अशाब्दिक तर्कशक्ति — दर्पण प्रतिबिम्ब, कागज़ मोड़ना, पासा व आकृति गणना

इन प्रश्नों में दर्पण ऊर्ध्वाधर अक्ष पर खड़ा होता है — वस्तु के दाएँ या बाएँ। अतः वह बाएँ-दाएँ बदल देता है, और ऊपर-नीचे को जैसा था वैसा ही छोड़ देता है। कुछ भी उल्टा नहीं होता। यही एक वाक्य, ईमानदारी से लगाया जाए, तो अधिकांश दर्पण-प्रतिबिम्ब प्रश्न तय कर देता है।

पूरे शब्द पर दो बातें साथ घटती हैं, और अभ्यर्थी सामान्यतः एक ही याद रखते हैं। पहली, अक्षरों का क्रम उलट जाता है — अंतिम अक्षर अब दर्पण के सबसे निकट। दूसरी, प्रत्येक अक्षर पार्श्व-उल्टा हो जाता है — बशर्ते वह नीचे दी गई सममित सूची में न हो। दोनों प्रभाव एक साथ लगते हैं।

1. MOM → क्रम उलटिए: M-O-M, फिर भी MOM (पैलिंड्रोम)। M, O, M प्रत्येक दर्पण-सूची में है। अतः दर्पण प्रतिबिम्ब MOM, पूर्णतः अपरिवर्तित पढ़ा जाता है।
2. MAXIMUM → प्रत्येक अक्षर (M, A, X, I, M, U, M) दर्पण-सूची में है, अतः किसी अक्षर की आकृति नहीं बदलती; परंतु क्रम तो उलटेगा, अतः दर्पण में MUMIXAM पढ़ा जाता है। यही आधे अंक का प्रसिद्ध जाल है: सममित अक्षर शब्द को क्रम-उलटाव से छूट नहीं दिलाते।
3. INDIA → उलटिए: A-I-D-N-I। अब हर अक्षर जाँचिए: I ✓, A ✓ तथा I ✓ सममित हैं; D व N नहीं, अतः वे दोनों पार्श्व-उल्टे दिखते हैं। पढ़ने का क्रम A, I, D, N, I रहेगा, जिसमें D व N पलटे होंगे।
4. 118 TOUT → पूरी लड़ी उलटिए: TUOT 811। T, O, U, 8 व 1 सभी दर्पण-सूची में हैं, अतः आकृतियाँ लगभग नहीं बदलतीं — परंतु पढ़ने का क्रम पूरा उलट जाता है, और विकल्प यही जाँचते हैं।

जल प्रतिबिम्ब वह परछाईं है जो शांत तालाब में दिखेगी। परावर्तक सतह अब क्षैतिज अक्ष पर, वस्तु के नीचे है। अतः वह ऊपर-नीचे बदल देती है और बाएँ-दाएँ जैसा था वैसा ही छोड़ देती है। महत्वपूर्ण बात: अक्षरों का क्रम नहीं उलटता — शब्द अब भी बाएँ से दाएँ पढ़ा जाता है।

जल-सूची दर्पण-सूची से भिन्न क्यों है? क्योंकि सममिति किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष होती है। M में पूर्ण बाएँ-दाएँ संतुलन है (उसका बायाँ आधा दाएँ आधे का दर्पण है), अतः वह दर्पण में टिकता है — पर M को ऊपर-नीचे पलटिए तो वह W जैसा बन जाता है, अतः जल में विफल। E उल्टा है: उसका ऊपरी आधा निचले आधे का दर्पण है, अतः E जल में टिकता है, पर बाएँ-दाएँ पलटने पर वह उल्टा-E बन जाता है, अतः दर्पण में विफल। केवल वे वर्ण जो दोनों अक्षों पर संतुलित हैं — H, I, O, X तथा 0, 1, 8 — किसी भी प्रतिबिम्ब में टिकते हैं।

1. CHOKED → क्रम C-H-O-K-E-D ही रहता है। हर अक्षर जल-सूची से जाँचिए: C ✓, H ✓, O ✓, K ✓, E ✓, D ✓ — छहों क्षैतिज अक्ष पर सममित हैं। अतः जल प्रतिबिम्ब CHOKED, पूर्णतः अपरिवर्तित पढ़ा जाता है। इसके विपरीत, इसका दर्पण प्रतिबिम्ब D-E-K-O-H-C पढ़ा जाता है, जिसमें C, K, E, D सभी पार्श्व-उल्टे रहते हैं।
2. 1308 → चारों अंक (1, 3, 0, 8) जल-सूची में हैं, अतः जल प्रतिबिम्ब 1308 ही रहता है। परंतु दर्पण प्रतिबिम्ब क्रम उलटकर 8031 कर देता है, जिसमें 3 पलटा रहता है (1, 0 व 8 अपनी आकृति बनाए रखते हैं)।
3. MOM → उल्टा मामला। दर्पण में MOM अपरिवर्तित है; जल में M क्षैतिज अक्ष पर सममित नहीं है, अतः हर M, W जैसी आकृति बन जाता है और जल प्रतिबिम्ब WOW जैसा दिखता है। एक शब्द, दो विपरीत उत्तर।
4. HIT → H, I, T। H ✓ व I ✓ जल-सूची में हैं, परंतु T नहीं (T को ऊपर-नीचे पलटिए तो आड़ी रेखा नीचे चली जाती है, ⊥ जैसी आकृति बनती है)। अतः HIT जल में अपरिवर्तित नहीं है, यद्यपि दर्पण में उसकी आकृति अपरिवर्तित रहती है (जहाँ वह TIH पढ़ा जाता है)।

कागज़ के सभी प्रश्न एक ही विचार पर टिके हैं: छेद उन सभी परतों को काटता है जिनसे वह गुज़रता है, अतः छेदों की संख्या बिंधी परतों की संख्या के बराबर होती है। पूरी शीट एक ही छलाँग में कल्पना करने का प्रयास कभी न कीजिए। पीछे की ओर चलिए, एक-एक चरण खोलिए, और हर खोलने पर उस मोड़-रेखा के आर-पार प्रतिबिम्ब बनाकर छेद दुगुने कीजिए।

चूँकि प्रत्येक मोड़ परतें दुगुनी करता है, n मोड़ एक ही छेद को 2ⁿ छेदों में बदल देते हैं — बशर्ते छेद किसी मोड़-रेखा पर न पड़े। अतः 1 मोड़ → 2 छेद, 2 मोड़ → 4 छेद, 3 मोड़ → 8 छेद, 4 मोड़ → 16 छेद। 2 मोड़ों के बाद दो स्वतंत्र छेद करने पर 4 + 4 = 8 छेद।

उस तालिका से नियम पढ़ लीजिए: दो मोड़ों के बाद छेदों का समूह दोनों केंद्र-रेखाओं पर सममित होता है। छेदी गई कोष्ठिका लीजिए, उसका स्तंभ प्रतिबिम्बित कीजिए (C1↔C4, C2↔C3), उसकी पंक्ति प्रतिबिम्बित कीजिए (R1↔R4, R2↔R3), और चारों संयोजन ले लीजिए। केवल एक मोड़ हो तो केवल दो संयोजन लीजिए — स्तंभ प्रतिबिम्बित कीजिए और रुक जाइए। यह यांत्रिक विधि कभी विफल नहीं होती और चित्र की आवश्यकता नहीं पड़ती।

कागज़ काटना उसी तर्क पर चलता है, केवल कहाँ काटा गया — इसका एक अतिरिक्त नियम जुड़ता है। मोड़-रेखा को छूने वाला कट खुलने पर मोड़ पर फैली एक सममित आकृति बनाता है। खुले किनारे पर (मोड़ से दूर) किया गया कट खुलने पर दो दर्पण-प्रतिबिम्ब कटान बनाता है। बच्चे कागज़ के बर्फ-फूल ठीक इसी प्रकार बनाते हैं, और विकल्प-रचयिता ठीक यही जाँचता है।

1. मोड़ पर कट। शीट के दाएँ आधे को बाएँ आधे पर मोड़िए; पुलिंदे का दायाँ किनारा मोड़ है। उस मोड़ की आधी ऊँचाई पर एक छोटा त्रिभुज काटिए जिसका आधार मोड़ के साथ हो। खोलिए: त्रिभुज मोड़ के आर-पार दुगुना होता है और दोनों आधे जुड़कर ठीक ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा पर बैठा एक हीरे-आकार (समचतुर्भुज) छिद्र बनाते हैं, आधी ऊँचाई पर। एक कट, एक छिद्र — दो नहीं।
2. खुले किनारे पर कट। वही मोड़, परंतु अब वही त्रिभुज पुलिंदे के बाएँ किनारे से काटिए। खोलने पर दो अलग त्रिभुजाकार कटान मिलते हैं — एक शीट के बाएँ किनारे पर व एक दाएँ किनारे पर, समान ऊँचाई पर, एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब। केवल कट का स्थान बदला, और उत्तर पूरा बदल गया।
3. दो मोड़, केंद्र-कोने पर एक कट। पहले ऊर्ध्वाधर, फिर क्षैतिज मोड़िए। पुलिंदे का वह कोना जहाँ दोनों मोड़ मिलते हैं, शीट का केंद्र है। उस कोने को काटकर खोलिए: आपको ठीक केंद्र पर एक ही छिद्र मिलता है, जो दोनों केंद्र-रेखाओं पर सममित है — कट के चार चतुर्थांश जुड़कर एक आकृति बन जाते हैं।
4. तीन मोड़, एक छेद। दायाँ बाएँ पर, फिर निचला ऊपरी पर, फिर बने चतुर्थांश को नई ऊर्ध्वाधर रेखा पर आधा मोड़िए। परतें = 2 × 2 × 2 = 8, अतः एक स्पष्ट छेद से 8 छेद (2³) बनते हैं, और पैटर्न तीनों मोड़-रेखाओं पर सममित होता है। पहले परतें गिनिए, फिर स्थितियाँ — केवल परत-गणना से ही दो विकल्प कट जाते हैं।

घन में 6 फलक, 12 किनारे व 8 कोने होते हैं। घन के किसी एक दृश्य में अधिकतम तीन फलक दिख सकते हैं, और वे तीनों एक कोने पर मिलते हैं — अतः वे परस्पर संलग्न हैं। इससे हर पासा-प्रश्न का स्वर्ण-नियम निकलता है: एक ही दृश्य में साथ दिखे कोई भी दो अंक कभी एक-दूसरे के सम्मुख नहीं हो सकते। प्रत्येक फलक के ठीक चार पड़ोसी और एक सम्मुख फलक होता है। पड़ोसियों को हटाते-हटाते हल कीजिए, जब तक एक उम्मीदवार बचे।

हल किया उदाहरण — नियम 1। किसी घन की स्थिति I में फलक 4, 1, 2 दिखते हैं; उसी घन की स्थिति II में 4, 1, 5। समान फलक 4 व 1 हैं, अतः भिन्न फलक 2 व 5 एक-दूसरे के सम्मुख हैं। रटने के बजाय तर्क कीजिए: फलक 4 व 1 एक किनारा साझा करते हैं, और उस किनारे के दो सिरे हैं। एक कोने पर तीसरा फलक 2 है; दूसरे कोने पर वह 2 के सम्मुख फलक होना चाहिए — और स्थिति II वहाँ 5 दिखाती है। अतः 2, 5 के सम्मुख है, तथा 4 व 1 दोनों, 2 व 5 दोनों से संलग्न हैं।

निशान लगाने से पहले उत्तर को हर दृश्य से जाँचिए — यह आदत पूरे प्रश्नपत्र में दस अंक की है। जोड़े 1–5, 2–6, 3–4। स्थिति I में 2, 1, 3: इनमें कोई दो जोड़ा नहीं बनाते ✓। स्थिति II में 2, 3, 5: कोई जोड़ा नहीं ✓। स्थिति III में 2, 5, 4: कोई जोड़ा नहीं ✓। अतः पासा संगत है — और ध्यान दीजिए कि 2 + 6 = 8, 7 नहीं, अतः यह साधारण पासा नहीं है और योग-7 शॉर्टकट गलत उत्तर देती।

n इकाई भुजा वाले एक घन को छहों फलकों पर रंगा जाता है और फिर n³ इकाई घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों के 3, 2, 1 या 0 फलक रंगे हैं? गिनिए नहीं — सोचिए कि छोटा घन बड़े घन के भीतर कहाँ बैठा है। केवल उसकी स्थिति ही तय करती है कि उसके कितने फलक बाहर थे।

• कुल जाँच सदैव कीजिए। चारों गणनाओं का योग n³ होना चाहिए, क्योंकि हर छोटा घन या कोना, या किनारे का मध्य, या फलक का मध्य, या अंतःभाग का घन है — पाँचवीं संभावना नहीं। n = 4 के लिए: 8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4³ ✓। n = 5 के लिए: 8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 5³ ✓। n = 3 के लिए: 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3³ ✓। यदि आपके चार अंकों का योग n³ न हो तो गणना में चूक हुई है — विकल्प चुनने से पहले सुधारिए।
• "ठीक" और "कम-से-कम" ध्यान से पढ़िए। ठीक एक रंगा फलक 6(n−2)² है, जो कम-से-कम एक — अर्थात् n³ − (n−2)³ — से बहुत छोटी संख्या है। n = 4 पर दोनों उत्तर 24 व 56 हैं — और सामान्यतः दोनों विकल्पों में मौजूद रहते हैं। यही एक शब्द इस विषय का सबसे आम जाल है।
• सीमांत मामले। यदि n = 2 हो तो न अंतःभाग है न किनारे का मध्य: सभी 8 छोटे घन कोने हैं और उनके 3 फलक रंगे हैं (8 + 0 + 0 + 0 = 8 = 2³ ✓)। यदि n = 1 हो तो एकमात्र घन के छहों फलक रंगे हैं, जिसे चारों सूत्रों में कोई नहीं समेटता — सूत्र n ≥ 2 मानते हैं।
• कटों की संख्या। n भुजा के घन को n³ इकाई घनों में काटने हेतु तीनों दिशाओं में (n−1) कट चाहिए, अतः कुल कट = 3(n−1)। n = 4 के लिए: 3 × 3 = 9 कट। n = 5 के लिए: 3 × 4 = 12 कट। सामान्यतः एक दिशा में m कट (m+1) फाड़ बनाते हैं, अतः k कट k+1 भाग करते हैं — और यदि कट तीनों अक्षों पर a, b, c बाँटे जाएँ तो टुकड़ों की संख्या (a+1)(b+1)(c+1) है। 9 कट 3-3-3 बाँटने पर 4 × 4 × 4 = 64 ✓।

गिनती के प्रश्न कठिनाई से नहीं, असावधानी से छूटते हैं। आकृति देखकर अनुमान कभी न लगाइए। हर बार एक ही निश्चित क्रम अपनाइए: पहले सबसे छोटी इकाइयाँ गिनिए, फिर दो इकाइयों से बनी आकृतियाँ, फिर तीन, और इसी प्रकार, अंत में पूरी आकृति। समूहों को अंत में जोड़ दीजिए। त्रिभुजों के लिए दूसरी, अचूक जाँच: तीन अंकित बिंदुओं का हर समूह लिखिए, और केवल वे रखिए जिनकी तीनों मिलाने वाली रेखाएँ वास्तव में खींची गई हैं। दो स्वतंत्र विधियों का मेल ही आपको निशान लगाकर आगे बढ़ने देता है।

1. उदाहरण A — एक जीवा-रेखा। त्रिभुज ABC, जिसमें D, BC पर है और रेखा AD खींची है। सबसे छोटे त्रिभुज: ABD, ACD = 2। दो इकाइयों से बना: ABC = 1। कुल = 2 + 1 = 3 त्रिभुज।
2. उदाहरण B — एक ही शीर्ष से दो जीवा-रेखाएँ। त्रिभुज ABC, जिसमें D व E दोनों BC पर हैं (क्रम B, D, E, C), और AD व AE दोनों खींची हैं। सबसे छोटे: ABD, ADE, AEC = 3। दो इकाइयाँ: ABE, ADC = 2। तीन इकाइयाँ: ABC = 1। कुल = 3 + 2 + 1 = 6 त्रिभुज। सामान्य नियम: एक शीर्ष से k जीवा-रेखाएँ खींचने पर आधार (k+1) भागों में बँटता है और संख्या (k+1)(k+2)/2 होती है। जाँच: k = 1 पर 2 × 3 / 2 = 3 ✓; k = 2 पर 3 × 4 / 2 = 6 ✓; k = 3 पर 4 × 5 / 2 = 10 ✓।
3. उदाहरण C — दो माध्यिकाएँ। त्रिभुज ABC में D को BC का मध्यबिंदु व E को AC का मध्यबिंदु मानिए; AD व BE खींचिए, जो केंद्रक G पर काटती हैं। दोनों रेखाएँ त्रिभुज को चार क्षेत्रों में बाँटती हैं: त्रिभुज ABG, BDG, AEG तथा चतुर्भुज GDCE। समूहों में गिनिए — 1 क्षेत्र: ABG, BDG, AEG = 3; 2 क्षेत्र: ABD (ABG+BDG), ABE (ABG+AEG), ACD (AEG+GDCE), BCE (BDG+GDCE) = 4; 4 क्षेत्र: ABC = 1। ठीक 3 क्षेत्रों से कोई नहीं बनता। कुल = 3 + 4 + 1 = 8 त्रिभुज।
4. उदाहरण C को बिंदु-विधि से जाँचिए। आठ त्रिभुज ठीक ये हैं: ABC, ABD, ABE, ABG, ACD, AEG, BCE, BDG। A-C-E या B-D-C जैसे समूह इसलिए विफल हैं कि वे तीन बिंदु संरेख हैं; A-D-E या C-D-G जैसे समूह इसलिए विफल हैं कि मिलाने वाली रेखा (DE, या CG) कभी खींची ही नहीं गई। दो विधियाँ, एक उत्तर।
5. उदाहरण D — दोनों विकर्णों वाला आयत। आयत ABCD, जिसके विकर्ण AC व BD, O पर मिलते हैं। सबसे छोटे त्रिभुज: AOB, BOC, COD, DOA = 4। दो क्षेत्रों से बने: ABC, BCD, CDA, DAB = 4। तीन क्षेत्रों वाला कोई त्रिभुज नहीं, और पूरा आयत त्रिभुज नहीं है। कुल = 4 + 4 = 8 त्रिभुज, तथा ठीक 1 आयत (स्वयं ABCD)।

वर्गों का कुल योग पहले n वर्ग-अंकों का योग है, अर्थात् n(n+1)(2n+1)/6। तालिका की हर पंक्ति जाँचिए: n = 3 पर 3 × 4 × 7 / 6 = 84 / 6 = 14 ✓; n = 4 पर 4 × 5 × 9 / 6 = 180 / 6 = 30 ✓; n = 8 पर 8 × 9 × 17 / 6 = 1224 / 6 = 204 ✓। आयतों का कुल योग (n+1) ऊर्ध्वाधर व (n+1) क्षैतिज जालक-रेखाओं में से दो-दो चुनने की गणना है, अर्थात् C(n+1, 2)² = [n(n+1)/2]²; n = 2 पर यह 3² = 9 है, और हाथ से गिनने पर 4 + 2 + 2 + 1 = 9 ✓। ध्यान दीजिए कि वर्ग आयतों का उपसमुच्चय हैं, अतः आयतों की संख्या सदैव बड़ी होती है।

ये वही प्रकार हैं जिनमें चित्र वास्तव में आवश्यक है, अतः स्पष्ट रहिए कि पाठ-पृष्ठ क्या कर सकता है: वह आपके लिए श्रेणी नहीं बना सकता, परंतु परीक्षक का औज़ार-बक्सा आपको दे सकता है। प्रत्येक आकृति-श्रेणी व आकृति-सादृश्य रूपांतरणों के एक छोटे, निश्चित समूह से बनता है। आपका कार्य उत्तर "देख लेना" नहीं — आपका कार्य उस नियम का नाम बताना है जो एक आकृति को अगली में बदलता है, और फिर उसी नियम को एक बार और लगाना। रूपांतरणों को निश्चित क्रम में जाँचिए और नियम सेकंडों में उभर आएगा।

1. इस क्रम में जाँचिए। (1) वही आकृति पर घुमी हुई? → घूर्णन; कोण ज्ञात कीजिए। (2) घुमी लगती है पर कोई कोण नहीं बैठता? → परावर्तन। (3) भागों की संख्या बदली? → जोड़ना या हटाना। (4) कोई छोटा चिह्न हिला? → केवल चिह्न देखिए। (5) छायांकन हिला? (6) भुजाओं की संख्या बदली? पहले ऐसे नियम पर रुकिए जो हर चरण समझाए, केवल पहला चरण नहीं।
2. नियम को हर चरण पर बैठना चाहिए। नए अभ्यर्थी आकृति 1 → आकृति 2 समझाने वाला नियम पाकर विकल्पों पर कूद पड़ते हैं। उसे आकृति 2 → आकृति 3 पर भी अवश्य जाँचिए, और 3 → 4 दिया हो तो उस पर भी। यदि कहीं भी विफल हो, तो नियम गलत है, चाहे कितना सुंदर लगा हो।
3. सादृश्य वही कौशल है, संक्षिप्त रूप में। A : B :: C : ? में A से B तक का एकमात्र परिवर्तन अलग कीजिए और ठीक वही C पर लगाइए। अक्षरों पर यह समान रूप से चलता है, जिसे आप पाठ में जाँच सकते हैं: AZ : BY :: CX : ? — पहला अक्षर एक आगे, दूसरा एक पीछे, अतः उत्तर DW। नियम दी गई जोड़ी से निकालिए; विकल्पों से उलटकर कभी न गढ़िए।
4. देखने से पहले गिनिए। अधिकांश श्रेणी-उत्तर केवल दी गई आकृतियों के तत्व (रेखाएँ, बिंदु, भुजाएँ, छायांकित कोष्ठिकाएँ) गिनकर और गणना आगे बढ़ाकर दो विकल्पों तक सीमित हो जाते हैं। पहले गिनती कीजिए; उसके बाद ही दिशाएँ मिलाइए। यह क्रम आपका समय आधा कर देता है।

अंतर्निहित (छिपी) आकृति के प्रश्न में आपको एक छोटी आकृति X तथा चार बड़े विकल्प दिए जाते हैं, और ठीक एक विकल्प में X पूरी व अपरिवर्तित छिपी होती है। वह घुमी हो सकती है, परंतु कभी खींची, सिकोड़ी या मोड़ी नहीं जाती। अंधाधुंध खोज एक मिनट खा जाती है; जाँच का निश्चित क्रम उसे पंद्रह सेकंड में पा लेता है।

1. पहले सबसे विशिष्ट अंग खोजिए — कोई असामान्य कोण, सीधी रेखाओं के बीच एकमात्र वक्र, कोई तीखी नोक, कोई बहुत छोटा खंड। चारों विकल्पों में केवल उसी अंग को देखिए। जिनमें वह नहीं है, वे तुरंत बाहर, बिना कोई रेखा खींचे। यही अंग-मिलान है, और यही पूरी विधि है।
2. X के रेखा-खंड गिनिए। सही विकल्प में उतने खंड उसी व्यवस्था में होने ही चाहिए। यदि किसी उम्मीदवार के संबंधित भाग में X की आवश्यकता से कम रेखाएँ हैं, तो वह बाहर — गिनती अनुमान से तेज़ और सुरक्षित है।
3. अनुपात सत्यापित कीजिए। X अपना ठीक-ठीक आकार व आकृति बनाए रखती है। यदि किसी उम्मीदवार में X को लंबा खींचना, दबाकर छोटा करना या उसका कोण चौड़ा करना पड़े, तो उसे अस्वीकार कीजिए — परीक्षक छिपी आकृति का माप कभी नहीं बदलता।
4. पेंसिल की नोक से रेखांकित कीजिए। बचे विकल्प पर X की रूपरेखा का अनुसरण कीजिए। यदि पेंसिल उठानी पड़े, या कोई अमुद्रित रेखा गढ़नी पड़े, तो X वहाँ नहीं है। एक साफ़, अटूट रेखांकन = उत्तर।

आकृति पूर्ति (पैटर्न पूर्ति) में एक बड़ी रचना दी जाती है जिसका एक टुकड़ा — सामान्यतः कोई कोना या चतुर्थांश — काटा हुआ होता है, साथ में चार संभावित टुकड़े। रचना लगभग सदैव सममित होती है, और वही सममिति आपकी उत्तर-कुंजी है। पहले सममिति पहचानिए: रचना ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा (MV) पर सममित है, क्षैतिज केंद्र-रेखा (MH) पर, दोनों पर, या 90°/180° घूर्णन पर? तत्पश्चात रचना के मुद्रित बचे भाग को प्रतिबिम्बित या घुमाकर पढ़ लीजिए कि छूटे टुकड़े में क्या होना चाहिए।

1. हल किया तर्क। मानिए रचना 3 × 3 जालक भरती है, छूटा टुकड़ा कोष्ठिका A3 (ऊपर-दाएँ) है, और आप देखते हैं कि मुद्रित भाग ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा पर सममित है। MV, A3 ↔ A1 भेजता है। अतः A1 में जो खिंचा है — मानिए नीचे-दाएँ खुलता चौथाई वृत्त — छूटे टुकड़े में उसका बाएँ-दाएँ दर्पण होना चाहिए: नीचे-बाएँ खुलता चौथाई वृत्त। A1 पढ़िए, पलटिए, वही विकल्प चुनिए।
2. यदि सममिति 180° घूर्णन की हो, तो A3 का साथी C1 (नीचे-बाएँ) है, A1 नहीं। साथी कोष्ठिका ठीक पकड़ना ही पूरा प्रश्न है; इस अध्याय की पूर्व की घूर्णन-तालिका MV, MH, 180°, CW 90° व ACW 90° के हर साथी दे देती है।
3. किनारों पर निरंतरता जाँचिए। रचना की जो रेखाएँ काटे किनारे तक आती हैं, वे छूटे टुकड़े में उसी ऊँचाई व उसी कोण पर आगे बढ़नी चाहिए। प्रायः दो विकल्प सममिति पूरी करते हैं पर सीमा पर एक ही मिलता है — किनारे की जाँच ही निर्णायक है।

समान आकृतियों का वर्गीकरण आपको पाँच से नौ छोटी आकृतियाँ लेबल के साथ (प्रायः 1 से 9 अंकित या अक्षरांकित) देकर उन्हें साझा गुण वाले समूहों में बाँटने को कहता है। पूरे समूह को एक साथ न ताकिए। इसके बजाय गुणों की एक निश्चित सूची पर उतरिए और पहले उस गुण पर रुकिए जो समूह को साफ़-साफ़ बाँट दे, क्योंकि प्रश्नपत्र सदैव ठीक एक ऐसा गुण चाहता है।

• भुजाओं या रेखाओं की संख्या — त्रिभुज एक साथ, चतुर्भुज एक साथ, वक्र एक साथ। अकेले यही अधिकांश वर्गीकरण-प्रश्न तय कर देता है और पाँच सेकंड लेता है।
• खुली बनाम बंद आकृतियाँ — रूपरेखा कोई क्षेत्र घेरती है, या उसके सिरे खुले हैं? खुली आकृति बंद आकृति के साथ कभी समूह नहीं बनाती।
• घिरे क्षेत्रों की संख्या — एक क्षेत्र, दो क्षेत्र, तीन। खंड गिनिए, रेखाएँ नहीं।
• छायांकन — पूर्ण छायांकित, अर्ध छायांकित, अछायांकित; और छायांकन कहाँ है।
• सममिति — सममिति-रेखा वाली आकृतियाँ बनाम बिना सममिति वाली। यह वही गुण है जो अभ्यर्थी भूल जाते हैं, और प्रश्न-रचयिता का प्रिय है।
• केवल घूर्णन से समानता — भिन्न दिशा में घुमी एक ही आकृति की दो प्रतियाँ एक साथ आती हैं; जो आकृति शेष का दर्पण है, वह नहीं। यह वही घूर्णन-बनाम-परावर्तन अंतर है, अब छँटाई की कुंजी के रूप में।