बीजगणित एवं त्रिकोणमिति

बीजगणित व त्रिकोणमिति ही SSC CGL के संख्यात्मक पत्र को साधारण अंकगणित-परीक्षा से अलग करते हैं। टियर-I संख्यात्मक अभियोग्यता के 25 प्रश्नों में लगभग 5–8 इसी भाग से आते हैं, और टियर-II पेपर-I में हिस्सा उससे भी बड़ा। अच्छी बात यह है कि पर्चा बहुत छोटे प्रतिरूप-समूह को दोहराता है: सर्वसमिका प्रश्न, x + 1/x परिवार, द्विघात के योग-गुणनफल की युक्तियाँ, मानक-कोण तालिका तथा 30–45–60 की मीनार-समस्याएँ। इन प्रतिरूपों को पक्का कर लें और यह पर्चे का सबसे तेज़ अंक देने वाला भाग बन जाता है। टियर-I का −0.50 ऋणात्मक अंकन याद रखें: आधी-याद त्रिकोणमितीय सर्वसमिका छोड़ देना ही उचित है।

बीजीय सर्वसमिकाएँ — पूरा औज़ार-बक्सा

सर्वसमिका अक्षरों के प्रत्येक मान के लिए सत्य होती है, अतः आप स्वतंत्र रूप से मान रख सकते हैं और कुछ हल करने की आवश्यकता नहीं। पर्चा प्रायः सर्वसमिका सिद्ध करने को नहीं कहता; वह तीन राशियों में से दो दे देता है (मान लीजिए a + b और ab) और तीसरी पूछता है (जैसे a³ + b³)। पूरा खेल यह जानने का है कि कौन-सी सर्वसमिका उन्हें जोड़ती है। नीचे की चौदह पंक्तियाँ सीख लें और आप इनमें से कोई भी प्रश्न पंद्रह सेकंड में हल कर लेंगे।

मानक बीजीय सर्वसमिकाएँ (प्रत्येक पंक्ति कंठस्थ करें)
सर्वसमिकासर्वाधिक उपयोगी पुनर्व्यवस्थित रूप
(a + b)² = a² + 2ab + b²a² + b² = (a + b)² − 2ab
(a − b)² = a² − 2ab + b²a² + b² = (a − b)² + 2ab
a² − b² = (a + b)(a − b)वर्गों के अंतर को सरल गुणनफल बना देती है
(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)(a + b)² − (a − b)² = 4ab
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
(a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)जब a + b को काटना हो तब प्रयोग करें
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)यहाँ +ab है, ऊपर −ab था — ध्यान दें
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)उपसिद्धांत: यदि a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc
a² + b² + c² − ab − bc − ca = ½[(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²]सदा ≥ 0; शून्य केवल तब जब a = b = c
a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²)(a² − ab + b²)परीक्षकों को प्रिय "गायब 2ab" वाला गुणनखंडन
a⁴ − b⁴ = (a² + b²)(a + b)(a − b)वर्गों का अंतर दो बार लगाया गया
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + abमध्य पद विभाजन से किए हर गुणनखंडन का आधार
  • हल उदाहरण 1. यदि a + b = 7 और ab = 10, तो a² + b², a³ + b³ तथा a − b ज्ञात करें। पंक्ति 1 से: a² + b² = 7² − 2(10) = 49 − 20 = 29। पंक्ति 5 से: a³ + b³ = 7³ − 3(10)(7) = 343 − 210 = 133। पंक्ति 4 से: (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 49 − 40 = 9, अतः a − b = ±3। वास्तव में हल करके जाँचें: a व b हैं 5 और 2 — तथा 25 + 4 = 29 ✓, 125 + 8 = 133 ✓, 5 − 2 = 3 ✓
  • हल उदाहरण 2. यदि a − b = 3 और ab = 10, तो a³ − b³ ज्ञात करें। पंक्ति 6 देती है a³ − b³ = 3³ + 3(10)(3) = 27 + 90 = 117। a = 5, b = 2 से जाँच: 125 − 8 = 117 ✓
  • हल उदाहरण 3. यदि a + b + c = 12 और ab + bc + ca = 44, तो a² + b² + c² ज्ञात करें। पंक्ति 9: a² + b² + c² = 12² − 2(44) = 144 − 88 = 56।
  • हल उदाहरण 4 (a + b + c = 0 का शॉर्टकट)। यदि a + b + c = 0 और abc = 5, तो a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 = 15। वास्तविक संख्याओं से नियम जाँचें: a = 2, b = −5, c = 3 का योग 0 है, और a³ + b³ + c³ = 8 − 125 + 27 = −90, जबकि 3abc = 3 × 2 × (−5) × 3 = −90 ✓
  • हल उदाहरण 5 (सर्वसमिका से मौखिक गणित)। 105² = (100 + 5)² = 10000 + 2(100)(5) + 25 = 11025। तथा 25² − 24² = (25 + 24)(25 − 24) = 49 × 1 = 49 — वर्ग करने की आवश्यकता ही नहीं।
🧠 a + b + c = 0 वाला प्रश्न तीन सेकंड में पहचानें
जब भी प्रश्न ऐसे तीन कोष्ठक दे जिनका योग स्पष्टतः शून्य हो जाए — जैसे (x − y) + (y − z) + (z − x) — तो घन तुरंत 3 × गुणनफल बन जाते हैं। अतः (x − y)³ + (y − z)³ + (z − x)³ = 3(x − y)(y − z)(z − x)। पर्चा यह प्रश्न हर दूसरे-तीसरे वर्ष भिन्न अक्षरों के साथ पूछता है; जैसे ही आप जाँच लें कि तीनों टुकड़े कट जाते हैं, काम पूरा।
⚠️ वह चिह्न जो घन-सर्वसमिका बिगाड़ देता है
a³ + b³ का गुणनखंडन बीच में ऋण के साथ होता है: (a + b)(a² − ab + b²)। a³ − b³ का गुणनखंडन धन के साथ: (a − b)(a² + ab + b²)। चिह्न आपस में उलटे हैं, और ठीक इसी कारण समय के दबाव में अभ्यर्थी गलती करते हैं। स्मृति-सूत्र: SOAP — Same (समान चिह्न), Opposite (विपरीत चिह्न), Always Positive (सदा धनात्मक): a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)।

x + 1/x परिवार — पर्चे का प्रिय पैटर्न

परीक्षा के बीजगणित में इससे अधिक बार कोई पैटर्न नहीं आता। आपको x + 1/x = k दिया जाता है और x² + 1/x², x³ + 1/x³, x⁴ + 1/x⁴ या x − 1/x पूछा जाता है। ये सब वर्ग या घन करने से निकलते हैं, और सुंदरता यह है कि मध्य पद सदा कट जाते हैं: x + 1/x का वर्ग करने पर x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 1/x² + 2 मिलता है, क्योंकि x × 1/x = 1। यही एक तथ्य पूरी श्रृंखला जन्म देता है।

जब x + 1/x = k हो तो सम्पूर्ण परिणाम श्रृंखला (k = 3, 4, 5, 6 पर जाँची गई)
पूछा गयाk में सूत्रk = 3k = 4k = 5
x² + 1/x²k² − 271423
x³ + 1/x³k³ − 3k1852110
x⁴ + 1/x⁴(k² − 2)² − 247194527
x − 1/x±√(k² − 4)±√5±√12 = ±2√3±√21
x² − 1/x²±k√(k² − 4)±3√5±8√3±5√21
x⁵ + 1/x⁵(k² − 2)(k³ − 3k) − k1237242525

प्रत्येक पंक्ति कहाँ से आई? दिए हुए का वर्ग करें: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 = k², अतः x² + 1/x² = k² − 2। घन करें: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x), अतः x³ + 1/x³ = k³ − 3k। दूसरे परिणाम का वर्ग करें: (x² + 1/x²)² = x⁴ + 1/x⁴ + 2, अतः x⁴ + 1/x⁴ = (k² − 2)² − 2। और चूँकि (x − 1/x)² = x² + 1/x² − 2 = (k² − 2) − 2 = k² − 4, अतः x − 1/x = ±√(k² − 4)। यहाँ कुछ भी अंधाधुंध रटा नहीं गया — हर पंक्ति ऊपर वाली पंक्ति से केवल एक वर्ग की दूरी पर है।

  • हल उदाहरण 1. x + 1/x = 3। तब x² + 1/x² = 9 − 2 = 7; x³ + 1/x³ = 27 − 9 = 18; x⁴ + 1/x⁴ = 7² − 2 = 47; x − 1/x = ±√(9 − 4) = ±√5। संख्यात्मक जाँच: x + 1/x = 3 से x = (3 + √5)/2 ≈ 2.618034, अतः 1/x ≈ 0.381966। तब x² + 1/x² ≈ 6.854 + 0.146 = 7.000 ✓ तथा x − 1/x ≈ 2.618 − 0.382 = 2.236 = √5 ✓
  • हल उदाहरण 2 (करणी का भेस)। यदि x = 2 + √3, तो x³ + 1/x³ ज्ञात करें। पहले देखें 1/x = 1/(2 + √3) = (2 − √3)/[(2 + √3)(2 − √3)] = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3। अतः x + 1/x = (2 + √3) + (2 − √3) = 4 — करणी गायब हो गई। अब k = 4 से x³ + 1/x³ = 4³ − 3(4) = 64 − 12 = 52। संख्यात्मक जाँच: x ≈ 3.732051, x³ ≈ 51.9808, 1/x³ ≈ 0.019238, योग ≈ 52.000 ✓
  • हल उदाहरण 3. यदि x = 3 + 2√2 तो 1/x = 3 − 2√2 (क्योंकि (3 + 2√2)(3 − 2√2) = 9 − 8 = 1), अतः x + 1/x = 6। इसलिए x² + 1/x² = 36 − 2 = 34 तथा x³ + 1/x³ = 216 − 18 = 198।
  • हल उदाहरण 4 (वर्ग दिया है, उल्टा चलें)। यदि x² + 1/x² = 7, तो x³ + 1/x³ ज्ञात करें। k² − 2 = 7 से k² = 9, अतः x + 1/x = 3 (धनात्मक मान लें), और तब x³ + 1/x³ = 27 − 9 = 18।
  • हल उदाहरण 5 (ऋण वाला रूप)। यदि x − 1/x = 3, तो वर्ग करने पर x² + 1/x² = 3² + 2 = 11 (धन चिह्न देखें), और घन करने पर x³ − 1/x³ = 3³ + 3(3) = 36। साथ ही x + 1/x = ±√(9 + 4) = ±√13। नियम सरल है: ऋण चिह्न के साथ, जो 2 और 3 घटाए जाते थे वे अब जोड़े जाते हैं।
🧠 दो विशेष मान जो याद रखने योग्य हैं
यदि x + 1/x = 2 तो x = 1, अतः प्रत्येक व्यंजक x^n + 1/x^n का मान 2 होगा। यदि x + 1/x = −2 तो x = −1, और x^n + 1/x^n सम n के लिए 2 तथा विषम n के लिए −2 होगा। और यदि x² − x + 1 = 0, तो पूरे समीकरण को x से भाग देकर x + 1/x = 1 मिलता है; तब x³ + 1/x³ = 1 − 3 = −2 और वस्तुतः x³ = −1। पर्चा इसी अंतिम तथ्य से डरावने दिखने वाले घात-प्रश्न को एक पंक्ति में ढहा देता है।
🎯 वास्तविक x के लिए |k| कभी 2 से कम क्यों नहीं होता
चूँकि वास्तविक x के लिए (x − 1/x)² = k² − 4 ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः k² ≥ 4 आवश्यक है, अर्थात् k ≥ 2 या k ≤ −2। इसलिए "x वास्तविक है और x + 1/x = 1" कहने वाला प्रश्न चुपचाप असंभव है — फिर भी बीजगणित x³ + 1/x³ का प्रयोग-योग्य मान दे देता है, क्योंकि वह व्यंजक x के अवास्तविक होने पर भी वास्तविक निकलता है। वास्तविक x खोजने में समय न गँवाएँ; सूत्र सीधे लगा दें।

एक व दो चरों वाले रैखिक समीकरण

रैखिक समीकरण में प्रत्येक चर की घात केवल एक होती है। एक चर में ax + b = 0 का सदा ठीक एक मूल होता है, x = −b/a (जब a ≠ 0)। दो चरों में दो मानक विधियाँ हैं — प्रतिस्थापन (एक चर को अलग करके दूसरे समीकरण में रखना) और विलोपन (गुणा करके एक गुणांक समान बनाना, फिर जोड़ना या घटाना)। परीक्षा में विलोपन तेज़ है क्योंकि भिन्न से बचाव होता है।

  1. हल उदाहरण (प्रतिस्थापन)। 2x + 3y = 13 तथा 3x − y = 3 हल करें। दूसरे से y = 3x − 3। रखें: 2x + 3(3x − 3) = 13 → 2x + 9x − 9 = 13 → 11x = 22 → x = 2, अतः y = 3(2) − 3 = 3। दोनों जाँचें: 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 ✓ तथा 3(2) − 3 = 3 ✓
  2. हल उदाहरण (विलोपन)। वही युग्म। दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें: 9x − 3y = 9। पहले में जोड़ें: (2x + 3y) + (9x − 3y) = 13 + 9 → 11x = 22 → x = 2, तब y = 3। वही उत्तर, बीच में कोई भिन्न नहीं।
  3. हल उदाहरण (शब्द प्रश्न)। दो संख्याओं का योग 45 और अंतर 11 है। दोनों कथन जोड़ें: 2 × (बड़ी) = 56, अतः बड़ी 28 और छोटी 45 − 28 = 17। जाँच: 28 + 17 = 45 ✓ तथा 28 − 17 = 11 ✓ याद रखने योग्य शॉर्टकट: बड़ी = (योग + अंतर)/2, छोटी = (योग − अंतर)/2।
  4. हल उदाहरण (आयु)। पिता अपने पुत्र से 3 गुना आयु का है। 12 वर्ष बाद वह दुगनी आयु का होगा। पुत्र की आयु s मानें, तो पिता की 3s। तब 3s + 12 = 2(s + 12) → 3s + 12 = 2s + 24 → s = 12 और पिता 36 वर्ष। जाँच: 12 वर्ष बाद वे 24 व 48 होंगे, और 48 = 2 × 24 ✓
कितने हल? a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 के गुणांकों की तुलना
शर्तहलों की संख्यादोनों रेखाएँ…उदाहरण
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ठीक एक (संगत, स्वतंत्र)एक बिंदु पर प्रतिच्छेदी2x + 3y = 13, 3x − y = 3 → (2, 3)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂अनंत (आश्रित)संपाती — एक ही रेखा दो बार2x + 3y = 7 तथा 4x + 6y = 14
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂कोई हल नहीं (असंगत)समांतर व भिन्न2x + 3y = 7 तथा 4x + 6y = 15

हल उदाहरण (k ज्ञात करें)। किस k के लिए युग्म kx + 3y = k − 3 तथा 12x + ky = k का कोई हल नहीं होगा? समांतर रेखाओं के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ चाहिए, अतः k/12 = 3/k → k² = 36 → k = 6 या −6। अब दोनों जाँचें। k = 6 पर समीकरण 6x + 3y = 3 तथा 12x + 6y = 6 हैं — दूसरा ठीक पहले का दुगना है, अतः अनंत हल होंगे, शून्य नहीं। k = −6 पर वे −6x + 3y = −9 तथा 12x − 6y = −6 हैं; पहले को −3 से भाग देने पर 2x − y = 3 और दूसरे को 6 से भाग देने पर 2x − y = −1 — सीधा विरोधाभास। अतः k = −6। सीख: अनुपात-शर्त लगाने के बाद भी उस मान को हटाना पड़ता है जिसमें अचर पद भी समानुपाती हो जाते हैं।

⚠️ "कोई हल नहीं" और "अनंत हल" एक बात नहीं
दोनों स्थितियों में a₁/a₂ = b₁/b₂ होता है। उन्हें अलग करने वाली एकमात्र बात यह है कि c₁/c₂ भी मेल खाता है या नहीं। यदि मेल खाता है तो दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं और अनंत हल होंगे; न खाए तो रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं। जो अभ्यर्थी k² = 36 पर रुककर 6 चुन लेते हैं वे अंक खोते हैं और साथ में 0.50 और।

द्विघात समीकरण — मूल, विविक्तकर, योग व गुणनफल

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 होता है जहाँ a ≠ 0। पर्चे के हर प्रश्न को तीन औज़ार हल कर देते हैं: मध्य पद विभाजन द्वारा गुणनखंडन, द्विघात सूत्र x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a, और योग-गुणनफल संबंध। पहचानना सीखें कि प्रश्न किसे चाहता है। यदि मूल पूछे हैं तो गुणनखंडन करें; यदि मूलों की प्रकृति पूछी है तो केवल विविक्तकर निकालें; यदि मूलों का सममित व्यंजक जैसे α² + β² पूछा है तो मूल ज्ञात ही न करें — योग व गुणनफल प्रयोग करें।

  • मूलों का योग α + β = −b/a। मूलों का गुणनफल αβ = c/a। पूरे विषय में ये दो तथ्य सर्वाधिक फलदायी हैं।
  • मूलों से समीकरण बनाना: x² − (योग)x + (गुणनफल) = 0। अतः 3 व −5 मूल वाला समीकरण x² − (−2)x + (−15) = x² + 2x − 15 = 0 है। सूत्र से जाँच: x = [−2 ± √(4 + 60)]/2 = (−2 ± 8)/2 = 3 व −5 ✓
  • व्युत्क्रम मूल: यदि ax² + bx + c = 0 के मूल α व β हैं, तो 1/α व 1/β मूल वाला समीकरण cx² + bx + a = 0 है — केवल a और c बदल दें। चिह्न उलटे मूल (−α, −β): ax² − bx + c = 0।
  • हल उदाहरण (गुणनखंडन)। x² − 7x + 12 = 0। ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल 12 व योग 7 हो: वे 3 और 4 हैं। अतः (x − 3)(x − 4) = 0 और मूल 3 व 4 हैं। जाँच: योग = 7 = −(−7)/1 ✓, गुणनफल = 12 = 12/1 ✓
  • हल उदाहरण (सूत्र)। 2x² − 5x − 3 = 0। यहाँ b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49, और √49 = 7। अतः x = (5 ± 7)/4, जिससे x = 3 व x = −1/2। जाँच: योग = 3 − 0.5 = 2.5 = −(−5)/2 ✓, गुणनफल = 3 × (−0.5) = −1.5 = −3/2 ✓
  • हल उदाहरण (सममित व्यंजक)। यदि α व β समीकरण x² − 5x + 6 = 0 के मूल हैं, तो α + β = 5 और αβ = 6। अतः α² + β² = 5² − 2(6) = 13; 1/α + 1/β = (α + β)/αβ = 5/6; α³ + β³ = 5³ − 3(6)(5) = 125 − 90 = 35; तथा (α − β)² = 25 − 24 = 1 अतः α − β = ±1। वास्तविक मूल 2 व 3 से जाँच: 4 + 9 = 13 ✓, 8 + 27 = 35 ✓, 3 − 2 = 1 ✓
विविक्तकर D = b² − 4ac से मूलों की प्रकृति
D का मानमूलों की प्रकृतिहल उदाहरण
D > 0 तथा पूर्ण वर्ग (a, b, c परिमेय)दो भिन्न परिमेय मूल6x² − 5x + 1 = 0: D = 25 − 24 = 1, मूल 1/2 व 1/3
D > 0 परंतु पूर्ण वर्ग नहींदो भिन्न अपरिमेय मूल, सदा संयुग्मी युग्म p ± √qx² − 4x + 1 = 0: D = 16 − 4 = 12, मूल 2 ± √3
D = 0मूल वास्तविक व बराबर, दोनों = −b/2ax² − 6x + 9 = 0: D = 36 − 36 = 0, दोनों मूल 3
D < 0कोई वास्तविक मूल नहीं (सम्मिश्र संयुग्मी युग्म)x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3

मूलों की प्रकृति का प्रश्न। किस धनात्मक k के लिए x² − kx + 9 = 0 के मूल बराबर होंगे? बराबर मूलों के लिए D = 0 चाहिए, अतः k² − 4(1)(9) = 0 → k² = 36 → k = ±6, और धनात्मक मान 6। तब समीकरण x² − 6x + 9 = (x − 3)² है, दोनों मूल 3। सामान्य मूल का प्रश्न। k ज्ञात करें यदि x² − 5x + 6 = 0 तथा x² + kx − 6 = 0 का एक मूल समान है। पहले के मूल 2 व 3 हैं। दूसरे में x = 2 रखें: 4 + 2k − 6 = 0 → k = 1; x = 3 रखें: 9 + 3k − 6 = 0 → k = −1। k = 1 की जाँच: x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2), मूल −3 व 2, और 2 समान है ✓ k = −1 की जाँच: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), मूल 3 व −2, और 3 समान है ✓

🧠 सममित व्यंजक के लिए मूल कभी न निकालें
यदि प्रश्न α² + β², α³ + β³, 1/α + 1/β, α/β + β/α या (α − β)² पूछे, तो मूल ज्ञात न करें। सब कुछ s = α + β = −b/a तथा p = αβ = c/a में लिखें: α² + β² = s² − 2p, α³ + β³ = s³ − 3ps, 1/α + 1/β = s/p, α/β + β/α = (s² − 2p)/p, (α − β)² = s² − 4p। यह तब भी काम करता है जब मूल भद्दी करणी हों, और पर्चा ठीक तभी यह पूछता है।
ℹ️ द्विघात का उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ
व्यंजक ax² + bx + c x = −b/2a पर मुड़ता है, और उसका चरम मान (4ac − b²)/4a होता है। यदि a > 0 तो परवलय ऊपर खुलता है और यह निम्निष्ठ है; यदि a < 0 तो नीचे खुलता है और यह उच्चिष्ठ है। उदाहरण: x² − 6x + 11 x = 6/2 = 3 पर मुड़ता है और निम्निष्ठ 9 − 18 + 11 = 2; सूत्र से (44 − 36)/4 = 2 ✓ उदाहरण: 5 + 4x − x² x = −4/(2 × −1) = 2 पर मुड़ता है और उच्चिष्ठ 5 + 8 − 4 = 9; सूत्र से (−20 − 16)/(−4) = 9 ✓ पूर्ण वर्ग बनाने पर तुरंत दिख जाता है: x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 तथा 5 + 4x − x² = 9 − (x − 2)²।

बहुपद, करणी, घातांक व बीजीय भिन्न

शेषफल प्रमेय कहती है: बहुपद p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल केवल p(a) होता है। गुणनखंड प्रमेय इसका विशेष रूप है: (x − a), p(x) का गुणनखंड ठीक तब है जब p(a) = 0। दोनों मिलकर लंबे भाग को एक प्रतिस्थापन से बदल देती हैं — पूरे बीजगणित खंड में सबसे बड़ी समय-बचत। (bx − a) रूप के भाजक के लिए x = a/b पर मान निकालें।

  • हल उदाहरण 1. x³ + 3x² − 5x + 4 को (x − 2) से भाग देने पर शेषफल = p(2) = 8 + 12 − 10 + 4 = 14।
  • हल उदाहरण 2. क्या (x − 3), x³ − 3x² + 4x − 12 का गुणनखंड है? p(3) = 27 − 27 + 12 − 12 = 0, अतः हाँ। भाग देने पर x³ − 3x² + 4x − 12 = (x − 3)(x² + 4), और चूँकि वास्तविक x के लिए x² + 4 कभी शून्य नहीं होता, एकमात्र वास्तविक मूल x = 3 है।
  • हल उदाहरण 3 (अचर ज्ञात करें)। यदि (x − 2), x³ − kx² + 2x − 8 का गुणनखंड है, तो p(2) = 8 − 4k + 4 − 8 = 0 → 4k = 4 → k = 1। k = 1 से जाँच: 8 − 4 + 4 − 8 = 0 ✓
  • हल उदाहरण 4 (भिन्नात्मक भाजक)। x³ − 2x² + 3x − 1 को (2x − 3) से भाग देने पर शेषफल = p(3/2) = 27/8 − 2(9/4) + 9/2 − 1 = 27/8 − 36/8 + 36/8 − 8/8 = 19/8।

करणी। हर को परिमेय करने के लिए ऊपर-नीचे संयुग्मी से गुणा करें। अतः 1/(√5 − √3) = (√5 + √3)/[(√5)² − (√3)²] = (√5 + √3)/(5 − 3) = (√5 + √3)/2। तथा 1/(3 + 2√2) = (3 − 2√2)/(9 − 8) = 3 − 2√2। इस परीक्षा में एक बहुत सामान्य चरण है नेस्टेड करणी का वर्ग हटाना: √(7 + 4√3) = 2 + √3, क्योंकि (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3 ✓ इसी प्रकार √(11 − 6√2) = 3 − √2, क्योंकि (3 − √2)² = 9 − 6√2 + 2 = 11 − 6√2 ✓ तरीका: मध्य पद 4√3 को 2 × 2 × √3 लिखें, तो दो भाग 2 और √3 हैं।

घातांक। नियम हैं a^m × a^n = a^(m+n), a^m ÷ a^n = a^(m−n), (a^m)^n = a^(mn), a⁰ = 1, a^(−n) = 1/a^n तथा a^(1/n) = ⁿ√a। परीक्षा की तकनीक सदा एक ही है: आधार बराबर करें, फिर घातें बराबर करें। हल उदाहरण: 2^(2x−1) = 8^(x−3) हल करें। 8 को 2³ लिखें, तो दाहिना पक्ष 2^(3x−9) हुआ। अब 2x − 1 = 3x − 9 → x = 8। जाँच: 2^15 = 32768 तथा 8^5 = 32768 ✓ एक और: 3^(x+1) = 81 = 3⁴ → x + 1 = 4 → x = 3। एक प्रसिद्ध सर्वसमिका प्रश्न: यदि xᵃ = y, yᵇ = z और z^c = x, तो x^(abc) = x, अतः abc = 1।

बीजीय भिन्न। सदा पहले गुणनखंड, बाद में काटना। उदाहरण: (x² − 9)/(x² + x − 12) = [(x − 3)(x + 3)]/[(x + 4)(x − 3)] = (x + 3)/(x + 4), जहाँ x ≠ 3। x = 5 पर जाँच: बायाँ पक्ष = (25 − 9)/(25 + 5 − 12) = 16/18 = 8/9; दायाँ पक्ष = 8/9 ✓ एक और मानक चरण: 1/(x − 1) − 1/(x + 1) = [(x + 1) − (x − 1)]/(x² − 1) = 2/(x² − 1)। और एक चक्रीय व्यंजक जिसे पर्चा पूछना पसंद करता है: a/[(a − b)(a − c)] + b/[(b − a)(b − c)] + c/[(c − a)(c − b)] = 0, सभी भिन्न a, b, c के लिए। a = 1, b = 2, c = 3 पर जाँच: 1/[(−1)(−2)] + 2/[(1)(−1)] + 3/[(2)(1)] = 0.5 − 2 + 1.5 = 0 ✓

🧠 योगांतरानुपात (componendo–dividendo)
यदि a/b = c/d, तो (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d)। यही एक पंक्ति सबसे कठिन करणी-समीकरण मार देती है। हल उदाहरण: [√(x + 1) + √(x − 1)] / [√(x + 1) − √(x − 1)] = 3 हल करें। बाएँ पक्ष को a/b मानें जहाँ a/b = 3/1। योगांतरानुपात से (a + b)/(a − b) = (3 + 1)/(3 − 1) = 2। परंतु a + b = 2√(x + 1) तथा a − b = 2√(x − 1), अतः √(x + 1)/√(x − 1) = 2 → (x + 1)/(x − 1) = 4 → x + 1 = 4x − 4 → 3x = 5 → x = 5/3। संख्यात्मक जाँच: x + 1 = 8/3 तथा x − 1 = 2/3, अतः अनुपात (1.63299 + 0.81650)/(1.63299 − 0.81650) = 2.44949/0.81650 = 3.000 ✓
⚠️ काटने से एक मूल मिट सकता है
जब आप (x² − 9)/(x² + x − 12) से (x − 3) काटते हैं, तो सरलीकृत रूप (x + 3)/(x + 4) मूल व्यंजक के बराबर केवल x ≠ 3 के लिए है। इसी प्रकार, समीकरण को x से गुणा करने पर झूठा मूल x = 0 बन सकता है, और करणी-समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर ऐसा मूल बन सकता है जो मूल समीकरण को संतुष्ट न करे। अपना उत्तर सदा मूल समीकरण में वापस रखकर जाँचें। बहुविकल्पीय प्रश्न में इसमें पाँच सेकंड लगते हैं और 1.50 अंक बचते हैं (1 मिला और 0.50 गया नहीं)।

रैखिक समीकरणों के आलेख व निर्देशांक ज्यामिति

दो चरों वाला प्रत्येक रैखिक समीकरण एक सरल रेखा है, और प्रत्येक सरल रेखा एक रैखिक समीकरण है। सर्वाधिक उपयोगी रूप y = mx + c है, जहाँ m ढाल है (x में एक इकाई वृद्धि पर y कितना बढ़ता है) और c y-अंतःखंड। सामान्य रूप ax + by + c = 0 के लिए: ढाल = −a/b, x-अंतःखंड = −c/a (y = 0 रखें), y-अंतःखंड = −c/b (x = 0 रखें)। हल उदाहरण: 2x + 3y = 12 की ढाल −2/3 है; y = 0 रखने पर x-अंतःखंड 6, x = 0 रखने पर y-अंतःखंड 4। अतः रेखा अक्षों को (6, 0) व (0, 4) पर काटती है, और अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × 6 × 4 = 12 वर्ग इकाई है।

निर्देशांक ज्यामिति के वे सूत्र जो पर्चा वास्तव में पूछता है
राशिसूत्रहल किया मान
दो बिंदुओं से गुजरने वाली ढालm = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)(1, 2) व (4, 6): m = 4/3
दो बिंदुओं के बीच दूरी√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²](1, 2) से (4, 6): √(9 + 16) = 5
रेखाखंड का मध्यबिंदु((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)(2, 3) व (8, 11) → (5, 7)
विभाजन सूत्र (अनुपात m : n)((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))मध्यबिंदु m : n = 1 : 1 की स्थिति है
त्रिभुज का केंद्रक((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)(0,0), (6,0), (3,9) → (3, 3)
शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल½ |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|(1,2), (4,6), (7,2) → 12
समांतर रेखाएँm₁ = m₂ (ढाल बराबर)y = 2x + 1 ∥ y = 2x − 7
लंबवत रेखाएँm₁ × m₂ = −13x + 4y = 7 की m = −3/4, अतः लंब की ढाल = 4/3
दिए बिंदु से दी ढाल वाली रेखाy − y₁ = m(x − x₁)(2, 3) से m = 2 → y = 2x − 1
  • हल उदाहरण 1 (क्षेत्रफल)। शीर्ष (1, 2), (4, 6), (7, 2)। क्षेत्रफल = ½ |1(6 − 2) + 4(2 − 2) + 7(2 − 6)| = ½ |4 + 0 − 28| = ½ × 24 = 12। सूत्र के बिना जाँच: (1, 2) से (7, 2) वाली भुजा क्षैतिज है, लंबाई 6, और तीसरा शीर्ष उस रेखा से 4 इकाई ऊपर है, अतः क्षेत्रफल = ½ × 6 × 4 = 12 ✓
  • हल उदाहरण 2 (संरेखता)। क्या (1, 1), (2, 3) व (3, 5) संरेख हैं? क्षेत्रफल = ½ |1(3 − 5) + 2(5 − 1) + 3(1 − 3)| = ½ |−2 + 8 − 6| = 0, अतः हाँ — तीन बिंदु संरेख ठीक तब हैं जब उनसे बना त्रिभुज शून्य क्षेत्रफल का हो। समतुल्य रूप से, पहले से दूसरे की ढाल (3 − 1)/(2 − 1) = 2 और दूसरे से तीसरे की (5 − 3)/(3 − 2) = 2 — बराबर, अतः संरेख ✓
  • हल उदाहरण 3 (समकोण)। त्रिभुज (0, 0), (4, 0), (0, 3) की भुजाएँ अक्षों पर 4 व 3 लंबाई की हैं, अतः क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3 = 6 और कर्ण = √(16 + 9) = 5। सूत्र भी यही देता है: ½ |0(0 − 3) + 4(3 − 0) + 0(0 − 0)| = ½ × 12 = 6 ✓
⚠️ ढाल का चिह्न, और वे दो रेखाएँ जिन पर नियम नहीं लगता
दाहिनी ओर ऊपर जाने वाली रेखा की ढाल धनात्मक होती है; दाहिनी ओर नीचे जाने वाली की ऋणात्मक। क्षैतिज रेखा की ढाल 0; ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित, अतः क्षैतिज-ऊर्ध्वाधर युग्म पर m₁m₂ = −1 की जाँच नहीं लगाई जा सकती, यद्यपि वे स्पष्टतः लंबवत हैं। रूपांतरण में चिह्न पर भी ध्यान दें: 3x + 4y = 7 से y = (7 − 3x)/4, अतः m = −3/4, +3/4 नहीं।

त्रिकोणमितीय अनुपात, मानक कोण व सर्वसमिकाएँ

एक समकोण त्रिभुज लें और एक न्यून कोण θ स्थिर करें। θ के सामने वाली भुजा लंब (opposite) है, θ से लगी भुजा (कर्ण नहीं) आधार (adjacent) है, और सबसे लंबी भुजा कर्ण है। तब sin θ = लंब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण, tan θ = लंब/आधार, और शेष तीन इनके व्युत्क्रम हैं: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ। ध्यान से देखें कि sec का जोड़ा cos से और cosec का जोड़ा sin से है — नाम जानबूझकर उलटे हैं और यही सबसे आम चूक है।

🧠 दो स्मृति-सूत्र: SOH-CAH-TOA और "पंडित बदरी प्रसाद"
SOH-CAH-TOA: Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent। हिंदी माध्यम का प्रसिद्ध सूत्र लंब, आधार व कर्ण के शब्दों से वही काम करता है: "पंडित बदरी प्रसाद हर हर बोले" — पंडित बदरी प्रसाद हर हर बोले → sin = प/ह, cos = ब/ह, tan = प/ब। दोनों ठीक वही तीन भिन्न बताते हैं; जो याद रहे वही प्रयोग करें।
मानक कोण तालिका — प्रश्नपत्र की सर्वाधिक उपयोगी तालिका
अनुपात0°30°45°60°90°
sin θ01/21/√2√3/21
cos θ1√3/21/√21/20
tan θ01/√31√3अपरिभाषित
cosec θअपरिभाषित2√22/√31
sec θ12/√3√22अपरिभाषित
cot θअपरिभाषित√311/√30
🧠 एक पंक्ति से पूरी तालिका बनाएँ
संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4 लिखें, प्रत्येक को 4 से भाग दें और वर्गमूल लें: √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4) = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 — यही 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए sin की पंक्ति है। cos की पंक्ति वही सूची उल्टी पढ़ी गई है। tan की पंक्ति sin ÷ cos है, और अंतिम तीन पंक्तियाँ पहली तीन के व्युत्क्रम हैं। अतः याद रखने को वास्तव में केवल एक पंक्ति है। उपयोगी दशमलव: 1/√2 ≈ 0.707, √3/2 ≈ 0.866, 1/√3 ≈ 0.577, √3 ≈ 1.732, 2/√3 ≈ 1.155।

तीन मूल सर्वसमिकाएँ लगभग हर सरलीकरण जन्म देती हैं: sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ तथा 1 + cot²θ = cosec²θ। इनके पुनर्व्यवस्थित रूप ही वास्तव में प्रयोग होते हैं: sin²θ = 1 − cos²θ; sec²θ − tan²θ = 1, अतः (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 — दोनों एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं; और cosec²θ − cot²θ = 1, अतः (cosec θ − cot θ)(cosec θ + cot θ) = 1। हल उदाहरण: यदि sec θ + tan θ = 2, तो तुरंत sec θ − tan θ = 1/2, अतः जोड़ने पर 2 sec θ = 2.5 → sec θ = 1.25 और घटाने पर 2 tan θ = 1.5 → tan θ = 0.75। जाँच: sec²θ − tan²θ = 1.5625 − 0.5625 = 1 ✓

  • हल उदाहरण 1 (त्रिभुज बनाएँ)। यदि sin θ = 3/5, तो लंब 3 और कर्ण 5, अतः आधार = √(25 − 9) = 4। इसलिए cos θ = 4/5, tan θ = 3/4, sec θ = 5/4 तथा cosec θ = 5/3। तब sec θ + tan θ = 5/4 + 3/4 = 2, और वस्तुतः sec θ − tan θ = 5/4 − 3/4 = 1/2 ✓
  • हल उदाहरण 2. यदि tan θ = 3/4 तो sin θ = 3/5 व cos θ = 4/5, अतः (sin θ + cos θ)/(sin θ − cos θ) = (7/5)/(−1/5) = −7। चिह्न देखें — यहाँ sin θ, cos θ से छोटा है, अतः हर ऋणात्मक है।
  • हल उदाहरण 3 (योग दिया, गुणनफल पूछा)। यदि sin θ + cos θ = 7/5, दोनों पक्षों का वर्ग करें: 1 + 2 sin θ cos θ = 49/25 → 2 sin θ cos θ = 24/25 → sin θ cos θ = 12/25। तब (sin θ − cos θ)² = 1 − 24/25 = 1/25, अतः sin θ − cos θ = ±1/5। युग्म वास्तव में 4/5 व 3/5 है: योग 7/5 ✓ और गुणनफल 12/25 ✓
  • हल उदाहरण 4 (शुद्ध तालिका कार्य)। tan²60° + 4cos²45° + 3sec²30° + 5cos²90° का मान निकालें। मान रखने पर: (√3)² + 4(1/√2)² + 3(2/√3)² + 5(0)² = 3 + 4(1/2) + 3(4/3) + 0 = 3 + 2 + 4 = 9।
  • हल उदाहरण 5. sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2) = 1/4 + 3/4 = 1। (जो योग-कोण सूत्र जानते हैं वे इसे sin(30° + 60°) = sin 90° = 1 पहचानेंगे — परंतु केवल तालिका ही पर्याप्त है।)
⚠️ sin²θ का अर्थ (sin θ)² है, और "sin" कभी न काटें
sin²θ का अर्थ (sin θ) × (sin θ) है, sin(θ²) नहीं। और sin θ एक फलन है, गुणनखंड नहीं — उसे काटा नहीं जा सकता। अतः sin(A + B), sin A + sin B नहीं होता, और (sin θ)/θ सरल नहीं होता। साथ ही sin θ व cos θ का परिमाण कभी 1 से अधिक नहीं हो सकता, अतः sin θ = 3/2 देने वाला विकल्प देखते ही गलत है; परंतु sec θ व cosec θ कभी −1 और 1 के बीच नहीं हो सकते, अतः sec θ = 0.5 भी असंभव है। अनेक प्रश्नों में दो मुफ़्त विकल्प-विलोपन।

पूरक कोण, चतुर्थांश चिह्न व अधिकतम मान

दो कोण पूरक हैं जब उनका योग 90° हो। θ के स्थान पर (90° − θ) रखने से प्रत्येक अनुपात अपने सह-अनुपात से बदल जाता है: sin बन जाता है cos, tan बन जाता है cot, sec बन जाता है cosec (और उल्टा भी)। इसी कारण पूरे परिवार के नामों में "co-" उपसर्ग है। पर्चा इसका लगातार लाभ उठाता है: कोण और उसके पूरक को मिलाने वाला कोई भी व्यंजक 0, 1 या तालिका के किसी मान में ढह जाता है।

पूरक-कोण रूपांतरण और उनसे बनने वाले प्रसिद्ध सरलीकरण
रूपांतरणप्रसिद्ध पर्चा व्यंजकमान
sin(90° − θ) = cos θsin²20° + sin²70° = sin²20° + cos²20°1
cos(90° − θ) = sin θcos 1° cos 2° … cos 90° (जिसमें cos 90° है)0
tan(90° − θ) = cot θtan 10° tan 20° tan 70° tan 80°1 (प्रत्येक युग्म tan θ · cot θ = 1)
cot(90° − θ) = tan θtan 1° tan 2° … tan 89°1 (44 युग्म, बीच में tan 45° = 1 बचा)
sec(90° − θ) = cosec θsin θ · sec(90° − θ) = sin θ · cosec θ1
cosec(90° − θ) = sec θcos θ · cosec(90° − θ) = cos θ · sec θ1
मिश्रित प्रयोगsin 35° cos 55° + cos 35° sin 55°1 (cos 55° = sin 35°, sin 55° = cos 35°, अतः यह sin²35° + cos²35° है)

tan 1° tan 2° … tan 89° का मान 1 क्यों है? पहले को अंतिम के साथ जोड़ें: tan 1° × tan 89° = tan 1° × cot 1° = 1। फिर tan 2° × tan 88° = 1, और इसी प्रकार। ऐसे 44 युग्म हैं (1 के साथ 89, 2 के साथ 88, …, 44 के साथ 46), और बचा हुआ मध्य पद tan 45° = 1 है। अतः गुणनफल 1⁴⁴ × 1 = 1। यही युग्म-तर्क किसी भी "स्पर्शज्याओं का गुणनफल" प्रश्न का उत्तर पाँच सेकंड में दे देता है — केवल जाँचें कि कोण मिलकर 90° बनाते हैं या नहीं।

🧠 चतुर्थांश के अनुसार चिह्न — "All Students Take Coffee"
प्रथम चतुर्थांश से वामावर्त चलते हुए, जो अनुपात धनात्मक रहता है: All (चतुर्थांश I — प्रत्येक अनुपात धनात्मक), Students (चतुर्थांश II — केवल sin व उसका व्युत्क्रम cosec), Take (चतुर्थांश III — केवल tan व cot), Coffee (चतुर्थांश IV — केवल cos व sec)। अतः sin 150° = +1/2, cos 150° = −√3/2, tan 210° = +1/√3 तथा cos 300° = +1/2। टियर-I में कोण सामान्यतः न्यून होते हैं, परंतु टियर-II 90° से आगे जा सकता है, और यही नियम पर्याप्त है।
अधिकतम व न्यूनतम मान जो पर्चा सीधे पूछता है
व्यंजकअधिकतमन्यूनतमहल किया उदाहरण
a sin θ + b cos θ+√(a² + b²)−√(a² + b²)3 sin θ + 4 cos θ: अधिकतम 5, न्यूनतम −5; 5 sin θ + 12 cos θ: अधिकतम 13
sin θ · cos θ1/2 (θ = 45° पर)−1/2क्योंकि sin θ cos θ = ½ sin 2θ और sin 2θ का परिसर [−1, 1] है
sin⁴θ + cos⁴θ11/2 (θ = 45° पर)यह 1 − 2sin²θcos²θ = 1 − ½sin²2θ के बराबर है
sin⁶θ + cos⁶θ11/4 (θ = 45° पर)यह 1 − 3sin²θcos²θ = 1 − ¾sin²2θ के बराबर है
a²sec²θ + b²cosec²θअसीमित(a + b)²4sec²θ + 9cosec²θ: न्यूनतम = (2 + 3)² = 25
a²tan²θ + b²cot²θअसीमित2ab9tan²θ + 4cot²θ: न्यूनतम = 2 × 3 × 2 = 12
🎯 a sin θ + b cos θ की सीमा √(a² + b²) क्यों है
a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) × [ (a/√(a²+b²)) sin θ + (b/√(a²+b²)) cos θ ] लिखें। दोनों भिन्न किसी स्थिर कोण φ के cos व sin हैं, क्योंकि उनके वर्गों का योग 1 है। अतः कोष्ठक sin θ cos φ + cos θ sin φ = sin(θ + φ) है, जिसका मान अधिकतम 1 और न्यूनतम −1 हो सकता है। इसलिए पूरा व्यंजक ±√(a² + b²) के बीच रहता है। 3 sin θ + 4 cos θ के लिए यह ±√(9 + 16) = ±5 है, और θ पर सीधी संख्यात्मक जाँच पुष्टि करती है कि शिखर ठीक 5 है।

ऊँचाई एवं दूरी — मीनार के प्रश्न

त्रिकोणमिति का यही एक अनुप्रयोग है जो पर्चा लगभग प्रत्येक शिफ्ट में पूछता है। उन्नयन कोण प्रेक्षक की आँख पर क्षैतिज से ऊपर की ओर मापा जाता है; अवनमन कोण क्षैतिज से नीचे की ओर। चूँकि प्रेक्षक की क्षैतिज रेखा और भूमि समांतर हैं, मीनार की चोटी से भूमि के किसी बिंदु का अवनमन कोण उस बिंदु से मीनार की चोटी के उन्नयन कोण के बराबर होता है — एकांतर कोण। इसके बाद लगभग हर प्रश्न एक संबंध पर सिमट जाता है: tan(कोण) = ऊँचाई ÷ क्षैतिज दूरी। सर्वत्र √3 = 1.732 तथा √2 = 1.414 लें।

  1. प्रश्न 1 (एक-चरणीय स्थिति)। मीनार के पाद से 30 मीटर दूर भूमि के एक बिंदु से चोटी 60° के उन्नयन कोण पर दिखती है। ऊँचाई ज्ञात करें। विन्यास: समकोण त्रिभुज जिसमें ऊर्ध्वाधर मीनार AB (A पाद, B चोटी), क्षैतिज भूमि AP = 30 मीटर, और P पर कोण 60°। तब tan 60° = AB/AP → √3 = h/30 → h = 30√3 ≈ 51.96 मीटर। यदि कोण 45° होता तो h ठीक 30 मीटर होता; 30° होता तो h = 30/√3 = 10√3 ≈ 17.32 मीटर। अंगूठा-नियम: 45° का अर्थ ऊँचाई = दूरी; 60° का अर्थ ऊँचाई दूरी की √3 गुनी; 30° का अर्थ ऊँचाई दूरी को √3 से भाग।
  2. प्रश्न 2 (मीनार की ओर चलने की स्थिति, 30° → 45°)। बिंदु P से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ओर सीधे 40 मीटर चलकर बिंदु Q पर आने पर उन्नयन कोण 45° हो जाता है। ऊँचाई ज्ञात करें। विन्यास: पाद A, फिर Q, फिर P — तीनों एक ही क्षैतिज सरल रेखा पर, A सबसे निकट, और PQ = 40 मीटर। ऊँचाई h मानें। Q से: tan 45° = h/AQ → AQ = h। P से: tan 30° = h/AP → AP = h√3। चूँकि AP − AQ = PQ: h√3 − h = 40 → h(√3 − 1) = 40 → h = 40/(√3 − 1)। परिमेय करें: h = 40(√3 + 1)/[(√3)² − 1] = 40(√3 + 1)/2 = 20(√3 + 1) ≈ 54.64 मीटर। जाँच: AQ = 54.64 तथा AP = 54.64 × 1.732 = 94.64, और 94.64 − 54.64 = 40 ✓
  3. प्रश्न 3 (छाया की स्थिति, 30° व 60°)। समतल भूमि पर मीनार की छाया, सूर्य के उन्नतांश 30° होने पर 60° होने की तुलना में 40 मीटर लंबी होती है। ऊँचाई ज्ञात करें। सूर्य का उन्नतांश ही सूर्य का उन्नयन कोण है, अतः tan(उन्नतांश) = ऊँचाई ÷ छाया, अर्थात् छाया = h/tan(उन्नतांश)। 30° पर छाया = h√3; 60° पर छाया = h/√3। अंतर: h√3 − h/√3 = 40 → h(3 − 1)/√3 = 40 → 2h/√3 = 40 → h = 20√3 ≈ 34.64 मीटर। जाँच: 30° पर छाया = 20√3 × √3 = 60 मीटर, 60° पर छाया = 20√3/√3 = 20 मीटर, अंतर = 40 मीटर ✓ उपयोगी विशेष परिणाम: यदि छाया ऊँचाई के बराबर हो तो उन्नतांश 45°; यदि छाया ऊँचाई की √3 गुनी हो तो 30°; यदि छाया ऊँचाई की 1/√3 हो तो 60°।
  4. प्रश्न 4 (विपरीत दिशाओं में दो प्रेक्षक)। दो व्यक्ति 100 मीटर ऊँची मीनार के विपरीत ओर खड़े हैं और चोटी को 30° व 45° के उन्नयन कोण पर देखते हैं। उनके बीच दूरी कितनी है? विन्यास: मीनार का पाद A दोनों व्यक्तियों P व Q के बीच एक ही सरल रेखा पर है। 30° वाले से: AP = 100√3 ≈ 173.2 मीटर। 45° वाले से: AQ = 100 मीटर। वे विपरीत ओर हैं, अतः दूरी PQ = AP + AQ = 100√3 + 100 = 100(√3 + 1) ≈ 273.2 मीटर। प्रश्न 2 से तुलना करें, जहाँ दोनों प्रेक्षक एक ही ओर थे और दूरियाँ घटाई गई थीं। वे किस ओर खड़े हैं, यही पढ़ना पूरा प्रश्न है।
  5. प्रश्न 5 (दो मीनारें, उन्नयन व अवनमन एक साथ)। 7 मीटर ऊँचे भवन की छत से एक केबल टावर की चोटी का उन्नयन कोण 60° और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात करें। विन्यास: भवन CD ऊर्ध्वाधर खड़ा है (C भूमि पर, D छत पर, CD = 7 मीटर); टावर AB उसी समतल भूमि पर भवन से d क्षैतिज दूरी पर ऊर्ध्वाधर खड़ा है; D से क्षैतिज रेखा टावर को बिंदु E पर मिलती है, अतः DE = d तथा CE = 7 = AE। पाद A का अवनमन: tan 45° = AE/DE = 7/d → d = 7 मीटर। चोटी B का उन्नयन: tan 60° = BE/DE = BE/7 → BE = 7√3। कुल ऊँचाई AB = AE + EB = 7 + 7√3 = 7(1 + √3) ≈ 19.12 मीटर ।
  6. प्रश्न 6 (नदी के आर-पार)। एक तट पर खड़ा व्यक्ति विपरीत तट पर एक वृक्ष की चोटी को 60° उन्नयन कोण पर देखता है। तट से सीधे 40 मीटर पीछे हटने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है। वृक्ष की ऊँचाई व नदी की चौड़ाई ज्ञात करें। विन्यास प्रश्न 2 जैसा ही है, केवल कोणों का क्रम उलटा है। ऊँचाई h व चौड़ाई d (निकट तट से वृक्ष तक क्षैतिज दूरी) मानें। तब tan 60° = h/d → d = h/√3, तथा tan 30° = h/(d + 40) → d + 40 = h√3। घटाने पर: h√3 − h/√3 = 40 → 2h/√3 = 40 → h = 20√3 ≈ 34.64 मीटर, और d = 20√3/√3 = 20 मीटर। 60° → 30° युग्म तथा पीछे हटने की दूरी d के लिए सामान्य शॉर्टकट: h = d√3/2; यहाँ 40 × 1.732/2 = 34.64 ✓
🧠 चलने वाले प्रश्नों के तीन शॉर्टकट
मीनार की ओर d दूरी चलने पर: (i) 30° → 45° से h = d/(√3 − 1) = d(√3 + 1)/2; (ii) 45° → 60° से h = d/(1 − 1/√3) = d√3/(√3 − 1) = d(3 + √3)/2; (iii) 30° → 60° से h = d√3/2। प्रत्येक h·cot(छोटा कोण) − h·cot(बड़ा कोण) = d से निकलता है। केवल तीसरा याद रखने से ही बड़ा हिस्सा सध जाता है, क्योंकि 30° व 60° परीक्षक का प्रिय युग्म है।
⚠️ जोड़ना या घटाना? संख्याएँ नहीं, ज्यामिति पढ़ें
मीनार की एक ही ओर → दोनों क्षैतिज दूरियाँ घटाई जाती हैं (प्रश्न 2)। विपरीत ओर → जोड़ी जाती हैं (प्रश्न 4)। प्रेक्षक भवन पर खड़ा हो → क्षैतिज रेखा दूर की मीनार को दो भागों में बाँटती है, नीचे का भाग पाद के अवनमन से और ऊपर का भाग चोटी के उन्नयन से तय होता है, और दोनों भाग जोड़े जाते हैं (प्रश्न 5)। यह भी याद रखें: निकट जाने पर उन्नयन कोण बड़ा होता है, अतः यदि आपके उत्तर में दूर वाले बिंदु का कोण बड़ा निकले तो आपने दोनों दूरियाँ आपस में बदल दी हैं।

मुख्य बिंदु

  • a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) तथा a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) सीख लें: ये "योग व गुणनफल दिया है, घन ज्ञात करें" को एक प्रतिस्थापन बना देते हैं।
  • यदि a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc। तीन कोष्ठक वाले हर प्रश्न में कुछ भी करने से पहले छिपा शून्य-योग खोजें।
  • x + 1/x श्रृंखला: x² + 1/x² = k² − 2, x³ + 1/x³ = k³ − 3k, x⁴ + 1/x⁴ = (k² − 2)² − 2, x − 1/x = ±√(k² − 4)। यदि ऋण चिह्न के साथ दिया हो तो प्रत्येक घटाव जोड़ बन जाता है।
  • द्विघात में मूलों का योग = −b/a व गुणनफल = c/a; दिए मूलों से समीकरण x² − (योग)x + (गुणनफल) = 0। सममित व्यंजक के लिए भद्दे मूल कभी न निकालें।
  • विविक्तकर D = b² − 4ac सब तय करता है: D > 0 भिन्न वास्तविक, D = 0 बराबर, D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं; और D > 0 तथा पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय।
  • शेषफल प्रमेय: p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल p(a) है; गुणनखंड ठीक तब जब p(a) = 0। एक प्रतिस्थापन पूरे लंबे भाग की जगह ले लेता है।
  • sin के लिए मानक कोण तालिका √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4) से बनाएँ; cos के लिए उल्टा पढ़ें; tan के लिए भाग दें; शेष तीन के लिए व्युत्क्रम लें।
  • θ और 90° − θ को मिलाने वाला कोई भी व्यंजक ढह जाता है: sin θ · cosec θ = 1, sin²20° + sin²70° = 1, tan 1° tan 2° … tan 89° = 1। गणना से पहले युग्म खोजें।
  • ऊँचाई-दूरी में केवल एक संबंध महत्वपूर्ण है, tan(कोण) = ऊँचाई ÷ दूरी। मीनार की एक ही ओर हो तो दूरियाँ घटाएँ, विपरीत ओर हो तो जोड़ें; और d चलने पर 30° → 60° से h = d√3/2।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. यदि x + 1/x = 4, तो x² + 1/x² का मान है:

    1. 14
    2. 16
    3. 18
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 14

    दिए व्यंजक का वर्ग करें: (x + 1/x)² = x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = x² + 1/x² + 2, क्योंकि x × 1/x = 1। अतः x² + 1/x² = 4² − 2 = 16 − 2 = 14। सामान्य परिणाम x² + 1/x² = k² − 2 है। जाल विकल्प 16 तब मिलता है जब 2 घटाना भूल जाएँ।

  2. यदि a + b + c = 0 और abc = 5, तो a³ + b³ + c³ का मान है:

    1. 0
    2. 5
    3. 15
    4. 45
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 15

    सर्वसमिका a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) के दाहिने पक्ष में (a + b + c) एक गुणनखंड है। जब a + b + c = 0 हो तो पूरा दाहिना पक्ष शून्य हो जाता है, और a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 = 15 बचता है। वास्तविक संख्याओं पर नियम जाँचें: 2 + (−5) + 3 = 0, और 8 − 125 + 27 = −90, जबकि 3 × 2 × (−5) × 3 = −90 भी।

  3. यदि α व β समीकरण x² − 5x + 6 = 0 के मूल हैं, तो α³ + β³ है:

    1. 27
    2. 35
    3. 45
    4. 19
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 35

    मूल हल न करें। योग α + β = −(−5)/1 = 5 तथा गुणनफल αβ = 6/1 = 6। अब α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = 125 − 3(6)(5) = 125 − 90 = 35। पुष्टि: मूल वास्तव में 2 व 3 हैं, और 8 + 27 = 35। योग-गुणनफल का रास्ता तब भी काम करता है जब मूल अपरिमेय हों, इसीलिए यही विधि अभ्यास योग्य है।

  4. k के किस धनात्मक मान के लिए समीकरण x² − kx + 9 = 0 के दो बराबर मूल होंगे?

    1. 3
    2. 4.5
    3. 9
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 6

    बराबर मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए: b² − 4ac = 0। यहाँ a = 1, b = −k, c = 9, अतः k² − 36 = 0 → k² = 36 → k = ±6, और धनात्मक मान 6। जाँच: x² − 6x + 9 = (x − 3)², अतः दोनों मूल 3। विकल्प 3 उन अभ्यर्थियों के लिए जाल है जो विविक्तकर शून्य करने के बदले 9 का वर्गमूल ले लेते हैं।

  5. sin²20° + sin²70° का मान है:

    1. 0
    2. 1/2
    3. 1
    4. 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1

    दोनों कोण पूरक हैं, क्योंकि 20° + 70° = 90°। अतः sin 70° = sin(90° − 20°) = cos 20°, और व्यंजक sin²20° + cos²20° बन जाता है, जो मूल सर्वसमिका से 1 है। कोणों का युग्म 90° बनाता है — यह पहचानना पर्चे के लगभग हर त्रिकोणमिति-मान प्रश्न का सबसे तेज़ रास्ता है।

  6. अधिकतम मानों के विषय में निम्न दो कथनों पर विचार करें:
    1. 5 sin θ + 12 cos θ का अधिकतम मान 13 है।
    2. sin θ · cos θ का अधिकतम मान 1 है।
    कौन-सा/से सही है/हैं?

    1. केवल 1
    2. केवल 2
    3. 1 और 2 दोनों
    4. न 1, न 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल 1

    कथन 1 सही है: a sin θ + b cos θ का परिसर ±√(a² + b²) है, और यहाँ √(25 + 144) = √169 = 13। कथन 2 गलत है: sin θ cos θ = ½ sin 2θ, और चूँकि sin 2θ अधिकतम 1 हो सकता है, sin θ cos θ का अधिकतम मान केवल 1/2 है, जो θ = 45° पर मिलता है जहाँ sin θ = cos θ = 1/√2 और गुणनफल 1/2 है। अतः केवल कथन 1 सत्य है।

  7. समतल भूमि पर किसी मीनार की छाया, सूर्य के उन्नतांश 30° होने पर 60° होने की तुलना में 20 मीटर लंबी है। मीनार की ऊँचाई है: (√3 = 1.732 लें)

    1. 20 मीटर
    2. 10 मीटर
    3. 20√3 मीटर
    4. 10√3 मीटर
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 10√3 मीटर

    छाया = ऊँचाई ÷ tan(उन्नतांश)। 30° पर छाया h/tan 30° = h√3; 60° पर h/tan 60° = h/√3। अंतर h√3 − h/√3 = h(3 − 1)/√3 = 2h/√3 = 20, अतः h = 10√3 ≈ 17.32 मीटर। जाँच: 30° पर छाया = 10√3 × √3 = 30 मीटर तथा 60° पर = 10√3/√3 = 10 मीटर, अंतर ठीक 20 मीटर। अंतर d वाले 30°/60° छाया-युग्म का सामान्य शॉर्टकट h = d√3/2 है।

  8. जिस त्रिभुज के शीर्ष (1, 2), (4, 6) व (7, 2) हैं, उसका क्षेत्रफल है:

    1. 6 वर्ग इकाई
    2. 12 वर्ग इकाई
    3. 18 वर्ग इकाई
    4. 24 वर्ग इकाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 12 वर्ग इकाई

    क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| = ½ |1(6 − 2) + 4(2 − 2) + 7(2 − 6)| = ½ |4 + 0 − 28| = ½ × 24 = 12। सूत्र के बिना जाँच: (1, 2) व (7, 2) दोनों रेखा y = 2 पर हैं, अतः वह भुजा क्षैतिज है और लंबाई 7 − 1 = 6, और तीसरा शीर्ष उससे 6 − 2 = 4 इकाई ऊपर है, अतः क्षेत्रफल = ½ × 6 × 4 = 12। विकल्प 24 तब मिलता है जब ½ भूल जाएँ।