हैं, ठीक जैसे वास्तविक सममित आव्यूह के वास्तविक। विकल्प A वह युग्म है जिसका योग 0 पर गुणनफल −4 है, और विकल्प C वह है जो शून्य ट्रेस सुझाता है यदि यह भूल जाएँ कि गुणनफल भी मिलाना है।

  8. आव्यूह [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]] की कोटि _____ है (पूर्ण संख्या में उत्तर दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    दूसरी पंक्ति पहली की दुगुनी व तीसरी तिगुनी है, अतः केवल एक स्वतंत्र पंक्ति है और कोटि 1 है — अनुपात दिख जाने पर किसी ह्रास की आवश्यकता नहीं। दो परिणाम तुरंत निकलते हैं और प्रायः अगला प्रश्न वही पूछता है: कोटि 1 होने से शून्यता 3 − 1 = 2 है, अतः दो आइगेन-मान 0 हैं; और आइगेन-मानों का योग ट्रेस, 1 + 4 + 9 = 14, होना चाहिए, अतः शेष आइगेन-मान 14 है। यह भी ध्यान रखें कि यह संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न है, अतः ग़लत प्रविष्टि से कुछ नहीं जाता — इसे कभी रिक्त न छोड़ें।

  9. आव्यूह [[2, 1, 0], [1, 3, 1], [0, 1, 2]] के आइगेन-मानों का योग _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7

    आइगेन-मानों का योग ट्रेस है, अतः वह 2 + 3 + 2 = 7 है, और अभिलक्षणिक बहुपद बनाने की कभी आवश्यकता नहीं। अभिलेख हेतु आइगेन-मान 1, 2 व 4 हैं, जिनका योग 7 व गुणनफल 8 — सारणिक — है। आव्यूह सममित है, जो पहले से सुनिश्चित करता है कि तीनों वास्तविक हैं, अतः सम्मिश्र संख्या वाला विकल्प या निकाला उत्तर किसी भी अंकगणित से पहले ग़लत होगा। विकर्ण से ट्रेस पढ़ लेना दो-सेकंड का मार्ग है, और वह आव्यूह के आकार पर निर्भर नहीं।

  10. A एक वास्तविक 3×3 आव्यूह है जिसका |A| = 0 है। निम्नलिखित में कौन-से कथन अवश्य सत्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. A का कम-से-कम एक आइगेन-मान शून्य है
    2. निकाय Ax = b का प्रत्येक b हेतु कोई हल नहीं है
    3. निकाय Ax = 0 का अतुच्छ हल है
    4. A का विकर्णन नहीं हो सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A का कम-से-कम एक आइगेन-मान शून्य है; C — निकाय A**x** = **0** का अतुच्छ हल है

    सारणिक आइगेन-मानों का गुणनफल है, अतः |A| = 0 उनमें कम-से-कम एक को शून्य कर देता है — विकल्प A सत्य है। और शून्य सारणिक का अर्थ है कोटि 3 से कम, अतः समघात निकाय का x = 0 से आगे भी हल है — विकल्प C सत्य है। विकल्प B अधिक पढ़ लेता है: |A| = 0 पर असमघात निकाय का या कोई हल नहीं होता या अनंत, और कौन-सा यह b पर निर्भर है, अतः "प्रत्येक b हेतु" असत्य है। विकल्प D दूसरी दिशा में अधिक पढ़ता है: शून्य आव्यूह का सारणिक 0 है और वह पहले से विकर्ण है। चूँकि GATE, MSQ पर आंशिक अंक नहीं देता, दोनों सही विकल्पों के साथ इनमें कोई भी अति-पठन जोड़ने पर कुछ नहीं मिलता — और चूँकि गलत MSQ कुछ लेता भी नहीं, सही युक्ति यह है कि पहले दो ठीक दिखते कथनों पर रुकने के बजाय चारों जाँचें।