क्षणिक अनुक्रिया, लाप्लास, द्वि-पोर्ट जाल तथा LTI तंत्र

पिछला अध्याय स्रोतों को चालू छोड़कर सब कुछ जमने की प्रतीक्षा कर रहा था। यह अध्याय उसी प्रतीक्षा के विषय में है, और तत्पश्चात् उस भाषा के विषय में जो प्रतीक्षा को अनावश्यक बना देती है। प्रेरक अथवा संधारित्र वाला परिपथ अवस्था तत्क्षण नहीं बदल सकता, क्योंकि प्रेरक धारा तथा संधारित्र वोल्टता वे दो राशियाँ हैं जो क्रमशः अनंत वोल्टता अथवा अनंत धारा के बिना छलाँग नहीं सकतीं — और वही एक सांतत्य-कथन खंड की प्रत्येक क्षणिक समस्या हेतु आरंभिक शर्तें दे देता है। तत्पश्चात् प्रथम-कोटि RL अथवा RC परिपथ में जानने योग्य ठीक एक संख्या है, कालांक τ, और एक सार्वत्रिक रूप: अनुक्रिया अपने आरंभिक मान से अंतिम मान तक x(t) = x(∞) + [x(0) - x(∞)]e^(-t/τ) के अनुदिश जाती है, अतः आप कुछ भी समाकलित नहीं करते, तीन राशियाँ पढ़कर उत्तर लिख देते हैं। द्वितीय-कोटि RLC परिपथ एक संख्या जोड़ते हैं, अवमंदन अनुपात ζ, और उसके साथ अति-अवमंदित, क्रांतिक अवमंदित व अल्प-अवमंदित व्यवहार की सम्पूर्ण शब्दावली — इस तथ्य सहित कि अल्प-अवमंदित संधारित्र वोल्टता उस स्रोत को पार कर जाती है जो उसे आवेशित कर रहा है, जो विरोधाभास नहीं बल्कि प्रेरक का धारा देना बंद करने से मना करना है। तत्पश्चात् लाप्लास इस सबको बीजगणित से प्रतिस्थापित कर देता है: प्रेरक sL बन जाता है, वोल्टता स्रोत L i(0) के श्रेणीक्रम में, संधारित्र 1/sC बन जाता है, v(0)/s के श्रेणीक्रम में, आरंभिक शर्तें पृथक् चरण होना बंद कर देती हैं, और जाल s का परिमेय फलन बन जाता है। दो संरचनात्मक उपकरण अनुसरण करते हैं। वाई-डेल्टा रूपांतरण उन सेतु परिपथों को खोल देता है जिन्हें श्रेणी-समांतर संक्षेपण छू नहीं सकता, और द्वि-पोर्ट प्राचल — z, y, h व ABCD — पूरे जाल को चार संख्याओं में संपीडित कर देते हैं जिससे श्रेणीबद्ध चरण परस्पर क्रिया करने के बजाय गुणित हो जाते हैं। अंततः अध्याय सामान्य पदों में वह कहता है जो परिपथ आरंभ से कर रहे थे। LTI तंत्र रैखिकता व काल-अपरिवर्तिता से परिभाषित है; वह अपनी आवेग अनुक्रिया से पूर्णतः वर्णित है, उसका निर्गम निवेश का उस अनुक्रिया के साथ संवलन है, उसका स्थायित्व उस अनुक्रिया की परम समाकलनीयता है, और आवृत्ति प्रांत में वह प्रत्येक आवृत्ति पर एकल सम्मिश्र लब्धि की भाँति कार्य करता है। अंतिम टुकड़ा वही है जिसे अभ्यर्थी छोड़ देते हैं: कला विलंब तथा समूह विलंब भिन्न राशियाँ हैं जो केवल तब सहमत होती हैं जब कला रैखिक हो, और यह जानना कि प्रश्न किसके विषय में पूछ रहा है सामान्यतः सम्पूर्ण प्रश्न होता है।

प्रथम-कोटि RL व RC: तीन संख्याएँ व एक चरघातांकी

एकल ऊर्जा-संचय वाले परिपथ के विषय में सब कुछ दो सांतत्य-कथनों से निकलता है। प्रेरक से प्रवाहित धारा तत्क्षण नहीं बदल सकती, क्योंकि v = L di/dt अनंत वोल्टता माँगेगा; संधारित्र के आर-पार वोल्टता तत्क्षण नहीं बदल सकती, क्योंकि i = C dv/dt अनंत धारा माँगेगा। अतः t = 0⁺ पर प्रेरक वही धारा धारण करता है जो उसने t = 0⁻ पर धारण की थी और संधारित्र वही वोल्टता, और वे ही आपकी आरंभिक शर्तें हैं — स्विच चलने से पूर्व परिपथ का विश्लेषण करके प्राप्त, प्रेरक को लघुपथ व संधारित्र को विवृत मानकर, क्योंकि DC स्थायी अवस्था में कुछ नहीं बदल रहा और दोनों अवकलज शून्य हैं। तत्पश्चात् t → ∞ पर परिपथ पुनः DC स्थायी अवस्था में है और आप वही लघुपथ व विवृत पुनः प्रयोग करते हैं। इससे केवल मध्य बचता है, और मध्य एक चरघातांकी है।

सार्वत्रिक रूप एक बार लिखने और तत्पश्चात् आपके सामने आने वाले प्रत्येक प्रथम-कोटि प्रश्न हेतु प्रयोग करने योग्य है: x(t) = x(∞) + [x(0⁺) - x(∞)] e^(-t/τ), जहाँ x परिपथ की कोई भी वोल्टता अथवा धारा है और τ धारितीय परिपथ हेतु RC अथवा प्रेरकीय हेतु L/R है, जिसमें R वह थेवेनिन प्रतिरोध है जो संचय अवयव देखता है — और वहीं पिछला अध्याय अपना मूल्य अर्जित करता है, क्योंकि द्वि-अवयव लूप के अतिरिक्त किसी भी वस्तु में वह प्रतिरोध खोजना पड़ता है, अनुमान नहीं लगाया जाता। तीन संख्याएँ, कोई समाकलन नहीं। 5 μF संधारित्र को आवेशित करते 2 kΩ प्रतिरोध का τ = 10 ms है, अतः आरंभ में अनावेशित संधारित्र पर 10 V स्रोत लगाना v_C(t) = 10(1 - e^(-t/0.01)) देता है: एक कालांक पश्चात् 6.32 V, दो पश्चात् 8.65 V, तीन पश्चात् 9.50 V तथा पाँच पश्चात् 9.93 V। यह अभियांत्रिकी परिपाटी कि प्रथम-कोटि क्षणिक अनुक्रिया 5τ पश्चात् समाप्त हो जाती है, उसी अंतिम आँकड़े से आती है — 99.3 प्रतिशत, जो अधिकांश अवयवों की सह्यता के भीतर है।

🎯 प्रतिरोध से संधारित्र आवेशित करना ठीक आधी ऊर्जा नष्ट करता है, प्रतिरोध जो भी हो
उस 5 μF संधारित्र को 2 kΩ से होकर 10 V से आवेशित करें और ऊर्जा का लेखा करें। स्रोत 10 V के अचर सिरा-वोल्टता पर कुल आवेश Q = CV = 50 μC धकेलता है, अतः वह QV = 500 μJ देता है। संधारित्र अंत में ½CV² = 250 μJ संचित रखता है। शेष 250 μJ प्रतिरोध में क्षयित हुए — और यहीं वह भाग है जो लोगों को पकड़ता है: वह आँकड़ा प्रतिरोध पर बिल्कुल निर्भर नहीं है। उसे समाकलित करके देखें। धारा i = (V/R)e^(-t/τ) है, अतः P_R = i²R = (V²/R)e^(-2t/τ), और ∫₀^∞ P_R dt = (V²/R)(τ/2) = (V²/R)(RC/2) = ½CV²। R निरसित हो जाता है। 2 kΩ के बजाय 2 Ω प्रतिरोध प्रयोग करें और क्षणिक अनुक्रिया हजार गुना शीघ्र समाप्त हो जाती है, शिखर धारा हजार गुना बड़ी होती है, और कुल ऊष्मा समरूप रहती है। साथ ले जाने योग्य दो परिणाम। प्रथम, किसी भी प्रतिरोध से संधारित्र आवेशित करने की दक्षता ठीक 50 प्रतिशत है, और इसीलिए स्विचित-संधारित्र आवेश पंप व धारितीय स्पर्श-पटल हानि के बजाय आवेश हेतु विश्लेषित किए जाते हैं, तथा इसीलिए वास्तविक शक्ति प्रदाय प्रेरक से आवेशित करते हैं — प्रेरक ऊर्जा क्षय करने के बजाय संचित करता है, और वही स्विचिंग नियामक का सम्पूर्ण विचार है। द्वितीय, वही बीजगणित प्रतिरोध से होकर ऊर्जित प्रेरक पर चलाने से दर्पण-परिणाम मिलता है, ½LI² संचित व ½LI² जला। ऊर्जा-लेखा प्रायः क्षणिक उत्तर तक सर्वाधिक तेज मार्ग है, क्योंकि उसे कोई काल-प्रांत हल चाहिए ही नहीं।

द्वितीय-कोटि RLC: एक अवमंदन अनुपात सब कुछ तय करता है

प्रेरक व संधारित्र दोनों वाला परिपथ द्वितीय-कोटि समीकरण का पालन करता है, और उसे सामान्यीकृत करने योग्य मानक रूप s² + 2ζω_n s + ω_n² = 0 है। श्रेणी RLC परिपथ हेतु ω_n = 1/√(LC) तथा ζ = (R/2)√(C/L); समांतर स्थिति हेतु ω_n वही है किंतु ζ = (1/2R)√(L/C), अर्थात् R पर व्युत्क्रम निर्भरता, और दोनों के बीच वही एक असममिति परीक्षित होती है। गुणता कारक Q = 1/(2ζ) है, अतः श्रेणी परिपथ का Q = (1/R)√(L/C) और समांतर परिपथ का Q = R√(C/L)। शेष सब कुछ केवल ζ से पढ़ा जाता है।

L = 10 mH व C = 1 μF वाला एक श्रेणी RLC, अतः ωn = 10 000 rad/s (1591.5 Hz), R के चार मानों पर चालित
श्रेणी प्रतिरोध Rअवमंदन अनुपात तथा Qस्वरूपमूल अथवा दोलन आवृत्ति
R = 20 Ωζ = 0.1, Q = 5अल्प-अवमंदित (हल्का)ω_d = 9950 rad/s, अतिक्रमण 72.9%
R = 100 Ωζ = 0.5, Q = 1अल्प-अवमंदितω_d = 8660 rad/s, अतिक्रमण 16.3%
R = 200 Ωζ = 1, Q = 0.5क्रांतिक अवमंदित-10 000 पर द्विक मूल
R = 400 Ωζ = 2, Q = 0.25अति-अवमंदितवास्तविक मूल -2679 तथा -37 321

अंतिम पंक्ति को भौतिक चित्र की भाँति पढ़ें, क्योंकि वह स्पष्ट करती है कि अति-अवमंदन मंद क्यों है। ζ = 2 पर दोनों वास्तविक मूल -2679 व -37 321 s⁻¹ हैं, चौदह का अनुपात: तीव्र मूल लगभग तत्क्षण मर जाता है और मंद मूल शासन करता है, अतः परिपथ 1/2679 = 373 μs कालांक वाले प्रथम-कोटि परिपथ की भाँति व्यवहार करता है। उसकी तुलना क्रांतिक अवमंदित स्थिति से करें, जिसका -10 000 पर द्विक मूल τ = 100 μs देता है। ζ = 1 से आगे प्रतिरोध जोड़ना परिपथ को मंद बनाता है, तीव्र नहीं — अतिरिक्त प्रतिरोध ठीक उसी धारा को रोकता है जो संधारित्र को आवेशित करती है। क्रांतिक अवमंदन अतिक्रमण-रहित सर्वाधिक तीव्र अनुक्रिया है, और ठीक इसीलिए वह चल-कुंडली मापी, हार्ड-डिस्क शीर्ष प्रेरक अथवा द्वार-संवारक हेतु अभिकल्प-लक्ष्य है।

⚠️ संधारित्र 10 V स्रोत से 11.63 V तक आवेशित होता है, और कुछ भी गलत नहीं है
ζ = 0.5 वाली पंक्ति लें — L = 10 mH, C = 1 μF, R = 100 Ω — और t = 0 पर श्रेणी लूप पर 10 V DC स्रोत लगाएँ, सब कुछ आरंभ में विरामावस्था में। अधिकतम संधारित्र वोल्टता पूछें। ललचाने वाला उत्तर 10 V है, इस पूर्णतः तर्कसंगत आधार पर कि 10 V स्रोत से आवेशित संधारित्र 10 V पर समाप्त होता है और वोल्टता अपने स्रोत से अधिक नहीं हो सकती। सही उत्तर 11.63 V है। अल्प-अवमंदित द्वितीय-कोटि सोपान अनुक्रिया का अतिक्रमण M_p = exp(-πζ/√(1-ζ²)) है, जो ζ = 0.5 पर exp(-1.8138) = 0.1630 है, अतः शिखर 10 × 1.1630 = 11.63 V है, जो t_p = π/ω_d = π/8660 = 363 μs पर पहुँचता है। तत्पश्चात् वह दोलन करते हुए नीचे आता है और 10 V पर जमता है, लगभग 4/(ζω_n) = 800 μs पश्चात् दो प्रतिशत के भीतर। यंत्र-रचना स्मरण करने के बजाय समझने योग्य है, क्योंकि वह यह भी बताती है कि यह कब नहीं होगा। जैसे-जैसे संधारित्र वोल्टता 10 V के निकट आती है लूप धारा तब भी पर्याप्त है, और धारा वहन करते प्रेरक से रुकने को कहा नहीं जा सकता — उसकी धारा को सांतत्यपूर्वक क्षय होना ही है, अतः वह धारा संधारित्र में बहती रहती है और उसकी वोल्टता स्रोत से आगे धकेल देती है। केवल जब धारा अंततः उलटती है तब संधारित्र निरावेशित होने लगता है। दो व्यावहारिक पाठ निकलते हैं। प्रथम-कोटि RC परिपथ कभी अतिक्रमण नहीं कर सकता, क्योंकि संवेग संचित करने को कुछ नहीं है; अतिक्रमण सदा दूसरे ऊर्जा-भंडार का अर्थ है। और ठीक इसीलिए लंबा PCB पथ अथवा केबल तीव्र तर्क-कोर हेतु संकट है: पथ का प्रेरकत्व व भार की धारिता ऐसा अल्प-अवमंदित RLC बनाते हैं जिसका अतिक्रमण गेट निवेश को उसकी प्रदाय रेल से ऊपर चला सकता है, और मानक उपचार ऐसा श्रेणी समापन प्रतिरोध है जो ζ को 1 की ओर धकेले — जिसका मूल्य ऊपर की सारणी यथातथ बताती है, क्योंकि R = 20 Ω से R = 100 Ω तक जाना अतिक्रमण को 72.9 प्रतिशत से 16.3 प्रतिशत तक गिरा देता है।

आवृत्ति प्रांत में वही परिपथ अनुनादक है। ज्यावक्र से चालित श्रेणी RLC की न्यूनतम प्रतिबाधा ω = ω_n पर R है, जहाँ प्रेरकीय व धारितीय प्रतिघात यथातथ निरसित हो जाते हैं; धारा वहीं शिखर बनाती है, और अर्ध-शक्ति बैंडचौड़ाई BW = ω_n/Q है। सारणी में R = 20 Ω पर Q = 5 है और बैंडचौड़ाई 10 000/5 = 2000 rad/s। ध्यान दें कि Q एक साथ दो कार्य करता है और वे वही कार्य हैं: वह आवृत्ति प्रांत में अनुनाद की तीक्ष्णता है और काल प्रांत में दोलन का टिकाव, और दोनों इस तथ्य से संबंधित हैं कि संकीर्ण बैंड तीव्र क्षय को सँभाल नहीं सकता। उच्च-Q परिपथ अच्छा फिल्टर व बुरा स्विच है, और एक संख्या आपको दोनों बता देती है।

लाप्लास: आरंभिक शर्तें पृथक् चरण होना बंद कर देती हैं

पाठ्यक्रम विशेष रूप से लाप्लास रूपांतर द्वारा जाल समीकरणों के हल की माँग करता है, और उसके पृथक् उल्लेख योग्य होने का कारण यह है कि लाप्लास वह करता है जो फेजर विधि नहीं कर सकती: वह क्षणिक व स्थायी अवस्था दोनों को एक ही गणना में सँभालता है, आरंभिक शर्तें भीतर निर्मित होकर, बाद में जोड़ी हुई नहीं। अवयव नियमों को उनके आरंभिक मानों सहित रूपांतरित करें और आपको s-प्रांत तुल्य मिलते हैं जिन्हें आप तत्पश्चात् ठीक प्रतिरोधों की भाँति बरत सकते हैं:

  • प्रतिरोध R है, अपरिवर्तित, वहन करने को कोई आरंभिक शर्त नहीं।
  • प्रेरक प्रतिबाधा sL है, जिसके श्रेणीक्रम में वोल्टता स्रोत L i(0⁻) है और जिसकी ध्रुवता आरंभिक धारा की सहायता करती है। समतुल्यतः, sL के समांतर धारा स्रोत i(0⁻)/s।
  • संधारित्र प्रतिबाधा 1/sC है, जिसके श्रेणीक्रम में वोल्टता स्रोत v(0⁻)/s है, आवेशन दिशा का विरोध करता। समतुल्यतः, 1/sC के समांतर धारा स्रोत C v(0⁻)।
🧠 एक परिपथ, बीजगणित की एक पंक्ति, और उत्तर में आरंभिक शर्त पहले से सम्मिलित
R = 4 Ω व L = 1 H वाला श्रेणी RL परिपथ लें जो 8 V प्रदाय पर जमने के लिए पर्याप्त समय बैठा रहा है, अतः प्रेरक 8/4 = 2 A वहन करता है। t = 0 पर प्रदाय 12 V तक चढ़ जाता है। s प्रांत में लूप में स्रोत से 12/s, प्रेरक की आरंभिक शर्त से L i(0) = 2 V, तथा प्रतिबाधा 4 + s है, अतः I(s) = (12/s + 2)/(s + 4) = (2s + 12)/(s(s + 4))। आंशिक भिन्न s = 0 पर अवशेष 12/4 = 3 और s = -4 पर (2(-4) + 12)/(-4) = -1 देते हैं, अतः i(t) = 3 - e^(-4t) A। वे तीनों बातें जाँचें जिन्हें इसे संतुष्ट करना चाहिए। t = 0 पर वह 3 - 1 = 2 A देता है, स्विच-पूर्व धारा, अर्थात् सांतत्य ✓। t → ∞ पर वह 3 A = 12/4 देता है, नई DC स्थायी अवस्था ✓। और घातांक -4 = -R/L है, अतः τ = 0.25 s, जो परिपथ का गुणधर्म है, स्रोत का नहीं ✓। शास्त्रीय मार्ग से तुलना करें: सामान्य हल मानें, अंतिम मान लगाएँ, तत्पश्चात् स्वेच्छ नियतांक नियत करने हेतु आरंभिक मान लगाएँ, तत्पश्चात् सत्यापित करें। लाप्लास मार्ग ने वह सब एक ही बीजगणितीय चरण में किया, क्योंकि L i(0) स्रोत आरंभिक शर्त ही है। दो और आदतें इसे केवल सर्वाधिक क्रमबद्ध के बजाय सर्वाधिक तीव्र विधि बनाती हैं। आरंभिक मान प्रमेय x(0⁺) = lim_(s→∞) sX(s) तथा अंतिम मान प्रमेय x(∞) = lim_(s→0) sX(s) आपको s-प्रांत उत्तर को बिना व्युत्क्रमित किए जाँचने देती हैं — यहाँ lim sI(s) = 2 तथा lim_(s→0) sI(s) = 12/4 = 3, दोनों सही। और अंतिम मान प्रमेय केवल तब वैध है जब sX(s) के ध्रुव कड़ाई से वाम अर्ध-तल में हों, और वह चेतावनी है, पाद-टिप्पणी नहीं: दोलक पर उसे लगाना आत्मविश्वासी, निरर्थक संख्या लौटाता है।

यहाँ, गणित के अध्याय में नहीं, लाप्लास के महत्व का एक और कारण: सभी आरंभिक शर्तें शून्य रखकर रूपांतरित निर्गम से रूपांतरित निवेश का अनुपात अंतरण फलन H(s) है। वही वस्तु इस अध्याय के शेष व सम्पूर्ण अगले अध्याय तक सेतु है। उसके ध्रुव जाल की प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं — वे घातांक जो क्षणिक अनुक्रिया में प्रकट होते हैं, निवेश जो भी हो — और उसके शून्यक वे आवृत्तियाँ हैं जिन्हें जाल संचारित करने से मना कर देता है। H(s) में s = jω रखना पिछले अध्याय का फेजर परिणाम पुनः दे देता है, अतः ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था पृथक् सिद्धांत नहीं है, बल्कि काल्पनिक अक्ष पर मूल्यांकित अंतरण फलन है।

वाई-डेल्टा: सेतु हेतु एकमात्र उपकरण

श्रेणी व समांतर संक्षेपण लगभग प्रत्येक जाल सँभाल लेता है, और ठीक एक सामान्य आकृति पर विफल हो जाता है: सेतु, जिसमें कोई भी दो अवयव श्रेणीक्रम में नहीं होते (उनके उभयनिष्ठ नोड पर तीसरा अवयव जुड़ा है) और कोई भी दो समांतर में नहीं होते (वे दोनों नोड साझा नहीं करते)। वाई-डेल्टा रूपांतरण ही उसे खोलता है, तीन अवयवों के त्रि-सिरा तारे को विद्युत् दृष्टि से समरूप त्रिभुज से प्रतिस्थापित करके, अथवा विपरीत। डेल्टा से वाई जाते समय प्रत्येक वाई बाहु दोनों निकटवर्ती डेल्टा बाहुओं का गुणनफल है, तीनों के योग से भाजित: R_a = R_ab R_ca/(R_ab + R_bc + R_ca)। वाई से डेल्टा जाते समय प्रत्येक डेल्टा बाहु वाई बाहुओं के युग्मवार गुणनफलों का योग है, सम्मुख वाई बाहु से भाजित: R_ab = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a)/R_c। संतुलित स्थिति स्मरण में रखने योग्य विवेक-जाँच है: तीन समान 3R का डेल्टा तीन समान R का वाई है, अतः R_Δ = 3R_Y — और यदि कोई रूपांतरण आपको अपने वाई से छोटा डेल्टा दे दे, तो आपके पास सूत्र उलटा है।

🎯 असंतुलित सेतु 7.2 Ω तक घटाया गया, तत्पश्चात् नोड विश्लेषण से जाँचा गया
ऐसा सेतु लें जिसमें सिरा A ऊपर व D नीचे तथा नोड B व C मध्य में हों। बाहुएँ AB = 6 Ω, AC = 18 Ω, BC = 12 Ω, BD = 4 Ω तथा CD = 8 Ω हैं, और प्रश्न A व D के बीच प्रतिरोध है। यहाँ कुछ भी किसी के श्रेणीक्रम अथवा समांतर में नहीं है, और सेतु संतुलित नहीं है (6/18 ≠ 4/8), अतः 12 Ω की अवहेलना नहीं की जा सकती। डेल्टा A-B-C, जिसकी बाहुएँ R_ab = 6, R_bc = 12 व R_ca = 18 हैं और योग 36 है, को आंतरिक नोड N वाले वाई में बदलें: R_AN = 6(18)/36 = 3 Ω, R_BN = 6(12)/36 = 2 Ω, R_CN = 12(18)/36 = 6 Ω। तीनों पूर्ण संख्याएँ निकलती हैं, जो भाग्य नहीं है — डेल्टा मान ऐसे चुने गए कि रूपांतरण दृष्टि से जाँचा जा सके, और उसे उल्टा चलाना उसे पुष्ट करता है: युग्मवार गुणनफलों का योग 6 + 12 + 18 = 36 है, अतः 36/6 = 6, 36/3 = 12 तथा 36/2 = 18, मूल डेल्टा यथातथ लौटाते हुए ✓। अब परिपथ सरल वृक्ष है। A से N तक 3 Ω है; N से D तक दो पथ चलते हैं, एक 2 + 4 = 6 Ω का और एक 6 + 8 = 14 Ω का, समांतर में 6(14)/20 = 4.2 Ω देते हुए। अतः R_AD = 3 + 4.2 = 7.2 Ω। चूँकि गलत रूपांतरण भी विश्वसनीय संख्या ही देता है, उसे ऐसी विधि से जाँचें जो उसके साथ कोई अंकगणित साझा न करे: A-D के आर-पार 1 V रखें और नोड वोल्टताओं हेतु हल करें। नोड B साफ करने पर 6V_B - V_C = 2 देता है, नोड C -6V_B + 19V_C = 4 देता है, और उन्हें जोड़ने पर 18V_C = 6, अतः V_C = 1/3 तथा V_B = 7/18। A से बाहर धारा (1 - 7/18)/6 + (1 - 1/3)/18 = 11/108 + 4/108 = 15/108 = 5/36 A है, अतः प्रतिरोध 36/5 = 7.2 Ω ✓। दो स्वतंत्र मार्ग, एक उत्तर। दोनों जानने का कारण यह है कि जब सेतु किसी बड़े परिपथ का एक भाग हो तब रूपांतरण कहीं अधिक तीव्र है, जबकि जब आपको शाखा धाराएँ भी चाहिए तब नोड विश्लेषण तीव्र है।

दो विस्तार एक-एक वाक्य योग्य हैं। रूपांतरण प्रतिरोधों तक सीमित नहीं है — प्रत्येक R को प्रतिबाधा Z से प्रतिस्थापित करें और दोनों सूत्र s प्रांत अथवा फेजर प्रांत में अपरिवर्तित टिके रहते हैं, और इसी प्रकार त्रि-कला समस्याएँ तारा व डेल्टा संयोजनों के बीच आती-जाती हैं। और यदि सेतु संतुलित हो, अर्थात् एक ओर की दो बाहुओं का अनुपात दूसरी ओर के अनुपात के बराबर हो, तो सेतु अवयव कोई धारा वहन नहीं करता और उसे हटाया अथवा लघुपथित किया जा सकता है, जो शेष संक्षेपण को सरल बनाए। संतुलन को पहले पहचानना रूपांतरण को पूर्णतः बचा देता है, और वही पहले जाँचने योग्य वस्तु है।

द्वि-पोर्ट प्राचल: चार संख्याओं में एक जाल

द्वि-पोर्ट कोई भी जाल है जिस तक ठीक दो सिरा-युग्मों से पहुँचा जाए, जिसकी सीमा पर चार चर हों: V1, I1, V2, I2, परिपाटीवश दोनों धाराएँ जाल के भीतर बहती परिभाषित। चारों में से कोई भी दो स्वतंत्र माने जा सकते हैं और शेष दो रैखिक संयोजन के रूप में लिखे जा सकते हैं, और इसीलिए एक के बजाय कई प्राचल-समुच्चय हैं, तथा प्रत्येक भिन्न स्थिति हेतु सुविधाजनक है। z प्राचल वोल्टताओं को धाराओं के पदों में व्यक्त करते हैं, अतः वे पोर्ट विवृत रखकर मापे जाते हैं। y प्राचल धाराओं को वोल्टताओं के पदों में व्यक्त करते हैं, पोर्ट लघुपथित रखकर मापे जाते हैं। h प्राचल दोनों को मिलाते हैं — I1 व V2 के पदों में V1 व I2 — और वही युग्मन द्विध्रुवी ट्रांजिस्टर को स्वाभाविक लगता है, तथा इसीलिए h_fe वह संख्या है जो ट्रांजिस्टर के आँकड़ा-पत्र पर छपी होती है। संचरण प्राचल A, B, C व D निवेश युग्म को निर्गम युग्म के पदों में व्यक्त करते हैं, और वे एक प्रबल कारण से विद्यमान हैं: श्रेणीबद्ध द्वि-पोर्ट अपने संचरण आव्यूह गुणित करते हैं, क्रम में, अतः चरणों की श्रृंखला युगपत् हल के बजाय एक आव्यूह गुणनफल है।

चारों समुच्चय एक ही जाल हेतु निकालें, जिससे उनके बीच के संबंध खोजे जाने के बजाय दृश्य हो जाएँ। पिछले अध्याय का T-जाल प्रयोग करें: पोर्ट 1 से आंतरिक नोड x तक R1 = 4 Ω, x से पोर्ट 2 तक R2 = 6 Ω, तथा x से उभयनिष्ठ संदर्भ तक R3 = 12 Ω। z प्राचल सीधे टोपोलॉजी से आ जाते हैं, क्योंकि पोर्ट विवृत होने पर उसकी श्रेणी बाहु में कोई धारा नहीं बहती: z11 = R1 + R3 = 16 Ω, z22 = R2 + R3 = 18 Ω, तथा z12 = z21 = R3 = 12 Ω, पार्श्व बाहु दोनों लूपों का एकमात्र उभयनिष्ठ पथ होते हुए। सारणिक Δz = 16(18) - 144 = 144 है।

उसी 4-6-12 Ω T-जाल हेतु चारों प्राचल समुच्चय
प्राचल समुच्चयविकर्ण प्रविष्टियाँविकर्णेतर प्रविष्टियाँप्रत्येक कैसे मापा जाता है
z, विवृत-परिपथ प्रतिबाधाएँz11 = 16 Ω, z22 = 18 Ωz12 = z21 = 12 Ωदूर का पोर्ट विवृत छोड़कर
y, लघुपथ प्रवेश्यताएँy11 = 1/8 S, y22 = 1/9 Sy12 = y21 = -1/12 Sदूर का पोर्ट लघुपथित करके
h, संकर अथवा ट्रांजिस्टर रूपh11 = 8 Ω, h22 = 1/18 Sh12 = 2/3, h21 = -2/3, so h21 = -h12निर्गम लघुपथित, तत्पश्चात् निवेश विवृत
ABCD, संचरण रूपA = 4/3, D = 3/2, दोनों विमाहीनB = 12 Ω, C = 1/12 Sनिर्गम विवृत, तत्पश्चात् निर्गम लघुपथित
🧠 उस सारणी की प्रत्येक प्रविष्टि सीधे मापी जा सकती है, और उनमें से दो आपके पास पहले से हैं
प्राचल समुच्चयों के बीच अधूरे स्मरण किए सूत्रों से रूपांतरण न करें; परिभाषाओं पर लौटें, क्योंकि प्रत्येक परिपथ पर एक-पंक्ति का माप है। पोर्ट 2 लघुपथित रखकर y11 = I1/V1 निर्गम लघुपथित करके निवेश चालकता है, अतः 1/y11 = R1 + (R3 ∥ R2) = 4 + (12 ∥ 6) = 4 + 4 = 8 Ω, जो y11 = 1/8 S देता है — और वह आव्यूह प्रतिलोम z22/Δz = 18/144 = 1/8 से सहमत है ✓। y22 दूसरे सिरे से वही माप है: 1/y22 = R2 + (R3 ∥ R1) = 6 + 3 = 9 Ω, अतः y22 = 1/9 S, z11/Δz = 16/144 से मिलता ✓। अब वह प्रविष्टि जो आपने पहले ही गणित कर ली है। पोर्ट 2 लघुपथित रखकर y21 = I2/V1 ठीक पिछले अध्याय का व्युत्क्रमता प्रयोग है: पोर्ट 1 को 12 V से चलाना व पोर्ट 2 लघुपथित करना 6 Ω से पोर्ट 2 से बाहर 1 A देता था, और चूँकि परिपाटी में I2 पोर्ट के भीतर बहती है, I2 = -1 A तथा y21 = -1/12 S ✓। ऋण चिह्न सुधारी जाने योग्य त्रुटि नहीं है; वह चिह्न-परिपाटी का अपना कार्य है, और जो अभ्यर्थी उसे सामान्यीकृत करके हटा देगा उसे प्रत्येक श्रेणीबद्धन में गलत चिह्न मिलेगा। अंततः सारणी का प्रयोग उन दो शर्तों को पढ़ने हेतु करें जिनके विषय में GATE सर्वाधिक पूछता है। व्युत्क्रमता z12 = z21 (12 = 12 ✓) के रूप में दीखती है, समतुल्यतः y12 = y21, समतुल्यतः h12 = -h21 (2/3 व −2/3 ✓), समतुल्यतः AD - BC = (4/3)(3/2) - 12(1/12) = 2 - 1 = 1 ✓ — चार भिन्न दीखते कथन, एक गुणधर्म। सममिति हेतु अतिरिक्त रूप से z11 = z22 चाहिए, और 16 ≠ 18, अतः यह जाल व्युत्क्रम है किंतु सममित नहीं, ठीक जैसा पिछले अध्याय के असममित माप दिखाते थे। यह भी ध्यान दें कि B = 12 Ω तथा 1/C = 12 Ω दोनों पार्श्व बाहु के बराबर हैं; T-जाल हेतु अंतरण प्रतिबाधा पार्श्व अवयव है, और यह जानना आपको आठ प्राचलों में से तीन बिना किसी बीजगणित के लिखने देता है।

द्वि-पोर्ट प्राचल यह भी नियत करते हैं कि जाल कैसे संयोजित होते हैं, और प्रत्येक संयोजन हेतु नियम भिन्न है। श्रेणी संयोजन z आव्यूह जोड़ता है; समांतर संयोजन y आव्यूह जोड़ता है; श्रेणीबद्धन संचरण आव्यूह गुणित करता है। श्रेणीबद्धन का नियम सर्वाधिक प्रयुक्त है, और वह कहने योग्य सावधानी सहित आता है: संचरण-आव्यूह गुणनफल केवल तब वैध है जब पोर्ट जोड़ना किसी भी चरण का आंतरिक व्यवहार न बदले, जो भू-संबद्ध द्वि-पोर्टों हेतु स्वतः है और अ-संबद्ध हेतु जाँचने योग्य। इसीलिए संचरण समुच्चय संचरण लाइन, मेलन खंड व फिल्टर खंड का मानक वर्णन है — उन वस्तुओं का सम्पूर्ण प्रयोजन श्रेणीबद्ध होना ही है।

LTI तंत्र: परिभाषा, आवेग अनुक्रिया, संवलन, कारणता, स्थायित्व

ऊपर का सब कुछ एक ही अमूर्तन की विशेष स्थिति रहा है। तंत्र रैखिक है यदि निवेश का अनुमापन निर्गम का अनुमापन करे और निवेशों का अध्यारोपण निर्गमों का अध्यारोपण करे — वही योज्यता व समघातता जिसने पिछले अध्याय को स्रोत एक-एक कर चालू करने दिया। वह काल-अपरिवर्ती है यदि निवेश को विलंबित करना निर्गम को उतना ही विलंबित करे और कुछ और न बदले। दोनों गुणधर्मों वाला तंत्र LTI है, और उसका एक उल्लेखनीय परिणाम है: वह एकल निवेश के प्रति अपनी अनुक्रिया से पूर्णतः अभिलक्षित होता है। किसी भी निवेश को अनुमापित, विस्थापित आवेगों के योग में विघटित करें; रैखिकता कहती है निर्गम प्रत्येक की अनुक्रियाओं का योग है; काल-अपरिवर्तिता कहती है उनमें से प्रत्येक अनुक्रिया वही आकृति है, विस्थापित। परिणाम है संवलन: सतत काल में y(t) = ∫ x(τ)h(t - τ) dτ तथा विविक्त काल में y[n] = Σ x[k]h[n - k], जहाँ h आवेग अनुक्रिया है। इस अध्याय का प्रत्येक फिल्टर, प्रत्येक चैनल, प्रत्येक परिपथ भिन्न वस्त्र पहने संवलन है।

परीक्षा में संवलन लगभग सदा छोटा व विविक्त होता है, और उसकी एक जाँच है जिसकी कोई लागत नहीं। मानें n = 0, 1, 2 हेतु x[n] = {1, 2, 3} तथा h[n] = {1, 1, 1}। निर्गम n = 0 से n = 4 तक चलता है, 3 + 3 - 1 = 5 लंबाई का, और पद-दर-पद मूल्यांकन देता है y[n] = {1, 3, 6, 5, 3}। अब जाँचें: संवलन का योग योगों के गुणनफल के बराबर होता है, क्योंकि Σy = (Σx)(Σh)। यहाँ 1 + 3 + 6 + 5 + 3 = 18 तथा (1 + 2 + 3)(1 + 1 + 1) = 6 × 3 = 18 ✓। वह तत्समक छद्म रूप में DC लब्धि का कथन है — Σh अचर निवेश के प्रति अनुक्रिया है — और वह हस्त-संवलन की लगभग प्रत्येक अंकगणितीय चूक पकड़ लेता है। h को {1, -1} में बदलें, अर्थात् प्रथम अंतर, और वही x देता है y[n] = {1, 1, 1, -3} जिसका योग शून्य है, ठीक जैसा Σh = 0 माँगता है: अंतर लेने वाला फिल्टर DC को नष्ट कर देता है, और वही उसे उच्च-पारक बनाता है।

तत्पश्चात् दो गुणधर्म सीधे h से पढ़े जाते हैं, और उन्हें पढ़ लेना ही सम्पूर्ण परीक्षणीय कौशल है। कारणता: निर्गम भावी निवेश पर निर्भर नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है t < 0 हेतु h(t) = 0, अथवा n < 0 हेतु h[n] = 0। कोई भी भौतिक परिपथ कारणिक है; संचित संचिका पर अ-सजीव प्रयुक्त सममित FIR फिल्टर को होना आवश्यक नहीं। BIBO स्थायित्व: प्रत्येक परिबद्ध निवेश परिबद्ध निर्गम देता है यदि और केवल यदि h परम समाकलनीय (अथवा परम योगनीय) हो, ∫|h(t)| dt < ∞ अथवा Σ|h[n]| < ∞। तीन उदाहरण जाँचें। h(t) = e^(-2t)u(t) का समाकल 1/2 है, अतः स्थायी। h(t) = u(t), शुद्ध समाकलक, का समाकल अनंत है, अतः वह स्थायी नहीं है — और ध्यान दें कि परिबद्ध निवेश, सोपान, के प्रति उसकी अनुक्रिया रैंप है, जो प्रतिउदाहरण को स्पष्ट कर देती है। h[n] = (0.5)^n u[n] का योग 2 है, स्थायी; h[n] = 2^n u[n] अपसरित होता है, अस्थायी। ध्यान दें कि परम योगनीयता केवल क्षय होने से प्रबलतर है: n ≥ 1 हेतु h[n] = 1/n शून्य तक क्षय होता है और तब भी अस्थायी है, क्योंकि हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है।

⚠️ ध्रुव, शून्यक, तथा वह निरसन जो अस्थायी विधा छिपा देता है
परिमेय H(s) से वर्णित तंत्र हेतु ध्रुव हर के मूल हैं और शून्यक अंश के मूल, और प्रत्येक भिन्न सूचना वहन करता है। ध्रुव प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं — वे घातांक जो क्षणिक अनुक्रिया में प्रकट होते हैं, आप तंत्र को जिससे भी उत्तेजित करें — अतः कारणिक तंत्र ठीक तब स्थायी है जब प्रत्येक ध्रुव कड़ाई से वाम अर्ध-तल में हो, Re(s) < 0। काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव सीमांततः स्थायी हैं और उसके दक्षिण के ध्रुव अस्थायी। शून्यक स्थायित्व को बिल्कुल प्रभावित नहीं करते; वे अनुक्रिया को आकार देते हैं, और दक्षिण अर्ध-तल में शून्यक ऐसा अ-न्यूनतम-कला तंत्र देता है जिसकी सोपान अनुक्रिया आरंभ में गलत दिशा में चल सकती है। अब जाल, जो प्रिय है क्योंकि वह साधारण बीजगणित दीखता है। मानें कोई पुनर्भरण व्यवस्था H(s) = (s - 2)/((s - 2)(s + 3)) देती है। निरसित करें और आपके पास 1/(s + 3) है, -3 पर एक ध्रुव, प्रतीत होता है पूर्णतः स्थायी प्रथम-कोटि निम्न-पारक। वह स्थायी नहीं है। s = +2 पर ध्रुव भौतिक तंत्र की सच्ची प्राकृतिक आवृत्ति है, और उसे कागज पर निरसित करना परिपथ से e^(2t) विधा नहीं हटाता; वह उसे केवल निवेश-निर्गम वर्णन से हटाता है। उस विधा में कोई भी आरंभिक ऊर्जा, कोई भी अवयव-सह्यता जो निरसन को अयथातथ बनाए, और अनुक्रिया अपरिबद्ध रूप से बढ़ती है। औपचारिक कथन यह है कि ध्रुव-शून्यक निरसन आपसे उस विधा की प्रेक्ष्यता अथवा नियंत्र्यता ले लेता है, और जो विधा आप देख नहीं सकते वह ऐसी विधा नहीं जिसे आपने ठीक कर लिया हो। इसका परीक्षणीय रूप सामान्यतः सरलतर व उतना ही तीक्ष्ण है: H(s) दिए जाने पर ध्रुव पहचानने से पूर्व निरसन न करें, और यदि प्रश्न आपको अंतरण फलन के बजाय अवकल समीकरण दे, तो प्राकृतिक आवृत्तियाँ समीकरण के अपने अभिलक्षक बहुपद से लें।

आवृत्ति अनुक्रिया, कला विलंब तथा समूह विलंब

किसी LTI तंत्र को सम्मिश्र चरघातांकी e^(jωt) खिलाएँ और निर्गम H(jω)e^(jωt) है — वही चरघातांकी, एक सम्मिश्र संख्या से अनुमापित। वही आवृत्ति अनुक्रिया है, और वह कहती है कि LTI तंत्र किसी ज्यावक्र के साथ ठीक दो कार्य कर सकता है: उसका आयाम |H(jω)| से बदल सकता है और उसकी कला ∠H(jω) = θ(ω) से विस्थापित कर सकता है। वह नई आवृत्ति सृजित नहीं कर सकता, और इसीलिए कथित रूप से रैखिक प्रवर्धक के निर्गम पर प्रकट होती कोई भी नई आवृत्ति इसका प्रमाण है कि वह रैखिक नहीं है। H(s) = 1000/((s + 10)(s + 100)) लें, एकत्व DC लब्धि वाला द्वि-ध्रुव निम्न-पारक। ω = 10 rad/s पर, प्रथम ध्रुव पर, |H| = 0.7036 (−3.05 dB) तथा θ = -50.71°। ω = 100 पर, द्वितीय ध्रुव पर, |H| = 0.0704 (−23.05 dB) तथा θ = -129.29°। दोनों कलाएँ ठीक -180° में जुड़ती हैं, और दोनों लब्धियाँ ठीक दस के गुणक से भिन्न हैं, और ये दोनों ध्रुवों के गुणोत्तर माध्य के परितः अनुक्रिया की सममिति हैं — हाथ से बोड आलेख खींचते समय उपयोगी विवेक-जाँच।

अब पाठ्यक्रम का वह भाग जो तीन शब्दों में कहा गया है और असमानुपाती अंक वहन करता है। कला θ(ω) से दो भिन्न विलंब परिभाषित होते हैं। कला विलंब τ_p = -θ(ω)/ω उस आवृत्ति पर एकल ज्यावक्र द्वारा अनुभूत विलंब है: वह समय में परिवर्तित कला-विस्थापन है। समूह विलंब τ_g = -dθ/dω आवृत्तियों के संकीर्ण-बैंड समूह के आवरण द्वारा अनुभूत विलंब है — दूसरे शब्दों में, सूचना द्वारा, क्योंकि माडुलित संकेत अपना संदेश अपने आवरण में वहन करता है, अपने वाहक में नहीं। वे समान इकाइयों वाली भिन्न राशियाँ हैं, और उन्हें भ्रमित करना इस विषय की सर्वाधिक सामान्य एकमात्र त्रुटि है।

τ = 1 ms वाला प्रथम-कोटि निम्न-पारक: कला मुड़ते ही दोनों विलंब अलग हो जाते हैं
सामान्यीकृत आवृत्ति ωτकला θकला विलंब τ_pसमूह विलंब τ_g
ωτ = 0, DC पर0°, कोई विस्थापन नहीं1.000 ms1.000 ms
ωτ = 0.5−26.57°0.927 ms0.800 ms
ωτ = 1, अर्थात् कटऑफ−45.00°0.785 ms0.500 ms
ωτ = 2−63.43°0.554 ms0.200 ms
ωτ = 5−78.69°0.275 ms0.038 ms
🎯 केवल सरल रेखा दोनों विलंबों को सहमत कराती है, और रैखिक कला उसी हेतु है
H(s) = 1/(1 + sτ) हेतु कला θ(ω) = -arctan(ωτ) है, अतः τ_p = arctan(ωτ)/ω तथा τ_g = τ/(1 + (ωτ)²)। DC पर दोनों ठीक τ के बराबर हैं — दोनों परिभाषाएँ ω → 0 सीमा में सदा सहमत होती हैं, क्योंकि वक्र व उसकी स्पर्श रेखा मूल-बिंदु पर सहमत होती हैं। DC से दूर वे तीव्रता से अपसरित होती हैं। कटऑफ पर, ωτ = 1, कला विलंब 0.785 ms है जबकि समूह विलंब 0.500 ms, π/2 का अनुपात; ωτ = 5 तक अनुपात सात से अधिक है। अब पूछें कि उन्हें प्रत्येक आवृत्ति पर बराबर क्या बनाता है। -θ(ω)/ω = -dθ/dω रखें और एकमात्र हल θ(ω) = -ω t_0 है, मूल-बिंदु से जाती सरल रेखा: कला विलंब समूह विलंब के बराबर है यदि और केवल यदि कला आवृत्ति में रैखिक हो, और तब दोनों प्रवणता t_0 के बराबर हैं। रैखिक कला के सौंदर्य-अभिरुचि के बजाय अभिकल्प-उद्देश्य होने का सम्पूर्ण कारण वही है। रैखिक कला वाला तंत्र प्रत्येक आवृत्ति घटक को उसी समय t_0 से विलंबित करता है, अतः निर्गम तरंगरूप विस्थापित निवेश तरंगरूप है — आकृति में अविकृत। अरैखिक कला वाला तंत्र भिन्न घटकों को भिन्न समयों से विलंबित करता है, और तरंगरूप धुँधलाकर पहुँचता है, यद्यपि आयाम अनुक्रिया पूर्णतः समतल हो। अगले अध्याय में ले जाने योग्य तीन परिणाम। प्रथम, समतल आयाम पर्याप्त नहीं है: सर्व-पारक फिल्टर का प्रत्येक आवृत्ति पर |H| = 1 होता है और वह तब भी स्पंद बिगाड़ सकता है। द्वितीय, इसीलिए सममित FIR फिल्टर मूल्यवान है — सममिति ठीक रैखिक कला हेतु बाध्य करती है, और N लंबाई का सममित FIR अचर समूह विलंब (N - 1)/2 नमूने रखता है, जो विलंब है, विकृति नहीं। तृतीय, समूह विलंब वहीं है जहाँ परिक्षेपण निवास करता है: वह प्रकाशिक तंतु अथवा लंबा ताम्र युग्म जिसका समूह विलंब बैंड भर बदलता है, संचारित स्पंद को तब तक फैलाता है जब तक निकटवर्ती प्रतीक अतिव्यापी न हो जाएँ, और वह अंतर-प्रतीक व्यतिकरण फिल्टर से नहीं बल्कि भौतिक स्तर से आता है।

मुख्य बिंदु

  • प्रतिरोध से संधारित्र आवेशित करना प्रतिरोध जो भी हो, ठीक 50 प्रतिशत दक्ष है — 500 μJ दिए, 250 μJ संचित, 250 μJ जले, क्योंकि R समाकल से निरसित हो जाता है। इसीलिए वास्तविक प्रदाय इसके बजाय प्रेरक से आवेशित करते हैं।
  • एक ζ द्वितीय-कोटि परिपथ का निर्णय करता है। ζ = 0.5 पर 10 V सोपान संधारित्र को 363 μs पर 11.63 V तक ले जाता है — प्रथम-कोटि परिपथ कभी अतिक्रमण नहीं कर सकता, अतः अतिक्रमण सदा दूसरे ऊर्जा-भंडार का अर्थ है। और ζ = 1 से आगे अधिक प्रतिरोध परिपथ को मंद बनाता है, तीव्र नहीं।
  • प्रेरक धारा व संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं सकतीं, और s प्रांत में वह तथ्य पहले से भीतर निर्मित है: प्रेरक L i(0) के श्रेणीक्रम में sL है और संधारित्र v(0)/s के श्रेणीक्रम में 1/sC, अतः आरंभिक शर्तें पृथक् चरण होना बंद कर देती हैं। i(t) = 3 - e^(-4t) आंशिक भिन्नों की एक पंक्ति से निकला और सांतत्य, अंतिम मान व τ = L/R तीनों एक साथ संतुष्ट करता है।
  • असंतुलित सेतु हेतु वाई-डेल्टा एकमात्र उपकरण है: 6-18-12-4-8 Ω सेतु 7.2 Ω तक घटता है, नोड विश्लेषण से स्वतंत्रतः पुष्ट। पहले संतुलन जाँचें, क्योंकि संतुलित सेतु आपको इसके बजाय सेतु-अवयव मिटाने देता है।
  • द्वि-पोर्ट प्राचल उनके परिभाषक माप से लें, रूपांतरण सारणी से नहीं: T-जाल पर 1/y11 = 4 + (12 ∥ 6) = 8 Ω, और y21 = -1/12 S चिह्न-परिपाटी सहित लगाया व्युत्क्रमता प्रयोग है। व्युत्क्रमता z12 = z21, h12 = -h21, AD - BC = 1 है; सममिति हेतु अतिरिक्त रूप से z11 = z22 चाहिए।
  • LTI तंत्र अपनी आवेग अनुक्रिया ही है। संवलन की सस्ती जाँच Σy = (Σx)(Σh) है; स्थायित्व h की परम योगनीयता है, केवल क्षय नहीं; कारणिक तंत्र स्थायी है यदि और केवल यदि प्रत्येक ध्रुव कड़ाई से वाम अर्ध-तल में हो — और ध्रुवों की सूची बनाने से पूर्व किसी ध्रुव को किसी शून्यक से कभी निरसित न करें।
  • τ_p = -θ/ω तथा τ_g = -dθ/dω DC पर सहमत होते हैं और अन्यत्र कहीं नहीं, जब तक कला सरल रेखा न हो। प्रथम-कोटि निम्न-पारक पर कटऑफ पर वे 0.785 ms व 0.500 ms हैं। रैखिक कला ठीक अविकृत विलंब की शर्त है, और इसीलिए N लंबाई का सममित FIR अपने (N-1)/2 नमूनों के पश्चगमन के योग्य है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक 5 माइक्रोफैरड संधारित्र किसी DC परिपथ का एकमात्र ऊर्जा-संचय अवयव है। संधारित्र हटा देने तथा प्रत्येक स्वतंत्र स्रोत को निष्क्रिय कर देने पर, जिन दो सिरों पर वह बैठा था उनके बीच का प्रतिरोध एक 12 किलो-ओम प्रतिरोध है जो श्रेणीक्रम में जुड़े 4 किलो-ओम व 2 किलो-ओम प्रतिरोधों के समांतर है। प्राकृतिक अनुक्रिया का काल-नियतांक कितना है?

    1. 60 ms
    2. 90 ms
    3. 30 ms
    4. 20 ms
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 20 ms

    संधारित्र जो प्रतिरोध देखता है वह उसके अपने सिरों पर थेवेनिन प्रतिरोध है, जो यहाँ 12 के समांतर 4 + 2 = 6 है, अर्थात् 12 गुणा 6 बटा 18 = 4 किलो-ओम। तब काल-नियतांक RC = 4000 गुणा 5 माइक्रोफैरड = 20 ms है। केवल 12 किलो-ओम शाखा लेने पर 60 ms मिलता है और यही सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है, क्योंकि वह उस समांतर पथ की उपेक्षा करती है जिससे निस्सरण धारा भी जा सकती है; तीनों प्रतिरोधों को श्रेणी में जोड़ने पर 18 किलो-ओम व 90 ms मिलता है, जो ऐसा श्रेणी लूप मान लेता है जो टोपोलॉजी में है ही नहीं।

  2. L = 20 mH, C = 0.5 माइक्रोफैरड तथा R = 120 ohm का एक श्रेणी लूप पूर्णतः विरामावस्था में है जब t = 0 पर उसके आर-पार 24 V DC स्रोत जोड़ा जाता है। तत्पश्चात् किसी भी समय संधारित्र के आर-पार प्रकट होने वाली सर्वाधिक वोल्टता कितनी है?

    1. 32.9 V
    2. 24.0 V
    3. 41.5 V
    4. 27.9 V
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 32.9 V

    पहले अवमंदन अनुपात खोजें, क्योंकि उसके बिना और कुछ तय नहीं हो सकता: zeta = (R/2) गुणा C/L का वर्गमूल = 60 गुणा 0.5e-6/0.02 का वर्गमूल = 60 गुणा 0.005 = 0.3, अतः लूप अल्प-अवमंदित है। पद-अनुक्रिया का अधिशेष exp(-pi·zeta बटा 1 - zeta के वर्ग का वर्गमूल) = exp(-0.9425/0.9539) = 0.372 है, अतः शिखर 24 गुणा 1.372 = 32.9 V है। उत्तर 24.0 V सहज है, इस आधार पर कि 24 V स्रोत से आवेशित संधारित्र उससे अधिक नहीं जा सकता, और वह गलत है क्योंकि प्रेरक धारा उस क्षण रुक नहीं सकती जब संधारित्र 24 V पर पहुँचे और वह आवेश भीतर धकेलती रहती है। भूल से zeta = 0.1 लेने पर 41.5 V तथा zeta = 0.5 लेने पर 27.9 V मिलेगा।

  3. किसी जाल में एक शाखा धारा का लाप्लास रूपांतर I(s) = (3s + 20)/(s(s + 5)) ऐम्पियर है। आरंभिक-मान तथा अंतिम-मान प्रमेयों का प्रयोग करते हुए i(0+) तथा i(अनंत) क्या हैं?

    1. 4 A तथा 3 A
    2. 3 A तथा 4 A
    3. 0 A तथा 4 A
    4. 3 A तथा 20 A
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3 A तथा 4 A

    आरंभिक मान s के अनंत की ओर जाने पर s·I(s) की सीमा है, जो (3s + 20)/(s + 5) है और 3 A की ओर जाती है। अंतिम मान s के शून्य की ओर जाने पर s·I(s) की सीमा है, जो 20/5 = 4 A है। 4 A तथा 3 A बताना दोनों सीमाओं को उलटा लगा देने की मानक चूक है, और एक जाँच उपयोगी है: रूपांतर का मूल-बिंदु पर एक ध्रुव है, जिसका अर्थ है एक अचर पद, और वहाँ उसका अवशेष स्थायी मान 4 A है, अतः धारा 4 A पर समाप्त होनी चाहिए। मान 0 A तब मिलेगा जब बड़े s पर s·I(s) के बजाय स्वयं I(s) का मूल्यांकन किया जाए।

  4. पाँच प्रतिरोध इस प्रकार जोड़े गए हैं। बिंदु P से एक 10 ohm अवयव बिंदु R तक तथा एक 15 ohm अवयव बिंदु S तक पहुँचता है। R से एक 20 ohm अवयव बिंदु Q तक आगे जाता है, और S से एक 30 ohm अवयव भी Q तक आगे जाता है। एक 25 ohm अवयव R को सीधे S से जोड़ता है। तत्पश्चात् P तथा Q के बीच एक आदर्श 36 V आपूर्ति लगाई जाती है। 25 ohm अवयव से कितनी धारा गुजरती है, और आपूर्ति कितनी धारा देती है?

    1. 25 ohm अवयव से शून्य, तथा आपूर्ति से 1.44 A
    2. 25 ohm अवयव से 0.48 A, तथा आपूर्ति से 2.0 A
    3. 25 ohm अवयव से शून्य, तथा आपूर्ति से 2.0 A
    4. 25 ohm अवयव से शून्य, तथा आपूर्ति से 3.44 A
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 25 ohm अवयव से शून्य, तथा आपूर्ति से 2.0 A

    किसी भी लघुकरण से पूर्व दोनों श्रृंखलाओं के अनुपात जाँचें: एक पथ पर 10/20 = 0.5 तथा दूसरे पर 15/30 = 0.5, अतः आपूर्ति चाहे जो हो R तथा S ठीक समान विभव पर बैठते हैं। अतः 25 ohm अवयव कुछ भी वहन नहीं करता और उसे काटा जा सकता है, जिससे 10 + 20 = 30 ohm, 15 + 30 = 45 ohm के समांतर बचता है, अर्थात् 1350/75 = 18 ohm, और आपूर्ति 36/18 = 2.0 A देती है। 3.44 A उत्तर 25 ohm अवयव को रखकर उसे घटाए गए 18 ohm के समांतर रखने से आता है, जो तभी सही होता जब वह R से S के बजाय P से Q को जोड़ता; 1.44 A उसे ही सम्पूर्ण भार मान लेता है।

  5. एक द्वि-पोर्ट जाल विवृत-परिपथ प्राचलों z11 = 30 ohm, z12 = z21 = 18 ohm तथा z22 = 24 ohm से वर्णित है। उसके संचरण प्राचल A का मान क्या है?

    1. 1.67
    2. 1.33
    3. 0.60
    4. 0.75
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1.67

    A की परिभाषा निर्गम पोर्ट विवृत रखते हुए V1/V2 है, अतः पोर्ट 2 पर कोई धारा नहीं बहती और z-समीकरण घटकर V1 = z11·I1 तथा V2 = z21·I1 रह जाते हैं। भाग देने पर A = z11/z21 = 30/18 = 1.67, जो विमाहीन संख्या है जैसा होना चाहिए। मान 1.33 z22/z21 है, जो प्राचल D है और संचरण आव्यूह के दूसरे विकर्ण का है; जिस अभ्यर्थी को केवल यह स्मरण हो कि A व D ही दो विमाहीन प्रविष्टियाँ हैं, वह सरलतः गलत वाला लौटा सकता है। अनुपात 0.60 व 0.75 z21/z11 तथा z12/z22 हैं, और इनमें से कोई संचरण प्राचल नहीं है।

  6. दो परिमित अनुक्रम हैं x[n] = {2, 1, 3} जहाँ n = 0, 1, 2 तथा h[n] = {1, -1} जहाँ n = 0, 1। उनका रैखिक संवलन क्या है?

    1. {2, 1, 3, -3}
    2. {2, 3, 4, 3}
    3. {2, -1, -2, -3}
    4. {2, -1, 2, -3}
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — {2, -1, 2, -3}

    निर्गम n = 0 से n = 3 तक चलता है, लंबाई 3 + 2 - 1 = 4। पद-दर-पद: y[0] = 2(1) = 2; y[1] = 1(1) + 2(-1) = -1; y[2] = 3(1) + 1(-1) = 2; y[3] = 3(-1) = -3। सबसे सस्ती जाँच निःशुल्क है: संवलन के प्रतिदर्शों का योग दोनों निवेश-योगों का गुणनफल होता है, और यहाँ 2 + 1 + 3 = 6 गुणा 1 - 1 = 0 शून्य देता है, जिसे उत्तर 2 - 1 + 2 - 3 = 0 संतुष्ट करता है। अनुक्रम {2, 1, 3, -3} उस जाँच में विफल है क्योंकि उसका योग 3 है; वह h के केवल पहले टैप को सरकाने और अंतिम प्रतिदर्श तक -1 को कभी न मोड़ने से आता है।

  7. अपने उपयोगी बैंड में एक निकाय की कला अनुक्रिया theta(omega) = -0.004·omega - 0.2 रेडियन है, जहाँ omega रेडियन प्रति सेकंड में है। उसका समूह विलंब कितना है, और क्या कला विलंब उसके बराबर है?

    1. 0.2 ms, तथा कला विलंब उसके बराबर है
    2. 4 ms, तथा कला विलंब प्रत्येक परिमित आवृत्ति पर उससे भिन्न है क्योंकि कला रेखा मूल-बिंदु से नहीं गुजरती
    3. 4.2 ms, तथा कला विलंब उसके बराबर है
    4. 2 ms, तथा कला विलंब प्रत्येक आवृत्ति पर उससे दुगुना है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4 ms, तथा कला विलंब प्रत्येक परिमित आवृत्ति पर उससे भिन्न है क्योंकि कला रेखा मूल-बिंदु से नहीं गुजरती

    समूह विलंब omega के सापेक्ष कला का ऋणात्मक अवकलज है, और -0.004·omega - 0.2 का अवकलज -0.004 है, अतः बैंड की प्रत्येक आवृत्ति पर समूह विलंब 0.004 s = 4 ms है। कला विलंब ऋणात्मक theta बटा omega है, जो यहाँ 0.004 + 0.2/omega है और अतः आवृत्ति के साथ बदलता है, सर्वत्र 4 ms से अधिक रहता है और केवल बड़े omega पर उसके निकट पहुँचता है। दोनों विलंब सभी आवृत्तियों पर तभी मिलते हैं जब कला मूल-बिंदु से गुजरती सीधी रेखा हो; -0.2 rad का अचर विस्थापन कला को रैखिक के बजाय एफाइन बना देता है, और लुभावना उत्तर उसी विस्थापन की अनदेखी करता है।

  8. एक कारणात्मक संतत-काल LTI निकाय का अंतरण फलन H(s) = (s - 4)/((s + 2)(s + 5)) है। उसके विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. निकाय BIBO स्थायी है, क्योंकि दोनों ध्रुव कड़ाई से बाएँ अर्ध-तल में हैं
    2. निकाय अ-न्यूनतम-कला है, अतः उसकी पद-अनुक्रिया आरंभ में अपनी अंतिम दिशा के विपरीत जा सकती है
    3. s = +4 पर शून्यक दाएँ अर्ध-तल में है और अतः निकाय को अस्थायी बना देता है
    4. आवेग अनुक्रिया t के शून्य से बड़े होने पर exp(-2t) तथा exp(-5t) का भारित योग है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — निकाय BIBO स्थायी है, क्योंकि दोनों ध्रुव कड़ाई से बाएँ अर्ध-तल में हैं; B — निकाय अ-न्यूनतम-कला है, अतः उसकी पद-अनुक्रिया आरंभ में अपनी अंतिम दिशा के विपरीत जा सकती है; D — आवेग अनुक्रिया t के शून्य से बड़े होने पर exp(-2t) तथा exp(-5t) का भारित योग है

    कारणात्मक निकाय की स्थायित्व केवल ध्रुवों पर निर्भर करती है, और दोनों -2 तथा -5 पर हैं, कड़ाई से बाएँ अर्ध-तल में, अतः निकाय BIBO स्थायी है और उसकी आवेग अनुक्रिया exp(-2t) व exp(-5t) का संयोजन है जो शून्य की ओर क्षय होता है। दाएँ अर्ध-तल का शून्यक अनुक्रिया का आकार बदलता है, उसकी परिबद्धता नहीं: वह निकाय को अ-न्यूनतम-कला बनाता है, जिसका प्रसिद्ध लक्षण यह है कि पद-अनुक्रिया पहले गलत दिशा में चलती है और फिर मुड़ती है। उस शून्यक को स्थायित्व का संकट मानना मानक भ्रम है।