Which statements about Lebesgue measure on ℝ are true?

every countable subset of ℝ has measure 0

the Cantor ternary set is uncountable and has measure 0

some closed nowhere dense subset of [0, 1] has positive measure

every countable subset of ℝ has measure 0

every subset of ℝ of measure 0 is countable

the Cantor ternary set is uncountable and has measure 0

some closed nowhere dense subset of [0, 1] has positive measure

Let f = 1_{ℚ} on [0, 1] (1 at rationals, 0 at irrationals). Then

f is not Riemann integrable, and its Lebesgue integral is 0

f is Riemann integrable with integral 0

f is Lebesgue integrable with integral 1

Which of the following bounded functions on [0, 1] are Riemann integrable?

the indicator function of the Cantor ternary set

Thomae’s function: 1/q at x = p/q in lowest terms, 0 at irrationals

sin(1/x) for x ≠ 0, with value 0 at x = 0

the indicator function of the Cantor ternary set

Thomae’s function: 1/q at x = p/q in lowest terms, 0 at irrationals

the indicator function of a fat Cantor set of measure 1/2

sin(1/x) for x ≠ 0, with value 0 at x = 0

For fₙ = n·1_{(0,1/n)} on (0, 1), which statement is correct?

fₙ → 0 at every point and ∫fₙ = 1 for all n, so the inequality in Fatou’s lemma is strict

the dominated convergence theorem gives lim ∫fₙ = 0

the monotone convergence theorem gives lim ∫fₙ = 0

fₙ does not converge at points close to 0

Which statements are true?

fₙ = 1_{[n, n+1]} converges to 0 at every point of ℝ while ∫fₙ = 1 for every n

the monotone convergence theorem holds even when the limit function has infinite integral

fₙ = 1_{[n, n+1]} converges to 0 at every point of ℝ while ∫fₙ = 1 for every n

for the sequence in the first statement some integrable g satisfies |fₙ| ≤ g for all n

the monotone convergence theorem holds even when the limit function has infinite integral

if fₙ → f a.e. and ∫|fₙ| ≤ 1 for all n, then ∫fₙ → ∫f

Which statements about Lᵖ spaces (Lebesgue measure) are true?

f(x) = 1/x belongs to L²(1, ∞) but not to L¹(1, ∞)

Which statements about measurable functions on ℝ (Lebesgue measure) are true?

the pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable

every continuous function f: ℝ → ℝ is measurable

if f is measurable and g = f almost everywhere, then g is measurable

the pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable

every continuous function f: ℝ → ℝ is measurable

if f is measurable and g = f almost everywhere, then g is measurable

every subset of ℝ is Lebesgue measurable

For 1 < p < ∞ and q with 1/p + 1/q = 1, which statement about Lᵖ[0, 1] is correct?

its dual space is isometrically isomorphic to L^{q}[0, 1]

its dual is L^{p}[0, 1] for every p

the continuous functions are not dense in it

लेबेग माप व समाकलन, अभिसरण प्रमेय तथा Lp समष्टियाँ

खंड 3 का अंतिम भाग लेबेग सिद्धांत है: वास्तविक रेखा पर लेबेग माप, मापनीय फलन, लेबेग समाकल, तीन अभिसरण प्रमेय — फ़ातू प्रमेयिका, एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय तथा प्रभावी (dominated) अभिसरण प्रमेय — तथा Lᵖ समष्टियाँ। रीमान समाकलनीयता भी यहीं, लेबेग कसौटी के माध्यम से, ली गई है, क्योंकि दोनों समाकलों की तुलना से ही अधिकांश प्रश्न आरंभ होते हैं। GATE यह प्रकरण दो प्रकार से रखता है: समाकलों की सीमा के रूप में जिसे सीमा व समाकल का क्रम बदलकर निकालना है, जहाँ काम प्रमेय व प्रभावी फलन का नाम लेना है; तथा शून्य-माप समुच्चयों, मापनीयता व Lᵖ समावेशनों के कथनों के रूप में, जहाँ काम कैंटर समुच्चय, स्थूल कैंटर समुच्चय, खिसकता उभार तथा फलन x^−1/2 व 1/x को जानना है।

1. वास्तविक रेखा पर लेबेग माप

E ⊆ ℝ का बाह्य माप m∗(E) = inf Σℓ(Iₖ) है, विवृत अंतरालों द्वारा E के गणनीय आवरणों पर। लेबेग मापनीय समुच्चय सभी बोरेल समुच्चयों को समाविष्ट करने वाला σ-बीजगणित बनाते हैं, जिस पर m = m∗ गणनीयतः योज्य व स्थानांतरण-निश्चर है, तथा m([a, b]) = b − a। सांतत्य: वर्धमान समुच्चयों हेतु m(⋃Eₖ) = lim m(Eₖ), तथा ह्रासमान समुच्चयों हेतु m(⋂Eₖ) = lim m(Eₖ) यदि m(E₁) < ∞ (समुच्चय [k, ∞) अनंत माप सहित ∅ तक घटते हैं)।

शून्य-माप समुच्चय व उनके आश्चर्य
समुच्चय	माप	यह क्या दिखाता है
कोई भी गणनीय समुच्चय, उदा. ℚ	0	k-वें बिंदु को ε/2ᵏ लंबाई के अंतराल से ढँकें
[0, 1] ∖ ℚ	1	रिक्त अभ्यंतर वाला पूर्ण-माप का सघन समुच्चय
कैंटर समुच्चय	0	अगणनीय फिर भी शून्य: 1 − Σ 2ᵏ⁻¹/3ᵏ = 0
स्थूल कैंटर समुच्चय: चरण k पर 4⁻ᵏ लंबाई के 2ᵏ⁻¹ मध्य अंतराल हटाएँ	1 − Σ 2ᵏ⁻¹/4ᵏ = 1/2	संवृत, कहीं सघन नहीं, धनात्मक माप का

ℹ️ अमापनीय समुच्चय हैं, परंतु केवल चयन से

विताली समुच्चय [0, 1] में ℚ के प्रत्येक सहसमुच्चय से एक बिंदु चुनता है (चयन अभिगृहीत द्वारा)। ℚ ∩ [−1, 1] द्वारा इसके परिमेय स्थानांतरण असंयुक्त हैं, [−1, 2] में हैं और [0, 1] को ढँकते हैं; गणनीय योज्यता 1 ≤ Σm(V) ≤ 3 देती, जो m(V) के 0 या धनात्मक होने पर भी असंभव है। अतः ℝ का प्रत्येक उपसमुच्चय लेबेग मापनीय नहीं।

2. मापनीय फलन व लेबेग समाकल

f: E → [−∞, ∞] मापनीय है यदि प्रत्येक वास्तविक a हेतु {f > a} मापनीय हो। संतत फलन, एकदिष्ट फलन, तथा मापनीय फलनों के योग, गुणनफल, sup, inf, limsup, liminf व बिंदुशः सीमाएँ मापनीय हैं, और लेबेग माप पूर्ण होने से किसी मापनीय फलन के लगभग सर्वत्र (a.e.) बराबर फलन मापनीय है। एगोरोव: परिमित माप के समुच्चय पर a.e. अभिसरण, स्वेच्छ लघु माप के समुच्चय को छोड़ कर, एकसमान होता है।

अऋणात्मक सरल फलन Σcₖ1_Aₖ का समाकल Σcₖm(Aₖ) है; f ≥ 0 मापनीय हेतु ∫f, सरल 0 ≤ s ≤ f पर उच्चक है; f समाकलनीय है यदि ∫|f| < ∞, और तब ∫f = ∫f⁺ − ∫f⁻। शून्य-माप समुच्चय पर f बदलने से ∫f नहीं बदलता, तथा ∫|f| = 0 यदि और केवल यदि f = 0 a.e.।

रीमान बनाम लेबेग
फलन	रीमान	लेबेग
[a, b] पर परिबद्ध f, शून्य-माप समुच्चय के अतिरिक्त संतत	समाकलनीय (लेबेग कसौटी: यदि और केवल यदि असांतत्य शून्य-माप समुच्चय बनाएँ)	समाकलनीय, वही मान
[0, 1] पर 1_ℚ (डिरिक्ले)	समाकलनीय नहीं: उपरि योग 1, निम्न योग 0	∫ = 0
थॉमे फलन; कैंटर समुच्चय पर 1	समाकलनीय, मान 0 (असांतत्य ℚ, क्रमशः कैंटर समुच्चय, शून्य-माप हैं)	∫ = 0
(0, ∞) पर sin x/x	अनंत समाकल π/2 की ओर अभिसृत	समाकलनीय नहीं: ∫\|sin x/x\| = ∞

3. फ़ातू, एकदिष्ट अभिसरण व प्रभावी अभिसरण

एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय (MCT)। यदि 0 ≤ f₁ ≤ f₂ ≤ … मापनीय हों और बिंदुशः fₙ → f, तो ∫fₙ → ∫f (दोनों पक्ष ∞ हो सकते हैं)। उदाहरण: (1 − x/n)ⁿ1_[0,n], e^−x तक बढ़ता है, अतः ∫₀ⁿ (1 − x/n)ⁿ dx = n/(n + 1) → ∫₀^∞ e^−x dx = 1।
फ़ातू प्रमेयिका। मापनीय fₙ ≥ 0 हेतु ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫fₙ। असमिका निश्चित हो सकती है: fₙ = n·1_(0,1/n) हर स्थान पर 0 की ओर जाता है जबकि ∫fₙ = 1।
प्रभावी अभिसरण प्रमेय (DCT)। यदि fₙ → f a.e. तथा किसी समाकलनीय g हेतु |fₙ| ≤ g, तो f समाकलनीय है और ∫|fₙ − f| → 0, अतः ∫fₙ → ∫f। उदाहरण: |sin t| ≤ |t| के कारण |n sin(x/n)/(x(1 + x²))| ≤ 1/(1 + x²), अतः (0, ∞) पर समाकल ∫₀^∞ dx/(1 + x²) = π/2 की ओर जाता है।

⚠️ खिसकते उभार का कोई प्रभावी फलन नहीं

fₙ = 1_{[n, n+1]}, ℝ के प्रत्येक बिंदु पर 0 की ओर जाता है जबकि प्रत्येक n हेतु ∫fₙ = 1। DCT लागू नहीं क्योंकि sup fₙ = 1_[1,∞) समाकलनीय नहीं, और MCT लागू नहीं क्योंकि अनुक्रम वर्धमान नहीं। एकसमान सीमा ∫|fₙ| ≤ 1 भी प्रभुत्व नहीं: n·1_(0,1/n) के पास यह है और फिर भी सीमा में उसका द्रव्यमान खो जाता है।

4. Lp समष्टियाँ

1 ≤ p < ∞ हेतु Lᵖ(E) उन मापनीय f की समष्टि है जिनके लिए ‖f‖ₚ = (∫|f|ᵖ)^1/p < ∞, a.e. बराबर फलनों को एक माना जाता है; L^∞ आवश्यक उच्चक लेता है। हॉल्डर: 1/p + 1/q = 1 सहित ‖fg‖₁ ≤ ‖f‖ₚ‖g‖_q; मिंकोव्स्की: ‖f + g‖ₚ ≤ ‖f‖ₚ + ‖g‖ₚ। रीस–फ़िशर: प्रत्येक Lᵖ, 1 ≤ p ≤ ∞, पूर्ण है, एक बानाख समष्टि, तथा L², ⟨f, g⟩ = ∫fḡ सहित हिल्बर्ट समष्टि है। 1 ≤ p < ∞ हेतु Lᵖ वियोज्य है, संतत फलन उसमें सघन हैं और उसका द्वैत L^q है; L^∞ वियोज्य नहीं, तथा L^∞ का द्वैत L¹ से निश्चित रूप से बड़ा है।

समावेशन समष्टि के माप पर निर्भर हैं
स्थिति	समावेशन	विलोम के विरुद्ध साक्षी
परिमित माप, उदा. [0, 1]	p < q हेतु L^q ⊆ Lᵖ, ‖f‖ₚ ≤ m(E)^{1/p − 1/q}‖f‖_q सहित	x^−1/2 ∈ L¹(0, 1) ∖ L²(0, 1)
(1, ∞)	सामान्यतः किसी भी दिशा में समावेशन नहीं	1/x ∈ L²(1, ∞) ∖ L¹(1, ∞)
अनुक्रम समष्टियाँ ℓᵖ (गणना माप)	p < q हेतु ℓᵖ ⊆ ℓ^q, [0, 1] का उलटा	(1/n) ∈ ℓ² ∖ ℓ¹

🧠 घात फलन सदस्यता तय करते हैं

x^−a, Lᵖ(0, 1) में है यदि और केवल यदि ap < 1, तथा Lᵖ(1, ∞) में यदि और केवल यदि ap > 1। अतः x^−1/3 ∈ Lᵖ(0, 1) ठीक p < 3 हेतु, और ऐसे p का उच्चक 3 है जो प्राप्त नहीं होता। 0 के निकट छोटी घातें सुरक्षित हैं; ∞ के निकट बड़ी।

मुख्य बिंदु

गणनीय समुच्चय व कैंटर समुच्चय शून्य-माप हैं; स्थूल कैंटर समुच्चय धनात्मक माप का कहीं सघन नहीं समुच्चय है; अमापनीय समुच्चयों को चयन अभिगृहीत चाहिए।
[a, b] पर परिबद्ध फलन रीमान समाकलनीय है यदि और केवल यदि उसके असांतत्य शून्य-माप समुच्चय बनाएँ, और तब दोनों समाकल मेल खाते हैं।
वर्धमान अऋणात्मक अनुक्रमों हेतु MCT, समाकलनीय g प्रभावी हो तो DCT, तथा सभी अऋणात्मक हेतु असमिका के रूप में फ़ातू।
खिसकता उभार व n·1_(0,1/n) वे प्रति-उदाहरण हैं जो दिखाते हैं कि प्रभुत्व क्यों आवश्यक है।
Lᵖ बानाख समष्टि है; परिमित माप समष्टियों पर बड़ा p छोटा है, ℓᵖ पर उलटा, और (0, ∞) पर कोई नहीं।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

[0, 2] में अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का लेबेग माप ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2
ℚ ∩ [0, 2] गणनीय है, अतः माप 0, इसलिए m([0, 2] ∖ ℚ) = m([0, 2]) − 0 = 2। अपरिमेयों का अभ्यंतर रिक्त है फिर भी वे पूर्ण माप के हैं, इसीलिए माप व सांस्थिति को अलग रखना आवश्यक है।
ℝ पर लेबेग माप के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?
1. ℝ के प्रत्येक गणनीय उपसमुच्चय का माप 0 है
2. ℝ का माप 0 वाला प्रत्येक उपसमुच्चय गणनीय है
3. कैंटर त्रिक समुच्चय अगणनीय है और उसका माप 0 है
4. [0, 1] के किसी संवृत कहीं सघन नहीं उपसमुच्चय का माप धनात्मक है
उत्तर देखें
उत्तर: A — ℝ के प्रत्येक गणनीय उपसमुच्चय का माप 0 है; C — कैंटर त्रिक समुच्चय अगणनीय है और उसका माप 0 है; D — [0, 1] के किसी संवृत कहीं सघन नहीं उपसमुच्चय का माप धनात्मक है
(1) k-वें बिंदु को ε/2ᵏ लंबाई के अंतराल से ढँकें। (3) कैंटर समुच्चय 0–2 त्रिक प्रसारों से एकैकी संगत है, अतः अगणनीय, और हटाए गए अंतरालों की कुल लंबाई Σ2ᵏ⁻¹/3ᵏ = 1। (4) स्थूल कैंटर समुच्चय चलता है। (2) असत्य: कैंटर समुच्चय प्रति-उदाहरण है।
[0, 1] से 1/4 लंबाई का विवृत मध्य अंतराल हटाएँ; शेष दोनों अंतरालों में से प्रत्येक से 1/16 लंबाई का विवृत मध्य अंतराल हटाएँ; चरण k पर शेष 2ᵏ⁻¹ अंतरालों में से प्रत्येक से 4⁻ᵏ लंबाई का विवृत मध्य अंतराल हटाएँ। शेष बचे समुच्चय का लेबेग माप ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.5
हटाई गई लंबाई Σ_k≥1 2ᵏ⁻¹ · 4⁻ᵏ = (1/4) Σ_k≥1 (1/2)ᵏ⁻¹ = (1/4) · 2 = 1/2 है, अतः शेष का माप 1 − 1/2 = 0.5। यह संवृत है और इसमें कोई अंतराल नहीं, अतः धनात्मक माप का कहीं सघन नहीं समुच्चय है। त्रिक कैंटर रचना कुल लंबाई 1 हटाती है।
मान लें [0, 1] पर f = 1_ℚ (परिमेयों पर 1, अपरिमेयों पर 0)। तब
1. f रीमान समाकलनीय नहीं, तथा उसका लेबेग समाकल 0 है
2. f, समाकल 0 सहित रीमान समाकलनीय है
3. f लेबेग मापनीय नहीं
4. f, समाकल 1 सहित लेबेग समाकलनीय है
उत्तर देखें
उत्तर: A — f रीमान समाकलनीय नहीं, तथा उसका लेबेग समाकल 0 है
प्रत्येक उप-अंतराल में परिमेय व अपरिमेय दोनों हैं, अतः प्रत्येक उपरि डार्बू योग 1 व प्रत्येक निम्न योग 0 है: रीमान समाकलनीय नहीं (f हर स्थान पर असंतत है)। परंतु ℚ शून्य-माप है, अतः f = 0 a.e., तथा ℚ बोरेल समुच्चय है, अतः f मापनीय है और ∫f = m(ℚ ∩ [0, 1]) = 0।
[0, 1] पर निम्नलिखित में से कौन-से परिबद्ध फलन रीमान समाकलनीय हैं?
1. कैंटर त्रिक समुच्चय का सूचक फलन
2. थॉमे फलन: न्यूनतम पदों में x = p/q पर 1/q, अपरिमेयों पर 0
3. माप 1/2 वाले स्थूल कैंटर समुच्चय का सूचक फलन
4. x ≠ 0 हेतु sin(1/x), x = 0 पर मान 0
उत्तर देखें
उत्तर: A — कैंटर त्रिक समुच्चय का सूचक फलन; B — थॉमे फलन: न्यूनतम पदों में x = p/q पर 1/q, अपरिमेयों पर 0; D — x ≠ 0 हेतु sin(1/x), x = 0 पर मान 0
लेबेग कसौटी लगाएँ। (1) संवृत समुच्चय C का सूचक ठीक C की सीमा पर असंतत है, यहाँ स्वयं C, जो शून्य-माप है। (2) थॉमे फलन ठीक परिमेयों पर असंतत है, शून्य-माप समुच्चय। (3) स्थूल कैंटर समुच्चय स्वयं अपनी सीमा है, माप 1/2 > 0: समाकलनीय नहीं। (4) एकमात्र असांतत्य x = 0 है।
lim_n→∞ ∫₀ⁿ (1 − x/n)ⁿ dx का मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1
फलन (1 − x/n)ⁿ1_[0,n](x), n के साथ e^−x तक बढ़ते हैं (क्योंकि log(1 − t) ≤ −t तथा अनुक्रम वर्धमान है), अतः एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से सीमा ∫₀^∞ e^−x dx = 1 है। सीधे, ∫₀ⁿ (1 − x/n)ⁿ dx = n/(n + 1) → 1।
lim_n→∞ ∫₀¹ (1 + x/n)⁻ⁿ dx का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.63
बिंदुशः (1 + x/n)⁻ⁿ → e^−x तथा 0 < (1 + x/n)⁻ⁿ ≤ 1, जो [0, 1] पर समाकलनीय सीमा है, अतः प्रभावी अभिसरण से सीमा ∫₀¹ e^−x dx = 1 − 1/e = 0.632, अर्थात् 0.63।
lim_n→∞ ∫₀^∞ n sin(x/n) / (x(1 + x²)) dx का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.57
निश्चित x > 0 हेतु n sin(x/n)/x → 1, अतः समाकल्य 1/(1 + x²) की ओर जाता है। |sin t| ≤ |t| से |n sin(x/n)/x| ≤ 1 और समाकल्य 1/(1 + x²) से प्रभावित है, जो (0, ∞) पर समाकलनीय है। DCT देता है ∫₀^∞ dx/(1 + x²) = π/2 = 1.5708, अर्थात् 1.57।
(0, 1) पर fₙ = n·1_(0,1/n) हेतु कौन-सा कथन सही है?
1. प्रत्येक बिंदु पर fₙ → 0 तथा सभी n हेतु ∫fₙ = 1, अतः फ़ातू प्रमेयिका की असमिका निश्चित है
2. प्रभावी अभिसरण प्रमेय lim ∫fₙ = 0 देता है
3. एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय lim ∫fₙ = 0 देता है
4. 0 के निकट बिंदुओं पर fₙ अभिसृत नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रत्येक बिंदु पर fₙ → 0 तथा सभी n हेतु ∫fₙ = 1, अतः फ़ातू प्रमेयिका की असमिका निश्चित है
प्रत्येक x ∈ (0, 1) हेतु n > 1/x होते ही fₙ(x) = 0, अतः सीमा हर स्थान पर 0 है, जबकि ∫fₙ = n · (1/n) = 1। फ़ातू 0 ≤ 1 देता है, निश्चित रूप से। DCT विफल (sup fₙ ≥ 1/(2x) समाकलनीय नहीं) तथा MCT विफल (अनुक्रम वर्धमान नहीं)।
कौन-से कथन सत्य हैं?
1. fₙ = 1_{[n, n+1]}, ℝ के प्रत्येक बिंदु पर 0 की ओर जाता है जबकि प्रत्येक n हेतु ∫fₙ = 1
2. पहले कथन के अनुक्रम हेतु कोई समाकलनीय g सभी n हेतु |fₙ| ≤ g संतुष्ट करता है
3. एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय तब भी लागू है जब सीमा फलन का समाकल अनंत हो
4. यदि fₙ → f a.e. तथा सभी n हेतु ∫|fₙ| ≤ 1, तो ∫fₙ → ∫f
उत्तर देखें
उत्तर: A — fₙ = 1_{[n, n+1]}, ℝ के प्रत्येक बिंदु पर 0 की ओर जाता है जबकि प्रत्येक n हेतु ∫fₙ = 1; C — एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय तब भी लागू है जब सीमा फलन का समाकल अनंत हो
(1) खिसकता उभार है। (2) ऐसा कोई g, [1, ∞) पर ≥ 1 होगा, अतः समाकलनीय नहीं। (3) MCT [0, ∞] में कथन है: उदा. (0, 1) पर fₙ = min(n, 1/x), 1/x तक बढ़ता है और ∫fₙ → ∞। (4) असत्य: n·1_(0,1/n) का ∫ = 1 और सीमा 0।
Lᵖ समष्टियों (लेबेग माप) के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?
1. L²[0, 1] ⊆ L¹[0, 1]
2. L¹[0, 1] ⊆ L²[0, 1]
3. f(x) = 1/x, L²(1, ∞) में है परंतु L¹(1, ∞) में नहीं
4. L^∞[0, 1] वियोज्य है
उत्तर देखें
उत्तर: A — L²[0, 1] ⊆ L¹[0, 1]; C — f(x) = 1/x, L²(1, ∞) में है परंतु L¹(1, ∞) में नहीं
(1) कौशी–श्वार्ट्ज़ से माप 1 के समुच्चय पर ‖f‖₁ ≤ ‖1‖₂‖f‖₂ = ‖f‖₂। (2) x^−1/2, L¹(0, 1) में है (समाकल 2) परंतु ∫x⁻¹ = ∞। (3) ∫₁^∞ x⁻² = 1 जबकि ∫₁^∞ x⁻¹ = ∞। (4) सूचक 1_[0,t], t ∈ [0, 1], अगणनीय रूप से अनेक हैं और परस्पर दूरी 1 पर।
मान लें S = {p ≥ 1 : x^−1/3 ∈ Lᵖ(0, 1)}। S का उच्चक ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 3
∫₀¹ x^−p/3 dx परिमित है यदि और केवल यदि p/3 < 1, अर्थात् p < 3। अतः S = [1, 3) तथा sup S = 3, प्राप्त नहीं: p = 3 पर समाकल ∫₀¹ dx/x = ∞ है।
ℝ पर (लेबेग माप) मापनीय फलनों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?
1. मापनीय फलनों के अनुक्रम की बिंदुशः सीमा मापनीय है
2. प्रत्येक संतत फलन f: ℝ → ℝ मापनीय है
3. यदि f मापनीय हो और g = f लगभग सर्वत्र, तो g मापनीय है
4. ℝ का प्रत्येक उपसमुच्चय लेबेग मापनीय है
उत्तर देखें
उत्तर: A — मापनीय फलनों के अनुक्रम की बिंदुशः सीमा मापनीय है; B — प्रत्येक संतत फलन f: ℝ → ℝ मापनीय है; C — यदि f मापनीय हो और g = f लगभग सर्वत्र, तो g मापनीय है
(1) lim fₙ = limsup fₙ = inf_k sup_n≥k fₙ, गणनीय sup व inf से बना। (2) {f > a} विवृत है। (3) {g > a}, {f > a} से किसी शून्य-माप समुच्चय के उपसमुच्चय जितना भिन्न है, और शून्य-माप समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय मापनीय है क्योंकि लेबेग माप पूर्ण है। (4) असत्य: विताली समुच्चय।
1 < p < ∞ तथा 1/p + 1/q = 1 वाले q हेतु Lᵖ[0, 1] के विषय में कौन-सा कथन सही है?
1. इसकी द्वैत समष्टि L^q[0, 1] के सममितीय तुल्याकारी है
2. यह पूर्ण नहीं
3. प्रत्येक p हेतु इसका द्वैत L^p[0, 1] है
4. संतत फलन इसमें सघन नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: A — इसकी द्वैत समष्टि L^{q}[0, 1] के सममितीय तुल्याकारी है
Lᵖ हेतु रीस निरूपण: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक फलनक किसी अद्वितीय g ∈ L^q हेतु f ↦ ∫fg रूप का होता है, मानक ‖g‖_q सहित। Lᵖ पूर्ण है (रीस–फ़िशर) तथा p < ∞ हेतु C[0, 1] सघन है। द्वैत स्वयं Lᵖ केवल p = 2 हेतु है।

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