तरल यांत्रिकी: स्थैतिकी, नियंत्रण आयतन, सीमा-स्तर व नलिका-प्रवाह

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. 2 मीटर चौड़े व 3 मीटर गहरे ऊर्ध्व आयताकार द्वार का शीर्ष किनारा जल के मुक्त पृष्ठ पर है। मुक्त पृष्ठ से नीचे दाब-केंद्र की गहराई, मीटर में, ______ है

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   उत्तर: 2

   2.0 m। केंद्रक h̄ = 1.5 m पर है और क्षेत्रफल 6 m², अतः परिणामी बल ρg h̄ A = 1000 × 9.81 × 1.5 × 6 = 88.29 kN है। दाब-केंद्र अधिक गहरा है, h_cp = h̄ + I_G/(h̄A) पर, I_G = 2(3³)/12 = 4.5 m⁴ सहित, अतः h_cp = 1.5 + 4.5/(1.5 × 6) = 1.5 + 0.5 = 2.0 m — ठीक गहराई का दो-तिहाई, उस आयत हेतु मानक परिणाम जिसका शीर्ष किनारा पृष्ठ पर है, और उपलब्ध तीव्रतम विवेक-जाँच। 1.5 m उत्तर देना जाल है: वहीं से बल का परिमाण निकाला जाता है, और दोनों को मिला देना तरल स्थैतिकी की सर्वाधिक सामान्य एकल त्रुटि है, क्योंकि ρg h̄ A केंद्रक प्रयोग करता ही है। उनके भिन्न होने का भौतिक कारण यह है कि दाब गहराई के साथ रैखिकतः बढ़ता है, अतः द्वार का निचला अर्ध ऊपरी अर्ध से अधिक भार वहन करता है और परिणामी नीचे खिंच जाता है। यह भी ध्यान दें कि विचलन कैसा व्यवहार करता है: उसी द्वार को 5 मीटर नीचे धकेलें और h_cp − h̄ केवल 0.115 m तक गिर जाता है, क्योंकि हर का h̄ बढ़ता है जबकि I_G व A नहीं — गहराई में जलमग्न लघु द्वार वस्तुतः लगभग एकसमान भारित है।

2. 6 मीटर लंबा व 3 मीटर चौड़ा आयताकार पंटून 1 मीटर डूब पर तैरता है। उसका गुरुत्व-केंद्र तलपट से 1.4 मीटर ऊपर है। पंटून है

   1. स्थायी, 0.25 मीटर उत्प्लव-केंद्र ऊँचाई सहित
   2. अस्थायी, −0.15 मीटर उत्प्लव-केंद्र ऊँचाई सहित
   3. स्थायी, क्योंकि उत्प्लावन बल सदा गुरुत्व-केंद्र से नीचे कार्य करता है
   4. उदासीनतः स्थायी, क्योंकि जलतल आयताकार है
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   उत्तर: B — अस्थायी, −0.15 मीटर उत्प्लव-केंद्र ऊँचाई सहित

   अस्थायी, GM = −0.15 m। तीन ऊँचाइयाँ निकालें। BM = I/V, जहाँ I, अनुदैर्घ्य अक्ष के परितः जलतल क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण है, 6 × 3³/12 = 13.5 m⁴, और V विस्थापित आयतन, 6 × 3 × 1 = 18 m³, अतः BM = 0.75 m। उत्प्लावन-केंद्र आधी डूब पर बैठता है, KB = 0.5 m। तत्पश्चात् GM = KB + BM − KG = 0.5 + 0.75 − 1.4 = −0.15 m, और ऋणात्मक उत्प्लव-केंद्र ऊँचाई का अर्थ है कोई भी लघु झुकाव ऐसा आघूर्ण उत्पन्न करता है जो झुकाव बढ़ाता है — वह उलट जाता है। विकल्प A, KG = 1.0 m हेतु उत्तर है, और वैषम्य ही बात है: वही पतवार, वही भार व वही जल, स्थायी या नहीं, केवल इस पर निर्भर कि भार किस ऊँचाई पर बैठा है। विकल्प C ऐसा कुछ कहता है जो असत्य है और जिसके विषय में स्पष्ट होना महत्वपूर्ण है: उत्प्लावन बल का गुरुत्व-केंद्र से नीचे कार्य करना तैरते पिंड हेतु सामान्य स्थिति है और स्थायित्व के साथ पूर्णतः संगत है, क्योंकि तैरते पिंड हेतु — जलमग्न के विपरीत — पतवार झुकने पर उत्प्लव-केंद्र हटता है, और BM किसी प्रतिकूल KG को पार करने योग्य बड़ा हो सकता है। विकल्प D आकृति को स्थायित्व से मिला देता है; आयताकार जलतल ठीक वही है जिसने हमें I एक पंक्ति में निकालने दिया। BM = I/V से अभिकल्प-पाठ यह है कि I, चौड़ाई की घन के रूप में बढ़ता है, और इसीलिए पतवार चौड़ी करना स्थायित्व खरीदने का कहीं सस्ता उपाय है।

3. वृत्तीय नलिका में पूर्णतः विकसित स्तरीय प्रवाह हेतु अधिकतम व माध्य वेग का अनुपात तथा गतिज-ऊर्जा संशोधन गुणक क्रमशः हैं

   1. 2 व 2
   2. 2 व 4/3
   3. 1.22 व 1.06
   4. 4/3 व 2
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   उत्तर: A — 2 व 2

   2 व 2। वृत्तीय नलिका में स्तरीय परिच्छेदिका यथार्थ परवलय है, u = u_max[1 − (r/R)²], और उसका समाकलन u_avg = u_max/2 देता है, अतः अनुपात ठीक 2 है। गतिज-ऊर्जा संशोधन गुणक α = (1/A)∫(u/u_avg)³ dA भी उस परवलय हेतु ठीक 2 निकलता है — दोनों संयोगवश संपाती हैं, और ध्यान देने योग्य है कि वे केवल इसी परिच्छेदिका हेतु ऐसा करते हैं। विकल्प B सही वेग-अनुपात को संवेग संशोधन गुणक β = 4/3 के साथ जोड़ता है, जो दूसरा यथार्थ स्तरीय अचर है; दोनों संशोधन भिन्न हैं क्योंकि एक वेग का घन समाकलित करता है और दूसरा वर्ग। विकल्प D उन्हें बदल देता है। विकल्प C विक्षुब्ध मान देता है, लगभग 1.22 व 1.06, और उन्हें वैषम्य हेतु साथ स्मरण रखना उचित है: विक्षुब्ध परिच्छेदिका अंतस्तल में बहुत अधिक सपाट है, अतः संशोधन 1 के निकट हैं और सामान्यतः उपेक्षित किए जाते हैं — और ठीक इसीलिए पाठ्यपुस्तकें विक्षुब्ध नलिका-प्रश्नों में बरनूली से α बिना टिप्पणी छोड़ सकती हैं। इन संख्याओं को सटीक जानने योग्य होने का कारण यह है कि स्तरीय नलिका-प्रवाह खंड की उन थोड़ी यथार्थ हल समस्याओं में है: f = 64/Re सहसंबंध नहीं बल्कि वही हल पुनर्लिखित है, और जो प्रश्न आपको Re < 2300 दे वह बता रहा है कि यथार्थ उत्तर उपलब्ध हैं।

4. जल (μ = 10⁻³ Pa·s, ρ = 1000 kg/m³), 2 मीटर लंबी 10 mm व्यास की नलिका से 10⁻⁵ m³/s पर बहता है। दाब-पात, पास्कल में, ______ है (दो दशमलव तक)

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   उत्तर: 81.49

   81.49 Pa। पहले क्षेत्र जाँचें, क्योंकि सम्पूर्ण विधि उस पर निर्भर है। V = Q/A = 10⁻⁵/(π × 0.01²/4) = 0.1273 m/s, अतः Re = ρVd/μ = 1000 × 0.1273 × 0.01/10⁻³ = 1273 — सुखपूर्वक स्तरीय, अतः यथार्थ हल लागू है। हेगन–प्वासॉय: ΔP = 128μLQ/(πd⁴) = 128 × 10⁻³ × 2 × 10⁻⁵/(π × 10⁻⁸) = 2.56 × 10⁻⁶/3.1416 × 10⁻⁸ = 81.487 Pa। अब वह प्रति-जाँच जो हर बार करने योग्य है: f = 64/Re = 0.05027, और डार्सी–वाइसबाख ΔP = f(L/d)(ρV²/2) = 0.05027 × 200 × (1000 × 0.1273²/2) = 81.487 Pa — छह अंकों तक वही, क्योंकि स्तरीय प्रवाह में f = 64/Re हेगन–प्वासॉय हल का पुनर्लेखन है, कोई आनुभविक फ़िट नहीं। d⁴ वह तथ्य है जो साथ ले जाने योग्य है: उसी प्रवाह-दर पर व्यास आधा करें और दाब-पात सोलह गुना बढ़ जाता है, और इसीलिए आंशिक अवरुद्ध धमनी अथवा शल्क-युक्त नलिका क्षेत्रफल-न्यूनीकरण के सुझाव से बहुत अधिक बुरी है। ईमानदारी से कहने योग्य दो शर्तें। Re ≈ 2300 से ऊपर यह सब गलत है — f आनुभविक बन जाता है और खरखरापन प्रवेश करता है, और स्तरीय हल में इनमें कोई नहीं आता। और परिणाम पूर्णतः विकसित प्रवाह मानता है, अतः वह लघु नलिका पर पात कम बताता है जहाँ प्रवेश-लंबाई अभी महत्व रखती है।

5. पट्टिका पर स्तरीय सीमा-स्तरों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

   1. मोटाई अग्र किनारे से √x के समानुपात में बढ़ती है
   2. स्थानीय त्वचा-घर्षण गुणांक पट्टिका के अनुदिश दूरी के साथ घटता है
   3. L लंबाई की पट्टिका पर कुल कर्षण, L के समानुपाती है
   4. विक्षुब्ध सीमा-स्तर स्तरीय से देर में पृथक् होता है
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   उत्तर: A — मोटाई अग्र किनारे से √x के समानुपात में बढ़ती है; B — स्थानीय त्वचा-घर्षण गुणांक पट्टिका के अनुदिश दूरी के साथ घटता है; D — विक्षुब्ध सीमा-स्तर स्तरीय से देर में पृथक् होता है

   A, B व D। ब्लाज़ियस δ = 5x/√Re_x देता है और Re_x = Ux/ν, अतः δ ∝ √x ✓। उसे संख्याओं पर जाँचें: ν = 1.5 × 10⁻⁵ सहित 10 m/s पर वायु, x = 0.1 m पर δ = 1.937 mm और x = 0.5 m पर 4.330 mm देती है — √5 = 2.236 गुना मोटाई हेतु पाँच गुना दूरी, ठीक-ठीक। B उसी हल से निकलता है: C_f,x = 0.664/√Re_x, 1/√x के रूप में गिरता है, 0.1 m पर 2.57 × 10⁻³ से 0.5 m पर 1.15 × 10⁻³। C असत्य है, और वह B के कारण असत्य है: 1/√x के रूप में क्षय होते घर्षण-गुणांक का समाकलन कुल कर्षण को √L के समानुपाती देता है, L के नहीं, अतः पट्टिका का पश्च-अर्ध पूर्व-अर्ध से बहुत कम कर्षण देता है। पट्टिका की लंबाई दुगुनी करना उसका कर्षण दुगुना नहीं करता; वह उसे √2 से गुणित करता है। D सत्य है और विषय के अधिक उपयोगी प्रति-सहज तथ्यों में एक: विक्षुब्ध स्तर भित्ति के निकट अधिक संवेग वहन करता है, अतः वह प्रतिकूल दाब-प्रवणता का अधिक देर तक प्रतिरोध करता है और देर में पृथक् होता है — और इसीलिए गोल्फ़ की गेंदों पर गड्ढे हैं और इसीलिए रेनॉल्ड्स संख्या अपना क्रांतिक मान पार करते ही गोले का कर्षण गुणांक गिरता है, वह विरल स्थिति जहाँ प्रवाह को अधिक विक्षुब्ध बनाना कर्षण बढ़ाने के बजाय घटाता है।

6. गोले पर कर्षण-बल उसके व्यास, मुक्त-धारा वेग, तरल घनत्व व तरल श्यानता पर निर्भर है। उसका वर्णन करने हेतु आवश्यक स्वतंत्र विमाहीन समूहों की संख्या ______ है

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   उत्तर: 2

   2। जिसकी भविष्यवाणी की जा रही है उसे सम्मिलित करके चर गिनें: F, D, V, ρ, μ — वह n = 5 है। जिन विमाओं से वे बने हैं उन्हें गिनें: द्रव्यमान, लंबाई व समय, अतः m = 3। बकिंघम का π प्रमेय n − m = 5 − 3 = 2 स्वतंत्र विमाहीन समूह देता है, और परंपरागत युग्म कर्षण गुणांक C_d = F/(½ρV²A) तथा रेनॉल्ड्स संख्या Re = ρVD/μ है। उस न्यूनीकरण का मूल्य सिद्धांत के बजाय संख्याओं में कहना उचित है: चार स्वतंत्र चरों को प्रत्येक दस मानों पर परखने हेतु 10⁴ = 10 000 प्रयोग चाहिए होते, जबकि एक समूह को दूसरे के सामने आलेखित करने हेतु एक वक्र चाहिए — और वह प्रत्येक तरल, प्रत्येक गोले-आकार व प्रत्येक चाल हेतु वही वक्र है, और ठीक इसीलिए प्रत्येक संदर्श-ग्रंथ C_d बनाम Re एक ही आलेख के रूप में छापता है। प्रमेय प्रतिरूप-परीक्षण का सम्पूर्ण न्यायाधार भी है, क्योंकि विमाहीन समूह मिलाना किसी भी मापक्रम पर भौतिकी मिला देता है। इस प्रश्न का 2-अंक संस्करण जो सूक्ष्मता जाँचता वह यह है कि आप सामान्यतः प्रत्येक समूह एक साथ नहीं मिला सकते: रेनॉल्ड्स संख्या पर मिलाया मापक्रम-प्रतिरूप फ़्राउड संख्या पर मिला हुआ नहीं होगा, अतः जलयान-पतवारें सही फ़्राउड संख्या पर परखी जाती हैं क्योंकि तरंग-जनन प्रभावी है, और वायुपर्ण सही रेनॉल्ड्स संख्या पर क्योंकि श्यानता।

7. 300 K पर वायु में ध्वनि की चाल लगभग 347 m/s है। 600 K पर, उसी गैस सहित, वह लगभग है

   1. 694 m/s
   2. 491 m/s
   3. 347 m/s — वह केवल गैस पर निर्भर है
   4. 245 m/s
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   उत्तर: B — 491 m/s

   491 m/s। a = √(γRT), अतः ध्वनि की चाल √T के रूप में चलती है: परम ताप दुगुना करना a को √2 = 1.414 से गुणित करता है, जिससे 347.19 × 1.414 = 491.00 m/s मिलता है। विकल्प A उसे दुगुना करता है, जो उत्तर होता यदि a, T के रूप में चलता। विकल्प C ऐसा कुछ कहता है जो लगभग सत्य और महत्वपूर्ण रूप से गलत है: γ व R गैस के गुणधर्म हैं, अतः नियत ताप पर ध्वनि की चाल केवल गैस का गुणधर्म है — किंतु ताप सूत्र में है और इस प्रश्न ने उसे बदल दिया। विकल्प D, √2 से भाग देता है। सूत्र को इस दृष्टि से पढ़ें कि उसमें क्या नहीं है, क्योंकि वही परीक्षणीय विषय है: दाब प्रकट नहीं होता, और स्वतंत्र रूप से घनत्व भी नहीं। वायु को समतापीय रूप से संपीडित करना दाब व घनत्व दोनों को समानुपात में बढ़ाता है और ध्वनि-चाल हिलती नहीं; केवल ताप उसे हिलाता है। उस एक निर्भरता का जानने योग्य व्यावहारिक परिणाम है: क्रूज़-ऊँचाई पर वायुयान दिया मैक अंक समुद्र-तल की अपेक्षा न्यून वास्तविक वायु-गति पर पाता है, क्योंकि वहाँ की वायु शीतल है और ध्वनि-चाल न्यून — और इसीलिए संपीड्यता-प्रभावों हेतु महत्व रखती संख्या वायु-गति नहीं, मैक संख्या है।

8. बरनूली समीकरण p/ρg + V²/2g + z = अचर, दो बिंदुओं के बीच तब लागू नहीं किया जा सकता जब

   1. दोनों बिंदु उसी क्षैतिज तल पर हों
   2. उनके बीच उल्लेखनीय घर्षण हो
   3. उनके बीच प्रवाह त्वरित हो
   4. उनके बीच नलिका का व्यास बदले
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   उत्तर: B — उनके बीच उल्लेखनीय घर्षण हो

   जब उल्लेखनीय घर्षण हो। बरनूली चार शर्तों सहित ऊर्जा-समीकरण है — स्थायी, असंपीड्य, अश्यान, धारा-रेखा के अनुदिश — और घर्षण तीसरी का सीधा उल्लंघन करता है: श्यान कार्य यांत्रिक ऊर्जा को ताप में बदलता है, अतः योग अचर नहीं रहता और समीकरण को शीर्ष-हानि पद चाहिए, p/ρg + V²/2g + z + h_f = अचर। वही विस्तारित रूप नलिका-प्रवाह समस्याएँ प्रयोग करती हैं, डार्सी–वाइसबाख से h_f सहित। विकल्प A, C व D सब वे बातें हैं जिन्हें बरनूली भली-भाँति सँभालता है और वे यह जाँचने हेतु वहाँ हैं कि चारों शर्तें वस्तुतः ज्ञात हैं या आधी स्मरण। उसी तल पर (A) केवल z को निरसित करता है और सरलतम स्थिति है, उल्लंघन नहीं। त्वरण (C) बरनूली का सम्पूर्ण विषय है: समीकरण वेग-शीर्ष को दाब-शीर्ष के बदले देने हेतु विद्यमान है, और तुंड वही करता है। व्यास बदलना (D) वही है जो सांतत्य के माध्यम से उस त्वरण को उत्पन्न करता है, और वेंचुरी मापक बरनूली तथा व्यास-परिवर्तन भर सांतत्य के अतिरिक्त कुछ नहीं। इसे धारण करने का उपयोगी उपाय है छोड़ी गई प्रत्येक शर्त को किसी विषय से जोड़ना: अश्यान छोड़ें और आप शीर्ष-हानियों सहित नलिका-प्रवाह में हैं; असंपीड्य छोड़ें और आप गैस-गतिकी में; स्थायी छोड़ें और आप जल-आघात में; धारा-रेखा के अनुदिश छोड़ें और अचर के वैश्विक होने से पूर्व आपको अघूर्णिता चाहिए।