यंत्र-सिद्धांत, कंपन व यंत्र अभिकल्प

खंड 2 के अंतिम तीन उप-मद सामान्यतः तीन पाठ्यक्रमों की तरह पढ़ाए जाते हैं और उन्हें एक श्रृंखला की तरह पढ़ना उचित है: यंत्रावली गति उत्पन्न करती है, गति कंपन उद्दीपित करती है, और कंपन वह भार है जिसे अभिकल्प को सहना पड़ता है। यंत्रावलियाँ एक गिनती से आरंभ होती हैं — n = 3(L − 1) − 2J − H — और उपयोगी अनुशासन यह है कि वह गिनती सबसे पहले करें, क्योंकि दो स्वातंत्र्य-कोटियों वाले कड़ीबंध का विश्लेषण एक कोटि मानकर नहीं हो सकता। तत्पश्चात् ग्रैशॉफ़ नियम, s + l ≤ p + q, निर्णय करता है कि कोई कड़ी पूर्ण परिक्रमा कर सकती है क्या, और कौन-सी कड़ी आप जड़ते हैं यह निर्णय करता है कि यंत्रावली किस नाम से पुकारी जाएगी: वही चार दंड चयन के अनुसार क्रैंक-डोलक, द्वि-क्रैंक अथवा द्वि-डोलक देते हैं। उपचक्रीय श्रेणियाँ भयप्रद दिखती हैं और शुद्ध लेखा-जोखा हैं — एक सारणी, एक पंक्ति “बाहु जड़ी” हेतु, एक “सब कुछ साथ घुमाया” हेतु। कंपन लगभग पूर्णतः दो संख्याओं पर सिमटते हैं, प्राकृतिक आवृत्ति ω_n = √(k/m) तथा अवमंदन अनुपात ζ = c/2√(km), और विषय का सर्वाधिक उपयोगी परिणाम यह है कि कंपन-पृथक्करण हेतु प्रेरक आवृत्ति को √2 ω_n से ऊपर होना चाहिए — उससे नीचे आधार स्थिति बिगाड़ देता है, और ठीक r = √2 पर संचरणीयता अवमंदन के प्रत्येक मान हेतु 1 है। तत्पश्चात् यंत्र अभिकल्प निकाली गई प्रतिबल-अवस्था की किसी कसौटी से तुलना करने का कार्य है, और दोनों कसौटियाँ असहमत हैं: ट्रेस्का सदा अधिक रूढ़िवादी है, 15 प्रतिशत तक, और प्रश्न किसे अभिप्रेत करता है यह जानना किसी भी सूत्र को स्मरण रखने से अधिक मूल्यवान है।

स्वातंत्र्य गिनें, फिर पूछें कि आपने कौन-सी कड़ी जड़ी

कुत्ज़बाख़ की कसौटी वह गिनती है जो प्रतिबंधों के पश्चात् शेष रहता है: n = 3(L − 1) − 2J − H, जहाँ L, जड़ी कड़ी सहित सभी कड़ियाँ गिनता है, J निम्न युग्म गिनता है जिनमें प्रत्येक दो स्वातंत्र्य हटाता है, और H उच्च युग्म जिनमें प्रत्येक एक। चतुर्दंड में L = 4, J = 4, अतः n = 9 − 8 = 1 — एक निवेश, एक गति, पूर्णतः निर्धारित। पाँच कीलकों वाला पंचदंड n = 15 − 10 = 2 देता है, जो यंत्रावली नहीं बल्कि दो-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय है जिसे दो निवेश चाहिए, और यही वह जाँच है जो आपको वहाँ एक लूप-संवरण समीकरण लिखने से रोकती है जहाँ दो चाहिए। एक कीलक को कैम-संस्पर्श से बदलें और L = 4, J = 3, H = 1 भी n = 2 देता है, क्योंकि उच्च युग्म निम्न से कम प्रतिबंधित करता है — और ठीक इसीलिए कैमों को अनुगामी को नीचे रखने हेतु स्प्रिंग चाहिए।

🎯 ग्रैशॉफ़ निर्णय करता है कि क्या, जड़ना निर्णय करता है कि कौन-सा
ग्रैशॉफ़ नियम एक प्रश्न पूछता है: कोई कड़ी दूसरी के सापेक्ष पूर्ण परिक्रमा कर सकती है क्या? शर्त s + l ≤ p + q है — लघुतम व दीर्घतम का योग शेष दो से अधिक न हो। चार कड़ियों के तीन समुच्चय जाँचें। (25, 40, 50, 60): 85 < 90, ग्रैशॉफ़ — इस श्रृंखला में कहीं पूर्ण घूर्णन संभव है। (30, 40, 50, 70): 100 > 90, अ-ग्रैशॉफ़ — कोई कड़ी पूर्णतः घूम नहीं सकती, आप कोई भी जड़ें, अतः चारों व्यवस्थाएँ द्वि-डोलक हैं और यह कड़ीबंध किसी मोटर से कभी चलाया नहीं जा सकता। (30, 40, 50, 60): ठीक 90 = 90, परिवर्तन-बिंदु यंत्रावली, जहाँ कड़ियाँ सरेख हो सकती हैं और निर्गम की दिशा क्षण-मात्र अनिर्धारित रहती है — समांतर-चतुर्भुज कड़ीबंध उसका दैनिक उदाहरण है, और इसीलिए रेल-संकेत कड़ीबंधों तथा समांतर-गति आरेखन-बाहुओं को शाखा चुनने हेतु भौतिक रोक चाहिए। अब दूसरा अर्ध, जहाँ अंक खोते हैं: ग्रैशॉफ़ बताता है कि घूर्णन संभव है, और आप कौन-सी कड़ी जड़ते हैं यह बताता है कि यंत्रावली कौन-सी है। लघुतम से संलग्न कड़ी जड़ें और लघुतम निवेश-क्रैंक बन जाती है — क्रैंक-डोलक, प्रत्येक प्रत्यागामी पंप की व्यवस्था। स्वयं लघुतम कड़ी जड़ें और उसके दोनों पड़ोसी पूर्णतः घूम सकते हैं — द्वि-क्रैंक, अथवा कर्षण-कड़ी, जो स्थिर घूर्णन को बदलती दर के घूर्णन में परिवर्तित करने हेतु प्रयुक्त होती है। लघुतम के विपरीत कड़ी जड़ें, जिससे लघुतम संयोजक बन जाए, और आपको द्वि-डोलक मिलता है। वही चार दंड, तीन भिन्न यंत्र, किसी लंबाई में कोई परिवर्तन नहीं।
उपचक्रीय श्रेणी, सूर्य 20 / ग्रह 20 / वलय 60 दाँत: सम्पूर्ण सारणी-विधि
क्रियाबाहुसूर्य (20)वलय (60)
1. बाहु जड़ें, सूर्य को +z दें0+z−z/3 (बाह्य फिर आंतरिक मेल)
2. सम्पूर्ण श्रेणी को +y घुमाएँ+y+y+y
योग — सामान्य गतिyy + zy − z/3
वलय जड़ा: y = z/3 रखेंz/34z/30
परिणाम — बाहु ÷ सूर्य1/44:1 न्यूनीकरण, समान दिशा = 1 + N_a/N_s—
बदले में सूर्य जड़ा: वलय निवेश, बाहु निर्गम0.75 × वलय01.333:1 = 1 + N_s/N_a

उस सारणी के विषय में दो बातें परीक्षा में ले जाने योग्य हैं। प्रथम, कुछ भी निकालने से पूर्व ज्यामिति जाँचें: सूर्य–ग्रह–वलय समुच्चय केवल तब मेल खाता है जब N_a = N_s + 2N_p, यहाँ 60 = 20 + 40 ✓, और जो प्रश्न इसमें विफल दाँत-गिनती उद्धृत करे वह या आपकी परीक्षा ले रहा है या मुद्रण-दोषयुक्त है। द्वितीय, ध्यान दें कि भिन्न अंग रोकना उसी उपकरण को भिन्न गियरबॉक्स बना देता है — वलय जड़ा हो तो 4:1, सूर्य जड़ा हो तो 1.333:1, और बाहु रोकने पर −3, निर्गम उलटा। स्वचालित संचरण का सम्पूर्ण आधार वही है: भिन्न अंगों पर रोकों सहित एक उपचक्रीय समुच्चय कई अनुपात व एक प्रतिगामी देता है, बिना किसी एक दंतचक्र को हिलाए। गतिपालक चक्र उसी कथा को ऊर्जा की ओर से पूर्ण करता है: वह माध्य चाल नहीं बदलता, केवल उच्चावचन सम कर देता है, और I = E/(C_s ω²) उसका आकार नियत करता है। 300 rpm पर प्रति चक्र E = 2000 J अतिरिक्त कार्य मुक्त करते और 2 प्रतिशत चाल-उच्चावचन की अनुमति वाले इंजन हेतु ω = 31.416 rad/s व I = 2000/(0.02 × 986.96) = 101.3 kg·m² — और चूँकि हर में ω² बैठा है, चालन-चाल दुगुनी करना आवश्यक जड़त्व को एक-चौथाई कर देता है, और इसीलिए उच्च-चाल यंत्रावली को आश्चर्यजनक रूप से लघु गतिपालक चक्र चाहिए।

कंपन: दो संख्याएँ, तथा √2 पर की देहली

एक-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय पूर्णतः ω_n = √(k/m) तथा ζ = c/c_c से वर्णित है, c_c = 2√(km) सहित। m = 10 kg, k = 4000 N/m, c = 40 N·s/m लें: तब ω_n = 20 rad/s = 3.183 Hz, c_c = 400 N·s/m, और ζ = 0.1। अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²) = 19.900 rad/s है — अनवमंदित मान से केवल 0.50 प्रतिशत नीचे, और बीजगणित का व्यावहारिक प्रयोजन वही है: वास्तविक यंत्रों के हल्के अवमंदन हेतु ω_d ≈ ω_n और वह विचलन निकालने योग्य नहीं। अवमंदन जिसे नियंत्रित करता है वह क्षय है। लघुगणकीय ह्रास δ = 2πζ/√(1 − ζ²) = 0.6315 कहता है कि क्रमिक शिखर e^0.6315 = 1.88× गुणक से गिरते हैं, अतः आयाम प्रत्येक चक्र में लगभग आधा हो जाता है। स्प्रिंग वैसे संयुक्त होते हैं जैसे उनके विक्षेप, वैसे नहीं जैसा प्रतीत होता है: समांतर में दृढ़ताएँ जुड़ती हैं, k_eq = 2k, और ω_n, √2 से बढ़कर 28.28 rad/s हो जाती है; श्रेणी में वे व्युत्क्रमतः जुड़ती हैं, k_eq = k/2, और ω_n, √2 से घटकर 14.14 rad/s हो जाती है। उन्हीं दो स्प्रिंगों की दो व्यवस्थाओं के बीच आवृत्ति में दो का गुणक।

🎯 √2 से नीचे मृदु आधार स्थिति क्यों बिगाड़ देता है, ठीक-ठीक
संचरणीयता आधार तक संचरित बल का लगाए गए बल से अनुपात है, TR = √(1 + (2ζr)²) / √((1 − r²)² + (2ζr)²), r = ω/ω_n सहित। उसे ζ = 0.1 हेतु सारणीबद्ध करें। r = 0.5 पर वह 1.328 है — आधार प्राप्त बल से एक-तिहाई अधिक संचरित कर रहा है। अनुनाद r = 1 पर वह 5.099 है, पाँच गुना बुरा। r = √2 पर वह ठीक 1.000 है, और ध्यान खींचता भाग यही है: r² = 2 पर सूत्र में जो ζ चाहें डालें और अंश व हर दोनों √(1 + 8ζ²) बन जाते हैं, अतः r = √2 पर संचरणीयता अवमंदन के प्रत्येक मान हेतु 1 है। उससे ऊपर वह अंततः गिरती है — r = 2 पर 0.356 व r = 3 पर 0.145। अतः पृथक्करण सामान्यतः पर्याप्त मृदु आधार चुनने की बात नहीं है; वह प्रेरक आवृत्ति को √2 ω_n से ऊपर लाने की बात है, जिसका नियत चालन-चाल हेतु अर्थ है आधार को मृदुतर बनाना जब तक ω_n पर्याप्त नीचे न हो। जो आधार √2 पार करने योग्य मृदु न हो वह आंशिक सुधार नहीं है — वह सक्रिय रूप से हानिकारक है, और यंत्र सीधे फ़र्श से जकड़ा हुआ श्रेष्ठतर होता। उसी सारणी में एक और प्रति-सहज परिणाम बैठा है: √2 से ऊपर, अधिक अवमंदन का अर्थ बुरा पृथक्करण है, क्योंकि अवमंदन ऐसा बल-पथ जोड़ता है जो केवल दृढ़ता के पास नहीं। अवमंदन वह है जो आपको चढ़ाव के दौरान अनुनाद से होकर निकलने हेतु चाहिए; वह वह नहीं जो उससे परे निकल जाने के पश्चात् आप चाहते हैं।
ζ = 0.1 पर आवर्धन व संचरणीयता
r = ω/ω_nआवर्धनसंचरणीयतानिर्णय
0.51.3221.328दृढ़ आधार से बुरा
1.05.000 = 1/2ζ5.099अनुनाद — पाँच गुना बुरा
√2 = 1.4140.962ठीक 1.000, किसी भी ζ हेतुसमता की देहली
2.00.3300.356वास्तविक पृथक्करण आरंभ
3.00.1250.145बल का 85 प्रतिशत अवरुद्ध

दंड की क्रांतिक अथवा भ्रमण चाल वही संख्या है जो भिन्न नाम धारण करती है: घूर्णक अस्थायी रूप से चलता है जब उसकी घूर्णन-चाल दंड की पार्श्व प्राकृतिक आवृत्ति तक पहुँचती है, अतः ω_c = √(g/δ), जहाँ δ घूर्णक के अपने भार में स्थैतिक विक्षेप है। 1 mm नमता दंड का ω_c = √(9810/1) = 99.05 rad/s = 946 rpm है; उसे इतना दृढ़ करें कि वह केवल 0.5 mm नमे और क्रांतिक चाल √2 से बढ़कर 1338 rpm हो जाती है। वह सूत्र विषय की तीव्रतम विवेक-जाँच है और उसे किसी पदार्थ-गुणधर्म की आवश्यकता ही नहीं — विक्षेप ने E व I पहले ही सोख लिए हैं। वह यंत्रशाला की एक ऐसी प्रथा भी समझाता है जो अविवेकी सुनाई देती है: जो घूर्णक अपनी क्रांतिक चाल से ऊपर चलने हेतु अभिकल्पित है उसे चढ़ाव के दौरान उससे तीव्रता से पार कराया जाता है, और वह नीचे की अपेक्षा ऊपर अधिक शांत रहता है, क्योंकि उच्च r पर घूर्णक अपने ज्यामितीय केंद्र के बजाय अपने द्रव्यमान-केंद्र के परितः घूमता है।

यंत्र अभिकल्प: दो असहमत कसौटियाँ, तथा संधि के विफल होने के चार मार्ग

अभिकल्प वहाँ आरंभ होता है जहाँ पिछला अध्याय समाप्त हुआ: आपके पास मुख्य प्रतिबल-अवस्था है, और आपको जानना है कि पुरज़ा पराभूत होता है क्या। पाठ्यक्रम में दो कसौटियाँ हैं और वे भिन्न उत्तर देती हैं। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) कहती है पराभव तब आरंभ होता है जब σ_max − σ_min, S_y तक पहुँचे, चरम तीनों मुख्य प्रतिबलों पर लिए जाते हुए। वॉन मिसेस (विरूपण ऊर्जा) कहती है वह तब आरंभ होता है जब √(½[(σ₁ − σ₂)² + (σ₂ − σ₃)² + (σ₃ − σ₁)²]), S_y तक पहुँचे। पिछले अध्याय की अवस्था लें, σ₁ = 116.02, σ₂ = −56.02, σ₃ = 0 MPa। ट्रेस्का 116.02 − (−56.02) = 172.05 MPa समतुल्य प्रतिबल देती है; वॉन मिसेस 151.99 MPa। ट्रेस्का 13.2 प्रतिशत अधिक रूढ़िवादी है, और वह सदा रहती है — ट्रेस्का षट्भुज वॉन मिसेस दीर्घवृत्त में अंतर्लिखित है, अतः वे केवल छह बिंदुओं पर सहमत हैं और ट्रेस्का दोनों में कम सतर्क कभी नहीं। S_y = 250 MPa पर सुरक्षा-गुणक 1.453 व 1.645 हैं, और गलत कसौटी चुनना हर बार उसी दिशा में 13 प्रतिशत की त्रुटि है। तीव्रतम असहमति शुद्ध अपरूपण में है: ट्रेस्का τ = 0.5 S_y पर पराभव बताती है, वॉन मिसेस τ = 0.577 S_y पर, 15.5 प्रतिशत का अंतराल, और वही स्थिति स्मरण योग्य है क्योंकि ऐंठन में दंड ठीक वही है।

🎯 रिवेट-संधि चार प्रकार से विफल होती है, और अपरूपण दुगुना करना उत्तर हिला देता है
एकल-रिवेट अध्यारोप संधि की एक पिच-लंबाई लें: पिच p = 60 mm, पट्ट t = 10 mm, रिवेट d = 20 mm, σ_t = 120, τ = 90 व σ_c = 180 MPa सहित। चार विधाएँ, चार संख्याएँ। रिवेट-छिद्रों के बीच पट्ट का विदारण: (p − d) t σ_t = 40 × 10 × 120 = 48 000 N। एकल अपरूपण में रिवेट का अपरूपण: (π/4)d² τ = 314.16 × 90 = 28 274 N। पट्ट अथवा रिवेट का पेषण: d t σ_c = 20 × 10 × 180 = 36 000 N। और दक्षता हेतु, वह ठोस पट्ट जिसे वह प्रतिस्थापित करती है: p t σ_t = 60 × 10 × 120 = 72 000 N। संधि अपनी दुर्बलतम विधा जितनी ही बलवान है, अतः उसकी सामर्थ्य 28 274 N — अपरूपण शासन करता है — और दक्षता 28 274/72 000 = 39.27 प्रतिशत है। अब उसी रिवेट को द्वि अपरूपण में रखें, जैसा दो आवरण-पट्टों वाली संघट्ट संधि करती है। अपरूपण-क्षमता दुगुनी होकर 56 549 N हो जाती है, और वह दुर्बलतम होना बंद कर देती है: पेषण 36 000 N पर अधिकार ले लेता है, और दक्षता ठीक 36 000/72 000 = 50 प्रतिशत हो जाती है। दो पाठ जो रिवेटों से बहुत आगे सामान्यीकृत होते हैं। प्रथम, कौन-सी विधा शासन करती है यह स्वयं अधिकांश अभिकल्प-प्रश्नों का उत्तर है — अपरूपण-क्षेत्रफल दुगुना करने से केवल एक-तिहाई अधिक सामर्थ्य मिली, क्योंकि अवरोध लुप्त होने के बजाय हट गया। द्वितीय, 50 प्रतिशत से नीचे की दक्षता अंकगणित की भूल नहीं है: रिवेट-संधि वस्तुतः पट्ट की आधी सामर्थ्य फेंक ही देती है, और इसीलिए वायुयान-त्वचाएँ आसंजक बंधन की ओर और दाब-पात्र वेल्डन की ओर गए।

खंड का अंतिम विचार श्रांति है, और उसका संदेश यह है कि स्थिर भार में सुरक्षित पुरज़ा उच्चावचनी भार में उसी प्रतिबल के अंश पर विफल हो सकता है। चक्र को माध्य प्रतिबल σ_m तथा प्रत्यावर्ती आयाम σ_a में वियोजित करें, और दोनों समान क्षति नहीं करते: प्रत्यावर्ती भाग दरार-वृद्धि चलाता है, माध्य भाग केवल दरार खोलता है। अभिकल्प-रेखाएँ उन्हें संयुक्त करती हैं, और पाठ्यक्रम में नामित दोनों केवल इसमें भिन्न हैं कि वे अंतःखंड के रूप में कौन-सी सामर्थ्य प्रयोग करती हैं: गुडमैन σ_a/S_e + σ_m/S_ut = 1/n तथा सोडरबर्ग σ_a/S_e + σ_m/S_y = 1/n। S_e = 200, S_ut = 600, S_y = 400 MPa हेतु σ_a = 100 व σ_m = 150 MPa सहित गुडमैन n = 1.333 देता है और सोडरबर्ग n = 1.143 — सोडरबर्ग अधिक रूढ़िवादी है, सदा, क्योंकि S_y < S_ut, और कारण यह है कि वह केवल भंग से मना करने के बजाय किसी भी पराभव की अनुमति देने से मना कर देता है। दो बातें आत्मसात् करने योग्य हैं: शून्य माध्य प्रतिबल वाला पुरज़ा भी श्रांति से विफल हो सकता है, क्योंकि केवल σ_a सम्पूर्ण छूट खा लेता है; और सहन सीमा ऐसा पदार्थ-अचर नहीं जिसे आप बिना संशोधन सारणी से उद्धृत कर सकें — सतह-परिष्कार, आकार, ताप और सर्वोपरि प्रतिबल संकेंद्रण उसे काटते हैं, और इसीलिए श्रांति-विफलता लगभग सदा किसी वक्रिका, कीलपथ अथवा छिद्र पर आरंभ होती है।

मुख्य बिंदु

  • कुछ भी विश्लेषित करने से पूर्व स्वातंत्र्य-कोटियाँ गिनें: n = 3(L − 1) − 2J − H। चतुर्दंड व षड्दंड 1 देते हैं; पाँच कीलकों वाला पंचदंड 2 देता है और उसे दो निवेश चाहिए।
  • ग्रैशॉफ़ (s + l ≤ p + q) निर्णय करता है कि कोई कड़ी घूम सकती है क्या; आप कौन-सी कड़ी जड़ते हैं यह निर्णय करता है कि यंत्रावली कौन-सी है। क्रैंक-डोलक हेतु लघुतम का पड़ोसी जड़ें, द्वि-क्रैंक हेतु स्वयं लघुतम, द्वि-डोलक हेतु विपरीत कड़ी।
  • उपचक्रीय समुच्चय इस पर निर्भर भिन्न गियरबॉक्स है कि आप कौन-सा अंग रोकते हैं। सूर्य 20 / वलय 60: वलय जड़ा हो तो 4:1 समान दिशा, सूर्य जड़ा हो तो 1.333:1, बाहु जड़ी हो तो −3 उलटा। पहले N_a = N_s + 2N_p जाँचें।
  • पृथक्करण हेतु r > √2 चाहिए, और r = √2 पर संचरणीयता प्रत्येक अवमंदन अनुपात हेतु ठीक 1 है। उससे नीचे आधार प्राप्त से अधिक संचरित करता है — r = 0.5 पर 1.328, अनुनाद पर 5.099 — और √2 से ऊपर अधिक अवमंदन का अर्थ बुरा पृथक्करण है।
  • हल्का अवमंदन आवृत्ति को नगण्य हिलाता है किंतु क्षय पर शासन करता है। ζ = 0.1 पर ω_d, ω_n से 0.50 प्रतिशत नीचे है, जबकि लघुगणकीय ह्रास 0.6315 प्रत्येक चक्र में आयाम आधा कर देता है।
  • ट्रेस्का सदा अधिक रूढ़िवादी कसौटी है। σ₁ = 116.02, σ₂ = −56.02, σ₃ = 0 पर: ट्रेस्का 172.05 MPa बनाम वॉन मिसेस 151.99 MPa, 13.2 प्रतिशत का अंतर; शुद्ध अपरूपण में अंतराल 0.5 S_y बनाम 0.577 S_y है।
  • संधि अपनी शासक विधा जितनी ही बलवान है, और शासक विधा हटती है। यहाँ की अध्यारोप संधि 28.3 kN पर अपरूपण से विफल होती है (39.27 प्रतिशत दक्ष); द्वि अपरूपण में पेषण 36 kN पर अधिकार ले लेता है और दक्षता ठीक 50 प्रतिशत हो जाती है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी समतल कड़ीबंध में 5 कड़ियाँ 5 घूर्णी संधियों से जुड़ी हैं और कोई उच्च युग्म नहीं। उसकी स्वातंत्र्य-कोटियों की संख्या ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    2। कुत्ज़बाख़: n = 3(L − 1) − 2J − H = 3(4) − 2(5) − 0 = 12 − 10 = 2। यह सामान्य अर्थ में यंत्रावली नहीं बल्कि दो-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय है: उसकी संरचना निर्धारित होने से पूर्व उसे दो स्वतंत्र निवेश चाहिए, और उसे एक निवेश देने पर शेष कड़ीबंध चलने हेतु मुक्त रहता है। व्यावहारिक परिणाम वही है जिसके लिए गिनती है — आप उसका विश्लेषण उस एक लूप-संवरण समीकरण से नहीं कर सकते जो चतुर्दंड हल करता है, और ऐसा प्रयत्न दो अज्ञातों में एक समीकरण व कोई उत्तर नहीं देता। उनसे तुलना करें जो 1 निकलते हैं: चतुर्दंड, 3(3) − 2(4) = 1, तथा सात संधियों वाला षड्दंड, 3(5) − 2(7) = 1, और इसीलिए वॉट व स्टीवेंसन षड्दंड अधिक जटिल एकल-निवेश गति प्राप्त करने का मानक उपाय हैं। एक चेतावनी जो सूत्र नहीं दे सकता: कुत्ज़बाख़ प्रतिबंध गिनता है यह जाँचे बिना कि कोई अतिरेकी है क्या, अतः समांतर कड़ियों वाला कड़ीबंध n = 0 निकल सकता है जबकि वह भली-भाँति चलता है — समांतर-चतुर्भुज कड़ीबंध मानक प्रति-उदाहरण है, और इसीलिए गिनती प्रथम जाँच है, प्रमाण नहीं।

  2. किसी चतुर्दंड श्रृंखला की कड़ियाँ 30, 40, 50 व 70 mm हैं। कौन-सा कथन सही है?

    1. 40 mm कड़ी जड़ने से क्रैंक-डोलक मिलता है
    2. कोई कड़ी पूर्ण परिक्रमा नहीं कर सकती, कोई भी कड़ी जड़ी जाए
    3. 30 mm कड़ी जड़ने से द्वि-क्रैंक मिलता है
    4. वह परिवर्तन-बिंदु यंत्रावली है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोई कड़ी पूर्ण परिक्रमा नहीं कर सकती, कोई भी कड़ी जड़ी जाए

    कोई कड़ी पूर्णतः नहीं घूम सकती। पहले ग्रैशॉफ़ जाँचें: s + l = 30 + 70 = 100 तथा p + q = 40 + 50 = 90, अतः 100 > 90 और श्रृंखला अ-ग्रैशॉफ़ है। वही एक असमिका चारों संभव व्यवस्थाएँ एक साथ निपटा देती है — अ-ग्रैशॉफ़ श्रृंखला आप कोई भी कड़ी जड़ें, द्वि-डोलक देती है, अतः विकल्प A व C उन्हें जाँचकर नहीं बल्कि वर्गीकरण के आरंभ से पूर्व विफल हो जाने से बाहर हो जाते हैं। नियम का उपयोगी आकार यही है: ग्रैशॉफ़ चार लंबाइयों का गुणधर्म है, और जड़ने का चयन यंत्रावली का नाम केवल तब रखता है जब ग्रैशॉफ़ उत्तीर्ण हो। विकल्प D ठीक सीमांत स्थिति s + l = p + q वर्णित करता है, जिसे ये लंबाइयाँ 10 mm से चूकती हैं — 70 को 60 कर दें और वह परिवर्तन-बिंदु यंत्रावली होती, जहाँ कड़ियाँ सरेख हो सकती हैं और निर्गम की दिशा क्षण-मात्र अनिर्धारित हो जाती है। B का व्यावहारिक अर्थ: यह कड़ीबंध किसी मोटर से चलाया ही नहीं जा सकता। उसकी प्रत्येक कड़ी सीमाओं के बीच डोलती है, अतः वह केवल दोलनकारी निवेश से चलाया जा सकता है, और इसीलिए s + l ≤ p + q जाँचता अभिकल्पक वस्तुतः यह जाँच रहा है कि वस्तु को शक्ति दी जा सकती है क्या।

  3. किसी उपचक्रीय श्रेणी में सूर्य के 20 दाँत, प्रत्येक ग्रह के 20 तथा वलय के 60 दाँत हैं। वलय जड़ा रखकर, सूर्य को निवेश व बाहु को निर्गम मानने पर, चाल-न्यूनीकरण अनुपात (सूर्य की चाल ÷ बाहु की चाल) ______ है

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    4। पहले ज्यामिति जाँचें: सूर्य–ग्रह–वलय समुच्चय केवल तब मेल खाता है जब N_a = N_s + 2N_p, और 60 = 20 + 2(20) ✓। अब सारणी-विधि, दो पंक्तियाँ। पंक्ति 1, बाहु जड़ी, सूर्य +z: सूर्य ग्रह को बाह्य मेल से चलाता है (उलटते हुए) और ग्रह वलय को आंतरिक मेल से (न उलटते हुए), अतः वलय को −z N_s/N_a = −z/3 मिलता है। पंक्ति 2, सम्पूर्ण श्रेणी +y घुमाएँ। योग करने पर: बाहु = y, सूर्य = y + z, वलय = y − z/3। वलय शून्य रखने से y = z/3 मिलता है, अतः बाहु z/3 घूमती है जबकि सूर्य 4z/3, और अनुपात समान दिशा में 4:1 है। संवृत रूप ले जाने योग्य है: वलय जड़ा व बाहु निर्गम होने पर न्यूनीकरण 1 + N_a/N_s = 1 + 3 = 4 है, और ग्रह की दाँत-गिनती उसमें कभी प्रवेश नहीं करती — ग्रह निष्क्रिय चक्र हैं जो ज्यामिति नियत करते हैं, अनुपात नहीं, और विषम ग्रह-आकार उद्धृत करता प्रश्न ठीक यही जाँच रहा है। भिन्न अंग रोकें और वही उपकरण भिन्न गियरबॉक्स बन जाता है: सूर्य जड़ा हो तो 1 + N_s/N_a = 1.333:1, और बाहु जड़ी हो तो −N_a/N_s = −3, निर्गम उलटा। एक उपचक्रीय समुच्चय, तीन अनुपात व एक प्रतिगामी, और स्वचालित संचरण का सम्पूर्ण आधार वही है।

  4. कोई यंत्र पृथक्कारकों पर आरोपित है। आधार तक संचरित बल को लगाए गए बल से नीचे लाने हेतु प्रेरक आवृत्ति व प्राकृतिक आवृत्ति का अनुपात होना चाहिए

    1. 1 से कम
    2. √2 से अधिक
    3. 1 के बराबर
    4. 1 से अधिक किंतु √2 से कम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — √2 से अधिक

    √2 से अधिक। संचरणीयता TR = √(1 + (2ζr)²)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) है। समता-बिंदु वहाँ है जहाँ TR = 1, और r² = 2 रखने पर अंश व हर दोनों √(1 + 8ζ²) बन जाते हैं — अतः r = √2 पर अवमंदन के प्रत्येक मान हेतु TR = 1, और पृथक्करण केवल उससे ऊपर आरंभ होता है। √2 से नीचे आधार किसी आधार के न होने से भी बुरा है: ζ = 0.1 सहित संचरणीयता r = 0.5 पर 1.328 व अनुनाद पर 5.099 है, अतः विकल्प A केवल पृथक् करने में विफल नहीं होता, वह आवर्धित करता है। विकल्प C अनुनाद है, संभव निकृष्टतम चयन। विकल्प D वह जाल है जो √2 के बिना "प्राकृतिक आवृत्ति से ऊपर" स्मरण रखते अभ्यर्थियों को पकड़ता है: r = 1.2 पर संचरणीयता तब भी 1 से ऊपर है, और आधार तब भी स्थिति बिगाड़ रहा है। देहली से ऊपर वह अंततः लाभ देता है: r = 2 पर 0.356 व r = 3 पर 0.145। व्यवहार में अभिकल्प का उत्तोलक आधार है, यंत्र नहीं — चालन-चाल दी हुई है, अतः आप पृथक्कारक को मृदुतर बनाकर ω_n नीचे धकेलते हैं जब तक r, √2 पार न कर ले। और उसी सूत्र में एक और परिणाम बैठा है: √2 से ऊपर, अवमंदन बढ़ाना पृथक्करण बिगाड़ता है, क्योंकि अवमंदक फ़र्श तक एक अतिरिक्त बल-पथ है। अवमंदन वह है जो आपको चढ़ाव के दौरान अनुनाद से सुरक्षित निकालता है, वह नहीं जो आप चालन-चाल पर चाहते हैं।

  5. किसी स्प्रिंग–द्रव्यमान–अवमंदक निकाय में m = 10 kg, k = 4000 N/m तथा c = 40 N·s/m है। उसका लघुगणकीय ह्रास ______ है (तीन दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.631

    0.631। पहले ζ: क्रांतिक अवमंदन गुणांक c_c = 2√(km) = 2√(4000 × 10) = 2 × 200 = 400 N·s/m है, अतः ζ = 40/400 = 0.1। तत्पश्चात् δ = 2πζ/√(1 − ζ²) = 0.6283/0.99499 = 0.6315। संख्या का अर्थ संख्या से अधिक उपयोगी है: क्रमिक आयाम-शिखर e^0.6315 = 1.88 गुणक से गिरते हैं, अतः आयाम प्रत्येक चक्र में अपने मान के आधे से कुछ अधिक तक और तीन चक्रों पश्चात् पाँचवें भाग से नीचे गिर जाता है। उन्हीं निवेशों से दो संबंधित आँकड़े। अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ω_n = √(4000/10) = 20 rad/s = 3.183 Hz है, और अवमंदित आवृत्ति ω_d = 20√0.99 = 19.900 rad/s — केवल 0.50 प्रतिशत नीचे। वह वैषम्य ही विषय का प्रयोजन है: वास्तविक यंत्रावली के हल्के अवमंदन पर अवमंदन आवृत्ति को नगण्य स्पर्श करता है और क्षय पर पूर्णतः शासन करता है, अतः ζ = 0.1 पर ω_d माँगता प्रश्न सामान्यतः यही जाँच रहा है कि आप जानते हैं क्या कि संशोधन उपेक्षणीय है। सामान्य चूक c_c = 2√(k/m) है, जो विमीय रूप से गलत है — क्रांतिक गुणांक को N·s/m के मात्रक वहन करने ही हैं, अतः वह 2√(km) होना चाहिए, और मात्रक जाँचना सूत्र स्मरण करने से तीव्रतर है।

  6. किसी यंत्र-पुरज़े का एक बिंदु 116 MPa व −56 MPa मुख्य प्रतिबलों सहित समतल प्रतिबल में है। निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

    1. ट्रेस्का समतुल्य प्रतिबल लगभग 172 MPa है
    2. वॉन मिसेस समतुल्य प्रतिबल लगभग 152 MPa है
    3. इस अवस्था हेतु ट्रेस्का, वॉन मिसेस से न्यून सुरक्षा-गुणक बताती है
    4. किसी भी प्रतिबल-अवस्था हेतु दोनों में वॉन मिसेस अधिक रूढ़िवादी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ट्रेस्का समतुल्य प्रतिबल लगभग 172 MPa है; B — वॉन मिसेस समतुल्य प्रतिबल लगभग 152 MPa है; C — इस अवस्था हेतु ट्रेस्का, वॉन मिसेस से न्यून सुरक्षा-गुणक बताती है

    A, B व C। ट्रेस्का तीनों मुख्य प्रतिबलों पर फैलाव लेती है, और तीसरा यहाँ शून्य है, अतः समतुल्य प्रतिबल 116.02 − (−56.02) = 172.05 MPa ✓। वॉन मिसेस √(½[(116.02 + 56.02)² + 56.02² + 116.02²]) = 151.99 MPa ✓ देती है। चूँकि ट्रेस्का बृहत्तर समतुल्य प्रतिबल बताती है, वह लघुतर सुरक्षा-गुणक बताती है — S_y = 250 MPa पर दोनों 1.453 व 1.645 देते हैं — अतः C सीधे निकलता है और वही उपयोगी व्यावहारिक कथन है। D असत्य है, और वह सामान्य रूप से असत्य है, केवल यहाँ नहीं: ट्रेस्का षट्भुज वॉन मिसेस दीर्घवृत्त में अंतर्लिखित है, अतः ट्रेस्का उच्चतर क्षमता कभी नहीं बता सकती, और दोनों केवल उन छह शीर्षों पर सहमत हैं जहाँ षट्भुज दीर्घवृत्त को स्पर्श करता है। अतः ट्रेस्का सदा अधिक रूढ़िवादी कसौटी है, 15.5 प्रतिशत तक, और वह अधिकतम अंतराल शुद्ध अपरूपण में आता है, जहाँ ट्रेस्का τ = 0.5 S_y पर और वॉन मिसेस τ = S_y/√3 = 0.577 S_y पर पराभव देती है। यह महत्व रखने का कारण यह है कि ऐंठन में दंड ठीक शुद्ध-अपरूपण स्थिति है, अतः दंड के विषय में अभिकल्प-प्रश्न ठीक वहीं है जहाँ कसौटी का चयन उत्तर सर्वाधिक बदलता है।

  7. किसी एकल-रिवेट अध्यारोप संधि में पिच 60 mm, पट्ट-मोटाई 10 mm व रिवेट-व्यास 20 mm है, तथा अनुमेय तनन, अपरूपण व पेषण प्रतिबल 120, 90 व 180 MPa हैं। संधि की दक्षता, प्रतिशत में, ______ है (दो दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 39.27

    39.27 प्रतिशत। एक पिच-लंबाई हेतु चारों संख्याएँ निकालें और उत्तर लघुतम विफलता-भार का ठोस-पट्ट भार से अनुपात है। छिद्रों के बीच पट्ट का विदारण: (60 − 20) × 10 × 120 = 48 000 N। रिवेट का अपरूपण, एकल अपरूपण: (π/4)(20²)(90) = 28 274 N। पेषण: 20 × 10 × 180 = 36 000 N। ठोस पट्ट: 60 × 10 × 120 = 72 000 N। संधि केवल अपनी दुर्बलतम विधा जितनी ही बलवान है, अतः उसकी सामर्थ्य 28 274 N और अपरूपण शासन करता है, जिससे 28 274/72 000 = 39.27 प्रतिशत मिलता है। दो बातें साथ ले जाने योग्य। प्रथम, शासक विधा स्वयं अभिकल्प-प्रश्न का उत्तर है: उसी रिवेट को द्वि अपरूपण में रखें, जैसा दो आवरण-पट्टों वाली संघट्ट संधि करती है, और अपरूपण-क्षमता दुगुनी होकर 56 549 N हो जाती है — किंतु तब पेषण 36 000 N पर दुर्बलतम बन जाता है, अतः दक्षता केवल ठीक 50 प्रतिशत तक बढ़ती है, 39.27 के दुगुने तक नहीं। अपरूपण-क्षेत्रफल दुगुना करने से अवरोध हटा नहीं, हट गया। द्वितीय, आधे से नीचे की दक्षता अंकगणितीय त्रुटि नहीं है: रिवेट-संधि वस्तुतः पट्ट की अधिकांश सामर्थ्य त्याग ही देती है, और वही अभियांत्रिकी कारण है जिससे दाब-पात्र वेल्डन की ओर व वायुयान-त्वचाएँ आसंजक बंधन की ओर गए। सामान्य भूल ठोस-पट्ट भार के बजाय विदारण-भार से भाग देना है — वह 58.9 प्रतिशत देता है और भिन्न प्रश्न का उत्तर देता है, क्योंकि दक्षता अछिद्रित पट्ट के सामने परिभाषित है।

  8. कोई दंड माध्य प्रतिबल σ_m व प्रत्यावर्ती प्रतिबल σ_a सहित उच्चावचनी भार वहन करता है। उन्हीं σ_m व σ_a हेतु सोडरबर्ग कसौटी, गुडमैन कसौटी की तुलना में देती है

    1. न्यून सुरक्षा-गुणक, क्योंकि वह अंतःखंड के रूप में पराभव-सामर्थ्य प्रयोग करती है
    2. उच्चतर सुरक्षा-गुणक, क्योंकि वह कुछ पराभव की अनुमति देती है
    3. वही सुरक्षा-गुणक, क्योंकि दोनों सहन सीमा प्रयोग करती हैं
    4. न्यून सुरक्षा-गुणक केवल तब जब σ_m शून्य हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — न्यून सुरक्षा-गुणक, क्योंकि वह अंतःखंड के रूप में पराभव-सामर्थ्य प्रयोग करती है

    न्यून सुरक्षा-गुणक, पराभव-सामर्थ्य अंतःखंड के कारण। दोनों रेखाएँ ठीक एक पद में भिन्न हैं: गुडमैन σ_a/S_e + σ_m/S_ut = 1/n है और सोडरबर्ग σ_a/S_e + σ_m/S_y = 1/n। चूँकि प्रत्येक अभियांत्रिकी धातु हेतु S_y < S_ut, सोडरबर्ग का हर लघुतर है, वाम पक्ष बृहत्तर है, और n लघुतर निकलता है। संख्यात्मक रूप से, S_e = 200, S_ut = 600, S_y = 400 MPa, σ_a = 100 व σ_m = 150 MPa सहित: गुडमैन n = 1/(0.5 + 0.25) = 1.333 देता है और सोडरबर्ग n = 1/(0.5 + 0.375) = 1.143। विकल्प B का तर्क ठीक उलटा है — सोडरबर्ग इसलिए कठोरतर है कि वह किसी भी पराभव से मना करता है, और अधिक संभावनाओं से मना करना सुरक्षा-गुणक बढ़ा नहीं सकता। विकल्प D वहीं है जहाँ अंक वस्तुतः लटके हैं: दोनों कसौटियाँ केवल तब संपाती हैं जब σ_m = 0, क्योंकि तब माध्य-प्रतिबल पद लुप्त हो जाता है और दोनों σ_a/S_e = 1/n पर सिमट जाती हैं। अतः D उलटा कहता है — शून्य माध्य प्रतिबल वह एक स्थिति है जहाँ वे सहमत हैं, वह एकमात्र स्थिति नहीं जहाँ वे भिन्न हैं। वह संपातन यह उपयोगी स्मारक भी है कि शून्य माध्य प्रतिबल वाला पुरज़ा भी श्रांति से विफल हो सकता है: केवल σ_a सम्पूर्ण छूट खा लेता है, और पूर्णतः प्रत्यावर्तित भारण कठोरतम श्रांति-स्थिति है, मृदुतम नहीं।