ऊष्मा-संचरण: श्रेणी में प्रतिरोध, पंख, विकिरण व ऊष्मा-विनिमयक

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. किसी भित्ति में 20 mm इस्पात (k = 50 W/m·K), 50 mm कुचालक (k = 0.05 W/m·K) व 10 mm ऐलुमिनियम (k = 20 W/m·K) है। इस्पात की मोटाई दुगुनी करने से ऊष्मा-अभिवाह लगभग बदलेगा

   1. 0.04 प्रतिशत
   2. 25 प्रतिशत
   3. 50 प्रतिशत
   4. 2 प्रतिशत
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   उत्तर: A — 0.04 प्रतिशत

   लगभग 0.04 प्रतिशत। पहले प्रति वर्ग मीटर प्रतिरोध क्रमबद्ध करें: इस्पात 0.02/50 = 0.0004, कुचालक 0.05/0.05 = 1.0000, ऐलुमिनियम 0.01/20 = 0.0005 K·m²/W। कुल 1.0009 है, जिसमें कुचालक 99.91 प्रतिशत है। इस्पात दुगुना करना 1.0009 के कुल में और 0.0004 जोड़ता है, 0.04 प्रतिशत का परिवर्तन — और ऊष्मा-अभिवाह उसी अंश से बदलता है, ΔT = 200 K पर 199.82 से 199.74 W/m²। विकल्प B, C व D वे उत्तर हैं जो आपको इस्पात के विषय में पृथक् रूप से तर्क करने से मिलते हैं, और प्रश्न का प्रयोजन यह है कि आप श्रेणी-अवयव के विषय में पृथक् रूप से तर्क नहीं कर सकते: महत्व कुल में उसके भाग का है, उसके अपने आकार का नहीं। यह विषय की सर्वाधिक उपयोगी एकल आदत है। किसी अंकगणित से पूर्व प्रतिरोध सूचीबद्ध करें और देखें कि कौन प्रभावी है; यदि एक पद शेष का हज़ार गुना हो, तो गणना वस्तुतः पहले ही हो चुकी है और शेष दशमलव स्थान हैं। वही तर्क समझाता है कि जल-से-वायु विनिमयक के जल-पक्ष पर पंख जोड़ना धन का अपव्यय क्यों है — वायु-पक्ष का प्रतिरोध ही सम्पूर्ण प्रतिरोध है, और लघु पद सुधारना कुछ नहीं सुधारता।

2. 5 mm व्यास व 50 mm लंबाई का ऐलुमिनियम खूँटी-पंख (k = 200 W/m·K), h = 25 W/m²·K वाली वायु के संपर्क में है। उसकी पंख-दक्षता, प्रतिशत में, ______ है (दो दशमलव तक)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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   उत्तर: 92.42

   92.42 प्रतिशत। पंख-प्राचल निकालें: P = πd = 0.015708 m, A = πd²/4 = 1.9635 × 10⁻⁵ m², अतः m = √(hP/kA) = √(25 × 0.015708/(200 × 1.9635 × 10⁻⁵)) = √100 = ठीक 10 /m — संख्याएँ ऐसे चुनी गई हैं कि यह स्वच्छ निकले और आप संरचना देख सकें। तत्पश्चात् mL = 10 × 0.05 = 0.5, और कुचालित-नोक पंख हेतु η = tanh(mL)/(mL) = 0.462117/0.5 = 0.92423। 92 प्रतिशत दक्षता सुव्यवस्थित अभिकल्प के पंख जैसी सुनाई देती है, और यहाँ वह जाल है जिसे समझना उचित है: उच्च दक्षता उच्च ऊष्मा-निष्कासन के समान नहीं है। दक्षता मापती है कि पंख आधार-ताप पर समतापीय होने के कितने निकट आता है, और लघु पंख उसमें ठीक इसलिए अच्छा अंक पाता है कि वह शीतल ही नहीं होता — शून्य लंबाई का पंख 100 प्रतिशत दक्ष होता और कुछ नहीं हटाता। वस्तुतः हटाई गई ऊष्मा √(hPkA) θ_b tanh(mL) = 1.452 W है, उसी अनुच्छेद के अनंत लंबे पंख के 3.142 W के सामने, अतः यह पंख उपलब्ध सीमा का केवल 46.2 प्रतिशत पकड़ता है। उसे लंबा करना हटाई गई ऊष्मा सुधारता है और दक्षता बिगाड़ता है, और वही सौदा है जिसे व्यक्त करने हेतु दोनों संख्याएँ विद्यमान हैं। लगभग mL = 3 के पश्चात् tanh संतृप्त हो चुका है और आगे की लंबाई कार्य जोड़े बिना द्रव्यमान जोड़ती है।

3. उष्ण धारा 100 °C से 60 °C तक शीतल होती है जबकि शीतल धारा 20 °C से 50 °C तक गरम होती है। प्रतिप्रवाह LMTD, °C में, ______ है (दो दशमलव तक)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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   उत्तर: 44.81

   44.81 °C। प्रतिप्रवाह में धाराएँ सिरे से सिरे मिलती हैं, अतः उष्ण प्रवेश को शीतल निर्गम के साथ जोड़ें: ΔT₁ = 100 − 50 = 50 तथा ΔT₂ = 60 − 20 = 40। तत्पश्चात् LMTD = (50 − 40)/ln(50/40) = 10/0.22314 = 44.814 °C। चलाने योग्य दो जाँचें। लघुगणकीय माध्य सदा समांतर माध्य से नीचे होता है — यहाँ 45.00 के सामने 44.81 — और उसके बराबर केवल तब होता है जब दोनों सिरा-अंतर समान हों; यदि आपका उत्तर समांतर माध्य से ऊपर निकले, तो कोई पद उलटा है। और लघुगणकीय माध्य दोनों सिरा-अंतरों के बीच होता है, जो स्थूल चूकें बाहर कर देता है। अब वह तुलना जो इसे सूत्र के बजाय अभिकल्प-परिणाम बनाती है: समप्रवाह में वही चार ताप उष्ण प्रवेश को शीतल प्रवेश के साथ जोड़ते हैं, जिससे ΔT₁ = 80, ΔT₂ = 10 व LMTD = 70/ln 8 = 33.66 °C मिलता है। प्रतिप्रवाह का प्रेरक बल 33.1 प्रतिशत बृहत्तर है, अतः उसी कार्य व समग्र गुणांक हेतु उसे 24.9 प्रतिशत कम क्षेत्रफल चाहिए। वही धातु, वही तरल, एक-चौथाई कम विनिमयक, केवल इससे कि धाराएँ किस दिशा में बहती हैं — और समप्रवाह की एक कठोर अधिसीमा है जो प्रतिप्रवाह की नहीं, क्योंकि उसका शीतल निर्गम उसके उष्ण निर्गम से कभी ऊपर नहीं उठ सकता।

4. दो बृहत् समांतर धूसर पट्टिकाओं में प्रत्येक की उत्सर्जकता 0.8 है। उनके बीच शुद्ध विकिरण-विनिमय σ(T₁⁴ − T₂⁴) गुणा किस गुणक के समानुपाती है?

   1. 0.64
   2. 0.6667
   3. 0.8
   4. 1.6
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   उत्तर: B — 0.6667

   0.6667। दो बृहत् समांतर धूसर पट्टिकाओं हेतु गुणक F_ε = 1/(1/ε₁ + 1/ε₂ − 1) = 1/(1.25 + 1.25 − 1) = 1/1.5 = 0.6667 है। विकल्प A, ε₁ε₂ = 0.64, सहज अनुमान है और वह गलत है — यहाँ निकट, किंतु न्यून उत्सर्जकता पर दोनों बुरी तरह अलग हो जाते हैं, और कारण भौतिक है: जो विकिरण पट्टिका 1 से निकलकर पट्टिका 2 से परावर्तित हो वह लौट आता है, आंशिकतः पुनः परावर्तित होता है, और इसी प्रकार। हर का −1 ठीक पुनः-परावर्तनों की उसी अनंत श्रेणी का योग है, जिसकी सरल गुणनफल पूर्णतः उपेक्षा करता है। विकल्प C एक उत्सर्जकता ऐसे प्रयोग करता है जैसे दूसरा पृष्ठ काला हो। विकल्प D विमीय रूप से असंभव है — गुणक 1 से कभी अधिक नहीं हो सकता, क्योंकि दो धूसर पृष्ठ दो काले पृष्ठों से अधिक विनिमय नहीं कर सकते। 800 K व 300 K पर पट्टिकाएँ 0.6667 × 5.67 × 10⁻⁸ × (800⁴ − 300⁴) = 15.18 kW/m² विनिमय करती हैं, काले पिंडों के 22.77 kW/m² के सामने। और चतुर्थ घात जो असममिति उत्पन्न करती है उस पर ध्यान दें: 800⁴, 300⁴ का 50 गुना से अधिक है, अतः शीतल पट्टिका का ताप उत्तर को नगण्य प्रभावित करता है — भट्ठी शीतल कक्ष को और अधिक शीतल कक्ष को लगभग समान ऊष्मा खोती है, और वह किसी भी विकिरण-परिणाम पर उपयोगी जाँच है।

5. किसी अस्थायी शीतलन-समस्या के समुच्चित-धारिता विश्लेषण के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

   1. वह तब वैध है जब Bi = hL_c/k लगभग 0.1 से नीचे हो
   2. लाक्षणिक लंबाई L_c, आयतन को अनावृत पृष्ठ-क्षेत्रफल से भाग देकर मिलती है
   3. समय-अचर ρVc/hA है, अतः बृहत्तर पिंड धीमे अनुक्रिया करता है
   4. न्यून बायो संख्या का अर्थ है पिंड अपने पृष्ठ के संवहन की तुलना में ऊष्मा का दुर्बल चालन करता है
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   उत्तर: A — वह तब वैध है जब `Bi = hL_c/k` लगभग 0.1 से नीचे हो; B — लाक्षणिक लंबाई `L_c`, आयतन को अनावृत पृष्ठ-क्षेत्रफल से भाग देकर मिलती है; C — समय-अचर `ρVc/hA` है, अतः बृहत्तर पिंड धीमे अनुक्रिया करता है

   A, B व C। A कसौटी है और 0.1 परंपरागत देहली; B परिभाषा है, L_c = V/A, जो गोले हेतु d/6 और दोनों फलकों पर शीतल होते 2L मोटाई के पटल हेतु L देती है; C समय-अचर है, और उसका भौतिक अर्थ सही है — द्रव्यमान व विशिष्ट ऊष्मा ऊर्जा संचित करते हैं जबकि hA उसे हटाता है, अतः बड़ा अथवा भारी पिंड पिछड़ता है। D में अनुपात ठीक उलटा है, और प्रश्न वही जाँच रहा है। Bi = hL_c/k, आंतरिक चालन-प्रतिरोध को बाह्य संवहन-प्रतिरोध से भाग देकर मिलता है, अतः न्यून बायो संख्या का अर्थ है पिंड के भीतर चालन पृष्ठ के आड़े ऊष्मा पार कराने की तुलना में सरल है — और ठीक इसीलिए अंतस्तल लगभग समतापीय रहता है और एक समुच्चित ताप उसका वर्णन करता है। जो पिंड दुर्बल चालन करता उसकी बायो संख्या उच्च होती, उष्ण पृष्ठ व शीतल अंतस्तल होता, और समुच्चित प्रतिरूप उसके लिए ठीक गलत होता। हल: h = 50 वाली वायु में 10 mm इस्पात-गोले का L_c = 1.667 mm, Bi = 0.0017 — गहराई से समुच्चित — व τ = ρcL_c/h = 119.6 s, अतः लगभग 3τ = 359 s उसे परिवेश तक के मार्ग का 95 प्रतिशत ले जाता है। पहले Bi जाँचने का व्यावहारिक मूल्य यह है कि दोनों शाखाएँ वहीं सर्वाधिक असहमत हैं जहाँ महत्व है: बृहत् Bi पिंड हेतु समुच्चित सूत्र केंद्र को परिवेश तक बहुत पहले पहुँचता बताता है।

6. C_min/C_max = 0.5 वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा-विनिमयक में NTU को 1.5 से 3 तक बढ़ाना प्रभाविता 0.691 से 0.874 तक उठाता है। इसका श्रेष्ठतम अर्थ यह है कि

   1. प्रभाविता NTU में लगभग रैखिक है, अतः क्षेत्रफल समानुपात में कार्य खरीदता है
   2. क्षेत्रफल दुगुना करना तीव्रता से ह्रासमान प्रतिफल देता है, अतः वास्तविक विनिमयक NTU ≈ 3 से बहुत आगे विरले जाते हैं
   3. NTU के 1 से अधिक होने पर क्षमता-अनुपात का कोई प्रभाव नहीं
   4. प्रतिप्रवाह में 0.8 से ऊपर प्रभाविता असंभव है
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — क्षेत्रफल दुगुना करना तीव्रता से ह्रासमान प्रतिफल देता है, अतः वास्तविक विनिमयक NTU ≈ 3 से बहुत आगे विरले जाते हैं

   ह्रासमान प्रतिफल। NTU दुगुना करने का अर्थ लगभग क्षेत्रफल दुगुना करना है — और अतः लागत — जबकि प्रभाविता केवल 0.183 से बढ़ती है, 0.691 से 0.874। आगे जाना उसे बुरा करता है: पूर्णता तक शेष 0.126 हेतु कई और दुगुनीकरण लगते, क्योंकि ε, 1 के निकट अनंतस्पर्शी रूप से आता है। इसीलिए व्यावहारिक विनिमयक ε → 1 का पीछा करने के बजाय NTU = 1 से 3 के आस-पास एकत्र होते हैं, और इसीलिए आर्थिक इष्टतम ऊष्मागतिक के बजाय अभिकल्प का निर्णय है। विकल्प A प्रवृत्ति को रैखिक पढ़ता है, जो NTU = 3 पर ε = 1.38 बनाता — असंभव, क्योंकि प्रभाविता संभव अधिकतम संचरण का अंश है और 1 से अधिक नहीं हो सकती। वह असंभवता ही A को अस्वीकार करने का तीव्रतम उपाय है। विकल्प C गलत है और संख्याएँ वही कहती हैं: उसी NTU = 1.5 पर प्रभाविता C_r = 0 पर 0.777 से नीचे C_r = 1 पर 0.600 तक चलती है, अतः क्षमता-अनुपात सर्वत्र महत्व रखता है। C_r = 0 स्थिति संघनित्र अथवा वाष्पित्र है — एक धारा प्रावस्था बदलती है और अचर ताप रखती है, विद्यमान सरलतम विनिमयक — जबकि C_r = 1 संतुलित स्थिति है, सम्पूर्ण लंबाई भर अचर ताप-अंतर व ε = NTU/(1 + NTU) सहित। विकल्प D का खंडन स्वयं प्रश्न के आँकड़े से होता है।

7. किसी तरल की प्रांटल संख्या 0.01 है, जो द्रव धातु हेतु विशिष्ट है। इसका निगमन है कि

   1. तापीय सीमा-स्तर वेग सीमा-स्तर से बहुत अधिक मोटा है
   2. तापीय सीमा-स्तर वेग सीमा-स्तर से बहुत अधिक पतला है
   3. प्रवाह विक्षुब्ध होना ही चाहिए
   4. चालन की तुलना में संवहन उपेक्षणीय है
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — तापीय सीमा-स्तर वेग सीमा-स्तर से बहुत अधिक मोटा है

   बहुत अधिक मोटा। Pr = ν/α, संवेग विसरणशीलता की तापीय विसरणशीलता से तुलना करता है, और सीमा-स्तर मोटाइयाँ उसी अनुपात का अनुसरण करती हैं: लगभग δ_तापीय/δ_वेग ≈ Pr^(−1/3)। 0.01 प्रांटल संख्या का अर्थ है ऊष्मा संवेग से लगभग सौ गुना तीव्रता से विसरित होती है, अतः तापीय स्तर वेग-स्तर से बहुत आगे दौड़ता है — और द्रव धातु में ठीक वही भौतिक स्थिति है, जिसके मुक्त इलेक्ट्रॉन ऊष्मा का चालन करते हैं जबकि उसकी श्यानता मध्यम रहती है। इसीलिए द्रव सोडियम रिएक्टर-शीतलक के रूप में प्रयुक्त होता है और इसीलिए द्रव-धातु सहसंबंध पृथक् कुल हैं: Pr ≈ 1 के निकट अंशांकित सामान्य Nu = f(Re, Pr) फ़िट 0.01 तक बहिर्वेशित नहीं होते। विकल्प B, तेल जैसे उच्च Pr तरल हेतु उत्तर है, और Pr ≈ 7 पर जल पहले से हल्के रूप से उसी ओर बैठा है। विकल्प C, Pr को — जो केवल तरल का गुणधर्म है — Re से मिला देता है, जो प्रवाह का वर्णन करता है; तरल की प्रांटल संख्या होती है, वह गतिमान हो या न हो। विकल्प D वर्णित करता है कि 1 के निकट नसेल्ट संख्या का क्या अर्थ होता, प्रांटल संख्या का नहीं: Nu = hL/k वह समूह है जो संवहन की चालन से तुलना करता है, और दोनों को मिला देना ही वह त्रुटि है जिसके चारों ओर प्रश्न बना है। वायु का Pr ≈ 0.7 संदर्भ-बिंदु के रूप में धारण करने योग्य है, क्योंकि वह 1 के इतने निकट है कि दोनों स्तर तुलनीय हैं और अधिकांश पाठ्यपुस्तक-सहसंबंध वहीं फ़िट किए गए थे।

8. 10 mm व्यास का इस्पात-गोला (ρ = 7800 kg/m³, c = 460 J/kg·K), h = 50 W/m²·K वाली वायु में शीतल होता है। उसका समुच्चित समय-अचर, सेकंड में, ______ है (एक दशमलव तक)

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

   उत्तर देखें

   उत्तर: 119.6

   119.6 s। लाक्षणिक लंबाई L_c = V/A है, जो गोले हेतु (πd³/6)/(πd²) = d/6 = 1.6667 mm है। तत्पश्चात् τ = ρVc/(hA) = ρcL_c/h = 7800 × 460 × 1.6667 × 10⁻³/50 = 5980/50 = 119.6 s। पहले छूट जाँचें, क्योंकि वही चरण निर्णय करता है कि सूत्र लागू होता ही है क्या: इस्पात हेतु k = 50 W/m·K सहित, Bi = hL_c/k = 50 × 1.6667 × 10⁻³/50 = 0.0017, 0.1 से बहुत नीचे, अतः गोला वस्तुतः समतापीय है और एक चरघातांकी उसका वर्णन करता है। समय-अचर का व्यावहारिक अर्थ यह है कि (T − T_∞)/(T_i − T_∞) = e^(−t/τ), अतः गोला परिवेश तक की अपनी यात्रा का 63 प्रतिशत एक τ में और लगभग 95 प्रतिशत 3τ = 359 s में ढकता है। सामान्य चूक त्रिज्या अथवा व्यास को L_c मानना है: d/6, 1.67 mm है, जबकि d = 10 mm समय-अचर को छह गुना बढ़ाकर 718 s कर देता। परिभाषा L_c = V/A पर स्मरण किए आकृति-गुणक से अधिक विश्वास करना उचित है, और वह सामान्यीकृत भी होती है — दोनों फलकों पर शीतल होते 2L मोटाई के पटल हेतु वह L देती है, और d व्यास के लंबे बेलन हेतु d/4।