लाभ, ब्याज, समय व कार्य, तथा गति

क्रय मूल्य (CP) वह है जो विक्रेता ने चुकाया; विक्रय मूल्य (SP) वह जो क्रेता ने चुकाया। यदि SP > CP हो तो लाभ = SP − CP; यदि SP < CP हो तो हानि = CP − SP। इस अध्याय के आधे अंक तय करने वाला नियम: लाभ% व हानि% सदैव CP पर लिए जाते हैं, SP पर कभी नहीं, जब तक प्रश्न स्पष्ट रूप से अन्यथा न कहे।

हल किया उदाहरण। एक जोड़ी जूते ₹640 में खरीदकर ₹768 में बेचे गए। लाभ = 768 − 640 = ₹128, तथा लाभ% = (128 ÷ 640) × 100 = 20%। हर देखिए: 640, अर्थात् CP। 768 से भाग देने पर 16.67% आता, और परीक्षक ठीक यही गलत विकल्प छापता है।

दो विक्रय मूल्य, एक पुल। ₹1,080 में बेची वस्तु पर 10% हानि होती है। 20% लाभ हेतु उसे किस मूल्य पर बेचें? चरण 1 — CP ही पुल है: 1080 × 100/90 = ₹1,200। चरण 2 — नया SP: 1200 × 120/100 = ₹1,440। जब भी प्रश्न में दो विक्रय मूल्य आएँ, पहले CP निकालें; इसे छोड़ने वाली कोई युक्ति नहीं है।

दो स्थितियों से क्रय मूल्य। दो आकृतियाँ बार-बार आती हैं। (i) "किसी वस्तु को 12% लाभ पर और 12% हानि पर बेचने के मूल्यों का अंतर ₹120 है।" दोनों विक्रय मूल्यों का अंतर CP का 24% है, अतः CP = 120 ÷ 0.24 = ₹500 (जाँच: ₹560 व ₹440, अंतर ₹120 ✓)। (ii) "एक व्यक्ति वस्तु 10% हानि पर बेचता है; यदि वह ₹90 अधिक में बेचता तो 8% लाभ होता।" वे ₹90, CP के 18% को घेरते हैं, अतः CP = 90 ÷ 0.18 = ₹500 (जाँच: SP ₹450, और 450 + 90 = ₹540 = 500 × 1.08 ✓)। दोनों में युक्ति दी गई रुपये-राशि को प्रतिशत-अंतर के रूप में देखना है।

युक्ति 1 — दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर। एक विक्रेता दो घड़ियाँ ₹960 प्रत्येक में बेचता है; एक पर 20% लाभ व दूसरी पर 20% हानि। सामान्य बुद्धि कहती है दोनों कट जाएँगे। गणना करें: पहली का CP = 960 × 100/120 = ₹800; दूसरी का CP = 960 × 100/80 = ₹1,200। कुल CP = ₹2,000 बनाम कुल SP = ₹1,920, अतः हानि ₹80, अर्थात् 4%।

युक्ति 2 — लागत पर लाभ बनाम विक्रय मूल्य पर लाभ। CP = ₹100 लें, लागत पर 25% लाभ: SP = ₹125 व लाभ = ₹25। SP पर व्यक्त करने पर वही ₹25 = 25/125 = 1/5 = 20%। अतः "लागत पर 25%" व "विक्रय मूल्य पर 20%" एक ही सौदे का वर्णन हैं। रूपांतरण एक ओर 100p/(100 + p) व दूसरी ओर 100m/(100 − m) है, और दोनों ऊपर की सारांश-सारणी में हैं।

युक्ति 3 — झूठे बाट वाला बेईमान व्यापारी। एक किराना व्यापारी अपने क्रय मूल्य पर बेचता है पर किलोग्राम के स्थान पर केवल 900 ग्राम देता है। लाभ कहाँ छिपा है? मान लें उसका माल ₹1 प्रति ग्राम का है: ग्राहक "1 किग्रा" के ₹1,000 देता है पर उसे 900 ग्राम मिलते हैं, जिनकी लागत व्यापारी को ₹900 पड़ी। लाभ = 100/900 × 100 = 11 1/9%। सूत्र है लाभ% = त्रुटि/(सही बाट − त्रुटि) × 100। 800 ग्राम के बाट पर: 200/800 × 100 = 25%।

अंकित मूल्य (MP) — जिसे सूची मूल्य भी कहते हैं — वस्तु पर लगा लेबल है। बट्टा = MP − SP, और मुख्य बात बट्टा% = (बट्टा ÷ MP) × 100: यहाँ आधार MP है, CP नहीं। अतः अब अध्याय दो आधारों पर चलता है — लाभ CP पर, बट्टा MP पर। हल: ₹2,400 अंकित वस्तु 15% बट्टे पर 2400 × 0.85 = ₹2,040 में बिकती है।

क्रमिक बट्टे कभी नहीं जुड़ते। a% व b% के दो बट्टे मिलकर a + b − ab/100 के एकल बट्टे के बराबर होते हैं। अतः 20% व 10% से 20 + 10 − 2 = 28%, 30% नहीं। ₹2,000 अंकित मूल्य पर जाँचें: 2000 × 0.80 = ₹1,600, फिर 1600 × 0.90 = ₹1,440, और (2000 − 1440)/2000 × 100 = 28% ✓। तीन बट्टों के लिए सूत्र दो बार लगाएँ: 20% व 10% से 28%, फिर 28% के साथ 5% से 28 + 5 − 1.4 = 31.6%। क्रम कभी मायने नहीं रखता, क्योंकि गुणन क्रम-विनिमेय है।

मूल्य-वृद्धि-फिर-बट्टा श्रृंखला। एक व्यापारी माल पर लागत से 50% ऊपर मूल्य अंकित करता है और फिर 20% बट्टा देता है। CP = ₹100 लें: MP = ₹150, SP = 150 × 0.80 = ₹120 → 20% लाभ। इसे +50% व −20% के क्रमिक परिवर्तन के रूप में भी पढ़ सकते हैं: 50 − 20 − 1000/100 = 30 − 10 = +20% — एक पंक्ति, रुपये की आवश्यकता नहीं। कठिन रूपांतर: वृद्धि 60%, फिर 20% व 25% के बट्टे। SP = 100 × 1.60 × 0.80 × 0.75 = ₹96, अर्थात् 4% हानि — प्रमाण कि बट्टा-श्रृंखला लंबी होने पर बड़ी मूल्य-वृद्धि भी लाभ की गारंटी नहीं देती।

साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष मूल मूलधन पर लगता है: SI = PRT/100। हल: ₹6,400 पर 7.5% से 3 वर्ष का ब्याज = 6400 × 7.5 × 3/100 = ₹1,440। चक्रवृद्धि ब्याज चलती राशि पर लगता है, अतः ब्याज स्वयं ब्याज कमाता है: A = P(1 + R/100)ᵗ तथा CI = A − P। हल: ₹12,000 पर 10% से 3 वर्ष में A = 12000 × 1.331 = ₹15,972, अतः CI = ₹3,972, जबकि साधारण ब्याज केवल ₹3,600 होता।

दुगुना व गुणित होना। साधारण ब्याज में प्रत्येक अतिरिक्त मूलधन उतना ही समय लेता है: यदि कोई राशि 8 वर्ष में दुगुनी हो तो R × 8 = 100 → R = 12.5%, और चार गुनी होने हेतु R × T = 300 → T = 24 वर्ष (8 में 2 गुनी, 16 में 3 गुनी, 24 में 4 गुनी)। चक्रवृद्धि ब्याज में वृद्धि गुणात्मक होती है: यदि राशि 5 वर्ष में दुगुनी हो तो 10 वर्ष में 4 गुनी व 15 वर्ष में 8 गुनी होगी, क्योंकि 2 × 2 = 4 तथा 2 × 2 × 2 = 8।

समान किस्तें। प्रत्येक किस्त को वर्तमान में छूट देकर लौटाना पड़ता है। कोई ऋण 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर ₹882 की दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाता है; ऋण कितना था? ऋण = 882/1.05 + 882/(1.05)² = 840 + 800 = ₹1,640। एक और: 4% पर ₹676 की दो समान किस्तें → 676/1.04 + 676/1.0816 = 650 + 625 = ₹1,275। किस्तों को सीधे जोड़ें नहीं — ₹1,764 कुल चुकाई गई राशि है, उधार ली गई नहीं।

जनसंख्या वृद्धि व मूल्यह्रास छिपा हुआ चक्रवृद्धि ब्याज हैं। 20,000 की जनसंख्या 5% वार्षिक दर से बढ़कर दो वर्ष बाद 20000 × (1.05)² = 22,050 हो जाती है — वही CI सूत्र। ₹1,00,000 में खरीदी मशीन जो 10% वार्षिक मूल्यह्रास से घटती है, तीन वर्ष बाद 100000 × (0.9)³ = ₹72,900 की रह जाती है; मूल्यह्रास ऋण चिह्न सहित चक्रवृद्धि ही है। यदि दर प्रतिवर्ष भिन्न हो, तो घात के स्थान पर गुणकों को एक-एक कर गुणा करें।

भिन्नें भूल जाएँ; इकाइयों में काम करें। यदि A कोई कार्य 12 दिन में और B 18 दिन में पूरा करता है, तो कुल कार्य LCM(12, 18) = 36 इकाई लें। तब A प्रतिदिन 36/12 = 3 इकाई और B प्रतिदिन 36/18 = 2 इकाई करता है, अतः मिलकर प्रतिदिन 5 इकाई, और 36/5 = 7.2 दिन = 7 1/5 दिन में पूरा। पारंपरिक सूत्र xy/(x + y) = 12 × 18/30 = 7.2 वही उत्तर देता है, पर इकाई-विधि तीन या अधिक श्रमिकों तक बिना बीजगणित पहुँच जाती है।

तीन श्रमिक, कोई सूत्र नहीं चाहिए। A, B व C अकेले 10, 12 व 15 दिन लेते हैं। LCM = 60 इकाई, अतः उनकी दैनिक दरें 6, 5 व 4 इकाई — कुल प्रतिदिन 15 इकाई → मिलकर 4 दिन। ध्यान दें, LCM भिन्नों के जोड़ को छोटी पूर्ण संख्याओं के जोड़ में बदल देता है।

पुरुष, महिला व बालक की तुल्यता। "4 पुरुष अथवा 6 महिलाएँ कोई कार्य 24 दिन में पूरा कर सकती हैं। 6 पुरुष व 6 महिलाएँ कितना समय लेंगे?" पहले रूपांतरण: 4 पुरुष = 6 महिलाएँ, अतः 1 पुरुष = 3/2 महिला, अथवा 1 महिला = 2/3 पुरुष। कुल कार्य = 4 × 24 = 96 पुरुष-दिन। अब 6 पुरुष + 6 महिलाएँ = 6 + 6 × (2/3) = 6 + 4 = 10 पुरुष, अतः समय = 96 ÷ 10 = 9.6 दिन। भाग देने से पहले सब कुछ एक ही इकाई में बदलें।

एक दिन छोड़कर काम। A कोई कार्य 12 दिन में व B 15 दिन में कर सकता है; वे एकांतर दिनों में काम करते हैं, A आरंभ करता है। इकाइयाँ: LCM = 60, A = 5/दिन, B = 4/दिन, अतः प्रत्येक दो-दिवसीय चक्र 9 इकाई देता है। छह चक्र = 12 दिन = 54 इकाई। 13वें दिन A 5 जोड़ता है → 59 इकाई। केवल 1 इकाई शेष है और B प्रतिदिन 4 इकाई करता है, अतः उसे दिन का 1/4 चाहिए। कुल = 13 1/4 दिन। पहले चक्र गिनें, फिर शेष — 60 को औसत से भाग कभी न दें।

बीच में छोड़ देना। (i) A व B कोई कार्य 20 व 30 दिन में कर सकते हैं। वे साथ आरंभ करते हैं पर A 6 दिन बाद छोड़ देता है; B कितने दिन और लेगा? मिलकर वे प्रतिदिन 1/20 + 1/30 = 1/12 करते हैं, अतः 6 दिन में आधा कार्य हो जाता है। B अकेला शेष 1/2 प्रतिदिन 1/30 की दर से → 15 दिन और। (ii) उलटी शब्दावली: A व B अकेले 15 व 10 दिन लेते हैं, और A कार्य पूरा होने से 5 दिन पहले छोड़ देता है — कुल समय T ज्ञात करें। B पूरे T दिन काम करता है और A, T − 5 दिन: (T − 5)/15 + T/10 = 1 → 2(T − 5) + 3T = 30 → 5T = 40 → T = 8 दिन।

नल व टंकी, चिह्न सहित समय व कार्य है। भरने वाला नल धनात्मक दर देता है; खाली करने वाला नल या रिसाव ऋणात्मक। हल: नल A किसी टंकी को 20 मिनट में भरता है और नल B उसे 30 मिनट में खाली करता है। LCM = 60 इकाई, अतः A = +3 व B = −2 इकाई प्रति मिनट → शुद्ध +1 इकाई प्रति मिनट → टंकी 60 मिनट में भरती है। यदि खाली करने की दर बड़ी होती, तो शुद्ध दर ऋणात्मक होती और टंकी कभी न भरती — यह विकल्प जाँचने योग्य है।

रिसाव वाला प्रश्न। एक टंकी सामान्यतः 8 घंटे में भरती है, पर रिसाव के कारण 10 घंटे लगते हैं। रिसाव अकेला भरी टंकी को खाली करने में कितना समय लेगा? 1/8 − 1/L = 1/10 → 1/L = 1/8 − 1/10 = (5 − 4)/40 = 1/40 → 40 घंटे। घटाव पर ध्यान दें: रिसाव भरने की दर में से घटाता है, और जो बचता है वही उसकी दर है।

दो और मानक आकृतियाँ। (i) दो नल किसी टंकी को 15 व 20 घंटे में भरते हैं। दोनों साथ खोले जाते हैं पर दूसरा कुछ समय बाद बंद कर दिया जाता है, और टंकी 12 घंटे में भर जाती है। वह कब बंद हुआ? पहला पूरे 12 घंटे चला, अर्थात् 12/15 = 4/5 भाग; अतः दूसरे ने 1/5 दिया → t/20 = 1/5 → t = 4 घंटे। (ii) दो नल 10 व 15 मिनट में भरते हैं और एक निकास नल खाली करता है; तीनों खुले हों तो टंकी 18 मिनट में भरती है। निकास नल अकेला कितना समय लेगा? 1/10 + 1/15 − 1/w = 1/18 → 1/6 − 1/w = 1/18 → 1/w = 1/6 − 1/18 = 2/18 = 1/9 → 9 मिनट।

दूरी = चाल × समय, और सब कुछ इसी से निकलता है। पहले इकाइयाँ बदलें, सदैव: किमी/घं → मी/से के लिए 5/18 से गुणा, तथा मी/से → किमी/घं के लिए 18/5 से गुणा। अतः 72 किमी/घं = 72 × 5/18 = 20 मी/से, 54 किमी/घं = 15 मी/से, 63 किमी/घं = 17.5 मी/से, तथा 25 मी/से = 25 × 18/5 = 90 किमी/घं। इकाइयाँ मिला देना रेलगाड़ी खंड में गलत उत्तरों का सबसे बड़ा कारण है।

देर व जल्दी पहुँचना। एक बालक 4 किमी/घं की चाल से चलकर विद्यालय 5 मिनट देर से पहुँचता है; 5 किमी/घं से वह 10 मिनट पहले पहुँच जाता है। विद्यालय कितनी दूर है? दोनों यात्राओं में 15 मिनट = 1/4 घंटे का अंतर है, अतः d/4 − d/5 = 1/4 → d(1/20) = 1/4 → d = 5 किमी। युक्ति: दूरी = (चालों का गुणनफल × समय-अंतर)/(चालों का अंतर) = (4 × 5 × 1/4)/1 = 5 किमी ✓। मिनटों को पहले घंटे में बदलें — यहीं अंक रिसते हैं।

सामान्य चाल के अंश वाला प्रकार। अपनी सामान्य चाल के 3/4 से चलकर एक व्यक्ति 20 मिनट देर से पहुँचता है। उसका सामान्य समय क्या है? चाल व समय व्युत्क्रमानुपाती हैं, अतः 3/4 चाल का अर्थ 4/3 समय; सामान्य समय का अतिरिक्त 1/3 भाग वही 20 मिनट है → सामान्य समय = 60 मिनट। इसी प्रकार, सामान्य चाल के 5/6 पर समय 6/5 हो जाता है, और सामान्य समय का अतिरिक्त 1/5 भाग 8 मिनट होने पर सामान्य समय 40 मिनट आता है।

रेलगाड़ी कोई बिंदु नहीं है — उसकी लंबाई होती है, और वह लंबाई तय की गई दूरी का भाग है। खंभा, व्यक्ति या पेड़ पार करने में: दूरी = गाड़ी की लंबाई। प्लेटफ़ॉर्म, पुल या सुरंग पार करने में: दूरी = गाड़ी की लंबाई + प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई। हल: 240 मी की गाड़ी 54 किमी/घं = 15 मी/से से खंभा 240/15 = 16 सेकंड में पार करती है, और 360 मी का प्लेटफ़ॉर्म 600/15 = 40 सेकंड में।

दो गाड़ियाँ एक-दूसरे को पार करना। दूरी दोनों लंबाइयों का योग है, और चाल सापेक्ष चाल। 120 मी व 180 मी की गाड़ियाँ 45 किमी/घं व 27 किमी/घं से चलती हैं। समान दिशा में सापेक्ष चाल 18 किमी/घं = 5 मी/से, अतः वे 300/5 = 60 सेकंड लेती हैं। विपरीत दिशा में यह 72 किमी/घं = 20 मी/से, अतः वे 300/20 = 15 सेकंड लेती हैं — चार गुना तेज़, और इसीलिए दिशा ध्यान से पढ़नी चाहिए।

चलते व्यक्ति को पार करती गाड़ी। व्यक्ति की लंबाई नहीं होती, अतः दूरी केवल गाड़ी की लंबाई है, पर उसकी चाल फिर भी गिनी जाती है। 150 मी की गाड़ी 63 किमी/घं से समान दिशा में 3 किमी/घं से चलते व्यक्ति को पार करती है: सापेक्ष चाल = 60 किमी/घं = 50/3 मी/से, अतः समय = 150 ÷ 50/3 = 150 × 3/50 = 9 सेकंड। यदि व्यक्ति गाड़ी की ओर चल रहा होता, तो सापेक्ष चाल 66 किमी/घं और समय लगभग 8.18 सेकंड होता — कम, जैसा होना ही चाहिए।

माना b स्थिर जल में नाव की चाल तथा s धारा की चाल है। अनुप्रवाह चाल = b + s (धारा सहायता करती है) तथा प्रतिप्रवाह चाल = b − s (धारा बाधा डालती है)। उलटा पढ़ें: b = (अनुप्रवाह + प्रतिप्रवाह)/2 तथा s = (अनुप्रवाह − प्रतिप्रवाह)/2 — औसत व आधा अंतर। हल: एक नाव 30 किमी अनुप्रवाह 2 घंटे में तय करती है और 3 घंटे में लौटती है। अनुप्रवाह = 15 किमी/घं, प्रतिप्रवाह = 10 किमी/घं, अतः b = 12.5 किमी/घं व s = 2.5 किमी/घं।

आना-जाना समय व औसत चाल। एक नाव स्थिर जल में 15 किमी/घं चलती है और धारा 3 किमी/घं की है। प्रत्येक ओर 36 किमी की यात्रा के लिए: अनुप्रवाह 36/18 = 2 घंटे, प्रतिप्रवाह 36/12 = 3 घंटे, कुल 5 घंटे। औसत चाल = 72/5 = 14.4 किमी/घं, जिसकी पुष्टि सूत्र (b² − s²)/b करता है: (225 − 9)/15 = 216/15 = 14.4 ✓। ध्यान दें, यह स्थिर जल की 15 चाल से कम है — आना-जाना यात्रा में धारा सदैव समय लेती है, बचाती कभी नहीं।

दो-शर्तों वाला प्रसिद्ध प्रश्न। एक व्यक्ति 48 किमी दूर किसी स्थान तक नाव खेकर जाता है और 14 घंटे में लौट आता है। वह पाता है कि धारा के साथ 4 किमी उतने ही समय में चल सकता है जितने में धारा के विरुद्ध 3 किमी। धारा की चाल ज्ञात करें। दूसरा वाक्य अनुप्रवाह : प्रतिप्रवाह = 4 : 3 का अनुपात देता है, अतः अनुप्रवाह = 4k व प्रतिप्रवाह = 3k लिखें। तब 48/4k + 48/3k = 14 → 12/k + 16/k = 28/k = 14 → k = 2। अतः अनुप्रवाह = 8 किमी/घं, प्रतिप्रवाह = 6 किमी/घं, अतः b = 7 किमी/घं व s = 1 किमी/घं। जाँच: 48/8 + 48/6 = 6 + 8 = 14 घंटे ✓।