शोध प्रविधि II: केंद्रीय प्रवृत्ति और विचलनशीलता, सामान्य प्रायिकता वक्र, t-परीक्षण और अप्राचलिक परीक्षण, शक्ति विश्लेषण और प्रभाव आकार — हल सहित

इकाई 2 का सांख्यिकी खंड आरंभ होता है: "मनोविज्ञान में सांख्यिकी: केंद्रीय प्रवृत्ति और विचलनशीलता के माप। सामान्य प्रायिकता वक्र। प्राचलिक [t-परीक्षण] और अप्राचलिक परीक्षण [चिह्न परीक्षण, विलकॉक्सन चिह्नित कोटि परीक्षण, मान-व्हिटनी परीक्षण, क्रुस्कल-वालिस परीक्षण, फ़्रीडमैन]। शक्ति विश्लेषण। प्रभाव आकार।" इनमें से हर एक की परीक्षा संख्याओं के साथ होती है, अतः यह अध्याय हर एक को संख्याओं से हल करता है: माध्य, माध्यिका और बहुलक के संबंध, मानक विचलन और विचरण गुणांक, z- और T-अंक तथा सामान्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल, एक पूर्ण स्वतंत्र-प्रतिदर्श t-परीक्षण, यह नियम कि कौन-सा अप्राचलिक परीक्षण किस प्राचलिक का स्थान लेता है, हाथ से परिकलित एक मान-व्हिटनी U, शक्ति के चार निर्धारक, और अपने मानदंडों सहित कोहेन का d।

1. केंद्रीय प्रवृत्ति और विचलनशीलता

माध्य हर अंक का प्रयोग करता है और आगे की सांख्यिकी का आधार है, पर चरम अंकों से खिंचता है; माध्यिका (मध्य अंक, या 50वाँ शततमक) बाह्य-मानों का प्रतिरोध करती है और विषम आँकड़ों तथा क्रमिक मापनियों के अनुकूल है; बहुलक (सबसे अधिक बार आने वाला मान) नामित आँकड़ों हेतु एकमात्र औसत है। सममित वितरण में तीनों संपाती होते हैं। धनात्मक रूप से विषम वितरण में (दाईं ओर लंबी पूँछ, जैसे आय या प्रतिक्रिया-काल में) माध्य > माध्यिका > बहुलक; ऋणात्मक रूप से विषम में क्रम उलट जाता है। मध्यम विषम आँकड़ों हेतु पियर्सन का आनुभविक संबंध लागू होता है: बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य।

विचलनशीलता, हल सहित
विचलनशीलता का मापसूत्र / अर्थहल किया मान
परासउच्चतम − निम्नतमअंक 4, 6, 8, 10, 12: परास = 12 − 4 = 8
चतुर्थक विचलन (अर्ध-अंतर्चतुर्थक परास)Q = (Q₃ − Q₁) ÷ 2Q₁ = 30, Q₃ = 50: Q = 10
मानक विचलनσ = √[Σ(X − M)² ÷ N]अंक 4, 6, 8, 10, 12 (M = 8): विचलन² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40; σ² = 40 ÷ 5 = 8; σ ≈ 2.83
विचरण गुणांकCV = (σ ÷ M) × 100M = 40, σ = 8: CV = 20 प्रतिशत — भिन्न इकाइयों या माध्यों वाले मापों की परिवर्तिता की तुलना हेतु
⚠️ N या N − 1?
N से भाग देना हाथ में समूह का वर्णन करता है; N − 1 से भाग देना प्रतिदर्श से जनसंख्या प्रसरण का अनभिनत आकलन देता है और अनुमानात्मक परीक्षण यही प्रयोग करते हैं। प्रश्न पढ़कर देखिए कि कौन-सा पूछा गया है।

2. सामान्य प्रायिकता वक्र

सामान्य प्रायिकता वक्र घंटाकार, सममित और एकबहुलकीय है, केंद्र पर माध्य = माध्यिका = बहुलक; इसकी पूँछें अनंतस्पर्शी हैं (वे आधार-रेखा के निकट आती हैं पर कभी छूती नहीं); इसकी विषमता शून्य और ककुदता मध्यककुदी (β₂ = 3) है। अधिक नुकीला वक्र तुंगककुदी (β₂ > 3) है, अधिक चपटा चिपिटककुदी (β₂ < 3)। क्षेत्रफल: 68.26 प्रतिशत मामले माध्य के ±1σ के भीतर हैं, 95.44 प्रतिशत ±2σ के भीतर और 99.74 प्रतिशत ±3σ के भीतर; 34.13 प्रतिशत माध्य और +1σ के बीच हैं, और दोनों ओर 1.96σ ठीक 95 प्रतिशत घेरता है।

कच्चा अंक z = (X − M) ÷ σ द्वारा z-अंक बनता है, जिसका माध्य 0 और मानक विचलन 1 है; T-अंक ऋणात्मक और दशमलव हटाता है: T = 50 + 10z। हल: M = 50 और σ = 10 वाले परीक्षण पर 65 का अंक z = (65 − 50) ÷ 10 = 1.5 और T = 50 + 15 = 65 देता है; 40 का अंक z = −1 और T = 40 देता है। चूँकि वक्र का 84.13 प्रतिशत +1σ से नीचे है, +1 का z लगभग 84वाँ शततमक है। मनोविज्ञान में वक्र के उपयोग: अंकों को शततमकों और मानक अंकों में बदलना, वितरणों का सामान्यीकरण, किसी समूह को योग्यता-श्रेणियों में बाँटना, और पदों की सापेक्ष कठिनाई निर्धारित करना।

3. परिकल्पना परीक्षण और t-परीक्षण

परीक्षण तय करता है कि H₀ को अस्वीकार किया जाए या नहीं। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रथम प्रकार की त्रुटि है, प्रायिकता α (सार्थकता स्तर, प्रायः 0.05) के साथ; असत्य H₀ को बनाए रखना द्वितीय प्रकार की त्रुटि है, प्रायिकता β के साथ। t-परीक्षण माध्यों की तुलना तब करता है जब σ का आकलन प्रतिदर्श से होता है। यह अंतराल या अनुपात आँकड़े, लगभग सामान्यता, प्रेक्षणों की स्वतंत्रता और, स्वतंत्र समूहों हेतु, प्रसरण की समरूपता मानता है। स्वतंत्र-प्रतिदर्श t की df = n₁ + n₂ − 2 है; युग्मित (संबंधित) t की df = n − 1 युग्म; एक-प्रतिदर्श t की df = n − 1।

एक स्वतंत्र-प्रतिदर्श t-परीक्षण, चरण-दर-चरण
चरणहल उदाहरण: 10 के दो समूह, M₁ = 24, M₂ = 20, s₁ = s₂ = 4
संयुक्त मानक विचलनsₚ = √{[(9 × 16) + (9 × 16)] ÷ 18} = √16 = 4
अंतर की मानक त्रुटिSE = sₚ √(1/n₁ + 1/n₂) = 4 × √0.2 ≈ 4 × 0.447 = 1.79
tt = (24 − 20) ÷ 1.79 ≈ 2.24, df = 10 + 10 − 2 = 18 के साथ
निर्णयक्रांतिक t (द्वि-पुच्छीय, 0.05, df 18) = 2.10; 2.24 > 2.10, अतः H₀ अस्वीकार
प्रभाव आकारd = (24 − 20) ÷ 4 = 1.0, एक बड़ा प्रभाव

4. अप्राचलिक परीक्षण: कौन किसका स्थान लेता है

अप्राचलिक (वितरण-मुक्त) परीक्षण जनसंख्या के आकार के विषय में कोई मान्यता नहीं रखते, कोटियों या चिह्नों पर काम करते हैं, और क्रमिक आँकड़ों, छोटे प्रतिदर्शों और अत्यधिक विषम वितरणों के अनुकूल हैं। जब प्राचलिक मान्यताएँ वास्तव में लागू हों, तब वे अपने प्राचलिक समकक्षों से कुछ कम शक्तिशाली होते हैं। परीक्षा का मुख्य कौशल हर एक को उस प्राचलिक परीक्षण से सुमेलित करना है जिसका वह स्थान लेता है, जो दो बातों पर निर्भर करता है: कितने समूह, और क्या वे स्वतंत्र (भिन्न लोग) हैं या संबंधित (वही या सुमेलित लोग)।

प्रतिस्थापन नियम
अभिकल्पनाप्राचलिक परीक्षणअप्राचलिक विकल्पयह किसका प्रयोग करता है
दो संबंधित प्रतिदर्शयुग्मित t-परीक्षणचिह्न परीक्षणहर अंतर की केवल दिशा (+ या −); द्विपद परीक्षण
दो संबंधित प्रतिदर्शयुग्मित t-परीक्षणविलकॉक्सन चिह्नित कोटि परीक्षणहर अंतर की दिशा और आकार की कोटि; T = चिह्नित कोटियों का छोटा योग — चिह्न परीक्षण से अधिक शक्तिशाली
दो स्वतंत्र प्रतिदर्शस्वतंत्र-प्रतिदर्श t-परीक्षणमान-व्हिटनी U परीक्षणसभी अंकों की संयुक्त कोटियाँ; U = n₁n₂ + n₁(n₁ + 1) ÷ 2 − R₁
तीन या अधिक स्वतंत्र प्रतिदर्शएकमार्गी ANOVAक्रुस्कल-वालिस H परीक्षणसभी अंकों की संयुक्त कोटियाँ; H की तुलना k − 1 df वाले काई-वर्ग से
तीन या अधिक संबंधित प्रतिदर्शपुनरावृत्त-माप ANOVAफ़्रीडमैन परीक्षणस्थितियों के आर-पार हर सहभागी के भीतर कोटियाँ

मान-व्हिटनी हल। समूह A में n₁ = 4 और समूह B में n₂ = 5; जब सभी नौ अंकों को एक साथ कोटि दी जाती है, तो A की कोटियों का योग R₁ = 12 है। तब U₁ = (4 × 5) + (4 × 5) ÷ 2 − 12 = 20 + 10 − 12 = 18, और U₂ = n₁n₂ − U₁ = 20 − 18 = 2। परीक्षण सांख्यिकी छोटा वाला है, U = 2, जिसकी तुलना सारणीबद्ध क्रांतिक मान से होती है (छोटा U बड़ा अंतर दर्शाता है)। जाँच: कोटियाँ 1 से 9 का योग 45 है, अतः R₂ = 33, और U₂ = 20 + (5 × 6) ÷ 2 − 33 = 20 + 15 − 33 = 2।

🧠 दो प्रश्न निर्णय करते हैं
कितने समूह? वही लोग या भिन्न लोग? दो-भिन्न = मान-व्हिटनी; दो-वही = विलकॉक्सन (या चिह्न); अनेक-भिन्न = क्रुस्कल-वालिस; अनेक-वही = फ़्रीडमैन। "विलकॉक्सन" और "विदिन (within)" दोनों W से आरंभ होते हैं।

5. शक्ति विश्लेषण और प्रभाव आकार

शक्ति असत्य होने पर H₀ को अस्वीकार करने की प्रायिकता है: शक्ति = 1 − β। जैकब कोहेन ने कम से कम 0.80 की शक्ति (अतः β = 0.20) की अनुशंसा की। शक्ति बढ़ती है (1) बड़े प्रभाव आकार से, (2) बड़े प्रतिदर्श आकार से, (3) अधिक उदार α (0.01 के बजाय 0.05) से, (4) पूर्वानुमानित दिशा में एक-पुच्छीय परीक्षण से, और (5) कम त्रुटि प्रसरण (विश्वसनीय माप, पुनरावृत्त-माप अभिकल्पनाएँ) से। शक्ति विश्लेषण अध्ययन से पहले (प्रागनुभव) यह जानने हेतु प्रयुक्त होता है कि दिए गए α और शक्ति के साथ अपेक्षित प्रभाव का पता लगाने हेतु कितना प्रतिदर्श चाहिए, और बाद में किसी असार्थक परिणाम की व्याख्या हेतु।

प्रभाव आकार मापता है कि कोई अंतर या संबंध कितना बड़ा है, प्रतिदर्श आकार से स्वतंत्र — बहुत बड़ा प्रतिदर्श एक तुच्छ अंतर को भी "सार्थक" बना सकता है। कोहेन का d = (M₁ − M₂) ÷ sₚ, मानक-विचलन इकाइयों में माध्य-अंतर। कोहेन के मानदंड: d = 0.2 छोटा, 0.5 मध्यम, 0.8 बड़ा; r हेतु 0.1, 0.3 और 0.5; η² (ANOVA में व्याख्यायित प्रसरण का अनुपात) हेतु 0.01, 0.06 और 0.14। हल: एक चिकित्सा समूह 108 और एक नियंत्रण समूह 100 अंक पाता है, एक मापनी पर जिसका संयुक्त मानक विचलन 16 है, अतः d = 8 ÷ 16 = 0.5, एक मध्यम प्रभाव।

🎯 सार्थकता पर्याप्त क्यों नहीं
p बताता है कि यदि H₀ सत्य होती तो आँकड़े कितने आश्चर्यजनक होते; यह नहीं बताता कि प्रभाव कितना बड़ा या महत्त्वपूर्ण है। 10,000 सहभागियों के साथ 0.05 का d सार्थक और अर्थहीन है। इसीलिए प्रतिवेदन मानक हर परीक्षण के साथ प्रभाव आकार और विश्वास्यता अंतराल माँगते हैं।

मुख्य बिंदु

  • धनात्मक विषमता में माध्य > माध्यिका > बहुलक; बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य; CV = (σ ÷ M) × 100 मापनियों के आर-पार परिवर्तिता की तुलना करता है।
  • सामान्य वक्र ±1, ±2 और ±3σ के भीतर 68.26, 95.44 और 99.74 प्रतिशत रखता है; z = (X − M) ÷ σ और T = 50 + 10z।
  • स्वतंत्र t की df = n₁ + n₂ − 2 और युग्मित t की df = n − 1; प्रथम प्रकार की त्रुटि α है, द्वितीय β।
  • मान-व्हिटनी स्वतंत्र t का, विलकॉक्सन (और चिह्न परीक्षण) युग्मित t का, क्रुस्कल-वालिस एकमार्गी ANOVA का, और फ़्रीडमैन पुनरावृत्त-माप ANOVA का स्थान लेता है।
  • शक्ति = 1 − β, परंपरागत रूप से 0.80, और प्रभाव आकार, प्रतिदर्श आकार, α और एक-पुच्छीय परीक्षण से बढ़ती है; कोहेन का d = माध्य-अंतर ÷ संयुक्त मानक विचलन, 0.2, 0.5 और 0.8 छोटे, मध्यम और बड़े के रूप में।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 50 माध्य और 10 मानक विचलन वाले एक परीक्षण पर एक विद्यार्थी 65 अंक पाता है। विद्यार्थी का z-अंक क्या है? एक संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.5

    z = (X − M) ÷ σ = (65 − 50) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1.5। विद्यार्थी माध्य से डेढ़ मानक विचलन ऊपर है, और समतुल्य T-अंक 50 + 10 × 1.5 = 65 है।

  2. एक अवसाद-स्वास्थ्यलाभ मापनी पर एक चिकित्सा समूह का माध्य 108 और नियंत्रण समूह का 100 है; संयुक्त मानक विचलन 16 है। कोहेन का d क्या है? एक संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.5

    d = (M₁ − M₂) ÷ sₚ = (108 − 100) ÷ 16 = 8 ÷ 16 = 0.5, जिसे कोहेन मध्यम प्रभाव मानते हैं (0.2 छोटा, 0.5 मध्यम, 0.8 बड़ा)।

  3. एक शोधकर्ता प्रशिक्षण से पहले और बाद में उन्हीं सहभागियों की चिंता रेटिंग (क्रमिक) की तुलना करता है, और अंतर-अंक अत्यधिक विषम हैं। सबसे उपयुक्त परीक्षण है:

    1. मान-व्हिटनी U परीक्षण
    2. क्रुस्कल-वालिस H परीक्षण
    3. स्वतंत्र-प्रतिदर्श t-परीक्षण
    4. विलकॉक्सन चिह्नित कोटि परीक्षण
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — विलकॉक्सन चिह्नित कोटि परीक्षण

    क्रमिक, विषम आँकड़ों पर दो संबंधित मापन युग्मित t-परीक्षण के अप्राचलिक विकल्प की माँग करते हैं, जो विलकॉक्सन चिह्नित कोटि परीक्षण है। मान-व्हिटनी दो स्वतंत्र समूहों हेतु है और क्रुस्कल-वालिस तीन या अधिक स्वतंत्र समूहों हेतु।

  4. फ़्रीडमैन परीक्षण किसका अप्राचलिक समकक्ष है?

    1. पियर्सन का गुणनफल-आघूर्ण सहसंबंध
    2. पुनरावृत्त-माप (संबंधित-प्रतिदर्श) ANOVA
    3. स्वतंत्र-प्रतिदर्श t-परीक्षण
    4. स्वतंत्र समूहों वाला एकमार्गी ANOVA
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — पुनरावृत्त-माप (संबंधित-प्रतिदर्श) ANOVA

    फ़्रीडमैन तीन या अधिक स्थितियों के आर-पार हर सहभागी के भीतर अंकों को कोटि देता है, पुनरावृत्त-माप ANOVA का स्थान लेते हुए। क्रुस्कल-वालिस स्वतंत्र एकमार्गी ANOVA का, और मान-व्हिटनी स्वतंत्र t का स्थान लेता है।

  5. एक मान-व्हिटनी परीक्षण में समूह A (n₁ = 4) और समूह B (n₂ = 5) को एक साथ कोटि दी जाती है, और समूह A की कोटियों का योग 12 है। U (U₁ और U₂ में छोटा) का मान क्या है? एक संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    U₁ = n₁n₂ + n₁(n₁ + 1) ÷ 2 − R₁ = 20 + 10 − 12 = 18, और U₂ = n₁n₂ − U₁ = 20 − 18 = 2। सांख्यिकी छोटा मान है, U = 2। जाँच के लिए, R₂ = 45 − 12 = 33 और U₂ = 20 + 15 − 33 = 2।

  6. एक स्वतंत्र-प्रतिदर्श t-परीक्षण 12 के समूह की तुलना 15 के समूह से करता है। उसकी कितनी स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं? एक संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 25

    स्वतंत्र प्रतिदर्शों हेतु df = n₁ + n₂ − 2 = 12 + 15 − 2 = 25। आकलित हर समूह-माध्य हेतु एक स्वातंत्र्य कोटि घटती है।

  7. अन्य बातें समान रहने पर, निम्न में से कौन-से किसी परीक्षण की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ाते हैं? सभी सही विकल्प चुनिए।

    1. बड़ा प्रतिदर्श आकार
    2. मापों में अधिक त्रुटि प्रसरण
    3. बड़ा वास्तविक प्रभाव आकार
    4. α को 0.05 से 0.01 करना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बड़ा प्रतिदर्श आकार; C — बड़ा वास्तविक प्रभाव आकार

    शक्ति प्रतिदर्श आकार और प्रभाव आकार के साथ बढ़ती है। कठोर α (0.01) H₀ को अस्वीकार करना कठिन बनाता है और शक्ति घटाता है, और अधिक त्रुटि प्रसरण प्रभाव को धुँधला करता है और शक्ति घटाता है।

  8. धनात्मक रूप से विषम वितरण में तीनों औसतों का सामान्य क्रम है:

    1. माध्य > माध्यिका > बहुलक
    2. बहुलक > माध्यिका > माध्य
    3. माध्यिका > माध्य > बहुलक
    4. माध्य = माध्यिका = बहुलक
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य > माध्यिका > बहुलक

    दाईं लंबी पूँछ माध्य को सबसे अधिक ऊपर खींचती है, माध्यिका को कम, और बहुलक (शिखर) को सबसे कम, जिससे माध्य > माध्यिका > बहुलक होता है। ऋणात्मक विषमता में क्रम उलट जाता है, और तीनों केवल सममित वितरण में बराबर होते हैं।

  9. सामान्य वितरण में कितने प्रतिशत मामले माध्य और +1 मानक विचलन के बीच होते हैं? दो दशमलव स्थानों तक संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 34.13

    68.26 प्रतिशत मामले ±1σ के भीतर हैं, और वक्र सममित है, अतः उसका आधा — 34.13 प्रतिशत — माध्य और +1σ के बीच है।

  10. अभिकथन (A): एक सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम फिर भी एक नगण्य छोटे प्रभाव को प्रतिबिंबित कर सकता है। कारण (R): बहुत बड़े प्रतिदर्श के साथ मानक त्रुटि इतनी छोटी हो जाती है कि माध्यों के बीच छोटा-सा अंतर भी सार्थक परीक्षण सांख्यिकी देता है। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है

    दोनों सत्य हैं और R, A की व्याख्या करता है: सार्थकता मानक त्रुटि के माध्यम से प्रतिदर्श आकार पर निर्भर करती है, जबकि प्रभाव आकार नहीं — इसीलिए हर परीक्षण के साथ d जैसे प्रभाव आकार का प्रतिवेदन आवश्यक है।