A steam power plant and a gas-turbine plant have thermal efficiencies of 35 per cent and 48 per cent respectively. Which statement best explains why the steam plant is nevertheless far less sensitive to turbine and compressor inefficiency?

The steam plant pumps a liquid, so its back-work ratio is a fraction of a per cent instead of about a half

Steam turbines are inherently more efficient than gas turbines

The steam plant pumps a liquid, so its back-work ratio is a fraction of a per cent instead of about a half

The steam plant operates at a lower peak temperature

Water has a higher specific heat than air

Which of the following are correct about Euler’s turbomachine equation `w = u₂V_w2 − u₁V_w1`?

Only the tangential (whirl) component of absolute velocity contributes to the work

It applies equally to a steam turbine, a centrifugal pump and a fan

For a pump with radial inlet flow it reduces to `w = u₂V_w2`

Only the tangential (whirl) component of absolute velocity contributes to the work

It applies equally to a steam turbine, a centrifugal pump and a fan

For a pump with radial inlet flow it reduces to `w = u₂V_w2`

It gives the actual work after accounting for hydraulic losses

For a Diesel cycle at a fixed compression ratio, as the cut-off ratio is reduced towards 1, the air-standard efficiency

approaches the Otto efficiency at the same compression ratio

stays constant, since it depends only on the compression ratio

exceeds the Carnot efficiency between the same temperature limits

In a Brayton cycle with fixed inlet and peak temperatures, the pressure ratio that maximises net work per kg of air is

lower, and equal to `(T₃/T₁)^(γ/2(γ−1))`

the same as the one that maximises thermal efficiency

lower, and equal to `(T₃/T₁)^(γ/2(γ−1))`

unbounded — net work rises indefinitely with pressure ratio

independent of the temperature ratio

ऊष्मागतिकी व उसके अनुप्रयोग: चक्र, उपलब्धता व टर्बो-यंत्र

इस पेपर में ऊष्मागतिकी दो नियम तथा बहुत सारा सावधान लेखा-जोखा है। प्रथम नियम संरक्षण-कथन है और वह कभी विफल नहीं होता; द्वितीय नियम दिशा-कथन है और प्रत्येक रोचक परिणाम वहीं से आता है। परीक्षा-प्रयोजन हेतु द्वितीय नियम धारण करने का सर्वाधिक उपयोगी उपाय एन्ट्रॉपी-जनन के रूप में है: कोई भी वास्तविक प्रक्रिया एन्ट्रॉपी उत्पन्न करती है, S_gen ≥ 0, और जो कार्य आप पा सकते थे किंतु नहीं पाया वह ठीक T₀ S_gen है। वही एक तत्समता अनुत्क्रमणीयता के अस्पष्ट कथनों को संख्या में बदल देती है। तत्पश्चात् अनुप्रयोग, जिन्हें पाठ्यक्रम अपना शीर्षक बनाता है और जो चक्रों के रूप में खींचे वही दो नियम हैं। वायु-मानक चक्र प्रत्येक एक पंक्ति पर सिमटते हैं — ऑटो η = 1 − r^(1−γ) है और संपीडन अनुपात के अतिरिक्त किसी बात पर निर्भर नहीं — और उसका ईमानदार अर्थ यह है कि वह ऊर्ध्व परिबंध है जहाँ कोई वास्तविक इंजन नहीं पहुँचता। रैंकिन व ब्रेटन चक्र आरेख पर समान दिखते हैं और एक ऐसे विषय में पूर्णतः भिन्न व्यवहार करते हैं जो निर्णय करता है कि वे कैसे बनाए जाते हैं: प्रति-कार्य अनुपात, जो द्रव पंप करते भाप-संयंत्र हेतु 0.4 प्रतिशत और गैस संपीडित करते गैस-टरबाइन हेतु 48 प्रतिशत है। वही एक संख्या वह कारण है जिससे गैस-टरबाइन स्वयं को आरंभ नहीं कर सकता और जिससे भाप-संयंत्र का पंप एक पश्च-विचार है। प्रशीतन वही चक्र उलटा पढ़ा गया है, दो निष्पादन गुणांकों सहित जो ठीक 1 से भिन्न हैं। और टर्बो-यंत्रावली एक समीकरण जोड़ती है, ऑयलर का, जो कहता है प्रति एकांक द्रव्यमान कार्य घूर्णक के आड़े V_w u का परिवर्तन है और कुछ नहीं।

द्वितीय नियम एक संख्या के रूप में: उत्पन्न एन्ट्रॉपी, खोया कार्य

कार्नो सीमा η = 1 − T_L/T_H सामान्यतः अधिसीमा के रूप में पढ़ाई जाती है, जो सत्य है किंतु बहुत क्रियाशील नहीं। अधिक उपयोगी रूप एन्ट्रॉपी-संतुलन है: किसी भी प्रक्रिया हेतु S_gen = ΔS_निकाय + ΔS_परिवेश ≥ 0, समता केवल उत्क्रमणीय प्रक्रिया हेतु, और नष्ट किया कार्य W_lost = T₀ S_gen है जहाँ T₀ मृत-अवस्था ताप है। ऐसा उदाहरण हल करें जो निर्दोष सुनाई देता है। 800 K के भंडार से 300 K के भंडार तक 1000 J ऊष्मा सीधे ले जाएँ — नग्न चालन, कोई इंजन नहीं। उष्ण भंडार 1000/800 = 1.25 J/K खोता है और शीतल 1000/300 = 3.3333 J/K पाता है, अतः S_gen = 2.0833 J/K। नष्ट किया कार्य 300 × 2.0833 = 625 J है। अब उसकी तुलना उससे करें जो उपलब्ध था: उन्हीं भंडारों के बीच कार्नो इंजन 1000 × (1 − 300/800) = 625 J देता। दोनों संख्याएँ समरूप हैं, और संयोगवश नहीं — ऊष्मा को सीधे मृत अवस्था तक संचरित करना सम्पूर्ण उपलब्ध कार्य नष्ट कर देता है, उसका प्रत्येक जूल। यह उसका तीव्रतम कथन है कि ऊष्मा-विनिमयक लघु ताप-अंतरों हेतु क्यों अभिकल्पित होते हैं और 1800 K पर जलता बॉयलर 600 K की भाप में ईंधन की अधिकांश उपलब्धता चक्र के आरंभ होने से पूर्व ही क्यों फेंक देता है।

🧠 वायु-मानक दक्षताएँ प्रत्येक एक पंक्ति हैं, और उन सब अधिसीमाएँ हैं

ऑटो चक्र η = 1 − r^(1−γ) देता है, और जो अनुपस्थित है वह पढ़ें: कोई ताप नहीं, कोई दाब नहीं, कोई ईंधन नहीं — संपीडन अनुपात ही एकमात्र चर है। γ = 1.4 पर r = 8, 56.47 प्रतिशत देता है, r = 10, 60.19 और r = 18, 68.53। डीज़ल चक्र एक कटाव अनुपात जोड़ता है: η = 1 − r^(1−γ)[(ρ^γ − 1)/(γ(ρ − 1))], और r = 18 पर कटाव 2 सहित वह 63.16 प्रतिशत है। दो तुलनाएँ सावधानी से करने योग्य हैं, क्योंकि परीक्षक वही रखते हैं। प्रथम, उसी संपीडन अनुपात पर ऑटो सदा डीज़ल को हराता है — r = 18 पर 63.16 के सामने 68.53 — और कटाव अनुपात को 1 की ओर ले जाना डीज़ल व्यंजक को ऑटो के व्यंजक पर अभिसरित करता है, और वही बीजगणितीय जाँच है कि दोनों चक्र किसी सीमा में वही चक्र हैं। (सत्यापित: कटाव 1.0001 पर डीज़ल सूत्र ऑटो के 0.685304 के सामने 0.685298 लौटाता है।) द्वितीय, वह तुलना व्यावहारिक नहीं है, क्योंकि पेट्रोल इंजन r = 18 प्रयोग नहीं कर सकता — वह ठकठकाएगा — जबकि डीज़ल इंजन नित्य करता है। वास्तविक डीज़ल वास्तविक पेट्रोल इंजनों से अधिक दक्ष हैं यद्यपि वे समान संपीडन अनुपात पर कम दक्ष हैं, और जिस अभ्यर्थी के पास केवल सूत्र है वह व्यावहारिक प्रश्न उलटा कर देगा। इन सबका ईमानदार ढाँचा: वे वायु-मानक हैं, अर्थात् अचर विशिष्ट ऊष्माएँ, कोई घर्षण नहीं, कोई दहन-अनुत्क्रमणीयता नहीं और सर्वत्र कार्यकारी तरल के रूप में वायु। r = 8 पर वास्तविक स्फुलिंग-प्रज्वलन इंजन संभवतः 30 प्रतिशत पाता है, 56 नहीं।

γ = 1.4 पर वायु-मानक दक्षताएँ, तथा तुलना हेतु कार्नो अधिसीमा
चक्र व प्राचल	दक्षता	वह किस पर निर्भर है
ऑटो, `r = 8`	56.47 %	केवल संपीडन अनुपात
ऑटो, `r = 18`	68.53 %	पेट्रोल में अप्राप्य — वह ठकठकाएगा
डीज़ल, `r = 18`, कटाव 2	63.16 %	संपीडन तथा कटाव अनुपात
ब्रेटन, `r_p = 10`	48.21 %	केवल दाब अनुपात
कार्नो, 800 K → 300 K	62.50 %	केवल भंडार-ताप — वास्तविक अधिसीमा

रैंकिन बनाम ब्रेटन: प्रति-कार्य अनुपात सब कुछ निर्णीत करता है

दोनों चक्र दो समएन्ट्रॉपिक व दो अचर-दाब युक्तियाँ हैं — संपीडित करें, गरम करें, प्रसारित करें, शीतल करें — और p–v रेखाचित्र पर वे लगभग समान दिखते हैं। अंतर इसमें है कि संपीडित क्या होता है। रैंकिन द्रव संपीडित करता है, और द्रव पंप करने में लगभग कुछ नहीं लगता क्योंकि उसका विशिष्ट आयतन अत्यल्प है। ब्रेटन गैस संपीडित करता है, और उसमें टरबाइन-निर्गम का लगभग आधा लगता है। दोनों पर संख्याएँ रखें। रैंकिन हेतु, टरबाइन-प्रवेश h₁ = 3214 kJ/kg, टरबाइन-निर्गम h₂ = 2144, संघनित h₃ = 192 व पंप-कार्य 4 kJ/kg सहित: w_turb = 1070, w_net = 1066, q_in = 3018, अतः η = 35.32 प्रतिशत और प्रति-कार्य अनुपात 4/1070 = 0.37 प्रतिशत। ब्रेटन हेतु, r_p = 10, T₁ = 300 K व T₃ = 1200 K सहित: T₂ = 579.2 K, T₄ = 621.5 K, w_comp = 280.6, w_turb = 581.4, अतः w_net = 300.8, q_in = 623.9 व η = 48.21 प्रतिशत — किंतु प्रति-कार्य अनुपात 280.6/581.4 = 48.27 प्रतिशत। गैस-टरबाइन की तापीय दक्षता यहाँ उच्चतर है और वह अपना संपीडक चलाने में अपने ही निर्गम का 129 गुना अधिक खर्च करता है।

🎯 48 प्रतिशत प्रति-कार्य अनुपात वस्तुतः आपसे क्या लेता है

आधे के निकट प्रति-कार्य अनुपात लेखा-कौतुक नहीं है; वह निर्णय करता है कि यंत्र कैसे बनता है और कैसे विफल होता है। वह संयंत्र को अवयव-दक्षता के प्रति अति-संवेदी बना देता है। मानें ब्रेटन टरबाइन व संपीडक प्रत्येक आदर्श से 85 प्रतिशत समएन्ट्रॉपिक दक्षता तक गिरें। टरबाइन अब 0.85 × 581.4 = 494.2 देती है और संपीडक अब 280.6/0.85 = 330.1 माँगता है, अतः शुद्ध कार्य 300.8 से 164.1 kJ/kg तक गिरता है — प्रत्येक युक्ति में 15 प्रतिशत हानि से 45 प्रतिशत का ढहाव। वही 15 प्रतिशत हानि रैंकिन से चलाएँ और शुद्ध कार्य 1066 से लगभग 905 तक गिरता है, 15 प्रतिशत का पात, क्योंकि पंप-पद महत्व रखने योग्य लघु है। वही आवर्धन वह कारण है जिससे गैस-टरबाइन विकास संपीडक-दक्षता के कुछ अंकों का अंतहीन पीछा है, जबकि भाप-संयंत्र अभियांत्रिकी पंपों के बजाय बॉयलर व संघनित्र की चिंता करती है। उसी संख्या से दो और परिणाम निकलते हैं। गैस-टरबाइन स्वयं को आरंभ नहीं कर सकता — उसे संपीडक को उस चाल तक घुमाने हेतु बाह्य प्रवर्तक चाहिए जहाँ टरबाइन संपीडक की खपत से अधिक उत्पन्न करे, और उस चाल से नीचे चक्र बंद ही नहीं होता। और एक दाब अनुपात है जिसके परे शुद्ध कार्य गिरता है यद्यपि दक्षता बढ़ती रहती है, क्योंकि संपीडक-कार्य टरबाइन-कार्य से तीव्रतर बढ़ता है; T₃/T₁ = 4 हेतु अधिकतम शुद्ध कार्य का इष्टतम r_p = (T₃/T₁)^(γ/2(γ−1)) = 11.31 है, और उससे परे आप दक्षता पाते हैं और प्रति किलोग्राम वायु निर्गम खोते हैं। उन दो इष्टतमों के बीच चुनना वास्तविक अभिकल्प-निर्णय है, सूत्र नहीं।

रैंकिन बनाम ब्रेटन एक ही पृष्ठ पर
	रैंकिन (दी गई एन्थैल्पियाँ)	ब्रेटन (`r_p = 10`, 300 → 1200 K)
क्या संपीडित होता है	द्रव जल	वायु
टरबाइन-कार्य	1070 kJ/kg	581.4 kJ/kg
संपीडक / पंप कार्य	4 kJ/kg	280.6 kJ/kg
शुद्ध कार्य	1066 kJ/kg	300.8 kJ/kg
तापीय दक्षता	35.32 %	48.21 %
प्रति-कार्य अनुपात	0.37 %	48.27 % — 129× बृहत्तर
दोनों युक्तियाँ 85 % दक्ष हों तो शुद्ध कार्य	≈ 905 (−15 %)	164.1 (−45 %)

उलटा पढ़ा प्रशीतन, तथा प्रत्येक टर्बो-यंत्र हेतु एक समीकरण

शक्ति-चक्र उलटें और आपको प्रशीतक अथवा ऊष्मा-पंप मिलता है — वही उपकरण, भिन्न लेखा। COP_R = Q_L/W तथा COP_HP = Q_H/W, और चूँकि प्रथम नियम से Q_H = Q_L + W, COP_HP = COP_R + 1 सदा, ठीक-ठीक, कोई शर्त जुड़ी नहीं। T_L = 273 K व T_H = 303 K के बीच उलटे कार्नो हेतु COP_R = 273/30 = 9.1 तथा COP_HP = 303/30 = 10.1 — ठीक 1 का अंतर, और वही किसी भी COP उत्तर पर तीव्रतम जाँच है। रखने योग्य दो अर्थ। प्रथम, 9.1 का COP अर्थ रखता है एक जूल कार्य हेतु नौ जूल ऊष्मा चलाना, और इसीलिए ऊष्मा-पंप "100 प्रतिशत से अधिक दक्ष" नहीं बल्कि केवल ऊष्मा-इंजन नहीं हैं: वे ऊर्जा को परिवर्तित करने के बजाय चलाते हैं, और प्रथम नियम अविचलित रहता है। द्वितीय, COP_R = T_L/(T_H − T_L) ताप-उत्थान बढ़ते ही ढह जाता है: उसी विस्तार को T_L = 263, T_H = 313 तक चौड़ा करें और COP_R, 9.1 से 5.26 तक गिर जाता है। अतिरिक्त उत्थान की प्रत्येक डिग्री महँगी है, और वही कारण है जिससे घरेलू हिमक कक्ष उसी परिवेश पर प्रशीतक-कक्ष से चलाने में इतना अधिक महँगा है।

🧠 आपसे जो टर्बो-यंत्रावली पूछी जाती है वह सम्पूर्ण ऑयलर समीकरण है

ऑयलर का टर्बो-यंत्र समीकरण कहता है कि घूर्णक से विनिमित प्रति एकांक द्रव्यमान कार्य w = u₂V_w2 − u₁V_w1 है, जहाँ u फलक-चाल और V_w, परम वेग का भ्रमिल (स्पर्शरेखीय) घटक है। जो अनुपस्थित है वह पढ़ें: कोई दाब नहीं, कोई घनत्व नहीं, कोई दक्षता नहीं, और इस विषय में कुछ नहीं कि तरल गैस है या द्रव। वह शुद्ध कोणीय-संवेग लेखा है, और इसीलिए वही समीकरण भाप-टरबाइन, अपकेंद्री पंप, पंखे व बल-आघूर्ण परिवर्तक को ढकता है। ले जाने योग्य तीन परिणाम। प्रथम, केवल स्पर्शरेखीय घटक कार्य करता है — वेग के अक्षीय व त्रिज्यीय घटक यंत्र से होकर द्रव्यमान चलाते हैं और w में कुछ योगदान नहीं देते, और इसीलिए फलक-कोण महत्व रखते हैं और फलक-लंबाइयाँ अधिकतर नहीं। द्वितीय, त्रिज्यीय प्रवेश-प्रवाह वाले पंप हेतु V_w1 = 0 और समीकरण w = u₂V_w2 पर सिमट जाता है, और अधिकांश प्रश्न वस्तुतः उसी रूप का प्रयोग करते हैं। तृतीय, अभिक्रिया मात्रा

R = (घूर्णक में स्थैतिक एन्थैल्पी परिवर्तन)/(चरण में कुल एन्थैल्पी परिवर्तन)

यंत्रों को छाँट देती है: R = 0 आवेग-चरण है जहाँ सम्पूर्ण दाब-पात तुंड में होता है और घूर्णक केवल प्रवाह मोड़ता है, R = 0.5 सममित अभिक्रिया-चरण है जिसमें घूर्णक व स्थातृ पर समरूप फलक-आकृतियाँ हैं, और R = 1 सम्पूर्ण पात घूर्णक में रखता है। और विशिष्ट चाल — पंपों हेतु N_s = N√Q/H^(3/4), टरबाइनों हेतु N√P/H^(5/4) — भावतः विमाहीन समूह है जिसका एकमात्र कार्य आपको बताना है कि किसी कार्य हेतु यंत्र का कौन-सा कुल उपयुक्त है: न्यून विशिष्ट चाल का अर्थ उच्च शीर्ष व न्यून प्रवाह, अतः त्रिज्यीय यंत्र; उच्च विशिष्ट चाल का अर्थ विपरीत, अतः अक्षीय। वह किसी फलक के खींचे जाने से पूर्व प्रकार चुन देती है।

मुख्य बिंदु

द्वितीय नियम संख्या के रूप में सर्वाधिक उपयोगी है: W_lost = T₀ S_gen। 800 K से 300 K तक 1000 J ले जाना 2.083 J/K उत्पन्न करता है और 625 J नष्ट करता है — और वही ठीक सम्पूर्ण उपलब्धता थी।
ऑटो संपीडन अनुपात के अतिरिक्त किसी बात पर निर्भर नहीं: r = 8 पर 56.47 %, r = 18 पर 68.53 %। समान r पर ऑटो सदा डीज़ल को हराता है — किंतु पेट्रोल इंजन r = 18 तक नहीं पहुँच सकता, और इसीलिए वास्तविक डीज़ल जीतते हैं।
प्रति-कार्य अनुपात रैंकिन व ब्रेटन के बीच का अंतर है: 48.27 प्रतिशत के सामने 0.37 प्रतिशत। रैंकिन द्रव पंप करता है; ब्रेटन गैस संपीडित करता है।
उच्च प्रति-कार्य अनुपात प्रत्येक अवयव-हानि को आवर्धित करता है। दोनों ब्रेटन युक्तियों को 85 प्रतिशत समएन्ट्रॉपिक दक्षता तक गिराना शुद्ध कार्य 45 प्रतिशत काटता है, 300.8 से 164.1 kJ/kg; वही हानि रैंकिन से केवल 15 प्रतिशत लेती है।
दक्षता व शुद्ध कार्य भिन्न दाब अनुपातों पर इष्टतम होते हैं। T₃/T₁ = 4 हेतु अधिकतम-कार्य अनुपात 11.31 है; उससे परे दक्षता बढ़ती रहती है जबकि प्रति किलोग्राम वायु निर्गम गिरता है।
COP_HP = COP_R + 1, ठीक-ठीक और सदा। 303 K के सामने 273 K पर वे 10.1 व 9.1 हैं; उत्थान 313 के सामने 263 तक चौड़ा करें और COP_R, 5.26 तक गिर जाता है।
ऑयलर समीकरण w = u₂V_w2 − u₁V_w1 में कोई दाब, घनत्व अथवा दक्षता नहीं — केवल भ्रमिल घटक कार्य करते हैं। अभिक्रिया मात्रा आवेग (R = 0) को अभिक्रिया (R = 0.5) से छाँटती है, और विशिष्ट चाल किसी फलक के खींचे जाने से पूर्व यंत्र-कुल चुन देती है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

कोई ऑटो चक्र 8 संपीडन अनुपात व γ = 1.4 सहित चलता है। उसकी वायु-मानक दक्षता, प्रतिशत में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 56.47
56.47 प्रतिशत। η = 1 − r^(1−γ) = 1 − 8^(−0.4) = 1 − 0.43528 = 0.56472। सूत्र को इस दृष्टि से पढ़ें कि उसमें क्या नहीं है: कोई ताप नहीं, कोई दाब नहीं, कोई ईंधन नहीं, कोई ऊष्मा-निवेश नहीं — वायु-मानक ऑटो दक्षता केवल संपीडन अनुपात व γ पर निर्भर है। वह बलवान कथन है और स्पष्ट होना उचित है कि वह किसी आदर्शीकरण के विषय में कथन है, किसी इंजन के विषय में नहीं। वायु-मानक चक्र अचर विशिष्ट ऊष्माएँ, कोई घर्षण नहीं, बेलन-भित्तियों को कोई ऊष्मा-हानि नहीं, अचर आयतन पर तात्क्षणिक दहन तथा सर्वत्र कार्यकारी तरल के रूप में वायु मानता है। r = 8 पर वास्तविक स्फुलिंग-प्रज्वलन इंजन संभवतः 30 प्रतिशत पाता है, अतः 56.47 अधिसीमा है, भविष्यवाणी नहीं। तैयार रखने योग्य दो तुलनाएँ। r को 18 तक उठाना 68.53 प्रतिशत देता, किंतु पेट्रोल इंजन वह अनुपात प्रयोग नहीं कर सकता — आवेश स्वतः प्रज्वलित हो जाता, जो ठकठक है, और वही सीमा स्फुलिंग-प्रज्वलन को लगभग r = 10 तक सीमित रखती है। और r = 18 पर 2 कटाव अनुपात सहित डीज़ल चक्र 63.16 प्रतिशत देता है, उसी r पर ऑटो से न्यून; वास्तविक डीज़ल तथापि वास्तविक पेट्रोल इंजनों से अधिक दक्ष हैं क्योंकि वे वस्तुतः उस संपीडन अनुपात पर चल सकते हैं। समान-r तुलना को व्यावहारिक तुलना से मिला देना इस विषय की सर्वाधिक सामान्य वैचारिक त्रुटि है।
800 K के भंडार से 300 K के भंडार तक 1000 J ऊष्मा सीधे संचरित होती है। उत्पन्न एन्ट्रॉपी, J/K में, ______ है (चार दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.0833
2.0833 J/K। भंडार इतने बृहत् हैं कि उनके ताप नहीं बदलते, अतः प्रत्येक एन्ट्रॉपी-परिवर्तन केवल Q/T है। उष्ण भंडार 1000/800 = 1.2500 J/K खोता है और शीतल 1000/300 = 3.3333 J/K पाता है, अतः S_gen = 3.3333 − 1.2500 = 2.0833 J/K। धनात्मक, जैसा द्वितीय नियम स्वतःस्फूर्त प्रक्रिया हेतु माँगता है। अब वह भाग जो संख्या को निकालने योग्य बनाता है: नष्ट किया कार्य T₀ S_gen = 300 × 2.0833 = 625 J है। उसकी उस कार्य से तुलना करें जो उपलब्ध था — उन्हीं दो भंडारों के बीच कार्नो इंजन 1000 × (1 − 300/800) = 625 J उत्पन्न करता। दोनों समरूप हैं, और वह तत्समता संयोगवश के बजाय यथार्थ है: पथ में कोई इंजन न रखकर ऊष्मा को मृत अवस्था तक गिरने देना सम्पूर्ण उपलब्ध कार्य नष्ट कर देता है। यह उपलब्ध तीव्रतम कथन है कि अनुत्क्रमणीयता महँगी क्यों है, और उसका सीधा अभिकल्प-परिणाम है — ऊष्मा-विनिमयक लघु ताप-अंतरों हेतु सावधानी से नहीं बनाए जाते बल्कि इसलिए कि अनावश्यक पात की प्रत्येक डिग्री वह उपलब्धता है जिसे कोई भी परवर्ती युक्ति कभी पुनः नहीं पा सकती। वही तर्क वह कारण है जिससे 1800 K पर जलता बॉयलर 600 K की भाप में रैंकिन चक्र के आरंभ से पूर्व ही ईंधन की अधिकांश कार्य-संभाव्यता खो चुका है।
किसी वायु-मानक ब्रेटन चक्र का दाब अनुपात 10, संपीडक-प्रवेश 300 K, टरबाइन-प्रवेश 1200 K, γ = 1.4 है। प्रति-कार्य अनुपात (संपीडक-कार्य ÷ टरबाइन-कार्य), प्रतिशत में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 48.27
48.27 प्रतिशत। समएन्ट्रॉपिक ताप-गुणक r_p^((γ−1)/γ) = 10^0.2857 = 1.9307 है। अतः T₂ = 300 × 1.9307 = 579.21 K तथा T₄ = 1200/1.9307 = 621.54 K। c_p = 1.005 kJ/kg·K सहित संपीडक 1.005(579.21 − 300) = 280.61 kJ/kg लेता है और टरबाइन 1.005(1200 − 621.54) = 581.36 kJ/kg देती है, अतः प्रति-कार्य अनुपात 280.61/581.36 = 48.27 प्रतिशत है। तापीय दक्षता दीर्घ व लघु दोनों मार्गों से जाँचें: w_net/q_in = 300.75/623.89 = 0.4821, और 1 − r_p^(−0.2857) = 0.4821 ✓ — संवृत रूप छह अंकों तक सहमत है, और उसे एक बार करना उचित है जिससे आप तत्पश्चात् उस पर विश्वास करें। प्रति-कार्य अनुपात वहीं है जहाँ अभियांत्रिकी रहती है। टरबाइन के निर्गम का लगभग आधा उसका अपना संपीडक खा लेता है, और परिणाम अवयव-दक्षता के प्रति अति-संवेदिता है: दोनों युक्तियाँ 85 प्रतिशत समएन्ट्रॉपिक तक गिराएँ और टरबाइन 0.85 × 581.36 = 494.2 देती है जबकि संपीडक 280.61/0.85 = 330.1 माँगता है, अतः शुद्ध कार्य 300.8 से 164.1 kJ/kg तक गिरता है — प्रत्येक में 15 प्रतिशत हानि से 45 प्रतिशत का ढहाव। रैंकिन संयंत्र, जिसका प्रति-कार्य अनुपात 0.37 प्रतिशत है, उसी व्यवहार में केवल 15 प्रतिशत खोता है। यही कारण भी है कि गैस-टरबाइन को बाह्य प्रवर्तक चाहिए, और जिससे शुद्ध कार्य अधिकतम करता दाब अनुपात, (T₃/T₁)^(γ/2(γ−1)) = 11.31, वह नहीं जो दक्षता अधिकतम करता है।
किसी भाप-शक्ति संयंत्र व गैस-टरबाइन संयंत्र की तापीय दक्षताएँ क्रमशः 35 प्रतिशत व 48 प्रतिशत हैं। कौन-सा कथन श्रेष्ठतम रूप से समझाता है कि भाप-संयंत्र तथापि टरबाइन व संपीडक की अदक्षता के प्रति बहुत कम संवेदी क्यों है?
1. भाप-टरबाइन गैस-टरबाइनों से स्वभावतः अधिक दक्ष हैं
2. भाप-संयंत्र द्रव पंप करता है, अतः उसका प्रति-कार्य अनुपात लगभग आधे के बजाय एक प्रतिशत का अंश है
3. भाप-संयंत्र न्यूनतर शिखर-ताप पर चलता है
4. जल की विशिष्ट ऊष्मा वायु से उच्चतर है
उत्तर देखें
उत्तर: B — भाप-संयंत्र द्रव पंप करता है, अतः उसका प्रति-कार्य अनुपात लगभग आधे के बजाय एक प्रतिशत का अंश है
प्रति-कार्य अनुपात। रैंकिन द्रव संपीडित करता है, जिसका विशिष्ट आयतन गैस के लगभग हज़ारवें भाग है, अतः पंप 1070 के टरबाइन-निर्गम के सामने लगभग 4 kJ/kg लेता है — 0.37 प्रतिशत का प्रति-कार्य अनुपात। ब्रेटन गैस संपीडित करता है, और संपीडक 581.4 के टरबाइन-निर्गम के सामने 280.6 kJ/kg लेता है — 48.27 प्रतिशत। वह 129 गुना बृहत्तर है, और वही अवयव-हानियाँ आवर्धित करता है। दोनों को प्रत्येक युक्ति में 15 प्रतिशत समएन्ट्रॉपिक हानि से निकालें: ब्रेटन का शुद्ध कार्य 300.8 से 164.1 kJ/kg तक गिरता है, 45 प्रतिशत का ढहाव, क्योंकि टरबाइन 15 प्रतिशत खोती है जबकि संपीडक की माँग 18 प्रतिशत बढ़ती है और दोनों त्रुटियाँ लगभग समान राशियों पर लगती हैं। रैंकिन लगभग 15 प्रतिशत खोता है, बस, क्योंकि पंप-पद कुछ भी आवर्धित करने योग्य लघु है। विकल्प A युक्तियों की तुलना है, चक्रों की नहीं, और भाप व गैस टरबाइन वस्तुतः समान समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ पाते हैं। विकल्प C तथ्य के रूप में सत्य और व्याख्या के रूप में अप्रासंगिक है — न्यूनतर शिखर-ताप भाप-संयंत्र को कम दक्ष बनाता, जो प्रश्न के 35 बनाम 48 से संगत है, किंतु वह संवेदिता के विषय में कुछ नहीं कहता। विकल्प D तरल-गुणधर्म को चक्र-गुणधर्म से मिला देता है; महत्व संपीडन-चरण पर विशिष्ट आयतन का है, विशिष्ट ऊष्मा का नहीं। वही 48 प्रतिशत दो व्यावहारिक तथ्य भी समझाता है: गैस-टरबाइन स्वयं को आरंभ नहीं कर सकता, और उसका अधिकतम-कार्य दाब अनुपात उसके अधिकतम-दक्षता अनुपात से भिन्न है।
कोई उलटा कार्नो प्रशीतक 273 K व 303 K के बीच काम करता है। यदि वही यंत्र ऊष्मा-पंप के रूप में प्रयुक्त हो, तो उसका COP ______ है (एक दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 10.1
10.1। COP_HP = T_H/(T_H − T_L) = 303/30 = 10.1, और प्रशीतक के रूप में वही यंत्र COP_R = T_L/(T_H − T_L) = 273/30 = 9.1 देता है। संबंध यथार्थ व अशर्त है: चूँकि प्रथम नियम से Q_H = Q_L + W, COP_HP = COP_R + 1 सदा, अतः यदि आपके पास एक है तो दूसरा अवलोकन से ही है — किसी COP उत्तर पर उपलब्ध तीव्रतम जाँच। ले जाने योग्य दो अर्थ। प्रथम, 1 से ऊपर COP किसी बात का उल्लंघन नहीं है: ऊष्मा-पंप ऊर्जा को परिवर्तित करने के बजाय चलाता है, अतः 10.1 की ऊष्मा-इंजन के 0.4 से तुलना करना कोटि-त्रुटि है, और ईमानदार कथन यह है कि एक जूल कार्य दस जूल ऊष्मा स्थानांतरित करता है। द्वितीय, COP_R = T_L/(T_H − T_L) उत्थान चौड़ा होते ही ढह जाता है — 273/303 से 263/313 तक जाएँ और COP_R, 20 K अधिक चौड़े विस्तार हेतु 9.1 से 5.26 तक गिर जाता है। ताप-उत्थान की प्रत्येक अतिरिक्त डिग्री महँगी है, और इसीलिए हिमक-कक्ष उसी परिवेश पर शीतक से कई गुना अधिक महँगा चलता है, और इसीलिए ऊष्मा-पंप मृदु-जलवायु प्रदर्शन पर विपणित होते हैं। सामान्य चूक अंतर के बजाय परम ताप से भाग देना है; दोनों COP के हर में T_H − T_L है, और 303 K के बजाय 30 K ही संख्याओं को बड़ा बनाता है।
ऑयलर के टर्बो-यंत्र समीकरण w = u₂V_w2 − u₁V_w1 के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?
1. परम वेग का केवल स्पर्शरेखीय (भ्रमिल) घटक कार्य में योगदान देता है
2. वह भाप-टरबाइन, अपकेंद्री पंप व पंखे पर समान रूप से लागू है
3. त्रिज्यीय प्रवेश-प्रवाह वाले पंप हेतु वह w = u₂V_w2 पर सिमट जाता है
4. वह जलीय हानियों का लेखा रखने के पश्चात् वास्तविक कार्य देता है
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उत्तर: A — परम वेग का केवल स्पर्शरेखीय (भ्रमिल) घटक कार्य में योगदान देता है; B — वह भाप-टरबाइन, अपकेंद्री पंप व पंखे पर समान रूप से लागू है; C — त्रिज्यीय प्रवेश-प्रवाह वाले पंप हेतु वह `w = u₂V_w2` पर सिमट जाता है
A, B व C। A समीकरण की भौतिक अंतर्वस्तु है: वह कोणीय-संवेग संतुलन है, अतः केवल फलक-गति की दिशा में वेग का घटक कार्य विनिमय कर सकता है — अक्षीय व त्रिज्यीय घटक यंत्र से होकर तरल चलाते हैं और w में कुछ योगदान नहीं देते। इसीलिए फलक-कोण टर्बो-यंत्रावली अभिकल्प पर शासन करते हैं जबकि फलक-लंबाइयाँ अधिकतर कार्य के बजाय क्षमता नियत करती हैं। B सही है और वही कारण है जिससे समीकरण एक बार सीखने योग्य है: उसमें कोई दाब, कोई घनत्व और कार्यकारी तरल का कोई गुणधर्म प्रकट नहीं होता, अतः भाप-टरबाइन, जल-पंप, वायु-पंखा व बल-आघूर्ण परिवर्तक सब वही गणना हैं। C मानक सरलीकरण है, और वह इसलिए टिकता है कि त्रिज्यीय प्रवेश का अर्थ है वहाँ परम वेग का कोई स्पर्शरेखीय घटक नहीं, अतः V_w1 = 0। D असत्य है, और महत्वपूर्ण रूप से। ऑयलर समीकरण तरल व घूर्णक के बीच आदर्श ऊर्जा-विनिमय है; वास्तविक यंत्र घर्षण, गौण प्रवाह, रिसाव, अ-अभिकल्प आपात पर आघात व चक्र-घर्षण को अतिरिक्त ऊर्जा खोते हैं, और समीकरण इनमें कोई नहीं देखता। वास्तविक कार्य ऑयलर-कार्य गुणा जलीय दक्षता है, और ऑयलर-शीर्ष को प्रदत्त शीर्ष मानना पंप को 10 से 25 प्रतिशत अधिक बताएगा। वह संबंधित राशि जो यंत्रों का वर्गीकरण करती है अभिक्रिया मात्रा है: R = 0 आवेग-चरण है जिसमें सम्पूर्ण दाब-पात तुंड में है, R = 0.5 सममित अभिक्रिया-चरण, R = 1 पात को पूर्णतः घूर्णक में रखता है।
नियत संपीडन अनुपात पर डीज़ल चक्र हेतु, कटाव अनुपात 1 की ओर घटाने पर वायु-मानक दक्षता
1. शून्य की ओर गिरती है
2. उसी संपीडन अनुपात पर ऑटो दक्षता के निकट आती है
3. अचर रहती है, क्योंकि वह केवल संपीडन अनुपात पर निर्भर है
4. उन्हीं ताप-सीमाओं के बीच कार्नो दक्षता से अधिक हो जाती है
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उत्तर: B — उसी संपीडन अनुपात पर ऑटो दक्षता के निकट आती है
वह ऑटो दक्षता के निकट आती है। डीज़ल व्यंजक η = 1 − r^(1−γ)[(ρ^γ − 1)/(γ(ρ − 1))] है, और कटाव अनुपात ρ → 1 होते ही कोष्ठक 1 की ओर जाता है — सीमा लें और (ρ^γ − 1)/(γ(ρ − 1)) एक 0/0 रूप है जिसकी सीमा ठीक 1 है — जिससे η = 1 − r^(1−γ) शेष रहता है, जो ऑटो का सूत्र है। संख्यात्मक रूप से सत्यापित: r = 18 पर ρ = 1.0001 सहित डीज़ल सूत्र ऑटो के 0.685304 के सामने 0.685298 लौटाता है। भौतिक अर्थ बीजगणित से स्वच्छतर है: ρ = 1 का अर्थ है ऊष्मा शून्य आयतन-परिवर्तन पर जोड़ी जाती है, जो अचर-आयतन ऊष्मा-योग है, और वही किसी चक्र को डीज़ल के बजाय ऑटो बनाता है। उस सीमा में दोनों चक्र वही चक्र हैं, और ठीक इसी प्रकार की जाँच किसी भी ऐसे सूत्र पर चलाने योग्य है जिसे आप ठीक स्मरण रखने के विषय में अनिश्चित हों। विकल्प A कटाव अनुपात को भार-अंश जैसी किसी वस्तु से मिला देता है; ρ गिरने पर दक्षता बढ़ती है, वह लुप्त नहीं होती। विकल्प C ऑटो-निर्भरता कहता है, जो ऑटो के विषय में सत्य और डीज़ल के विषय में असत्य है — द्वितीय प्राचल ठीक वही है जो उन्हें भिन्न करता है। विकल्प D असंभव है: कोई वायु-मानक चक्र उन्हीं ताप-चरमों के बीच कार्नो को नहीं हरा सकता, और जो व्युत्पत्ति अन्यथा सुझाए वह खोज के बजाय त्रुटि रखती है।
नियत प्रवेश व शिखर तापों वाले ब्रेटन चक्र में प्रति kg वायु शुद्ध कार्य अधिकतम करता दाब अनुपात है
1. वही जो तापीय दक्षता अधिकतम करता है
2. न्यूनतर, तथा (T₃/T₁)^(γ/2(γ−1)) के बराबर
3. अपरिबद्ध — शुद्ध कार्य दाब अनुपात के साथ अनिश्चित रूप से बढ़ता है
4. ताप-अनुपात से स्वतंत्र
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उत्तर: B — न्यूनतर, तथा `(T₃/T₁)^(γ/2(γ−1))` के बराबर
न्यूनतर, (T₃/T₁)^(γ/2(γ−1)) पर। तापीय दक्षता 1 − r_p^(−(γ−1)/γ) दाब अनुपात के साथ एकदिष्ट रूप से बढ़ती है और उसका कोई आंतरिक अधिकतम नहीं — अतः यदि दक्षता एकमात्र कसौटी होती तो आप r_p असीम बढ़ाते। शुद्ध कार्य वैसा व्यवहार नहीं करता। r_p बढ़ते ही T₂, T₃ की ओर चढ़ता है और टरबाइन के पास प्रसार हेतु कम ताप-परिसर बचता है, जबकि संपीडक-कार्य बढ़ता रहता है; उस चरम पर जहाँ T₂ = T₃, कोई ऊष्मा जोड़ी ही नहीं जा सकती और शुद्ध कार्य शून्य है। अतः शुद्ध कार्य बढ़ता है, शिखर पाता है और गिरता है, और अवकलन इष्टतम r_p = (T₃/T₁)^(γ/2(γ−1)) देता है — T₃/T₁ = 4 हेतु वह 4^1.75 = 11.31 है। विकल्प A जाल है और इस विषय में स्पष्ट होना उचित है कि क्यों: दोनों इष्टतम वस्तुतः भिन्न हैं, अतः गैस-टरबाइन अभिकल्पक को ईंधन-मितव्ययिता व प्रति किलोग्राम वायु निर्गम के बीच चुनना ही पड़ता है, और चयन अनुप्रयोग पर निर्भर है — वायुयान-इंजन प्रति किलोग्राम वायु कार्य को मूल्य देता है क्योंकि वही इंजन का आकार व भार नियत करता है, जबकि स्थिर संयंत्र दक्षता को मूल्य देता है क्योंकि ईंधन जीवन-भर की लागत है। विकल्प C, T₂ = T₃ पर के शून्य की उपेक्षा करता है, जो अकेले सिद्ध करता है कि शुद्ध कार्य का आंतरिक अधिकतम होना ही चाहिए। विकल्प D का खंडन सूत्र से होता है: इष्टतम पूर्णतः T₃/T₁ पर निर्भर है, और इसीलिए टरबाइन-प्रवेश ताप उठाना — गैस-टरबाइन विकास का सम्पूर्ण इतिहास — इष्टतम दाब अनुपात को अपने साथ ऊपर ले जाता है।