अंकगणित की नींव — संख्याएँ, प्रतिशत, अनुपात एवं औसत
संख्या पद्धति व विभाज्यता के नियम
शब्दावली से आरंभ करें, क्योंकि पर्चा इसे सीधे पूछता है। प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, … हैं; पूर्ण संख्याओं में 0 जुड़ता है; पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी। परिमेय संख्या p/q रूप में लिखी जा सकती है जहाँ q ≠ 0 (प्रत्येक सांत या आवर्ती दशमलव); अपरिमेय संख्या नहीं (√2, π)। अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं — 1 व स्वयं; 1 न अभाज्य है न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। दो संख्याएँ सहअभाज्य होती हैं जब उनका महत्तम समापवर्तक 1 हो — ध्यान दें, 8 व 9 सहअभाज्य हैं जबकि दोनों में कोई अभाज्य नहीं है।
100 से कम 25 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन्हें एक समूह की तरह याद करें, क्योंकि "1 से 50 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं" वास्तविक पर्चा प्रश्न है: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 — यह 50 से कम 15 अभाज्य संख्याएँ हैं — और फिर 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 दस और।
| भाजक | नियम | जाँच सहित उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो | 4,32,896 का अंत 6 → हाँ |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | 4+3+2+8+9+6 = 32, 3 का गुणज नहीं → नहीं |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 के गुणज हों | 96 ÷ 4 = 24 → हाँ |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो | 4,32,896 का अंत 6 → नहीं |
| 6 | 2 तथा 3 दोनों से विभाज्य हो | ऊपर 3 की जाँच में असफल → नहीं |
| 7 | अंतिम अंक का दुगुना शेष संख्या से घटाएँ; दोहराएँ | 1729 → 172 − 18 = 154 → 15 − 8 = 7 → हाँ (1729 = 7 × 247) |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 के गुणज हों | 896 ÷ 8 = 112 → हाँ |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो | अंकों का योग 32 → नहीं |
| 10 | अंतिम अंक 0 हो | 4,32,890 → हाँ; 4,32,896 → नहीं |
| 11 | (विषम स्थान के अंकों का योग) − (सम स्थान के अंकों का योग) 0 या 11 का गुणज हो | 91,839 → (9+8+9) − (3+1) = 26 − 4 = 22 → हाँ (= 11 × 8349) |
| 13 | अंतिम अंक को 4 से गुणा कर शेष संख्या में जोड़ें; दोहराएँ | 2197 → 219 + 28 = 247 → 24 + 28 = 52 = 13 × 4 → हाँ (2197 = 13³) |
तीन योग-सूत्र प्रत्येक दूसरे प्रश्नपत्र में आते हैं, अतः इन्हें अंगुलियों पर रखें। प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1)/2; उनके वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6; उनके घनों का योग = [n(n+1)/2]²। प्रत्येक जाँचें: 1 + 2 + … + 50 = 50 × 51/2 = 2550/2 = 1275। 1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21/6 = 2310/6 = 385। 1³ + 2³ + … + 5³ = (5 × 6/2)² = 15² = 225, और वास्तव में 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225। ✓
इकाई अंक, अंत के शून्य व बड़ी घातों के शेषफल
परीक्षकों को "7¹⁰⁵ का इकाई अंक" जैसे प्रश्न प्रिय हैं। आपसे 7¹⁰⁵ निकालने की अपेक्षा नहीं है — अपेक्षा यह है कि आप जानें कि इकाई अंक अधिकतम 4 के चक्र में दोहराते हैं। घात को 4 से भाग दें और शेषफल देखें: शेष 1, 2, 3 → चक्र की पहली, दूसरी, तीसरी प्रविष्टि लें; शेष 0 → अंतिम (चौथी) प्रविष्टि लें, क्योंकि शेष 0 का अर्थ है चक्र अभी पूरा हुआ।
| आधार | इकाई अंकों का चक्र (घात 1, 2, 3, 4) | चक्र की लंबाई |
|---|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 4 | 4, 6, 4, 6 | 2 (विषम घात → 4, सम घात → 6) |
| 5 | 5, 5, 5, 5 | 1 (सदैव 5) |
| 6 | 6, 6, 6, 6 | 1 (सदैव 6) |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
| 9 | 9, 1, 9, 1 | 2 (विषम घात → 9, सम घात → 1) |
हल किया उदाहरण 1. 7¹⁰⁵ का इकाई अंक। 105 ÷ 4 में शेष 1, अतः 7 के चक्र (7, 9, 3, 1) की पहली प्रविष्टि → 7। हल किया उदाहरण 2. 2⁵⁷ का इकाई अंक: 57 ÷ 4 में शेष 1 → (2, 4, 8, 6) की पहली प्रविष्टि → 2। हल किया उदाहरण 3. 13⁴³ × 17²⁵ का इकाई अंक। केवल आधारों के अंतिम अंक मायने रखते हैं, अतः इसे 3⁴³ × 7²⁵ पढ़ें। 3⁴³ के लिए: 43 ÷ 4 में शेष 3 → (3, 9, 7, 1) की तीसरी प्रविष्टि = 7। 7²⁵ के लिए: 25 ÷ 4 में शेष 1 → 7। अब 7 × 7 = 49 → इकाई अंक 9।
भाज्य (फैक्टोरियल) के अंत के शून्य। अंत का शून्य 10 = 2 × 5 के गुणनखंड से आता है, और किसी भी भाज्य में 2 की संख्या 5 से सदैव अधिक होती है, अतः 5 की गिनती करें। गिनती = n/5 + n/25 + n/125 + … (प्रत्येक बार पूर्णांक भाग)। 100! के लिए: 100 ÷ 5 = 20, 100 ÷ 25 = 4, 100 ÷ 125 = 0 → 20 + 4 = 24 शून्य। 50! के लिए: 10 + 2 = 12 शून्य। 1 × 2 × 3 × … × 25 अर्थात् 25! के लिए: 5 + 1 = 6 शून्य। 125! के लिए: 25 + 5 + 1 = 31 शून्य।
शेषफल की मूल बातें। दो विचार लगभग हर शेषफल प्रश्न पूरा कर देते हैं। (i) पहले आधार छोटा करें। 17²³ ÷ 16 का शेष: चूँकि 17 को 16 से भाग देने पर शेष 1 आता है, 17²³ का शेष भी 1 है। (ii) −1 खोजें। 7¹⁰⁰ ÷ 8 का शेष: 7 = 8 − 1, अतः 7¹⁰⁰ (−1)¹⁰⁰ = +1 जैसा व्यवहार करता है → शेष 1। 5⁹⁹ ÷ 6 का शेष: 5 = 6 − 1, और 99 विषम है, अतः (−1)⁹⁹ = −1, जिसका अर्थ शेष 6 − 1 = 5। (iii) ऐसी घात बनाएँ जो 1 दे। 2⁵¹ ÷ 7 का शेष: 2³ = 8 का शेष 1 है, और 51 = 3 × 17, अतः 2⁵¹ = (2³)¹⁷ का शेष 1।
लघुत्तम समापवर्त्य व महत्तम समापवर्तक — शेषफल परिवार सहित
महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी को विभाजित करती है; लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे वे सभी विभाजित करती हैं। सबसे उपयोगी संबंध, जो केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है: पहली × दूसरी = LCM × HCF।
हल किया उदाहरण। दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 336 है। यदि एक संख्या 84 है, तो दूसरी ज्ञात करें। दूसरी = (12 × 336) ÷ 84 = 4032 ÷ 84 = 48। स्वतंत्र जाँच: HCF(84, 48) = 12 ✓ तथा LCM(84, 48) = 336 ✓।
भिन्नों का LCM व HCF। दो सूत्र जो उलटे लगते हैं पर सही हैं: भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF, तथा भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM। 2/3, 8/9 व 16/81 पर हल: LCM = LCM(2, 8, 16) ÷ HCF(3, 9, 81) = 16 ÷ 3 = 16/3। HCF = HCF(2, 8, 16) ÷ LCM(3, 9, 81) = 2 ÷ 81 = 2/81। तर्क-जाँच: भिन्नों का LCM सबसे बड़ी भिन्न से कम नहीं हो सकता (16/3 > 16/81 ✓) और HCF सबसे छोटी से अधिक नहीं (2/81 < 2/3 ✓)।
शेषफल परिवार, स्थिति 1 — हर बार वही शेष। "वह लघुत्तम संख्या ज्ञात करें जिसे 5, 6, 7 व 8 से भाग देने पर प्रत्येक बार शेष 3 आए।" LCM(5, 6, 7, 8) = 840 लें और शेष जोड़ दें: 843। जाँच: 843 = 840 + 3, अतः 5, 6, 7, 8 प्रत्येक से शेष ठीक 3 आता है। ✓ सामान्य रूप N = k × LCM + r है, अतः अगली ऐसी संख्याएँ 1683, 2523, … हैं।
स्थिति 2 — समान कमी। "वह लघुत्तम संख्या ज्ञात करें जिसे 5 से भाग देने पर शेष 4, 6 से भाग देने पर शेष 5 तथा 7 से भाग देने पर शेष 6 आए।" ध्यान दें, प्रत्येक शेष अपने भाजक से ठीक 1 कम है। अतः संख्या किसी सामान्य गुणज से 1 कम है: N = LCM(5, 6, 7) − 1 = 210 − 1 = 209। जाँच: 209 ÷ 5 शेष 4, ÷ 6 शेष 5, ÷ 7 शेष 6। ✓
स्थिति 3 — महत्तम संख्या, अतः अंतरों का HCF। "वह महत्तम संख्या ज्ञात करें जो 43, 91 व 183 को विभाजित करने पर प्रत्येक बार समान शेष दे।" अंतर लें: 91 − 43 = 48, 183 − 91 = 92, 183 − 43 = 140। HCF(48, 92, 140) = 4। जाँच: 43, 91 व 183 सभी को 4 से भाग देने पर शेष 3 आता है। ✓ दिए हुए शेष के साथ रूपांतर: "वह महत्तम संख्या जो 2011 व 2623 को विभाजित करने पर शेष 9 व 5 दे" — पहले शेष घटाएँ, फिर HCF लें: HCF(2011 − 9, 2623 − 5) = HCF(2002, 2618) = 154। जाँच: 154 × 13 = 2002 अतः 2011 का शेष 9 ✓, तथा 154 × 17 = 2618 अतः 2623 का शेष 5 ✓।
घंटियाँ एक साथ बजना। छह घंटियाँ 2, 4, 6, 8, 10 व 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। वे एक साथ आरंभ होती हैं; वे पुनः एक साथ कब-कब बजेंगी? LCM(2, 4, 6, 8, 10, 12) = 120 सेकंड, अर्थात् प्रत्येक 2 मिनट पर। 30 मिनट = 1800 सेकंड में वे 1800 ÷ 120 = आरंभ के बाद 15 बार एक साथ बजेंगी, अथवा 16 बार यदि शून्य सेकंड पर पहली बजन भी गिनें। शब्दावली ध्यान से पढ़ें — पर्चा 15 व 16 दोनों विकल्प छापता है, और "30 मिनट में" वाक्यांश सामान्यतः बाद की 15 संयोगों को दर्शाता है।
सरलीकरण, BODMAS, करणी, घातांक व मूल
BODMAS क्रम तय करता है: Brackets कोष्ठक, Of का, Division भाग, Multiplication गुणा, Addition जोड़, Subtraction घटाव — जहाँ भाग व गुणा समान स्तर पर हैं और बाएँ से दाएँ किए जाते हैं, तथा जोड़ व घटाव के लिए भी वही। हल: 12 + 6 ÷ 2 × 3 − 4 = 12 + 3 × 3 − 4 = 12 + 9 − 4 = 17। "का" के साथ हल: 60 का 1/2 + 20 ÷ 4 × 2 = 30 + 5 × 2 = 30 + 10 = 40। ध्यान दें, "का" भाग से पहले होता है, और इसी कारण उसका अपना अक्षर है।
भिन्नों की तुलना सेकंडों में। तिर्यक गुणा करें: a/b व c/d के लिए a × d की तुलना c × b से करें। 5/7, 7/9 व 9/11 को क्रम में रखें। 5/7 बनाम 7/9 → 5 × 9 = 45 बनाम 7 × 7 = 49, अतः 7/9 बड़ी है। 7/9 बनाम 9/11 → 7 × 11 = 77 बनाम 9 × 9 = 81, अतः 9/11 बड़ी है। अतः 5/7 < 7/9 < 9/11। यह प्रवृत्ति याद रखने योग्य है: उचित भिन्न में अंश व हर में समान संख्या जोड़ने से भिन्न बढ़ती है; विषम भिन्न में घटती है।
घातांक के नियम, सभी एक ही विचार: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, तथा a^(1/n) = ⁿ√a। हल: (243)^0.16 × (243)^0.04 = (243)^0.20 = (3⁵)^(1/5) = 3। हल: यदि 2^(x+1) = 32 = 2⁵ हो तो x + 1 = 5, अतः x = 4। दोनों में तकनीक एक ही है — दोनों पक्षों को एक ही आधार पर लाइए, फिर घातें बराबर कर दीजिए।
परिमेयकरण। हर से करणी हटाने के लिए ऊपर-नीचे संयुग्मी से गुणा करें — बीच का चिह्न बदल दें। हल: (√5 + √3)/(√5 − √3) × (√5 + √3)/(√5 + √3) = (√5 + √3)²/(5 − 3) = (5 + 3 + 2√15)/2 = (8 + 2√15)/2 = 4 + √15। ध्यान दें, हर सामान्य संख्या बन गया क्योंकि (a − b)(a + b) = a² − b²।
दीर्घ भाग के बिना वर्गमूल व घनमूल। पूर्ण वर्ग में संख्या का अंतिम अंक मूल का अंतिम अंक तय करता है (1 → 1 या 9; 4 → 2 या 8; 5 → 5; 6 → 4 या 6; 9 → 3 या 7; 0 → 0), और आगे के अंक दहाई अंक तय करते हैं। √1024: अंत 4 है अतः मूल का अंत 2 या 8; 1024, 900 व 1600 के बीच है, अतः मूल तीस के दशक में → 32 या 38; चूँकि 1024, 900 के अधिक निकट है, 32 लें (32² = 1024 ✓)। यह भी ध्यान रखें कि पूर्ण वर्ग का अंत कभी 2, 3, 7 या 8 पर नहीं होता — तत्काल निष्कासन।
घनमूल और भी सरल हैं, क्योंकि घन का अंतिम अंक मूल का अंतिम अंक एकमात्र रूप से तय करता है: 1 → 1, 8 → 2, 7 → 3, 4 → 4, 5 → 5, 6 → 6, 3 → 7, 2 → 8, 9 → 9, 0 → 0 (देखें, 2/8 व 3/7 आपस में बदल जाते हैं)। ∛12167: अंतिम अंक 7 → मूल का अंत 3; अंतिम तीन अंक काटने पर 12 बचता है, जो 2³ = 8 व 3³ = 27 के बीच है, अतः दहाई अंक 2 → 23, और 23³ = 12167 ✓। ∛175616: अंतिम अंक 6 → मूल का अंत 6; 175, 5³ = 125 व 6³ = 216 के बीच है → दहाई अंक 5 → 56, और 56³ = 175616 ✓।
दशमलव में अंक गिनें: वर्गमूल दशमलव स्थानों की संख्या आधी कर देता है। √0.0081 में चार दशमलव स्थान हैं, अतः उसके मूल में दो: 0.09, और 0.09 × 0.09 = 0.0081 ✓। 0.9 न लिखें — उसका वर्ग 0.81 होता है, सौ गुना बड़ा। यही एक चूक सरलीकरण खंड में सबसे सामान्य असावधानी-हानि है।
प्रतिशत व भिन्न-रूपांतरण सारणी
प्रतिशत केवल 100 हर वाली भिन्न है — इससे अधिक कुछ नहीं। N का x% = N × x/100। परंतु जिस क्षण आप प्रतिशत को भिन्न में बदलते हैं, जो दीर्घ गुणा जैसा लगता था वह एक भाग बन जाता है। 480 का 37.5% निकालने में 480 को 0.375 से गुणा नहीं करना है; वह 480 का 3/8 = 180 है। और 4,236 का 16 2/3% = 4,236 का 1/6 = 706। नीचे दी सारणी इसी कारण महत्वपूर्ण है।
| भिन्न | प्रतिशत | उपयोगी गुणज |
|---|---|---|
| 1/2 | 50% | 3/2 = 150% |
| 1/3 | 33 1/3% | 2/3 = 66 2/3% |
| 1/4 | 25% | 3/4 = 75% |
| 1/5 | 20% | 2/5 = 40%, 3/5 = 60%, 4/5 = 80% |
| 1/6 | 16 2/3% | 5/6 = 83 1/3% |
| 1/7 | 14 2/7% | 2/7 = 28 4/7%, 3/7 = 42 6/7% |
| 1/8 | 12 1/2% | 3/8 = 37 1/2%, 5/8 = 62 1/2%, 7/8 = 87 1/2% |
| 1/9 | 11 1/9% | 2/9 = 22 2/9%, 4/9 = 44 4/9% |
| 1/10 | 10% | 7/10 = 70%, 9/10 = 90% |
| 1/11 | 9 1/11% | 2/11 = 18 2/11% |
| 1/12 | 8 1/3% | 5/12 = 41 2/3%, 7/12 = 58 1/3% |
वृद्धि व कमी। x% की वृद्धि (100 + x)/100 से गुणा करती है; x% की कमी (100 − x)/100 से। 15,000 की जनसंख्या 8% बढ़कर 15000 × 108/100 = 16,200 हो जाती है। तथा प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल) × 100 — हर सदैव मूल मान होता है, नया मान कभी नहीं।
अंक व उत्तीर्णांक प्रतिशत वाला प्रकार। 40% अंक पाने वाला अभ्यर्थी 20 अंकों से अनुत्तीर्ण होता है; 45% पाने वाला दूसरा उत्तीर्णांक से 10 अंक अधिक पाता है। अधिकतम अंक ज्ञात करें। कुल को T मानें। उत्तीर्णांक = 0.40T + 20 तथा = 0.45T − 10 भी। बराबर करने पर: 0.05T = 30 → T = 600। तब उत्तीर्णांक = 0.40 × 600 + 20 = 260, और जाँच सही बैठती है: 0.45 × 600 = 270 = 260 + 10 ✓।
दो प्रत्याशियों वाले चुनाव का प्रकार। दो प्रत्याशियों के मुकाबले में विजेता को वैध मतों का 56% मिलता है और वह 1,344 मतों से जीतता है। कुल वैध मत? विजेता के पास 56% व हारने वाले के पास 44%, अतः अंतर कुल का 12% है: 0.12T = 1344 → T = 11,200। जाँच: 6,272 व 4,928, अंतर 1,344 ✓। पूरी युक्ति यह समझने में है कि आपको विजेता का हिस्सा नहीं, अंतर दिया गया था।
क्रमिक परिवर्तन, अधिक-कम युग्म व मूल्य–उपभोग
a% व b% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन कभी सीधे नहीं जुड़ते। शुद्ध परिवर्तन a + b + ab/100 है, जहाँ कमी को ऋणात्मक संख्या के रूप में रखा जाता है। हल: एक वेतन 20% बढ़ता है और फिर 20% घटता है। शुद्ध = 20 − 20 + (20 × −20)/100 = 0 − 4 = −4%, अर्थात् 4% की कमी, शून्य नहीं। ₹5,000 पर जाँचें: 5000 × 1.20 = 6,000, फिर 6000 × 0.80 = ₹4,800, जो 5,000 से 4% कम है ✓। ऊपर की ओर हल: +10% फिर +20% देता है 10 + 20 + 200/100 = +32%।
अधिक/कम युग्म। यदि A, B से x% अधिक है, तो B, A से 100x/(100 + x)% कम है। यदि A, B से x% कम है, तो B, A से 100x/(100 − x)% अधिक है। दोनों उत्तर कभी एक संख्या नहीं होते, और यही असमानता पूरा प्रश्न है। कारण सरल है — आधार बदल जाता है: पहला प्रतिशत B पर बैठता है, दूसरा A पर।
| A, B से इतना अधिक | तो B, A से इतना कम | भिन्न रूप में |
|---|---|---|
| 10% | 9 1/11% | 1/10 अधिक → 1/11 कम |
| 20% | 16 2/3% | 1/5 अधिक → 1/6 कम |
| 25% | 20% | 1/4 अधिक → 1/5 कम |
| 50% | 33 1/3% | 1/2 अधिक → 1/3 कम |
| 100% | 50% | 1/1 अधिक → 1/2 कम |
| उलटा: 20% कम | 25% अधिक | 1/5 कम → 1/4 अधिक |
| उलटा: 25% कम | 33 1/3% अधिक | 1/4 कम → 1/3 अधिक |
मूल्य, उपभोग व व्यय। व्यय = मूल्य × उपभोग, अतः यदि मूल्य x% बढ़े और आप व्यय अपरिवर्तित रखना चाहें, तो उपभोग 100x/(100 + x)% घटाना होगा — वही अधिक/कम सूत्र। हल: चीनी 25% महँगी हुई, अतः उपभोग 100 × 25/125 = 20% घटाना होगा। संख्याओं से जाँच: ₹40 प्रति किग्रा पर 1 किग्रा का व्यय ₹40; मूल्य ₹50 हो गया; 0.8 किग्रा खरीदने पर 50 × 0.8 = ₹40 ✓। इसके विपरीत यदि मूल्य 20% घटे, तो उसी व्यय पर उपभोग 100 × 20/80 = 25% बढ़ाया जा सकता है।
यदि मूल्य व उपभोग दोनों बदलें, तो व्यय पर क्रमिक सूत्र लगाएँ। मूल्य 20% बढ़ा व उपभोग 10% बढ़ा → व्यय 20 + 10 + (20 × 10)/100 = 32% बढ़ा। यही यंत्र क्षेत्रफल के प्रश्नों (लंबाई a% बढ़ी, चौड़ाई b% बढ़ी) व जनसंख्या के प्रश्नों (वृद्धि दर a% फिर b%) पर भी चलता है — एक सूत्र, तीन अध्याय।
अनुपात, समानुपात व साझेदारी
अनुपात राशियों की तुलना करता है और उसकी कोई इकाई नहीं होती। किसी राशि को अनुपात में बाँटने के लिए भागों को जोड़कर एक भाग निकालें। हल: ₹1,350 को A, B व C में 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटें। भाग = 9, अतः एक भाग = 1350 ÷ 9 = ₹150, जिससे ₹300, ₹450 व ₹600 (योग 1,350 ✓)। व्यक्तियों की संख्या से भाग कभी न दें — भागों की संख्या से भाग दें।
मानक शब्दावली, जो सीधे पूछी जाती है: a : b व c : d का मिश्रित अनुपात ac : bd है — अतः 2 : 3 का 4 : 5 से मिश्रित अनुपात 8 : 15 है। 2 : 3 का द्विगुणित अनुपात 4 : 9 है (वर्ग); उपद्विगुणित √2 : √3; त्रिगुणित 8 : 27 (घन); उपत्रिगुणित ∛2 : ∛3। व्युत्क्रम अनुपात केवल उलट देता है: 2 : 3 का व्युत्क्रम 3 : 2।
संख्या जोड़ने पर अनुपात का बदलना। दो संख्याओं का अनुपात 3 : 5 है। प्रत्येक में 9 जोड़ने पर अनुपात 2 : 3 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें। उन्हें 3x व 5x लिखें: (3x + 9)/(5x + 9) = 2/3 → 3(3x + 9) = 2(5x + 9) → 9x + 27 = 10x + 18 → x = 9, अतः संख्याएँ 27 व 45 हैं। जाँच: 36/54 = 2/3 ✓। यहाँ सबसे महत्वपूर्ण आदत x रखना है, विकल्पों से अनुमान लगाना नहीं।
आय–व्यय–बचत। A व B की आय 5 : 4 के अनुपात में तथा उनके व्यय 3 : 2 के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक ₹6,000 बचाता है, तो उनकी आय ज्ञात करें। आय 5x व 4x, व्यय 3y व 2y मानें। तब 5x − 3y = 6000 तथा 4x − 2y = 6000। घटाने पर x − y = 0, अतः x = y। रखने पर 5x − 3x = 2x = 6000 → x = 3000। आय ₹15,000 व ₹12,000 है (व्यय ₹9,000 व ₹6,000, बचत प्रत्येक ₹6,000 ✓)।
समानुपात की शब्दावली। यदि a : b = c : d हो तो ad = bc, और d चतुर्थ समानुपाती है; 3, 5 व 21 का चतुर्थ समानुपाती (5 × 21)/3 = 35 है। a व b के बीच मध्य समानुपाती √(ab) होता है: 9 व 16 के बीच √144 = 12। a व b का तृतीय समानुपाती b²/a होता है: 4 व 12 का 144/4 = 36।
अनुपात में सिक्के — मूल्यों का ध्यान रखें। एक थैले में एक रुपये, 50 पैसे व 25 पैसे के सिक्के 5 : 6 : 8 के अनुपात में हैं, कुल ₹150। प्रत्येक की संख्या ज्ञात करें। 5x, 6x, 8x सिक्के लें। मूल्य = 5x(1) + 6x(0.5) + 8x(0.25) = 5x + 3x + 2x = 10x = 150 → x = 15। अतः 75, 90 व 120 सिक्के, मूल्य 75 + 45 + 30 = ₹150 ✓। संख्याओं का अनुपात मूल्यों का अनुपात नहीं है — यही पूरा प्रश्न है।
साझेदारी समय-सहित अनुपात है। साधारण साझेदारी में पूँजी समान अवधि तक लगी रहती है, अतः लाभ पूँजी के अनुपात में बँटता है: A ₹8,000 व B ₹12,000 एक वर्ष के लिए लगाते हैं, लाभ ₹15,000 → अनुपात 2 : 3 → ₹6,000 व ₹9,000। मिश्रित साझेदारी में अवधियाँ भिन्न होती हैं, अतः लाभ पूँजी × समय के अनुपात में बँटता है: A ₹20,000 12 माह के लिए लगाता है, B बाद में ₹30,000 के साथ 6 माह के लिए जुड़ता है → (20000 × 12) : (30000 × 6) = 240000 : 180000 = 4 : 3। ₹35,000 के लाभ पर यह ₹20,000 व ₹15,000 है — केवल पूँजी अनुपात से मिलने वाला ₹14,000/₹21,000 नहीं।
कार्यकारी बनाम निष्क्रिय साझेदार। कार्यकारी साझेदार व्यापार चलाता है और उसे शुल्क मिलता है — प्रायः लाभ का एक प्रतिशत — और वह शेष के पूँजी-अनुपात में बँटने से पहले दिया जाता है। हल: A व B ₹50,000 व ₹70,000 लगाते हैं। A, जो कार्यकारी साझेदार है, प्रबंधन हेतु लाभ का 10% पाता है; शेष पूँजी अनुपात में बँटता है। कुल लाभ ₹24,000। शुल्क = ₹2,400, शेष ₹21,600 को 5 : 7 में बाँटें → एक भाग = 21600 ÷ 12 = ₹1,800 → A को ₹9,000 व B को ₹12,600। अतः A को 2400 + 9000 = ₹11,400 तथा B को ₹12,600 मिलते हैं (कुल ₹24,000 ✓)।
भिन्न समय पर जुड़ने वाले तीन साझेदार। A आरंभ में ₹12,000 लगाता है; B 3 माह बाद ₹16,000 के साथ जुड़ता है; C, B के 6 माह बाद ₹18,000 के साथ जुड़ता है। वर्षांत के ₹57,000 लाभ को बाँटें। पूँजी × माह: A = 12000 × 12 = 1,44,000; B = 16000 × 9 = 1,44,000; C = 18000 × 3 = 54,000। सभी को 18,000 से भाग दें → 8 : 8 : 3, अर्थात् 19 भाग, एक भाग = 57000 ÷ 19 = ₹3,000। अतः A ₹24,000, B ₹24,000, C ₹9,000 ✓।
औसत — भारित, क्रमागत व हरात्मक
औसत = कुल ÷ संख्या, अतः कुल = औसत × संख्या — और वास्तव में आप दूसरे रूप का ही प्रयोग करते हैं। लगभग हर औसत प्रश्न औसतों को कुल में बदलकर, कुल पर गणना करके, अंत में पुनः औसत में लौटकर हल होता है।
क्रमागत संख्याएँ। किसी भी समान अंतर वाली सूची के लिए औसत = (पहला + अंतिम)/2, जो मध्य पद भी है। अतः 1 से 50 तक का औसत (1 + 50)/2 = 25.5 है, तथा प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत (n + 1)/2। दो और याद रखने योग्य: प्रथम n विषम संख्याओं का औसत n होता है (1, 3, 5, 7, 9 का औसत 5 ✓) तथा प्रथम n सम संख्याओं का औसत n + 1 (2, 4, 6, 8, 10 का औसत 6 ✓)।
भारित औसत। भिन्न आकार के दो समूह मिलाने पर संयुक्त औसत (n₁a₁ + n₂a₂)/(n₁ + n₂) होता है। हल: 30 विद्यार्थियों का औसत 42 अंक व 20 विद्यार्थियों का 52। संयुक्त = (30 × 42 + 20 × 52)/50 = (1260 + 1040)/50 = 2300/50 = 46। ध्यान दें, यह सामान्य औसत 47 नहीं है — बड़ा समूह उत्तर को अपनी ओर खींचता है।
सदस्य बदलना। 8 व्यक्तियों का औसत भार 2.5 किग्रा बढ़ जाता है जब 65 किग्रा वाले व्यक्ति के स्थान पर नया व्यक्ति आता है। नए व्यक्ति का भार 65 + 8 × 2.5 = 85 किग्रा। तर्क: कुल भार 8 × 2.5 = 20 किग्रा बढ़ा, और यह पूरी वृद्धि दोनों व्यक्तियों का अंतर है। सदस्य जोड़ना भी इसी प्रकार चलता है — यदि 23 औसत वाली 10 संख्याओं में एक संख्या जोड़ने से औसत 25 हो जाए, तो नई संख्या 11 × 25 − 10 × 23 = 275 − 230 = 45 है।
क्रिकेट-औसत का प्रसिद्ध प्रश्न। एक बल्लेबाज़ अपनी 17वीं पारी में 85 रन बनाता है और इससे उसका औसत 3 बढ़ जाता है। नया औसत ज्ञात करें। 85 रन को नया औसत एक बार देना है और पहले की 16 पारियों में से प्रत्येक को 3 अतिरिक्त रन भी देने हैं, अतः नया औसत = 85 − 3 × 16 = 37। पूरी जाँच: पहले का औसत 34, 16 पारियों में = 544 रन; 544 + 85 = 629; 629 ÷ 17 = 37 ✓।
गलत प्रविष्टि सुधारना। 25 प्रेक्षणों का औसत 36 है, परंतु एक मान 48 को गलती से 23 पढ़ लिया गया। सही औसत? कुल में 48 − 23 = 25 की कमी थी, अतः औसत 25 ÷ 25 = 1 बढ़ता है → 37। पूरा योग दोबारा न करें; केवल कुल में हुआ परिवर्तन मायने रखता है।
मिश्रण व मिश्रानुपात — तिर्यक नियम
मिश्रानुपात भारित औसत को उलटा पढ़ना है: आपको माध्य व दोनों अवयव ज्ञात हैं, और अनुपात चाहिए। मिश्रानुपात का नियम कहता है सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा = (महँगा मूल्य − माध्य) : (माध्य − सस्ता मूल्य)। एक क्रॉस बनाएँ, दोनों मूल्य ऊपर के कोनों पर व माध्य बीच में रखें; प्रत्येक तिर्यक अंतर विपरीत मूल्य के नीचे आता है।
हल किया उदाहरण 1 — मूल्य। ₹40/किग्रा चावल को ₹60/किग्रा चावल के साथ किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹45/किग्रा का हो? अनुपात = (60 − 45) : (45 − 40) = 15 : 5 = 3 : 1। जाँच: ₹40 वाले तीन किग्रा व ₹60 वाला एक किग्रा मिलकर 4 किग्रा के 120 + 60 = ₹180, अर्थात् ₹45/किग्रा ✓। ध्यान दें, उत्तर सस्ते चावल की ओर झुका है, जैसा होना ही चाहिए, क्योंकि ₹45, ₹40 के अधिक निकट है।
हल किया उदाहरण 2 — निःशुल्क पानी। ₹36 प्रति लीटर वाले दूध में पानी किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹30 प्रति लीटर पर बिना हानि बेचा जा सके? पानी का मूल्य ₹0, अतः अनुपात = (36 − 30) : (30 − 0) = 6 : 30 = 1 : 5, अर्थात् एक लीटर पानी व पाँच लीटर दूध। जाँच: 5 लीटर दूध का मूल्य ₹180, और 6 लीटर मिश्रण ₹30 पर ₹180 देता है ✓।
| प्रश्न का प्रकार | कोनों पर क्या रखें | हल का परिणाम |
|---|---|---|
| दो मूल्य वाली वस्तुएँ मिलाना | दोनों दरें, बीच में माध्य दर | ₹40 व ₹60 से ₹45 → 3 : 1 |
| ज्ञात औसत वाले दो समूह | दोनों औसत, बीच में संयुक्त औसत | लड़के 70, लड़कियाँ 55, कक्षा 60, संख्या 45 → 15 लड़के, 30 लड़कियाँ |
| दो दरों पर उधार दी राशि | दोनों दरें, बीच में कुल दर | ₹5,000, 5% व 8% पर, ब्याज ₹340 → कुल 6.8% → ₹2,000 : ₹3,000 |
| लाभ हेतु मिलावट | शुद्ध वस्तु का मूल्य व पानी का 0, बीच में विक्रय-लागत | CP पर बेचकर 25% लाभ → पानी : दूध = 1 : 4 |
दो समूह वाली पंक्ति का अपना हल देखिए। 45 विद्यार्थियों की कक्षा का औसत अंक 60 है; लड़कों का औसत 70 व लड़कियों का 55। लड़के कितने? 70 व 55 पर 60 के लिए तिर्यक नियम: लड़के : लड़कियाँ = (60 − 55) : (70 − 60) = 5 : 10 = 1 : 2, अतः लड़के = 45 × 1/3 = 15 व लड़कियाँ = 30। जाँच: (15 × 70 + 30 × 55)/45 = (1050 + 1650)/45 = 2700/45 = 60 ✓। और ब्याज वाली पंक्ति: ₹5,000 कुछ 5% पर व कुछ 8% पर उधार देने से वर्ष भर में ₹340 मिलते हैं, अतः कुल दर 340/5000 × 100 = 6.8%; अनुपात = (8 − 6.8) : (6.8 − 5) = 1.2 : 1.8 = 2 : 3 → ₹2,000 व ₹3,000। जाँच: 100 + 240 = ₹340 ✓।
बार-बार प्रतिस्थापन। यदि किसी पात्र में x इकाई शुद्ध द्रव हो और y इकाई निकालकर उतना पानी मिला दिया जाए, तथा यह n बार किया जाए, तो शेष शुद्ध द्रव = x(1 − y/x)ⁿ। हल: 40 लीटर शुद्ध दूध के पात्र से 4 लीटर निकालकर पानी मिलाया जाता है, दो बार। शेष दूध = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × (0.9)² = 40 × 0.81 = 32.4 लीटर, अतः पानी = 7.6 लीटर और दूध : पानी = 81 : 19। पहली बार दूसरा चरण धीरे से करें: पहले प्रतिस्थापन के बाद पात्र में 36 ली दूध व 4 ली पानी है, और अब जब आप 4 ली मिश्रण निकालते हैं तो 3.6 ली दूध निकलता है, शेष 32.4 ली ✓।
मुख्य बिंदु
- विभाज्यता में भाज्य भाजकों को सहअभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें (24 = 8 × 3) और असामान्य नियम याद रखें: 7 के लिए अंतिम अंक का दुगुना घटाएँ, 13 के लिए 4 से गुणा कर जोड़ें, 11 के लिए एकांतर अंक-योग का अंतर लें।
- इकाई अंक: घात को 4 से भाग देकर चक्र पढ़ें; शेष 0 का अर्थ चक्र की अंतिम प्रविष्टि है। 0, 1, 5, 6 पर समाप्त होने वाले आधार कभी नहीं बदलते; 4 व 9 का चक्र 2 का है।
- n! के अंत के शून्य = n/5 + n/25 + n/125 + … अतः 100! के अंत में 24 शून्य और 50! में 12। पाँच गिनें, दस कभी नहीं, और पहले पद पर कभी न रुकें।
- "लघुत्तम संख्या" → उसे LCM से बनाएँ; "महत्तम संख्या" → HCF लें, और शेष समान पर अज्ञात हो तो अंतरों का। तथा दो संख्याओं के लिए, पहली × दूसरी = LCM × HCF।
- भिन्न ↔ प्रतिशत सारणी (1/2 = 50% … 1/12 = 8 1/3%) पर्चा संख्यात्मक भाग में सर्वाधिक लाभकारी कंठस्थ सामग्री है: यह 480 का 37.5% को एक ही चरण में 480 का 3/8 = 180 बना देती है।
- क्रमिक परिवर्तन = a + b + ab/100, जहाँ कमी ऋणात्मक; x% वृद्धि फिर x% कमी सदैव (x²/100)% की शुद्ध हानि है। "A, B से x% अधिक" ⇒ "B, A से 100x/(100 + x)% कम"।
- साझेदारी का लाभ पूँजी × समय के अनुपात में बँटता है, और कार्यकारी साझेदार अपना प्रबंधन शुल्क उस बँटवारे से पहले निकाल लेता है।
- समान दूरियों पर औसत चाल हरात्मक माध्य 2xy/(x + y) है — 60 व 40 से 48 आता है, 50 कभी नहीं। समान समय पर सामान्य औसत सही है।
- मिश्रानुपात: सस्ता : महँगा = (महँगा − माध्य) : (माध्य − सस्ता), और माध्य के निकट वाले पक्ष का हिस्सा बड़ा होता है। बार-बार प्रतिस्थापन के बाद मूल द्रव x(1 − y/x)ⁿ बचता है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
3⁶⁵ × 6⁵⁹ × 7⁷¹ का इकाई अंक क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — 4
प्रत्येक गुणनखंड अलग लें। 3⁶⁵: 65 ÷ 4 में शेष 1, अतः चक्र (3, 9, 7, 1) की पहली प्रविष्टि → 3। 6⁵⁹: 6 की प्रत्येक घात का अंत 6 पर होता है। 7⁷¹: 71 ÷ 4 में शेष 3, अतः (7, 9, 3, 1) की तीसरी प्रविष्टि → 3। अब केवल इकाई अंकों को गुणा करें: 3 × 6 = 18 → 8, फिर 8 × 3 = 24 → इकाई अंक 4।दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 12 तथा लघुत्तम समापवर्त्य 336 है। यदि एक संख्या 84 है, तो दूसरी संख्या है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — 48
दो संख्याओं के लिए, गुणनफल = LCM × HCF। अतः दूसरी संख्या = (12 × 336) ÷ 84 = 4032 ÷ 84 = 48। स्वतंत्र जाँच: HCF(84, 48) = 12 तथा LCM(84, 48) = 336 ✓। शीघ्र निष्कासन भी चलता है — HCF 12 को उत्तर विभाजित करना चाहिए, और 56 को 12 से भाग देने पर शेष बचता है।वह लघुत्तम संख्या ज्ञात करें जिसे 5, 6, 7 व 8 से भाग देने पर प्रत्येक बार शेष 3 आए।
उत्तर देखें
उत्तर: D — 843
चूँकि शेष हर बार समान है, संख्या = (कोई सामान्य गुणज) + 3। लघुत्तम ऐसी संख्या LCM(5, 6, 7, 8) + 3 है। LCM = 840, अतः संख्या 843 है। जाँच: 843 = 840 + 3, और 840 चारों से विभाज्य है, अतः प्रत्येक भाग में शेष ठीक 3 आता है। 423, 603 या 723 में कोई भी 840 के गुणज से 3 अधिक नहीं है।चीनी का मूल्य 25% बढ़ जाता है। एक परिवार अपना उपभोग कितने प्रतिशत घटाए ताकि चीनी पर उसका व्यय अपरिवर्तित रहे?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 20%
आवश्यक कमी = 100x/(100 + x) = (100 × 25)/125 = 20%। संख्याओं से जाँच: ₹40 प्रति किग्रा पर 1 किग्रा का व्यय ₹40; वृद्धि के बाद मूल्य ₹50, और 0.8 किग्रा का व्यय 50 × 0.8 = ₹40 — वही व्यय, और 0.8 किग्रा, 1 किग्रा से 20% कम है। 25% उत्तर देना मानक जाल है: 25% पुराने मूल्य पर था, कमी पुरानी मात्रा पर लगती है।एक लिपिक का वेतन पहले 20% बढ़ाया जाता है और फिर नए वेतन में 20% की कमी की जाती है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
1. वेतन अपने मूल मान पर लौट आता है।
2. शुद्ध रूप से 4% की कमी होती है।
कौन-सा/से सही है/हैं?उत्तर देखें
उत्तर: B — केवल 2
शुद्ध परिवर्तन = a + b + ab/100 लें, a = +20 व b = −20: 20 − 20 + (20 × −20)/100 = −4, अर्थात् 4% की कमी, अतः कथन 2 सही व कथन 1 गलत है। ₹5,000 पर जाँच: 5000 × 1.20 = ₹6,000, फिर 6000 × 0.80 = ₹4,800, जो ₹5,000 से ₹200 कम = 4% है। 20% की कटौती बड़ी राशि ₹6,000 पर लगी, इसीलिए दोनों परिवर्तन कट नहीं सकते।दो संख्याओं का अनुपात 3 : 5 है। यदि प्रत्येक में 9 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 2 : 3 हो जाता है। छोटी संख्या है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — 27
संख्याएँ 3x व 5x मानें। तब (3x + 9)/(5x + 9) = 2/3 → 3(3x + 9) = 2(5x + 9) → 9x + 27 = 10x + 18 → x = 9। संख्याएँ 27 व 45 हैं, अतः छोटी 27 है। जाँच: (27 + 9)/(45 + 9) = 36/54 = 2/3 ✓। ध्यान दें, 45 बड़ी संख्या है और 36 नया अंश है — दोनों भ्रमित करने के लिए छापे गए हैं।एक बल्लेबाज़ अपनी 17वीं पारी में 85 रन बनाता है और इससे उसका बल्लेबाज़ी औसत 3 रन बढ़ जाता है। 17वीं पारी के बाद उसका औसत क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — 37
युक्ति: नया औसत = रन − (वृद्धि × पिछली पारियों की संख्या) = 85 − 3 × 16 = 37। पूरी जाँच: पुराना औसत 37 − 3 = 34, 16 पारियों में अर्थात् 544 रन; 544 + 85 = 629; 629 ÷ 17 = 37 ✓। विकल्प 34 पुराना औसत है, और प्रश्न इसी जाल पर बना है।40 लीटर शुद्ध दूध वाले एक पात्र से 4 लीटर निकालकर उतना पानी मिला दिया जाता है। यह क्रिया एक बार और दोहराई जाती है। पात्र में कितना शुद्ध दूध शेष रहता है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — 32.4 लीटर
शेष दूध = x(1 − y/x)ⁿ = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × (0.9)² = 40 × 0.81 = 32.4 लीटर। चरणवार: पहले प्रतिस्थापन के बाद 36 ली दूध व 4 ली पानी है; उस मिश्रण से 4 ली निकालने पर 3.6 ली दूध निकलता है, शेष 32.4 ली। जाल 32 लीटर है, जो दूसरी बार भी पूरे 4 ली दूध गलती से निकाल देने पर मिलता है।