दूरीक समष्टियाँ: पूर्णता, संहतता, संबद्धता, बेयर व संकुचन

वास्तविक विश्लेषण GATE गणित (MA) पेपर का खंड 3 है और “इनमें से कौन सत्य है” वाले प्रश्नों का सबसे बड़ा स्रोत, क्योंकि इसके प्रमेयों की परिकल्पनाएँ एक-एक करके हटाकर प्रति-उदाहरण बनाए जा सकते हैं। यह इतना बड़ा है कि यहाँ तीन अध्याय लेता है। यह पहला दूरीक-समष्टि स्तर है: पूर्णता, संहतता व संबद्धता, बेयर कोटि प्रमेय, सांतत्य व एकसमान सांतत्य, तथा संकुचन प्रतिचित्रण सिद्धांत। इस अध्याय का नियम है प्रत्येक प्रमेय को उस उदाहरण सहित सीखना जो दिखाता है कि प्रत्येक परिकल्पना आवश्यक है — पूर्णता हेतु ℚ, “संवृत व परिबद्ध संहत नहीं” हेतु ℓ² की संवृत इकाई गेंद, एकसमान सांतत्य हेतु ℝ पर x², तथा उस निश्चित असमिका हेतु जो संकुचन नहीं है [1, ∞) पर x + 1/x। दूसरा अध्याय फलनों के अनुक्रम व श्रेणियाँ, घात श्रेणियाँ तथा प्रतिलोम व अस्पष्ट फलन प्रमेय लेता है; तीसरा लेबेग माप व समाकलन तथा Lᵖ समष्टियाँ।

1. दूरीक समष्टियाँ व पूर्णता

X पर दूरीक d धनात्मक, सममित, केवल विकर्ण पर शून्य होता है और त्रिभुज असमिका संतुष्ट करता है। अनुक्रम कौशी है यदि m, n → ∞ पर d(xₘ, xₙ) → 0, तथा X पूर्ण है यदि प्रत्येक कौशी अनुक्रम X में अभिसृत हो। पूर्ण समष्टि का संवृत उपसमुच्चय पूर्ण है, और किसी भी दूरीक समष्टि की पूर्ण उपसमष्टि संवृत है।

पूर्ण व अपूर्ण
पूर्णअपूर्ण, तथा बाहर निकलने वाला कौशी अनुक्रम
किसी भी मानक सहित ℝⁿ; ℤ (कौशी अनुक्रम अंततः अचर होता है)ℚ: √2 के दशमलव कर्तन
sup दूरीक सहित C[a, b]d(f, g) = ∫|f − g| सहित C[0, 1]: सीढ़ी की ओर अभिसृत संतत ढलान-फलन
1 ≤ p ≤ ∞ हेतु ℓᵖ व Lᵖसामान्य दूरीक सहित (0, 1): xₙ = 1/n
ℝⁿ का कोई भी संवृत उपसमुच्चयsup दूरीक के अंतर्गत [0, 1] पर बहुपद: eˣ के टेलर आंशिक योग
⚠️ पूर्णता सांस्थितिक गुण नहीं है
(0, 1) व ℝ समरूपी (homeomorphic) हैं (x ↦ tan(π(x − 1/2)) द्वारा), फिर भी ℝ पूर्ण है और (0, 1) नहीं। अतः पूर्णता दूरीक पर निर्भर है, केवल विवृत समुच्चयों पर नहीं। समान विवृत समुच्चय देने वाले दो दूरीक इस पर असहमत हो सकते हैं कि कौन-से अनुक्रम कौशी हैं।

2. संहतता: हाइने–बोरेल व बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास

K संहत है यदि प्रत्येक विवृत आवरण का परिमित उपावरण हो। दूरीक समष्टि में निम्नलिखित समतुल्य हैं: K संहत है; K अनुक्रमतः संहत है (प्रत्येक अनुक्रम का K में सीमा वाला अभिसारी उपानुक्रम है); K पूर्ण व पूर्णतः परिबद्ध है (प्रत्येक ε > 0 हेतु परिमित ε-गेंदें K को ढँकती हैं)। संहत समुच्चय संवृत व परिबद्ध है; संहत समुच्चय का संवृत उपसमुच्चय संहत है।

  • हाइने–बोरेल: ℝⁿ का उपसमुच्चय संहत है यदि और केवल यदि वह संवृत व परिबद्ध हो।
  • बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास: ℝⁿ के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का अभिसारी उपानुक्रम है; समतुल्यतः ℝⁿ के प्रत्येक परिबद्ध अनंत उपसमुच्चय का एक सीमा बिंदु है।
  • संहत समुच्चय का संतत प्रतिबिंब संहत है, अतः संहत समुच्चय पर संतत वास्तविक फलन परिबद्ध है और अपना उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ प्राप्त करता है।
⚠️ हाइने–बोरेल ℝⁿ के विषय में प्रमेय है
ℓ² में संवृत इकाई गेंद संवृत व परिबद्ध है परंतु संहत नहीं: इकाई सदिश eₙ, n ≠ m हेतु ‖eₙ − eₘ‖ = √2 संतुष्ट करते हैं, अतः कोई उपानुक्रम कौशी नहीं। sup मानक सहित C[0, 1] में भी यही होता है। वस्तुतः मानकित समष्टि की संवृत इकाई गेंद ठीक तब संहत है जब समष्टि परिमित-विमीय हो (रीस)। विविक्त दूरीक समष्टि में अनंत समुच्चय संवृत व परिबद्ध होते हुए कभी संहत नहीं।

3. संबद्धता

X संबद्ध है यदि वह दो असंयुक्त अरिक्त विवृत समुच्चयों का सम्मिलन न हो; पथ-संबद्ध यदि कोई भी दो बिंदु संतत पथ से जुड़े हों। ℝ के संबद्ध उपसमुच्चय ठीक अंतराल हैं। संबद्ध समुच्चयों के संतत प्रतिबिंब संबद्ध हैं — मध्यवर्ती मान प्रमेय X = [a, b] की स्थिति है — तथा संबद्ध समुच्चय का संवरक संबद्ध है। पथ-संबद्ध का अर्थ संबद्ध है; ℝⁿ के विवृत संबद्ध उपसमुच्चय पथ-संबद्ध हैं।

  • सांस्थितिज्ञ का ज्या वक्र: S = {(x, sin(1/x)) : 0 < x ≤ 1} ∪ ({0} × [−1, 1]) संबद्ध है (संबद्ध आलेख का संवरक) परंतु पथ-संबद्ध नहीं।
  • ℚ व ℝ ∖ ℚ पूर्णतः असंबद्ध हैं: उनके संबद्ध उपसमुच्चय केवल बिंदु हैं।
  • कर्तन बिंदु: एक बिंदु हटाने से ℝ असंबद्ध हो जाता है परंतु ℝ² नहीं, अतः ℝ व ℝ² समरूपी नहीं; [0, 1) व (0, 1) भी समरूपी नहीं, क्योंकि [0, 1) से 0 हटाने पर वह संबद्ध रहता है।

4. बेयर कोटि प्रमेय

समुच्चय कहीं सघन नहीं (nowhere dense) है यदि उसके संवरक का अभ्यंतर रिक्त हो। बेयर: अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि में सघन विवृत समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेद सघन होता है; समतुल्यतः समष्टि कहीं सघन नहीं समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन नहीं है (वह स्वयं में द्वितीय कोटि की है)।

  • बिना वियुक्त बिंदुओं वाली अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि अगणनीय है: अन्यथा वह अपने एकल-बिंदु समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन होती, जिनमें प्रत्येक कहीं सघन नहीं। इससे सिद्ध होता है कि ℝ अगणनीय है।
  • ℚ, ℝ का Gδ उपसमुच्चय नहीं (विवृत समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेद नहीं), अतः कोई फलन f: ℝ → ℝ ठीक ℚ पर संतत नहीं; थॉमे फलन ठीक अपरिमेयों पर संतत है।
  • बेयर फलनक विश्लेषण का इंजन है: एकसमान परिबद्धता सिद्धांत व विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय दोनों इसी से सिद्ध होते हैं।

5. सांतत्य व एकसमान सांतत्य

f: X → Y एकसमानतः संतत है यदि प्रत्येक ε > 0 हेतु एक δ > 0 हो जिससे d(x, y) < δ होने पर d(f(x), f(y)) < ε, सभी x हेतु वही δ। हाइने–कैंटर: संहत दूरीक समष्टि पर संतत फलन एकसमानतः संतत होता है। लिप्शिट्ज़ ⇒ एकसमानतः संतत ⇒ संतत, तथा एकसमानतः संतत प्रतिचित्र कौशी अनुक्रमों को कौशी अनुक्रमों पर भेजते हैं। परिबद्ध अंतराल (a, b) पर फलन ठीक तब एकसमानतः संतत है जब वह [a, b] तक संततः विस्तारित हो।

मानक निर्णय
फलन व प्रांतएकसमानतः संतत?कारण
ℝ पर x²नहींxₙ = n, yₙ = n + 1/n: |f(yₙ) − f(xₙ)| = 2 + 1/n² ↛ 0
[0, ∞) पर √xहाँ, परंतु लिप्शिट्ज़ नहीं|√x − √y| ≤ √|x − y|; 0 पर प्रवणता अपरिबद्ध
(0, 1) पर sin(1/x)नहीं0 तक कोई संतत विस्तार नहीं
(0, 1) पर x sin(1/x)हाँx = 0 पर 0 से संततः विस्तारित
(0, 1) पर 1/xनहींकौशी अनुक्रम 1/n को n पर भेजता है

6. संकुचन प्रतिचित्रण सिद्धांत

बानाख नियत-बिंदु प्रमेय। मान लें (X, d) अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि है तथा T: X → X, सभी x, y व किसी निश्चित k < 1 हेतु d(Tx, Ty) ≤ k d(x, y)। तब T का ठीक एक नियत बिंदु x∗ है, किसी भी x₀ से पुनरावृत्त xₙ₊₁ = Txₙ उसकी ओर अभिसृत होते हैं, तथा d(xₙ, x∗) ≤ kⁿ d(x₁, x₀)/(1 − k)। अंतराल पर, स्वयं में जाने वाला वह C¹ प्रतिचित्र जिसके लिए |T′| ≤ k < 1, माध्य मान प्रमेय से संकुचन है।

एक परिकल्पना हटाएँ और निष्कर्ष विफल
हटाई गई परिकल्पनाप्रति-उदाहरण
पूर्णता(0, 1] पर T(x) = x/2: (0, 1] में बिना नियत बिंदु का संकुचन
एकसमान k < 1[1, ∞) पर T(x) = x + 1/x: x ≠ y हेतु |Tx − Ty| = |x − y|(1 − 1/(xy)) < |x − y|, फिर भी Tx = x का कोई हल नहीं
T, X को X में भेजता है[0, 1] पर T(x) = x/2 + 1 का नियत बिंदु 2 है, [0, 1] के बाहर
🧠 पूर्वानुमानित सीमा से पुनरावृत्तियाँ गिनना
T(x) = (1 + x²)/4, [0, 1] को [1/4, 1/2] में भेजता है तथा |T′(x)| = x/2 ≤ 1/2, अतः k = 1/2। x₀ = 0 से x₁ = 1/4, और सीमा (1/2)ⁿ · (1/4)/(1/2) = (1/2)ⁿ⁺¹ है। अधिकतम 10⁻³ त्रुटि सुनिश्चित करने हेतु 2ⁿ⁺¹ ≥ 1000 चाहिए, अर्थात् n ≥ 9। नियत बिंदु 2 − √3 ≈ 0.268 है, [0, 1] में x² − 4x + 1 = 0 का मूल।

मुख्य बिंदु

  • पूर्ण अर्थात् प्रत्येक कौशी अनुक्रम अभिसृत; पूर्ण समष्टियों के संवृत उपसमुच्चय पूर्ण हैं, तथा ℚ, (0, 1) व (C[0, 1], L¹ दूरीक) मानक अपूर्ण समष्टियाँ हैं।
  • दूरीक समष्टि में संहत ⇔ अनुक्रमतः संहत ⇔ पूर्ण व पूर्णतः परिबद्ध; संवृत व परिबद्ध केवल ℝⁿ में पर्याप्त है।
  • ℝ के संबद्ध उपसमुच्चय अंतराल हैं; पथ-संबद्ध ⇒ संबद्ध, और सांस्थितिज्ञ का ज्या वक्र विलोम तोड़ता है।
  • बेयर: पूर्ण दूरीक समष्टि कहीं सघन नहीं समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन नहीं, अतः पूर्ण समष्टि जिसमें वियुक्त बिंदु न हों अगणनीय है।
  • पूर्ण समष्टि पर संकुचन का अद्वितीय नियत बिंदु है, त्रुटि ≤ kⁿd(x₁, x₀)/(1 − k); पूर्णता या एकसमान k < 1 के बिना कोई भी न हो, यह संभव है।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. कथित दूरीक सहित निम्नलिखित में से कौन-सी दूरीक समष्टियाँ पूर्ण हैं?

    1. d(x, y) = |x − y| सहित ℚ
    2. d(f, g) = sup |f(x) − g(x)| सहित C[0, 1]
    3. d(x, y) = |x − y| सहित (0, 1)
    4. d(x, y) = |x − y| सहित ℤ
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — d(f, g) = sup |f(x) − g(x)| सहित C[0, 1]; D — d(x, y) = |x − y| सहित ℤ

    (1) √2 के कर्तन 1, 1.4, 1.41, … ℚ में कौशी हैं, ℚ में सीमा नहीं। (2) संतत फलनों का एकसमानतः कौशी अनुक्रम एकसमानतः अभिसृत होता है, और सीमा संतत है। (3) 1/n कौशी है, सीमा 0 ∉ (0, 1)। (4) यदि m, n ≥ N हेतु |xₘ − xₙ| < 1 तो पूर्णांक बराबर हैं, अतः ℤ में कौशी अनुक्रम अंततः अचर है।

  2. ℝ² के निम्नलिखित में से कौन-से उपसमुच्चय संहत हैं?

    1. {(x, y) : x² + y² ≤ 1}
    2. {(x, y) : xy = 1}
    3. {(x, sin(1/x)) : 0 < x ≤ 1}
    4. {(x, y) : x⁴ + y⁴ = 1}
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — {(x, y) : x² + y² ≤ 1}; D — {(x, y) : x⁴ + y⁴ = 1}

    हाइने–बोरेल: संहत ⇔ संवृत व परिबद्ध। (1) संवृत व परिबद्ध है। (2) संवृत परंतु अपरिबद्ध (x → ∞)। (3) परिबद्ध परंतु संवृत नहीं: (0, 0) सीमा बिंदु है जो समुच्चय में नहीं, क्योंकि x = 1/(nπ) पर sin(1/x) = 0। (4) संवृत (संतत फलन का स्तर-समुच्चय) व परिबद्ध (|x|, |y| ≤ 1) है।

  3. वर्ग-संकलनीय वास्तविक अनुक्रमों की हिल्बर्ट समष्टि ℓ² में संवृत इकाई गेंद {x : ‖x‖ ≤ 1} है

    1. संवृत व परिबद्ध परंतु संहत नहीं
    2. हाइने–बोरेल प्रमेय से संहत
    3. संवृत नहीं
    4. संहत परंतु पूर्ण नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संवृत व परिबद्ध परंतु संहत नहीं

    गेंद संवृत व परिबद्ध है, परंतु इकाई सदिश eₙ उसमें हैं और n ≠ m हेतु ‖eₙ − eₘ‖ = √2, अतः (eₙ) का कोई कौशी, अतः कोई अभिसारी, उपानुक्रम नहीं और गेंद अनुक्रमतः संहत नहीं। हाइने–बोरेल ℝⁿ हेतु विशिष्ट है; गेंद पूर्ण है, क्योंकि पूर्ण समष्टि में संवृत है।

  4. कौन-से कथन प्रत्येक दूरीक समष्टि में लागू हैं?

    1. प्रत्येक संहत उपसमुच्चय संवृत व परिबद्ध है
    2. प्रत्येक संवृत व परिबद्ध उपसमुच्चय संहत है
    3. अनुक्रमतः संहत दूरीक समष्टि पूर्ण है
    4. पूर्ण व पूर्णतः परिबद्ध दूरीक समष्टि संहत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक संहत उपसमुच्चय संवृत व परिबद्ध है; C — अनुक्रमतः संहत दूरीक समष्टि पूर्ण है; D — पूर्ण व पूर्णतः परिबद्ध दूरीक समष्टि संहत है

    (1) किसी भी दूरीक समष्टि में सत्य है (हाउसडॉर्फ़, तथा परिमित इकाई गेंदें संहत समुच्चय को ढँकती हैं)। (3) अभिसारी उपानुक्रम वाला कौशी अनुक्रम अभिसृत होता है। (4) संहतता का दूरीक अभिलक्षण है। (2) ℓ² (इकाई गेंद) में तथा किसी भी अनंत विविक्त समष्टि में विफल है, जहाँ प्रत्येक समुच्चय संवृत व परिबद्ध है।

  5. सामान्य सांस्थिति सहित ℝ का कौन-सा उपसमुच्चय संबद्ध है?

    1. [0, ∞)
    2. [0, 1] ∪ [2, 3]
    3. ℚ
    4. ℝ ∖ {0}
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [0, ∞)

    ℝ के संबद्ध उपसमुच्चय ठीक अंतराल हैं, और [0, ∞) एक अंतराल है। [0, 1] ∪ [2, 3] व ℝ ∖ {0} प्रत्येक दो असंयुक्त सापेक्षतः विवृत भागों में टूटते हैं, तथा ℚ पूर्णतः असंबद्ध है: (−∞, √2) व (√2, ∞) उसे अलग करते हैं।

  6. कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. संबद्ध समष्टि का संतत प्रतिबिंब संबद्ध है
    2. दूरीक समष्टि के संबद्ध उपसमुच्चय का संवरक संबद्ध है
    3. ℝ² का प्रत्येक संबद्ध उपसमुच्चय पथ-संबद्ध है
    4. ℝ व ℝ² समरूपी हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संबद्ध समष्टि का संतत प्रतिबिंब संबद्ध है; B — दूरीक समष्टि के संबद्ध उपसमुच्चय का संवरक संबद्ध है

    (1) f(X) का पृथक्करण X के पृथक्करण में लौटता है। (2) यदि cl A = U ∪ V पृथक्करण हो, तो A पूर्णतः एक भाग में है, जिसका संवरक दूसरे से नहीं मिलता। (3) असत्य: सांस्थितिज्ञ का ज्या वक्र संबद्ध है, पथ-संबद्ध नहीं। (4) असत्य: एक बिंदु रहित ℝ असंबद्ध है, एक बिंदु रहित ℝ² नहीं।

  7. समुच्चय {x ∈ ℝ : x² − 3x + 2 ≠ 0} के संबद्ध घटकों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), 1 व 2 पर शून्य है, अतः समुच्चय ℝ ∖ {1, 2} = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) है, तीन असंयुक्त विवृत अंतराल, प्रत्येक संबद्ध। ℝ से k बिंदु हटाने पर k + 1 घटक रहते हैं।

  8. निम्नलिखित में से कौन बेयर कोटि प्रमेय का परिणाम है?

    1. बिना वियुक्त बिंदुओं वाली अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि अगणनीय है
    2. ℝ के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का अभिसारी उपानुक्रम है
    3. [0, 1] पर प्रत्येक संतत फलन एकसमानतः संतत है
    4. ℝⁿ का प्रत्येक संवृत व परिबद्ध उपसमुच्चय संहत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बिना वियुक्त बिंदुओं वाली अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि अगणनीय है

    यदि ऐसी समष्टि गणनीय होती तो वह अपने एकल-बिंदु समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन होती; प्रत्येक एकल-बिंदु संवृत है और उसका अभ्यंतर रिक्त है (वियुक्त बिंदु नहीं), अतः कहीं सघन नहीं, जो बेयर का विरोध है। अन्य तीन बोल्ज़ानो–वायरस्ट्रास, हाइने–कैंटर व हाइने–बोरेल हैं, जिन्हें कोटि तर्क नहीं चाहिए।

  9. निम्नलिखित में से कौन-से फलन कथित प्रांत पर एकसमानतः संतत हैं?

    1. [0, ∞) पर f(x) = x²
    2. [0, ∞) पर f(x) = √x
    3. (0, 1) पर f(x) = sin(1/x)
    4. (0, 1) पर f(x) = x sin(1/x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — [0, ∞) पर f(x) = √x; D — (0, 1) पर f(x) = x sin(1/x)

    (1) नहीं: xₙ = n व yₙ = n + 1/n सहित |yₙ − xₙ| → 0 परंतु |yₙ² − xₙ²| = 2 + 1/n²। (2) हाँ: |√x − √y| ≤ √|x − y|। (3) नहीं: [0, 1] तक इसका कोई संतत विस्तार नहीं। (4) हाँ: f(0) = 0 व f(1) = sin 1 रखने से संहत [0, 1] पर संतत फलन मिलता है (हाइने–कैंटर)।

  10. अनुक्रम x₀ = 1, xₙ₊₁ = 1 + 1/(1 + xₙ) अभिसृत होता है। इसकी सीमा, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.41

    T(x) = 1 + 1/(1 + x), [1, 2] को [4/3, 3/2] में भेजता है तथा वहाँ |T′(x)| = 1/(1 + x)² ≤ 1/4, अतः T पूर्ण समष्टि [1, 2] का संकुचन है और पुनरावृत्त उसके नियत बिंदु की ओर जाते हैं: x(1 + x) = (1 + x) + 1 से x² = 2, x = √2 = 1.414, अर्थात् 1.41।

  11. मान लें [0, 1] पर T(x) = (1 + x²)/4, x₀ = 0 तथा xₙ₊₁ = T(xₙ)। [0, 1] पर T के श्रेष्ठ लिप्शिट्ज़ नियतांक k सहित पूर्वानुमानित आकलन d(xₙ, x∗) ≤ kⁿ d(x₁, x₀)/(1 − k) से वह न्यूनतम n जो d(xₙ, x∗) ≤ 10⁻³ सुनिश्चित करे, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 9

    T′(x) = x/2, अतः [0, 1] पर k = sup |T′| = 1/2, तथा T([0, 1]) = [1/4, 1/2] ⊆ [0, 1]। x₁ = 1/4, अतः सीमा (1/2)ⁿ(1/4)/(1/2) = (1/2)ⁿ⁺¹। हमें 2ⁿ⁺¹ ≥ 1000 चाहिए: 2¹⁰ = 1024 चलता है, 2⁹ = 512 नहीं, अतः n + 1 = 10 व n = 9।

  12. नियत बिंदुओं के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. [1, ∞) पर T(x) = x + 1/x, x ≠ y हेतु |Tx − Ty| < |x − y| संतुष्ट करता है और उसका कोई नियत बिंदु नहीं
    2. (0, 1] पर T(x) = x/2 एक संकुचन है जिसका (0, 1] में कोई नियत बिंदु नहीं
    3. अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि के प्रत्येक संकुचन का ठीक एक नियत बिंदु है
    4. यदि T² पूर्ण दूरीक समष्टि का संकुचन हो, तो T का कोई नियत बिंदु नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [1, ∞) पर T(x) = x + 1/x, x ≠ y हेतु |Tx − Ty| < |x − y| संतुष्ट करता है और उसका कोई नियत बिंदु नहीं; B — (0, 1] पर T(x) = x/2 एक संकुचन है जिसका (0, 1] में कोई नियत बिंदु नहीं; C — अरिक्त पूर्ण दूरीक समष्टि के प्रत्येक संकुचन का ठीक एक नियत बिंदु है

    (1) Tx − Ty = (x − y)(1 − 1/(xy)), जहाँ 0 ≤ 1 − 1/(xy) < 1, तथा x + 1/x = x असंभव; अनुपात 1 की ओर जाता है, अतः कोई एकसमान k < 1 नहीं। (2) (0, 1] पूर्ण नहीं; नियत बिंदु 0 अनुपस्थित है। (3) बानाख प्रमेय है। (4) असत्य: यदि T²x∗ = x∗ अद्वितीयतः, तो T²(Tx∗) = T(T²x∗) = Tx∗, अतः Tx∗ = x∗ और T का (अद्वितीय) नियत बिंदु है।

  13. ℝ पर f(x) = x² के विषय में कौन-सा कथन सही है?

    1. f संतत है परंतु ℝ पर एकसमानतः संतत नहीं, यद्यपि प्रत्येक परिबद्ध अंतराल पर एकसमानतः संतत है
    2. f, ℝ पर एकसमानतः संतत है क्योंकि वह अवकलनीय है
    3. f, ℝ पर लिप्शिट्ज़ है
    4. f वास्तविकों के किसी कौशी अनुक्रम को अ-कौशी अनुक्रम पर भेजता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — f संतत है परंतु ℝ पर एकसमानतः संतत नहीं, यद्यपि प्रत्येक परिबद्ध अंतराल पर एकसमानतः संतत है

    [−M, M] पर |x² − y²| ≤ 2M|x − y|, अतः वहाँ f लिप्शिट्ज़ है; ℝ पर प्रवणता 2x अपरिबद्ध है और xₙ = n, yₙ = n + 1/n हर δ को हरा देते हैं। अवकलनीयता से एकसमान सांतत्य नहीं मिलता। ℝ में कौशी अनुक्रम परिबद्ध होते हैं और परिबद्ध समुच्चयों पर f एकसमानतः संतत है, अतः वह उन्हें कौशी अनुक्रमों पर भेजता है।