संख्यात्मक अभिक्षमता — अनुपात, घात, क्षेत्रमिति, सांख्यिकी व आँकड़े

सामान्य अभिक्षमता के इस भाग का कोई गणित कक्षा 10 से आगे नहीं है, और ठीक यही जोखिम है: अभियांत्रिकी अभ्यर्थी पाठ्यक्रम पढ़ता है — अनुपात, प्रतिशत, लघुगणक, क्षेत्रमिति, प्रारंभिक सांख्यिकी, आँकड़ा निर्वचन — तय करता है कि तैयारी को कुछ नहीं है, और फिर उन प्रश्नों पर चार-पाँच अंक खो देता है जो वह सब कर सकता था। यहाँ अंक गणित से कभी नहीं जाते। वे जाते हैं जो पूछा गया है उसे पढ़ने से (प्रतिशत परिवर्तन प्रतिशत का नहीं है, और अस्वीकृति दर अस्वीकृति संख्या नहीं है), सबसे सस्ता मार्ग चुनने से (जो अनुपात-प्रश्न एक भाग से हल हो जाए वह युगपत् समीकरण न बने), और एक-अंक के प्रश्न पर तीन मिनट न लगाने से क्योंकि वह हल-योग्य लगा। इन पाँच प्रश्नों को अपने विषय-पेपर के किसी भी प्रश्न के समान मूल्य के पाँच अंक मानें, 1-अंक वालों पर लगभग एक मिनट रखें, और क्लिक करने से पहले उत्तर की इकाइयाँ प्रश्न की इकाइयों से मिलाएँ। इस अध्याय का प्रत्येक आँकड़ा स्क्रिप्ट से पुनः गणित किया गया है, अतः जहाँ आपका अंकगणित किसी व्याख्या से असहमत हो, वहाँ कारण खोजने का स्थान व्याख्या है, त्रुटि नहीं।

जो पूछा गया वह पढ़ना

भिन्न अर्थ वाले वाक्यांश-युग्म
प्रश्न कहता हैऔर उसका अर्थ
"कितने प्रतिशत बदला"परिवर्तन को पूर्व मान से भाग दें। 80 से 100 की वृद्धि 25% है, 20% नहीं — अंक हर में हैं।
"Y, X का कितना प्रतिशत है"Y ÷ X। of के बाद का शब्द सदा हर होता है, और उसे उलट देना इस खंड की सबसे आम एकल त्रुटि है।
"दर" बनाम "संख्या"दर किसी के प्रति होती है और उसे आधार चाहिए; संख्या को नहीं। सर्वाधिक अस्वीकृति वाला संयंत्र विरले ही सर्वाधिक अस्वीकृति-दर वाला होता है।
दो स्थानों के "बीच"दोनों नामित वस्तुएँ बाहर। स्थान 2 व 5 के बीच दो वस्तुएँ हैं, तीन नहीं।
🧠 क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं
20% बढ़कर फिर 20% घटने वाली राशि आरंभ-बिंदु पर वापस नहीं आती। गुणक गुणा करें: 1.20 × 0.80 = 0.96, अर्थात् शुद्ध 4% गिरावट। सामान्य परिणाम साथ रखने योग्य है: x% वृद्धि के बाद x% गिरावट सदा मूल के 1 − x²/10 000 पर छोड़ती है, अतः वह सदा शुद्ध हानि है, और हानि x के वर्ग के साथ बढ़ती है। 10% पर वह 1% है; 50% पर 25%।

सम्पूर्ण उपकरण-पेटी, एक पृष्ठ पर

  • अनुपात। कुल T पर अनुपात a : b के भाग T·a/(a+b) व T·b/(a+b) होते हैं। योग 64 वाली 3 : 5 अनुपात की दो संख्याएँ 24 व 40 हैं — एक भाग, दो समीकरण नहीं।
  • घात व लघुगणक। ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम है: (0.5)⁻³ = 2³ = 8। लघुगणक घात के विषय में प्रश्न है: log₂ 32 पूछता है कि 2 की कौन-सी घात 32 देती है, और उत्तर 5 है।
  • गणना। क्रम महत्वपूर्ण → क्रमचय; क्रम अमहत्वपूर्ण → संचय। 4 भिन्न अक्षरों में से 3 को क्रम में चुनना 4 × 3 × 2 = 24 है।
  • क्षेत्रमिति। बेलन का वक्र पृष्ठ 2πrh, कुल पृष्ठ 2πr(r + h), आयतन πr²h। पढ़ें कि तीनों में क्या पूछा गया — प्रश्न प्रायः "वक्र" या "कुल" कहता है और विकल्पों में दोनों होते हैं।
  • सांख्यिकी। माध्य कुल बटा गिनती, माध्यिका क्रमबद्ध करने पर मध्य मान, बहुलक सर्वाधिक बारंबार। विषम-वितरित समुच्चय हेतु तीनों भिन्न होते हैं, और अटपटा समुच्चय देने वाला प्रश्न प्रायः यही लक्ष्य कराना चाहता है।
  • प्रायिकता। अनुकूल परिणाम बटा कुल परिणाम, जब सभी परिणाम समसंभाव्य हों। दो पासों के 36 परिणाम होते हैं, और सबसे तेज़ मार्ग लगभग सदा अनुकूल परिणाम गिनना है, उनके बारे में तर्क करना नहीं।

मुख्य बिंदु

  • यहाँ का गणित कक्षा 10 का है। अंक प्रश्न पढ़ने में जाते हैं, अतः गणना से पहले हर, इकाइयाँ, और यह जाँचें कि दर पूछी गई है या संख्या।
  • प्रतिशत परिवर्तन पूर्व मान से भाग देता है; "X का कितना प्रतिशत" X को हर में रखता है। इनमें किसी को उलटना खंड की सबसे आम त्रुटि है।
  • क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन गुणा होते हैं: +20% फिर −20% का अर्थ 1.2 × 0.8 = 0.96, शुद्ध 4% गिरावट, और आरंभ पर वापसी कभी नहीं।
  • ज्ञात कुल पर अनुपात एक भाग है, युगपत् समीकरणों का युग्म नहीं। 64 का 3 : 5 अर्थात् 24 व 40।
  • सर्वाधिक अस्वीकृति वाला संयंत्र विरले ही सर्वाधिक अस्वीकृति-दर वाला होता है — दर को उसका आधार चाहिए, और प्रत्येक आँकड़ा-निर्वचन सेट उसी अंतराल पर बना होता है।
  • बेलन हेतु 2πrh, 2πr(r + h) व πr²h में प्रश्न फिर पढ़कर चुनें — विकल्पों में इनमें से एक से अधिक होंगे।
  • ये पाँच प्रश्न आपके विषय-पेपर के पाँच के समान मूल्य के हैं, और सुरक्षित करने में बहुत सस्ते। एक-अंक वालों पर लगभग एक मिनट रखें और आगे बढ़ें।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी पुरज़े का मूल्य 20% बढ़ाया जाता है और फिर 20% घटाया जाता है। मूल मूल्य की तुलना में अंतिम मूल्य है:

    1. समान
    2. 4% कम
    3. 4% अधिक
    4. 2% कम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4% कम

    प्रतिशत जोड़ने के बजाय गुणक गुणा करें: 1.20 × 0.80 = 0.96, अतः अंतिम मूल्य मूल का 96% है — 4% गिरावट। विकल्प A वह है जो +20 व −20 जोड़ने से सुझाया जाता है, और वह गलत है क्योंकि 20% की कमी बड़े मूल्य पर ली जाती है, अतः वह वृद्धि से अधिक हटाती है। सामान्य परिणाम: x% वृद्धि के बाद x% गिरावट सदा मूल का 1 − x²/10 000 छोड़ती है, अतः वह सदा शुद्ध हानि है, दोनों परिवर्तन किसी भी क्रम में आएँ।

  2. दो संख्याएँ 3 : 5 के अनुपात में हैं और उनका योग 64 है। उनका अंतर है:

    1. 8
    2. 16
    3. 24
    4. 32
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 16

    अनुपात में 3 + 5 = 8 भाग हैं, अतः एक भाग 64/8 = 8 है, और संख्याएँ 24 व 40। अंतर 16 है — जो 2 भाग भी है, क्योंकि 5 − 3 = 2, और उसे सीधे 2 × 8 पढ़ लेना संख्याएँ निकालने की आवश्यकता ही हटा देता है। विकल्प C छोटी संख्या है और विकल्प D 4 भाग; दोनों वे राशियाँ हैं जो हल में आती हैं, इसीलिए वे रखी गई हैं। एक पंक्ति में 3k + 5k = 64 रखना दो युगपत् समीकरण लिखने से बेहतर है।

  3. (0.5)⁻³ का मान है:

    1. −0.125
    2. 0.125
    3. 8
    4. −8
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 8

    ऋणात्मक घातांक का अर्थ व्युत्क्रम है, ऋणात्मक संख्या नहीं: (0.5)⁻³ = 1/(0.5)³ = 1/0.125 = 8। समतुल्य रूप में, 0.5 = 2⁻¹, अतः (2⁻¹)⁻³ = 2³ = 8। विकल्प A व D ऋण-चिह्न को उत्तर का अंग पढ़ने से आते हैं, और यही त्रुटि प्रश्न पकड़ने हेतु है; विकल्प B है (0.5)³, सही उत्तर का व्युत्क्रम। दशमलव को पहले 2 की घात में बदलना इसे एक-चरणीय प्रश्न बना देता है।

  4. GATE के अक्षरों से तीन-अक्षर की कितनी व्यवस्थाएँ बनाई जा सकती हैं, किसी अक्षर को एक बार से अधिक प्रयोग किए बिना?

    1. 4
    2. 12
    3. 24
    4. 64
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 24

    GATE में चार भिन्न अक्षर हैं और व्यवस्था क्रमित होती है, अतः यह क्रमचय है: पहले स्थान हेतु 4 विकल्प, दूसरे हेतु 3, तीसरे हेतु 2 — 4 × 3 × 2 = 24, जो ⁴P₃ है। विकल्प A है ⁴C₃ = 4, अर्थात् क्रम की अवहेलना करते हुए तीन अक्षर चुनने के तरीके, और यही भेद प्रश्न जाँचता है। विकल्प D है 4³ = 64, जो दोहराव की अनुमति देता है। गणना से पहले सदा दो प्रश्न तय करें: क्रम महत्वपूर्ण है? और दोहराव अनुमत है?

  5. एक बंद बेलनाकार टंकी की त्रिज्या 7 मी व ऊँचाई 10 मी है। π = 22/7 लेते हुए उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

    1. 220 मी²
    2. 440 मी²
    3. 748 मी²
    4. 1540 मी²
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 440 मी²

    वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 मी² है; 7 हर को काट देता है, इसीलिए त्रिज्या 7 चुनी गई। विकल्प D आयतन है, πr²h = 1540, गलत विमा वाली संख्या जो विश्वसनीय पढ़ती है। विकल्प C कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है, 2πr(r + h) = 2 × (22/7) × 7 × 17 = 748, और वह इसलिए है कि प्रश्न टंकी को बंद कहता है — यह विवरण कुल हेतु महत्वपूर्ण है, वक्र पृष्ठ हेतु नहीं। चुनने से पहले फिर पढ़ें कि प्रश्न ने तीनों में क्या पूछा।

  6. आँकड़ा समुच्चय 5, 8, 8, 11, 13 हेतु (माध्य − माध्यिका) का मान है:

    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1

    माध्य (5 + 8 + 8 + 11 + 13)/5 = 45/5 = 9 है। समुच्चय पहले से क्रमबद्ध है और उसमें पाँच मान हैं, अतः माध्यिका तीसरा, 8 है। अतः माध्य − माध्यिका = 9 − 8 = 1। बहुलक भी 8 है, क्योंकि 8 दो बार आता है। विकल्प A वह है जो समुच्चय सममित होने पर मिलता; यह 13 द्वारा दाईं ओर खिंचा है, इसीलिए माध्य माध्यिका से ऊपर बैठता है — और यह संबंध, दक्षिण-विषम समुच्चय हेतु माध्य माध्यिका से ऊपर, स्वयं परीक्षा-योग्य है।

  7. सेट. तालिका एक तिमाही में चार संयंत्रों पर उत्पादित इकाइयों तथा अस्वीकृत इकाइयों की संख्या देती है।

    संयंत्रवार उत्पादित व अस्वीकृत इकाइयाँ
    संयंत्रउत्पादितअस्वीकृत
    P4,000120
    Q2,500100
    R6,000150
    S1,50075

    किस संयंत्र की अस्वीकृति-दर सर्वाधिक है?

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — S

    दर को उसका आधार चाहिए, अतः अस्वीकृति-स्तंभ की तुलना करने के बजाय भाग दें। P: 120/4000 = 3%। Q: 100/2500 = 4%। R: 150/6000 = 2.5%। S: 75/1500 = 5% — सर्वाधिक, और वह सबसे छोटे संयंत्र से जिसकी परम अस्वीकृति-संख्या सबसे कम है। R की अस्वीकृतियाँ सर्वाधिक (150) और दर न्यूनतम है, और यही सेट का पूरा आशय है: केवल अस्वीकृति-स्तंभ संयंत्रों को दर के लगभग विपरीत क्रम में रखता है। कुल के साथ संख्या देने वाली कोई भी तालिका आपसे भाग देने को कह रही है।

  8. सेट. तालिका एक तिमाही में चार संयंत्रों पर उत्पादित इकाइयों तथा अस्वीकृत इकाइयों की संख्या देती है।

    संयंत्रवार उत्पादित व अस्वीकृत इकाइयाँ
    संयंत्रउत्पादितअस्वीकृत
    P4,000120
    Q2,500100
    R6,000150
    S1,50075

    चारों संयंत्रों को मिलाकर, समग्र अस्वीकृति-दर निकटतम है:

    1. 2.5%
    2. 3.0%
    3. 3.6%
    4. 5.0%
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3.0%

    स्तंभ जोड़ें, फिर एक बार भाग दें: अस्वीकृत 120 + 100 + 150 + 75 = 445; उत्पादित 4000 + 2500 + 6000 + 1500 = 14 000। अतः समग्र दर 445/14 000 ≈ 3.18% है, जो 3.0% के निकटतम है। जाल विकल्प C, 3.6% है — चारों दरों का औसत (3 + 4 + 2.5 + 5)/4 = 3.625, जो 1,500-इकाई संयंत्र को 6,000-इकाई वाले के समान भार देता है। संयुक्त दर कुलों का अनुपात होती है, दरों का औसत कभी नहीं, बशर्ते आधार संयोगवश समान न हों, और यह प्रश्न उसी को मूर्त करने हेतु है।