Assertion (A): Kaiser's criterion retains only factors with eigenvalues greater than 1. Reason (R): With standardised variables each contributes a variance of 1, so a factor with an eigenvalue below 1 explains less variance than a single original variable. Choose the correct option.

Both A and R are true, and R is the correct explanation of A

Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A

शोध प्रविधि III: गुणनफल-आघूर्ण, कोटि-क्रम, आंशिक और बहु सहसंबंध; विशेष सहसंबंध — द्विपंक्तिक, बिंदु-द्विपंक्तिक, चतुष्कोष्ठी और फ़ाई; सरल और बहु समाश्रयण; और कारक विश्लेषण — हल सहित

इकाई 2 का दूसरा सांख्यिकी खंड कहता है: "सहसंबंधात्मक विश्लेषण: सहसंबंध [गुणनफल आघूर्ण, कोटि क्रम], आंशिक सहसंबंध, बहु सहसंबंध। विशेष सहसंबंध विधियाँ: द्विपंक्तिक, बिंदु द्विपंक्तिक, चतुष्कोष्ठी, फ़ाई गुणांक। समाश्रयण: सरल रैखिक समाश्रयण, बहु समाश्रयण। कारक विश्लेषण: मान्यताएँ, विधियाँ, घूर्णन और व्याख्या।" यहाँ के प्रश्न दो बातें परखते हैं — परिकलन, और हाथ में चरों के प्रकार हेतु सही गुणांक चुनना — अतः यह अध्याय एक पियर्सन r, एक स्पियरमैन ρ, एक आंशिक और एक बहु सहसंबंध, एक फ़ाई गुणांक और एक समाश्रयण समीकरण परिकलित करता है, ठीक-ठीक बताता है कि कौन-सा विशेष सहसंबंध किस प्रकार के चर-युग्म के अनुकूल है, और कारक विश्लेषण को उसकी मान्यताओं से लेकर घूर्णित भार-आव्यूह पढ़ने तक समझाता है।

1. गुणनफल-आघूर्ण और कोटि-क्रम सहसंबंध

पियर्सन का गुणनफल-आघूर्ण r दो अंतराल या अनुपात चरों के बीच रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा मापता है, −1 से 0 होते हुए +1 तक। विचलन रूप में r = Σxy ÷ √(Σx² × Σy²)। यह रैखिकता, समविषमता (हर X पर Y का समान फैलाव) और लगभग सामान्य वितरण मानता है, और परास-प्रतिबंध से घटता है। r², निर्धारण गुणांक, एक चर के प्रसरण का वह अनुपात है जिसकी व्याख्या दूसरा चर करता है। सहसंबंध अपने आप में कभी कारणता स्थापित नहीं करता — कोई तीसरा चर या उलटी कारणता उसकी व्याख्या कर सकती है।

हल: r = 6 ÷ √(10 × 6) = 6 ÷ √60 ≈ 0.77, और r² = 36 ÷ 60 = 0.60 — प्रसरण का 60 प्रतिशत साझा है
X	Y	x = X − 3	y = Y − 4	xy	x²	y²
1	2	−2	−2	4	4	4
2	4	−1	0	0	1	0
3	5	0	1	0	0	1
4	4	1	0	0	1	0
5	5	2	1	2	4	1
Σ = 15	Σ = 20	0	0	Σxy = 6	Σx² = 10	Σy² = 6

स्पियरमैन का कोटि-क्रम ρ कोटियों पर परिकलित पियर्सन r है, संक्षिप्त सूत्र ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)] के साथ, जहाँ d हर कोटि-युग्म का अंतर है। यह क्रमिक आँकड़ों और एकदिष्ट पर अरैखिक संबंधों के अनुकूल है। हल: दो निर्णायकों द्वारा कोटि दिए गए छह विद्यार्थियों का Σd² = 14 है, अतः ρ = 1 − (6 × 14) ÷ (6 × 35) = 1 − 84 ÷ 210 = 1 − 0.4 = 0.6। केंडल का τ संगत और असंगत युग्मों पर आधारित एक वैकल्पिक कोटि गुणांक है।

2. आंशिक और बहु सहसंबंध

आंशिक सहसंबंध तीसरे चर के प्रभाव को स्थिर रखकर (दोनों से हटाकर) दो चरों के बीच का सहसंबंध है: r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃) ÷ √[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)]। हल: यदि बुद्धि (1) और उपलब्धि (2) का सहसंबंध 0.6 है, और हर एक का सामाजिक-आर्थिक स्थिति (3) से 0.6, तो r₁₂.₃ = (0.6 − 0.36) ÷ √(0.64 × 0.64) = 0.24 ÷ 0.64 = 0.375 — मूल 0.6 का बड़ा भाग SES द्वारा वहन किया गया था। (अर्ध-आंशिक या भाग सहसंबंध तीसरे चर को दोनों में से केवल एक से हटाता है।)

बहु सहसंबंध R एक निकष और दो या अधिक पूर्वसूचकों के सर्वोत्तम रैखिक संयोजन के बीच का सहसंबंध है; यह 0 से 1 तक चलता है और R² निकष प्रसरण का वह अनुपात है जिसकी पूर्वसूचक संयुक्त रूप से व्याख्या करते हैं। दो पूर्वसूचकों हेतु R₁.₂₃ = √[(r₁₂² + r₁₃² − 2r₁₂r₁₃r₂₃) ÷ (1 − r₂₃²)]। हल: यदि निकष का दो ऐसे पूर्वसूचकों से सहसंबंध 0.3 और 0.4 है जो परस्पर असंबद्ध हैं (r₂₃ = 0), तो R² = 0.09 + 0.16 = 0.25 और R = 0.5। जब पूर्वसूचक सहसंबद्ध हों, तो R² वर्गित सहसंबंधों के योग से कम होता है क्योंकि वे पूर्वसूचक प्रसरण साझा करते हैं।

3. विशेष सहसंबंध: कौन-सा किन चरों के अनुकूल

विशेष सहसंबंध इसलिए हैं कि चर सदा सतत नहीं होते। निर्णायक भेद वास्तविक (सच्चे) द्विभाजन — ऐसा चर जिसके वास्तव में केवल दो मान हों, जैसे पुरुष/महिला के रूप में दर्ज लिंग या सही/ग़लत उत्तरित पद — और कृत्रिम द्विभाजन के बीच है, एक सतत और सामान्य रूप से वितरित चर जिसे दो में काटा गया है, जैसे किसी अंतर्निहित अंक पर उत्तीर्ण/अनुत्तीर्ण या "लंबा/नाटा"।

विशेष सहसंबंध
गुणांक	चर 1	चर 2	विशिष्ट उपयोग
बिंदु-द्विपंक्तिक (r_pb)	वास्तविक द्विभाजन	सतत	पद (सही/ग़लत) का कुल परीक्षण अंक से — पद विभेदन; यह केवल एक चर को 0/1 कोड करके पियर्सन r है
द्विपंक्तिक (r_b)	कृत्रिम द्विभाजन (अंतर्निहित सामान्य सातत्य)	सतत	कट-ऑफ़ पर उत्तीर्ण/अनुत्तीर्ण का चिंता अंकों से; वह r आकलित करता है जो द्विभाजित चर को सतत मापने पर मिलता; समान आँकड़ों हेतु सदा r_pb से बड़ा
चतुष्कोष्ठी (r_t)	कृत्रिम द्विभाजन	कृत्रिम द्विभाजन	दो परीक्षणों पर माध्यिका से ऊपर/नीचे; 2 × 2 सारणी से दो अंतर्निहित सामान्य चरों का सहसंबंध आकलित करता है
फ़ाई (φ)	वास्तविक द्विभाजन	वास्तविक द्विभाजन	लिंग का हाँ/ना उत्तरों से; सही/ग़लत अंकित दो पद — दो 0/1 चरों पर पियर्सन r

फ़ाई हल। कोष्ठों a = 30, b = 10 (ऊपरी पंक्ति) और c = 10, d = 30 (निचली पंक्ति) वाली 2 × 2 सारणी में φ = (ad − bc) ÷ √[(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)] = (900 − 100) ÷ √(40 × 40 × 40 × 40) = 800 ÷ 1,600 = 0.5। φ काई-वर्ग से χ² = Nφ² द्वारा संबंधित है, यहाँ 80 × 0.25 = 20। r के विपरीत, φ का अधिकतम मान 1 से कम होता है जब तक दोनों चर समान अनुपात में न बँटे हों।

🧠 "द्वि" का अर्थ एक; "चतुष्" का अर्थ दो

द्विपंक्तिक और बिंदु-द्विपंक्तिक हर एक में एक द्विभाजन (और एक सतत चर) है; चतुष्कोष्ठी और फ़ाई में दो द्विभाजन (चार-कोष्ठ सारणी)। फिर: कृत्रिम → द्विपंक्तिक या चतुष्कोष्ठी; वास्तविक → बिंदु-द्विपंक्तिक या फ़ाई।

4. सरल और बहु समाश्रयण

सरल रैखिक समाश्रयण न्यूनतम-वर्ग रेखा Y′ = a + bX से X द्वारा Y का पूर्वकथन करता है, जहाँ ढाल b = r(s_Y ÷ s_X) और अंतःखंड a = M_Y − bM_X। पूर्वकथन की सटीकता आकलन की मानक त्रुटि, s_Y√(1 − r²), द्वारा दी जाती है। हल: r = 0.6, s_Y = 10, s_X = 5, M_X = 20 और M_Y = 50 के साथ b = 0.6 × 2 = 1.2 और a = 50 − 1.2 × 20 = 26, अतः Y′ = 26 + 1.2X; X = 25 वाले व्यक्ति का पूर्वानुमानित अंक 26 + 30 = 56 है। आकलन की मानक त्रुटि 10 × √0.64 = 8 है।

बहु समाश्रयण कई पूर्वसूचकों से एक निकष का पूर्वकथन करता है: Y′ = a + b₁X₁ + b₂X₂ + … । मानकीकृत गुणांक (β भार) अन्य को स्थिर रखते हुए हर पूर्वसूचक का अनन्य योगदान दिखाते हैं, और R² संयुक्त रूप से व्याख्यायित प्रसरण। पूर्वसूचकों को एक साथ (युगपत), सिद्धांत द्वारा निर्धारित क्रम में (पदानुक्रमिक, R² में परिवर्तन परखते हुए), या सांख्यिकीय नियम द्वारा (चरणबद्ध) प्रविष्ट किया जा सकता है। बहुसंरेखता — पूर्वसूचकों का परस्पर उच्च सहसंबंध — भारों को अस्थिर बनाती है, और सहनशीलता तथा प्रसरण-स्फीति कारक से जाँची जाती है।

5. कारक विश्लेषण: मान्यताएँ, विधियाँ, घूर्णन और व्याख्या

कारक विश्लेषण चरण-दर-चरण
चरण	क्या किया जाता है
मान्यताएँ	अंतराल-स्तर के चर, रैखिक संबंध, पर्याप्त प्रतिदर्श (एक सामान्य नियम प्रति चर कम से कम 5–10 मामले और कुल 200 या अधिक), कारकीकरण हेतु पर्याप्त सहसंबंध — बार्टलेट का गोलीयता परीक्षण सार्थक और कैसर–मेयर–ओल्किन प्रतिचयन पर्याप्तता माप लगभग 0.6 से ऊपर — और कोई विलक्षणता नहीं।
निष्कर्षण विधियाँ	प्रमुख घटक (कुल प्रसरण का विश्लेषण), प्रमुख-अक्ष कारकीकरण (केवल साझा प्रसरण, विकर्ण पर सामुदायिकताएँ), अधिकतम संभाविता, और थर्स्टन की ऐतिहासिक केंद्रक विधि।
कितने कारक	कैसर की कसौटी (1 से बड़े आइगेन-मान), कैटेल का स्क्री परीक्षण ("कोहनी"), और समानांतर विश्लेषण।
घूर्णन	थर्स्टन की सरल संरचना (हर चर का एक कारक पर उच्च भार) तक पहुँचने हेतु। लांबिक घूर्णन — वैरिमैक्स (कैसर), क्वार्टिमैक्स, इक्वामैक्स — कारकों को असंबद्ध रखता है; तिर्यक घूर्णन — डायरेक्ट ऑब्लिमिन, प्रोमैक्स — उन्हें सहसंबद्ध होने देता है, जो मनोवैज्ञानिक संरचनाओं हेतु प्रायः अधिक यथार्थ है।
व्याख्या	भार किसी चर का कारक से सहसंबंध है (\|0.30\| या \|0.40\| और उससे ऊपर को प्रायः उल्लेखनीय माना जाता है); किसी चर की सामुदायिकता h² कारकों के आर-पार उसके वर्गित भारों का योग है; किसी कारक का आइगेन-मान चरों के नीचे वर्गित भारों का योग है; और किसी कारक द्वारा व्याख्यायित प्रसरण का प्रतिशत उसका आइगेन-मान ÷ चरों की संख्या × 100 है।

हल: लांबिक घूर्णन के बाद एक परीक्षण का शाब्दिक कारक पर भार 0.6 और तर्क कारक पर 0.5 है, अतः उसकी सामुदायिकता 0.36 + 0.25 = 0.61 है — उसके प्रसरण का 61 प्रतिशत साझा प्रसरण है, और 39 प्रतिशत अनन्य (विशिष्ट और त्रुटि)। यदि दस-चर विश्लेषण में दो कारकों में से पहले का आइगेन-मान 3.0 है, तो वह कुल प्रसरण का 3.0 ÷ 10 = 30 प्रतिशत समझाता है। अन्वेषणात्मक कारक विश्लेषण संरचना खोजता है; पुष्टिकारक कारक विश्लेषण पहले से निर्दिष्ट संरचना का परीक्षण करता है और संरचनात्मक समीकरण प्रतिरूपण के भीतर संगति सूचकांकों से आँका जाता है।

⚠️ सामुदायिकता बनाम आइगेन-मान

दोनों वर्गित भारों के योग हैं, भिन्न दिशाओं में। पंक्ति के आर-पार (एक चर, सभी कारक) = सामुदायिकता। स्तंभ के नीचे (एक कारक, सभी चर) = आइगेन-मान। तिर्यक घूर्णन एक कारक-सहसंबंध आव्यूह भी देता है; वैरिमैक्स कभी नहीं।

मुख्य बिंदु

पियर्सन r = Σxy ÷ √(Σx²Σy²) रैखिक साहचर्य मापता है और r² साझा प्रसरण; स्पियरमैन ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)] कोटियों पर काम करता है।
आंशिक सहसंबंध तीसरे चर को अन्य दोनों से हटाता है; बहु R एक निकष को पूर्वसूचकों के सर्वोत्तम संयोजन से सहसंबद्ध करता है, और असंबद्ध पूर्वसूचकों के साथ R² वर्गित r के योग के बराबर होता है।
बिंदु-द्विपंक्तिक: एक वास्तविक द्विभाजन और एक सतत चर; द्विपंक्तिक: एक कृत्रिम द्विभाजन; चतुष्कोष्ठी: दो कृत्रिम द्विभाजन; फ़ाई: दो वास्तविक द्विभाजन, φ = (ad − bc) ÷ √[(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)] के साथ।
समाश्रयण में b = r(s_Y ÷ s_X), a = M_Y − bM_X, और आकलन की मानक त्रुटि s_Y√(1 − r²) है; बहु समाश्रयण पूर्वसूचकों को भार देता है और बहुसंरेखता से प्रभावित होता है।
कारक विश्लेषण को पर्याप्त सहसंबंध (बार्टलेट, KMO) और प्रतिदर्श आकार चाहिए, आइगेन-मान या स्क्री से कारक निकालता है, सरल संरचना हेतु लांबिक (वैरिमैक्स) या तिर्यक (ऑब्लिमिन) घूर्णन करता है, और भार, सामुदायिकताएँ और आइगेन-मान पढ़ता है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

एक शोधकर्ता विद्यार्थियों के लिंग (पुरुष या महिला के रूप में दर्ज) का उनके सतत अभिक्षमता परीक्षण अंकों से सहसंबंध निकालना चाहता है। उपयुक्त गुणांक है:
1. चतुष्कोष्ठी सहसंबंध
2. बिंदु-द्विपंक्तिक सहसंबंध
3. फ़ाई गुणांक
4. द्विपंक्तिक सहसंबंध
उत्तर देखें
उत्तर: B — बिंदु-द्विपंक्तिक सहसंबंध
इस प्रकार दर्ज लिंग एक वास्तविक द्विभाजन है, और दूसरा चर सतत है: यह संयोजन बिंदु-द्विपंक्तिक r माँगता है। द्विपंक्तिक कृत्रिम द्विभाजन हेतु है, और चतुष्कोष्ठी तथा फ़ाई को दो द्विभाजन चाहिए।
अभ्यर्थियों को एक सामान्य रूप से वितरित योग्यता अंक पर कट-ऑफ़ द्वारा "उत्तीर्ण" या "अनुत्तीर्ण" वर्गीकृत किया जाता है, और इस वर्गीकरण का एक सतत चिंता अंक से सहसंबंध निकाला जाता है। उपयुक्त गुणांक है:
1. फ़ाई गुणांक
2. बिंदु-द्विपंक्तिक सहसंबंध
3. द्विपंक्तिक सहसंबंध
4. केंडल का टाउ
उत्तर देखें
उत्तर: C — द्विपंक्तिक सहसंबंध
सतत, सामान्य चर को काटकर बना उत्तीर्ण/अनुत्तीर्ण एक कृत्रिम द्विभाजन है; सतत दूसरे चर के साथ द्विपंक्तिक r लागू होता है, जो वह सहसंबंध आकलित करता है जो अंतर्निहित सातत्य दिखाता। बिंदु-द्विपंक्तिक वास्तविक द्विभाजनों हेतु है।
निम्न में से कौन-से गुणांक दो द्विभाजित चरों की 2 × 2 सारणी से परिकलित होते हैं? सभी सही विकल्प चुनिए।
1. फ़ाई गुणांक
2. चतुष्कोष्ठी सहसंबंध
3. द्विपंक्तिक सहसंबंध
4. स्पियरमैन का रो
उत्तर देखें
उत्तर: A — फ़ाई गुणांक; B — चतुष्कोष्ठी सहसंबंध
चतुष्कोष्ठी (दो कृत्रिम द्विभाजन) और फ़ाई (दो वास्तविक द्विभाजन) दोनों चार-कोष्ठ सारणी का प्रयोग करते हैं। द्विपंक्तिक एक द्विभाजन को सतत चर से जोड़ता है, और स्पियरमैन का रो कोटियों का प्रयोग करता है।
एक 2 × 2 सारणी में कोष्ठ बारंबारताएँ a = 30, b = 10, c = 10 और d = 30 हैं। फ़ाई गुणांक परिकलित कीजिए। एक संख्या लिखिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.5
φ = (ad − bc) ÷ √[(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)] = (900 − 100) ÷ √(40 × 40 × 40 × 40) = 800 ÷ 1,600 = 0.5।
छह विद्यार्थियों को दो निर्णायक कोटि देते हैं, और उनकी कोटियों के अंतरों के वर्गों का योग Σd² = 14 है। स्पियरमैन का कोटि-क्रम सहसंबंध क्या है? एक संख्या लिखिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.6
ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)] = 1 − (6 × 14) ÷ (6 × 35) = 1 − 84 ÷ 210 = 1 − 0.4 = 0.6।
चर 1 और 2 का सहसंबंध 0.6 है, और हर एक का चर 3 से सहसंबंध 0.6 है। आंशिक सहसंबंध r₁₂.₃ परिकलित कीजिए। तीन दशमलव स्थानों तक मान लिखिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.375
r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃) ÷ √[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)] = (0.6 − 0.36) ÷ √(0.64 × 0.64) = 0.24 ÷ 0.64 = 0.375। चर 3 को स्थिर रखने से साहचर्य 0.6 से घटकर 0.375 हो जाता है।
X पर Y के समाश्रयण में r = 0.6, Y का मानक विचलन 10, X का मानक विचलन 5, X का माध्य 20 और Y का माध्य 50 है। X = 25 वाले व्यक्ति का पूर्वानुमानित Y क्या है? एक संख्या लिखिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 56
b = r(s_Y ÷ s_X) = 0.6 × (10 ÷ 5) = 1.2; a = M_Y − bM_X = 50 − 1.2 × 20 = 26; Y′ = 26 + 1.2 × 25 = 26 + 30 = 56।
लांबिक घूर्णन के बाद एक परीक्षण का कारक I पर भार 0.6 और कारक II पर 0.5 है, और अन्य सभी पर नगण्य। उसकी सामुदायिकता (h²) क्या है? एक संख्या लिखिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.61
सामुदायिकता कारकों के आर-पार किसी चर के वर्गित भारों का योग है: 0.6² + 0.5² = 0.36 + 0.25 = 0.61। शेष 0.39 अनन्य प्रसरण (विशिष्ट और त्रुटि) है।
कौन-सी घूर्णन विधि निकाले गए कारकों को परस्पर सहसंबद्ध होने देती है?
1. क्वार्टिमैक्स
2. वैरिमैक्स
3. इक्वामैक्स
4. डायरेक्ट ऑब्लिमिन
उत्तर देखें
उत्तर: D — डायरेक्ट ऑब्लिमिन
डायरेक्ट ऑब्लिमिन (प्रोमैक्स की तरह) तिर्यक घूर्णन है, अतः कारक सहसंबद्ध हो सकते हैं। वैरिमैक्स, क्वार्टिमैक्स और इक्वामैक्स लांबिक हैं और कारकों को असंबद्ध रखते हैं।
अभिकथन (A): कैसर की कसौटी केवल 1 से बड़े आइगेन-मान वाले कारकों को रखती है। कारण (R): मानकीकृत चरों में हर एक 1 का प्रसरण देता है, अतः 1 से कम आइगेन-मान वाला कारक एक अकेले मूल चर से कम प्रसरण की व्याख्या करता है। सही विकल्प चुनिए।
1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है, पर R असत्य है
4. A असत्य है, पर R सत्य है
उत्तर देखें
उत्तर: A — A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
दोनों सत्य हैं और R, A की व्याख्या करता है: कोई कारक तभी रखने योग्य है जब वह एक चर से अधिक प्रसरण का सारांश दे, जो ठीक 1 से ऊपर का आइगेन-मान है।