अभियांत्रिकी यांत्रिकी: मुक्त पिंड, ट्रस, घर्षण व दृढ़-पिंड गतिकी

यांत्रिक अभियांत्रिकी पेपर का खंड 2 उस विषय से आरंभ होता है जिससे उसके बाद का सब कुछ उधार लेता है, और यह स्पष्ट कहने योग्य है कि परीक्षणीय कौशल वस्तुतः क्या है: अभियांत्रिकी यांत्रिकी का लगभग प्रत्येक अंक तब जीता या खोया जाता है जब आप मुक्त-पिंड आरेख खींचते हैं, तब नहीं जब आप समीकरण हल करते हैं। मुक्त पिंड संरचना के किसी भाग के चारों ओर खींची गई बंद सीमा है, जिसमें उस सीमा को पार करने वाला प्रत्येक बल रेखाचित्र पर लौटा दिया गया हो — और दो अभ्यस्त त्रुटियाँ हैं कोई प्रतिक्रिया भूल जाना तथा कोई गढ़ लेना। रेखाचित्र सही होने पर स्थैतिकी आपको समतल में ठीक तीन समीकरण देती है, ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 तथा किसी भी अभीष्ट बिंदु के परितः ΣM = 0, और बिंदु का अच्छा चयन बचाए गए अंकगणित का अधिकांश है: दो अज्ञातों के प्रतिच्छेद के परितः आघूर्ण लें और दोनों लुप्त हो जाते हैं। कीलक-संधित ट्रस हेतु गिनती पहले आती है — निर्धार्य समतल ट्रस के लिए m = 2j − 3 — और तत्पश्चात् आपके पास दो उपकरणों का चयन है जो भिन्न प्रश्नों का उत्तर देते हैं। संधि-विधि सम्पूर्ण संरचना पर चलती है और आपको प्रत्येक सदस्य देती है; काट-विधि अधिकतम तीन अज्ञातों से होकर काटती है और एक ही आघूर्ण-समीकरण में एक सदस्य दे देती है, और परीक्षा वस्तुतः वही माँगती है। घर्षण वहाँ है जहाँ अभ्यर्थी निश्चित प्रतीत होते सूत्र के हाथों अंक खोते हैं: F = μN घर्षण-बल केवल आसन्न गति पर अथवा सर्पण के दौरान है; उस देहली के नीचे घर्षण वही है जो साम्य अपेक्षित करे, उससे अधिक नहीं, अतः प्रथम प्रश्न सदा यही है कि वह गतिमान है क्या? तत्पश्चात् गतिकी, जो तीन संरक्षण-कथन हैं और जो भी अज्ञात आपको दिया गया हो उस पर लगाए जाते हैं: जहाँ प्रश्न दूरी कहे वहाँ कार्य–ऊर्जा, जहाँ समय कहे वहाँ आवेग–संवेग, और जहाँ दो पिंड टकराएँ वहाँ प्रत्यावस्थान गुणांक सहित दोनों एक साथ। फिसलन-रहित लोटन वह एकमात्र स्थान है जहाँ स्थानांतरण व घूर्णन एक-दूसरे से बँधे हैं — v = ωr — और नत तल पर त्वरण आकृति के अतिरिक्त किसी बात पर निर्भर नहीं, k²/r² के माध्यम से।

मुक्त पिंड, निर्धार्यता, तथा ट्रस पढ़ने के दो मार्ग

उस सबसे पूर्व, मुक्त-पिंड आरेख। जिस भाग का विश्लेषण कर रहे हैं उसके चारों ओर बंद सीमा खींचें, उसे पार करता प्रत्येक बल लौटा दें, और रेखाचित्र पूर्ण होने तक कुछ भी वियोजित न करें — भूली गई प्रतिक्रिया और गढ़ी गई प्रतिक्रिया ठीक उसी प्रकार विफल होती हैं और कोई भी आगे किसी असंगति के रूप में प्रकट नहीं होती। तत्पश्चात् कीलक-संधित ट्रस एक आदर्शीकरण है जिसका ठीक एक उपयोगी परिणाम है: प्रत्येक सदस्य केवल अक्षीय बल वहन करता है, क्योंकि घर्षण-रहित कीलक आघूर्ण संचारित नहीं कर सकती और भार केवल संधियों पर लगाए जाते हैं। अतः प्रत्येक सदस्य या तो तनन में है (अपनी दोनों संधियों को एक-दूसरे की ओर खींचता, यहाँ धनात्मक गिना गया) अथवा संपीडन में (उन्हें पृथक् धकेलता, ऋणात्मक), और प्रत्येक संधि आपको दो अदिश समीकरण देती है। गणना से पूर्व गिनें। m सदस्य, j संधियाँ व तीन आधार-प्रतिक्रियाओं सहित अज्ञातों की संख्या m + 3 है और समीकरणों की 2j, अतः स्थैतिकतः निर्धार्य समतल ट्रस m = 2j − 3 संतुष्ट करता है। कम सदस्य हों तो वह यंत्रावली है — वह ढह जाएगा, और सदस्य-बलों का कोई समुच्चय विद्यमान नहीं। अधिक हों तो वह अनिर्धार्य है — बल इस पर निर्भर करते हैं कि प्रत्येक सदस्य कितना दृढ़ है, जो केवल स्थैतिकी नहीं बता सकती।

🎯 वह ट्रस जिस पर यह अध्याय बारंबार लौटता है, दो बार हल किया गया
9 मीटर विस्तार का तीन-पटल प्रैट ट्रस लें, 3 मीटर के पटलों में, ऊँचाई 4 मीटर, A पर कीलित व D पर बेलन-आधार पर। अध:जीवा A(0,0)–B(3,0)–C(6,0)–D(9,0), ऊर्ध्वजीवा E(3,4)–F(6,4), सदस्य AB, BC, CD, EF, AE, BE, BF, CF, DF। पहले जाँचें: m = 9, j = 6, 2j − 3 = 9 ✓, अतः वह निर्धार्य है और विकर्ण 5 लंबाई के हैं, दिक्-कोसाइन 3/5 व 4/5 सहित — और इसीलिए नीचे का अंकगणित अर्धों व तिहाइयों में रहता है। B पर 10 kN व C पर 10 kN भार। सममिति Ay = Dy = 10 kN देती है। संधि A पर केवल AB व AE हैं, अतः 10 + (4/5)F_AE = 0 से F_AE = −12.5 kN (संपीडन) और तत्पश्चात् F_AB = −(3/5)(−12.5) = +7.5 kN (तनन)। संधि E पर AE, BE व EF हैं: E पर पहुँचता AE का ऊर्ध्व घटक 10 kN ऊपर है, अतः F_BE = +10 kN तथा F_EF = −7.5 kN। अब संधि B, और यही वह भाग है जिस पर धीमा होना उचित है: वहाँ भार 10 kN नीचे है, BE ठीक 10 kN ऊपर लाता है, अतः विकर्ण के पास कुछ शेष नहीं — F_BF = 0। अब केवल भार बदलें: B पर 20 kN और C पर कुछ नहीं। प्रतिक्रियाएँ 13.333 व 6.667 हो जाती हैं, और वही संधि-यात्रा F_BF = +8.333 kN देती है जबकि F_CF शून्य पर गिर जाता है। सदस्य नहीं बदला। उसकी लंबाई, उसका कोण व उसके पड़ोसी नहीं बदले। शून्य-बल सदस्य भारण का गुणधर्म है, केवल ज्यामिति का नहीं — और वह अभ्यर्थी जिसने इसके बिना दो ज्यामितीय संक्षिप्त-मार्ग कंठस्थ किए हैं, 8 kN वहन करते सदस्य को आत्मविश्वास से शून्य कर देगा।
9 मीटर प्रैट ट्रस: प्रत्येक सदस्य-बल, दो भारणों हेतु (+ तनन, − संपीडन, kN)
सदस्यB पर 10 kN, C पर 10 kNकेवल B पर 20 kN
AB+7.5+10
BC+7.5+5
CD+7.5+5
EF−7.5−10
AE−12.5−16.667
BE+10+13.333
BF0 — शून्य-बल+8.333
CF+100 — शून्य-बल
DF−12.5−8.333
प्रतिक्रियाएँ Ay, Dy10, 1013.333, 6.667

काट-विधि उस प्रश्न का उत्तर देती है जो परीक्षा वस्तुतः पूछती है, जो कभी मुझे नौ सदस्य दो नहीं होता बल्कि BC में बल कितना है होता है। ट्रस को उस रेखा से काटें जो BC, BF व EF को पार करती है — तीन अज्ञात, और एक ही काट अधिकतम इतने ही सुलझा सकती है — दक्षिण भाग फेंक दें, और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ तीनों में दो अज्ञात मिलते हैं। BF व EF दोनों E(3, 4) से होकर जाते हैं, अतः E के परितः आघूर्ण BC को अकेला छोड़ देते हैं: वाम भाग A(0,0) पर Ay = 10 kN ऊपर तथा B(3,0) पर 10 kN भार नीचे वहन करता है। भार ठीक E के नीचे के बिंदु से होकर कार्य करता है और कुछ योगदान नहीं देता; प्रतिक्रिया 10 × 3 = 30 kN·m देती है; और F_BC, E से 4 मीटर नीचे क्षैतिजतः कार्य करता है, अतः 4 F_BC = 30 और F_BC = +7.5 kN, जो सम्पूर्ण हल से मेल खाता है। चार संधियों पर चलने के बजाय एक समीकरण। काट चुनने का नियम यांत्रिक है: तीन से अधिक अज्ञात सदस्य न काटें, फिर उनके संगामी बिंदु के परितः आघूर्ण लें।

🧠 आभासी कार्य: वह विधि जो कभी ऐसी प्रतिक्रिया नहीं खींचती जिसकी उसे आवश्यकता न हो
आभासी कार्य मुक्त पिंडों का विकल्प है, और वह ठीक एक प्रकार की समस्या पर अपना स्थान अर्जित करता है: एक स्वातंत्र्य-कोटि वाली यंत्रावली जहाँ आप एक बल चाहते हैं और कुछ नहीं। कथन यह है कि साम्य में निकाय हेतु किसी भी लघु गतिकतः स्वीकार्य विस्थापन से होकर सभी बलों द्वारा किया कुल कार्य शून्य है — और गाढ़े अक्षरों का पद ही उसे उपयोगी बनाता है, क्योंकि जो विस्थापन प्रतिबंधों का सम्मान करे वह प्रतिबंध-बलों के विरुद्ध कोई कार्य नहीं करता, अतः प्रत्येक कीलक-प्रतिक्रिया, प्रत्येक चिकने पृष्ठ का अभिलंब तथा दृढ़ कड़ी का प्रत्येक आंतरिक बल समीकरण लिखे जाने से पूर्व ही उससे निकल जाता है। एक हल करें। किसी टॉगल-प्रेस में शीर्ष पर कीलित दो समान कड़ियाँ हैं, प्रत्येक क्षैतिज से θ कोण पर, शीर्ष पर नीचे की ओर W भार वहन करती हुईं जबकि सर्पण करते सिरे पर क्षैतिज बल P लगाया गया है। θ को आभासी वृद्धि δθ दें। शीर्ष L cos θ · δθ उठता है और सर्पक 2L sin θ · δθ भीतर चलता है, अतः W L cos θ · δθ = P · 2L sin θ · δθ और P = W/(2 tan θ) — कड़ी की लंबाई निरसित हो जाती है, और कोई कीलक-बल कभी निकाला ही नहीं गया। टॉगल क्यों विद्यमान हैं यह देखने हेतु संख्याएँ पढ़ें: θ = 45° पर आपको 0.500 W चाहिए, 30° पर 0.866 W, और 15° पर 1.866 W। कड़ियाँ θ → 0 की ओर सपाट होते ही यांत्रिक लाभ दूसरी दिशा में चलता है, जहाँ P → 0 किसी भी भार को रोक लेता है, और वही टॉगल-क्लैंप व शिला-चूर्णक का सिद्धांत है। ईमानदार सीमा: आभासी कार्य आपको प्रति स्वातंत्र्य-कोटि एक समीकरण देता है, अतः वह सदस्य-बलों का सम्पूर्ण समुच्चय नहीं दे सकता और ट्रस हेतु गलत उपकरण है। जब आप सब कुछ चाहें तो मुक्त पिंड प्रयोग करें और जब एक वस्तु सस्ते में चाहें तो आभासी कार्य।
🧠 दो ज्यामितीय शून्य-बल नियम, तथा उनका ठीक क्षेत्र
दोनों नियम अभारित संधि के विषय में कथन हैं, और दोनों को उपाधि सहित कहना उचित है, क्योंकि उपाधि ही वह है जिसका उल्लंघन पिछली टिप्पणी ने दिखाया। नियम एक: ऐसी अभारित संधि पर जहाँ ठीक दो असरेख सदस्य मिलते हों, दोनों शून्य हैं — एक के लंबवत् दिशा में वियोजन करें और दूसरे को लुप्त होना ही पड़ता है। नियम दो: ऐसी अभारित संधि पर जहाँ तीन सदस्य मिलते हों और उनमें दो सरेख हों, तीसरा शून्य है, और दोनों सरेख समान बल वहन करते हैं। दोनों से अभारित संधि शब्द जोड़े रखें और वे कभी भ्रमित नहीं करते। उन्हें अलग करें और मानक त्रुटि मिलती है: नियम दो को उस संधि पर लगाना जो बाह्य भार वहन करती है, जहाँ तीसरा सदस्य ठीक उसी भार को अपनी दिशा में वियोजित करके वहन करता है। ऊपर के ट्रस में संधि B पर चार सदस्य व एक भार है, अतः कोई नियम लागू ही नहीं होता — वहाँ F_BF = 0 को गणना करना पड़ा, और भार बदलते ही वह बदल गया।

घर्षण: प्रथम प्रश्न सदा “वह गतिमान है क्या?” क्यों होता है

कूलों घर्षण असमिका के रूप में कहा गया है, और उसे समीकरण मानना इस खंड में अंक खोने का सर्वाधिक विश्वसनीय उपाय है। स्थैतिक नियम F ≤ μ_s N है: घर्षण वही स्पर्शरेखीय बल देता है जो साम्य माँगे, अभिलंब प्रतिक्रिया के समानुपाती एक अधिसीमा तक, और केवल आसन्न गति पर वह ठीक μ_s N पर बैठता है। सर्पण आरंभ होने पर नियम समीकरण बन ही जाता है, F = μ_k N, सापेक्ष गति के विरुद्ध दिशित। अतः प्रक्रिया में एक शाखा है। वह घर्षण-बल निकालें जो साम्य अपेक्षित करता है, उसकी μ_s N से तुलना करें, और तभी निर्णय करें कि आप किस स्थिति में हैं। 30° नत तल पर μ_s = 0.3 सहित W भार का गुटका ढाल के अनुदिश W sin 30° = 0.5 W अपेक्षित करता है जबकि अधिसीमा 0.3 W cos 30° = 0.2598 W है — अपेक्षा अधिसीमा से अधिक है, अतः वह सर्पण करता है, और जो प्रश्न "घर्षण-बल" माँगे वह μ_k N चाहता है, W sin θ नहीं। उलट दें और वही संख्याएँ अभिकल्प-प्रश्न का उत्तर देती हैं: गुटके को रोकने हेतु आपको कमी की पूर्ति करनी है, ढाल पर ऊपर की ओर W(sin 30° − 0.3 cos 30°) = 0.2402 W; उसे स्थिर गति से ऊपर धकेलने हेतु आप गुरुत्व व घर्षण दोनों से लड़ते हैं, W(sin 30° + 0.3 cos 30°) = 0.7598 W। उसी गुटके हेतु तीन गुना बल, क्योंकि घर्षण ने दिशा उलट दी।

एक गुटके पर की गई घर्षण-शाखा: 30° पर W, μ = 0.3
पूछा गया प्रश्नक्या निकालेंउत्तर
वह टिका रहता है क्या?tan θ की μ से तुलना करेंtan 30° = 0.5774 > 0.3 — नहीं, वह सर्पण करता है
सर्पण के दौरान घर्षण-बलμ N = μ W cos θ, W sin θ नहीं0.2598 W
उसे बस रोकने हेतु ढाल पर ऊपर बलW(sin θ − μ cos θ)0.2402 W
उसे स्थिर गति से ऊपर खींचने हेतु बलW(sin θ + μ cos θ)0.7598 W — रोकने वाले बल का 3.16 गुना
विश्राम कोणθ = arctan μ, W से स्वतंत्रarctan 0.3 = 16.70° — 30° से बहुत नीचे
🎯 सीढ़ी, तथा भित्ति के चिकनी होने का वस्तुतः कहाँ प्रवेश होता है
L लंबाई व W भार की एकसमान सीढ़ी चिकनी ऊर्ध्व भित्ति के सहारे टिकी है, उसका पाद μ गुणांक के फ़र्श पर है। वह लघुतम कोण θ खोजें, क्षैतिज से, जिस पर वह सर्पण न करे। तीन अज्ञात — भित्ति-प्रतिक्रिया N_w (केवल क्षैतिज, क्योंकि भित्ति चिकनी है), फ़र्श का अभिलंब N_f तथा फ़र्श का घर्षण F। ऊर्ध्व साम्य तत्काल N_f = W देता है, क्योंकि भित्ति केवल पार्श्व में धकेलती है। क्षैतिज साम्य F = N_w देता है। पाद के परितः आघूर्ण, भार मध्य-विस्तार पर होने से: W (L/2) cos θ = N_w L sin θ, अतः N_w = (W/2) cot θ। आसन्न सर्पण पर F = μ N_f = μW, अतः μW = (W/2) cot θ और tan θ = 1/(2μ) — भार व लंबाई दोनों निरसित हो जाते हैं, और यही स्मरण योग्य परिणाम है: भारी सीढ़ी के सर्पण करने की संभावना अधिक नहीं, न लंबी की। μ = 0.25 सहित उत्तर arctan 4 = 63.43° है। इसके आकार के विषय में दो बातें ध्यान देने योग्य हैं। प्रथम, W का निरसित होना ही वह है जो किसी व्यक्ति को सीढ़ी चढ़कर उत्तर बदलने देता है: चढ़ने वाला भार मध्य-विस्तार से दूर जोड़ता है, जो केवल योग नहीं बल्कि आघूर्ण-बाहु बदलता है, अतः सुरक्षित कोण बढ़ जाता है। द्वितीय, भित्ति का चिकना होना ऐसा सरलीकरण नहीं जिसे आप लापरवाही से छोड़ सकें — जिस क्षण भित्ति घर्षण वहन करती है, ऊर्ध्व साम्य आपको N_f = W नहीं देता, समस्या में एक अज्ञात जुड़ जाता है, और वह स्थैतिकतः अनिर्धार्य हो जाती है जब तक भित्ति भी आसन्न सर्पण पर न हो।

गतिकी: वह संरक्षण-नियम चुनें जिसे प्रश्न पहले ही नामित कर चुका है

इस पेपर का प्रत्येक कण-गतिकी प्रश्न F = ma तथा पर्याप्त धैर्य से उत्तर-योग्य है, और उनमें लगभग कोई भी वैसे हल नहीं होना चाहिए। तीन समाकलित रूप ठीक इसीलिए विद्यमान हैं कि आप त्वरण छोड़ सकें, और प्रश्न अपना ही चर नामित करके बता देता है कि कौन-सा प्रयोग करें। दूरी आए → कार्य–ऊर्जा: ½mv₂² − ½mv₁² = ΣW, और अचर बल द्वारा किया कार्य F·d cos θ है, स्प्रिंग द्वारा ½kx², घर्षण द्वारा −μNd और सदा ऋणात्मक। समय आए → आवेग–संवेग: m v₂ − m v₁ = ∫F dt, और जब निकाय पर कोई बाह्य आवेग न लगे, संवेग संरक्षित है, भीतर जो भी हो। दो पिंड टकराएँ → दोनों, तथा प्रत्यावस्थान: किसी भी संघट्ट में संवेग संरक्षित है, किंतु ऊर्जा नहीं, और प्रत्यावस्थान गुणांक e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂) दूसरा समीकरण देता है। e = 1 पूर्णतः प्रत्यास्थ है और गतिज ऊर्जा संरक्षित करता है; e = 0 पूर्णतः सुघट्य है और पिंड एक साथ निकलते हैं। बीच का कुछ भी ऊर्जा संरक्षित नहीं करता, और यही गुणांक का प्रयोजन है।

🎯 हल किया गया एक संघट्ट, तथा उसके साथ की ऊर्जा-लेखा
m₁ = 2 kg, +6 m/s पर लें, जो m₂ = 3 kg, −2 m/s पर से सम्मुख मिलता है, e = 0.6 सहित। पूर्व संवेग 2(6) + 3(−2) = +6 kg·m/s है। प्रत्यावस्थान कहता है पृथक्करण-चाल अभिगमन-चाल की 0.6 × है, और अभिगमन-चाल 6 − (−2) = 8 m/s है, अतः v₂ − v₁ = 4.8 m/s। दो समीकरण, दो अज्ञात: v₁ = −1.68 m/s तथा v₂ = +3.12 m/s। दोनों जाँचें — पश्चात् संवेग 2(−1.68) + 3(3.12) = +6.00 ✓ तथा (3.12 − (−1.68))/8 = 0.6 ✓। हल्का पिंड पीछे उछल गया है, और यह ध्यान देने योग्य है: वह +6 पर आया और −1.68 पर निकलता है। अब ऊर्जा-लेखा, क्योंकि 2-अंक प्रश्न वही माँगता है। पूर्व: ½(2)(36) + ½(3)(4) = 42 J। पश्चात्: ½(2)(1.68²) + ½(3)(3.12²) = 17.424 J। अतः 24.576 J — गतिज ऊर्जा का 58.5 प्रतिशत — चला गया है, विरूपण, ताप व ध्वनि में। संख्याओं से लेने योग्य दो आदतें। प्रथम, संवेग सदिश है और उसका चिह्न सूचना वहन करता है, अतः वेगों के बजाय चालों से किया संघट्ट-प्रश्न चुपचाप गलत उत्तर देगा। द्वितीय, ऊर्जा-हानि यहाँ लघु संशोधन नहीं है: e = 0.6 पर अधिकांश गतिज ऊर्जा निकाय छोड़ चुकी है, और e का एकमात्र मान जिस पर कुछ नहीं जाता, ठीक 1 है।

दृढ़ पिंड घूर्णन जोड़ते हैं, और उपयोगी सरलीकरण यह है कि समतल गति द्रव्यमान-केंद्र का स्थानांतरण तथा उसके परितः एक घूर्णन है: ΣF = m a_G तथा ΣM_G = I_G α, और दोनों स्वतंत्र हैं जब तक कोई प्रतिबंध उन्हें न बाँधे। फिसलन-रहित लोटन ठीक वही प्रतिबंध है, v_G = ωr व a_G = αr, और वह दो अज्ञातों को एक बना देता है। m द्रव्यमान, r त्रिज्या व k घूर्णन-त्रिज्या के पिंड को θ नत तल पर लुढ़काएँ: स्पर्श-बिंदु के परितः आघूर्ण लेना, जो तात्क्षणिक केंद्र है और अतः घर्षण-बल को समाप्त कर देता है, a_G = g sin θ / (1 + k²/r²) देता है — वह परिणाम जिसमें द्रव्यमान व त्रिज्या दोनों निरसित हो गए हैं। केवल आकृति बची रहती है, k²/r² के माध्यम से, और इसीलिए ठोस बेलन ढाल पर सदा वलय को हरा देता है, चाहे दोनों में कोई कितना भी भारी हो। लोटन बनाए रखने हेतु आवश्यक घर्षण μ ≥ tan θ/(1 + r²/k²) है, जो ठोस बेलन हेतु tan θ/3 है — 30° पर मात्र 0.1925, अतः लोटन की व्यवस्था सरल है और सर्पण विशेष स्थिति है।

नत तल पर लोटन: त्वरण केवल आकृति पर निर्भर
पिंडk²/r²g sin θ के अंश रूप में a_G30° पर लोटन हेतु न्यूनतम μ
पतला वलय11/2 = 0.50000.2887
पतला गोलीय कोश2/33/5 = 0.60000.2309
ठोस बेलन1/22/3 = 0.66670.1925
ठोस गोला2/55/7 = 0.71430.1650
सर्पण करता गुटका, μ = 001 — घुमाने योग्य कुछ नहींलागू नहीं
🧠 तात्क्षणिक केंद्र, तथा उससे दो पंक्तियों में मिलता एक उत्तर
समतल गति में दृढ़ पिंड हेतु प्रत्येक क्षण एक बिंदु होता है — संभवतः पिंड के बाहर — जिसका वेग शून्य है, और जिसके परितः सम्पूर्ण पिंड क्षण-मात्र घूर्णन कर रहा है। उसे खोजें और पिंड का प्रत्येक वेग v = ω × r से निकल आता है, कोई युगपत् समीकरण नहीं। उसे स्थापित करना ज्यामितीय है: दो ज्ञात वेग-दिशाओं पर लंब खींचें और वे तात्क्षणिक केंद्र पर मिलते हैं। 2 मीटर लंबी छड़ का एक सिरा फ़र्श पर व दूसरा ऊर्ध्व भित्ति पर सर्पण करता है, भित्ति से 30° पर, और फ़र्श वाला सिरा 1 m/s से चलता है। फ़र्श वाला सिरा क्षैतिजतः चलता है, भित्ति वाला ऊर्ध्वतः, अतः लंब उन सिरों से होकर एक ऊर्ध्व व एक क्षैतिज रेखा हैं और तात्क्षणिक केंद्र उनसे बने आयत के कोने पर बैठता है। तब ω = v_A/(L cos 30°) = 1/(2 × 0.866) = 0.5774 rad/s, और भित्ति वाले सिरे की चाल L sin 30° × ω = 0.5774 m/s है, जो ठीक v_A tan 30° है — लंबाई पुनः निरसित हो गई। सीमाओं की विवेक-जाँच करें, क्योंकि वे निःशुल्क अंक हैं: छड़ जैसे भित्ति के निकट आती है ऊपरी सिरा शून्य तक धीमा हो जाता है, और जैसे वह फ़र्श पर सपाट होती है ऊपरी सिरा अनंत की ओर भाग जाता है। जो बीजगणित उन दो सीमाओं को पुनरुत्पादित न करे उसमें एक साइन व कोसाइन आपस में बदल गए हैं।

मुख्य बिंदु

  • समीकरण लिखने से पूर्व मुक्त पिंड खींचें। तीन समतल समीकरण विद्यमान हैं; दो अज्ञातों के प्रतिच्छेद के परितः आघूर्ण लेना दोनों को हटा देता है। पहले निर्धार्यता: समतल ट्रस हेतु m = 2j − 3।
  • शून्य-बल सदस्य भारण का गुणधर्म है, केवल ज्यामिति का नहीं। 9 मीटर प्रैट ट्रस में BF, 10 + 10 kN पर 0 और केवल B पर 20 kN पर +8.333 kN वहन करता है। दोनों शून्य-बल नियम केवल अभारित संधि पर लागू हैं।
  • जब एक सदस्य पूछा जाए तो संधियों के बजाय काट प्रयोग करें। अधिकतम तीन अज्ञात काटें और उनके संगामी बिंदु के परितः आघूर्ण लें — चार संधियों के बजाय एक समीकरण में F_BC = +7.5 kN।
  • F = μN केवल आसन्न गति पर अथवा सर्पण के दौरान टिकता है। पहले साम्य की अपेक्षा की μ_s N से तुलना करें। μ = 0.3 सहित 30° पर गुटका सर्पण करता है, रोकने हेतु 0.2402 W और ऊपर खींचने हेतु 0.7598 W चाहिए।
  • प्रश्न को संरक्षण-नियम नामित करने दें: दूरी → कार्य–ऊर्जा, समय → आवेग–संवेग, संघट्ट → संवेग तथा प्रत्यावस्थान। संवेग प्रत्येक संघट्ट में बचता है; गतिज ऊर्जा केवल e = 1 पर।
  • नत तल पर लोटन द्रव्यमान व त्रिज्या भूल जाता है। a_G = g sin θ/(1 + k²/r²), वलय, कोश, बेलन व गोले हेतु g sin θ का 1/2, 3/5, 2/3 व 5/7 देता है — आकृति ही एकमात्र बचा चर है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी समतल कीलक-संधित ट्रस में 6 संधियाँ व 9 सदस्य हैं, जो एक कीलक व एक बेलन-आधार से आधारित है। ट्रस है

    1. स्थैतिकतः निर्धार्य
    2. कोटि 1 तक स्थैतिकतः अनिर्धार्य
    3. यंत्रावली — वह ढह जाएगा
    4. निर्धार्य केवल तब यदि भार सममित हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्थैतिकतः निर्धार्य

    स्थैतिकतः निर्धार्य। कीलक दो प्रतिक्रिया-घटक देती है और बेलन-आधार एक, अतः तीन आधार-अज्ञात व नौ सदस्य-अज्ञात हैं, कुल बारह। छहों संधियों में प्रत्येक दो साम्य-समीकरण देती है, अतः बारह समीकरण हैं — और m = 2j − 3 पढ़ता है 9 = 12 − 3 ✓। विकल्प D दो स्वतंत्र बातें मिला देता है: निर्धार्यता संरचना का गुणधर्म है, और भारण उसमें कभी प्रवेश नहीं करता। गिनती केवल सदस्यों, संधियों व प्रतिक्रियाओं की है, और इसीलिए आप भार पढ़ने से पूर्व उसे निपटा सकते हैं। विकल्प B हेतु दसवाँ सदस्य अथवा दूसरा बेलन-आधार चाहिए; विकल्प C हेतु एक सदस्य हटा हुआ, जिसके पश्चात् कोई संधि किसी वस्तु को खींचे बिना चल सकती और कोई साम्य-हल विद्यमान न होता। गिनती जो एक चेतावनी नहीं पकड़ सकती: ट्रस m = 2j − 3 संतुष्ट करके भी अस्थिर हो सकता है यदि सदस्य बुरी तरह व्यवस्थित हों — मानो किसी संधि पर तीन सरेख सदस्य — अतः गिनती आवश्यक है, पर्याप्त नहीं।

  2. 9 मीटर विस्तार के तीन-पटल प्रैट ट्रस (पटल 3 मीटर, ऊँचाई 4 मीटर, A पर कीलक, D पर बेलन-आधार) में B तथा C पर 10 kN के ऊर्ध्व भार लगते हैं। अध:जीवा सदस्य BC में बल, kN में, ______ है (तनन हेतु धनात्मक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7.5

    +7.5 kN, तनन। काट-विधि प्रयोग करें और वह एक समीकरण है। सममिति Ay = Dy = 10 kN देती है। BC, BF व EF से होकर काटें और वाम भाग रखें। E(3, 4) के परितः आघूर्ण लें, वह बिंदु जहाँ अन्य दो अज्ञात पार करते हैं: F_EF उससे होकर जाता है और F_BF भी, अतः दोनों निकल जाते हैं। प्रतिक्रिया E से 3 मीटर वाम में कार्य करती है और 10 × 3 = 30 kN·m देती है; B(3, 0) पर 10 kN भार ठीक E के नीचे है, अतः उसकी आघूर्ण-बाहु शून्य है और वह कुछ भी नहीं देता; और F_BC, y = 0 के अनुदिश क्षैतिजतः, E से 4 मीटर नीचे, 4 बाहु सहित कार्य करता है। अतः 4 F_BC = 30 और F_BC = 7.5 kN, धनात्मक अतः तनन — जैसा नमित अवस्था में अध:जीवा को होना चाहिए। सम्पूर्ण 12-अज्ञात आधात्री-हल चौदह दशमलव स्थानों तक सहमत है। परीक्षा हेतु दो पाठ। प्रथम, किसी अन्य बिंदु के बजाय E चुनना ही सम्पूर्ण विधि है — B चुनें और आप F_EF को व्यर्थ ढोते हैं। द्वितीय, ध्यान दें कि असुविधाजनक दिखते भार ने आपसे कितना नहीं लिया: वह आघूर्ण-केंद्र से होकर कार्य-रेखा पर बैठा था, अतः वह समीकरण में कभी नहीं आया।

  3. समतल ट्रस में शून्य-बल सदस्यों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. ऐसी अभारित संधि पर जहाँ ठीक दो असरेख सदस्य मिलते हैं, दोनों शून्य बल वहन करते हैं
    2. कोई दिया सदस्य शून्य बल वहन करता है या नहीं, यह इस पर निर्भर कर सकता है कि भार कहाँ लगाए गए हैं
    3. शून्य-बल सदस्य को किसी भी भारण में ट्रस को प्रभावित किए बिना हटाया जा सकता है
    4. ऐसी संधि पर जहाँ तीन सदस्य मिलते हैं, उनमें दो सरेख, और कोई भार न लगे, तीसरा शून्य बल वहन करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऐसी अभारित संधि पर जहाँ ठीक दो असरेख सदस्य मिलते हैं, दोनों शून्य बल वहन करते हैं; B — कोई दिया सदस्य शून्य बल वहन करता है या नहीं, यह इस पर निर्भर कर सकता है कि भार कहाँ लगाए गए हैं; D — ऐसी संधि पर जहाँ तीन सदस्य मिलते हैं, उनमें दो सरेख, और कोई भार न लगे, तीसरा शून्य बल वहन करता है

    A, B व D। A व D दो मानक नियम हैं, और दोनों में अभारित संधि शब्द किसी कारण से हैं — भार लगाएँ और कोई नहीं बचता। B वह कथन है जिस पर यह अध्याय बना है, और वही सर्वाधिक बार गलत होता है: 9 मीटर प्रैट ट्रस में सदस्य BF, B पर 10 kN व C पर 10 kN में 0 kN वहन करता है, और केवल B पर 20 kN में +8.333 kN। वही सदस्य, वही ज्यामिति, भिन्न भार, भिन्न उत्तर। C असत्य है, और संकटपूर्ण रूप से। किसी एक भारण में शून्य-बल होना दूसरे के विषय में कुछ नहीं कहता, अतः BF हटाने से ट्रस के पास m = 8, 2j − 3 = 9 बचेगा — यंत्रावली, जो अगले ही असममित भार में ढह जाती है। वास्तविक ट्रस ऐसे सदस्य ठीक इसीलिए रखते हैं कि जो भार-स्थिति उन्हें अतिरिक्त बनाती है वह उनकी देखी एकमात्र स्थिति नहीं; सममित सजीव भार में निष्क्रिय विकर्ण ही एकपक्षीय पवन-भार वहन करता है। यदि कोई प्रश्न आपसे शून्य-बल सदस्य हटाने को कहे, तो वह उसी एक भार-स्थिति के विषय में पूछ रहा है, और निर्धार्यता-गिनती वह जाँच है जो बताती है कि आपने क्या नष्ट किया।

  4. W भार का गुटका 30° पर नत तल पर रखा है, गुटके व तल के बीच μ_s = μ_k = 0.3 सहित। कोई अन्य बल नहीं लगता। गुटके पर घर्षण-बल है

    1. 0.500 W, तल पर ऊपर — वह भार-घटक संतुलित करता है
    2. 0.260 W, तल पर ऊपर
    3. 0.300 W, तल पर ऊपर
    4. शून्य, क्योंकि गुटका साम्य में नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — `0.260 W`, तल पर ऊपर

    तल पर ऊपर 0.260 W। शाखा चलाएँ। साम्य ढाल के अनुदिश W sin 30° = 0.500 W अपेक्षित करता, किंतु स्थैतिक अधिसीमा μ_s N = 0.3 W cos 30° = 0.2598 W है। अपेक्षा अधिसीमा से अधिक है, अतः साम्य असंभव है — गुटका सर्पण करता है, और सर्पण करते ही घर्षण-बल μ_k N = 0.3 W cos 30° = 0.2598 W ≈ 0.260 W है, गति के विरुद्ध तल पर ऊपर दिशित। विकल्प A जाल है, और वही उत्तर आपको साम्य की जाँच के बजाय उसे मान लेने से मिलता है: W sin θ वह है जो घर्षण को होना पड़ता, वह नहीं जो वह है। विकल्प C cos 30° भूल जाता है — घर्षण अभिलंब प्रतिक्रिया के समानुपाती है, जो नत तल पर W cos θ है, W नहीं। विकल्प D भौतिकी आधी सही करता है, ठीक पकड़ता है कि गुटका साम्य में नहीं, और तत्पश्चात् गलत निष्कर्ष निकालता है: सर्पण-घर्षण अपने अधिकतम पर है, शून्य नहीं। सस्ती प्रथम जाँच विश्राम कोण है, arctan 0.3 = 16.7°: उससे तीव्र किसी भी ढाल पर यह गुटका चलने वाला है।

  5. एकसमान सीढ़ी चिकनी ऊर्ध्व भित्ति के सहारे टिकी है, उसका पाद μ = 0.25 के फ़र्श पर। बिना सर्पण किए वह क्षैतिज से जो न्यूनतम कोण बना सकती है, डिग्री में, ______ है (दो दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 63.43

    63.43°। तीन अज्ञात व तीन समीकरण। भित्ति चिकनी है, अतः वह केवल क्षैतिजतः धकेलती है, जिसका अर्थ है ऊर्ध्व साम्य आपको तत्काल N_f = W दे देता है। क्षैतिज साम्य F = N_w देता है। पाद के परितः आघूर्ण, भार मध्य-विस्तार पर कार्य करते हुए: W (L/2) cos θ = N_w L sin θ, अतः N_w = (W/2) cot θ। आसन्न सर्पण पर F = μ N_f = μW, और बराबर करने से μW = (W/2) cot θ मिलता है, अर्थात् tan θ = 1/(2μ)। μ = 0.25 सहित वह tan θ = 2 है, अतः θ = arctan 2 = 63.4349°। परिणाम की संरचना संख्या से अधिक मूल्यवान है: W व L दोनों निरसित हो जाते हैं, अतः भारी सीढ़ी अधिक सुरक्षित नहीं और लंबी अधिक बुरी नहीं — वस्तुतः प्रति-सहज तथ्य, जिसे पढ़ाने हेतु यह समस्या विद्यमान है। जो उत्तर बदलता है वह सीढ़ी पर कोई व्यक्ति है, क्योंकि उसका भार मध्य-विस्तार से दूर कार्य करता है और केवल कुल भार नहीं बल्कि आघूर्ण-बाहु बदलता है, जिससे सुरक्षित कोण ऊपर चढ़ जाता है। और चिकनी भित्ति सजावट नहीं है: भित्ति को घर्षण दें और ऊर्ध्व साम्य N_f = W नहीं देता, चौथा अज्ञात प्रकट होता है, और समस्या स्थैतिकतः अनिर्धार्य है जब तक भित्ति भी आसन्न सर्पण पर न हो।

  6. 6 m/s से चलता 2 kg का पिंड विपरीत दिशा में 2 m/s से चलते 3 kg के पिंड से सम्मुख टकराता है। प्रत्यावस्थान गुणांक 0.6 है। संघट्ट में खोई गतिज ऊर्जा, जूल में, ______ है (दो दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 24.58

    24.58 J। पहले पिंड को + दिशा में गतिमान रखें, अतः u₁ = +6 व u₂ = −2 — और उस चिह्न को सही करना ही प्रश्न का अधिकांश है। संवेग: 2(6) + 3(−2) = +6 kg·m/s, संरक्षित। प्रत्यावस्थान: अभिगमन-चाल u₁ − u₂ = 8 m/s है, अतः पृथक्करण-चाल 0.6 × 8 = 4.8, जिससे v₂ − v₁ = 4.8। युग्म हल करने पर: v₁ = −1.68 m/s (हल्का पिंड पीछे उछलता है) तथा v₂ = +3.12 m/s। पश्चात् संवेग जाँचें: 2(−1.68) + 3(3.12) = +6.00 ✓। पूर्व ऊर्जा ½(2)(36) + ½(3)(4) = 36 + 6 = 42 J है; पश्चात्, ½(2)(2.8224) + ½(3)(9.7344) = 2.8224 + 14.6016 = 17.424 J। हानि 42 − 17.424 = 24.576 J है, जो प्रवेश किए का 58.5 प्रतिशत है — लघु संशोधन नहीं। दो जाल। चिह्नित वेगों के बजाय चालें प्रयोग करने से अभिगमन-चाल 4 m/s आती है और सम्पूर्ण उत्तर ढह जाता है। और जो अभ्यर्थी आदतवश e = 1 उठा लेता है वह ऊर्जा संरक्षित करके 0 उत्तर देता है, और उसी को बाहर रखने हेतु प्रत्यावस्थान गुणांक विद्यमान है: e = 1 एकमात्र मान है जिस पर कोई ऊर्जा नहीं खोती, और कोई भी e < 1 अर्थ रखता है कि संघट्ट ने कुछ खा लिया।

  7. समान द्रव्यमान व त्रिज्या का ठोस बेलन तथा पतला वलय नत तल के शिखर से विश्राम से एक साथ छोड़े जाते हैं और फिसले बिना लुढ़कते हैं। कौन पहले तल पर पहुँचता है, और क्यों?

    1. वलय, क्योंकि उसका बृहत्तर जड़त्व आघूर्ण अधिक ऊर्जा संचित करता है
    2. बेलन, क्योंकि उसका लघुतर k²/r², g sin θ का अधिक भाग स्थानांतरण हेतु छोड़ता है
    3. वे एक साथ पहुँचते हैं, क्योंकि दोनों का द्रव्यमान व त्रिज्या समान है
    4. बेलन, किंतु केवल तब यदि नत तल विश्राम कोण से तीव्र हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — बेलन, क्योंकि उसका लघुतर `k²/r²`, `g sin θ` का अधिक भाग स्थानांतरण हेतु छोड़ता है

    बेलन, k²/r² के कारण। स्पर्श-बिंदु के परितः आघूर्ण a_G = g sin θ/(1 + k²/r²) देते हैं, जिसमें द्रव्यमान व त्रिज्या दोनों निरसित हो गए हैं। ठोस बेलन हेतु k²/r² = 1/2, अतः a_G = (2/3) g sin θ; पतले वलय हेतु k²/r² = 1, अतः a_G = (1/2) g sin θ। बेलन एक-तिहाई अधिक तीव्रता से त्वरित होता है और ऐसे अंतर से जीतता है जो इस पर निर्भर नहीं कि कोई पिंड कितना भारी है। विकल्प A में ऊर्जा-विभाजन की भौतिकी सही है — वलय मुक्त हुई स्थितिज ऊर्जा का बृहत्तर भाग घूर्णन में डालता ही है — किंतु उससे विपरीत निष्कर्ष निकालता है: घूर्णन में जाती ऊर्जा वह ऊर्जा है जो अग्र चाल में नहीं जा रही, अतः बृहत्तर जड़त्व आघूर्ण बाधा है, लाभ नहीं। विकल्प C अभिप्रेत जाल है, और वह इसलिए विफल है कि द्रव्यमान व त्रिज्या ठीक वे दो वस्तुएँ हैं जो निरसित होती हैं; द्रव्यमान का वितरण ही बचता है। विकल्प D लोटन होने की शर्त को लोटन होने के पश्चात् की क्रम-निर्धारण से मिला देता है: लोटन हेतु बेलन को μ ≥ tan θ/3 और वलय को tan θ/2 चाहिए, जो पृथक् प्रश्न है, और उन देहलियों के ऊपर क्रम कभी नहीं बदलता।

  8. L लंबाई की छड़ का एक सिरा फ़र्श के अनुदिश व दूसरा ऊर्ध्व भित्ति के अनुदिश सर्पण करता है, भित्ति से θ कोण बनाते हुए। यदि फ़र्श वाला सिरा v_A चाल से चले, तो भित्ति वाला सिरा चलता है

    1. v_A tan θ
    2. v_A cot θ
    3. v_A, क्योंकि छड़ दृढ़ है
    4. v_A L sin θ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — `v_A tan θ`

    v_A tan θ। तात्क्षणिक केंद्र स्थापित करें: फ़र्श वाला सिरा क्षैतिजतः चलता है और भित्ति वाला ऊर्ध्वतः, अतः उन दो वेगों पर लंब फ़र्श वाले सिरे से होकर एक ऊर्ध्व रेखा व भित्ति वाले सिरे से होकर एक क्षैतिज रेखा हैं, जो छड़ के फैलाए आयत के दूरस्थ कोने पर मिलती हैं। θ को भित्ति से मापने पर, फ़र्श वाला सिरा भित्ति से L sin θ पर बैठता है और भित्ति वाला फ़र्श से L cos θ पर, अतः ω = v_A/(L cos θ) और भित्ति वाले सिरे की चाल L sin θ × ω = v_A tan θ है। लंबाई निरसित होती है, और यही चलाने योग्य जाँच है: दृढ़ पिंड में वेग-अनुपात कोणों पर निर्भर हैं, आकार पर नहीं। L = 2 m, θ = 30°, v_A = 1 m/s लें: ω = 0.5774 rad/s और भित्ति वाला सिरा 0.5774 m/s से चलता है, जो tan 30° से मेल खाता है। विकल्प C मानक त्रुटि है — दृढ़ता सिरों के बीच की दूरी नियत करती है, उनकी चालें नहीं, और घूर्णन करते पिंड के दो सिरे सामान्यतः भिन्न दरों से चलते हैं। विकल्प B वही उत्तर है जिसमें θ भित्ति के बजाय फ़र्श से मापा गया है, और इसीलिए आकृति पढ़ना बीजगणित जितना ही महत्व रखता है। सीमाएँ जाँचें: छड़ जैसे भित्ति के निकट आती है (θ → 0) भित्ति वाला सिरा रुक जाता है, और जैसे वह सपाट होती है (θ → 90°) वह असीम भाग जाता है — tan θ दोनों करता है, cot θ कोई नहीं।