ज्यामिति, क्षेत्रमिति एवं आँकड़ा विश्लेषण

यह SSC CGL के संख्यात्मक पत्र का सबसे बड़ा एकल भाग है। ज्यामिति व क्षेत्रमिति मिलकर टियर-I के 25 प्रश्नों में लगभग 5–7 देते हैं, और आँकड़ा निर्वचन एक ही आँकड़ा-समूह पर 3–5 प्रश्नों का सेट देता है — यानी एक बार का ध्यानपूर्वक पठन कई अंक दिलाता है। तीनों विषय बहुत भिन्न व्यवहार करते हैं: ज्यामिति याद किए प्रमेय पर फल देती है, क्षेत्रमिति याद किए सूत्र व स्वच्छ अंकगणित पर, तथा DI केवल ध्यानपूर्वक पठन पर। तीनों अत्यधिक पूर्वानुमेय हैं, अतः यह अध्याय एक सूत्र-कोष है जिसे आपको दोहरा सकना चाहिए। टियर-I का −0.50 ऋणात्मक अंकन ध्यान में रखें: आधा-याद क्षेत्रमिति सूत्र निश्चित हानि है, जबकि DI प्रश्न छोड़ना प्रायः उचित नहीं।

रेखाएँ, कोण एवं त्रिभुज का औज़ार-बक्सा

समतल ज्यामिति की प्रत्येक बात चार वाक्यों पर टिकी है। सरल रेखा के एक ओर के कोणों का योग 180° होता है। एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है। दो रेखाएँ काटें तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। और त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है। यदि आप केवल इन चार को लगा सकें, तो पर्चे के आधे कोण-खोज प्रश्न आप अभी हल कर सकते हैं।

अब दो समांतर रेखाओं को काटने वाली एक तिर्यक रेखा जोड़ें। वह आठ कोण बनाती है, परंतु उनमें केवल दो भिन्न मान होते हैं — एक न्यूनकोण और एक अधिककोण — और वे संपूरक होते हैं। संगत कोण बराबर होते हैं ("F" आकृति), एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं ("Z" आकृति), तथा अंतःसंयुक्त (सहवर्ती) कोण संपूरक होते हैं ("C" या "U" आकृति)। अतः जैसे ही एक कोण दिया जाए, आठों ज्ञात हो जाते हैं।

  • हल उदाहरण 1 (अनुपात से कोण-योग)। त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। भागों का योग 2 + 3 + 4 = 9, अतः एक भाग = 180° ÷ 9 = 20°। कोण हैं 40°, 60° तथा 80°। जाँच: 40 + 60 + 80 = 180 ✓। त्रिभुज न्यूनकोण है, क्योंकि सबसे बड़ा कोण 90° से कम है।
  • हल उदाहरण 2 (बाह्य कोण प्रमेय)। त्रिभुज का एक बाह्य कोण 110° है और दो सम्मुख अंतःकोणों में से एक 45° है। बाह्य कोण दोनों सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है, अतः दूसरा = 110° − 45° = 65°। संलग्न अंतःकोण = 180° − 110° = 70°, और वास्तव में 45 + 65 + 70 = 180 ✓
  • हल उदाहरण 3 (त्रिभुज असमिका)। त्रिभुज की दो भुजाएँ 5 सेमी व 9 सेमी हैं। तीसरी भुजा 9 − 5 = 4 से अधिक तथा 9 + 5 = 14 से कम होनी चाहिए। अतः तीसरी भुजा 4 और 14 के ठीक बीच में है, और यदि वह पूर्ण संख्या हो तो 9 संभावनाएँ हैं (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13)। यही नियम पर्चे के प्रसिद्ध प्रश्न "क्या 4, 6, 11 त्रिभुज की भुजाएँ हो सकती हैं?" को समाप्त कर देता है — नहीं, क्योंकि 4 + 6 = 10, 11 से बड़ा नहीं है। दो सबसे छोटी भुजाओं को सबसे बड़ी के विरुद्ध जाँच लेना पर्याप्त है।

त्रिभुजों का वर्गीकरण दो प्रकार से होता है। भुजाओं से: विषमबाहु (तीनों भिन्न), समद्विबाहु (दो बराबर — और बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर), समबाहु (तीनों बराबर, अतः सभी कोण 60°)। कोणों से: न्यूनकोण (सभी 90° से कम), समकोण (ठीक एक 90°), अधिककोण (एक 90° से अधिक)। किसी त्रिभुज में अधिकतम एक समकोण तथा अधिकतम एक अधिककोण हो सकता है, क्योंकि दो मिलकर ही 180° खा जाएँगे। सबसे बड़ी भुजा सदा सबसे बड़े कोण के सम्मुख होती है — यह एक वाक्य आश्चर्यजनक रूप से बहुत प्रश्नों का उत्तर दे देता है।

समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस देता है (कर्ण)² = (भुजा)² + (भुजा)²। ये छह त्रिक याद कर लें, प्रत्येक यहीं जाँचा गया: 3-4-5 (9 + 16 = 25), 5-12-13 (25 + 144 = 169), 8-15-17 (64 + 225 = 289), 7-24-25 (49 + 576 = 625 — मानक शंकु, r = 7, h = 24, तिर्यक 25), 9-40-41 (81 + 1600 = 1681) तथा 20-21-29 (400 + 441 = 841, जिसे कोई नहीं पहचानता)। प्रत्येक गुणज भी त्रिक है, अतः 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50, 10-24-26 व 16-30-34 निःशुल्क मिल जाते हैं। वर्ग करने के बदले इसी का प्रयोग करें: भुजाएँ 36 व 48 को 12 से भाग देने पर 3 और 4 मिलते हैं, अतः कर्ण = 5 × 12 = 60; भुजाएँ 30 व 72 को 6 से भाग देने पर 5 और 12, अतः 13 × 6 = 78।

चार केंद्र, माध्यिकाएँ एवं समद्विभाजक

त्रिभुज के चार प्रसिद्ध केंद्र हैं, और पर्चा उन्हें नाम लेकर पूछता है। प्रत्येक तीन विशेष रेखाओं का मिलन बिंदु है: माध्यिकाएँ केंद्रक पर मिलती हैं, कोण समद्विभाजक अंतःकेंद्र पर, भुजाओं के लंब समद्विभाजक परिकेंद्र पर, और शीर्षलंब लंबकेंद्र पर। कौन-सी रेखा कौन-सा केंद्र बनाती है, यह सीख लें और आप कभी नहीं उलझेंगे। समबाहु त्रिभुज में चारों एक ही बिंदु पर मिल जाते हैं, ऊँचाई (√3/2)a, परित्रिज्या R = a/√3, अंतःत्रिज्या r = a/(2√3) तथा इसलिए R = 2r — भुजा 12 के लिए ऊँचाई ≈ 10.39, R = 4√3 ≈ 6.93 और r = 2√3 ≈ 3.46।

त्रिभुज के चार केंद्र — वे गुण जो पर्चा वास्तव में पूछता है
केंद्रकिससे बनता हैमुख्य गुणकोण सूत्र (शीर्ष A पर कोण A)
केंद्रक (G)तीनों माध्यिकाएँ (शीर्ष से सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु तक)प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2 : 1 के अनुपात में बाँटता है; सदा भीतर; प्रत्येक माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों में बाँटती है, अतः तीन माध्यिकाएँ छह बराबर क्षेत्रफल देती हैं—
अंतःकेंद्र (I)तीनों अंतःकोण समद्विभाजकअंतःवृत्त का केंद्र; तीनों भुजाओं से समान दूरी पर; अंतःत्रिज्या r = क्षेत्रफल ÷ s, जहाँ s अर्धपरिमाप है; सदा भीतर∠BIC = 90° + A/2
परिकेंद्र (O)भुजाओं के तीनों लंब समद्विभाजकपरिवृत्त का केंद्र; तीनों शीर्षों से समान दूरी पर; समकोण त्रिभुज में यह ठीक कर्ण के मध्यबिंदु पर होता है, अतः R = कर्ण ÷ 2∠BOC = 2A
लंबकेंद्र (H)तीनों शीर्षलंबसमकोण त्रिभुज में यह स्वयं समकोण वाला शीर्ष होता है; अधिककोण त्रिभुज में यह बाहर होता है; न्यूनकोण त्रिभुज में भीतर∠BHC = 180° − A
  • हल उदाहरण 1 (2 : 1 अनुपात)। किसी त्रिभुज की माध्यिका 21 सेमी लंबी है और G केंद्रक है। तब शीर्ष से G की दूरी = (2/3) × 21 = 14 सेमी तथा G से सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु की दूरी = (1/3) × 21 = 7 सेमी। जाँच: 14 : 7 = 2 : 1 ✓ तथा 14 + 7 = 21 ✓
  • हल उदाहरण 2 (तीनों कोण-सूत्र एक साथ)। त्रिभुज ABC में कोण A = 70°। तब अंतःकेंद्र से ∠BIC = 90° + 70/2 = 90 + 35 = 125°; परिकेंद्र से ∠BOC = 2 × 70 = 140°; और लंबकेंद्र से ∠BHC = 180 − 70 = 110°। एक ही 70° से तीन भिन्न उत्तर — और ठीक इसीलिए पर्चा यह पूछता है।
  • हल उदाहरण 3 (कोण समद्विभाजक प्रमेय)। त्रिभुज ABC में AB = 6, AC = 8, BC = 7, और AD कोण A को समद्विभाजित करते हुए BC को D पर मिलता है। प्रमेय कहती है BD : DC = AB : AC = 6 : 8 = 3 : 4। चूँकि BD + DC = 7, अतः BD = (3/7) × 7 = 3 तथा DC = (4/7) × 7 = 4। जाँच: 3 : 4 = 6 : 8 ✓
  • हल उदाहरण 4 (मध्यबिंदु प्रमेय)। त्रिभुज ABC में D व E क्रमशः AB व AC के मध्यबिंदु हैं, और BC = 17 सेमी। तब DE, BC के समांतर है तथा DE = ½ × BC = 8.5 सेमी। छोटा त्रिभुज ADE, ABC के समरूप है 1 : 2 के अनुपात में, अतः उसका क्षेत्रफल पूरे का एक चौथाई है — और समलंब DECB में शेष तीन चौथाई हैं।
🧠 कौन-सा केंद्र? रेखा को नाम से मिलाएँ
शब्दों के अर्थ का प्रयोग करें। अंतःकेंद्र → अंतःवृत्त → भुजाओं को स्पर्श करता है, अतः वह कोण समद्विभाजकों से ही आएगा (समद्विभाजक दो भुजाओं से समान दूरी वाले बिंदुओं का समुच्चय है)। परिकेंद्र → परिवृत्त → शीर्षों से गुज़रता है, अतः वह लंब समद्विभाजकों से आएगा (दो बिंदुओं से समान दूरी)। ऑर्थो का अर्थ समकोण → शीर्षलंब। केंद्रक गुरुत्व केंद्र है → माध्यिकाएँ। तर्क बैठ जाने पर रटने को कुछ नहीं बचता।

सर्वांगसमता, समरूपता एवं थेल्स प्रमेय

सर्वांगसम का अर्थ है समरूप और समान आकार वाला। समरूप का अर्थ है समान आकृति, आकार भिन्न हो सकता है। सर्वांगसमता SSS, SAS, ASA, AAS तथा (केवल समकोण त्रिभुजों के लिए) RHS से सिद्ध होती है। समरूपता को कम की आवश्यकता है: AA (दो कोण बराबर होने से तीसरा भी बराबर हो जाता है), SSS (तीनों भुजाओं के अनुपात बराबर) या SAS (दो अनुपात बराबर तथा उनके बीच का कोण बराबर)।

जब दो त्रिभुज k भुजा-अनुपात में समरूप हों, तो प्रत्येक लंबाई k गुनी और प्रत्येक क्षेत्रफल k² गुना होता है। यह एक नियम एक दर्जन अलग सूत्रों की जगह ले लेता है: संगत भुजाएँ, परिमाप, माध्यिकाएँ, शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक, अंतःत्रिज्याएँ व परित्रिज्याएँ — सब k के अनुपात में, जबकि क्षेत्रफल k² के अनुपात में। त्रिआयाम में यही तर्क आयतन का अनुपात k³ देता है, और आगे इस अध्याय का पूरा मापन-अनुपात खंड यही है। समरूपता से आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT या थेल्स) भी मिलती है: त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में काटती है, AD/DB = AE/EC, और विलोम भी सत्य है — पर्चा विलोम से पूछता है कि DE, BC के समांतर है या नहीं।

  • हल उदाहरण 1 (BPT)। त्रिभुज ABC में DE ∥ BC, D भुजा AB पर तथा E भुजा AC पर। दिया है AD = 4, DB = 6 और AE = 6, EC ज्ञात करें। AD/DB = AE/EC से 4/6 = 6/EC, अतः EC = 6 × 6 ÷ 4 = 9। पूर्ण-भुजा रूप AD/AB = AE/AC से पुनः जाँच: 4/10 = 0.4 तथा 6/15 = 0.4 ✓
  • हल उदाहरण 2 (क्षेत्रफल से भुजाएँ)। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 81 सेमी² व 121 सेमी² हैं। तब भुजाओं का अनुपात = √(81/121) = 9/11। यदि छोटे की एक माध्यिका 12.6 सेमी है, तो बड़े की संगत माध्यिका = 12.6 × 11 ÷ 9 = 15.4 सेमी। ध्यान दें: क्षेत्रफल से लंबाई की ओर जाते समय वर्गमूल लेते हैं, और उलटी दिशा में वर्ग।
⚠️ AAA समरूपता देता है, सर्वांगसमता कभी नहीं
जिन दो त्रिभुजों के तीनों कोण बराबर हों, वे समान आकार के होना आवश्यक नहीं — 3-4-5 त्रिभुज और 30-40-50 त्रिभुज के कोण एक-से हैं। अतः AAA सर्वांगसमता की कसौटी नहीं है। इसी प्रकार SSA (दो भुजाएँ तथा उनके बीच का न होकर कोई अन्य कोण) भी सर्वांगसमता की कसौटी नहीं है, सिवाय समकोण की स्थिति में जहाँ वह RHS बन जाता है। टियर-I के कथन-प्रश्न ठीक इन दो झूठी कसौटियों को परखते हैं, अतः चिह्न लगाने से पहले अक्षर ध्यान से पढ़ें।

चतुर्भुज एवं बहुभुज

चतुर्भुज कुल एक सीढ़ी है। समलंब में समांतर भुजाओं का एक युग्म होता है। समांतर चतुर्भुज में दोनों युग्म समांतर होते हैं। समचतुर्भुज वह समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं। आयत वह समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं। वर्ग समचतुर्भुज और आयत दोनों है। पतंग अलग है — इसमें संलग्न बराबर भुजाओं के दो युग्म होते हैं। सीढ़ी पर ऊपर का प्रत्येक गुण नीचे को विरासत में मिलता है, अतः वर्ग के पास नीचे गिनाया प्रत्येक गुण है।

  • समांतर चतुर्भुज। सम्मुख भुजाएँ बराबर व समांतर, सम्मुख कोण बराबर, संलग्न कोण संपूरक। विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं परंतु न बराबर हैं न लंबवत। क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।
  • समचतुर्भुज। चारों भुजाएँ बराबर। विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और प्रत्येक अपने कोणों को समद्विभाजित करता है, तथा d₁² + d₂² = 4a²। क्षेत्रफल = ½ d₁ d₂।
  • आयत। सम्मुख भुजाएँ बराबर, चारों कोण 90°। विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, d = √(l² + b²)। क्षेत्रफल = l × b।
  • वर्ग। सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90°। विकर्ण बराबर, एक-दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं, d = a√2, अतः क्षेत्रफल d²/2 भी लिखा जा सकता है।
  • समलंब। ठीक एक युग्म समांतर भुजाएँ; समद्विबाहु समलंब में असमांतर भुजाएँ, आधार कोण तथा विकर्ण बराबर होते हैं, और असमांतर भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड ½(a + b) है। क्षेत्रफल = ½ (a + b) h।
  • पतंग। संलग्न बराबर भुजाओं के दो युग्म तथा सम्मुख बराबर कोणों का एक युग्म। विकर्ण लंबवत होते हैं और लंबा विकर्ण छोटे को समद्विभाजित करता है। क्षेत्रफल = ½ d₁ d₂।

n भुजाओं वाले बहुभुज के लिए तीन सूत्र सब कुछ समेट लेते हैं। अंतःकोणों का योग = (n − 2) × 180°। बाह्य कोणों का योग = 360°, n चाहे कुछ भी हो। और विकर्णों की संख्या = n(n − 3)/2 — प्रत्येक शीर्ष n − 3 अन्य शीर्षों से जुड़ता है (न स्वयं से, न अपने दो पड़ोसियों से), और 2 से भाग देकर दोहरी गिनती हटा दी जाती है। सम बहुभुज के लिए योगों को n से भाग दें: प्रत्येक अंतःकोण = (n − 2)180°/n तथा प्रत्येक बाह्य कोण = 360°/n।

  • हल उदाहरण 1 (कोण से n ज्ञात करें)। किसी सम बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 144° है। तब प्रत्येक बाह्य कोण = 180 − 144 = 36°, और चूँकि बाह्य कोणों का योग 360° है, n = 360 ÷ 36 = 10। दूसरे मार्ग से जाँच: (10 − 2) × 180 = 1440, तथा 1440 ÷ 10 = 144 ✓। इसके विकर्णों की संख्या = 10 × 7 ÷ 2 = 35।
  • हल उदाहरण 2 (विकर्णों से समचतुर्भुज)। किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी व 30 सेमी हैं। क्षेत्रफल = ½ × 16 × 30 = 240 सेमी²। विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित होते हैं, अतः अर्ध-विकर्ण 8 व 15 एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं: भुजा = √(64 + 225) = √289 = 17 सेमी, और परिमाप = 4 × 17 = 68 सेमी। सर्वसमिका d₁² + d₂² = 4a² की जाँच: 256 + 900 = 1156 तथा 4 × 289 = 1156 ✓
⚠️ बाह्य कोणों का योग कभी नहीं बदलता
दबाव में अभ्यर्थी लिख देते हैं "बाह्य कोणों का योग = (n − 2) × 180°"। यह सदा 360° होता है — त्रिभुज हो, दशभुज हो या सौ भुजाओं वाला बहुभुज — परिसीमा पर एक चक्कर लगाने से आप एक पूरा घुमाव लेते हैं। केवल अंतः योग n पर निर्भर करता है। बहुभुज के जितने प्रश्न लोग गँवाते हैं, उनका बड़ा भाग इसी एक भ्रम से आता है।

वृत्त: जीवा, स्पर्शरेखा एवं कोण

वृत्त की ज्यामिति पर्चा पाठ्यक्रम का सर्वाधिक प्रमेय-प्रधान भाग है, परंतु प्रमेय थोड़े हैं और प्रत्येक एक वाक्य का है। उन्हें तीन कुलों में बाँट लें — जीवा, कोण, स्पर्शरेखा — और दो बिंदु-सामर्थ्य परिणाम जोड़ लें, तो पूरा अध्याय आपके पास है। नीचे की तालिका पूरी बात है; प्रत्येक पंक्ति स्वतः याद हो जाने तक इसे ऊँची आवाज़ में पढ़ें।

पर्चे द्वारा पूछी जाने वाली प्रत्येक वृत्त-प्रमेय, एक तालिका में
कुलप्रमेयप्रयोग रूप
जीवाकेंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (और विलोमतः, केंद्र से जीवा के मध्यबिंदु तक की रेखा लंबवत होती है)r² = d² + (जीवा/2)², जहाँ d केंद्र से दूरी है
कोणजीवा द्वारा केंद्र पर बनाया कोण मुख्य चाप के किसी भी बिंदु पर बनाए कोण का दोगुना होता हैकेंद्रीय = 2 × परिधीय
कोणएक ही खंड में बने कोण बराबर होते हैं; अर्धवृत्त में कोण 90° होता हैव्यास सदा समकोण देखता है
कोणचक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, तथा बाह्य कोण अंतःसम्मुख कोण के बराबर होता हैA + C = 180°, B + D = 180°
स्पर्शरेखास्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती हैत्रिज्या–स्पर्शरेखा–बाह्य बिंदु समकोण त्रिभुज बनाते हैं
स्पर्शरेखाबाह्य बिंदु से खींची दो स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, और केंद्र तक की रेखा उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करती हैस्पर्शरेखा लंबाई = √(d² − r²)
स्पर्शरेखाएकांतर खंड प्रमेय: स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण उस कोण के बराबर होता है जो जीवा एकांतर खंड में बनाती हैस्पर्शरेखा-कोण को परिधीय कोण में बदल देता है
बिंदु-सामर्थ्यP पर मिलने वाली दो जीवाएँ AB व CD में PA × PB = PC × PD (P भीतर हो या बाहर, सत्य)प्रतिच्छेदी जीवा नियम
बिंदु-सामर्थ्यबाह्य बिंदु से PT² = PA × PB, जहाँ PT स्पर्शरेखा और PAB छेदक रेखा हैस्पर्शरेखा–छेदक नियम
दो वृत्तबाह्य (सीधी) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई, केंद्रों के बीच दूरी d√(d² − (r₁ − r₂)²)
दो वृत्तअनुप्रस्थ (आंतरिक) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई√(d² − (r₁ + r₂)²)
  • हल उदाहरण 1 (जीवा व दूरी)। 13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 24 सेमी लंबी जीवा है। आधी जीवा 12 है, अतः केंद्र से दूरी = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 सेमी (5-12-13 त्रिक)। विलोमतः, 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है; आधी जीवा = √(100 − 36) = 8, अतः जीवा = 16 सेमी।
  • हल उदाहरण 2 (स्पर्शरेखा की लंबाई)। बिंदु P, 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 17 सेमी दूर है। P से स्पर्शरेखा की लंबाई = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 सेमी (8-15-17 त्रिक)। P से दोनों स्पर्शरेखाएँ 15 सेमी हैं, और PT बिंदु T पर त्रिज्या के लंबवत है।
  • हल उदाहरण 3 (बिंदु-सामर्थ्य)। दो जीवाएँ वृत्त के भीतर P पर कटती हैं, PA = 4 व PB = 9। यदि दूसरी जीवा P पर समद्विभाजित होती है, तो प्रत्येक भाग = √(4 × 9) = 6, क्योंकि PC × PD = 36 और PC = PD। और बाह्य बिंदु से, यदि छेदक रेखा PA = 4 तथा PB = 9 दे, तो स्पर्शरेखा PT = √36 = 6 ही होगी।
  • हल उदाहरण 4 (दो वृत्त)। 8 सेमी व 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्र 13 सेमी दूर हैं। सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = √(13² − (8 − 3)²) = √(169 − 25) = √144 = 12 सेमी। अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = √(13² − (8 + 3)²) = √(169 − 121) = √48 = 4√3 ≈ 6.93 सेमी। चूँकि d = 13, r₁ + r₂ = 11 से बड़ा है, दोनों वृत्त एक-दूसरे से बाहर हैं और कुल चार उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं।
⚠️ पढ़ें कौन-सा चाप, और कौन-सा खंड
वृत्त की सबसे आम गलती है — बिंदु लघु चाप पर होने पर भी केंद्रीय कोण को आधा कर देना। यदि केंद्रीय कोण 130° है, तो मुख्य चाप वाला कोण 65° है परंतु लघु चाप वाला 115°। इसी प्रकार एकांतर खंड प्रमेय में बराबर कोण जीवा के दूसरी ओर के खंड में होता है, स्पर्शरेखा से लगे खंड में नहीं। शब्दावली अस्पष्ट हो तो रेखाचित्र बनाएँ — पाँच सेकंड का मोटा वृत्त एक −0.50 बचा देता है।

क्षेत्रमिति I — द्विआयामी क्षेत्रफल एवं परिमाप

द्विआयामी क्षेत्रमिति शुद्ध स्मरण और सावधान गणना है। नीचे की तालिका पक्की कर लें। एक आदत बहुत समय बचाती है: जब त्रिज्या 7 का गुणज हो तब π = 22/7 लें, अन्यथा π = 3.14। परीक्षक 7, 14, 21 व 35 जैसी त्रिज्याएँ ठीक इसीलिए चुनते हैं कि 22/7 कट जाए, और यदि आपकी त्रिज्या 7 का गुणज है तथा गणना भद्दी होती जा रही है, तो कहीं चूक हुई है।

द्विआयामी सूत्र — क्षेत्रफल एवं परिमाप
आकृतिक्षेत्रफलपरिमाप / सीमा
त्रिभुज (आधार b, ऊँचाई h)½ × b × ha + b + c
तीन भुजाओं से त्रिभुज ("हीरोन")√[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/22s
समबाहु त्रिभुज (भुजा a)(√3/4) a²3a; ऊँचाई = (√3/2)a
वर्ग (भुजा a, विकर्ण d)a² = d²/24a; d = a√2
आयत (l, b)l × b2(l + b); d = √(l² + b²)
वृत्त (त्रिज्या r)π r²2π r
त्रिज्यखंड (कोण θ°)(θ/360) π r² = ½ × चाप × rचाप = (θ/360) × 2π r; सीमा = चाप + 2r
वृत्तखंड (लघु)त्रिज्यखंड क्षेत्रफल − त्रिभुज क्षेत्रफलचाप + जीवा
वलय (R बाहरी, r भीतरी)π (R² − r²) = π(R + r)(R − r)2πR + 2πr
  • हल उदाहरण 1 (हीरोन)। भुजाएँ 13, 14, 15। तब s = (13 + 14 + 15)/2 = 21, और क्षेत्रफल = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 सेमी²। क्षेत्रफल 84 वाला यह 13-14-15 त्रिभुज पर्चे का प्रिय है; इस युग्म को याद कर लें। अतिरिक्त लाभ: इसकी अंतःत्रिज्या = 84 ÷ 21 = 4 सेमी।
  • हल उदाहरण 2 (π = 22/7 के साथ वृत्त)। त्रिज्या 7 सेमी: क्षेत्रफल = (22/7) × 49 = 154 सेमी², परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी। त्रिज्या 21 सेमी: क्षेत्रफल = (22/7) × 441 = 1386 सेमी², परिधि = 2 × (22/7) × 21 = 132 सेमी। दोनों सटीक हैं — दशमलव कहीं नहीं आता।
  • हल उदाहरण 3 (त्रिज्यखंड व वृत्तखंड)। 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 60° के त्रिज्यखंड की चाप लंबाई = (60/360) × 132 = 22 सेमी और क्षेत्रफल = (60/360) × 1386 = 231 सेमी²। ½ × चाप × r = ½ × 22 × 21 = 231 से जाँच ✓। 60° त्रिज्यखंड की जीवा भुजा 21 का समबाहु त्रिभुज बनाती है, जिसका क्षेत्रफल = (√3/4) × 441 ≈ 190.96 सेमी², अतः लघु वृत्तखंड = 231 − 190.96 ≈ 40.04 सेमी²।
  • हल उदाहरण 4 (वलय)। 7 मीटर चौड़ा वृत्ताकार रास्ता 7 मीटर त्रिज्या वाले तालाब के चारों ओर है, अतः R = 14 व r = 7। रास्ते का क्षेत्रफल = (22/7)(196 − 49) = (22/7) × 147 = 462 मीटर²। गुणनखंड रूप π(R + r)(R − r) = (22/7)(21)(7) = 462 से जाँच ✓ — गुणनखंड रूप प्रायः सदा तेज़ होता है।
🧠 अर्धवृत्त का परिमाप परिधि का आधा नहीं होता
वृत्त को आधा काटने से एक नई सीधी कोर बनती है — व्यास। अतः अर्धवृत्त का परिमाप πr + 2r है, πr नहीं। यही तर्क त्रिज्यखंड पर लागू होता है: उसकी सीमा चाप तथा दोनों त्रिज्याएँ है। "तारबंदी का खर्च" वाला प्रत्येक प्रश्न इसी एक भूल पर बना होता है, और गलत विकल्प सदा ठीक केवल चाप की लंबाई होता है।

क्षेत्रमिति II — ठोस, अनुपात एवं पुनर्ढलाई

त्रिआयामी क्षेत्रमिति में प्रत्येक ठोस की तीन राशियाँ हैं: आयतन, वक्र या पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA/LSA) तथा संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)। दो संरचनात्मक तथ्य स्मरण का बड़ा भार हटा देते हैं। पहला, किसी भी प्रिज़्म-सदृश ठोस (घन, घनाभ, बेलन, प्रिज़्म) के लिए आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई, और किसी भी नुकीले ठोस (शंकु, पिरामिड) के लिए आयतन = ⅓ × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई — यह एक-तिहाई हर बार वही एक-तिहाई है। दूसरा, TSA = LSA + जो सपाट फलक वास्तव में मौजूद हैं, अतः बंद बेलन को दो वृत्त मिलते हैं, खुली नली को एक भी नहीं, और शंकु को एक।

त्रिआयामी सूत्र — आयतन एवं पृष्ठीय क्षेत्रफल
ठोसआयतनवक्र / पार्श्व क्षेत्रफलसंपूर्ण क्षेत्रफल व अन्य
घन (कोर a)a³4a²6a²; विकर्ण = a√3
घनाभ (l, b, h)l b h2h(l + b)2(lb + bh + hl); विकर्ण = √(l² + b² + h²)
बेलन (r, h)π r² h2π r h2π r h + 2π r² = 2π r(h + r)
शंकु (r, h, तिर्यक l)⅓ π r² hπ r lπ r l + π r² = π r(l + r); l = √(r² + h²)
गोला (r)(4/3) π r³4π r²CSA के समान — गोले का कोई सपाट फलक नहीं
अर्धगोला (r)(2/3) π r³2π r²3π r² (वक्र + सपाट वृत्त)
शंकु का छिन्नक (R, r, h)⅓ π h (R² + r² + R r)π l (R + r), जहाँ l = √(h² + (R − r)²)π l(R + r) + π R² + π r²
प्रिज़्म (कोई भी आधार)आधार क्षेत्रफल × ऊँचाईआधार परिमाप × ऊँचाईLSA + 2 × आधार क्षेत्रफल
पिरामिड (कोई भी आधार)⅓ × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई½ × आधार परिमाप × तिर्यक ऊँचाईLSA + आधार क्षेत्रफल
  • हल उदाहरण 1 (घन व घनाभ)। 6 सेमी कोर वाला घन: आयतन 6³ = 216 सेमी³, TSA 6 × 36 = 216 सेमी² (संख्यात्मक बराबरी केवल a = 6 पर संयोग है), LSA 4 × 36 = 144 सेमी², विकर्ण 6√3 ≈ 10.39 सेमी। घनाभ 8 × 6 × 5: आयतन = 240 सेमी³, TSA = 2(48 + 30 + 40) = 2 × 118 = 236 सेमी², LSA = 2 × 5 × 14 = 140 सेमी², विकर्ण = √(64 + 36 + 25) = √125 = 5√5 ≈ 11.18 सेमी।
  • हल उदाहरण 2 (बेलन, π = 22/7)। r = 7 सेमी, h = 10 सेमी: आयतन = (22/7) × 49 × 10 = 1540 सेमी³, CSA = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 सेमी², TSA = 440 + 2 × 154 = 748 सेमी²। R = 8, r = 6, h = 21 वाली खोखली नली में पदार्थ का आयतन = (22/7) × 21 × (64 − 36) = 66 × 28 = 1848 सेमी³।
  • हल उदाहरण 3 (शंकु — 7-24-25 वाला ठोस)। r = 7 सेमी, h = 24 सेमी, अतः तिर्यक ऊँचाई l = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी। आयतन = ⅓ × (22/7) × 49 × 24 = ⅓ × 154 × 24 = 1232 सेमी³। CSA = π r l = (22/7) × 7 × 25 = 550 सेमी²। TSA = 550 + 154 = 704 सेमी²। देखें कि पूरा प्रश्न एक ही पाइथागोरियन त्रिक पर खड़ा है।
  • हल उदाहरण 4 (गोला व अर्धगोला)। r = 21 सेमी: गोले का आयतन = (4/3) × (22/7) × 9261 = 38808 सेमी³, पृष्ठ = 4 × (22/7) × 441 = 5544 सेमी²। अर्धगोले का आयतन ठीक आधा, 19404 सेमी³, परंतु पृष्ठ आधा नहीं: उसका वक्र भाग 2πr² = 2772 सेमी² तथा संपूर्ण 3πr² = 4158 सेमी²।
  • हल उदाहरण 5 (छिन्नक, प्रिज़्म, पिरामिड)। R = 8, r = 4, h = 3 वाले छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l = √(9 + 16) = 5, आयतन = ⅓ π × 3 × (64 + 16 + 32) = 112π ≈ 352 सेमी³, CSA = π × 5 × 12 = 60π, TSA = 60π + 64π + 16π = 140π। 3-4-5 त्रिभुजाकार आधार (क्षेत्रफल 6) तथा लंबाई 10 वाले प्रिज़्म का आयतन 60 सेमी³, LSA = 12 × 10 = 120 सेमी², TSA = 132 सेमी²। आधार 6 व ऊँचाई 4 वाले वर्गाकार पिरामिड की तिर्यक ऊँचाई √(3² + 4²) = 5, आयतन ⅓ × 36 × 4 = 48 सेमी³, LSA = ½ × 24 × 5 = 60 सेमी², TSA = 96 सेमी²।

अब अनुपात नियम, जो किसी भी एक सूत्र से अधिक अंक दिलाता है। यदि किसी ठोस के प्रत्येक रैखिक माप को k से गुणा किया जाए, तो प्रत्येक लंबाई k गुनी, प्रत्येक क्षेत्रफल — सभी पृष्ठीय क्षेत्रफल सहित — k² गुना, और आयतन k³ गुना हो जाता है। प्रतिशत को गुणक के रूप में पढ़ें: 20% वृद्धि का अर्थ k = 1.2, 10% कमी का अर्थ k = 0.9। तब उत्तर केवल एक घात दूर है।

  • अनुपात उदाहरण 1. घन की प्रत्येक कोर 20% बढ़ाई जाती है, अतः k = 1.2। पृष्ठीय क्षेत्रफल 1.2² = 1.44 गुना, अर्थात 44% वृद्धि। आयतन 1.2³ = 1.728 गुना, अर्थात 72.8% वृद्धि। संख्याओं से पुष्टि: कोर 10 → 12, आयतन 1000 → 1728, और (1728 − 1000)/1000 = 72.8% ✓
  • अनुपात उदाहरण 2 (मिश्रित परिवर्तन)। किसी बेलन की त्रिज्या दोगुनी और ऊँचाई आधी कर दी जाती है। आयतन ∝ r²h, अतः गुणक = 2² × ½ = 2 — आयतन दोगुना हो जाता है, 100% वृद्धि। ध्यान दें कि ऊँचाई आधी करना त्रिज्या दोगुनी करने को रद्द नहीं करता, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग होता है और ऊँचाई का नहीं।

अंत में, पिघलाना और पुनर्ढलाई का कुल, जो 3D का सर्वाधिक अनुमानित प्रश्न-प्रकार है। सिद्धांत एक पंक्ति का है: पिघलाने से आयतन सुरक्षित रहता है, पृष्ठीय क्षेत्रफल कभी नहीं। अतः एक बड़े पिंड से बनने वाले छोटे टुकड़ों की संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन, और चूँकि दोनों पक्षों में वही π है, π सदा कट जाता है — इन प्रश्नों में 22/7 कभी न रखें।

  • पुनर्ढलाई उदाहरण 1 (गोले से शंकु)। 6 सेमी त्रिज्या का ठोस गोला पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या व 3 सेमी ऊँचाई के छोटे शंकु बनाए जाते हैं। गोले का आयतन = (4/3)π × 216 = 288π। शंकु का आयतन = (1/3)π × 4 × 3 = 4π। शंकुओं की संख्या = 288π ÷ 4π = 72।
  • पुनर्ढलाई उदाहरण 2 (बेलन से शंकु)। 6 सेमी त्रिज्या व 15 सेमी ऊँचाई का बेलन पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या व 5 सेमी ऊँचाई के शंकु बनाए जाते हैं। बेलन का आयतन = π × 36 × 15 = 540π; शंकु का आयतन = (1/3)π × 9 × 5 = 15π; संख्या = 540 ÷ 15 = 36। एक उपयोगी जाँच: बेलन के समान r और h वाले शंकु का आयतन ठीक एक-तिहाई होता है, अतः तीन ऐसे शंकु एक बेलन भर देते हैं।
💡 एक-तिहाई शंकु का है, बेलन का नहीं
समय के दबाव में अभ्यर्थी शंकु के लिए πr²h या बेलन के लिए ⅓πr²h लिख देते हैं। इसे भौतिक रूप से बाँधें: नुकीला ठोस अपने चारों ओर के डिब्बे से कम भरता है, अतः शंकु और पिरामिड में ⅓ लगता है; सपाट शीर्ष वाला ठोस डिब्बा भर देता है, अतः बेलन और प्रिज़्म में नहीं। और शंकु में सदा पूछें कि दी गई संख्या ऊँचाई है या तिर्यक ऊँचाई — CSA को l चाहिए, आयतन को h, और इन्हें मिला देना 3D की सबसे आम भूल है।

आँकड़ा विश्लेषण I — तालिका पढ़ना

एक DI सेट आपको एक आँकड़ा और उस पर तीन से पाँच प्रश्न देता है, अतः तालिका समझने में लगाए 40 सेकंड कई गुना लौटकर आते हैं। DI प्रतिशत, अनुपात और औसत से आगे कोई गणित नहीं परखता। यह परखता है कि आपने लेबल, इकाई और प्रश्न ठीक पढ़ा या नहीं। इस अध्याय का प्रत्येक आँकड़ा तालिका के रूप में दिया गया है, क्योंकि दंड आरेख, रेखा आरेख और वृत्त आरेख एक ही तालिका के तीन भिन्न चित्र हैं — तालिका पढ़ना सीख लें और आप सब पढ़ लेंगे।

नीचे का आँकड़ा अभ्यास हेतु बनाया गया है — यह कर्मचारी चयन आयोग का सरकारी आँकड़ा नहीं है और इसे वैसा उद्धृत न किया जाए। एक भी संख्या देखने से पहले शीर्षक और चारों स्तंभ-शीर्ष पढ़ें।

आँकड़ा A (उदाहरणार्थ, सरकारी नहीं): पाँच परीक्षा केंद्रों पर उपस्थित एवं उत्तीर्ण अभ्यर्थी
केंद्रउपस्थित अभ्यर्थीउत्तीर्ण दर (%)उत्तीर्ण अभ्यर्थी
दिल्ली4,000251,000
जयपुर5,00018900
पटना3,00030900
कोलकाता6,000201,200
भोपाल2,00035700
कुल20,00023.54,700

पहले तालिका को स्वयं के विरुद्ध जाँचें। प्रत्येक उत्तीर्ण संख्या = उपस्थित × दर ÷ 100: 4000 × 25/100 = 1000, 5000 × 18/100 = 900, 3000 × 30/100 = 900, 6000 × 20/100 = 1200, 2000 × 35/100 = 700। उपस्थित स्तंभ का योग = 4000 + 5000 + 3000 + 6000 + 2000 = 20,000 तथा उत्तीर्ण स्तंभ का योग = 1000 + 900 + 900 + 1200 + 700 = 4,700। अतः कुल उत्तीर्ण दर = 4700 ÷ 20000 = 0.235 = 23.5%। यह जाँच पहले कर लेने से आगे का प्रत्येक उत्तर सुरक्षित हो जाता है।

  1. प्र. किस केंद्र की उत्तीर्ण दर सर्वाधिक थी, और किसने सर्वाधिक सफल अभ्यर्थी दिए? सर्वाधिक दर भोपाल की है, 35%, परंतु भोपाल ने सबसे कम उत्तीर्ण अभ्यर्थी दिए, केवल 700। सर्वाधिक उत्तीर्ण कोलकाता से आए, 1,200, केवल 20% की साधारण दर पर। यह दर-बनाम-संख्या का जाल अपने शुद्धतम रूप में है।
  2. प्र. दिल्ली से उत्तीर्ण अभ्यर्थियों का कोलकाता से उत्तीर्ण अभ्यर्थियों से अनुपात क्या है? 1000 : 1200। दोनों को 200 से भाग देकर 5 : 6। विकल्प देखने से पहले सदा सरल कर लें — पर्चा 5 : 6, 6 : 5, 2 : 3 और 5 : 4 देता है और आशा करता है कि आप उलटा वाला उठा लें।
  3. प्र. सभी उत्तीर्ण अभ्यर्थियों में कोलकाता का हिस्सा कितने प्रतिशत रहा? 1200 ÷ 4700 × 100 = 25.53% (लगभग 25.5%)। दिल्ली का हिस्सा = 1000 ÷ 4700 × 100 = 21.28%। ध्यान दें हर उत्तीर्ण कुल 4,700 है, उपस्थित कुल 20,000 नहीं — कौन-सा कुल चाहिए यह गलत पढ़ना DI की दूसरी सबसे आम भूल है।
  4. प्र. दिल्ली और जयपुर को मिलाकर उनकी संयुक्त उत्तीर्ण दर क्या है? भागों को जोड़ें, फिर भाग दें: (1000 + 900) ÷ (4000 + 5000) = 1900 ÷ 9000 = 21.11%। लुभाने वाला गलत उत्तर (25 + 18)/2 = 21.5% है, दोनों दरों का सरल औसत — गलत क्योंकि जयपुर में अधिक अभ्यर्थी थे और वह संयुक्त आँकड़े को अपनी कम 18% की ओर खींचता है।
⚠️ दो प्रतिशतों का औसत कभी न लें — भारित करें
संयुक्त प्रतिशत = (भागों का योग) ÷ (कुलों का योग) × 100, दोनों प्रतिशतों का माध्य कभी नहीं। दोनों केवल तब बराबर होते हैं जब दोनों आधार बराबर हों। आँकड़ा A में दिल्ली + जयपुर की संयुक्त दर 21.11% है जबकि भोला औसत 21.5% — अंतर छोटा है, परंतु पर्चा दोनों को विकल्पों में ठीक इसीलिए रखता है कि यही अंतर आपका अंक तय करे। जब भी "मिलाकर" या "संयुक्त" शब्द दिखें, कच्ची गिनतियों पर लौटें।

आँकड़ा विश्लेषण II — वृत्त-हिस्से एवं दंड/रेखा श्रेणी

वृत्त आरेख एक ही कुल के प्रतिशत हिस्सों के समुच्चय के अतिरिक्त कुछ नहीं है। दो रूपांतरण प्रत्येक वृत्त-प्रश्न को यांत्रिक बना देते हैं: राशि = हिस्सा% × कुल, तथा केंद्रीय कोण = हिस्सा% × 3.6° (क्योंकि 100% को 360° भरना है, और 360 ÷ 100 = 3.6)। दो आंतरिक जाँचें निःशुल्क मिलती हैं: हिस्सों का योग 100 होना चाहिए, और कोणों का योग 360°। नीचे का आँकड़ा पुनः अभ्यास हेतु बनाया गया है, सरकारी आँकड़ा नहीं।

आँकड़ा B (उदाहरणार्थ, सरकारी नहीं): वृत्त आरेख के रूप में एक परिवार का बजट — मासिक आय ₹48,000
व्यय का शीर्षहिस्सा (%)राशि (₹)केंद्रीय कोण
भोजन3014,400108°
किराया2512,00090°
शिक्षा157,20054°
बचत125,76043.2°
परिवहन104,80036°
विविध83,84028.8°
कुल10048,000360°

प्रयोग से पहले तालिका जाँचें। हिस्से: 30 + 25 + 15 + 12 + 10 + 8 = 100 ✓। राशियाँ: 14,400 + 12,000 + 7,200 + 5,760 + 4,800 + 3,840 = 48,000 ✓। कोण: 108 + 90 + 54 + 43.2 + 36 + 28.8 = 360 ✓। तीन योग, दस सेकंड, और पूरा सेट अब विश्वसनीय है।

  1. प्र. भोजन वाले त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण क्या है? 30 × 3.6 = 108°। कोण दिया हो तो नियम उलटा लगाएँ: 54° का त्रिज्यखंड = 54 ÷ 3.6 = कुल का 15%, अर्थात ₹7,200।
  2. प्र. किराए पर व्यय शिक्षा पर व्यय से कितने प्रतिशत अधिक है? अधिकता = 12,000 − 7,200 = ₹4,800, और आधार शिक्षा है, अतः 4800 ÷ 7200 × 100 = 66.67%। उत्तर "10" न दें, वह केवल प्रतिशत-बिंदुओं का अंतर है (25 − 15)। प्रश्न कितने प्रतिशत पूछता है, अतः आधार महत्वपूर्ण है।
  3. प्र. भोजन और शिक्षा पर मिलाकर कितना व्यय होता है? पहले हिस्से जोड़ें: 30 + 15 = 45%, और 48,000 का 45% = ₹21,600। गुणा करने से पहले हिस्से जोड़ना दो गुणनफल जोड़ने से सदा तेज़ है।
  4. प्र (आधार-परिवर्तन जाल)। अगले वर्ष आय 25% बढ़ती है और भोजन का हिस्सा 30% से 28% हो जाता है। क्या परिवार भोजन पर कम खर्च करता है? नहीं। नई आय = 48,000 × 1.25 = ₹60,000, और 60,000 का 28% = ₹16,800, जो ₹14,400 से अधिक है — ₹2,400 की वृद्धि, अर्थात 2400 ÷ 14400 × 100 = 16.67%। हिस्सा 2 प्रतिशत-बिंदु घटा (सापेक्ष कमी 2 ÷ 30 = 6.67%), फिर भी रुपये बढ़े, क्योंकि आधार बढ़ गया। बड़े केक का छोटा टुकड़ा भी अधिक केक हो सकता है।
⚠️ प्रतिशत-बिंदु और प्रतिशत एक नहीं हैं
कोई हिस्सा 30% से 28% पर आए तो वह 2 प्रतिशत-बिंदु घटा है परंतु 6.67 प्रतिशत (2 ÷ 30)। इसी प्रकार 25% वाला किराया 15% वाली शिक्षा से 10 प्रतिशत-बिंदु अधिक है परंतु 66.67 प्रतिशत अधिक। पर्चा दोनों संख्याएँ विकल्पों में छापता है। नियम यांत्रिक है: प्रश्न में "प्रतिशत-बिंदु" हो तो घटाएँ; "कितने प्रतिशत" हो तो पहले आधार से भाग दें। आधार सदा वह राशि है जो "से", "का" या "की तुलना में" शब्दों के बाद आती है।

अंत में, तालिका रूप में दिया गया दंड आरेख या रेखा आरेख। यहाँ खतरा "वृद्धि" शब्द में है, क्योंकि उसका अर्थ पिछले वर्ष की तुलना में वृद्धि भी हो सकता है और आधार वर्ष की तुलना में भी, और दोनों बहुत भिन्न संख्याएँ देते हैं। यहाँ भी नीचे के आँकड़े अभ्यास हेतु बनाए गए हैं, सरकारी नहीं।

आँकड़ा C (उदाहरणार्थ, सरकारी नहीं): दो उत्पादों का उत्पादन (हज़ार इकाई में), 2020 से 2024
वर्षउत्पाद Aउत्पाद Bकुलकुल में पिछले वर्ष से वृद्धि
202012080200— (आधार वर्ष)
20211509024020%
202218012030025%
202321015036020%
202424021045025%
पाँच वर्ष का कुल9006501,550प्रति वर्ष औसत = 310

जाँचें: A का योग = 120 + 150 + 180 + 210 + 240 = 900, B का = 80 + 90 + 120 + 150 + 210 = 650, और 900 + 650 = 1,550, जो वार्षिक कुलों के योग 200 + 240 + 300 + 360 + 450 = 1,550 से मेल खाता है ✓। औसत वार्षिक कुल = 1550 ÷ 5 = 310, अतः केवल 2023 व 2024 औसत से ऊपर हैं। वृद्धि स्तंभ की गणना आप दोहरा सकते हैं: 240/200 = 1.20, 300/240 = 1.25, 360/300 = 1.20, 450/360 = 1.25।

  1. प्र. 2022 का कुल उत्पादन 2020 से कितने प्रतिशत अधिक था? आधार वर्ष की तुलना में: (300 − 200)/200 × 100 = 50%। परंतु पिछले वर्ष की तुलना में केवल (300 − 240)/240 × 100 = 25%। दोनों भिन्न प्रश्नों के सही उत्तर हैं, और पर्चा दोनों देता है। 2020 की तुलना में श्रेणी 20%, 50%, 80%, 125% चलती है; पिछले वर्ष की तुलना में 20%, 25%, 20%, 25%।
  2. प्र. उत्पाद B ने पिछले वर्ष की तुलना में सर्वाधिक प्रतिशत वृद्धि किस वर्ष दिखाई? B बढ़ता है 80 → 90 → 120 → 150 → 210, अर्थात 12.5%, 33.33%, 25% तथा 40%। सर्वाधिक 2024 में। ध्यान दें सर्वाधिक निरपेक्ष वृद्धि, 60 हज़ार इकाई, भी यहाँ 2024 में है — परंतु यह मेल संयोग है, नियम नहीं।
  3. प्र. उत्पाद A प्रत्येक वर्ष ठीक 30 हज़ार इकाई बढ़ता है। क्या उसकी वृद्धि दर स्थिर है? नहीं — और यह पूरे विषय का सबसे सूक्ष्म जाल है। वृद्धियाँ 30, 30, 30, 30 हैं, परंतु दरें 30/120 = 25%, 30/150 = 20%, 30/180 = 16.67% तथा 30/210 = 14.29% हैं। स्थिर निरपेक्ष वृद्धि घटती प्रतिशत वृद्धि देती है, क्योंकि आधार लगातार बढ़ता जाता है।
  4. प्र. 2024 में A और B का अनुपात क्या है, और कुल में B का हिस्सा कैसे बदला? 2024 में 240 : 210 = 8 : 7 (2020 में यह 120 : 80 = 3 : 2 था)। कुल में B का हिस्सा 2020 में 80/200 = 40% और 2024 में 210/450 = 46.67% था — 6.67 प्रतिशत-बिंदु की वृद्धि, जो 6.67 ÷ 40 = 16.67% की सापेक्ष वृद्धि है।

मुख्य बिंदु

  • चार वाक्य पूरे कोण-खोज को सँभालते हैं: सरल रेखा 180°, बिंदु 360°, शीर्षाभिमुख बराबर, त्रिभुज 180°। समांतर रेखाओं पर तिर्यक रेखा केवल θ तथा 180° − θ बनाती है, और बाह्य कोण दोनों सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है। त्रिक 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41 तथा 20-21-29 याद करें और वर्ग करने के बदले उन्हें गुणा करें: भुजाएँ 36 व 48 तीन सेकंड में कर्ण 60 देती हैं।
  • केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2 : 1 में बाँटता है। कोण A दिया हो तो ∠BIC = 90° + A/2 (अंतःकेंद्र), ∠BOC = 2A (परिकेंद्र), ∠BHC = 180° − A (लंबकेंद्र)। समकोण त्रिभुज में परिकेंद्र कर्ण का मध्यबिंदु और लंबकेंद्र समकोण वाला शीर्ष होता है।
  • k भुजा-अनुपात वाले समरूप त्रिभुजों में प्रत्येक लंबाई k अनुपात में और प्रत्येक क्षेत्रफल k² अनुपात में होता है। क्षेत्रफल से लंबाई की ओर वर्गमूल से जाएँ, लंबाई से क्षेत्रफल की ओर वर्ग से। AAA तथा SSA समरूपता सिद्ध करते हैं, सर्वांगसमता कभी नहीं।
  • n-भुज के लिए: अंतःयोग (n − 2)180°, बाह्य योग सदा 360° चाहे n कुछ भी हो, विकर्ण n(n − 3)/2। प्रत्येक अंतःकोण 144° का अर्थ प्रत्येक बाह्य 36°, अतः n = 10 और 35 विकर्ण।
  • वृत्त: r² = d² + (जीवा/2)², केंद्रीय कोण = मुख्य चाप के कोण का दोगुना, चक्रीय सम्मुख कोण 180°, स्पर्शरेखा ⊥ त्रिज्या, स्पर्शरेखा लंबाई √(d² − r²), PA × PB = PC × PD तथा PT² = PA × PB।
  • क्षेत्रमिति की मूल बातें: हीरोन √[s(s−a)(s−b)(s−c)], समबाहु (√3/4)a², समचतुर्भुज ½d₁d₂, समलंब ½(a + b)h, वलय π(R + r)(R − r); प्रिज़्म-सदृश आयतन = आधार × ऊँचाई, नुकीला आयतन = ⅓ आधार × ऊँचाई; शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)। त्रिज्या 7 का गुणज हो तो π = 22/7 लें।
  • अनुपात: प्रत्येक रैखिक माप को k से गुणा करें तो लंबाई × k, क्षेत्रफल × k², आयतन × k³। कोर में 20% वृद्धि पृष्ठ 44% और आयतन 72.8% बढ़ाती है। पिघलाने से आयतन सुरक्षित रहता है, पृष्ठ कभी नहीं, अतः टुकड़ों की संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन और π सदा कट जाता है।
  • DI गणित के साथ ईमानदारी है। जाँचें कि हिस्सों का योग 100 और राशियों का योग कुल है; वृत्त-हिस्से को × 3.6 से कोण में बदलें; दो प्रतिशतों को (भागों का योग) ÷ (कुलों का योग) से मिलाएँ, औसत से कभी नहीं; और हर का नाम सदा ऊँची आवाज़ में बोलें — पिछला वर्ष, आधार वर्ष, या कुल योग।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। उसके सबसे बड़े कोण का माप है:

    1. 80°
    2. 90°
    3. 100°
    4. 75°
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 80°

    तीनों भाग जुड़कर 2 + 3 + 4 = 9 होते हैं, और किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, अतः एक भाग = 180 ÷ 9 = 20°। इसलिए कोण हैं 2 × 20 = 40°, 3 × 20 = 60° तथा 4 × 20 = 80°, और 40 + 60 + 80 = 180 ✓। सबसे बड़ा 80° है। चूँकि सबसे बड़ा कोण 90° से कम है, त्रिभुज न्यूनकोण है — जाल विकल्प 90° के लिए अनुपात 2 : 3 : 5 होना चाहिए।

  2. किसी सम बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 144° का है। उसमें कितने विकर्ण हैं?

    1. 20
    2. 27
    3. 35
    4. 44
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 35

    बाह्य कोण से चलें, जो सदा आसान होता है। प्रत्येक बाह्य कोण = 180 − 144 = 36°, और किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है, अतः n = 360 ÷ 36 = 10। अंतःमार्ग से जाँच: (10 − 2) × 180 = 1440, तथा 1440 ÷ 10 = 144 ✓। विकर्ण = n(n − 3)/2 = 10 × 7 ÷ 2 = 35। जाल उत्तर 20, n = 8 लेने से आता है, और 2 से भाग देना भूलने पर दोहरी गिनती 10 × 7 = 70 मिलती है।

  3. केंद्र O वाले वृत्त की जीवा AB, O पर 130° का कोण बनाती है। यदि C मुख्य चाप पर एक बिंदु है, तो कोण ACB का मान है:

    1. 130°
    2. 65°
    3. 115°
    4. 50°
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 65°

    जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया कोण मुख्य चाप के किसी भी बिंदु पर बनाए कोण का दोगुना होता है, अतः कोण ACB = 130 ÷ 2 = 65°। जाल विकल्प 115° लघु चाप पर स्थित बिंदु का उत्तर है, क्योंकि तब ACB और मुख्य चाप वाला कोण चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण होकर 180° बनाते हैं (180 − 65 = 115)। आधा करने से पहले सदा पढ़ें कि बिंदु किस चाप पर है।

  4. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 81 सेमी² तथा 121 सेमी² हैं। छोटे त्रिभुज की एक माध्यिका 12.6 सेमी है। बड़े त्रिभुज की संगत माध्यिका है:

    1. 13.8 सेमी
    2. 16.8 सेमी
    3. 18.9 सेमी
    4. 15.4 सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 15.4 सेमी

    समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफल k² के अनुपात में होते हैं जबकि प्रत्येक लंबाई — भुजा, माध्यिका, शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक, अंतःत्रिज्या — k के अनुपात में। यहाँ k = √(81/121) = 9/11। माध्यिका एक लंबाई है, अतः वह 9/11 से बदलती है, और 12.6 × 11 ÷ 9 = 138.6 ÷ 9 = 15.4 सेमी मिलता है। प्रसिद्ध भूल है क्षेत्रफल अनुपात 121/81 से गुणा कर देना, जो 18.8 सेमी देगा; क्षेत्रफल से लंबाई की ओर जाते समय वर्गमूल लेना याद रखें।

  5. किसी त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी तथा 15 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल है:

    1. 84 सेमी²
    2. 91 सेमी²
    3. 105 सेमी²
    4. 78 सेमी²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 84 सेमी²

    ऊँचाई नहीं दी गई है, अतः हीरोन का सूत्र प्रयोग करें। अर्धपरिमाप s = (13 + 14 + 15)/2 = 21, और क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 सेमी²। एक उपयोगी जाँच: अंतःत्रिज्या = क्षेत्रफल ÷ s = 84 ÷ 21 = 4 सेमी, पूर्ण संख्या — इसीलिए परीक्षकों को यह त्रिभुज प्रिय है। विकल्प 105 है ½ × 14 × 15, जो दो भुजाओं को गलती से आधार और ऊँचाई मान लेने से मिलता है।

  6. 6 सेमी त्रिज्या का ठोस धातु का गोला पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या तथा 3 सेमी ऊँचाई वाले छोटे शंकुओं में ढाला जाता है। ऐसे कितने शंकु प्राप्त होते हैं?

    1. 24
    2. 36
    3. 72
    4. 108
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 72

    पिघलाने से आयतन सुरक्षित रहता है, अतः टुकड़ों की संख्या = बड़ा आयतन ÷ छोटा आयतन। गोला = (4/3)πr³ = (4/3)π × 216 = 288π। शंकु = (1/3)πr²h = (1/3)π × 4 × 3 = 4π। संख्या = 288π ÷ 4π = 72। ध्यान दें π कट जाता है, अतः पुनर्ढलाई के प्रश्न में 22/7 कभी न रखें — वह केवल गणना का जोखिम बढ़ाता है। जाल उत्तर 24 शंकु के आयतन में ⅓ भूलने से आता है (288 ÷ 12 = 24)।

  7. यदि किसी घन की प्रत्येक कोर 20% बढ़ा दी जाए, तो उसके आयतन में प्रतिशत वृद्धि होगी:

    1. 60%
    2. 72.8%
    3. 44%
    4. 20%
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 72.8%

    परिवर्तन को गुणक मानें: k = 1.2। आयतन रैखिक माप के घन पर निर्भर करता है, अतः वह 1.2³ = 1.728 गुना हो जाता है, अर्थात 72.8% वृद्धि। संख्याओं से जाँच: कोर 10 से आयतन 1000, कोर 12 से 1728, और (1728 − 1000)/1000 × 100 = 72.8% ✓। विकल्प 44% पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि है (1.2² = 1.44) तथा विकल्प 60% है 3 × 20, जो केवल अत्यंत छोटे परिवर्तनों के लिए मोटा अनुमान है।

  8. इस अध्याय के आँकड़ा A में दिल्ली में 4,000 अभ्यर्थी 25% उत्तीर्ण दर के साथ तथा जयपुर में 5,000 अभ्यर्थी 18% उत्तीर्ण दर के साथ उपस्थित हुए। दोनों केंद्रों को मिलाकर उनकी संयुक्त उत्तीर्ण दर लगभग है:

    1. 21.5%
    2. 23.5%
    3. 20.0%
    4. 21.1%
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 21.1%

    संयुक्त प्रतिशत = (भागों का योग) ÷ (कुलों का योग), दोनों प्रतिशतों का औसत कभी नहीं। उत्तीर्ण: दिल्ली 4,000 का 25% = 1,000 तथा जयपुर 5,000 का 18% = 900, अतः 4,000 + 5,000 = 9,000 में से 1,900, जिससे 1900 ÷ 9000 × 100 = 21.11%, लगभग 21.1%। विकल्प 21.5% भोला औसत (25 + 18)/2 है, जो गलत है क्योंकि जयपुर का समूह बड़ा है और वह संयुक्त आँकड़े को अपनी कम 18% की ओर खींचता है। विकल्प 23.5% सभी पाँच केंद्रों की कुल दर है, जो पूरी तरह भिन्न प्रश्न है।