सतत व विविक्त काल संकेत: फूरिए, प्रतिचयन, z-रूपांतर तथा फिल्टर
2π में आवर्ती है, जो प्रतिचयन की आवृत्ति-प्रांत छाया है। DFT वह है जिसे संगणक वस्तुतः गणित कर सकता है: N नमूने भीतर, N संख्याएँ बाहर, f_s/N के विभेदन सहित तथा एक अपस्रवण-दंड सहित जब भी संकेत खिड़की में पूर्ण संख्या के चक्र न बिठाए। z-रूपांतर अनुक्रमों के लिए वही है जो लाप्लास फलनों के लिए है, और वह एक अतिरिक्त सूचना वहन करता है जो अभ्यर्थियों को प्रत्येक वर्ष गिराती है — अभिसरण क्षेत्र, जिसके बिना वही बीजगणितीय व्यंजक दो सर्वथा भिन्न संकेतों का वर्णन करता है, एक कारणिक व अस्थायी, दूसरा अ-कारणिक व स्थायी। अध्याय फिल्टर अभिकल्प पर बंद होता है, जहाँ दोनों कुल स्वच्छ रूप से बँटते हैं: FIR फिल्टर ठीक रैखिक कला वाले बनाए जा सकते हैं और सदा स्थायी हैं, IIR फिल्टर दी गई परिमाण विशिष्टि कहीं कम गुणांकों से पूरी करते हैं और रैखिक कला वाले नहीं हो सकते, और यह जानना कि प्रश्न किस अदल-बदल की परीक्षा ले रहा है, उत्तर का अधिकांश है।फूरिए श्रेणी: सममिति उत्तर पहले बता देती है
T आवर्त का आवर्ती संकेत f_0 = 1/T के हरात्मकों का योग है: त्रिकोणमितीय रूप में x(t) = a_0 + Σ [a_n cos(nω_0 t) + b_n sin(nω_0 t)], तथा उस चरघातांकी रूप में जिसका आगे सब कुछ प्रयोग करता है, x(t) = Σ c_n e^(jnω_0 t), जिसमें c_n = (1/T)∫_T x(t)e^(-jnω_0 t) dt। समाकल परीक्षणीय हैं किंतु विरले ही मुख्य बात; परीक्षणीय व शीघ्र वह है जो कुछ भी समाकलित करने से पूर्व तरंगरूप से संरचना पढ़ लेना है, क्योंकि तीन सममितियाँ प्रत्येक आधा श्रम मिटा देती हैं:
- सम सममिति,
x(-t) = x(t): सभीb_n = 0, अतः श्रेणी केवल कोसाइन है और प्रत्येकc_nवास्तविक है। - विषम सममिति,
x(-t) = -x(t): सभीa_n = 0, माध्य सहित, अतः श्रेणी केवल साइन है और प्रत्येकc_nशुद्ध काल्पनिक है। - अर्ध-तरंग सममिति,
x(t + T/2) = -x(t): सभी सम हरात्मक लुप्त हो जाते हैं, DC पद सहित, तरंगरूप के विषय में और जो कुछ भी सत्य हो।
+1 व -1 के बीच बदलता वर्ग तरंग वे तीनों गुणधर्म रखता है जो महत्वपूर्ण हैं — शून्य माध्य, विषम, तथा अर्ध-तरंग सममित — अतः एक भी समाकल गणित करने से पूर्व आप जानते हैं कि उत्तर में केवल विषम साइन हरात्मक हैं। समाकल करने पर विषम n हेतु आयाम 4/(nπ) मिलते हैं: मूल हेतु 1.273, तृतीय हेतु 0.424, पंचम हेतु 0.255, सप्तम हेतु 0.182। क्षय केवल 1/n है, जो मंद है, और उस मंदता का नाम लेने योग्य कारण है: तरंगरूप में विच्छिन्नता 1/n आवरण हेतु बाध्य करती है। कोने चिकने करें और हरात्मक तीव्रता से गिरते हैं; त्रिभुजाकार तरंग, जो सतत है किंतु मुड़ी प्रवणता रखती है, 1/n² की भाँति क्षय होती है। अतः आप अपरिचित तरंगरूप की हरात्मक अंतर्वस्तु का आकलन इससे कर सकते हैं कि आवेग प्रकट होने से पूर्व आपको उसे कितनी बार अवकलित करना पड़ता है।
1 है क्योंकि x² = 1 सर्वत्र। A_n = 4/(nπ) आयाम का प्रत्येक हरात्मक A_n²/2 = 8/(n²π²) शक्ति वहन करता है, अतः कुल (8/π²) Σ_(n विषम) 1/n² है, और चूँकि Σ_(n विषम) 1/n² = π²/8, योग ठीक 1 है ✓। अब आंशिक योग पढ़ें, जहाँ अंतर्दृष्टि है। अकेला मूल 8/π² = 0.8106 वहन करता है, अतः वर्ग तरंग की शक्ति का 81.1 प्रतिशत एक ही साइन तरंग में बैठा है। तृतीय जोड़ने पर वह 90.1 प्रतिशत, पंचम पर 93.3, सप्तम पर 94.96 हो जाता है। चार पद, और आपके पास ऐसे तरंगरूप की शक्ति का 95 प्रतिशत है जिसे औपचारिक रूप से अनंत पद चाहिए। किंतु अब शक्ति के बजाय आकृति देखें: चार-पद सन्निकटन में प्रत्येक कोर के निकट अब भी दृश्य लहर है, और पद जोड़ना उस लहर को उसकी ऊँचाई घटाए बिना संकीर्ण करता है — गिब्स परिघटना, लगभग 9 प्रतिशत का अतिक्रमण जो किसी भी परिमित पद-संख्या पर कभी नहीं जाता। दो पाठ, और वे विपरीत दिशाओं में खींचते हैं, और ठीक इसीलिए दोनों परीक्षित होते हैं। यदि आपको शक्ति की चिंता हो — तापन अवयव, RMS मापी, शक्ति-गुणक गणना — तो थोड़े से हरात्मक पर्याप्त हैं, और इसीलिए हरात्मक विकृति कुल शक्ति के प्रतिशत के रूप में उद्धृत होती है। यदि आपको आकृति की चिंता हो — घड़ी की कोर, स्पंद, आँकड़ा प्रतीक — तो पुच्छ अत्यधिक महत्वपूर्ण है, और वर्ग तरंग का स्पेक्ट्रम काटना ठीक वही है जो बैंड-सीमित चैनल अंकीय संकेत के साथ करता है, और वहीं से अंतर-प्रतीक व्यतिकरण आता है।फूरिए रूपांतर: काल व आवृत्ति की व्युत्क्रमता
आवर्ती संकेत के आवर्त को अपरिबद्ध रूप से बढ़ने दें और हरात्मक तब तक निकट आते हैं जब तक विविक्त स्पेक्ट्रम सतत न बन जाए। वही सीमा फूरिए रूपांतर है, X(f) = ∫ x(t)e^(-j2πft) dt, प्रतिलोम x(t) = ∫ X(f)e^(j2πft) df सहित। परीक्षा में उसके गुणधर्म समाकल से अधिक उपयोगी हैं, क्योंकि अधिकांश प्रश्न किसी रूपांतर-युग्म को पहचानकर और उस पर एक गुणधर्म लगाकर हल होते हैं। काल विस्थापन रूपांतर को e^(-j2πf t_0) से गुणित करता है, केवल कला बदलता है और |X(f)| अछूता छोड़ देता है — और इसीलिए विलंबित संकेत का वही परिमाण स्पेक्ट्रम होता है तथा इसीलिए परिमाण स्पेक्ट्रम आपको समय के विषय में नहीं बता सकते। a से काल अनुमापन आवृत्ति अक्ष को 1/a से तथा आयाम को 1/|a| से अनुमापित करता है। काल में संवलन आवृत्ति में गुणन है, और विपरीत, जो सम्पूर्ण खंड में सर्वाधिक प्रयुक्त गुणधर्म है: वह फिल्टर को समाकल से गुणनफल बना देता है। और द्वैत कहता है कि प्रत्येक युग्म दोनों दिशाओं में चलता है, अतः आयत का रूपांतर sinc है और sinc का रूपांतर आयत।
τ = 1 ms अवधि का आयताकार स्पंद लें। उसका रूपांतर X(f) = τ sinc(fτ) = τ sin(πfτ)/(πfτ) है, जिसका DC पर मान τ = 1 ms है — स्पंद का क्षेत्रफल, जैसा होना ही चाहिए, क्योंकि X(0) = ∫x(t)dt — तथा जिसका प्रथम शून्य f = 1/τ = 1 kHz पर है, मुख्य पालि -1 kHz से +1 kHz तक चलती हुई। अब स्पंद को 0.5 ms तक छोटा करें और प्रथम शून्य 2 kHz तक बाहर चला जाता है: अवधि आधी करना बैंडचौड़ाई दोगुनी कर देता है, यथातथ। कोई तरंगरूप, कोई चतुर कोडन व कोई फिल्टर इससे बच नहीं सकता, क्योंकि यह रूपांतर का गुणधर्म है, स्पंद का नहीं: काल-विस्तार व बैंडचौड़ाई का गुणनफल नीचे से परिबद्ध है। इसे उस प्रकार सोचें जैसे संगीतकार सोचता है। लंबे समय तक धारण किया एक ही आघातित स्वर निश्चित तारत्व रखता है, और आप उसका नाम ले सकते हैं। वही स्वर कुछ मिलीसेकंड तक काटा जाए तो टिक बन जाता है, और आप उसे जितना छोटा करेंगे उतना ही वह किसी तारत्व जैसा कम लगेगा — ऊर्जा स्पेक्ट्रम भर फैल गई है क्योंकि आवृत्ति स्थापित करने हेतु अब पर्याप्त समय नहीं है। वही कथन sinc शून्य के बाहर जाने के समान है, और वही कारण है कि रेडार अभिकल्पक परास विभेदन को प्रेषक बैंडचौड़ाई के सम्मुख अदल-बदल करते हैं, कि 1 Gbit/s संबंध को कम-से-कम सैकड़ों मेगाहर्ट्ज चैनल चाहिए, और कि तीव्र तर्क-कोर विकिरण करती है: 1 ns उत्थान काल की 300 MHz से आगे भी सार्थक अंतर्वस्तु है, अभिकल्पक ने उसे वहाँ चाहा हो अथवा नहीं। दो संबंधित तथ्य उसी सिद्धांत पर बैठते हैं। आवेग का रूपांतर सभी आवृत्तियों पर समतल है, जो अदल-बदल का चरम है — शून्य अवधि, अनंत बैंडचौड़ाई — और ठीक इसीलिए आवेग अनुक्रिया LTI तंत्र को पूर्णतः अभिलक्षित करती है: आवेग एक साथ प्रत्येक आवृत्ति की जाँच करता है। और शुद्ध ज्यावक्र, जिसकी अवधि अनंत है, ±f_0 पर शून्य चौड़ाई के आवेग-युग्म में रूपांतरित होता है, विपरीत चरम।न्यक्विस्ट प्रतिचयन: प्रतिकृति, तथा एलियस स्थायी क्यों है
T_s = 1/f_s अंतराल पर सतत संकेत का प्रतिचयन, गणितीय रूप से, आवेग-श्रेणी से गुणन है। काल में गुणन आवृत्ति में संवलन है, और आवेग-श्रेणी का रूपांतर दूसरी आवेग-श्रेणी है, अतः प्रतिचयित संकेत का स्पेक्ट्रम f_s के प्रत्येक गुणज पर प्रतिकृत मूल स्पेक्ट्रम है। उस एक वाक्य में सम्पूर्ण प्रमेय है। यदि मूल संकेत f_m तक बैंड-सीमित हो और f_s > 2f_m, तो प्रतिकृतियाँ अतिव्यापी नहीं होतीं, f_s/2 कटऑफ का आदर्श निम्न-पारक फिल्टर मूल को यथातथ पुनः प्राप्त कर लेता है, और कुछ नहीं खोया। यदि f_s < 2f_m, तो प्रतिकृतियाँ अतिव्यापी होती हैं, अतिव्यापी भाग जुड़ जाते हैं, और योग को पृथक् नहीं किया जा सकता। न्यक्विस्ट दर 2f_m है; न्यक्विस्ट आवृत्ति f_s/2 है, और उन दो नामों को मिला देना अन्यथा सही गणना पर अंक खोने का विश्वसनीय मार्ग है।
x(t) = 3cos(2π·1000t) + 2cos(2π·3000t) + cos(2π·5000t)। उच्चतम आवृत्ति 5 kHz है अतः न्यक्विस्ट दर 10 kHz है, और हम जानबूझकर 8 kHz पर प्रतिचयन करेंगे। प्रत्येक घटक को f_alias = |f - k f_s| से मोड़ें, वह k चुनते हुए जो परिणाम को [0, f_s/2] में उतारे। 1 kHz 1 kHz पर रहता है। 3 kHz 3 kHz पर रहता है। 5 kHz |5000 - 8000| = 3000 Hz बन जाता है — वह ठीक सच्चे 3 kHz घटक के ऊपर उतरता है। और वह केवल निकट नहीं उतरता, वह अभेद्य बन जाता है, जिसे आप नमूना-दर-नमूना सत्यापित कर सकते हैं: 5 kHz स्वर के नमूने cos(2π·5n/8) हैं, और चूँकि 5/8 = 1 - 3/8, वह cos(2πn - 2π·3n/8) = cos(2π·3n/8) के बराबर है, अर्थात् 3 kHz स्वर के नमूने, पद-दर-पद। अतः आदर्श 4 kHz निम्न-पारक से पुनर्रचना के पश्चात् आपको 3cos(2π·1000t) + 3cos(2π·3000t) मिलता है — 3 kHz घटक आयाम 2 से आयाम 3 तक बढ़ गया है, और 5 kHz घटक लुप्त हो गया है। अब वह भाग जो महत्वपूर्ण है। प्रतिचयन के पश्चात् लगाया कोई भी फिल्टर इसे पलट नहीं सकता, क्योंकि पृथक् करने को कुछ बचा ही नहीं: दोनों घटकों ने समरूप नमूना-मान उत्पन्न किए, अतः उन्हें भेद करती सूचना प्रतिचयन के क्षण नष्ट हो गई और कहीं कूटबद्ध नहीं हुई। इसीलिए एलियस-रोधी फिल्टर प्रतिचयक से पूर्व आता है और वैकल्पिक नहीं है, तथा इसीलिए विशिष्टि सदा उसी क्रम में बैंड-सीमित करें, तत्पश्चात् प्रतिचयन पढ़ती है। उसी संकेत का इसके बजाय 12 kHz पर प्रतिचयन करें और तीनों घटक 1, 3 व 5 kHz पर अपरिवर्तित लौट आते हैं, क्योंकि 12 kHz 10 kHz की न्यक्विस्ट दर पार कर लेता है। उसी पृष्ठ पर एक और जाल, और वही कारण है कि प्रमेय कड़ाई से अधिक कहती है। sin(2π·1000t) का ठीक 2 kHz पर प्रतिचयन करें, अर्थात् स्वयं न्यक्विस्ट दर पर: प्रत्येक n हेतु नमूने sin(πn) = 0 हैं, अतः पूर्णतः भला ज्यावक्र शून्यों की माला में प्रतिचयित होता है और मौन के रूप में पुनर्रचित होता है। न्यक्विस्ट दर पर प्रतिचयन पर्याप्त नहीं; आपको उसे पार करना है, जिसका व्यवहार में अर्थ है रक्षक बैंड छोड़ना — ऑडियो CD 20 kHz तक बैंड-सीमित करते हैं और 44.1 kHz पर प्रतिचयन करते हैं, एलियस-रोधी फिल्टर को 2.05 kHz की संक्रमण चौड़ाई देते हुए जिसमें वह पारक-बैंड से रोधक-बैंड तक गिरे।पुनर्रचना प्रमेय का दूसरा अर्धांश है, और आदर्श नुस्खा x(t) = Σ x[n] sinc((t - nT_s)/T_s) है: प्रत्येक नमूने पर एकांक ऊँचाई का sinc फलन रखें, उस नमूने से अनुमापित, और उन्हें जोड़ दें। वह चलता है क्योंकि प्रत्येक sinc सभी अन्य नमूना-क्षणों पर शून्य है, अतः प्रत्येक नमूना यथातथ पुनरुत्पादित होता है जबकि sinc उनके बीच अंतर्वेशन करते हैं। वह अ-साध्य भी है, क्योंकि sinc दोनों दिशाओं में अनंत तक फैलता है और अतः संकेत का सम्पूर्ण भविष्य चाहता है। वास्तविक परिवर्तक इसके बजाय शून्य-कोटि धारण प्रयोग करते हैं — प्रत्येक नमूने को अगला आने तक अचर धारण करें — जो T_s चौड़ाई का आयत है और अतः sinc(fT_s) आवृत्ति अनुक्रिया रखता है। वह अनुक्रिया समतल नहीं है: f = f_s/4 पर वह 0.900 (-0.91 dB) तक गिर चुकी है और f = f_s/2 पर 2/π = 0.6366 तक, जो -3.92 dB है। अतः सादा ZOH अंकीय-से-अनुरूप परिवर्तक अपने ही बैंड के शीर्ष को लगभग 4 dB क्षीण कर देता है, और अतः कोई भी महत्वपूर्ण ऑडियो अथवा उपकरणन परिवर्तक उसके पश्चात् ऐसा sinc-प्रतिकर फिल्टर रखता है जो ठीक उसी अवनमन को निरसित करने हेतु बैंड भर चढ़ता है। GATE इसी प्रकार की संख्या सीधे पूछता है, और यह पहचानते ही एक पंक्ति का अंकगणित है कि धारण आयत के साथ संवलन है।
DTFT व DFT: 2π में आवर्ती, तथा संगणक वस्तुतः क्या कर सकता है
अनुक्रम का DTFT X(e^(jω)) = Σ x[n]e^(-jωn) है, सतत आवृत्ति चर ω का फलन जो रेडियन प्रति नमूना में मापा जाता है — और वह 2π में आवर्ती है, सदा, प्रत्येक अनुक्रम हेतु। वह आवर्तिता गणितीय कुतूहल नहीं है, वह आवृत्ति पक्ष से देखी गई एलियसिंग है: ω = 2π, f = f_s से संगत है, और f_s के गुणजों पर स्पेक्ट्रम की प्रतिकृति ठीक यही कथन है कि DTFT दोहराता है। अतः विविक्त-काल स्पेक्ट्रम की सम्पूर्ण सूचना-अंतर्वस्तु -π ≤ ω < π में निवास करती है, जिसमें ω = 0 DC है और ω = π उच्चतम निरूपणीय आवृत्ति, f_s/2। x[n] = (0.5)^n u[n] लें, जिसका DTFT 1/(1 - 0.5e^(-jω)) है। ω = 0 पर वह 2 है, ω = π/2 पर उसका परिमाण 0.894 है, और ω = π पर वह 2/3 = 0.667 है — मंद निम्न-पारक, जिसका DC-से-न्यक्विस्ट लब्धि अनुपात ठीक 3 है।
DTFT ω में सतत है और अतः संगणनीय नहीं। DFT उसे प्रतिचयन करके ठीक करता है: N नमूने दिए जाने पर, k = 0 से N-1 हेतु X[k] = Σ_(n=0)^(N-1) x[n] e^(-j2πkn/N)। N संख्याएँ भीतर, N संख्याएँ बाहर, और k-वाँ निर्गम आवृत्ति k f_s/N से संगत है, अतः बिन अंतराल — आवृत्ति विभेदन — f_s/N है और वह केवल इस पर निर्भर है कि आपने कितनी देर प्रेक्षण किया, कभी इस पर नहीं कि आपने कितनी तीव्रता से प्रतिचयन किया। चार-बिंदु उदाहरण पूरा करें, क्योंकि उसमें प्रत्येक गुणधर्म दृश्य है। N = 4 सहित x[n] = {1, 2, 3, 4} हेतु घूर्णन गुणक 1, -j, -1, j हैं और रूपांतर X = {10, -2 + j2, -2, -2 - j2} निकलता है। उससे तीन बातें पढ़ें। X[0] = 10 नमूनों का योग है, सदा। X[1] व X[3] सम्मिश्र संयुग्मी हैं, जैसा वास्तविक निवेश हेतु होना ही चाहिए — संयुग्मी सममिति का अर्थ है कि आधा निर्गम अनावश्यक है। और पार्सेवाल विविक्त रूप Σ|x[n]|² = (1/N)Σ|X[k]|² में टिकता है: यहाँ 1 + 4 + 9 + 16 = 30 तथा (100 + 8 + 4 + 8)/4 = 30 ✓।
cos(2π · 2000t) का f_s = 8 kHz पर प्रतिचयन करें और N = 8 बिंदु लें। बिन अंतराल 8000/8 = 1000 Hz है, अतः 2 kHz ठीक बिन 2 है — और DFT स्वच्छ है: X[2] = X[6] = 4 तथा प्रत्येक अन्य बिन ठीक शून्य है। पाठ्यपुस्तक का आलेख ऐसा ही दीखता है, और वह इसलिए होता है कि 8-नमूने की खिड़की में ठीक 2 पूर्ण चक्र हैं। अब स्वर को 2500 Hz में बदलें, जो उसी खिड़की में 2.5 चक्र रखता है। DFT परिमाण {1.00, 1.19, 2.80, 2.40, 1.00, 2.40, 2.80, 1.19} हो जाते हैं: कोई बिन शून्य नहीं, शिखर बिन 2 व 3 के बीच बँटा है, और कोई भी शिखर सही आयाम तक नहीं पहुँचता। अंकगणित में कुछ गलत नहीं हुआ। यह स्पेक्ट्रमी अपस्रवण है, और उसका कारण आत्मसात् करने योग्य एक तथ्य है: DFT अंतर्निहित रूप से मानता है कि N नमूने आवर्ती रूप से दोहराते हैं। सिरे-से-सिरे दोहराए ढाई चक्रों में जोड़ पर विच्छिन्नता है, और विच्छिन्नता की चौड़-बैंड अंतर्वस्तु होती है — वही 1/n पुच्छ जो वर्ग तरंग ने सिखाया। अतः अपस्रवण DFT का दोष नहीं है, वह DFT द्वारा उस आवर्ती संकेत का स्पेक्ट्रम सही बताना है जो आपने उसे अंतर्निहित रूप से दिया। दो उपचार, और वे भिन्न कार्य करते हैं। विंडोइंग — नमूनों को हैमिंग अथवा हान जैसे ऐसे क्षयक से गुणित करना जो दोनों सिरों पर चिकनाई से शून्य तक जाए — विच्छिन्नता हटा देता है और अतः शिखर से दूर अपस्रवण कहीं कम कर देता है, स्वयं शिखर को चौड़ा करने की लागत पर। अभिलेख लंबा करना विभेदन सुधारता है: उसी 8 kHz पर N = 16, 500 Hz के बिन देता है, अतः 2500 Hz ठीक बिन 5 पर उतरता है और अपस्रवण पूर्णतः लुप्त हो जाता है। ध्यान दें कि कौन-सा घुंडी क्या करती है, क्योंकि वह प्रिय परीक्षणीय भेद है: विभेदन f_s/N है और केवल प्रेक्षण काल से नियत होता है, अतः छोटे अभिलेख को लंबी रूपांतर-लंबाई तक शून्य-पूरित करना प्रदर्शन का अंतर्वेशन करता है और कोई भी नया विवरण प्रकट नहीं करता। और एक और बात स्पष्ट रखने योग्य: FFT भिन्न रूपांतर नहीं है, वह ऐसा कलनविधि है जो उसी DFT को O(N²) के बजाय O(N log N) संक्रियाओं में गणित करता है, अतः उसका प्रयोग करने पर ऊपर का कुछ नहीं बदलता।उस अंतर्निहित आवर्तिता का एक परिणाम अपने पृथक् अनुच्छेद योग्य है, क्योंकि वह वास्तविक कोड में सर्वाधिक सामान्य DFT दोष है और मानक GATE प्रश्न। दो DFT का गुणन साधारण संवलन से नहीं बल्कि वर्तुल संवलन से संगत है, जिसमें परिणाम का पुच्छ आरंभ पर लिपट जाता है। x = {1, 2} तथा h = {1, 1} लें। उनका रैखिक संवलन {1, 3, 2} है, 2 + 2 - 1 = 3 लंबाई का। उसे 2-बिंदु DFT से गणित करें और आपको {3, 3} मिलता है — पिछला 2 सूचकांक 0 पर लिपट गया है, 1 + 2 = 3 देते हुए। N = 3 प्रयोग करें और आपको {1, 3, 2} मिलता है, सही; N = 4 प्रयोग करें और आपको {1, 3, 2, 0} मिलता है, एक पूरक शून्य सहित सही। अतः नियम सरलतः N ≥ L_x + L_h - 1 है, जो रूपांतरण से पूर्व दोनों अनुक्रमों को शून्य-पूरित करके प्राप्त होता है, और इसी कारण तीव्र संवलन नित्यक्रम दो की अगली घात तक पूरण करते हैं।
z-रूपांतर: अभिसरण क्षेत्र वैकल्पिक क्यों नहीं है
z-रूपांतर X(z) = Σ x[n]z^(-n) अनुक्रमों के लिए वही है जो लाप्लास रूपांतर फलनों के लिए है: वह अंतर समीकरणों को बीजगणित बना देता है, विलंबों को z^(-1) से गुणन, और संवलन को गुणन। z = e^(jω) रखना — एकांक वृत्त पर मूल्यांकन — DTFT पुनः दे देता है, ठीक जैसे s = jω रखना H(s) से आवृत्ति अनुक्रिया देता था। दोनों तलों के बीच का प्रतिचित्रण ध्यान में रखने योग्य है: s तल का वाम अर्धांश एकांक वृत्त के भीतर प्रतिचित्रित होता है, काल्पनिक अक्ष स्वयं वृत्त पर, और दक्षिण अर्धांश बाहर। अतः प्रत्येक स्थायित्व-कथन एक ही प्रतिस्थापन से स्थानांतरित हो जाता है, और कारणिक विविक्त तंत्र ठीक तब स्थायी है जब उसके सभी ध्रुव कड़ाई से एकांक वृत्त के भीतर हों।
x[n] = 2^n u[n] का z-रूपांतर गणित करें, अर्थात् बढ़ती कारणिक चरघातांकी। गुणोत्तर श्रेणी Σ (2/z)^n केवल |z| > 2 हेतु अभिसरित होती है, और 1/(1 - 2z^(-1)) = z/(z - 2) में जुड़ती है। अब x[n] = -2^n u[-n-1] का z-रूपांतर गणित करें, अ-कारणिक अनुक्रम जो काल में पीछे जाने पर बढ़ता है। योग ऋणात्मक n पर चलता है, केवल |z| < 2 हेतु अभिसरित होता है, और ठीक वही व्यंजक z/(z - 2) देता है। दो सर्वथा भिन्न संकेत, एक बीजगणितीय सूत्र। उन्हें भेद करती एकमात्र वस्तु अभिसरण क्षेत्र है, और इसीलिए z-रूपांतर उसके बिना पूर्णतः विशिष्ट नहीं होता। परिणाम ही परीक्षणीय भाग हैं। प्रथम संकेत कारणिक किंतु अस्थायी है: उसका ROC |z| > 2 एकांक वृत्त को बाहर रखता है, अतः उसका DTFT विद्यमान नहीं और परिबद्ध निवेश अपरिबद्ध निर्गम उत्पन्न कर सकता है। द्वितीय स्थायी किंतु अ-कारणिक है: उसका ROC |z| < 2 एकांक वृत्त समाविष्ट करता है, अतः उसका पूर्णतः भला DTFT है, और वह भिन्न कारण से सजीव काल में अ-साध्य है — उसे भावी निवेश चाहिए। तीन नियम इसे निर्णय-प्रक्रिया बना देते हैं। कारणिक अनुक्रम का ROC सर्वबाह्य ध्रुव के बाहर का क्षेत्र है; अ-कारणिक अनुक्रम का ROC सर्वांतर ध्रुव के भीतर; और अनुक्रम स्थायी है यदि और केवल यदि उसका ROC एकांक वृत्त |z| = 1 समाविष्ट करे। अंतिम दो को साथ रखें और आपको परिचित पाठ्यपुस्तक कसौटी विशेष स्थिति के रूप में मिल जाती है: कारणिक तंत्र हेतु सर्वबाह्य ध्रुव के बाहर के ROC को |z| = 1 समाविष्ट करना ही होगा, जो प्रत्येक ध्रुव को |p| < 1 संतुष्ट करने हेतु बाध्य करता है। किंतु देखें कि सामान्य कथन आपको वह देता है जो विशेष स्थिति नहीं देती। |z| = 2 पर ध्रुव कारणिक तंत्र हेतु घातक है और अ-कारणिक हेतु पूर्णतः स्वीकार्य, तथा द्वि-पार्श्व अनुक्रम के ध्रुव भीतर व बाहर दोनों हो सकते हैं और वह तब भी स्थायी हो सकता है, बशर्ते उनके बीच का वलयाकार ROC एकांक वृत्त पर फैला हो। GATE इसे इस रूप में पूछता है — *H(z) व ROC दिए जाने पर, तंत्र कारणिक है, स्थायी है, दोनों है अथवा कोई नहीं* — चार खाने, और उन्हें भरने वाली एकमात्र वस्तु ROC है।दो कार्य-अश्व युग्म अधिकांश z-रूपांतर प्रश्नों को आवृत करते हैं। ROC |z| > |a| सहित a^n u[n] ↔ z/(z - a), तथा n a^n u[n] ↔ az/(z - a)², जहाँ से पुनरावृत्त ध्रुव आते हैं। प्रतिलोमन आंशिक भिन्नों तथा सारणी से होता है, ठीक जैसे लाप्लास में, एक अतिरिक्त आदत सहित: जब अंतर समीकरण चाहिए तब H(z) को z^(-1) की घातों में लिखें और जब ध्रुव चाहिए तब z की घातों में, क्योंकि दोनों रूप एक-दूसरे की सूचना छिपाते हैं। H(z) = z/(z - 0.5), 1/(1 - 0.5z^(-1)) है, जो सीधे y[n] = 0.5y[n-1] + x[n] पढ़ता है, एक-गुणा एक-योग की पुनरावृत्ति जिसकी आवेग अनुक्रिया 0.5^n u[n] है, जिसका योग 2 है और अतः स्थायी — और 0.5 पर उसका एकल ध्रुव सुखपूर्वक एकांक वृत्त के भीतर है, वही बात दूसरी रीति से कहते हुए।
FIR व IIR फिल्टर अभिकल्प: दो भिन्न सौदे
अंकीय फिल्टर एक अंतर समीकरण है, और पाठ्यक्रम अभिकल्प-समस्या उसी प्रकार बाँटता है जैसे कार्यान्वयन बँटते हैं। FIR फिल्टर की आवेग अनुक्रिया परिमित है और उसमें कोई पुनर्भरण नहीं: y[n] = Σ_(k=0)^(M) b_k x[n-k]। मूल-बिंदु के अतिरिक्त उसके कोई ध्रुव नहीं, अतः वह अप्रतिबंधित रूप से स्थायी है — आप बुरे गुणांक चुनकर FIR फिल्टर को अस्थायी नहीं बना सकते — और यदि उसके गुणांक सममित हों तो उसकी ठीक रैखिक कला होती है। IIR फिल्टर निर्गम को वापस खिलाता है: y[n] = Σ b_k x[n-k] - Σ a_k y[n-k]। उसके सच्चे ध्रुव हैं, अतः उसका स्थायित्व जाँचना पड़ता है, उसकी रैखिक कला नहीं हो सकती (ध्रुवों वाले रैखिक-कला कारणिक फिल्टर को एकांक वृत्त के बाहर दर्पण-प्रतिबिंब ध्रुव चाहिए होगा), और बदले में वह दी गई परिमाण विशिष्टि कहीं कम गुणांकों से पूरी करता है — प्रायः एक कोटि कम।
मानक FIR मार्ग विंडोइंग है। आदर्श फिल्टर से आरंभ करें, उसका प्रतिलोम DTFT लें, और काट दें। ω_c कटऑफ वाले आदर्श निम्न-पारक हेतु आदर्श आवेग अनुक्रिया h_d[n] = sin(ω_c n)/(πn) है, h_d[0] = ω_c/π सहित, एक sinc जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैलता है और अतः न कारणिक है न परिमित। ω_c = π/4 पर उसके केंद्रीय मान h_d[0] = 0.2500, h_d[±1] = 0.2251, h_d[±2] = 0.1592, h_d[±3] = 0.0750, h_d[±4] = 0 तथा h_d[±5] = -0.0450 हैं। उनमें से सममित खिड़की रखें, कारणिक बनाने हेतु विस्थापित करें, और आपके पास रैखिक-कला FIR फिल्टर है। किंतु अकस्मात् काटना आयताकार विंडो से गुणन है, और आयत का वही 1/n स्पेक्ट्रमी पुच्छ पुनः है, अतः परिणाम में लगभग -21 dB का शिखर रोधक-बैंड लहर है जो फिल्टर लंबा करने पर सुधरता नहीं — लंबा करना संक्रमण बैंड संकीर्ण करता है और लहर की ऊँचाई अछूती छोड़ देता है, जो नई पोशाक में गिब्स परिघटना का पुनः प्रकट होना है। उपचार विंडो को क्षयित करना है।
| विंडो | मुख्य पालि चौड़ाई | शिखर पार्श्व पालि | न्यूनतम रोधक-बैंड क्षीणन |
|---|---|---|---|
| आयताकार | 4π/M | −13 dB | −21 dB |
| हानिंग | 8π/M | −31 dB | −44 dB |
| हैमिंग | 8π/M | −41 dB | −53 dB |
| ब्लैकमैन | 12π/M | −57 dB | −74 dB |
उस सारणी को एक वाक्य की भाँति पढ़ें: प्रत्येक विंडो संक्रमण बैंड चौड़ा करके रोधक-बैंड क्षीणन खरीदता है, और दोनों पाने का एकमात्र मार्ग लंबा फिल्टर है। आयताकार संकीर्णतम संक्रमण व निकृष्टतम लहर देता है; ब्लैकमैन 74 dB क्षीणन देता है और तीन गुनी चौड़ी मुख्य पालि से चुकाता है। ध्यान देने योग्य दूसरी बात यह है कि कौन-से रैखिक-कला FIR प्रकार कौन-सा कार्य कर सकते हैं। विषम लंबाई का सममित फिल्टर (प्रकार I) निम्न-पारक, उच्च-पारक, बैंड-पारक अथवा बैंड-रोधक साध सकता है; सम लंबाई का सममित फिल्टर (प्रकार II) z = -1 पर, अर्थात् ω = π पर, शून्यक रखने हेतु बाध्य है, अतः वह उच्च-पारक नहीं हो सकता। और स्वयं रैखिक कला की लागत (M - 1)/2 नमूनों का विलंब है: f_s = 8 kHz पर 21-टैप फिल्टर सब कुछ 10 नमूनों से विलंबित करता है, जो 1.25 ms है — ऑडियो पथ में नियत, अहानिकर पश्चगमन और पुनर्भरण नियंत्रण लूप में अयोग्य ठहराने वाला।
h[n] = T h_a(nT), जो अनुक्रिया की आकृति संरक्षित रखती है किंतु एलियस करती है: अनुरूप प्रतिरूप का पुच्छ f_s/2 पर वापस मुड़ जाता है, अतः वह विधि उच्च-पारक अथवा बैंड-रोधक हेतु अनुपयोज्य है, जिनकी अनुक्रियाएँ कभी क्षय नहीं होतीं। द्विरैखिक रूपांतर s = (2/T)(z-1)/(z+1) प्रतिस्थापित करता है, जो सम्पूर्ण jω अक्ष को एकांक वृत्त पर ठीक एक बार प्रतिचित्रित करता है। कुछ भी एलियस नहीं होता, कभी — किंतु प्रतिचित्रण अरैखिक है, ω_अनुरूप = (2/T)tan(ω_अंकीय/2), अतः आवृत्ति अक्ष विकृत होता है, f_s/2 के निकट आते-आते उत्तरोत्तर संपीडित। परिणाम पर संख्याएँ रखें। मानें f_s = 8 kHz और आप 1 kHz पर अंकीय कटऑफ चाहते हैं, अर्थात् ω_d = 2π(1000)/8000 = π/4 = 0.7854 rad/नमूना। अनुरूप प्रतिरूप को भोलेपन से 1 kHz पर अभिकल्पित करें और उसे रूपांतरित करें, और आपको वस्तुतः जो कटऑफ मिलता है वह ω_d = 2 arctan(ω_a T/2) = 2 arctan(0.3927) = 0.7484 rad है, अर्थात् 953 Hz — 4.7 प्रतिशत कम, और कटऑफ न्यक्विस्ट के निकट आते-आते त्रुटि बढ़ती है। सुधार एक पंक्ति का है, कुछ भी अभिकल्पित करने से पूर्व किया गया: विशिष्टि की पूर्व-विकृति करें, ω_a = (2/T)tan(ω_d/2) = 16000 tan(π/8) = 6627.4 rad/s, जो 1054.8 Hz है। अनुरूप प्रतिरूप 1054.8 Hz हेतु अभिकल्पित करें, उसे रूपांतरित करें, और अंकीय कटऑफ ठीक 1000 Hz पर उतरता है। ध्यान दें कि नियतांक 2/T पूरी यात्रा से पूर्णतः निरसित हो जाता है, और इसीलिए कुछ ग्रंथ T = 1 अथवा T = 2 रखते हैं और कुछ नहीं बदलता — विकृति केवल आवृत्ति व प्रतिचयन दर के अनुपात पर निर्भर है। तैयार रखने योग्य दो समापन तुलनाएँ। दी गई परिमाण विशिष्टि हेतु IIR फिल्टर को समतुल्य FIR से प्रायः पाँच से दस गुना कम गुणांक चाहिए, जो छोटे सूक्ष्म-नियंत्रक पर निर्णायक है। किंतु FIR अप्रतिबंधित रूप से स्थायी है, उसकी ठीक रैखिक कला है, वह गुणांक क्वांटीकरण के प्रति असंवेदी है, और वह स्वयं दोलन नहीं कर सकता — और वे चार गुणधर्म ही कारण हैं कि ऑडियो क्रॉसओवर, प्रतिबिंब फिल्टर अथवा कोई भी अनुप्रयोग जहाँ तरंगरूप की आकृति महत्वपूर्ण हो, लागत के बावजूद सामान्यतः FIR पर ही समाप्त होता है।मुख्य बिंदु
- सममिति फूरिए श्रेणी के प्रश्न का उत्तर आपके समाकलन से पूर्व दे देती है। सम का अर्थ केवल कोसाइन, विषम का अर्थ केवल साइन, अर्ध-तरंग सममिति प्रत्येक सम हरात्मक मार देती है। विच्छिन्नता
1/nआवरण हेतु बाध्य करती है, अतः वर्ग तरंग की शक्ति का 81 प्रतिशत मूल में है और 95 प्रतिशत चार पदों में — जबकि आकृति को तब भी सम्पूर्ण पुच्छ चाहिए। - काल में संकीर्ण आवृत्ति में चौड़ा है, बिना अपवाद: 1 ms स्पंद का प्रथम स्पेक्ट्रमी शून्य 1 kHz पर है और 0.5 ms स्पंद का 2 kHz पर। वही एक व्युत्क्रमता आवेग के समतल स्पेक्ट्रम, ज्यावक्र की शून्य चौड़ाई, तथा तीव्र कोरों के विकिरण को स्पष्ट कर देती है।
- प्रतिचयन
f_sके प्रत्येक गुणज पर स्पेक्ट्रम की प्रतिकृति बनाता है, अतः एलियस ऐसा शोर नहीं जिसे आप छान सकें — 1, 3 व 5 kHz का 8 kHz पर प्रतिचयन 5 kHz स्वर को 3 kHz वाले के समरूप बना देता है, नमूना-दर-नमूना, और 2 V घटक 3 V के रूप में पुनर्रचित होता है। पहले बैंड-सीमित करें, तत्पश्चात् प्रतिचयन, और2f_mकड़ाई से पार करें: अपनी आवृत्ति के ठीक दुगुने पर प्रतिचयित साइन सभी शून्य पढ़ सकता है। - शून्य-कोटि धारण वाला DAC एक आयत है, अतः उसकी अनुक्रिया
sinc(fT_s)है:f_s/2पर −3.92 dB का अवनमन, और इसीलिए वास्तविक परिवर्तक धारण के पश्चात् ऐसे आदर्श अंतर्वेशक के बजाय, जिसे कोई बना नहीं सकता, sinc-प्रतिकर फिल्टर रखते हैं। - DFT मानता है कि उसके
Nनमूने दोहराते हैं। खिड़की में दो पूर्ण चक्र एक स्वच्छ बिन देते हैं; 2.5 चक्र प्रत्येक बिन में अपस्रवित होते हैं। विभेदनf_s/Nहै और केवल प्रेक्षण काल से नियत है, अतः विंडोइंग अपस्रवण दबाता है और अभिलेख लंबा करना विभेदन सुधारता है — शून्य-पूरण कोई भी नहीं करता। DFT का गुणन वर्तुल संवलन देता है, अतःN ≥ L_x + L_h - 1तक पूरण करें। z/(z - 2)कारणिक अस्थायी संकेत तथा अ-कारणिक स्थायी संकेत दोनों है; कौन-सा, यह केवल ROC तय करता है। कारणिक का अर्थ सर्वबाह्य ध्रुव के बाहर ROC, अ-कारणिक का अर्थ सर्वांतर के भीतर, और स्थायी का अर्थ ROC में|z| = 1सम्मिलित। परिचित सभी ध्रुव एकांक वृत्त के भीतर केवल कारणिक तंत्र पर लगाए वे तीन नियम हैं।- FIR अप्रतिबंधित रूप से स्थायी है और ठीक रैखिक कला वाला हो सकता है,
(M-1)/2नमूनों के विलंब व अनेक गुणांकों की कीमत पर; IIR वही परिमाण विशिष्टि पाँच से दस गुना कम से पूरी करता है और कभी रैखिक कला वाला नहीं हो सकता। विंडोइंग रोधक-बैंड गहराई को संक्रमण चौड़ाई के सम्मुख अदल-बदल करता है — आयताकार −21 dB, हैमिंग −53 dB, ब्लैकमैन −74 dB। और द्विरैखिक रूपांतर से IIR फिल्टर अभिकल्पित करने से पूर्व पूर्व-विकृति करें:f_s = 8 kHzपर 1 kHz चाहना और प्रतिरूप 1 kHz पर अभिकल्पित करना आपको 953 Hz पर उतारता है, जबकि16000 tan(π/8) = 6627 rad/s = 1054.8 Hzपर अभिकल्पित करना ठीक 1 kHz पर उतारता है। आवेग अपरिवर्तिता कुछ विकृत नहीं करती किंतु एलियस करती है, अतः वह उच्च-पारक नहीं बना सकती।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक आवर्ती वोल्टता का कुल RMS मान 10 V है। उसका DC घटक 6 V है और उसके मूल हार्मोनिक का RMS मान 6 V है। मूल से ऊपर के सभी हार्मोनिकों का संयुक्त RMS मान कितना है?
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उत्तर: A — 5.29 V
किसी आवर्ती तरंगरूप के हार्मोनिक परस्पर लंबकोणीय होते हैं, अतः उनके माध्य-वर्ग मान जुड़ते हैं यद्यपि उनके आयाम नहीं जुड़ते। कुल माध्य-वर्ग 100 लेने पर DC पद 36 तथा मूल 36 देता है, जिससे ऊपर के सब हेतु 100 - 36 - 36 = 28 बचता है, जिसका RMS मान 28 का वर्गमूल = 5.29 V है। उत्तर 4.00 V RMS मानों को सीधे घटाने, 10 - 6, से आता है, जो केवल तभी वैध होता जब घटक समकला में जुड़ते; वे नहीं जुड़ते, और वही प्रमेय का सम्पूर्ण सार है। आँकड़ा 8.00 V 100 - 36 का वर्गमूल है और यह भूल जाता है कि मूल हार्मोनिक भी हटाना है।एक परिमित-ऊर्जा संकेत को संचरित करने से पूर्व एक नियत समय से विलंबित किया जाता है। उसके फूरिये रूपांतर के साथ क्या होता है?
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उत्तर: C — केवल उसकी कला बदलती है, जिसमें आवृत्ति में रैखिक एक पद जुड़ता है, जबकि परिमाण अछूता रहता है
किसी संकेत को t0 से विलंबित करना उसके फूरिये रूपांतर को exp(-j·2·pi·f·t0) से गुणा करता है, जो इकाई परिमाण का गुणक है, अतः परिमाण स्पेक्ट्रम अपरिवर्तित रहता है और कला में आवृत्ति के समानुपाती एक पद जुड़ता है। इसीलिए केवल परिमाण स्पेक्ट्रम कभी समय-निर्धारण नहीं बता सकता, और इसीलिए स्पेक्ट्रम विश्लेषक पर समरूप दीखते दो संकेत सर्वथा भिन्न क्षणों पर आ सकते हैं। यह विचार कि कुछ भी नहीं बदलता, उसी के लिए लुभावना है जो केवल अपरिवर्तित परिमाण आलेख से तर्क करता है, किंतु रैखिक कला पद ही वह स्थान है जहाँ विलंब अंकित होता है।एक 2.5 kHz ज्यावक्र को 20 kHz पर प्रतिचयित किया जाता है और प्रतिदर्शों का 32-बिंदु असतत फूरिये रूपांतर लिया जाता है। स्वर किस बिन पर गिरता है, और क्या रूपांतर रिसाव से मुक्त है?
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उत्तर: B — बिन 4, तथा रूपांतर रिसाव से मुक्त है क्योंकि खिड़की में चक्रों की पूर्ण संख्या समाती है
बिन अंतराल प्रतिचयन दर बटा रूपांतर लंबाई है, 20000/32 = 625 Hz, अतः 2500 Hz ठीक 2500/625 = बिन 4 पर गिरता है, और उसका संयुग्मी बिन 28 पर। रिसाव प्रकट होगा या नहीं यह दूसरी जाँच पर निर्भर है: अभिलेख में 32 गुणा 2500/20000 = 4 पूर्ण चक्र समाते हैं, अतः खिड़की को सिरे से सिरे तक दोहराने पर कोई असांतत्य नहीं बनता और प्रत्येक अन्य बिन ठीक शून्य है। बिन 8 तब आता है जब 312.5 Hz के अंतराल से भाग दिया जाए, अर्थात् दुगुनी रूपांतर लंबाई प्रयोग की जाए। यह मान्यता कि रूपांतर सदा रिसता है, यह चूक जाती है कि रिसाव उस आवर्ती विस्तार का सही स्पेक्ट्रम है जिसे रूपांतर अंतर्निहित रूप से मान लेता है।अनुक्रम x = {1, 2, 3} तथा h = {1, 1} को तीन-बिंदु असतत फूरिये रूपांतरों से रूपांतरित किया जाता है, रूपांतरों को बिंदु-दर-बिंदु गुणा किया जाता है, और गुणनफल का व्युत्क्रम रूपांतर लिया जाता है। कौन-सा अनुक्रम निकलता है?
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उत्तर: D — {4, 3, 5}
लंबाई N के रूपांतरों को गुणा करने से वृत्तीय संवलन मिलता है, साधारण नहीं। {1, 2, 3} का {1, 1} से रैखिक संवलन {1, 3, 5, 3} है, लंबाई 3 + 2 - 1 = 4, जो तीन बिंदुओं में नहीं समाएगा, अतः पिछला 3 लपेटकर सूचकांक 0 पर आता है और वहाँ पहले से मौजूद 1 में जुड़ जाता है, जिससे {4, 3, 5} मिलता है। {1, 3, 5, 3} बताना रैखिक परिणाम लौटाने की लुभावनी भूल है, जो बिंदु-दर-बिंदु गुणन तभी देता जब रूपांतर लंबाई कम से कम 4 होती; रूपांतरण से पूर्व दोनों अनुक्रमों को N = 4 तक शून्य-पूरित करना ही उसका उपचार है।एक z-रूपांतर के ध्रुव z = 0.5 तथा z = 2 पर हैं, और उसका अभिसरण क्षेत्र वलय 0.5 < |z| < 2 है। वह जिस अनुक्रम को निरूपित करता है उसके विषय में क्या कहा जा सकता है?
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उत्तर: A — वह द्विपक्षीय तथा BIBO स्थायी है, किंतु कारणात्मक नहीं
तीन नियम इसे तय करते हैं। कारणात्मक अनुक्रम का अभिसरण क्षेत्र बाहरतम ध्रुव के बाहर होता है, जो यहाँ |z| > 2 होता; प्रति-कारणात्मक का भीतरतम ध्रुव के भीतर, |z| < 0.5। दो ध्रुवों के बीच स्थित वलय किसी का नहीं और अतः द्विपक्षीय अनुक्रम का है। स्थायित्व अलग से तय होती है: क्षेत्र में इकाई वृत्त |z| = 1 समाया है, अतः असतत-काल फूरिये रूपांतर विद्यमान है और अनुक्रम निरपेक्षतः योग्य है। यह उत्तर कि वह कारणात्मक तथा स्थायी है, केवल 0.5 वाले ध्रुव को पढ़कर और सुपरिचित सभी-ध्रुव-भीतर नियम लगाकर मिलता है, जो इन तीन नियमों की कारणात्मक अनुक्रम हेतु विशेष स्थिति है।एक कारणात्मक असतत-काल फिल्टर अंतर समीकरण y[n] = 0.6·y[n-1] + x[n] - x[n-1] का पालन करता है। उच्चतम निरूपणीय आवृत्ति, omega = pi रेडियन प्रति प्रतिदर्श, पर उसकी आवृत्ति अनुक्रिया का परिमाण कितना है?
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उत्तर: D — 1.25
पहले पुनरावृत्ति को अंतरण फलन के रूप में लिखें: पद एकत्र करने पर H(z) = (1 - z का व्युत्क्रम)/(1 - 0.6 z का व्युत्क्रम)। omega = pi पर इकाई वृत्त पर मूल्यांकन का अर्थ है z = -1, अतः z का व्युत्क्रम -1 और H = (1 + 1)/(1 + 0.6) = 2/1.6 = 1.25। मान 0.00 शून्य आवृत्ति पर अनुक्रिया है, जहाँ z = 1 पर अंश का शून्यक निर्गम पूर्णतः मिटा देता है, और वह उस व्यक्ति हेतु लुभावना उत्तर है जो आदतवश z = 1 रख देता है; वही शून्यक इसे निम्न-पारक के बजाय उच्च-पारक बनाता है। आँकड़ा 0.80 सही उत्तर का व्युत्क्रम है।दो कोज्यावक्र, एक 1.8 kHz पर तथा एक 8.2 kHz पर, प्रत्येक को उसी आदर्श प्रतिचयक द्वारा 10 kHz पर प्रतिचयित किया जाता है। दोनों प्रतिदर्श अनुक्रमों का परस्पर क्या संबंध है?
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उत्तर: B — वे समरूप हैं, प्रतिदर्श-दर-प्रतिदर्श
ऊँचे स्वर के प्रतिदर्श cos(2·pi·8200·n/10000) लिखें। चूँकि 8200/10000 = 1 - 1800/10000, यह cos(2·pi·n - 2·pi·1800·n/10000) है, और कोज्या सम तथा 2·pi आवर्ती है, अतः वह पद-दर-पद cos(2·pi·1800·n/10000) के बराबर है। अतः दोनों अनुक्रम वही संख्याएँ हैं, और प्रतिचयक के बाद लगाया कोई फिल्टर उन्हें अलग नहीं कर सकता, क्योंकि जो सूचना उन्हें अलग करती थी वह प्रतिचयन के क्षण नष्ट हो गई। यह मान लेना कि वे असंबंधित हैं क्योंकि 8.2 kHz, 10 kHz प्रतिचयन दर से कम है, प्रसिद्ध त्रुटि है: महत्वपूर्ण यह है कि स्वर दर के आधे से कम है या नहीं।एक अभिकल्पक को किसी ऐसे निम्न-पारक फिल्टर हेतु, जो छोटे प्रोसेसर पर चलेगा, अ-पुनरावर्ती तथा पुनरावर्ती संरचना के बीच चुनना है। उस चयन से जुड़े निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — ऐसा कारणात्मक फिल्टर जिसकी परिमित आवेग अनुक्रिया अपने केंद्र के परितः सममित हो, यथातथ रैखिक कला रखता है; B — परिमित आवेग अनुक्रिया वाले फिल्टर को उसके गुणांकों के किसी भी चयन से अस्थायी नहीं बनाया जा सकता
गुणांक सममिति के कारण आवृत्ति अनुक्रिया एक वास्तविक फलन गुणा शुद्ध विलंब पद बन जाती है, जो यथातथ रैखिक कला है, और उस विलंब की लागत फिल्टर लंबाई की आधी प्रतिदर्श संख्या है। अ-पुनरावर्ती फिल्टर का मूल-बिंदु से दूर कोई ध्रुव नहीं होता, अतः गुणांकों का कोई चयन किसी ध्रुव को इकाई वृत्त के बाहर नहीं ले जा सकता और वह बिना शर्त स्थायी है। गुणांक संख्या वाला दावा उलटा है: पुनरावर्ती अभिकल्प उसी परिमाण मुखौटे को कहीं कम गुणांकों से पूरा करता है। प्रतिचयन दर के आधे पर मुड़ना आवेग-अपरिवर्तिता का दोष है; द्विरैखिक रूपांतर सम्पूर्ण काल्पनिक अक्ष को इकाई वृत्त पर एक ही बार मानचित्रित करता है और कुछ भी उपनामित नहीं करता।