पदार्थ-यांत्रिकी: मुख्य प्रतिबल, बंकन, ऐंठन व बंकुचन
यह खंड 2 का सर्वाधिक भारी उप-मद है और वह भी जिसके सूत्र सर्वाधिक बार अपनी मान्यताओं के बिना स्मरण किए जाते हैं, और अंक ठीक इसी प्रकार खोते हैं। यहाँ सब कुछ एक विचार से बना है: भार प्रतिबल उत्पन्न करता है, प्रतिबल विकृति, और उनके बीच का अचर पदार्थ का गुणधर्म है, पुरज़े का नहीं। समदैशिक पदार्थ हेतु चारों प्रत्यास्थ अचरों में केवल दो स्वतंत्र हैं, अतः
E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν), और जो प्रश्न आपको उनमें तीन दे वह आँकड़े के बजाय जाँच दे रहा है। मुख्य प्रतिबल वही प्रतिबल-अवस्था घूर्णित अक्षों पर पढ़ी गई है — मोर वृत्त सन्निकटन नहीं बल्कि ठीक उसी बीजगणित का चित्र है, केंद्र (σ_x + σ_y)/2 व त्रिज्या √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²) सहित। बंकन σ = My/I देता है, जिसका उपयोगी रूप σ_max = M/Z है, Z = I/y_max सहित, और जाल बहुवचन में रहता है: जो अनुच्छेद अपने उदासीन अक्ष के परितः सममित नहीं, उसके दो भिन्न अनुच्छेद मापांक होते हैं, और लघुतर शासन करता है। ऐंठन वही समीकरण ध्रुवीय निर्देशांकों में है, τ = Tr/J, और उसका सर्वाधिक उपयोगी परिणाम यह है कि अक्ष के निकट का पदार्थ लगभग कुछ नहीं कमाता — और इसीलिए खोखले दंड जीतते हैं। पतले बेलन अनुदैर्घ्य से दुगुना परिधीय प्रतिबल वहन करते हैं, और उनमें अधिकतम अपरूपण प्रतिबल वह प्रश्न है जिसका उत्तर सर्वाधिक बार गलत दिया जाता है, क्योंकि तीसरा मुख्य प्रतिबल शून्य है और उसकी उपेक्षा नहीं हो सकती। स्तंभ P_cr = π²EI/L_e² से विफल होते हैं, जिसमें पदार्थ की सामर्थ्य कभी प्रकट ही नहीं होती — बंकुचन दृढ़ता की विफलता है, और सिरा-शर्तें उत्तर को सोलह के गुणक से हिला देती हैं।दो स्वतंत्र अचर, तथा एक वृत्त जो सन्निकटन नहीं है
समदैशिक प्रत्यास्थ पदार्थ के प्रचलन में चार अचर हैं — E, G, K व ν — और ठीक दो स्वातंत्र्य-कोटियाँ, अतः शेष दो सदा निकाले जा सकते हैं। संबंध E = 2G(1 + ν), E = 3K(1 − 2ν) व E = 9KG/(3K + G) उसी तथ्य के तीन दृश्य हैं। E = 200 GPa व ν = 0.3 उनसे निकालें: G = 76.923 GPa, K = 166.667 GPa, और तीसरा संबंध ठीक 200.000 GPa लौटाता है, और परीक्षा में आप अपना अंकगणित इसी प्रकार जाँचते हैं। ν की सीमाएँ कंठस्थ करने के बजाय उन्हीं संबंधों से पढ़ना उचित है: ν → 0.5 पर K → ∞, जो असंपीड्यता है, और उससे आगे K ऋणात्मक हो जाता; ν = −1 पर G अनंत हो जाता। अतः किसी भी वास्तविक समदैशिक ठोस हेतु −1 < ν < 0.5, और ν = 0.6 उद्धृत करता प्रश्न यही जाँच रहा है कि आपने ध्यान दिया क्या।
🎯 मोर वृत्त, एक बार हल किया गया, 3D संशोधन सहित
मोर वृत्त सम्पूर्ण समतल-प्रतिबल रूपांतरण एक बार खींचा गया है: एक अक्ष पर अभिलंब प्रतिबल व दूसरे पर अपरूपण आलेखित करें, और प्रत्येक घूर्णित अक्ष-निकाय एक ही वृत्त पर एक बिंदु है। σ_x = 100 MPa, σ_y = −40 MPa, τ_xy = 50 MPa लें। केंद्र औसत है, (100 − 40)/2 = 30 MPa, और त्रिज्या √(70² + 50²) = 86.023 MPa है। अतः मुख्य प्रतिबल 116.023 व −56.023 MPa हैं, और मुख्य तल θ_p = ½ arctan(2 × 50 / 140) = 17.769° पर है। अंतस्तलीय अधिकतम अपरूपण प्रतिबल स्वयं त्रिज्या है, 86.023 MPa, मुख्य तलों से 45° पर के तलों पर। अब वह भाग जो 2-अंक उत्तर को गलत उत्तर से पृथक् करता है। यह समतल प्रतिबल है, अतः तीसरा मुख्य प्रतिबल σ_3 = 0 है, और वह वास्तविक मुख्य प्रतिबल है, किसी की अनुपस्थिति नहीं। पदार्थ में परम अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों पर लिया (σ_max − σ_min)/2 है: यहाँ तीनों 116.023, 0 व −56.023 हैं, अतः चरम 116.023 व −56.023 हैं और उत्तर 86.023 MPa है — अंतस्तलीय मान संयोगवश सही है, और वह इसलिए सही है कि σ₁ व σ₂ शून्य के दोनों ओर हैं। σ_y को +40 कर दें और कथा पूर्णतः बदल जाती है: मुख्य प्रतिबल 100 व 40 हो जाते हैं, σ_3 = 0 तब भी वहीं है, अंतस्तलीय अधिकतम अपरूपण 30 MPa है, और परम अधिकतम (100 − 0)/2 = 50 MPa। जो अभ्यर्थी हर बार त्रिज्या बताता है वह उन दो प्रश्नों में एक गलत करता है।| ν | G = E/2(1+ν) | K = E/3(1−2ν) | अर्थ |
|---|---|---|---|
| 0 | 100 GPa | 66.7 GPa | कॉर्क-सदृश: कोई पार्श्व संकुचन नहीं |
| 0.3 | 76.923 GPa | 166.667 GPa | इस्पात — प्रत्येक प्रश्न का अनुपस्थिति-मान |
| 0.5 | 66.7 GPa | ∞ | असंपीड्य — रबर इसके निकट आता है |
| > 0.5 | धनात्मक | ऋणात्मक | वास्तविक समदैशिक ठोस हेतु असंभव |
बंकन व ऐंठन: एक समीकरण, दो ज्यामितियाँ, तथा “अनुच्छेद मापांकों” का बहुवचन
बंकन-सूत्र σ/y = M/I = E/R बहुत कुछ मानता है और प्रत्येक मान्यता परीक्षणीय है: समतल अनुच्छेद समतल रहते हैं, पदार्थ रैखिक-प्रत्यास्थ है, धरन अपने अनुप्रस्थ काट के किसी मुख्य अक्ष के परितः झुकती है, और बंकन शुद्ध है। उनके अंतर्गत प्रतिबल उदासीन अक्ष पर शून्य से — जो केंद्रक से होकर जाता है — चरम तंतु पर अधिकतम तक रैखिकतः बदलता है, और अभिकल्प-रूप σ_max = M/Z है, Z = I/y_max सहित। यहीं सममित अनुच्छेद आपको बहका देता है: आयत अथवा सममित I-धरन हेतु एक Z व एक उत्तर है। T-अनुच्छेद के दो हैं। 30 mm × 90 mm की जंघा पर बैठी 90 mm × 30 mm की पट्टिका लें। दोनों क्षेत्रफल 2700 mm² हैं, अतः केंद्रक ठीक उनके केंद्रकों के मध्य बैठता है, 120 mm अनुच्छेद के तल से 75 mm। तब I = 6.885 × 10⁶ mm⁴, और चूँकि y_top = 45 जबकि y_bot = 75, Z_top = 153 000 mm³ व Z_bot = 91 800 mm³ — ठीक 5:3 का अनुपात। लघुतर अनुच्छेद मापांक शासन करता है, अतः नमित विस्तार पर तल का तंतु पहले अपनी सीमा तक पहुँचता है: 150 MPa पर M = 13.77 kN·m, और ऊपरी तंतु तब केवल 13.77 × 10⁶/153 000 = 90 MPa पर बैठा है, अपनी छूट के भीतर। धरन उलट दें — अथवा आघूर्ण को उन्नमित कर दें — और दोनों बदल जाते हैं, और इसीलिए T-अनुच्छेद जानबूझकर किया चयन है, केवल एक आकृति नहीं।
| राशि | मान | वह कहाँ से आता है |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल | 5400 mm² | 2700 + 2700 — समान, और इसीलिए अंकगणित स्वच्छ है |
| तल से केंद्रक | 75 mm | 45 व 105 के मध्य, क्योंकि क्षेत्रफल समान हैं |
उदासीन अक्ष के परितः I | 6.885 × 10⁶ mm⁴ | 2 632 500 + 4 252 500, प्रत्येक अपने A d² पद सहित |
Z_top | 153 000 mm³ | I / 45 |
Z_bot | 91 800 mm³ — शासक | I / 75; लघुतर Z, बृहत्तर प्रतिबल |
| 150 MPa पर आघूर्ण | 13.77 kN·m | 150 × 91 800, लघुतर Z से |
| केंद्रीय भार, 4 मीटर सरल विस्तार | 13.77 kN | M = WL/4, अतः W = 4M/L |
| उस भार पर ऊपरी तंतु का प्रतिबल | 90 MPa | M/Z_top — 60 MPa अप्रयुक्त क्षमता |
🎯 धरन का विक्षेप द्वितीय सीमा-अवस्था है, और वह वह नहीं जिसे बंकन प्रतिबल जाँचता है
धरन को पर्याप्त बलवान और पर्याप्त दृढ़ होना पड़ता है, और वे दो पृथक् कसौटियों के सामने दो पृथक् जाँचें हैं: अनुमेय प्रतिबल के सामने सामर्थ्य, अनुमेय धरन-विक्षेप के सामने दृढ़ता, जो सामान्यतः विस्तार के अंश के रूप में उद्धृत होता है। बंकन-संबंध EI d²y/dx² = M का दो बार समाकलन मानक स्थितियाँ देता है — केंद्रीय बिंदु-भार सहित सरल आधारित विस्तार मध्य पर WL³/48EI विक्षेपित होता है, सिरा-भार सहित कैंटिलीवर नोक पर WL³/3EI, और एकसमान भार में सरल आधारित विस्तार 5wL⁴/384EI। ऊपर पहले ही हल किया T-अनुच्छेद वाली धरन उसके पूर्ण अनुमेय आघूर्ण पर लें: 4 मीटर विस्तार के केंद्र पर W = 13.77 kN, E = 200 GPa, I = 6.885 × 10⁶ mm⁴। तब δ = 13 770 × 4000³/(48 × 200 000 × 6.885 × 10⁶) = 13.33 mm, जो ठीक L/300 है — और L/300 से L/360 सामान्य सेवायोग्यता सीमा है, अतः यह अनुच्छेद अपनी सामर्थ्य-सीमा व अपनी दृढ़ता-सीमा दोनों पर उसी भार पर पहुँचता है। वह संपातन अभिकल्पित है और ध्यान देने योग्य है: जो अनुच्छेद नमने से बहुत पहले पराभूत हो वह दृढ़ता का अपव्यय कर रहा है, और जो पराभूत होने से बहुत पहले नमे वह सामर्थ्य का। दो तुलनाएँ जो सूत्रों से अधिक वहन करती हैं। प्रथम, उसी लंबाई के कैंटिलीवर पर वही भार सोलह गुना अधिक विक्षेपित होता है — WL³/48EI के सामने WL³/3EI — और इसीलिए कैंटिलीवर लगभग सदा विक्षेप से शासित होता है और प्रतिबल से लगभग कभी नहीं। द्वितीय, समान बंकन आघूर्ण का अर्थ समान विक्षेप नहीं: बिंदु-भार को उस एकसमान भार से बदलें जो समरूप मध्य-आघूर्ण उत्पन्न करे (w = 2W/L = 6.885 N/mm, चूँकि wL²/8 = WL/4) और विक्षेप 16.67 mm तक बढ़ जाता है, एक-चौथाई अधिक। आघूर्ण स्थानीय राशि है और विक्षेप सम्पूर्ण विस्तार पर वक्रता का समाकल, अतः भार का वितरण एक के लिए महत्व रखता है और दूसरे के लिए नहीं।🧠 खोखले दंड क्यों जीतते हैं, एक पंक्ति के अंकगणित में
वृत्तीय दंड की ऐंठन τ = Tr/J देती है, J = π d⁴/32 सहित, अतः प्रतिबल अक्ष से दूरी के समानुपाती है और केंद्र का पदार्थ वस्तुतः कुछ नहीं वहन करता जबकि सतह के पदार्थ जितना ही भार रखता है। इसे संख्या दें। दंड को ऐसे खोखला करें कि d_i/d_o = 0.6, बाह्य व्यास वही रखते हुए। ध्रुवीय आघूर्ण ठोस मान के 1 − 0.6⁴ = 0.8704 पर गिरता है, किंतु अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल — और अतः भार — 1 − 0.6² = 0.64 पर गिरता है। आपने 64 प्रतिशत पदार्थ में 87 प्रतिशत बल-आघूर्ण क्षमता रख ली है, प्रति एकांक भार सामर्थ्य में 0.8704/0.64 = 1.36× सुधार, और दंड प्रति किलोग्राम उसी अनुपात में अधिक दृढ़ है। नोदन-दंड, साइकिल-ढाँचे व वायुयान-धरन नलिकाएँ होने का सम्पूर्ण कारण यही है। ईमानदार रहने योग्य दो सीमाएँ: तर्क ऐंठन व बंकन हेतु चलता है, जहाँ प्रतिबल उदासीन अक्ष से दूरी के साथ बढ़ता है, और सीधे तनन हेतु नहीं, जहाँ प्रतिबल एकसमान है और खोखली छड़ केवल दुर्बल छड़ है। और पतली भित्तियाँ ऐसी विफलता-विधा लाती हैं जो सूत्र नहीं देखता — स्थानीय बंकुचन — और इसीलिए अनुपात 0.6 तक खोखला किया जाता है, 0.95 तक नहीं।पतले बेलन, स्तंभ व तापीय प्रतिबल: तीन स्थान जहाँ सहजबोध चूकता है
आंतरिक दाब में पतली-भित्ति बेलन परिधीय प्रतिबल σ_h = pd/2t तथा अनुदैर्घ्य प्रतिबल σ_l = pd/4t वहन करता है, ठीक उसका आधा, और इसीलिए दाब-पात्र अपनी लंबाई के अनुदिश फटते हैं, परिधि के परितः नहीं। p = 2 MPa, d = 1 m व t = 10 mm सहित: σ_h = 100 MPa व σ_l = 50 MPa। अब वह प्रश्न जो लोगों को पकड़ता है। अंतस्तलीय अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (100 − 50)/2 = 25 MPa है, किंतु बाह्य सतह पर त्रिज्यीय मुख्य प्रतिबल शून्य है, और वही तीसरा मुख्य प्रतिबल है। अतः परम अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (100 − 0)/2 = 50 MPa है — अंतस्तलीय आँकड़े का दुगुना, और ट्रेस्का पराभव-जाँच को उसी की आवश्यकता है। विकृतियों पर, दोनों प्वासों से युग्मित हैं: ε_h = (σ_h − νσ_l)/E = (100 − 15)/200 000 = 4.25 × 10⁻⁴ तथा ε_l = (50 − 30)/200 000 = 1.00 × 10⁻⁴। आयतन-विकृति 2ε_h + ε_l है — दो परिधीय विकृतियाँ, क्योंकि व्यास का परिवर्तन आयतन में दो बार प्रवेश करता है — जिससे 9.50 × 10⁻⁴ मिलता है।
🎯 बंकुचन में कोई पराभव प्रतिबल नहीं है, और यही सम्पूर्ण बात है
ऑयलर का क्रांतिक भार P_cr = π²EI/L_e² है। जो अनुपस्थित है वह पढ़ें: पदार्थ का पराभव-सामर्थ्य कभी प्रकट नहीं होता। तनु स्तंभ इसलिए विफल नहीं होता कि प्रतिबल किसी सीमा तक पहुँच गया; वह इसलिए विफल होता है कि सीधी संरचना स्थायी होना बंद कर दी। अतः किसी लंबे स्तंभ को ताप-संसाधित करके उसका पराभव-सामर्थ्य दुगुना करना बंकुचन के विरुद्ध कुछ भी नहीं खरीदता, जबकि उसे कुछ मोटा करना — I, व्यास की चतुर्थ घात से बढ़ता है — बहुत कुछ खरीदता है। L = 3 m, E = 200 GPa व I = 4 × 10⁶ mm⁴ सहित कीलक-सिरा स्तंभ 877.3 kN पर जाता है। केवल सिरे बदलें: दोनों जड़ना प्रभावी लंबाई आधी करता है और अतः भार चौगुना करके 3509 kN कर देता है; जड़ा-कीलित L_e = 0.7L व 2.04× देता है; और जड़ा-मुक्त कैंटिलीवर स्तंभ का L_e = 2L है और वह केवल 219.3 kN, कीलक स्थिति का एक-चौथाई लेता है। उसी इस्पात-खंड पर श्रेष्ठ व निकृष्ट सिरा-शर्तों के बीच सोलह गुना, और इसीलिए जो प्रश्न सिरा-शर्तें न बताए वह संक्षिप्त मात्र नहीं, अपूर्ण है। एक ईमानदारी की टिप्पणी: ऑयलर केवल तब तक लागू है जब तक स्तंभ इतना तनु हो कि P_cr/A पराभव प्रतिबल से नीचे रहे। उस तनुता से नीचे स्तंभ बंकुचित होने के बजाय चिपट जाता है, और अभिकल्प-वक्र रैंकिन अथवा कोई संहिता-सूत्र बन जाता है — वास्तविक सीमा, पाद-टिप्पणी नहीं।| सिरा-शर्तें | L_e | P_cr | कीलित–कीलित की तुलना में |
|---|---|---|---|
| दोनों सिरे जड़े | 0.5 L | 3509.2 kN | 4.00× |
| जड़ा–कीलित | 0.7 L | 1790.4 kN | 2.04× |
| दोनों सिरे कीलित | 1.0 L | 877.3 kN | 1.00× — संदर्भ |
| जड़ा–मुक्त (ध्वजदंड) | 2.0 L | 219.3 kN | 0.25× |
⚠️ तापीय प्रतिबल को इससे कोई प्रयोजन नहीं कि छड़ कितनी लंबी है
तापीय प्रतिबल गरम करने से नहीं बल्कि ऐसी वस्तु को गरम करने से उत्पन्न होता है जिसे हिलने की अनुमति नहीं। मुक्त रूप से प्रसार करने योग्य छड़ को गरम करें और उसमें αΔT विकृति व शून्य प्रतिबल विकसित होता है। दोनों सिरों पर पूर्णतः अवरुद्ध छड़ को गरम करें और उसमें शून्य विकृति व σ = αEΔT प्रतिबल विकसित होता है, गरम करने पर संपीडक। α = 12 × 10⁻⁶ /°C, E = 200 GPa व ΔT = 50°C सहित वह 12 × 10⁻⁶ × 200 000 × 50 = 120 MPa है — मृदु इस्पात के पराभव प्रतिबल का गंभीर अंश, जो ऐसे ताप-परिवर्तन से उत्पन्न हुआ जिसे ग्रीष्म का एक अपराह्न दे सकता है। लंबाई निरसित हो गई है, और वही प्रति-सहज भाग है तथा वही कारण कि प्रसार-संधियाँ लंबे पुलों जितनी ही छोटे पुलों पर भी चाहिए: लंबी छड़ अधिक प्रसार चाहती है, किंतु वह अधिक अनुवर्ती भी है, और दोनों प्रभाव ठीक निरसित हो जाते हैं। जो उत्तर बदलता है वह आंशिक अवरोध है। यदि आधार δ से हट जाएँ, तो मुक्त हुई विकृति δ/L है, अतः σ = E(αΔT − δ/L) — और अब लंबाई लौट आई है, क्योंकि नियत अंतराल लंबी छड़ का लघुतर अंश है। 2-अंक प्रश्न वही संस्करण पूछता है, और उसे सीधा रखने का उपाय है तापीय समस्याओं को संगतता-समस्याओं की तरह लेना: कुल संचलन लिखें, उसे आधार जो अनुमत करें उसके बराबर रखें, और प्रतिबल निकल आता है।मुख्य बिंदु
- केवल दो प्रत्यास्थ अचर स्वतंत्र हैं।
E = 2G(1+ν) = 3K(1−2ν) = 9KG/(3K+G); E = 200 GPa व ν = 0.3 पर G = 76.923 व K = 166.667 GPa।−1 < ν < 0.5उन्हीं संबंधों से निकलता है, स्मृति से नहीं। - समतल प्रतिबल में तीसरा मुख्य प्रतिबल शून्य है, अनुपस्थित नहीं। σ_x = 100, σ_y = −40, τ = 50 हेतु त्रिज्या 86.023 संयोगवश परम अधिकतम अपरूपण है; σ_y = +40 हेतु त्रिज्या 30 है और परम अधिकतम 50।
- अपने उदासीन अक्ष के परितः असममित अनुच्छेद के दो अनुच्छेद मापांक होते हैं, और लघुतर शासन करता है। यहाँ के T-अनुच्छेद में Z_top = 153 000 व Z_bot = 91 800 mm³ हैं, अतः 150 MPa पर ऊपरी तंतु के पास 60 MPa शेष है।
- ऐंठन व बंकन में खोखला ठोस को हराता है, तनन में कभी नहीं।
d_i/d_o = 0.6तक खोखला करना 0.64 भार मेंJका 0.8704 रखता है — प्रति किलोग्राम 1.36× सामर्थ्य। - पतले बेलन का परम अधिकतम अपरूपण
σ_h/2है,(σ_h − σ_l)/2नहीं। p = 2 MPa, d = 1 m, t = 10 mm पर: परिधीय 100, अनुदैर्घ्य 50, अंतस्तलीय अपरूपण 25 किंतु परम अपरूपण 50 MPa। - बंकुचन दृढ़ता की विफलता है —
P_cr = π²EI/L_e²में कोई पराभव प्रतिबल नहीं। वही स्तंभ, कीलित 877.3 kN, जड़ा 3509 kN, जड़ा-मुक्त 219.3 kN: सोलह का गुणक, पूर्णतः सिरों से निर्णीत। - पूर्णतः अवरुद्ध तापीय प्रतिबल
σ = αEΔTलंबाई से स्वतंत्र है — ΔT = 50°C पर इस्पात हेतु 120 MPa। आंशिक अवरोध लंबाई-निर्भरताσ = E(αΔT − δ/L)के रूप में लौटा देता है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
E = 200 GPa व प्वासों अनुपात 0.3 वाले पदार्थ हेतु अपरूपण मापांक, GPa में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 76.92
76.92 GPa।E = 2G(1 + ν)से,G = 200/(2 × 1.3) = 76.923 GPa। चूँकि केवल दो प्रत्यास्थ अचर स्वतंत्र हैं, वही दो निवेश आयतन मापांक भी नियत करते हैं:K = E/3(1 − 2ν) = 200/(3 × 0.4) = 166.667 GPa। तीसरे संबंध से प्रति-जाँच करें,E = 9KG/(3K + G) = 9(166.667)(76.923)/(500 + 76.923) = 200.000 GPa✓ — करने योग्य, क्योंकि उसमें एक पंक्ति लगती है और वह 2 का खिसका गुणक पकड़ लेता है। वही संबंध ν की सीमाओं तक का तीव्रतम मार्ग भी है:ν → 0.5परK → ∞(असंपीड्यता, जिसके निकट रबर आता है) और उससे आगेKऋणात्मक हो जाता, अतः किसी वास्तविक समदैशिक ठोस काν > 0.5नहीं। सामान्य त्रुटिE = 3G(1 + ν)अथवा2G(1 + 2ν)प्रयोग करना है; कौन-सा कौन है यह स्मरण रखने का विश्वसनीय उपाय यह है कि सामान्य पदार्थों हेतुGतीनों मापांकों में सदा लघुतम है, अतः E से बड़ा कोई उत्तर किसी गुणक को उलटा रखता है।समतल प्रतिबल में किसी बिंदु पर σ_x = 100 MPa, σ_y = −40 MPa तथा τ_xy = 50 MPa। बृहत् मुख्य प्रतिबल, MPa में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 116.02
116.02 MPa। मोर वृत्त का केंद्र(100 − 40)/2 = 30 MPaतथा त्रिज्या√(((100 + 40)/2)² + 50²) = √(70² + 50²) = √7400 = 86.023 MPaहै। अतःσ₁ = 30 + 86.023 = 116.023वσ₂ = 30 − 86.023 = −56.023 MPa, और मुख्य तलθ_p = ½ arctan(100/140) = 17.769°पर है। दो जाँचें जिनकी कोई लागत नहीं। योग निश्चर है:σ₁ + σ₂ = 60 = σ_x + σ_y✓, जो लगभग प्रत्येक अंकगणितीय चूक पकड़ लेता है। औरσ₂यहाँ ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऐसी अवस्था पर 50 MPa अपरूपण जो अभिलंब प्रतिबल में पहले से 140 MPa दूर है, लघुतर मुख्य प्रतिबल को शून्य से नीचे खींचने हेतु पर्याप्त से अधिक है। सर्वाधिक सामान्य त्रुटि त्रिज्या के भीतर((σ_x + σ_y)/2)²के रूप में घटाना है; त्रिज्या अर्ध-अंतर प्रयोग करती है, औरσ_yका चिह्न महत्व रखता है — उसे +40 पढ़ने से त्रिज्या 53.85 और पूर्णतः भिन्न अवस्था मिलती है।1 मीटर आंतरिक व्यास व 10 mm भित्ति-मोटाई का पतला बेलन 2 MPa आंतरिक दाब वहन करता है। भित्ति में परम अधिकतम अपरूपण प्रतिबल है
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उत्तर: B — 50 MPa
50 MPa। परिधीय प्रतिबलpd/2t = 2 × 1000/20 = 100 MPaहै और अनुदैर्घ्य प्रतिबल उसका आधा,50 MPa। अब मुख्य प्रतिबल ठीक से गिनें: बाह्य सतह पर त्रिज्यीय प्रतिबल शून्य है, अतः अवस्था(100, 50, 0)है — तीन मुख्य प्रतिबल, दो नहीं। परम अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों पर लिया(σ_max − σ_min)/2है,(100 − 0)/2 = 50 MPa। विकल्प A, 25 MPa, अंतस्तलीय मान(100 − 50)/2है, और वही उत्तर आपको समस्या को द्वि-आयामी मानने से मिलता है — और ठीक वही जाल है, क्योंकि "पतला बेलन" आपको तीसरी दिशा भुला देने का निमंत्रण देता है, यद्यपि समस्या में किसी बात ने उसे हटाया नहीं। विकल्प C स्वयं परिधीय प्रतिबल है, जो अभिलंब प्रतिबल को अपरूपण प्रतिबल से मिला देता है। यह लेखा-जोखा से आगे महत्व रखता है: ट्रेस्का पराभव-जाँच2τ_max = 100 MPaकी पराभव-सामर्थ्य से तुलना करती है, अतः 25 MPa प्रयोग करना सुरक्षा-गुणक चार गुना अधिक बताता। उसी अवस्था पर वॉन मिसेस√(100² − 100 × 50 + 50²) = 86.6 MPaदेता है, जो अधिक यथार्थ कसौटी है और तब भी अंतस्तलीय पाठ के सुझाए मान के कहीं निकट नहीं।किसी T-अनुच्छेद में 30 mm चौड़ी × 90 mm गहरी जंघा पर 90 mm चौड़ी × 30 mm गहरी पट्टिका बैठी है। क्षैतिज उदासीन अक्ष के परितः बंकन में, अभिकल्प का शासन करता अनुच्छेद मापांक, mm³ में, ______ है
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 91800
91 800 mm³। दोनों भागों का क्षेत्रफल 2700 mm² है, अतः केंद्रक ठीक उनके अपने केंद्रकों 105 mm व 45 mm के मध्य गिरता है — वह 120 mm गहरे अनुच्छेद के तल से 75 mm है, और समान क्षेत्रफल ही वह कारण है जिससे यह भिन्न के बिना निकलता है। तबI = (90 × 30³/12 + 2700 × 30²) + (30 × 90³/12 + 2700 × 30²) = 2 632 500 + 4 252 500 = 6.885 × 10⁶ mm⁴। दो अनुच्छेद मापांक निकलते हैं:Z_top = I/45 = 153 000तथाZ_bot = I/75 = 91 800 mm³। लघुतर शासन करता है, क्योंकि वही आघूर्ण उदासीन अक्ष से अधिक दूर के तंतु पर बृहत्तर प्रतिबल उत्पन्न करता है, और 75 > 45। मूर्त रूप में: 150 MPa की अनुमेय सीमा पर अनुच्छेदM = 150 × 91 800 = 13.77 kN·mवहन करता है, जिस पर ऊपरी तंतु केवल13.77 × 10⁶/153 000 = 90 MPaपर है — 60 MPa क्षमता अप्रयुक्त शेष, और नमित आघूर्ण में असममित अनुच्छेद की ईमानदार लागत वही है। 153 000 उत्तर देना जाल है और वह क्षमता को 67 प्रतिशत अधिक बताता है। यह भी ध्यान दें कि आघूर्ण उन्नमित हो तो उत्तर पलट जाता है: तब ऊपरी तंतु तनन में है औरZ_topकी परीक्षा हो रही है, और ठीक इसीलिए T-अनुच्छेद कैंटिलीवरों में उलटे रखे जाते हैं।कोई तनु इस्पात स्तंभ प्रत्यास्थतः बंकुचित होता है। निम्नलिखित में से कौन-से परिवर्तन उसका क्रांतिक भार बढ़ाएँगे?
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उत्तर: A — कीलित सिरों को जड़े सिरों से बदलना, शेष सब अपरिवर्तित; C — उसी अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल को केंद्रक से अधिक दूर पुनर्वितरित करना; D — मध्य-ऊँचाई पर पार्श्व अवलंब जोड़ना
A, C व D।P_cr = π²EI/L_e²पढ़ें और पूछें कि प्रत्येक विकल्प किस प्रतीक को स्पर्श करता है। A,L_eकोLसे0.5Lतक आधा करता है, अतःP_crचौगुना — इस अध्याय के स्तंभ हेतु 877.3 kN से 3509 kN। C, क्षेत्रफल बदले बिनाIबढ़ाता है, और I-धरन अथवा नलिका का सम्पूर्ण तर्क यही है: द्वितीय आघूर्ण क्षेत्रफल गुणा दूरी का वर्ग गिनता है, अतः पदार्थ को बाहर हटाना दृढ़ता निःशुल्क खरीदता है। D अ-अवलंबित लंबाई आधी करता है, A के उसी कारण सेP_crचौगुना करते हुए। B ही वह है जो कुछ नहीं करता, और प्रश्न का प्रयोजन वही है: ऑयलर के सूत्र में पराभव-सामर्थ्य प्रकट ही नहीं होता। बंकुचन स्थायित्व की हानि है, अति-प्रतिबल नहीं — स्तंभ पार्श्व में विक्षेपित होता है जब पदार्थ अभी सुखपूर्वक प्रत्यास्थ है, अतः बलवत्तर इस्पात ठीक उसी भार पर बंकुचित होता है। दो ईमानदार अनुबंध। प्रथम, पराभव-सामर्थ्य दुगुना करना उस लघु स्तंभ की सहायता करता ही है जो बंकुचित होने के बजाय चिपटता है, अतः उत्तर प्रश्न के तनु शब्द पर निर्भर है। द्वितीय, इस्पातों के बीचEभी लगभग नहीं बदलता — सभी संरचनात्मक इस्पात श्रेणी से निरपेक्ष 200 GPa के निकट बैठते हैं — अतः "श्रेष्ठतर इस्पात" का कोई संस्करण नहीं जो प्रत्यास्थ बंकुचन सुधारे। ज्यामिति ही एकमात्र उत्तोलक है।ठोस वृत्तीय दंड को ऐसे खोखला किया जाता है कि आंतरिक व्यास बाह्य का 0.6 गुना हो, बाह्य व्यास अपरिवर्तित रहते हुए। उसकी ऐंठन-सामर्थ्य व उसका भार, मूल के अंशों के रूप में, क्रमशः हैं
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उत्तर: A — 0.8704 व 0.64
0.8704 व 0.64। दी हुई अनुमेय प्रतिबल-सीमा पर ऐंठन-सामर्थ्यJ/r_oके साथ चलती है, और चूँकिr_oअपरिवर्तित है वहJ = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32के साथ चलती है, जिससे1 − 0.6⁴ = 0.8704अनुपात मिलता है। भार अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल के साथ चलता है,1 − 0.6² = 0.64। अतः दंड 64 प्रतिशत पदार्थ पर अपनी क्षमता का 87 प्रतिशत रखता है — प्रति एकांक भार सामर्थ्य0.8704/0.64 = 1.36×सुधरती है। वही एक पंक्ति वह कारण है जिससे नोदन-दंड, साइकिल-ढाँचे व वायुयान-धरन नलिकाएँ हैं: ऐंठन व बंकन में प्रतिबल अक्ष से दूरी के साथ बढ़ता है, अतः अंतस्तल लगभग निष्क्रिय बोझ है। विकल्प B दोनों बदल देता है, और वही उत्तर आपको चतुर्थ घात को भार के साथ जोड़ने से मिलता है — और ध्यान देने योग्य है कि बदलना ही उसे गलत बनाता है, संख्याएँ नहीं। विकल्प C यह निकालता है कि क्या हटाया गया, यह नहीं कि क्या शेष है। विकल्प D भूल जाता है कि भार व्यास की द्वितीय घात का अनुसरण करता है जबकि दृढ़ता व सामर्थ्य चतुर्थ का; यदि दोनों साथ मापित होते तो नलिका का कोई लाभ ही न होता, और सम्पूर्ण प्रथा निष्प्रयोजन होती। एक सीमा: यह तर्क सीधे तनन पर नहीं जाता, जहाँ प्रतिबल अनुच्छेद भर एकसमान है और अंतस्तल हटाना केवल क्षमता हटाता है।इस्पात की छड़ दो अचल आधारों के बीच दृढ़तापूर्वक जकड़ी है और 50°C तक गरम की जाती है। α = 12 × 10⁻⁶ /°C व E = 200 GPa सहित उत्पन्न प्रतिबल का परिमाण, MPa में, ______ है
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 120
120 MPa, संपीडक। पूर्ण अवरोध का अर्थ है कुल विकृति शून्य है, अतः तापीय विकृतिαΔTठीक−σ/Eप्रत्यास्थ विकृति से निरसित हो जाती है, जिससेσ = αEΔT = 12 × 10⁻⁶ × 200 000 × 50 = 120 MPaमिलता है। गरम करना छड़ को संपीडन में डालता है, क्योंकि वह बढ़ना चाहती है और आधार मना करते हैं। ध्यान खींचता लक्षण वह है जो अनुपस्थित है: छड़ की लंबाई कभी प्रकट नहीं होती। 200 mm की छड़ व 20 m की छड़ उसी 50°C वृद्धि में वही 120 MPa विकसित करती हैं, क्योंकि लंबी छड़ अनुपात में अधिक प्रसार चाहती है किंतु अनुपात में अधिक अनुवर्ती भी है, और दोनों प्रभाव ठीक निरसित होते हैं। इसीलिए प्रसार-संधियाँ लंबे पुलों जितनी ही छोटे पुलों पर भी चाहिए। यह संख्या को संदर्भ भी देता है: 120 MPa मृदु इस्पात के पराभव प्रतिबल का पर्याप्त अंश है, जो ऐसे ताप-परिवर्तन से उत्पन्न हुआ जो एक ही दिन दे सकता है। लंबाई-निर्भरता लौटाता संस्करण आंशिक अवरोध है: यदि आधार δ से हट जाएँ, मुक्त विकृतिδ/Lहै औरσ = E(αΔT − δ/L)— अतः 1 mm अंतराल 20 m छड़ हेतु लगभग कुछ नहीं करता और 200 mm वाली से प्रतिबल पूर्णतः हटा देता है। इन्हें प्रतिबल-समस्याओं के बजाय संगतता-समस्याएँ मानें, और दोनों स्थितियाँ उसी एक पंक्ति से निकल आती हैं।आयताकार अनुप्रस्थ-काट की धरन अनुप्रस्थ अपरूपण बल V वहन करती है। अनुच्छेद में अधिकतम अनुप्रस्थ अपरूपण प्रतिबल है
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उत्तर: B — `1.5 V/A`, उदासीन अक्ष पर
उदासीन अक्ष पर1.5 V/A। अपरूपण-सूत्रτ = VQ/Ibअधिकतम को वहाँ रखता है जहाँ काट से परे के क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्णQबृहत्तम हो, और वह उदासीन अक्ष है — अनुच्छेद का वह विपरीत सिरा जहाँ से बंकन प्रतिबल शिखर पर होता है, और साथ ले जाने योग्य तथ्य वही है। आयत हेतु वितरण परवलयिक है, दोनों चरम तंतुओं पर शून्य (उनसे परे कोई क्षेत्रफल नहीं, अतःQ = 0) और मध्य-गहराई पर1.5 V/A। विकल्प A औसत है, और परवलय का औसत लेना उसके शिखर को यहाँ ठीक एक-तिहाई कम बताता है। विकल्प C शिखर वहाँ रखता है जहाँ बंकन प्रतिबल शिखर पर है, दोनों वितरणों को मिलाते हुए — वे संपूरक हैं, संरेखित नहीं, और वही संपूरकता वह कारण है जिससे कोई लघु गहरी धरन उदासीन अक्ष पर अपरूपण से विफल हो सकती है जबकि उसके चरम तंतु पराभव के कहीं निकट नहीं। विकल्प D वृत्तीय अनुच्छेद हेतु सही गुणक है,4/3 V/A, और यह वस्तुतः उपयोगी युग्म है जिसे साथ स्मरण रखें: आयत हेतु 1.5, वृत्त हेतु 1.33, और पतली-जंघा I-धरन हेतु लगभगV/A_web, जहाँ लगभग सम्पूर्ण अपरूपण जंघा वहन करती है और पट्टिकाएँ अल्प योगदान देती हैं। व्यावहारिक अर्थ: तनु धरनें बंकन से शासित हैं, नाटी अपरूपण से, और आप किस क्षेत्र में हैं यह विस्तार-गहराई अनुपात नियत करता है।