विश्लेषणात्मक तर्कशक्ति — न्यायवाक्य, पहेलियाँ, वेन आरेख एवं कथन

न्यायवाक्य में दो या तीन कथन दिए जाते हैं और पूछा जाता है कि कौन-से निष्कर्ष निकलते हैं। दो नियम सब तय करते हैं। पहला, कथनों को पूर्णतः सत्य मानें, चाहे कितने ही बेतुके हों — यदि प्रश्नपत्र कहता है "सभी पेन पुस्तकें हैं", तो इस प्रश्न में पेन वास्तव में पुस्तकें हैं, और संसार का आपका ज्ञान बंद कर दिया जाता है। दूसरा, निष्कर्ष तभी निकलता है जब वह कथनों का पालन करने वाले प्रत्येक आरेख में सत्य हो, केवल उस पहले आरेख में नहीं जो आपने संयोग से बनाया। यही दूसरा नियम इस विधि को छाया-और-परीक्षण कहलाता है: आप एक आरेख बनाते हैं, फिर जान-बूझकर एक भिन्न वैध आरेख बनाने का प्रयास करते हैं जो निष्कर्ष को तोड़ दे।

हल उदाहरण — छाया-और-परीक्षण तकनीक। कथन: (1) सभी पुस्तकें पेन हैं। (2) कुछ पेन रबड़ हैं। निष्कर्ष: I. कुछ पुस्तकें रबड़ हैं। II. कुछ रबड़ पेन हैं। बनाएँ: एक छोटा पुस्तक वृत्त पूरी तरह बड़े पेन वृत्त के भीतर। अब एक रबड़ वृत्त लाएँ जिसे पेन से कहीं अतिव्यापी होना ही है। I पर छाया-और-परीक्षण: अतिव्यापन पेन के उस भाग पर रखें जो पुस्तक के बाहर है। यह आरेख दोनों कथनों का पालन करता है और फिर भी कोई पुस्तक रबड़ नहीं है, अतः I नहीं निकलता। II का परीक्षण: "कुछ पेन रबड़ हैं" दिया गया था, और "कुछ" कथन का विलोम सदा वैध होता है, अतः II प्रत्येक आरेख में निकलता है। उत्तर: केवल II निकलता है। देखें कि ऊपर की तालिका ने इसकी भविष्यवाणी कर दी थी — सभी + कुछ, कोई-निष्कर्ष-नहीं वाली पंक्ति है।

"कोई निष्कर्ष नहीं निकलता" पर निशान लगाने से पूर्व एक अतिरिक्त जाँच करें। यदि कोई भी निष्कर्ष अकेले न निकले, तो देखें कि दोनों निष्कर्षों का उद्देश्य और विधेय समान है और वे पूरक युग्म बनाते हैं — अर्थात् मिलकर वे हर संभावना ढक लेते हैं, अतः उनमें से एक अवश्य सत्य होगा भले आप कह न सकें कौन। तीन पूरक युग्म हैं कुछ ↔ कोई नहीं, सभी ↔ कुछ-नहीं, तथा कुछ ↔ कुछ-नहीं। इसे याद रखें: "सभी लड़ता है कुछ-नहीं से; कुछ लड़ता है कोई-नहीं से।" युग्म मिलने पर उत्तर है "या I या II निकलता है"।

हल उदाहरण। कथन: कुछ डॉक्टर अध्यापक हैं। कुछ अध्यापक अभियंता हैं। निष्कर्ष: I. कुछ डॉक्टर अभियंता हैं। II. कोई डॉक्टर अभियंता नहीं है। दो विशेष कथन कुछ नहीं देते, अतः न I, न II अकेले निकलता है — आप अभियंता वृत्त को केवल उन अध्यापकों से अतिव्यापी बना सकते हैं जो डॉक्टर नहीं हैं (जिससे II सत्य होगा), अथवा डॉक्टर-अध्यापकों से भी अतिव्यापी (जिससे I सत्य होगा)। दोनों आरेख वैध हैं। पर I और II का उद्देश्य (डॉक्टर) तथा विधेय (अभियंता) समान है और वे कुछ ↔ कोई नहीं का युग्म बनाते हैं, अतः सही उत्तर है या I या II निकलता है।

संभावना-निष्कर्ष परीक्षण को पूरी तरह उलट देते हैं। निश्चित निष्कर्ष के लिए प्रत्येक वैध आरेख चाहिए; संभावना वाले के लिए केवल एक। अतः संभावनाएँ सरलता से स्वीकार होती हैं — पर वे रुक भी सकती हैं। कथन: सभी A, B हैं। सभी B, C हैं। क्या "कुछ C, A नहीं हैं" संभव है? हाँ: C को B से बहुत बड़ा बनाएँ और C का बाहरी छल्ला किसी A को नहीं रखता। क्या "सभी C, A हैं" संभव है? हाँ: तीनों वृत्त संपाती बनाएँ, जिसे कोई कथन मना नहीं करता। अब एक रुकी हुई — कथन: कुछ बिल्लियाँ कुत्ते हैं। कोई कुत्ता घोड़ा नहीं है। निष्कर्ष: "सभी बिल्लियों के घोड़े होने की संभावना है।" यह असत्य है, क्योंकि जो बिल्लियाँ कुत्ते हैं वे कभी घोड़े नहीं हो सकतीं जब तक कुत्ता और घोड़ा वृत्त पूर्णतः अलग बने हैं, और कोई वैध आरेख हर बिल्ली को घोड़ा नहीं बना सकता।

पर्चा "वेन आरेख" के नाम से दो बिल्कुल भिन्न बातें पूछता है। पहला प्रकार तीन शब्द देकर पूछता है कि कौन-सा आरेख उनका संबंध दिखाता है। विधि है प्रत्येक युग्म पर यह प्रश्न जाँचना — "क्या इनमें से हर एक अनिवार्यतः उनमें से एक है?" यदि हाँ, तो वृत्त एक-दूसरे के भीतर रखें; यदि कुछ अतिव्यापन संभव पर निश्चित नहीं, तो अतिव्यापी बनाएँ; यदि वे परस्पर बहिष्कृत हैं, तो अलग रखें। दूसरा प्रकार संख्याएँ देकर पूछता है कि किसी क्षेत्र में कितने लोग आते हैं — वह समावेशन–अपवर्जन है, जिसे नीचे साधा गया है।

• गुलाब, फूल, पौधा → तीन वृत्त एक के भीतर एक: गुलाब, फूल के भीतर, फूल पौधे के भीतर।
• दिल्ली, भारत, एशिया → वही रचना: दिल्ली भारत के भीतर, भारत एशिया के भीतर।
• पेन, पेंसिल, लेखन-सामग्री → पेन और पेंसिल दो अलग वृत्त हैं, दोनों पूरी तरह लेखन-सामग्री के भीतर। वे अतिव्यापी नहीं हैं, क्योंकि कोई वस्तु पेन और पेंसिल दोनों नहीं होती।
• चाचा, भाई, पुरुष → चाचा और भाई दोनों पुरुष के भीतर हैं, और वे परस्पर अतिव्यापी हैं, क्योंकि एक ही व्यक्ति किसी का चाचा और किसी और का भाई हो सकता है।
• डॉक्टर, पुरुष, स्त्री → पुरुष और स्त्री पूर्णतः अलग हैं, जबकि डॉक्टर दोनों से अतिव्यापी है, क्योंकि डॉक्टर किसी भी लिंग के हो सकते हैं।

गणना वाले प्रश्नों में दो समुच्चयों का सुधार एक ही घटाव है: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), क्योंकि दोनों समूह-आकार जोड़ने पर अतिव्यापन दो बार गिना जाता है। तीन समुच्चयों में चिह्न बारी-बारी आते हैं: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)। पर केवल सूत्र से यह नहीं पता चलेगा कि ठीक एक वस्तु कितनों को पसंद है। उसके लिए सातों क्षेत्र भरने होंगे, और एकमात्र सुरक्षित क्रम है केंद्र से बाहर की ओर।

हल किया तीन-वृत्त उदाहरण। 200 लोगों के सर्वेक्षण में: 100 चाय पीते हैं, 90 कॉफ़ी, 80 दूध; 40 चाय व कॉफ़ी, 30 कॉफ़ी व दूध, 25 चाय व दूध, तथा 15 तीनों। केंद्र से 15 के साथ आरंभ करें। युग्म-आँकड़ों में केंद्र सम्मिलित है, अतः केवल चाय-व-कॉफ़ी = 40 − 15 = 25, केवल कॉफ़ी-व-दूध = 30 − 15 = 15, केवल चाय-व-दूध = 25 − 15 = 10। अब एकल: केवल चाय = 100 − (25 + 10 + 15) = 50, केवल कॉफ़ी = 90 − (25 + 15 + 15) = 35, केवल दूध = 80 − (10 + 15 + 15) = 40।

अब हर प्रश्न एक जोड़ है। कम-से-कम एक पेय = 50 + 35 + 40 + 25 + 15 + 10 + 15 = 190, जो सूत्र 100 + 90 + 80 − 40 − 30 − 25 + 15 = 190 से सहमत है, अतः तालिका गणितीय रूप से सही है। ठीक एक = 50 + 35 + 40 = 125। ठीक दो = 25 + 15 + 10 = 50। कम-से-कम दो = 50 + 15 = 65। कोई नहीं = 200 − 190 = 10। यह जाँच सदा करें: यदि सातों क्षेत्रों का जोड़ सूत्र से मिले सम्मिलन के बराबर न हो, तो आपने कोई युग्म-मान गलत पढ़ा है।

ये तीन प्रश्न-प्रकार एक-से दिखते हैं और तीन भिन्न नियमों से आँके जाते हैं, अतः पहला काम है निर्देश-पंक्ति पढ़ना, कथन नहीं। निष्कर्ष वह है जो कथन के दिए होने पर सत्य होना ही चाहिए — आप बाहर की कोई सूचना प्रयोग नहीं कर सकते। पूर्वधारणा वह है जो कथन के अर्थपूर्ण होने के लिए पहले से सत्य होनी चाहिए — वह कथन के पीछे अनकही बैठी होती है। तर्क किसी प्रस्ताव के पक्ष या विपक्ष में दिया गया कारण है, और आपको यह आँकना है कि वह प्रबल है या दुर्बल, यह नहीं कि आप उससे सहमत हैं या नहीं।

हल पूर्वधारणा प्रश्न। कथन: "परीक्षा से कम-से-कम तीन दिन पूर्व अपना प्रवेश-पत्र डाउनलोड कर लें।" पूर्वधारणा I: अभ्यर्थियों के पास इंटरनेट की पहुँच है। पूर्वधारणा II: कोई भी अभ्यर्थी परीक्षा के दिन प्रवेश-पत्र डाउनलोड नहीं कर पाएगा। I का निषेध करें — यदि किसी अभ्यर्थी के पास इंटरनेट न होता, तो पूरा निर्देश निरर्थक होता, अतः कथन ढह जाता है और I अंतर्निहित है। II का निषेध करें — यदि कुछ अभ्यर्थी उसी दिन डाउनलोड कर सकें, तब भी पहले डाउनलोड करने की सलाह पूर्णतः सार्थक रहती है, अतः कथन बचा रहता है और II अंतर्निहित नहीं है। संकेत देखें: II में निरपेक्ष शब्द "कोई भी नहीं" है, और निरपेक्ष कथन लगभग कभी पूर्वधारणा नहीं होते।

हल तर्क प्रश्न। क्या व्यावसायिक पाठ्यक्रमों की प्रवेश परीक्षाएँ समाप्त कर दी जानी चाहिए? तर्क I: नहीं — जब आवेदक सीटों से कहीं अधिक हों, तो वस्तुनिष्ठ लिखित परीक्षा एकमात्र बचाव-योग्य छन्नी है। तर्क II: हाँ — कुछ अन्य देशों के विद्यार्थी ऐसी परीक्षाएँ नहीं देते। तर्क I प्रबल है: वह वास्तविक अवरोध (सीटों से अधिक आवेदक) का नाम लेता है और बताता है कि परीक्षा क्यों है। तर्क II दुर्बल है: किसी अन्य देश से नंगी तुलना, इस कारण के बिना कि उस देश की स्थिति हमारी जैसी क्यों है, तर्क नहीं अपील है। प्रासंगिकता और कारण आँकें, प्रवेश परीक्षाओं पर अपनी राय कभी नहीं।

कारण-एवं-परिणाम प्रश्न दो कथन देकर पूछता है कि वे कैसे संबंधित हैं। चार मानक उत्तर होते हैं: I कारण और II परिणाम; II कारण और I परिणाम; दोनों स्वतंत्र कारण; अथवा दोनों किसी सामान्य कारण के परिणाम। तीसरा और चौथा विकल्प अभ्यर्थी भूल जाते हैं, और वे प्रायः सही होते हैं। क्रम से दो प्रश्न पूछें: समय में कौन-सी घटना पहले हुई? तथा क्या कोई एक तीसरी घटना दोनों को उत्पन्न कर सकती थी?

उदाहरण 1। कथन I: सरकार ने डीज़ल का दाम बढ़ाया है। कथन II: परिवहन संघों ने हड़ताल की घोषणा की है। दाम-वृद्धि स्पष्टतः प्रतिक्रिया से पहले होती है, और संघ उसी कारण हड़ताल करते हैं, अतः I कारण और II परिणाम है। उदाहरण 2। कथन I: ज़िले के कई किसानों की फ़सल नष्ट हुई है। कथन II: ज़िले में सब्ज़ियों के दाम तेज़ी से बढ़े हैं। यहाँ ईमानदार उत्तर यह नहीं है कि एक ने दूसरे को उस अर्थ में उत्पन्न किया जो विकल्प सामान्यतः मानते हैं: एक ही घटना — असफल मानसून अथवा बाढ़ — प्रशंसनीय रूप से दोनों को उत्पन्न कर सकती थी, अतः दोनों एक सामान्य कारण के परिणाम हैं। इस स्वरूप को पहचानना सीखना इस प्रकार वाले हर प्रश्नपत्र में एक-दो अंक का मूल्य रखता है।

कार्यवाही। कार्यवाही तभी निकलती है जब वह व्यवहार्य हो, बताई गई समस्या को प्रत्यक्षतः संबोधित करे, और अतिवादी न हो। कथन: ज़िले के बहुत-से गाँव अचानक आई बाढ़ से प्रभावित हुए हैं। कार्यवाही I: ज़िला प्रशासन को तुरंत ऊँची भूमि पर राहत शिविर लगाने चाहिए। कार्यवाही II: ग्रामीणों से कहा जाए कि भविष्य में निचली भूमि पर न रहें। कार्यवाही I निकलती है — वह तत्काल, संभव तथा बताई गई आपात स्थिति पर लक्षित है। कार्यवाही II नहीं निकलती: वह कोई वैकल्पिक भूमि नहीं देती, निर्देश के रूप में लागू नहीं की जा सकती, और उत्तरदायित्व बाढ़ के पीड़ितों पर डाल देती है। उत्तर: केवल I निकलती है।

क्रमांकित रिक्त स्थान बनाएँ — सात व्यक्तियों के लिए बाएँ से दाएँ 1 से 7 लिखें — और उस संकेत से आरंभ करें जो ठीक स्थान तय करता है, किसी अस्पष्ट संकेत से कभी नहीं। "X मध्य में बैठता है", "X बाएँ से तीसरा है", "X किसी छोर पर है" — ये लंगर हैं। "X, Y के बाईं ओर कहीं बैठता है" जैसे संकेत दुर्बल हैं और अंत में छन्नी के रूप में प्रयोग होने चाहिए। और वह परंपरा ध्यान रखें जो आधे प्रश्न तय करती है: जब सब उत्तर की ओर मुख किए हों, पाठक का बायाँ उनका भी बायाँ है; जब सब दक्षिण की ओर मुख किए हों, दोनों दर्पण-प्रतिबिंब हैं और हर बायाँ, दायाँ बन जाता है।

पूर्ण हल एक-पंक्ति पहेली। सात मित्र A, B, C, D, E, F तथा G उत्तर की ओर मुख करके एक पंक्ति में बैठे हैं। (i) A ठीक पंक्ति के मध्य में बैठता है। (ii) A और E के बीच दो व्यक्ति बैठे हैं, तथा E, A के दाईं ओर है। (iii) C, E का निकटतम पड़ोसी है। (iv) B, F के बाईं ओर दूसरे स्थान पर है। (v) D किसी एक छोर पर बैठता है।

व्युत्पत्ति। (i) से A = 4, सात का मध्य। (ii) से E, A के दाईं ओर दो व्यक्तियों के अंतर पर है, अतः E = 7 — बाध्य, क्योंकि 4 + 3 = 7 और उससे आगे कुछ नहीं है। (iii) से C को सीट 7 का पड़ोसी होना है; सीट 8 नहीं है, अतः C = 6, यह भी बाध्य। इससे B, D, F तथा G के लिए सीटें 1, 2, 3 और 5 बचती हैं। (iv) से B = F − 2, और {1, 2, 3, 5} में से उपलब्ध युग्म केवल (B = 1, F = 3) तथा (B = 3, F = 5) हैं। पहला लें: तब D और G सीट 2 तथा 5 पर होंगे, और (v) के अनुसार D को सीट 1 या 7 पर होना है, दोनों भरी हैं — विरोधाभास। अतः दूसरा टिकता है: B = 3, F = 5, जिससे D और G के लिए 1 और 2 बचते हैं, और (v) D = 1 तथा इसलिए G = 2 बाध्य कर देता है। व्यवस्था अद्वितीय है।

तैयार पंक्ति से पढ़ना: G के दाईं ओर तीसरे स्थान पर कौन बैठा है? G सीट 2 पर है, अतः 3, 4, 5 गिनें — उत्तर F। A के तुरंत बाईं ओर कौन है? सीट 3 — B। B और C के बीच कितने व्यक्ति बैठे हैं? सीटें 4 और 5 — दो। अब हर प्रश्न गिनने की बात है, और आरेख पर चालीस सेकंड लगाने का ठीक यही प्रयोजन है।

दो-पंक्ति व्यवस्था। एक पंक्ति दक्षिण की ओर मुख करती है और दूसरी उत्तर की ओर, अतः दोनों पंक्तियाँ आमने-सामने हैं और एक पंक्ति का प्रत्येक व्यक्ति दूसरी पंक्ति के ठीक एक व्यक्ति की ओर मुख करता है। दोनों पंक्तियाँ कागज़ पर दोनों के लिए पश्चिम बाएँ और पूर्व दाएँ रखकर बनाएँ, फिर याद रखें: उत्तर की ओर मुख करने वाले के बाएँ पश्चिम होता है; दक्षिण की ओर मुख करने वाले के बाएँ पूर्व होता है। हल उदाहरण: A, B, C पंक्ति 1 में दक्षिण की ओर मुख करके बैठे हैं जबकि P, Q, R पंक्ति 2 में उत्तर की ओर। (i) B पंक्ति 1 के मध्य में बैठता है। (ii) A, R की ओर मुख करता है। (iii) Q, R के तुरंत दाईं ओर बैठता है।

व्युत्पत्ति। दोनों पंक्तियों में पश्चिम से पूर्व की ओर स्थानों को 1, 2, 3 क्रमांकित करें; आमने-सामने होने का अर्थ है पंक्ति 1 का स्थान i, पंक्ति 2 के स्थान i की ओर मुख करता है। (i) से B = 2। (ii) से R, A के समान स्थान-संख्या पर बैठता है। (iii) से Q उत्तर की ओर मुख करता है, अतः Q का दायाँ पूर्व है और Q = R + 1। यदि A स्थान 3 पर होता तो R = 3 और Q को स्थान 4 चाहिए होता, जो नहीं है। अतः A = 1, इसलिए R = 1, Q = 2, P = 3, तथा C = 3। अद्वितीय। अब जाल-प्रश्न: B के तुरंत बाईं ओर कौन है? B दक्षिण की ओर मुख किए है, अतः B का बायाँ पूर्व है, जो स्थान 3 है — उत्तर C है, A नहीं। और C की ओर कौन मुख करता है? पंक्ति 2 का स्थान 3 — P।

सीटों को दक्षिणावर्त 1 से n तक क्रमांकित करें और एक व्यक्ति को सीट 1 पर तय कर दें — यह आप स्वतंत्रता से कर सकते हैं, क्योंकि वृत्त पर केवल सापेक्ष स्थान महत्व रखते हैं। फिर सब कुछ एक तथ्य पर टिकता है जिसे एक बार निकालकर फिर कभी संदेह में नहीं लाना है। वृत्त के शीर्ष पर केंद्र की ओर मुख करके बैठें: आप "नीचे" की ओर मुख किए हैं, अतः आपका बायाँ हाथ उस दिशा में है जिसमें संख्याएँ बढ़ती हैं, अर्थात् दक्षिणावर्त, और दायाँ हाथ वामावर्त। इसलिए केंद्र की ओर मुख: बायाँ = दक्षिणावर्त, दायाँ = वामावर्त। यदि इसके स्थान पर सब बाहर की ओर मुख करें, तो दोनों उलट जाते हैं: बायाँ = वामावर्त, दायाँ = दक्षिणावर्त। n व्यक्तियों के वृत्त में सीट p के सामने सीट p + n/2 होती है, जो केवल n सम होने पर परिभाषित है।

पूर्ण हल गोलाकार पहेली। आठ मित्र A, B, C, D, E, F, G तथा H एक गोल मेज़ के चारों ओर केंद्र की ओर मुख करके बैठे हैं। (i) C, A के बाईं ओर दूसरे स्थान पर है। (ii) B, A के सामने है। (iii) E, A और C के बीच है। (iv) G, C तथा B दोनों का निकटतम पड़ोसी है। (v) D, A के दाईं ओर दूसरे स्थान पर है। (vi) F, B का निकटतम पड़ोसी है।

व्युत्पत्ति। A = 1 तय करें और दक्षिणावर्त क्रमांकित करें। (i) से बायाँ दक्षिणावर्त है, अतः C = 1 + 2 = 3। (ii) से सामने का अर्थ है जमा चार, अतः B = 1 + 4 = 5। (iii) से 1 और 3 के बीच एकमात्र सीट 2 है, अतः E = 2। (iv) से सीट 3 पर बैठे C के पड़ोसी सीट 2 तथा 4 हैं; सीट 2 पर E है, अतः G = 4 — और सीट 4 वास्तव में सीट 5 पर बैठे B की भी पड़ोसी है, अतः संकेत संगत है। (v) से दायाँ वामावर्त है, अतः D = 1 − 2 = −1, जो घूमकर सीट 7 बनती है। (vi) से B के पड़ोसी सीट 4 तथा 6 हैं; सीट 4 पर G है, अतः F = 6। बची एकमात्र सीट 8 पर H होगा। दक्षिणावर्त क्रम है A, E, C, G, B, F, D, H — और ऊपर के किसी चरण में कोई विकल्प नहीं था, अतः व्यवस्था अद्वितीय है।

इसे पढ़ना: F के बाईं ओर तीसरे स्थान पर कौन बैठा है? F सीट 6 पर है; बायाँ दक्षिणावर्त है, अतः 7, 8, 1 गिनें — उत्तर A। G के सामने कौन बैठा है? G सीट 4 पर है, और 4 + 4 = 8, अतः H। D के तुरंत दाईं ओर कौन है? सीट 7 से दायाँ वामावर्त है, जो सीट 6 है — F। इस अंतिम प्रश्न में गलत परंपरा प्रयोग करने पर आपने H कहा होता, और प्रश्नपत्र ने ठीक वही विकल्प आपको दिया होता।

जब पहेली प्रत्येक व्यक्ति से दो या अधिक विशेषताएँ जोड़े — मंज़िल और विषय, बक्सा और रंग, दिन और नगर — तो उसे मन में रखने का प्रयास छोड़ें और उन्मूलन जालक बनाएँ: व्यक्ति किनारे नीचे की ओर, स्थान ऊपर की ओर, हर उस कोष्ठ में क्रॉस जिसे कोई संकेत काटता है और हर उस कोष्ठ में सही का चिह्न जिसे कोई संकेत पुष्ट करता है। जालक दो काम करता है जो कोई और नहीं करता। वह एक दृष्टि में दिखा देता है कि किसी पंक्ति में केवल एक रिक्त कोष्ठ बचा है, जो सही का चिह्न बाध्य करता है; और वह दिखा देता है कि किसी स्तंभ में केवल एक रिक्त कोष्ठ बचा है, जो वही बाध्य करता है। जालक बंद होने तक पंक्तियों और स्तंभों के बीच बारी-बारी आएँ।

पूर्ण हल मंज़िल पहेली। पाँच विद्यार्थी — अमित, बीना, चेतन, दिव्या तथा ईशा — एक भवन की पाँच मंज़िलों पर रहते हैं, मंज़िल 1 सबसे नीचे, और प्रत्येक इतिहास, गणित, भौतिकी, वनस्पति विज्ञान तथा अर्थशास्त्र में से भिन्न विषय पढ़ता है। (1) चेतन सबसे नीचे की मंज़िल पर रहता है। (2) बीना सबसे ऊपर की मंज़िल पर रहती है। (3) अमित, ईशा के ठीक ऊपर रहता है। (4) दिव्या विषम-क्रमांक मंज़िल पर नहीं रहती। (5) दिव्या और ईशा के बीच ठीक एक व्यक्ति रहता है। (6) तीसरी मंज़िल का व्यक्ति भौतिकी पढ़ता है। (7) चेतन न वनस्पति विज्ञान पढ़ता है, न गणित। (8) बीना अर्थशास्त्र पढ़ती है। (9) वनस्पति विज्ञान का विद्यार्थी भौतिकी के विद्यार्थी के ठीक नीचे रहता है।

मंज़िलों की व्युत्पत्ति। संकेत (1) तथा (2) से चेतन = 1 और बीना = 5, जिससे अमित, दिव्या और ईशा के लिए मंज़िल 2, 3 तथा 4 बचती हैं। संकेत (3) माँगता है अमित = ईशा + 1, और {2, 3, 4} के भीतर इससे केवल दो संभावनाएँ बनती हैं: ईशा = 2 के साथ अमित = 3, जिससे दिव्या = 4; अथवा ईशा = 3 के साथ अमित = 4, जिससे दिव्या = 2। संकेत (4) इन्हें अलग नहीं करता, क्योंकि 4 और 2 दोनों सम हैं — यही वह बिंदु है जहाँ असावधान हल करने वाला रुककर अनुमान लगा लेता है। संकेत (5) निर्णय करता है: दिव्या = 4 तथा ईशा = 2 के साथ उनके बीच ठीक एक व्यक्ति (मंज़िल 3 पर) है, पर दिव्या = 2 तथा ईशा = 3 के साथ वे सटे हुए हैं और बीच में कोई नहीं। अतः ईशा = 2, अमित = 3, दिव्या = 4, अद्वितीय रूप से।

विषयों की व्युत्पत्ति। संकेत (6) भौतिकी को मंज़िल 3 पर रखता है, जो अमित है। तब संकेत (9) वनस्पति विज्ञान को ठीक नीचे, मंज़िल 2 पर रखता है — अर्थात् ईशा। संकेत (8) बीना को अर्थशास्त्र देता है। संकेत (7) चेतन को वनस्पति विज्ञान तथा गणित से रोकता है; वनस्पति विज्ञान पहले से ईशा का है और अर्थशास्त्र पहले से बीना का, अतः चेतन को इतिहास लेना होगा, और बचा एकमात्र विषय गणित दिव्या को जाता है। अंतिम उत्तर: मंज़िल 1 चेतन–इतिहास, मंज़िल 2 ईशा–वनस्पति विज्ञान, मंज़िल 3 अमित–भौतिकी, मंज़िल 4 दिव्या–गणित, मंज़िल 5 बीना–अर्थशास्त्र। प्रत्येक संकेत संतुष्ट है और कुछ भी मनमाने ढंग से नहीं चुना गया, अतः यही एकमात्र हल है।

दिन तथा महीने की समय-सारणी ठीक इसी प्रकार चलती है, दिनों को स्तंभ बनाकर। पाँच कर्मचारी P, Q, R, S तथा T सोमवार से शुक्रवार तक पाँच भिन्न दिनों में अवकाश लेते हैं। (क) S शुक्रवार को अवकाश लेता है। (ख) P, R के ठीक अगले दिन अवकाश लेता है। (ग) Q, P के दो दिन बाद अवकाश लेता है। R के प्रत्येक आरंभ को जाँचें: R = सोमवार से P = मंगलवार तथा Q = गुरुवार, जिससे T के लिए बुधवार बचता है — संगत। R = मंगलवार से P = बुधवार तथा Q = शुक्रवार, पर शुक्रवार S का है — अस्वीकृत। R = बुधवार से P = गुरुवार तथा Q = शनिवार, जो नहीं है — अस्वीकृत। अतः अद्वितीय सारणी है R सोमवार, P मंगलवार, T बुधवार, Q गुरुवार, S शुक्रवार।

जालक कूटलेखन प्रश्न में दो जालक छपे होते हैं। जालक I की पंक्तियाँ तथा स्तंभ 0 से 4 तक क्रमांकित हैं और जालक II की 5 से 9 तक, अतः कोई दो-अंकीय कूट दोनों का नहीं होता। अक्षर का कूट पहले पंक्ति-अंक, फिर स्तंभ-अंक से बनता है — और चूँकि प्रत्येक अक्षर अपने जालक में पाँच बार आता है, हर अक्षर के पाँच वैध कूट होते हैं। आपका काम है वह विकल्प खोजना जिसमें दिए शब्द के अक्षरों के लिए क्रम से सभी कूट वैध हों।

किसी अक्षर के कूट उसके विकर्ण पर चलकर पढ़ें। A 00, 14, 23, 32 तथा 41 पर आता है; E 01, 10, 24, 33, 42 पर; I 02, 11, 20, 34, 43 पर; O 03, 12, 21, 30, 44 पर; U 04, 13, 22, 31, 40 पर। जालक II में B 55, 69, 78, 87, 96 पर आता है; C 56, 65, 79, 88, 97 पर; D 57, 66, 75, 89, 98 पर; F 58, 67, 76, 85, 99 पर; G 59, 68, 77, 86, 95 पर। अतः BAG को वैध रूप से 55-00-59, अथवा 78-23-86, अथवा प्रति अक्षर एक वैध कूट के किसी भी मिश्रण से लिखा जा सकता है — और CUE को 56-04-33 लिखा जा सकता है। परीक्षा की कुशल तकनीक है प्रत्येक विकल्प का अंतिम कूट पहले जाँचना, क्योंकि प्रश्नपत्र वहीं वह एक गलत अंक छिपाता है।

गणितीय संक्रिया के प्रश्न अंकगणितीय चिह्नों को अन्य चिह्नों से बदलकर मान निकालने को कहते हैं। संभव त्रुटियाँ केवल दो हैं — प्रतिस्थापन गलत नक़ल करना तथा BODMAS भूल जाना। क्रम है कोष्ठक, घात, भाग, गुणा, जोड़, घटाव — और वह प्रतिस्थापन के बाद की वास्तविक संक्रियाओं पर लागू होता है, छपे चिह्नों पर कभी नहीं। ठीक वहीं अंक कटते हैं: अभ्यर्थी प्रतिस्थापन ठीक करते हैं और फिर बाएँ से दाएँ हल कर देते हैं।

हल प्रतिस्थापन। ऊपर की तालिका से 12 + 6 − 3 × 4 ÷ 2 का मान निकालें। वास्तविक संक्रियाओं में लिखें: 12 × 6 ÷ 3 + 4 − 2। अब BODMAS: पहले भाग तथा गुणा, बाएँ से दाएँ, अतः 12 × 6 = 72 और 72 ÷ 3 = 24; फिर जोड़ तथा घटाव, जिससे 24 + 4 − 2 = 26। अक्षर-कूट वाला रूप ठीक इसी प्रकार चलता है: यदि P का अर्थ +, Q का −, R का × तथा S का ÷ हो, तो 18 S 6 R 4 Q 3 P 5 बनता है 18 ÷ 6 × 4 − 3 + 5 = 3 × 4 − 3 + 5 = 12 − 3 + 5 = 14।

चिह्नों का परस्पर बदलाव। "÷ तथा + परस्पर बदलने पर कौन-सा समीकरण सही हो जाता है?" विकल्प 16 + 8 ÷ 6 = 8 जाँचें: बदलने के बाद वह पढ़ता है 16 ÷ 8 + 6, जो 2 + 6 = 8 है — सही। संख्याओं का परस्पर बदलाव। "2 + 5 × 3 − 4 = 17 को सही करने के लिए कौन-सी दो संख्याएँ बदलनी होंगी?" छपे रूप में बायाँ पक्ष 2 + 15 − 4 = 13 है, अतः कुछ बदलना होगा। 2 और 4 बदलने पर 4 + 5 × 3 − 2 = 4 + 15 − 2 = 17 मिलता है — सही। शेष पाँचों बदलाव विफल होते हैं (5 और 3 से फिर 13, 2 और 5 से 7, 2 और 3 से 9, 5 और 4 से 9, 3 और 4 से 19), अतः उत्तर अद्वितीय है। समीकरण संतुलित करना। "20 * 4 * 2 = 12 भरें": युग्म (−, ×) जाँचें और मिलता है 20 − 4 × 2 = 20 − 8 = 12 — सही, क्योंकि BODMAS गुणा पहले करता है।