परिपथ विश्लेषण तथा ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था
N नोडों हेतु N - 1 समीकरण चाहिए और उसे वोल्टता स्रोत प्रिय हैं, क्योंकि जिस स्रोत का एक सिरा संदर्भ नोड पर हो वह एक अज्ञात सर्वथा मिटा देता है। मेश विश्लेषण को B - N + 1 समीकरण चाहिए और उसे धारा स्रोत प्रिय हैं, ठीक विपरीत कारण से। कुछ भी लिखने से पूर्व दोनों गिनें, क्योंकि वही गिनती सम्पूर्ण निर्णय है और उसमें दस सेकंड लगते हैं। इसके ऊपर चार प्रमेय बैठती हैं जिन पर GATE प्रत्येक वर्ष लौटता है। अध्यारोपण आपको स्रोत एक-एक कर चालू करने देता है — और शक्ति पर वह सर्वथा काम करने से मना कर देता है, क्योंकि शक्ति अनुक्रिया में द्विघातीय है और द्विघातीय फलन जुड़ते नहीं। थेवेनिन व नॉर्टन किसी भी रैखिक बक्से को एक स्रोत व एक प्रतिबाधा में समेट देते हैं, और दोनों तक सुरक्षित मार्ग V_oc तथा I_sc है, क्योंकि वही मार्ग आश्रित स्रोतों के सम्मुख टिकता है जबकि स्रोतों को मारकर प्रतिरोध जोड़ना नहीं टिकता। व्युत्क्रमता कहती है कि निष्क्रिय जाल यह बता नहीं सकता कि आप उसे किस ओर से चला रहे हैं: स्रोत व धारामापी की अदल-बदल कर दें और पाठ्यांक नहीं बदलता, यद्यपि परिपथ के विषय में और कुछ भी सममित नहीं। तत्पश्चात् अध्याय स्रोतों को चालू करके चालू ही छोड़ देता है। ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था में प्रत्येक अवकलज jω से गुणन बन जाता है, अवकल समीकरण बीजगणित बन जाते हैं, और परिपथ सम्मिश्र संख्याओं का भाग बन जाता है। सम्मिश्र शक्ति S = V I* उस P में विभाजित होती है जो वस्तुओं को तपाती है और उस Q में जो केवल आगे-पीछे छलकती है, और वही विभाजन शक्ति गुणक मापता है। अधिकतम शक्ति अंतरण अध्याय को खंड के सर्वाधिक गलत उद्धृत परिणाम से बंद करता है: भार को स्रोत प्रतिबाधा का संयुग्मी होना चाहिए, उसकी प्रतिलिपि नहीं, और दोनों का अंतर उपलब्ध शक्ति का 36 प्रतिशत है।नोड व मेश विश्लेषण: गणना से पूर्व गिनें
दोनों विधियाँ वही दो नियम हैं, विपरीत क्रम में लगाए गए। नोड विश्लेषण नोड वोल्टताओं को अज्ञात मानता है और उनमें से प्रत्येक पर KCL लिखता है, प्रत्येक शाखा धारा को नोड वोल्टताओं के अंतर में बदलने हेतु ओम के नियम का प्रयोग करते हुए। मेश विश्लेषण मेश धाराओं को अज्ञात मानता है और प्रत्येक मेश के परितः KVL लिखता है। N नोड व B शाखाओं वाले संबद्ध जाल हेतु नोड विश्लेषण N - 1 समीकरण देता है और मेश विश्लेषण B - N + 1, और वे दोनों संख्याएँ लगभग कभी समान नहीं होतीं — अतः किसी परिपथ के साथ पहला कार्य उन्हें गिनना है। तत्पश्चात् वे दो समायोजन लगाएँ जो वस्तुतः प्रतिस्पर्धा का निर्णय करते हैं। जिस आदर्श वोल्टता स्रोत का एक सिरा संदर्भ नोड पर हो वह एक नोड अज्ञात हटा देता है, क्योंकि वह नोड वोल्टता सरलतः ज्ञात है; यदि कोई भी सिरा संदर्भ पर न हो तो दोनों नोडों को सुपरनोड में मिला दें और युग्म के परितः एक KCL तथा स्रोत की स्वयं की वोल्टता प्रतिबंध लिखें। ठीक एक ही मेश से संबंधित आदर्श धारा स्रोत एक मेश अज्ञात हटा देता है, क्योंकि वह मेश धारा ज्ञात है; यदि वह दो मेशों में साझा हो तो सुपरमेश बनाएँ और युग्म के बाहर के परितः KVL लिखें।
नोड विश्लेषण को सिक्का उछालने के बजाय पूर्वनिर्धारित आदत बनाने का एक संरचनात्मक कारण भी है। मेश विश्लेषण हेतु परिपथ का समतलीय होना आवश्यक है — मेशों के अस्तित्व मात्र के लिए आपको उसे बिना काट-छाँट के खींच पाना चाहिए — जबकि नोड विश्लेषण किसी भी टोपोलॉजी पर चलता है, और इसीलिए जो भी परिपथ अनुरूपक आप कभी प्रयोग करेंगे वह भीतर से नोडल समीकरण ही हल करता है। अतः कार्य-नियम यह है: दोनों कुल गिनें, अज्ञात मिटाने वाले स्रोत घटाएँ, और छोटा लें; बराबरी पर नोड लें। शेष अनुशासन लेखांकन है। संदर्भ नोड एक बार नियत करें और उसे कभी न हटाएँ, सभी मेश धाराएँ एक ही घूर्णन दिशा में चुनें जिससे प्रतिरोध आव्यूह के विकर्णेतर पद ऋणात्मक निकलें और चिह्न-त्रुटि उभर आए, तथा एक भी समीकरण लिखने से पूर्व प्रत्येक अज्ञात पर नाम लगाएँ।
N = 4 नोड व B = 6 शाखाएँ, अतः नोड विश्लेषण तीन समीकरण चाहता है, भू-संबद्ध 12 V स्रोत हेतु एक कम, और मेश विश्लेषण 6 - 4 + 1 = 3 चाहता है, धारा स्रोत हेतु एक कम, जो एक ही मेश में बैठा है। दोनों प्रकार से दो समीकरण — वास्तविक बराबरी, अतः नोड लें। नोड 1 पर KCL देता है (V1 - 12)/4 + V1/12 + (V1 - V2)/2 = 0, जो 5V1 - 3V2 = 18 में साफ हो जाता है। नोड 2 पर KCL देता है (V2 - V1)/2 + V2/2 = 1, जो -V1 + 2V2 = 2 में साफ हो जाता है। हल करने पर V1 = 6 V तथा V2 = 4 V। अब वे दस सेकंड व्यय करें जो अधिकांश चूकें पकड़ लेते हैं: 4 Ω नोड 1 में (12 - 6)/4 = 1.5 A लाता है, 12 Ω 0.5 A दूर ले जाता है, 2 Ω सेतु नोड 2 की ओर (6 - 4)/2 = 1 A ले जाता है, और 1.5 = 0.5 + 1 ✓; नोड 2 पर सेतु से 1 A तथा स्रोत से 1 A आते हैं जबकि पार्श्व-पथ से 4/2 = 2 A निकलती है ✓। दोनों KCL यथातथ बंद होते हैं। वह जाँच वैकल्पिक शिष्टाचार नहीं है — नोडल समीकरण में चिह्न-त्रुटि पूर्णतः विश्वसनीय दीखता वोल्टता-युग्म देती है, और उसे उजागर करने वाली एकमात्र वस्तु धाराओं को वापस रखना है।| शाखा | आर-पार वोल्टता | धारा | शक्ति |
|---|---|---|---|
| 4 Ω, स्रोत से नोड 1 | 6 V | नोड 1 में 1.5 A | 9 W अवशोषित |
| 12 Ω, नोड 1 से संदर्भ | 6 V | संदर्भ की ओर 0.5 A | 3 W अवशोषित |
| 2 Ω सेतु, नोड 1 से नोड 2 | 2 V | नोड 2 की ओर 1 A | 2 W अवशोषित |
| 2 Ω, नोड 2 से संदर्भ | 4 V | संदर्भ की ओर 2 A | 8 W अवशोषित |
| 12 V स्रोत | 12 V | 1.5 A प्रदत्त | 18 W प्रदत्त |
| 1 A स्रोत | 4 V | 1 A प्रदत्त | 4 W प्रदत्त |
| कुल | योज्य नहीं | दोनों नोडों पर KCL बंद | 22 W भीतर = 22 W बाहर |
अंतिम पंक्ति पर ठहरना उचित है, क्योंकि वह दूसरी स्वतंत्र जाँच है और KCL से भिन्न है। टेलेजेन प्रमेय कहती है कि स्रोतों द्वारा प्रदत्त कुल शक्ति निष्क्रिय अवयवों द्वारा अवशोषित कुल के बराबर होती है, सदा, किरखॉफ नियमों का पालन करते किसी भी जाल में। यहाँ स्रोत 18 + 4 = 22 W देते हैं और चारों प्रतिरोध 9 + 3 + 2 + 8 = 22 W अवशोषित करते हैं। यदि आपकी नोड वोल्टताएँ KCL संतुष्ट करें किंतु शक्ति-संतुलन न करें तो आपने शक्तियों में अंकगणितीय त्रुटि की है; यदि दोनों में से कोई न संतुष्ट हो तो त्रुटि समीकरणों में है। भिन्न प्रकार से विफल होती दो सस्ती जाँचें एक महँगी जाँच से अधिक मूल्यवान हैं।
अध्यारोपण, तथा वह एक राशि जो अध्यारोपित होने से मना कर देती है
अध्यारोपण रैखिकता का परिणाम है और इससे अधिक कुछ नहीं। रैखिक अवयवों व स्वतंत्र स्रोतों के जाल में, सभी स्रोतों के एक साथ कार्य करने की अनुक्रिया प्रत्येक के अकेले कार्य करने की अनुक्रियाओं का योग है, अन्यों को निष्क्रिय करके — वोल्टता स्रोत लघुपथ से तथा धारा स्रोत विवृत परिपथ से प्रतिस्थापित, क्योंकि वे ही वे अवस्थाएँ हैं जिनमें प्रत्येक कुछ भी योगदान नहीं देता। दो शर्तें व एक प्रतिबंध। अवयव रैखिक होने चाहिए, अतः डायोड अथवा संतृप्त होते क्रोड वाला जाल परिधि से बाहर है। आश्रित स्रोत कभी निष्क्रिय नहीं किए जाते: वे निवेश नहीं हैं, वे जाल के वर्णन का भाग हैं, और किसी एक को बंद करना परिपथ को भिन्न परिपथ बना देता है। और जिस अनुक्रिया को आप अध्यारोपित करें वह स्वयं स्रोतों का रैखिक फलन होनी चाहिए — वोल्टता अथवा धारा, कभी शक्ति नहीं।
इसे द्वि-नोड जाल पर चलाएँ। केवल 12 V स्रोत के साथ धारा स्रोत विवृत परिपथ बन जाता है, नोड 2 केवल 2 Ω सेतु व 2 Ω पार्श्व-पथ देखता है, और उसी समीकरण-युग्म को दक्षिण पक्ष (3, 0) सहित हल करने पर V1 = 36/7 V तथा V2 = 18/7 V मिलते हैं। केवल 1 A स्रोत के साथ 12 V स्रोत लघुपथ बन जाता है, अतः 4 Ω अब नोड 1 से संदर्भ तक चलता है, और दक्षिण पक्ष (0, 1) देता है V1 = 6/7 V तथा V2 = 10/7 V। उन्हें जोड़ें: V1 = 36/7 + 6/7 = 42/7 = 6 V तथा V2 = 18/7 + 10/7 = 28/7 = 4 V, ठीक वही मान जो सम्पूर्ण परिपथ हल करने से मिले। ध्यान दें कि कोई भी आंशिक उत्तर पूर्ण संख्या नहीं है और योग है। अध्यारोपण भागों के विषय में कुछ भी सुनिश्चित नहीं करता, केवल कुल के विषय में — जो अभ्यर्थी सही आंशिक परिणाम सातवाँ-सातवाँ आने के कारण छोड़ देता है उसने सही विधि फेंक दी है।
V2 = 4 V, अतः P = V2²/R = 16/2 = 8 W। अब उस प्रकार करें जिस ओर अध्यारोपण आपको ललचाता है। केवल 12 V स्रोत उस प्रतिरोध के आर-पार 18/7 V रखता है, जिसका मूल्य (18/7)²/2 = 3.306 W है। केवल 1 A स्रोत उसके आर-पार 10/7 V रखता है, जिसका मूल्य (10/7)²/2 = 1.020 W है। उनका योग 4.327 W है, और सच्चा उत्तर 8 W — विधि ने शक्ति का 46 प्रतिशत खो दिया। कारण यथातथ है और स्मरण करने के बजाय देखने योग्य है। शक्ति v²/R है, और (a + b)² = a² + 2ab + b²: क्रॉस पद 2ab/R = 2(18/7)(10/7)/2 = 3.673 W ठीक वही है जिसे दोनों शक्तियों का अध्यारोपण फेंक देता है, और 3.306 + 1.020 + 3.673 = 8.000 ✓। अतः नियम का एक तीक्ष्ण रूप है। वोल्टता अथवा धारा को अध्यारोपित करें, तत्पश्चात् अंत में एक बार वर्ग करें। क्रॉस पद ऋणात्मक भी हो सकता है — यदि दोनों स्रोत शाखा को विपरीत दिशाओं में चलाएँ तो अध्यारोपित शक्तियाँ सत्य से बड़ी निकलती हैं, अतः आप त्रुटि को सुरक्षित न्यून-आकलन भी नहीं मान सकते। वही चेतावनी RMS मानों को आवृत करती है, और उसी बीजगणितीय कारण से: RMS मान वर्ग-योग में तभी जुड़ते हैं जब घटक लंबकोणीय हों, और एक ही आवृत्ति के दो ज्यावक्र लंबकोणीय नहीं होते।GATE में अध्यारोपण का धनात्मक उपयोग विरले ही अंकगणितीय बचत है — वही परिपथ दो बार हल करना सामान्यतः एक बार हल करने से अधिक श्रम है। वह संरचनात्मक अंतर्दृष्टि है। वह एक दृष्टि में बता देता है कि अनुक्रिया स्रोत-मानों का भारित योग है, अतः जो प्रश्न आपको दो माप देकर तीसरा माँगे उसका उत्तर परिपथ विश्लेषण के बजाय रैखिक बीजगणित से मिलता है: यदि V = αV_s + βI_s हो और आप दो स्रोत-युग्मों हेतु V जानते हों, तो आप α व β जानते हैं और अतः प्रत्येक युग्म हेतु V। वही खंड में आगे के प्रत्येक परिणाम के नीचे भी है — अंतरण फलन, द्वि-पोर्ट आव्यूह, संवलन समाकल — और ये सभी दो निवेशों के बजाय निवेशों के सांतत्य पर लगाया गया अध्यारोपण हैं।
थेवेनिन व नॉर्टन: एक स्रोत, एक प्रतिरोध
किन्हीं भी दो सिरों से देखें तो स्रोतों व प्रतिरोधों का रैखिक जाल एक ही वोल्टता स्रोत V_th तथा उसके श्रेणीक्रम में एक ही प्रतिरोध R_th से अभेद्य होता है — वही थेवेनिन प्रमेय है — और समान रूप से R_N के समांतर एक ही धारा स्रोत I_N से अभेद्य, जो नॉर्टन की है। दोनों वही कथन हैं, V_th = I_N R_N तथा R_th = R_N से संबंधित, अतः किसी एक को खोजना आपको दूसरा निःशुल्क दे देता है। R_th तक तीन मार्ग विद्यमान हैं, और कब कौन वैध है यह जानना परीक्षणीय भाग है:
- निष्क्रिय करें व संयोजित करें। प्रत्येक स्वतंत्र वोल्टता स्रोत को लघुपथित करें, प्रत्येक स्वतंत्र धारा स्रोत को विवृत करें, और प्रतिरोध जाल को श्रेणी व समांतर से घटाएँ। शीघ्र, और वैध केवल तब जब कोई आश्रित स्रोत न हो।
- परीक्षण स्रोत लगाएँ। केवल स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय करें, पोर्ट को
1 V(अथवा1 A) से चलाएँ, परिणामी धारा (अथवा वोल्टता) खोजें, और अनुपात लें। आश्रित स्रोतों की उपस्थिति में भी चलता है। - विवृत परिपथ बटा लघुपथ।
R_th = V_oc / I_sc, प्रत्येक स्रोत ठीक जैसा है वैसा छोड़कर। तीनों में यह सर्वाधिक सुरक्षित मार्ग है, इसमें यह निर्णय नहीं करना पड़ता कि क्या बंद किया जा सकता है, और यह केवलI_sc = 0की विकृत स्थिति में विफल होता है।
यह सब द्वि-नोड जाल पर करें, नोड 2 पर भीतर देखते हुए, 2 Ω पार्श्व-पथ को भार मानकर हटाकर। विवृत परिपथ: वह प्रतिरोध हट जाने पर 1 A स्रोत के पास 2 Ω सेतु के अतिरिक्त कोई मार्ग नहीं, अतः नोड 1 12 V तक चढ़ जाता है, नोड 2 उससे 2 V ऊपर बैठता है, और V_th = 14 V। निष्क्रिय करें व संयोजित करें: 12 V स्रोत लघुपथित करें व 1 A स्रोत विवृत करें, और नोड 2 से आप 2 Ω सेतु को 4 ∥ 12 = 3 Ω के श्रेणीक्रम में देखते हैं, अतः R_th = 5 Ω। लघुपथ: नोड 2 को भू-संबद्ध करें और नोड 1 3.6 V पर गिर जाता है, सेतु से 1.8 A भेजते हुए, जिसमें स्रोत अपना 1 A जोड़ता है, अतः I_sc = 2.8 A। तीन स्वतंत्र गणनाएँ, और वे सहमत हैं: V_oc/I_sc = 14/2.8 = 5 Ω ✓। अंततः भार वापस रखें और मूल हल के सम्मुख जाँचें — 14 × 2/(2 + 5) = 4 V, जो ठीक वही V2 है जो हमें लंबे मार्ग से मिला था ✓। नॉर्टन रूप 5 Ω के समांतर I_N = 2.8 A है, और भार से 2.8 × 5/7 = 2 A, उसके आर-पार 4 V, पुनः वही।
a में चलाता है, जो पोर्ट है। नोड a से एक 4 kΩ प्रतिरोध संदर्भ तक जाता है। और 0.5 i मान का आश्रित धारा स्रोत नोड a से संदर्भ में धारा खींचता है, जहाँ i वह धारा है जो 10 V स्रोत से 2 kΩ के माध्यम से नोड a में बहती है। वोल्ट, मिलीऐम्पियर व किलो-ओम में कार्य करें ताकि दस की कोई घात प्रकट न हो। विवृत परिपथ: i = (10 - V_a)/2 तथा a पर KCL पढ़ता है i = V_a/4 + 0.5i, अतः 0.5i = V_a/4, जो (10 - V_a)/4 = V_a/4 देकर V_a = 5 V देता है। जाँचें: i = 2.5 mA, आश्रित स्रोत 1.25 mA लेता है, 4 kΩ 5/4 = 1.25 mA लेता है, और 2.5 = 1.25 + 1.25 ✓। अतः V_th = 5 V। लघुपथ: V_a = 0 सहित i = 5 mA मिलता है, 4 kΩ कुछ नहीं वहन करता, और लघुपथ में धारा 5 - 2.5 = 2.5 mA है। अतः R_th = 5/2.5 = 2 kΩ। इसे परीक्षण स्रोत से स्वतंत्रतः पुष्ट करें: 10 V को लघुपथित करें, पोर्ट पर V_a लगाएँ, और I_t = V_a/4 - 0.5i जिसमें i = -V_a/2, जो I_t = V_a/4 + V_a/4 = V_a/2 देता है, अतः पुनः R_th = 2 kΩ ✓। अब गलत मार्ग। दृष्टि में जो कुछ है सब मार दें, आश्रित स्रोत सहित, और आपको 2 ∥ 4 = 1.333 kΩ मिलता है — एक-तिहाई कम। आश्रित स्रोत उत्तेजन नहीं है; वह इसका वर्णन है कि यह परिपथ अपनी ही अवस्था के प्रति कैसे अनुक्रिया करता है, और उसे हटाना भिन्न परिपथ का वर्णन करता है। व्यावहारिक चुभन यह है कि गलत R_th गलत मेलित भार देता है: 2 kΩ के बजाय R_L = 1.333 kΩ चुनना उपलब्ध 3.125 mW के बजाय 3.00 mW देता है। केवल चार प्रतिशत खोया — और ठीक इसीलिए यह त्रुटि पाठ्य-कार्य में अनपकड़ी बची रहती है और उसकी सीधी परीक्षा ली जाती है।1.33 kΩ ठीक इसीलिए सूचीबद्ध करेगा कि वह सामान्य गलत विधि से उत्पन्न उत्तर है, अतः अधूरा स्मरण किया नुस्खा केवल अंक अर्जित करने में विफल नहीं होता, वह आपसे एक-तिहाई अंक ले भी लेता है। NAT रूप में रखा वही प्रश्न प्रयास करने योग्य है: आपका सर्वोत्तम मान रिक्त से निश्चित रूप से बेहतर है। और चूँकि MCQ का दंड मूल्य का ठीक एक-तिहाई है, चार विकल्पों में अंधा अनुमान ठीक शून्य पर मूल्यांकित है, अतः जो भी विकल्प आप निरसित कर सकें वह अनुमान को लेने योग्य बना देता है — और इस विषय हेतु उसका अर्थ सामान्यतः यह है कि कोई भी परिपथ-कार्य करने से पूर्व इकाई व परिमाण के आधार पर निरसन करें।व्युत्क्रमता: स्रोत व धारामापी की अदल-बदल करें
व्युत्क्रमता पाठ्यक्रम की न्यूनतम गणनात्मक प्रमेय है और वही सर्वाधिक बार स्वतःसिद्ध मानकर गलत पढ़ी जाती है। उसका कथन परिशुद्ध है: एकल स्वतंत्र स्रोत तथा किसी आश्रित स्रोत के बिना वाले रैखिक, निष्क्रिय, काल-अपरिवर्ती जाल में, यदि पोर्ट 1 पर वोल्टता स्रोत पोर्ट 2 पर लघुपथ धारा उत्पन्न करे, तो उसी वोल्टता स्रोत को पोर्ट 2 पर ले जाना पोर्ट 1 के आर-पार लघुपथ में वही धारा उत्पन्न करता है। उत्तेजन से अनुक्रिया का अनुपात — अंतरण प्रतिबाधा, ओम में — अदल-बदल से अपरिवर्तित रहता है। शर्तें ही वह स्थान हैं जहाँ अंक हैं। कोई भी आश्रित स्रोत व्युत्क्रमता नष्ट कर देता है, और इसीलिए ट्रांजिस्टर प्रवर्धक व्युत्क्रम नहीं है और इसीलिए विलगक अथवा परिचालक, जो दोनों अ-व्युत्क्रम चुंबकीय पदार्थों पर आश्रित हैं, अस्तित्व में हैं।
x तक चलता है; एक 6 Ω प्रतिरोध x से पोर्ट 2 तक; एक 12 Ω प्रतिरोध x से उभयनिष्ठ संदर्भ तक। दोनों पोर्ट उसी संदर्भ को लौटते हैं। पोर्ट 1 को 12 V से चलाएँ और पोर्ट 2 लघुपथित करें। पोर्ट 1 से भीतर देखने पर आप 4 Ω को 12 ∥ 6 = 4 Ω के श्रेणीक्रम में देखते हैं, अतः स्रोत 12/8 = 1.5 A देता है, आंतरिक नोड V_x = 1.5 × 4 = 6 V पर बैठता है, और 6 Ω से लघुपथ में धारा 6/6 = 1 A है। अब अदल-बदल करें: पोर्ट 2 को 12 V से चलाएँ और पोर्ट 1 लघुपथित करें। पोर्ट 2 से भीतर देखने पर आप 6 Ω को 12 ∥ 4 = 3 Ω के श्रेणीक्रम में देखते हैं, अतः स्रोत 12/9 = 1.333 A देता है, आंतरिक नोड V_x = 1.333 × 3 = 4 V पर बैठता है, और 4 Ω से लघुपथ में धारा 4/4 = 1 A है। समरूप। देखें कि क्या-क्या वही नहीं रहा: निवेश प्रतिरोध 8 Ω से 9 Ω हो गया, स्रोत धारा 1.5 A से 1.333 A, आंतरिक नोड वोल्टता 6 V से 4 V, और स्रोत से ली गई शक्ति 18 W से 16 W। इनमें से प्रत्येक बदल गया। अंतरण प्रतिबाधा, 12 V / 1 A = 12 Ω, वह एकमात्र राशि है जो नहीं बदली, और यह संयोग नहीं है कि 12 Ω पार्श्व-बाहु का मान है — T-जाल हेतु अंतरण प्रतिबाधा पार्श्व अवयव ही है। इसीलिए व्युत्क्रमता की परीक्षा गणना के बजाय एक-पंक्ति तर्क-प्रश्न के रूप में ली जाती है: आपको एक दिशा की अनुक्रिया दी जाती है और दूसरी दिशा की पूछी जाती है, और सही उत्तर वही संख्या है, जबकि भ्रामक विकल्प वे विश्वसनीय दीखते मान हैं जो आपको परिपथ पुनः हल करके और भूल से निवेश धारा अथवा नोड वोल्टता बता देने से मिलते।व्युत्क्रमता का दूसरा रूप भी है जो वही प्रमेय है, वोल्टता व धारा की भूमिकाएँ बदली हुई: पोर्ट 1 पर धारा स्रोत जो पोर्ट 2 पर विवृत-परिपथ वोल्टता उत्पन्न करे, पोर्ट 2 पर ले जाने पर पोर्ट 1 पर वही विवृत-परिपथ वोल्टता देता है। और इसका एक आव्यूह रूप भी है जिसका अगला अध्याय सीधे प्रयोग करेगा — व्युत्क्रम द्वि-पोर्ट z12 = z21 संतुष्ट करता है, समतुल्यतः y12 = y21, समतुल्यतः h12 = -h21, समतुल्यतः AD - BC = 1। ध्यान से देखें कि व्युत्क्रमता क्या दावा नहीं करती। वह यह नहीं कहती कि जाल सममित है: सममिति प्रबलतर शर्त z11 = z22 है, जिसका अर्थ है कि दोनों पोर्ट प्रत्येक दृष्टि से विनिमेय हैं, और ऊपर का T-जाल व्युत्क्रम है (z12 = z21 = 12 Ω) जबकि पूर्णतः असममित है (z11 = 16 Ω, z22 = 18 Ω)। प्रतिरोधों, प्रेरकों, संधारित्रों व आदर्श परिणामित्रों का प्रत्येक जाल व्युत्क्रम है; उनमें से थोड़े ही सममित हैं।
फेजर: कलन को बीजगणित में बदलना
ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था में रैखिक परिपथ की प्रत्येक वोल्टता व धारा स्रोत आवृत्ति पर ज्यावक्र होती है, केवल आयाम व कला में भिन्न। वही एक तथ्य फेजर विधि को सन्निकट के बजाय यथातथ बनाता है। v(t) = V_m cos(ωt + θ) को सम्मिश्र संख्या V = V_m∠θ से निरूपित करें (अथवा, जैसा शक्ति अभियांत्रिकी पसंद करती है, उसी कोण पर उसके RMS मान V_m/√2 से), और प्रत्येक अवकलन jω से गुणन बन जाता है। अतः v = L di/dt बनता है V = jωL · I, और i = C dv/dt बनता है I = jωC · V, और प्रतिरोधी परिपथ विश्लेषण का सम्पूर्ण साधन अपरिवर्तित स्थानांतरित हो जाता है: श्रेणी व समांतर संयोजन, नोड व मेश विश्लेषण, अध्यारोपण, थेवेनिन, नॉर्टन व व्युत्क्रमता सभी टिके रहते हैं, प्रतिरोध के स्थान पर सम्मिश्र प्रतिबाधा Z रखकर। अवकल समीकरण हल नहीं हुए हैं; उन्हें किनारे कर दिया गया है, क्योंकि स्थायी-अवस्था हल आरंभ में ही मान लिया गया था।
| अवयव | प्रतिबाधा Z | वोल्टता के सापेक्ष धारा | ω बढ़ने पर |
|---|---|---|---|
| प्रतिरोध R | R | समकला | कोई परिवर्तन नहीं |
| प्रेरकत्व L | jωL | 90° पश्चगामी | अधिक अवरोध |
| धारिता C | 1/(jωC) = -j/(ωC) | 90° अग्रगामी | कम अवरोध |
| श्रेणी R-L | R + jωL | arctan(ωL/R) से पश्चगामी | पश्चगमन 90° की ओर बढ़ता |
| श्रेणी R-C | R - j/(ωC) | arctan(1/ωRC) से अग्रगामी | अग्रगमन 0° की ओर गिरता |
दो आदतें फेजर कार्य को स्वच्छ रखती हैं। प्रथम, एक बार निर्णय करें कि आपके परिमाण शिखर हैं अथवा RMS और उन्हें कभी न मिलाएँ; शक्ति पर GATE के प्रश्न लगभग सदा RMS में होते हैं, और शक्ति के उत्तर में √2 का एक गुणक ग़लत जगह रखना 2 का गुणक है। द्वितीय, प्रतिबाधाओं को योग हेतु आयत रूप में तथा गुणा व भाग हेतु ध्रुवीय रूप में रखें, केवल तब बदलें जब संक्रिया माँगे। R = 8 Ω व X_L = 6 Ω का श्रेणी R-L भार स्रोत प्रतिबाधा जोड़ने के प्रयोजन हेतु Z = 8 + j6 Ω है, और उससे वोल्टता को भाग देने के प्रयोजन हेतु Z = 10∠36.87° Ω। दोनों वर्णन यथातथ हैं और सामान्यतः कोई भी वरीय नहीं; अंकगणित निर्णय करता है। V = 230∠0° V RMS से चालित होकर वह भार I = 230∠0°/10∠36.87° = 23∠-36.87° A खींचता है, 23 A की धारा जो वोल्टता से 36.87 अंश पश्चगामी है — और धारा का पश्चगामी होना विवरण नहीं है, वह अगले अनुभाग का सम्पूर्ण विषय है।
सम्मिश्र शक्ति: क्या तपाता है, क्या केवल छलकता है
RMS फेजर वोल्टता V पर फेजर धारा I वहन करते भार हेतु सम्मिश्र शक्ति S = V I* है — वोल्टता गुणा धारा का संयुग्मी, और संयुग्मी ही काल्पनिक भाग के चिह्न को अर्थ देता है। S = P + jQ लिखें। वास्तविक भाग P = |V||I| cos φ, वाट में, सक्रिय शक्ति है: वह औसत दर जिस पर ऊर्जा परिपथ छोड़ती है और लौटती नहीं। काल्पनिक भाग Q = |V||I| sin φ, प्रतिघाती वोल्ट-ऐम्पियर में, प्रतिघाती शक्ति है: वह ऊर्जा जो एक-चौथाई चक्र हेतु प्रतिघात में बहती है और सीधे बाहर लौट आती है, चक्र भर औसत में शून्य होते हुए भी घटित होते समय पूर्णतः वास्तविक। परिमाण |S| = |V||I|, वोल्ट-ऐम्पियर में, आभासी शक्ति है, और अनुपात P/|S| = cos φ शक्ति गुणक है, जिसे धारा पश्चगामी होने पर पश्चगामी (प्रेरकीय भार, Q > 0) तथा अग्रगामी होने पर अग्रगामी (धारितीय भार, Q < 0) कहा जाता है।
230 V RMS पर 8 + j6 Ω भार के साथ आगे बढ़ें। हमारे पास I = 23∠-36.87° A था, अतः S = 230 × 23∠+36.87° = 5290∠36.87° = 4232 + j3174 VA। उसे पढ़ें: P = 4232 W, Q = 3174 VAr प्रेरकीय, |S| = 5290 VA, शक्ति गुणक 4232/5290 = 0.8 पश्चगामी। तत्पश्चात् उसे दूसरे प्रकार से, अवयवों से जाँचें: P = |I|²R = 529 × 8 = 4232 W ✓ तथा Q = |I|²X = 529 × 6 = 3174 VAr ✓। दूसरा मार्ग ही विश्वास योग्य है, क्योंकि वह विषय की सर्वाधिक सामान्य चिह्न-त्रुटि से अछूता है — S = V I* के बजाय S = V*I लिखना, जो Q का चिह्न पलट देता है और पश्चगामी भार को अग्रगामी बना देता है।
4232 W भार प्रदाय से 23 A खींचता है। उसी 4232 W का प्रतिरोधी भार केवल 4232/230 = 18.4 A खींचता। अतिरिक्त 4.6 A कोई भी कार्य नहीं कर रही — वह प्रतिघात को आवेशित व निरावेशित कर रही है — और तब भी केबल, स्विचगियर व परिणामित्र सबको उसे वहन करना पड़ता है, और केबल पूरे I²R पर तपती है। शक्ति गुणक सुधार का सम्पूर्ण वाणिज्यिक हेतु वही है: भार के समांतर संधारित्र रखें, जिससे वह प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से दे और प्रदाय को न देनी पड़े। एकत्व तक पहुँचने हेतु आपको Q_C = 3174 VAr चाहिए, और चूँकि Q_C = ωCV², 50 Hz पर C = 3174/(2π × 50 × 230²) = 190.98 μF, कहें 191 μF। तत्पश्चात् दो बातें साथ घटित होती हैं। प्रदाय धारा 23 A से 18.4 A पर गिरती है, ठीक पुराने शक्ति गुणक 0.8 के गुणक से; और संचरण हानि, जो I² की भाँति चलती है, 0.8² = 0.64 गुणक से गिरती है, अर्थात् 36 प्रतिशत से। भार अब भी 4232 W खपत करता है और अब भी अपने ही सिरों से 23 A खींचता है — भार के विषय में कुछ नहीं बदला, केवल वह बदला जो प्रदाय देखता है। अब वह भाग जो वास्तविक अभिकल्पों का निर्णय करता है। केवल 0.9 तक सुधार हेतु Q_C = 3174 - 4232 tan(cos⁻¹ 0.9) = 3174 - 2050 = 1124 VAr चाहिए, जो 67.7 μF है। अतः 68 μF आपको 0.8 → 0.9 देता है, और शेष 123 μF आपको केवल 0.9 → 1.0 देता है: धारा में दसवें भाग के सुधार हेतु लगभग दुगुनी धारिता। कारण ज्यामितीय है — Q = P tan φ, और tan φ पहले धीरे और तत्पश्चात् φ → 0 होते हुए तीव्रता से ढहता है। ठीक इसीलिए विद्युत् प्रदाय की दर-सूचियाँ एकत्व के बजाय लगभग 0.9 से 0.95 का लक्ष्य शक्ति गुणक रखती हैं, और इसीलिए अग्रगामी शक्ति गुणक तक अति-सुधार वास्तविक संकट है: संधारित्र को यह ज्ञात नहीं होता कि भार बंद हो गया है।| लक्ष्य शक्ति गुणक | संधारित्र द्वारा दी गई Q | 50 Hz, 230 V पर C | प्रदाय धारा |
|---|---|---|---|
| 0.8, असुधारित | 0 VAr | कोई संधारित्र नहीं लगा | 23.0 A |
| 0.9 पश्चगामी | 1124 VAr | 67.7 μF | 20.4 A |
| 1.0, एकत्व | 3174 VAr | 191 μF | 18.4 A |
| एकत्व बनाम असुधारित हानि | वही 3174 VAr | वही 191 μF | 36% कम I²R |
अधिकतम शक्ति अंतरण: संयुग्मी, प्रतिलिपि नहीं
किसी भी रैखिक स्रोत का थेवेनिन तुल्य लें और पूछें कि कौन-सा भार उससे सर्वाधिक शक्ति निकालता है। V_th व R_th सहित DC अथवा शुद्ध प्रतिरोधी स्थिति हेतु R_L में शक्ति P = V_th² R_L/(R_L + R_th)² है; अवकलन करें और अधिकतम R_L = R_th पर बैठता है, जहाँ P_max = V_th²/(4R_th) तथा दक्षता ठीक 50 प्रतिशत है — आधी शक्ति स्रोत के भीतर जलती है। वही दक्षता-आँकड़ा इसका कारण है कि अधिकतम शक्ति अंतरण संकेत की कसौटी है और कभी शक्ति-प्रदाय की नहीं। रेडियो अभिग्राही का अग्र भाग मेलित होता है क्योंकि उसके पास काम करने हेतु माइक्रोवोल्ट हैं और उनमें से आधे खोना उसे सह्य नहीं; वितरण परिणामित्र सर्वथा मेलित नहीं होता, क्योंकि 50 प्रतिशत दक्षता पर चलता ग्रिड अकल्पनीय है।
पहले बनाए थेवेनिन तुल्य पर लौटें: R_th = 5 Ω के पीछे V_th = 14 V। सर्वोत्तम संभव भार 5 Ω है, जो P_max = 196/20 = 9.8 W देता है। मूल परिपथ में वास्तविक भार 2 Ω था, जो (14/7)² × 2 = 8 W देता था — 2.5 गुना छोटे भार से अधिकतम का 81.6 प्रतिशत। वही समतलता परिणाम का व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण गुणधर्म है, और उसका एक यथातथ व पर्याप्त सुंदर रूप है। R_L = k R_th लिखने पर उपलब्ध शक्ति का प्रदत्त अंश 4k/(1 + k)² है, जो k → 1/k के अंतर्गत अपरिवर्ती है। अतः 2.5 गुना कम होना व 2.5 गुना अधिक होना समान लागत रखते हैं: R_L = 2 Ω तथा R_L = 12.5 Ω दोनों इस स्रोत से ठीक 8 W देते हैं। किसी भी ओर दस का गुणक तब भी 33 प्रतिशत देता है। पाठ यह है कि मेलन का मूल्य मध्यम है, जबकि सममिति यथातथ है — और इसीलिए मेलन के प्रश्न सामान्यतः अनुकूलतम के अंकगणित के बजाय सही शर्त पहचानने के विषय में होते हैं।
Z_th = R_th + jX_th के पीछे स्रोत V_th सहित, अधिकतम शक्ति निकालने वाला भार सम्मिश्र संयुग्मी है, Z_L = Z_th* = R_th - jX_th। कारण स्मरण के बजाय एक पंक्ति के तर्क योग्य है: प्रतिघात निरसित हो जाते हैं, परिपथ 2R_th कुल प्रतिरोध सहित शुद्ध प्रतिरोधी बन जाता है, और स्रोत व भार के बीच व्यर्थ छलकती प्रतिघाती शक्ति समाप्त हो जाती है। तत्पश्चात् P_max = |V_th|²/(4R_th), ठीक वही DC सूत्र जिसमें केवल R_th है। उस पर संख्याएँ रखें। मानें Z_th = 8 + j6 Ω तथा V_th = 230 V RMS। संयुग्मी मेलन, Z_L = 8 - j6: कुल प्रतिबाधा शुद्ध वास्तविक 16 Ω है, I = 230/16 = 14.375 A, और P = 14.375² × 8 = 1653.1 W, जो 52900/32 से यथातथ मिलता है ✓। अब जाल। जो अभ्यर्थी प्रतिबाधा मेलित करें स्मरण रखकर Z_L = 8 + j6 रखता है — प्रतिलिपि, संयुग्मी नहीं — उसे कुल 16 + j12, परिमाण 20 Ω मिलता है, अतः I = 11.5 A और P = 11.5² × 8 = 1058 W। वह उपलब्ध शक्ति का 64 प्रतिशत है; एक चिह्न से 36 प्रतिशत फेंक दिया गया। और एक तीसरी स्थिति है जो GATE को प्रिय है, क्योंकि वह भौतिक रूप से यथार्थवादी है: यदि भार को शुद्ध प्रतिरोध R होने का प्रतिबंध हो, तो अनुकूलतम R_th नहीं बल्कि R = |Z_th| है, यहाँ 10 Ω, जो P = 230² × 10/(18² + 6²) = 529000/360 = 1469.4 W देता है, अर्थात् संयुग्मी-मेलित अधिकतम का 8/9। जाँचें कि R = 10 वस्तुतः R = 8 को हराता है: R = 8 पर P = 423200/292 = 1449.3 W, जो कम है ✓। अतः तीन शर्तें, तीन भिन्न उत्तर, और कौन-सी लागू होती है यह पूर्णतः इस पर निर्भर है कि भार को क्या होने की अनुमति है — कोई सूत्र उठाने से पूर्व प्रश्न में वह उपवाक्य पढ़ें।| भार | धारा | प्रदत्त शक्ति | अधिकतम का अंश |
|---|---|---|---|
8 - j6 Ω, अर्थात् संयुग्मी | 14.375 A | 1653.1 W | 1.000 |
10 Ω, सर्वोत्तम शुद्ध प्रतिरोध | 12.122 A | 1469.4 W | 0.889 |
8 Ω, R_th के बराबर शुद्ध प्रतिरोध | 13.460 A | 1449.3 W | 0.877 |
8 + j6 Ω, प्रतिलिपि और संयुग्मी नहीं | 11.500 A | 1058.0 W | 0.640 |
मुख्य बिंदु
- गणना से पूर्व गिनें। नोड विश्लेषण को
N - 1समीकरण चाहिए, मेश कोB - N + 1; भू-संबद्ध वोल्टता स्रोत एक नोड अज्ञात मिटाता है और एकल-मेश धारा स्रोत एक मेश अज्ञात। बराबरी पर नोड लें, क्योंकि मेश विश्लेषण को समतलीयता चाहिए और नोडल को नहीं। - वोल्टताओं व धाराओं को अध्यारोपित करें, तत्पश्चात् अंत में एक बार वर्ग करें। द्वि-नोड जाल में 2 Ω में सच्ची शक्ति 8 W है जबकि अध्यारोपित शक्तियाँ 4.33 W देती हैं — लुप्त 3.67 W क्रॉस पद
2ab/Rहै, और वह ऋणात्मक हो सकता है, अतः त्रुटि सुरक्षित सीमा भी नहीं। R_th = V_oc/I_scवह मार्ग है जो सदा चलता है। आश्रित स्रोत कभी निष्क्रिय न करें — 10 V, 2 kΩ, 4 kΩ उदाहरण में सच्चाR_th2 kΩ है जबकि आश्रित स्रोत मारने पर 1.33 kΩ मिलता है, और वही गलत मान ठीक वह है जो MCQ आपको देगा।- व्युत्क्रमता अंतरण प्रतिबाधा नियत करती है और कुछ नहीं। असंतुलित 4-6-12 Ω T-जाल में अदल-बदली चालन दोनों ओर वही 1 A देता है जबकि निवेश प्रतिरोध, स्रोत धारा, नोड वोल्टता व स्रोत शक्ति सब बदल जाते हैं। आश्रित स्रोत प्रकट होते ही वह विफल हो जाती है।
- ज्यावक्रीय स्थायी अवस्था में प्रत्येक अवकलज एक
jωहै, अतः प्रतिरोध प्रतिबाधा बन जाता है और प्रत्येक DC प्रमेय शब्दशः बची रहती है।Zको जोड़ने हेतु आयत व भाग देने हेतु ध्रुवीय रखें, और आरंभ से पूर्व शिखर-बनाम-RMS तय कर लें। S = V I*उसPमें विभाजित होती है जो तपाती है और उसQमें जो केवल छलकती है। 4232 W, 0.8 pf भार को एकत्व तक सुधारने में 191 μF लगते हैं और लाइन हानि 36 प्रतिशत घटती है — किंतु उसमें से 68 μF 0.9 तक पहुँचा देते हैं, और अंतिम 123 μF लगभग कुछ नहीं देते।- अधिकतम शक्ति हेतु
Z_L = Z_th*, अर्थात् संयुग्मी चाहिए। इसके बजायZ_thकी प्रतिलिपि बनाना केवल 64 प्रतिशत देता है; शुद्ध प्रतिरोध तक सीमित भार|Z_th|होना चाहिए,R_thनहीं। और चूँकि अंश4k/(1+k)²,k → 1/kके अंतर्गत अपरिवर्ती है, किसी भी ओर 2.5 गुना बेमेल होने की लागत ठीक समान है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक संबद्ध प्रतिरोधी जाल में 6 नोड तथा 9 शाखाएँ हैं। उसके तीन आदर्श स्वतंत्र वोल्टता स्रोतों में से प्रत्येक का एक सिरा संदर्भ नोड पर है, और एक आदर्श स्वतंत्र धारा स्रोत पूर्णतः एक ही मेश के भीतर स्थित है। इन स्रोतों से अज्ञात मिटा देने के पश्चात् किस विधि के पास कम अज्ञात बचते हैं, और कितने कम?
उत्तर देखें
उत्तर: C — नोड विश्लेषण, एक अज्ञात से
नोड विश्लेषण N - 1 = 6 - 1 = 5 समीकरणों से आरंभ होता है, और जिस आदर्श वोल्टता स्रोत का एक सिरा संदर्भ नोड पर हो वह उस नोड वोल्टता को सर्वथा ज्ञात कर देता है, अतः तीन स्रोत तीन अज्ञात हटाकर 2 छोड़ते हैं। मेश विश्लेषण B - N + 1 = 9 - 6 + 1 = 4 समीकरणों से आरंभ होता है, और एक ही मेश तक सीमित धारा स्रोत उस मेश धारा को नियत कर देता है, एक हटाकर 3 छोड़ता है। अतः नोड विश्लेषण एक अज्ञात से जीतता है। यह लुभावना उत्तर कि मेश विश्लेषण सस्ता है, केवल कच्ची गिनतियों 5 व 4 की तुलना करके वहीं रुक जाने से आता है, इससे पूर्व कि स्रोतों को कुछ मिटाने दिया जाए; वही मिटाव निर्णय पलट देते हैं।एक रैखिक प्रतिरोधी जाल एक स्वतंत्र वोल्टता स्रोत V_s तथा एक स्वतंत्र धारा स्रोत I_s से चलाया जाता है, और किसी विशेष शाखा के आर-पार वोल्टता v देखी जाती है। V_s = 10 V तथा I_s बंद होने पर v = 4 V। V_s बंद तथा I_s = 2 A होने पर v = 3 V। जब V_s = 25 V तथा I_s = 5 A एक साथ कार्य करें तो v कितना होगा?
उत्तर देखें
उत्तर: A — 17.5 V
रैखिकता के कारण v = a·V_s + b·I_s होना अनिवार्य है, जहाँ दोनों नियतांक केवल जाल से नियत होते हैं। पहले माप से 10a = 4, अतः a = 0.4 वोल्ट प्रति वोल्ट। दूसरे से 2b = 3, अतः b = 1.5 वोल्ट प्रति ऐम्पियर। तब v = 0.4(25) + 1.5(5) = 10 + 7.5 = 17.5 V। उत्तर 10.0 V तब मिलता है जब केवल वोल्टता स्रोत का योगदान लिया जाए और यह भूल जाएँ कि धारा स्रोत भी बढ़ा है, तथा 7.5 V उसी की दर्पण-त्रुटि है जिसमें केवल धारा स्रोत का पद रखा गया; प्रत्येक सही आंशिक अनुक्रिया है, और अध्यारोपण किसी अकेले भाग के विषय में कुछ भी सुनिश्चित नहीं करता — मापी गई वोल्टता दोनों भागों का योग ही है।एक लघु-संकेत मॉडल में एक आदर्श 9 V बैटरी 3 किलो-ओम के श्रेणीक्रम में बैठी है और यह युग्म सिरा a को चलाता है। एक 6 किलो-ओम प्रतिरोध सिरा a से नीचे भू तक बँधा है। एक नियंत्रित धारा स्रोत भू से सिरा a में 0.5i अंतःक्षेपित करता है, जहाँ i वह धारा है जिसे बैटरी 3 किलो-ओम के माध्यम से a की ओर धकेलती है। सिरा a तथा भू के बीच रखा एक प्रतिरोधी भार इस प्रकार चुना जाता है कि वह अधिकतम संभव शक्ति ले। वह कितनी शक्ति लेता है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 7.59 mW
वोल्ट, मिलीऐम्पियर व किलो-ओम में कार्य करें। पोर्ट विवृत होने पर i = (9 - Va)/3 तथा नोड a पर KCL पढ़ता है i + 0.5i = Va/6, अतः 1.5(9 - Va)/3 = Va/6, जो Va = 6.75 V देता है, वही V_oc है। पोर्ट लघुपथित करने पर Va = 0, अतः i = 3 mA और लघुपथ 1.5i = 4.5 mA वहन करता है, वही I_sc है। अतः R_th = 6.75/4.5 = 1.5 किलो-ओम और मेलित भार V_oc का वर्ग बटा 4R_th = 45.5625/6000 W = 7.59 mW लेता है। मान 5.70 mW तब मिलता है जब अभ्यर्थी 9 V स्रोत के साथ आश्रित स्रोत को भी निष्क्रिय कर दे और 3 को 6 के समांतर रखकर 2 किलो-ओम पा ले; आश्रित स्रोत जाल के वर्णन का भाग है और उसे बंद करना भिन्न परिपथ का वर्णन करता है।एक द्वि-पोर्ट जाल प्रतिरोधों, संधारित्रों, एक आदर्श परिणामित्र तथा एक वोल्टता-नियंत्रित धारा स्रोत से बना है। एक प्रयोगकर्ता पोर्ट 1 को वोल्टता स्रोत से चलाकर पोर्ट 2 पर लघुपथ धारा मापता है, तत्पश्चात् स्रोत व धारामापी की अदल-बदल करने पर भिन्न पाठ्यांक पाता है। इस परिवर्तन का कारण क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — वोल्टता-नियंत्रित धारा स्रोत: किसी भी प्रकार का आश्रित स्रोत व्युत्क्रमता नष्ट कर देता है
व्युत्क्रमता उसी रैखिक, निष्क्रिय, काल-अपरिवर्ती जाल हेतु सुनिश्चित है जिसमें कोई आश्रित स्रोत न हो, और यहाँ सूचीबद्ध प्रत्येक अवयव नियंत्रित स्रोत को छोड़कर उसे संतुष्ट करता है। प्रतिरोध, संधारित्र, प्रेरक व आदर्श परिणामित्र सभी व्युत्क्रम हैं, अतः संधारित्र व परिणामित्र निर्दोष हैं। यह विचार कि असममित जाल व्युत्क्रम नहीं हो सकता, सर्वाधिक लुभावना गलत उत्तर है और दो भिन्न शर्तें मिला देता है: सममिति z11 का z22 के बराबर होना है और उसका अर्थ है कि पोर्ट विनिमेय हैं, जबकि व्युत्क्रमता z12 का z21 के बराबर होना है और वह केवल यह कहती है कि अंतरण प्रतिबाधा दोनों ओर वही है।एक वोल्टता v(t) = 100 cos(500t + 30 डिग्री) वोल्ट एक 60 ohm प्रतिरोध तथा एक 0.16 H प्रेरक के श्रेणी संयोजन के आर-पार लगाई जाती है। स्थायी-अवस्था धारा का आयाम कितना है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — 1.00 A
प्रेरकीय प्रतिघात omega·L = 500 गुणा 0.16 = 80 ohm है, अतः प्रतिबाधा 60 + j80 ohm है जिसका परिमाण 3600 + 6400 का वर्गमूल = 100 ohm है। अतः धारा का आयाम 100/100 = 1.00 A है, जो वोल्टता से arctan(80/60) = 53.13 डिग्री पश्चगामी है। मान 0.714 A प्रतिरोध व प्रतिघात को अंकगणितीय रूप से जोड़कर 140 ohm पाने से आता है, जो नब्बे डिग्री के अंतर वाली दो राशियों को एक ही रेखा में मान लेता है; प्रतिरोध व प्रतिघात वर्ग-योग में जुड़ते हैं, साधारण योग से कभी नहीं। केवल 60 ohm लेने पर 1.67 A और केवल 80 ohm लेने पर 1.25 A मिलता है।एक एकल-कला भार 240 V RMS आपूर्ति से 0.6 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 12 A RMS लेता है। भार कितनी प्रतिघाती शक्ति अवशोषित करता है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 2304 VAr
आभासी शक्ति RMS वोल्टता व RMS धारा का गुणनफल है, 240 गुणा 12 = 2880 VA। 0.6 शक्ति गुणक पर कला कोण cos(phi) = 0.6 संतुष्ट करता है और अतः sin(phi) = 0.8, अतः प्रतिघाती शक्ति 2880 गुणा 0.8 = 2304 VAr है, और वह धनात्मक है क्योंकि धारा पश्चगामी है। आँकड़ा 1728 VAr सक्रिय शक्ति 2880 गुणा 0.6 है, जो भार को तपाती है न कि आगे-पीछे छलकती है, और उसे प्रतिघाती शक्ति बताना यहाँ की सर्वाधिक सामान्य चूक है। 2880 स्वयं आभासी शक्ति है, वोल्ट-ऐम्पियर में, और वह सम्मिश्र शक्ति का परिमाण है, उसके दोनों घटकों में से कोई नहीं।एक रैखिक स्रोत का थेवेनिन तुल्य 10 ohm के पीछे 40 V है। उससे 40 ohm का पूर्णतः प्रतिरोधी भार जोड़ा जाता है। यह स्रोत किसी भी प्रतिरोधी भार को जितनी अधिकतम शक्ति दे सकता है, उसका कितना अंश 40 ohm भार वस्तुतः प्राप्त करता है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — 0.64
अधिकतम शक्ति मेलित 10 ohm भार पर मिलती है और वह 40 का वर्ग बटा 4 गुणा 10 = 40 W है। 40 ohm भार के साथ धारा 40/(40 + 10) = 0.8 A है, अतः भार को 0.8 का वर्ग गुणा 40 = 25.6 W मिलते हैं, अर्थात् अंश 25.6/40 = 0.64। भार को स्रोत प्रतिरोध का k गुना लिखें तो अंश 4k/(1 + k) का वर्ग है, जो k = 4 पर 16/25 = 0.64 है और k के स्थान पर 1/4 रखने पर अपरिवर्तित रहता है। मान 0.80 धारा-विभाजक अनुपात 40/(40 + 10) है और वह शक्ति अनुपात है ही नहीं; शक्तियाँ उस अनुपात के वर्ग की तरह चलती हैं, अनुपात की तरह नहीं।एक जाल रैखिक प्रतिरोधों, कई स्वतंत्र स्रोतों तथा एक धारा-नियंत्रित वोल्टता स्रोत से बना है। निम्नलिखित में से कौन-सी प्रक्रियाएँ इस जाल हेतु सही परिणाम देती हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — किसी पोर्ट पर थेवेनिन प्रतिरोध को विवृत-परिपथ वोल्टता बटा लघुपथ धारा के रूप में प्राप्त करना; B — प्रत्येक स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने से उत्पन्न शाखा वोल्टताओं को जोड़ना, नियंत्रित स्रोत को सर्वत्र सक्रिय रखते हुए
विवृत-परिपथ बटा लघुपथ वाला मार्ग प्रत्येक स्रोत को ठीक जैसा है वैसा छोड़ता है, अतः वह नियंत्रित स्रोत के सम्मुख अछूता टिकता है और यहाँ सुरक्षित विधि है। वोल्टता अथवा धारा का अध्यारोपण रैखिकता का परिणाम है और तब तक वैध रहता है जब तक केवल स्वतंत्र स्रोत एक-एक कर चलाए जाएँ तथा नियंत्रित स्रोत सक्रिय रहे, क्योंकि वह जाल का वर्णन करता है, उसे उत्तेजित नहीं करता। प्रतिरोध जोड़ने से पूर्व स्रोतों को लघुपथित व विवृत करना केवल तभी वैध है जब कोई आश्रित स्रोत न हो, और वही नुस्खा यहाँ गलत प्रतिरोध लौटाता है। शक्तियों को जोड़ना किसी भी जाल हेतु गलत है, क्योंकि शक्ति अनुक्रिया में द्विघातीय है और क्रॉस पद 2ab/R फेंक दिया जाता है; वह पद किसी भी चिह्न का हो सकता है।