तर्कशास्त्र III: परिमाणन और उसके नियम, स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ, दोष, और निगमन तथा आगमन

यह अध्याय इकाई 9 पूरी करता है। यह "Quantification and Rules of Quantification", "Axiomatic System, Consistency, Completeness", "informal and formal Fallacies" और "Differences between Deductive and Inductive Logic" लेता है। परिमाणन प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र को कथनों की आंतरिक संरचना तक विस्तारित करता है, ताकि "सभी मनुष्य मर्त्य हैं; सुकरात मनुष्य है; अतः सुकरात मर्त्य है" जैसी युक्तियाँ सिद्ध की जा सकें; चार परिमाणक-नियम और उनके प्रतिबंध सबसे अधिक परखा जाने वाला भाग हैं। स्वयंसिद्ध प्रणालियों को उस अवधारणात्मक स्तर पर लिया गया है जो पाठ्यक्रम माँगता है, संगति, पूर्णता, प्रामाणिकता और निर्णेयता के अधितार्किक गुणों सहित। दोषों का वर्गीकरण किया गया है, और अध्याय निगमन और आगमन के अंतर पर समाप्त होता है, एक सामान्य पाठ्यपुस्तकीय भूल को सुधारते हुए।

1. परिमाणन: सामान्य प्रतिज्ञप्तियों का प्रतीकीकरण

एकवचनी प्रतिज्ञप्ति किसी व्यक्ति के विषय में कुछ विधेय करती है: "सुकरात मनुष्य है" Hs है, विधेय के लिए बड़े अक्षर और व्यक्ति-अचर के लिए छोटे अक्षर (a से w) सहित। अचर के स्थान पर चर रखने से प्रतिज्ञप्ति-फलन Hx मिलता है, जो तब तक न सत्य है न असत्य जब तक चर को अचर से बदला न जाए या किसी परिमाणक से बद्ध न किया जाए। सार्वभौम परिमाणक (x), "हर x के लिए" पढ़ा जाता है, और अस्तित्व परिमाणक (∃x), "कम से कम एक x ऐसा है कि" पढ़ा जाता है, प्रतिज्ञप्ति-फलनों को सामान्य प्रतिज्ञप्तियों में बदलते हैं।

परिमाणक संकेतन में चार निरपेक्ष आकार
आकारकथनप्रतीकीकरण
Aसभी S, P हैं(x)(Sx ⊃ Px)
Eकोई S, P नहीं है(x)(Sx ⊃ ~Px)
Iकुछ S, P हैं(∃x)(Sx · Px)
Oकुछ S, P नहीं हैं(∃x)(Sx · ~Px)
⚠️ सार्वभौम के साथ ⊃, अस्तित्व के साथ ·
"सभी S, P हैं" (x)(Sx · Px) नहीं है, जो कहता है कि हर वस्तु S भी है और P भी। "कुछ S, P हैं" (∃x)(Sx ⊃ Px) नहीं है, जो तब सत्य है जब कोई भी वस्तु ऐसी हो जो S नहीं, क्योंकि असत्य पूर्ववर्ती वाला सापेक्ष सत्य होता है। सार्वभौम आकारों में अस्तित्वात्मक आशय नहीं, इसीलिए प्रतीकीकरण बूलीय चतुष्कोण से मेल खाता है: A और O, तथा E और I, व्याघाती हैं, और कुछ नहीं निकलता।

परिमाणक निषेध (QN) दोनों परिमाणकों को जोड़ता है: ~(x)Fx, (∃x)~Fx के तुल्य है ("हर वस्तु F नहीं" का अर्थ "कुछ F नहीं है"), और ~(∃x)Fx, (x)~Fx के तुल्य है ("कुछ भी F नहीं" का अर्थ "हर वस्तु अ-F है")। इसी प्रकार (x)Fx ≡ ~(∃x)~Fx और (∃x)Fx ≡ ~(x)~Fx। QN प्रतिस्थापन का नियम है और पंक्तियों के अंशों पर लागू हो सकता है।

2. परिमाणन के नियम और उनके प्रतिबंध

UI, EI, UG और EG
नियमआकारप्रतिबंध
सार्वभौम दृष्टांतीकरण (UI)(x)Fx ∴ Fa (या Fy)कोई नहीं: जो सब पर सत्य है वह किसी भी व्यक्ति पर सत्य है
अस्तित्व सामान्यीकरण (EG)Fa ∴ (∃x)Fxकोई नहीं: यदि कोई विशेष व्यक्ति F है, तो कुछ F है
अस्तित्व दृष्टांतीकरण (EI)(∃x)Fx ∴ Faअचर नया होना चाहिए: वह प्रमाण में (या निष्कर्ष में) पहले नहीं आ सकता, क्योंकि हम केवल यह जानते हैं कि कुछ F है, कौन-सा यह नहीं
सार्वभौम सामान्यीकरण (UG)Fy ∴ (x)Fxकेवल किसी यादृच्छिक चुने व्यक्ति के लिए प्रयुक्त चर से; कभी अचर से नहीं, और कभी EI से प्रस्तुत नाम से नहीं (न उसे मुक्त रखने वाली सापेक्ष-प्रमाण मान्यता के भीतर)
हल प्रमाण: सभी M, P हैं; कुछ S, M हैं; अतः कुछ S, P हैं (डारी)
पंक्तिकथनऔचित्य
1(x)(Mx ⊃ Px)आधार
2(∃x)(Sx · Mx)आधार
3Sa · Ma2 EI (a नया है)
4Ma ⊃ Pa1 UI
5Ma · Sa3 Com
6Ma5 Simp
7Pa4, 6 MP
8Sa3 Simp
9Sa · Pa8, 7 Conj
10(∃x)(Sx · Px)9 EG
  • क्रम महत्त्वपूर्ण है: EI पंक्ति 3 पर किया गया, पंक्ति 4 के UI से पहले। यदि हम सार्वभौम आधार को पहले a पर दृष्टांतित करते (Ma ⊃ Pa), तो अगले चरण पर EI फिर a का प्रयोग नहीं कर सकता, क्योंकि a नया नहीं रहता, और प्रमाण अटक जाता।
  • EI को नया नाम क्यों चाहिए: (∃x)Fx और (∃x)Gx से (∃x)(Fx · Gx) नहीं निकाला जा सकता। "कुछ सम है और कुछ विषम है" से "कुछ सम और विषम दोनों है" नहीं निकलता। प्रतिबंध इस गलत चरण को रोकता है, क्योंकि पहले आधार से Fa के बाद दूसरे पर EI को भिन्न अचर Gb प्रयोग करना होगा, और Fa · Gb कोई सामान्य दृष्टांत नहीं देता।
  • UG को यादृच्छिक व्यक्ति क्यों चाहिए: "सुकरात बुद्धिमान है" (Ws) से यह नहीं निकलता कि हर कोई बुद्धिमान है। UG की अनुमति केवल तब है जब तर्क किसी भी व्यक्ति के लिए चल जाता, जो तब सुनिश्चित है जब चर किसी सार्वभौम आधार से UI द्वारा प्रस्तुत किया गया हो, EI द्वारा या किसी विशिष्ट अचर के रूप में नहीं।

3. स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ: संगति, पूर्णता और संबद्ध गुण

स्वयंसिद्ध प्रणाली में एक आकारिक भाषा, स्वयंसिद्धियों का समूह (बिना प्रमाण स्वीकृत सूत्र) और अनुमान के नियम होते हैं; प्रमेय कोई भी ऐसा सूत्र है जो नियमों द्वारा स्वयंसिद्धियों से व्युत्पन्न हो सके। यूक्लिड की ज्यामिति शास्त्रीय प्रतिरूप है, और व्हाइटहेड तथा रसेल की प्रिंसिपिया मैथमैटिका (1910–13) ने तर्कशास्त्र के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली दी, प्रतिज्ञप्ति-कलन के लिए पाँच स्वयंसिद्धियों (बाद में चार तक घटाई जा सकने वाली, क्योंकि पॉल बर्नेज़ ने उनमें से एक को अनावश्यक सिद्ध किया) और विधायक विधि के नियम सहित। हिल्बर्ट और लुकासिएविच जैसी अन्य प्रणालियाँ भिन्न स्वयंसिद्धियाँ प्रयोग करती हैं पर वही प्रमेय सिद्ध करती हैं। दार्शनिक रूप से महत्त्वपूर्ण वे गुण हैं जो ऐसी प्रणाली में हो सकते हैं, जिनका अध्ययन अधितर्कशास्त्र में होता है।

आकारिक प्रणाली के अधितार्किक गुण
गुणपरिभाषाशास्त्रीय तर्कशास्त्र में स्थिति
संगतिकोई सूत्र और उसका निषेध दोनों प्रमेय नहीं; तुल्य रूप से, हर सूत्र सिद्ध-योग्य नहींप्रतिज्ञप्ति और प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र संगत हैं
प्रामाणिकताहर प्रमेय वैध है (पुनरुक्ति, या हर व्याख्या में सत्य)दोनों प्रामाणिक हैं
पूर्णता (अर्थगत)हर वैध सूत्र प्रमेय हैप्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र पूर्ण है (पोस्ट, 1921); प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र पूर्ण है (गोडेल, 1929–30)
स्वतंत्रताकोई स्वयंसिद्धि अन्य से व्युत्पन्न नहींमितव्ययिता का विषय, शुद्धता का नहीं
निर्णेयताकोई प्रभावी विधि है जो किसी भी सूत्र के विषय में बताए कि वह प्रमेय है या नहींप्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र निर्णेय है (सत्य-सारणियाँ); प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र अनिर्णेय है (चर्च और ट्यूरिंग, 1936)
⚠️ दो भिन्न "पूर्णता" परिणाम
गोडेल का पूर्णता प्रमेय (1929–30) कहता है कि प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र हर वैध सूत्र सिद्ध करता है। उनके अपूर्णता प्रमेय (1931) कुछ भिन्न कहते हैं: प्रारंभिक अंकगणित व्यक्त करने योग्य कोई भी संगत आकारिक प्रणाली ऐसे सत्य वाक्य रखती है जिन्हें वह सिद्ध नहीं कर सकती, और अपनी संगति सिद्ध नहीं कर सकती। पहला तर्कशास्त्र के बारे में है, दूसरा अंकगणित के बारे में; वे परस्पर विरोधी नहीं।

4. आकारिक और अनाकारिक दोष

आकारिक दोष वह युक्ति है जिसका आकार अवैध हो: प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र में अनुगामी की स्वीकृति और पूर्ववर्ती का निषेध; न्यायवाक्य में चतुष्पद, अव्याप्त हेतु, अवैध साध्य या पक्ष, निषेधात्मक आधार-वाक्य और अस्तित्वात्मक दोष। अनाकारिक दोष वह त्रुटि है जो केवल आकार में नहीं बल्कि युक्ति की सामग्री या संदर्भ में होती है, और जो कहा गया है उस पर ध्यान देकर पकड़ी जाती है। कोपी का वर्गीकरण अनाकारिक दोषों को उनके स्रोत के आधार पर समूहित करता है।

प्रकार के अनुसार अनाकारिक दोष
वर्गदोष
प्रासंगिकता: आधार-वाक्य निष्कर्ष से प्रासंगिक नहींबल का आश्रय (एड बैकुलम), दया का (एड मिसेरिकॉर्डियम), जनता का (एड पॉपुलम), व्यक्ति के विरुद्ध (एड होमिनेम, अपमानजनक या परिस्थितिजन्य), अनुचित प्रामाण्य का आश्रय (एड वेरेकुंडियम), अज्ञान का आश्रय (एड इग्नोरेंटियम), लाल हेरिंग, पुआल-पुरुष, अप्रासंगिक निष्कर्ष (इग्नोरेशियो एलेंकी)
दोषपूर्ण आगमन: आधार-वाक्य अत्यधिक दुर्बलत्वरित सामान्यीकरण (विलोम आकस्मिक), मिथ्या कारण (पोस्ट हॉक एर्गो प्रॉप्टर हॉक), फिसलन-ढलान, दुर्बल सादृश्य
पूर्वधारणा: अनुचित मान्यता निहितआकस्मिक, जटिल प्रश्न, प्रश्न को मान लेना (पेटिशियो प्रिंसिपी), मिथ्या द्विभाजन, छिपाया साक्ष्य
द्व्यर्थकता: अर्थ में परिवर्तनद्व्यर्थक प्रयोग, वाक्य-द्व्यर्थकता, स्वराघात, संघटन (जो अंशों पर सत्य वह पूर्ण पर), विभाजन (जो पूर्ण पर सत्य वह अंशों पर)
🧠 संघटन बनाम त्वरित सामान्यीकरण
संघटन किसी एक पूर्ण के अंशों से उस पूर्ण तक जाता है ("इस यंत्र का हर अंश हल्का है, अतः यंत्र हल्का है"); त्वरित सामान्यीकरण किसी वर्ग के कुछ सदस्यों से सब सदस्यों तक जाता है ("जिन दो विद्यार्थियों से मैं मिला वे अशिष्ट थे, अतः सब विद्यार्थी अशिष्ट हैं")। विभाजन संघटन का उलटा है, और आकस्मिक त्वरित सामान्यीकरण का।

5. निगमनात्मक और आगमनात्मक तर्कशास्त्र

निगमन और आगमन की तुलना
बिंदुनिगमनात्मकआगमनात्मक
दावानिष्कर्ष अनिवार्यता से निकलता हैनिष्कर्ष संभाव्य बनाया जाता है
मूल्यांकनवैध या अवैध (कोई मात्रा नहीं); सत्य आधार-वाक्यों सहित वैध हो तो प्रामाणिकसबल या दुर्बल (मात्रा का विषय); सत्य आधार-वाक्यों सहित सबल हो तो विश्वसनीय
सामग्रीअविस्तारी: निष्कर्ष कुछ ऐसा नहीं कहता जो आधार-वाक्यों में पहले से निहित न होविस्तारी: निष्कर्ष आधार-वाक्यों से आगे जाता है
आधार-वाक्य जोड़नावैध युक्ति को अवैध नहीं बना सकतायुक्ति को सबल या दुर्बल कर सकता है
उदाहरणन्यायवाक्य, MP और MT, गणितीय प्रमाणनमूनों से सामान्यीकरण, सादृश्य, मिल की विधियों से कारण-अनुमान (अन्वय, व्यतिरेक, संयुक्त विधि, अवशेष, सहचारी परिवर्तन)
⚠️ "सामान्य से विशेष" और "विशेष से सामान्य" नहीं
पुरानी परिभाषा, कि निगमन सामान्य से विशेष और आगमन विशेष से सामान्य की ओर जाता है, अशुद्ध है। "सभी मनुष्य मर्त्य हैं; सभी यूनानी मनुष्य हैं; अतः सभी यूनानी मर्त्य हैं" सामान्य निष्कर्ष वाला निगमन है; "सूर्य अब तक हर दिन उगा है; अतः कल उगेगा" विशेष निष्कर्ष वाला आगमन है। वास्तविक अंतर दावा किए गए समर्थन के प्रकार में है: अनिवार्यता या संभाव्यता। ह्यूम की आगमन-समस्या यह है कि आगमनात्मक चरण का कोई चक्रक-रहित औचित्य नहीं मिला।

मुख्य बिंदु

  • A: (x)(Sx ⊃ Px); E: (x)(Sx ⊃ ~Px); I: (∃x)(Sx · Px); O: (∃x)(Sx · ~Px)। QN: ~(x)Fx ≡ (∃x)~Fx और ~(∃x)Fx ≡ (x)~Fx।
  • UI और EG अप्रतिबंधित; EI को प्रमाण के लिए नया अचर चाहिए; UG केवल यादृच्छिक चुने व्यक्ति से, कभी अचर या EI-नाम से नहीं। एक ही नाम पर UI से पहले EI कीजिए।
  • स्वयंसिद्ध प्रणाली: स्वयंसिद्धियाँ, नियम, प्रमेय (प्रिंसिपिया मैथमैटिका)। संगति (p और ~p नहीं), प्रामाणिकता (प्रमेय वैध), पूर्णता (वैध सूत्र सिद्ध-योग्य), स्वतंत्रता, निर्णेयता; प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र संगत, पूर्ण और निर्णेय; प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र पूर्ण (गोडेल 1929–30) पर अनिर्णेय (चर्च, ट्यूरिंग 1936)।
  • आकारिक दोष अवैध आकार हैं; अनाकारिक दोष प्रासंगिकता, दोषपूर्ण आगमन, पूर्वधारणा और द्व्यर्थकता के हैं; संघटन (अंशों से पूर्ण) त्वरित सामान्यीकरण (कुछ सदस्यों से सब) से भिन्न है।
  • निगमन अनिवार्यता का दावा करता है (वैध या अवैध, अविस्तारी); आगमन संभाव्यता का (सबल या दुर्बल, विस्तारी); "सामान्य से विशेष" परिभाषा अशुद्ध है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. परिमाणक संकेतन में "सभी S, P हैं" का सही प्रतीकीकरण है:

    1. (x)(Sx ⊃ Px)
    2. (∃x)(Sx · Px)
    3. (x)(Sx · Px)
    4. (∃x)(Sx ⊃ Px)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (x)(Sx ⊃ Px)

    सार्वभौम A आकार सापेक्ष का प्रयोग करता है: हर वस्तु के लिए, यदि वह S है तो P है। (x)(Sx · Px) कहता है कि हर वस्तु S भी है और P भी, (∃x)(Sx · Px) I आकार है, और (∃x)(Sx ⊃ Px) तब भी सत्य है जब कोई भी वस्तु S न हो।

  2. अस्तित्व दृष्टांतीकरण (EI) पर कौन-सा प्रतिबंध लागू होता है?

    1. दृष्टांत-अचर पहले से किसी आधार में होना चाहिए
    2. EI केवल निष्कर्ष पर लागू हो सकता है
    3. EI केवल UG के बाद प्रयोग हो सकता है
    4. दृष्टांत-अचर प्रमाण में पहले नहीं आया होना चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — दृष्टांत-अचर प्रमाण में पहले नहीं आया होना चाहिए

    "कुछ F है" से हम नहीं जानते कि वह कौन-सी वस्तु है, अतः हमें उसे ऐसे अचर से नाम देना होगा जो उसके बारे में और कुछ न कहे: प्रमाण के लिए नया। पहले से प्रयुक्त अचर का प्रयोग यह मान्यता चुपके से ले आएगा कि F-वस्तु वही व्यक्ति है।

  3. परिमाणक निषेध से "~(x)Fx" किसके तुल्य है?

    1. (∃x)Fx
    2. (∃x)~Fx
    3. ~(∃x)Fx
    4. (x)~Fx
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — (∃x)~Fx

    "हर वस्तु F नहीं" का अर्थ है "कम से कम एक वस्तु F नहीं"। (x)~Fx और ~(∃x)Fx दोनों का अर्थ "कुछ भी F नहीं" है, जो अधिक प्रबल है।

  4. विचार कीजिए: 1. (∃x)Fx (आधार); 2. Fa (1, EI); 3. (x)Fx (2, UG)। पंक्ति 2 से पंक्ति 3 का चरण है:

    1. UG द्वारा वैध, क्योंकि a यादृच्छिक है
    2. अवैध, क्योंकि UG, EI द्वारा प्रस्तुत नाम पर सामान्यीकरण नहीं कर सकता
    3. वैध, पर केवल पारंपरिक व्याख्या में
    4. अवैध, क्योंकि EI को अचर पहले आया हुआ चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अवैध, क्योंकि UG, EI द्वारा प्रस्तुत नाम पर सामान्यीकरण नहीं कर सकता

    नाम a को EI ने किसी विशेष F के लिए प्रस्तुत किया, किसी यादृच्छिक व्यक्ति के लिए नहीं, अतः उस पर UG लागू नहीं हो सकता; अन्यथा "कुछ F है" से "हर वस्तु F है" सिद्ध हो जाता। EI को नया अचर चाहिए, पुराना नहीं, अतः अंतिम विकल्प प्रतिबंध को उलटा बताता है।

  5. "आप कर-सुधार के लिए उसका तर्क स्वीकार नहीं कर सकते: वह एक बार दिवालिया घोषित हुई थी।" यह कौन-सा दोष करता है?

    1. संघटन
    2. प्रश्न को मान लेना
    3. बल का आश्रय (एड बैकुलम)
    4. व्यक्ति के विरुद्ध तर्क (एड होमिनेम, अपमानजनक)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — व्यक्ति के विरुद्ध तर्क (एड होमिनेम, अपमानजनक)

    युक्ति तर्क के बजाय तर्ककर्ता के चरित्र या इतिहास पर प्रहार करती है, जो अपमानजनक एड होमिनेम है। न कोई धमकी है (एड बैकुलम), न चक्रीय आधार (प्रश्न को मान लेना) और न अंशों से पूर्ण तक अनुमान (संघटन)।

  6. अभिकथन (A): प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र निर्णेय है। कारण (R): प्रथम-कोटि विधेय-तर्कशास्त्र पूर्ण है। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है

    दोनों सत्य हैं, पर R, A की व्याख्या नहीं करता। प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र इसलिए निर्णेय है कि सत्य-सारणी विधि किसी भी सूत्र का सीमित चरणों में निर्णय कर देती है। प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र की पूर्णता (गोडेल, 1929–30) एक अलग परिणाम है, और प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र, पूर्ण होते हुए भी, अनिर्णेय है।

  7. अभिकथन (A): निगमनात्मक युक्तियाँ सदा सामान्य आधार-वाक्यों से विशेष निष्कर्षों की ओर जाती हैं। कारण (R): वैध निगमनात्मक युक्ति में आधार-वाक्यों का सत्य और निष्कर्ष का असत्य होना असंभव है। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — A असत्य है, पर R सत्य है

    A असत्य है: "सभी मनुष्य मर्त्य हैं; सभी यूनानी मनुष्य हैं; अतः सभी यूनानी मर्त्य हैं" सामान्य निष्कर्ष वाला निगमन है, अतः "सामान्य से विशेष" परिभाषा विफल है। R सत्य है: यह बताता है कि निगमनात्मक वैधता क्या है, जो निगमन का वास्तविक चिह्न है।

  8. निम्नलिखित में से कौन-से प्रासंगिकता के दोष हैं? सभी सही चुनिए।

    1. द्व्यर्थक प्रयोग
    2. पुआल-पुरुष
    3. जटिल प्रश्न
    4. बल का आश्रय (एड बैकुलम)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — पुआल-पुरुष; D — बल का आश्रय (एड बैकुलम)

    एड बैकुलम और पुआल-पुरुष निष्कर्ष से अप्रासंगिक आधार देते हैं (एक धमकी; विरोधी के मत का विकृत रूप)। द्व्यर्थक प्रयोग द्व्यर्थकता का दोष है और जटिल प्रश्न पूर्वधारणा का।

  9. शास्त्रीय प्रथम-कोटि विधेय-तर्कशास्त्र में निम्नलिखित में से कौन-से गुण हैं? सभी सही चुनिए।

    1. निर्णेयता
    2. पूर्णता
    3. संगति
    4. प्रामाणिकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — पूर्णता; C — संगति; D — प्रामाणिकता

    प्रथम-कोटि तर्कशास्त्र प्रामाणिक, संगत और पूर्ण है (गोडेल का पूर्णता प्रमेय, 1929–30), पर वह निर्णेय नहीं: चर्च और ट्यूरिंग ने 1936 में दिखाया कि कोई प्रभावी विधि सब प्रथम-कोटि सूत्रों की वैधता का निर्णय नहीं करती।

  10. युक्ति "p ⊃ q, r ⊃ s, ~q ∨ ~s ∴ ~p ∨ ~r" की संक्षिप्त सत्य-सारणी विधि से परीक्षा कीजिए। कितने मान-निर्धारण हर आधार को सत्य और निष्कर्ष को असत्य बनाते हैं? संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0

    शून्य। निष्कर्ष ~p ∨ ~r असत्य होने के लिए p = T और r = T। तब p ⊃ q सत्य होने से q = T, और r ⊃ s सत्य होने से s = T। पर तब ~q ∨ ~s, F ∨ F = F है, अतः तीसरा आधार असत्य है। कोई मान-निर्धारण प्रत्युदाहरण नहीं, अतः युक्ति (विनाशक द्विविधा) वैध है।