फलनों के अनुक्रम व श्रेणियाँ, घात श्रेणियाँ, तथा प्रतिलोम व अस्पष्ट फलन प्रमेय

वास्तविक विश्लेषण का दूसरा अध्याय फलनों की सीमाओं के विषय में है। बिंदुशः अभिसरण सांतत्य, समाकल या अवकलज को सीमा तक ले जाने हेतु बहुत दुर्बल है; एकसमान अभिसरण पहले दो को ले जाता है और, अवकलजों पर एक शर्त सहित, तीसरे को। वायरस्ट्रास M-परीक्षण किसी श्रेणी के एकसमान अभिसरण को सिद्ध करने का दैनिक उपकरण है; डीनी प्रमेय, आस्कोली–आर्ज़ेला प्रमेय व वायरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय वे संरचनात्मक परिणाम हैं जिन्हें पेपर नामित करता है। घात श्रेणियाँ सबसे सुव्यवहृत श्रेणियाँ हैं — वे अपनी चकती के प्रत्येक संहत उपसमुच्चय पर एकसमानतः अभिसृत होती हैं — और उनकी अभिसरण त्रिज्या निश्चित आंकिक प्रश्न है। अध्याय MA गहराई पर अनेक चरों के कलन पर समाप्त होता है: रैखिक प्रतिचित्र के रूप में अवकलज, तथा प्रतिलोम व अस्पष्ट फलन प्रमेय, जिनके निष्कर्ष स्थानीय हैं और जिनके उदाहरण दिखाते हैं कि वे केवल स्थानीय ही देते हैं।

1. बिंदुशः व एकसमान अभिसरण

E पर fₙ → f बिंदुशः यदि प्रत्येक x हेतु fₙ(x) → f(x); एकसमानतः यदि Mₙ = supx∈E |fₙ(x) − f(x)| → 0। कौशी कसौटी: (fₙ) एकसमानतः अभिसृत है यदि और केवल यदि प्रत्येक ε > 0 हेतु N हो जिससे सभी m, n ≥ N व सभी x हेतु |fₙ(x) − fₘ(x)| < ε। एकसमान अभिसरण जाँचने हेतु बिंदुशः सीमा निकालें, फिर Mₙ की गणना करें या सीमा बाँधें, प्रायः कलन से।

जानने योग्य चार अनुक्रम
fₙ(x)बिंदुशः सीमाsup |fₙ − f|एकसमान?
[0, 1] पर xⁿx < 1 हेतु 0, x = 1 पर 11 (x को 1 के निकट लें)नहीं; a < 1 हेतु [0, a] पर हाँ, जहाँ यह aⁿ है
ℝ पर x/(1 + nx²)01/(2√n), x = 1/√n परहाँ
[0, 1] पर nx/(1 + n²x²)01/2, x = 1/n परनहीं
ℝ पर sin(nx)/√n01/√nहाँ, परंतु fₙ′(0) = √n अपसारी

2. एकसमान अभिसरण क्या सुरक्षित रखता है

  • सांतत्य। संतत फलनों की एकसमान सीमा संतत होती है। प्रतिधनात्मक: [0, 1] पर xⁿ की सीमा असंतत है, अतः अभिसरण एकसमान नहीं हो सकता।
  • समाकल। यदि [a, b] पर fₙ → f एकसमानतः और प्रत्येक fₙ रीमान समाकलनीय हो, तो f भी है और ∫fₙ → ∫f। बिंदुशः पर्याप्त नहीं: [0, 1] पर fₙ(x) = nx(1 − x²)ⁿ → 0, परंतु ∫₀¹ fₙ = n/(2(n + 1)) → 1/2।
  • अवकलज। यदि प्रत्येक fₙ, [a, b] पर अवकलनीय हो, (fₙ′) एकसमानतः अभिसृत हो और किसी एक x₀ हेतु (fₙ(x₀)) अभिसृत हो, तो fₙ किसी f की ओर एकसमानतः अभिसृत होता है जिसके लिए f′ = lim fₙ′। केवल fₙ का एकसमान अभिसरण पर्याप्त नहीं: sin(nx)/√n।
  • डीनी प्रमेय। यदि संहत K पर संतत fₙ किसी संतत f की ओर एकदिष्टतः व बिंदुशः अभिसृत हों, तो अभिसरण एकसमान है। चारों परिकल्पनाएँ महत्त्वपूर्ण हैं; [0, 1] पर xⁿ केवल सीमा के सांतत्य में विफल है।

वायरस्ट्रास M-परीक्षण। यदि सभी x ∈ E हेतु |fₙ(x)| ≤ Mₙ और ΣMₙ < ∞, तो Σfₙ, E पर निरपेक्षतः व एकसमानतः अभिसृत है। अतः Σ sin(nx)/n² व Σ 1/(n² + x²), ℝ पर एकसमानतः अभिसृत हैं और संतत फलन परिभाषित करती हैं। Σ xⁿ/n!, ℝ पर अभिसृत है परंतु ℝ पर एकसमानतः नहीं (x = n पर इसके पद छोटे नहीं), केवल परिबद्ध समुच्चयों पर।

3. घात श्रेणियाँ व अभिसरण त्रिज्या

Σaₙ(x − c)ⁿ की अभिसरण त्रिज्या R ∈ [0, ∞] कौशी–हाडामार्ड से, 1/R = limsup |aₙ|1/n, या अनुपात परीक्षण 1/R = lim |aₙ₊₁/aₙ| से, जब वह सीमा हो, मिलती है। श्रेणी |x − c| < R हेतु निरपेक्षतः अभिसृत, |x − c| > R हेतु अपसारी, तथा r < R सहित प्रत्येक संवृत अंतराल [c − r, c + r] पर एकसमानतः अभिसृत है। पदशः अवकलन व समाकलन वही R रखते हैं।

परिकलित त्रिज्याएँ
श्रेणीगणनाR
Σ n! xⁿअनुपात (n + 1) → ∞0
Σ xⁿ/n!अनुपात 1/(n + 1) → 0∞
Σ (3ⁿ + 4ⁿ) xⁿ(3ⁿ + 4ⁿ)1/n → 41/4
Σ (n/(n + 1))n² xⁿ|aₙ|1/n = (1 + 1/n)−n → 1/ee
Σ 2ⁿ x2nअभिसृत यदि और केवल यदि 2x² < 11/√2
⚠️ अंत-बिंदुओं का अलग से परीक्षण आवश्यक है
Σxⁿ, Σxⁿ/n व Σxⁿ/n² तीनों हेतु R = 1। पहली किसी अंत-बिंदु पर अभिसृत नहीं, दूसरी केवल x = −1 पर (एकांतर हरात्मक), तीसरी दोनों पर। आबेल प्रमेय: यदि श्रेणी x = R पर अभिसृत हो, तो [0, R] पर अभिसरण एकसमान है और योग वहाँ संतत है; अतः Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = limx→1⁻ log(1 + x) = log 2।

4. समसांतत्य, आस्कोली–आर्ज़ेला व वायरस्ट्रास सन्निकटन

कुल F ⊆ C(K) समसंतत है यदि प्रत्येक ε > 0 हेतु एक δ हो जो F के प्रत्येक f हेतु एक साथ चले। आस्कोली–आर्ज़ेला: संहत दूरीक K हेतु F ⊆ C(K) का sup मानक में संवरक संहत है यदि और केवल यदि F एकसमानतः परिबद्ध व समसंतत हो; अतः प्रत्येक परिबद्ध समसंतत अनुक्रम का एकसमानतः अभिसारी उपानुक्रम है। उभयनिष्ठ लिप्शिट्ज़ सीमा वाला कुल, उदा. [0, 1] पर {f : |f′| ≤ 1, |f(0)| ≤ 1}, योग्य है। [0, 1] पर {sin(nx)} व {xⁿ} एकसमानतः परिबद्ध हैं परंतु समसंतत नहीं (क्रमशः 0 व 1 के निकट)।

वायरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय: [a, b] पर प्रत्येक संतत f बहुपदों की एकसमान सीमा है — उदाहरणार्थ [0, 1] पर उसके बर्नस्टाइन बहुपदों Bₙf(x) = Σ f(k/n) C(n, k) xᵏ(1 − x)ⁿ⁻ᵏ की। परिणाम: यदि f ∈ C[0, 1] तथा प्रत्येक n ≥ 0 हेतु ∫₀¹ f(x)xⁿ dx = 0, तो प्रत्येक बहुपद p हेतु ∫f·p = 0, अतः ∫f² = 0 और f ≡ 0। प्रमेय को संहत अंतराल चाहिए: सम्पूर्ण ℝ पर बहुपदों की एकसमान सीमा स्वयं बहुपद होती है, अतः eˣ वैसी नहीं।

5. अनेक चरों में अवकलज; प्रतिलोम व अस्पष्ट फलन प्रमेय

f: U ⊆ ℝⁿ → ℝᵐ हेतु अवकलज Df(a) वह रैखिक प्रतिचित्र है जिसके लिए f(a + h) = f(a) + Df(a)h + o(‖h‖); इसका आव्यूह जैकोबियन (∂fᵢ/∂xⱼ) है, और शृंखला नियम D(g ∘ f)(a) = Dg(f(a))·Df(a) है। यदि U पर आंशिक अवकलज हों और संतत हों, तो f वहाँ C¹ है।

  • प्रतिलोम फलन प्रमेय। यदि f: U → ℝⁿ, C¹ हो और det Df(a) ≠ 0, तो विवृत V ∋ a व W ∋ f(a) ऐसे हैं कि f: V → W, C¹ प्रतिलोम सहित एकैकी आच्छादन है, तथा D(f⁻¹)(f(a)) = Df(a)⁻¹। निष्कर्ष स्थानीय है: f(x, y) = (eˣ cos y, eˣ sin y) हेतु हर स्थान पर det Df = e2x ≠ 0, फिर भी f(x, y + 2π) = f(x, y), अतः f, ℝ² पर एकैकी नहीं, और (0, 0) को छोड़ देता है।
  • अस्पष्ट फलन प्रमेय। यदि F: ℝⁿ × ℝᵐ → ℝᵐ, C¹ हो, F(a, b) = 0 तथा m × m आव्यूह DyF(a, b) व्युत्क्रमणीय हो, तो (a, b) के निकट F(x, y) = 0 के हल ठीक y = g(x) हैं, g(a) = b वाले अद्वितीय C¹ g हेतु, तथा Dg = −(DyF)⁻¹DₓF। दो चरों में एक समीकरण हेतु dy/dx = −Fₓ/Fy।
⚠️ शून्य जैकोबियन प्रतिलोम का निषेध नहीं करता
प्रमेय केवल पर्याप्त शर्तें देते हैं। f(x) = x³ हेतु f′(0) = 0, फिर भी यह संतत प्रतिलोम ∛x सहित ℝ का एकैकी आच्छादन है; विफल होता है 0 पर प्रतिलोम का अवकलनीय होना। इसी प्रकार x² + y² = 1 को (1, 0) के निकट y हेतु हल नहीं किया जा सकता क्योंकि वहाँ Fy = 2y = 0, परंतु x = √(1 − y²) हेतु किया जा सकता है, क्योंकि Fₓ = 2 ≠ 0।

मुख्य बिंदु

  • एकसमान अभिसरण अर्थात् sup |fₙ − f| → 0; वह उच्चक निकालें, प्रायः x = 1/n या 1/√n जैसे क्रांतिक बिंदु पर।
  • एकसमान सीमाएँ सांतत्य व समाकल सुरक्षित रखती हैं; अवकलजों को fₙ′ का एकसमान अभिसरण तथा एक बिंदु पर अभिसरण चाहिए।
  • M-परीक्षण एकसमान अभिसरण सिद्ध करता है; घात श्रेणियाँ अभिसरण के विवृत अंतराल के संहत उपसमुच्चयों पर एकसमानतः अभिसृत होती हैं, और अंत-बिंदुओं को अपना परीक्षण चाहिए।
  • आस्कोली–आर्ज़ेला: परिबद्ध व समसंतत से एकसमानतः अभिसारी उपानुक्रम; वायरस्ट्रास: C[a, b] में बहुपद सघन हैं।
  • प्रतिलोम व अस्पष्ट फलन प्रमेयों को C¹ प्रतिचित्र व व्युत्क्रमणीय अवकलज चाहिए, और वे केवल स्थानीय निष्कर्ष देते हैं।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. मान लें fₙ(x) = xⁿ। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. [0, 1] पर (fₙ) बिंदुशः अभिसृत है
    2. [0, 1] पर (fₙ) एकसमानतः अभिसृत है
    3. [0, 1/2] पर (fₙ) एकसमानतः अभिसृत है
    4. बिंदुशः सीमा [0, 1] पर संतत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [0, 1] पर (fₙ) बिंदुशः अभिसृत है; C — [0, 1/2] पर (fₙ) एकसमानतः अभिसृत है

    सीमा [0, 1) पर 0 तथा x = 1 पर 1 है: बिंदुशः अभिसरण है, और सीमा असंतत है, अतः (4) विफल और [0, 1] पर अभिसरण एकसमान नहीं हो सकता (संतत फलनों की एकसमान सीमा संतत होती है)। [0, 1/2] पर sup |xⁿ| = 2⁻ⁿ → 0, अतः (3) लागू।

  2. [0, ∞) पर fₙ(x) = x/(1 + nx²) हेतु supx≥0 |f₁₆(x)| का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.125

    fₙ′(x) = (1 − nx²)/(1 + nx²)², x = 1/√n पर शून्य है, जहाँ fₙ = (1/√n)/2 = 1/(2√n)। n = 16 हेतु यह 1/8 = 0.125 है। चूँकि 1/(2√n) → 0, [0, ∞) पर fₙ → 0 एकसमानतः।

  3. [0, 1] पर अनुक्रम fₙ(x) = nx/(1 + n²x²)

    1. बिंदुशः 0 की ओर अभिसृत है परंतु एकसमानतः नहीं
    2. 0 की ओर एकसमानतः अभिसृत है
    3. x = 0 पर अभिसृत नहीं
    4. असंतत फलन की ओर अभिसृत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बिंदुशः 0 की ओर अभिसृत है परंतु एकसमानतः नहीं

    fₙ(0) = 0 तथा x > 0 हेतु fₙ(x) ≤ nx/(n²x²) = 1/(nx) → 0, अतः सीमा संतत फलन 0 है। परंतु प्रत्येक n हेतु fₙ(1/n) = 1/2, अतः sup |fₙ| = 1/2 ↛ 0। संतत सीमा से अभिसरण एकसमान नहीं बनता; यहाँ डीनी विफल है क्योंकि अनुक्रम एकदिष्ट नहीं।

  4. कौन-सी श्रेणियाँ सम्पूर्ण वास्तविक रेखा ℝ पर एकसमानतः अभिसृत हैं?

    1. Σ sin(nx)/n²
    2. Σ xⁿ/n!
    3. Σ 1/(n² + x²)
    4. Σ cos(nx)/n
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ sin(nx)/n²; C — Σ 1/(n² + x²)

    (1) |sin(nx)/n²| ≤ 1/n² तथा (3) 1/(n² + x²) ≤ 1/n², अतः M-परीक्षण लागू। (2) बिंदुशः eˣ की ओर अभिसृत है परंतु एकसमानतः नहीं: x = n पर n-वाँ पद nⁿ/n! ≥ 1 है, अतः पद एकसमानतः 0 की ओर नहीं जाते। (4) x = 0 पर अपसारी है, जहाँ यह हरात्मक श्रेणी है।

  5. घात श्रेणी Σn≥1 (n/(n + 1))n² xⁿ की अभिसरण त्रिज्या, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.72

    कौशी–हाडामार्ड से |aₙ|1/n = (n/(n + 1))ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ → 1/e, अतः R = e = 2.718…, अर्थात् 2.72। यहाँ अनुपात परीक्षण असुविधाजनक है; घातांक n² होने से मूल परीक्षण स्वाभाविक है।

  6. Σn≥0 (3ⁿ + 4ⁿ) xⁿ की अभिसरण त्रिज्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    (3ⁿ + 4ⁿ)1/n = 4(1 + (3/4)ⁿ)1/n → 4, अतः R = 1/4। बड़ा आधार प्रभावी होता है; दोनों त्रिज्याओं 1/3 व 1/4 को जोड़ना या 1/7 लेना सामान्य भूलें हैं।

  7. घात श्रेणी Σn≥1 xⁿ/n हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. इसकी अभिसरण त्रिज्या 1 है
    2. यह x = −1 पर अभिसृत है
    3. यह x = 1 पर अभिसृत है
    4. यह [−1, 0] पर एकसमानतः अभिसृत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इसकी अभिसरण त्रिज्या 1 है; B — यह x = −1 पर अभिसृत है; D — यह [−1, 0] पर एकसमानतः अभिसृत है

    (1) (1/n)1/n → 1। (2) x = −1 पर यह एकांतर हरात्मक श्रेणी है, अभिसारी। (3) x = 1 पर हरात्मक श्रेणी, अपसारी। (4) x = −t, t ∈ [0, 1] हेतु यह ह्रासमान पदों tⁿ/n वाली एकांतर श्रेणी है, अतः N पदों के बाद शेष अधिकतम tN+1/(N + 1) ≤ 1/(N + 1), t में एकसमानतः।

  8. मान लें ℝ पर fₙ(x) = sin(nx)/√n। कौन-सा कथन सही है?

    1. ℝ पर fₙ → 0 एकसमानतः, परंतु (fₙ′(0)) अपसारी है
    2. fₙ → 0 एकसमानतः, अतः fₙ′ → 0 एकसमानतः
    3. fₙ, ℝ पर एकसमानतः अभिसृत नहीं
    4. प्रत्येक x हेतु fₙ′(x) → 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ℝ पर fₙ → 0 एकसमानतः, परंतु (fₙ′(0)) अपसारी है

    |fₙ| ≤ 1/√n → 0, अतः अभिसरण एकसमान है। परंतु fₙ′(x) = √n cos(nx), तथा fₙ′(0) = √n → ∞। फलनों का एकसमान अभिसरण उनके अवकलजों के विषय में कुछ नहीं कहता; पदशः प्रमेय को fₙ′ का एकसमान अभिसरण चाहिए।

  9. limn→∞ ∫₀¹ n x (1 − x²)ⁿ dx का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.5

    u = 1 − x² से ∫₀¹ x(1 − x²)ⁿ dx = 1/(2(n + 1)), अतः समाकल n/(2(n + 1)) → 1/2। समाकल्य प्रत्येक x ∈ [0, 1] पर 0 की ओर जाता है, अतः समाकलों की सीमा सीमा का समाकल नहीं; अभिसरण एकसमान नहीं (x = 1/√(2n + 1) के निकट शिखर √n की भाँति बढ़ता है)।

  10. मान लें f ∈ C[0, 1], प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 0 हेतु ∫₀¹ f(x) xⁿ dx = 0 संतुष्ट करता है। तब

    1. प्रत्येक x ∈ [0, 1] हेतु f(x) = 0
    2. f केवल परिमेय बिंदुओं पर शून्य है
    3. f अशून्य अचर है
    4. कुछ भी निष्कर्ष नहीं निकलता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक x ∈ [0, 1] हेतु f(x) = 0

    रैखिकता से प्रत्येक बहुपद p हेतु ∫f·p = 0। वायरस्ट्रास एकसमानतः pₖ → f वाले बहुपद देता है, अतः ∫f² = lim ∫f·pₖ = 0; f² संतत व अऋणात्मक है, अतः f ≡ 0। अशून्य अचर c, n = 0 पर विफल है, जहाँ ∫c = c।

  11. [0, 1] पर फलनों के निम्नलिखित में से कौन-से कुल समसंतत हैं?

    1. {sin(nx) : n ∈ ℕ}
    2. {f : f, [0, 1] पर अवकलनीय, |f′(x)| ≤ 1}
    3. {xⁿ : n ∈ ℕ}
    4. {sin(x + n) : n ∈ ℕ}
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — {f : f, [0, 1] पर अवकलनीय, |f′(x)| ≤ 1}; D — {sin(x + n) : n ∈ ℕ}

    (2) व (4) का उभयनिष्ठ लिप्शिट्ज़ नियतांक 1 है (माध्य मान प्रमेय; |cos| ≤ 1), अतः δ = ε सभी सदस्यों हेतु चलता है। (1), 0 के निकट विफल: sin(n · π/(2n)) − sin 0 = 1 जबकि π/(2n) → 0। (3), 1 के निकट विफल: दूरी 1/n पर 1 − (1 − 1/n)ⁿ → 1 − 1/e।

  12. मान लें f: ℝ² → ℝ², f(x, y) = (eˣ cos y, eˣ sin y)। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. f का जैकोबियन सारणिक कभी शून्य नहीं होता
    2. f, ℝ² के प्रत्येक बिंदु के निकट स्थानीयतः व्युत्क्रमणीय है
    3. f, ℝ² पर एकैकी है
    4. f, ℝ² को ℝ² पर आच्छादित करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — f का जैकोबियन सारणिक कभी शून्य नहीं होता; B — f, ℝ² के प्रत्येक बिंदु के निकट स्थानीयतः व्युत्क्रमणीय है

    Df = [[eˣ cos y, −eˣ sin y], [eˣ sin y, eˣ cos y]], सारणिक e2x > 0, अतः (1) लागू और प्रतिलोम फलन प्रमेय (2) देता है। परंतु f(x, y) = f(x, y + 2π), अतः (3) विफल, तथा ‖f(x, y)‖ = eˣ > 0, अतः (0, 0) कभी प्राप्त नहीं और (4) विफल। यह सम्मिश्र चरघातांकी ez है।

  13. समीकरण x³ + y³ + xy − 3 = 0, (1, 1) के निकट y को x के C¹ फलन के रूप में परिभाषित करता है। x = 1 पर dy/dx का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -1

    F(1, 1) = 1 + 1 + 1 − 3 = 0 तथा Fy = 3y² + x = 4 ≠ 0, अतः अस्पष्ट फलन प्रमेय लागू है, dy/dx = −Fₓ/Fy = −(3x² + y)/(3y² + x) = −4/4 = −1। टाइप करने पर उत्तर -1 है।