तर्कशास्त्र II: सत्यता-फलन, सत्य-सारणियाँ, संक्षिप्त सत्य-सारणी विधि और वैधता के प्रमाण

यह अध्याय पाठ्यक्रम के मद "Truth-Functions and Propositional Logic", "Symbolic Logic: Use of symbols", "Decision Procedures: Truth Table, Using Truth-Tables for testing the validity of arguments" और "Proving Validity, Argument and Argument-form" लेता है। यह इरविंग कोपी की इंट्रोडक्शन टु लॉजिक और सिंबॉलिक लॉजिक की संकेत-पद्धति का अनुसरण करता है, जिसका भारतीय विश्वविद्यालय पाठ्यक्रम प्रयोग करते हैं: निषेध के लिए ~, संयोजन के लिए ·, समावेशी वियोजन के लिए ∨, वस्तुगत आपादन के लिए ⊃ और वस्तुगत तुल्यता के लिए ≡। नीचे की हर सत्य-सारणी और हर प्रमाण पूरा हल किया गया है ताकि पंक्ति-दर-पंक्ति जाँचा जा सके, और प्रश्नोत्तरी परिभाषाएँ नहीं, गणनाएँ पूछती है।

1. प्रतीक और सत्यता-फलन

कोई संयुक्त कथन सत्यता-फलनात्मक है जब उसका सत्य-मान पूर्णतः उसके घटकों के सत्य-मानों से निर्धारित हो। प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र के पाँच संयोजक अपनी सत्य-सारणियों से परिभाषित होते हैं। विशेषकर सापेक्ष (कंडीशनल) पर ध्यान दीजिए: p ⊃ q ठीक एक स्थिति में असत्य है, जब p सत्य और q असत्य हो, और इसलिए जब भी p असत्य हो तब सत्य है। यह "वस्तुगत" सापेक्ष दैनिक "यदि... तो" से दुर्बल है, इसीलिए असत्य पूर्ववर्ती सापेक्ष को सत्य बना देता है।

पाँच संयोजकों की सत्य-सारणियाँ
pq~pp · qp ∨ qp ⊃ qp ≡ q
TTFTTTT
TFFFTFF
FTTFTTF
FFTFFTT
  • अनुवाद: "p जब तक q नहीं" p ∨ q है; "p केवल यदि q" p ⊃ q है; "p यदि q" q ⊃ p है; "p यदि और केवल यदि q" p ≡ q है; "न p न q" ~p · ~q है, तुल्य रूप से ~(p ∨ q); "p और q दोनों नहीं" ~(p · q) है।
  • मुख्य संयोजक: सबसे व्यापक क्षेत्र वाला संयोजक, जो पूरे का आकार निर्धारित करता है। ~(p · q) ⊃ r में मुख्य संयोजक ⊃ है; ~[(p · q) ⊃ r] में ~ है।
  • पुनरुक्ति, व्याघात, आकस्मिकता: कोई कथन-आकार पुनरुक्त है यदि हर पंक्ति में सत्य हो, स्व-व्याघाती यदि हर पंक्ति में असत्य हो, और अन्यथा आकस्मिक। दो आकार तार्किक रूप से तुल्य हैं जब उनका द्विसापेक्ष पुनरुक्ति हो, अर्थात् जब वे हर पंक्ति में सहमत हों।

2. निर्णय-विधि के रूप में सत्य-सारणियाँ

n भिन्न चरों वाले आकार की सत्य-सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, क्योंकि प्रत्येक चर स्वतंत्र रूप से सत्य या असत्य हो सकता है: 2 चर 4 पंक्तियाँ देते हैं, 3 चर 8, 4 चर 16, 5 चर 32। परिपाटी से पहला चर आधी पंक्तियों के खंडों में बदलता है, अगला चौथाई के खंडों में, और इसी प्रकार अंतिम तक, जो हर पंक्ति में बदलता है। चूँकि एक सीमित सारणी हर स्थिति का निर्णय कर देती है, सत्य-सारणियाँ प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र की निर्णय-विधि हैं: वे यांत्रिक रूप से और सीमित चरणों में तय करती हैं कि कोई आकार पुनरुक्त है या कोई युक्ति-आकार वैध है।

हल: p ⊃ q, ~p ∨ q और ~q ⊃ ~p के तुल्य है
pqp ⊃ q~p ∨ q~q ⊃ ~pq ⊃ p
TTTTTT
TFFFFT
FTTTTF
FFTTTT

p ⊃ q, ~p ∨ q और ~q ⊃ ~p के स्तंभ चारों पंक्तियों में सहमत हैं, अतः वे तार्किक रूप से तुल्य हैं (प्रतिस्थापन-नियम वस्तुगत आपादन और व्युत्क्रमण)। विलोम q ⊃ p पंक्ति 2 और 3 में भिन्न है, अतः कोई सापेक्ष अपने विलोम के तुल्य नहीं, और यही अनुगामी की स्वीकृति के दोष का स्रोत है।

हल वैधता-परीक्षा: विधायक विधि बनाम अनुगामी की स्वीकृति
pqp ⊃ q (आधार)विधायक विधि: आधार p, निष्कर्ष qअनुगामी की स्वीकृति: आधार q, निष्कर्ष p
TTTआधार T, T; निष्कर्ष Tआधार T, T; निष्कर्ष T
TFFएक आधार Fएक आधार F
FTTएक आधार Fआधार T, T; निष्कर्ष F: प्रत्युदाहरण
FFTएक आधार Fएक आधार F
ℹ️ परीक्षा एक वाक्य में
कोई युक्ति-आकार वैध है यदि और केवल यदि उसकी सत्य-सारणी में ऐसी कोई पंक्ति न हो जिसमें सब आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य हो। विधायक विधि में ऐसी कोई पंक्ति नहीं। अनुगामी की स्वीकृति में एक है, पंक्ति 3 (p असत्य, q सत्य), अतः वह अवैध है।

3. संक्षिप्त सत्य-सारणी विधि

पाँच चरों की पूरी सारणी में 32 पंक्तियाँ होती हैं। संक्षिप्त (परोक्ष) विधि इसके बजाय सीधे प्रत्युदाहरण बनाने का प्रयास करती है: निष्कर्ष को असत्य और हर आधार-वाक्य को सत्य मान दीजिए, फिर निकालिए कि चरों के मान क्या होने चाहिए। यदि संगत मान-निर्धारण बनता है, तो वह प्रत्युदाहरण है और युक्ति अवैध है। यदि हर प्रयास किसी चर को सत्य और असत्य दोनों होने के लिए विवश करता है, तो कोई प्रत्युदाहरण नहीं और युक्ति वैध है। जब निष्कर्ष एक से अधिक ढंग से असत्य हो सकता है, तो हर ढंग आज़माना होगा।

तीन हल परीक्षाएँ
युक्ति-आकारहलनिर्णय
p ⊃ q, q ⊃ r ∴ p ⊃ r (हेतुफलात्मक न्यायवाक्य)निष्कर्ष असत्य होने से p = T, r = F। p = T के साथ आधार p ⊃ q सत्य होने से q = T। r = F के साथ आधार q ⊃ r सत्य होने से q = F। q, T और F दोनों नहीं हो सकतावैध
p ∨ q, p ∴ ~qनिष्कर्ष असत्य होने से q = T। आधार p सत्य होने से p = T। तब p ∨ q = T ∨ T = T, अतः p = T, q = T के साथ हर आधार सत्य और निष्कर्ष असत्यअवैध (प्रत्युदाहरण p = T, q = T)
(p ⊃ q) · (r ⊃ s), p ∨ r ∴ q ∨ s (रचनात्मक द्विविधा)निष्कर्ष असत्य होने से q = F, s = F। पहला आधार सत्य होने से p ⊃ q और r ⊃ s सत्य, जिससे p = F और r = F। तब p ∨ r = F, अतः दूसरा आधार असत्यवैध
⚠️ समावेशी "या"
दूसरा उदाहरण इसलिए अवैध है कि ∨ समावेशी है: "p या q" तब सत्य है जब दोनों सत्य हों, अतः यह जानना कि p सत्य है q के बारे में कुछ नहीं बताता। वैध प्रतिरूप वियोजक न्यायवाक्य है, जो दूसरी दिशा में जाता है: p ∨ q और ~p से q निकालो। p ∨ q और p से ~q निकालना कभी-कभी वियोज्य की स्वीकृति कहलाता है।

4. वैधता सिद्ध करना: अनुमान और प्रतिस्थापन के नियम

अनेक चरों के लिए सत्य-सारणियाँ बोझिल हो जाती हैं, इसलिए वैधता एक आकारिक प्रमाण से भी दिखाई जाती है: कथनों का एक अनुक्रम, प्रत्येक या तो आधार-वाक्य या किसी नियम द्वारा पहले की पंक्तियों से व्युत्पन्न, जो निष्कर्ष पर समाप्त हो। युक्ति कथनों का समूह है; युक्ति-आकार कथन-चरों सहित उसका ढाँचा है, और दी गई युक्ति हर उस आकार का प्रतिस्थापन-उदाहरण है जिसमें वह बैठती है। कोपी की प्रणाली में अनुमान के नौ नियम हैं, जो केवल पूरी पंक्तियों पर लागू होते हैं, और प्रतिस्थापन के दस नियम, जो किसी पंक्ति के अंश को तार्किक रूप से तुल्य अभिव्यक्ति से बदलने की अनुमति देते हैं।

अनुमान के नौ नियम
नियमआकार
विधायक विधि (MP)p ⊃ q, p ∴ q
निषेधक विधि (MT)p ⊃ q, ~q ∴ ~p
हेतुफलात्मक न्यायवाक्य (HS)p ⊃ q, q ⊃ r ∴ p ⊃ r
वियोजक न्यायवाक्य (DS)p ∨ q, ~p ∴ q
रचनात्मक द्विविधा (CD)(p ⊃ q) · (r ⊃ s), p ∨ r ∴ q ∨ s
अवशोषण (Abs)p ⊃ q ∴ p ⊃ (p · q)
सरलीकरण (Simp)p · q ∴ p
संयोजन (Conj)p, q ∴ p · q
योग (Add)p ∴ p ∨ q
प्रतिस्थापन के दस नियम (प्रत्येक एक तार्किक तुल्यता बताता है)
नियमतुल्यता
डी मॉर्गन के प्रमेय (De M)~(p · q) ≡ (~p ∨ ~q); ~(p ∨ q) ≡ (~p · ~q)
क्रमविनिमय (Com)(p ∨ q) ≡ (q ∨ p); (p · q) ≡ (q · p)
साहचर्य (Assoc)[p ∨ (q ∨ r)] ≡ [(p ∨ q) ∨ r], और · के लिए भी
वितरण (Dist)[p · (q ∨ r)] ≡ [(p · q) ∨ (p · r)]; [p ∨ (q · r)] ≡ [(p ∨ q) · (p ∨ r)]
द्वि-निषेध (DN)p ≡ ~~p
व्युत्क्रमण (Trans)(p ⊃ q) ≡ (~q ⊃ ~p)
वस्तुगत आपादन (Impl)(p ⊃ q) ≡ (~p ∨ q)
वस्तुगत तुल्यता (Equiv)(p ≡ q) ≡ [(p ⊃ q) · (q ⊃ p)]; (p ≡ q) ≡ [(p · q) ∨ (~p · ~q)]
निर्यात (Exp)[(p · q) ⊃ r] ≡ [p ⊃ (q ⊃ r)]
पुनरुक्ति (Taut)p ≡ (p ∨ p); p ≡ (p · p)
हल प्रमाण: (P ∨ Q) ⊃ R, S ⊃ ~R, S ∴ ~P
पंक्तिकथनऔचित्य
1(P ∨ Q) ⊃ Rआधार
2S ⊃ ~Rआधार
3Sआधार
4~R2, 3 MP
5~(P ∨ Q)1, 4 MT
6~P · ~Q5 De M
7~P6 Simp
🎯 सरलीकरण को पंक्ति के अंश पर क्यों प्रयोग नहीं किया जा सकता
अनुमान के नियम वैध युक्ति-आकार हैं, इसलिए वे केवल पूरी पंक्तियों पर लागू होते हैं: (p · q) ⊃ r से पूर्ववर्ती को "सरल" करके p ⊃ r नहीं निकाला जा सकता, और वास्तव में वह अनुमान अवैध है (p सत्य, q असत्य, r असत्य लीजिए)। प्रतिस्थापन के नियम तुल्यताएँ हैं, इसलिए वे किसी पंक्ति के किसी भी अंश पर लागू हो सकते हैं। सापेक्ष प्रमाण (पूर्ववर्ती मान लो, अनुगामी व्युत्पन्न करो, मान्यता हटाओ) और परोक्ष प्रमाण (निष्कर्ष का निषेध मान लो और व्याघात व्युत्पन्न करो) प्रणाली का विस्तार करते हैं, और अनुगामी की स्वीकृति तथा पूर्ववर्ती के निषेध के आकारिक दोष ठीक MP और MT के अवैध हमशक्ल हैं।

मुख्य बिंदु

  • पाँच संयोजक: ~, ·, ∨ (समावेशी), ⊃ (केवल T ⊃ F में असत्य), ≡; "p केवल यदि q" p ⊃ q है, "p जब तक q नहीं" p ∨ q, "न p न q" ~p · ~q।
  • n चरों की सत्य-सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ (चार के लिए 16, पाँच के लिए 32); पुनरुक्ति, व्याघात और आकस्मिकता; हर पंक्ति में सहमति के रूप में तुल्यता; p ⊃ q, ~p ∨ q और ~q ⊃ ~p के बराबर है, पर q ⊃ p के नहीं।
  • कोई युक्ति-आकार वैध है यदि और केवल यदि कोई पंक्ति सब आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य न करे; अनुगामी की स्वीकृति पंक्ति p = F, q = T में विफल होती है।
  • संक्षिप्त सत्य-सारणी विधि: निष्कर्ष असत्य और आधार-वाक्य सत्य कीजिए; संगत मान-निर्धारण प्रत्युदाहरण है (अवैध), विवश व्याघात वैधता दिखाता है (HS और CD वैध; p ∨ q, p ∴ ~q अवैध)।
  • अनुमान के नौ नियम (MP, MT, HS, DS, CD, Abs, Simp, Conj, Add) पूरी पंक्तियों पर लागू होते हैं; प्रतिस्थापन के दस नियम (De M, Com, Assoc, Dist, DN, Trans, Impl, Equiv, Exp, Taut) अंशों पर; सापेक्ष और परोक्ष प्रमाण प्रणाली का विस्तार करते हैं।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. चार भिन्न चरों वाले कथन-आकार की पूरी सत्य-सारणी में कितनी पंक्तियाँ चाहिए? संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16

    प्रत्येक चर स्वतंत्र रूप से सत्य या असत्य हो सकता है, अतः n चर 2ⁿ पंक्तियाँ देते हैं: 2⁴ = 16। तीन चरों को 8 और पाँच को 32 चाहिए।

  2. वस्तुगत सापेक्ष p ⊃ q कब असत्य है?

    1. p और q दोनों असत्य हों
    2. p असत्य और q सत्य हो
    3. p सत्य और q असत्य हो
    4. p और q दोनों सत्य हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — p सत्य और q असत्य हो

    सापेक्ष ठीक एक पंक्ति में असत्य है, सत्य पूर्ववर्ती और असत्य अनुगामी। असत्य पूर्ववर्ती के साथ वह q जो भी हो सत्य है, और दोनों सत्य होने पर सत्य है।

  3. "p ⊃ q" और "~q" से "~p" का अनुमान किससे उचित ठहरता है?

    1. वियोजक न्यायवाक्य
    2. निषेधक विधि
    3. पूर्ववर्ती का निषेध
    4. विधायक विधि
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — निषेधक विधि

    निषेधक विधि अनुगामी का निषेध करके पूर्ववर्ती का निषेध करती है। विधायक विधि पूर्ववर्ती की स्वीकृति करती है; पूर्ववर्ती का निषेध (p ⊃ q और ~p से ~q) अवैध हमशक्ल है।

  4. डी मॉर्गन के प्रमेय से ~(p · q) किसके तार्किक रूप से तुल्य है?

    1. ~p ∨ ~q
    2. ~p · ~q
    3. p ∨ q
    4. ~p ⊃ q
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ~p ∨ ~q

    "p और q दोनों नहीं" तब तक सत्य है जब तक दोनों सत्य न हों, जो ठीक तब है जब कम से कम एक असत्य हो: ~p ∨ ~q। आकार ~p · ~q ("न... न") ~(p ∨ q) के तुल्य है, जो दूसरा डी मॉर्गन प्रमेय है।

  5. संक्षिप्त सत्य-सारणी विधि से निम्नलिखित में से कौन-सा युक्ति-आकार अवैध है?

    1. p ∨ q, ~p ∴ q
    2. p ⊃ q, q ⊃ r ∴ p ⊃ r
    3. p ⊃ q, ~p ∴ ~q
    4. p ⊃ q, ~q ∴ ~p
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — p ⊃ q, ~p ∴ ~q

    p ⊃ q, ~p ∴ ~q के लिए निष्कर्ष असत्य कीजिए (q = T) और आधार ~p सत्य (p = F); तब p ⊃ q, F ⊃ T = T है। सब आधार सत्य और निष्कर्ष असत्य, अतः अवैध (पूर्ववर्ती का निषेध)। अन्य तीन MT, DS और HS हैं; प्रत्येक में प्रत्युदाहरण बनाने का प्रयास व्याघात के लिए विवश करता है।

  6. अभिकथन (A): युक्ति-आकार "p ⊃ q, q ∴ p" अवैध है। कारण (R): सत्य निष्कर्ष वाली हर युक्ति वैध है। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — A सत्य है, पर R असत्य है

    A सत्य है: पंक्ति p = F, q = T दोनों आधार सत्य और निष्कर्ष असत्य करती है (अनुगामी की स्वीकृति)। R असत्य है: वैधता आकार का विषय है, और अवैध आकार के सत्य निष्कर्ष वाले उदाहरण हो सकते हैं; वैध युक्ति में जो नहीं हो सकता वह सत्य आधार-वाक्यों के साथ असत्य निष्कर्ष है।

  7. अभिकथन (A): (p · q) ⊃ p एक पुनरुक्ति है। कारण (R): n चरों की सत्य-सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है

    दोनों सत्य हैं, पर R, A की व्याख्या नहीं करता। (p · q) ⊃ p पुनरुक्त है क्योंकि पूर्ववर्ती केवल तब सत्य है जब p सत्य हो, अतः सापेक्ष कभी T ⊃ F नहीं हो सकता; यह चारों पंक्तियों में लागू है। पंक्ति-संख्या सत्य-सारणियों के बारे में सामान्य तथ्य है और यह कोई कारण नहीं देती कि यह विशेष आकार हर पंक्ति में सत्य क्यों है।

  8. निम्नलिखित में से कौन-से कथन-आकार पुनरुक्तियाँ हैं? सभी सही चुनिए।

    1. (p · ~p) ⊃ q
    2. p ⊃ (q ⊃ p)
    3. p ⊃ (p · q)
    4. (p ⊃ q) ⊃ p
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (p · ~p) ⊃ q; B — p ⊃ (q ⊃ p)

    p ⊃ (q ⊃ p) केवल तब असत्य है जब p सत्य और q ⊃ p असत्य हो, पर q ⊃ p केवल तब असत्य है जब p असत्य हो: असंभव, अतः यह पुनरुक्ति है। (p · ~p) ⊃ q का पूर्ववर्ती हर पंक्ति में असत्य है, अतः वह सदा सत्य है। (p ⊃ q) ⊃ p, p = F होने पर असत्य है (तब p ⊃ q, T है और पूरा T ⊃ F)। p ⊃ (p · q), p = T, q = F होने पर असत्य है।

  9. कोपी की प्रणाली में निम्नलिखित में से कौन-से प्रतिस्थापन के नियम (अनुमान के नियम नहीं) हैं? सभी सही चुनिए।

    1. व्युत्क्रमण (ट्रांसपोज़िशन)
    2. अवशोषण
    3. वियोजक न्यायवाक्य
    4. निर्यात
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — व्युत्क्रमण (ट्रांसपोज़िशन); D — निर्यात

    व्युत्क्रमण, (p ⊃ q) ≡ (~q ⊃ ~p), और निर्यात, [(p · q) ⊃ r] ≡ [p ⊃ (q ⊃ r)], तुल्यताएँ हैं और पंक्तियों के अंशों पर लागू हो सकते हैं। अवशोषण और वियोजक न्यायवाक्य अनुमान के नौ नियमों में हैं और केवल पूरी पंक्तियों पर लागू होते हैं।

  10. "(p ∨ q) ⊃ r" की पूरी सत्य-सारणी की कितनी पंक्तियों में कथन असत्य है? संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    सारणी में 2³ = 8 पंक्तियाँ हैं। सापेक्ष केवल तब असत्य है जब पूर्ववर्ती सत्य और अनुगामी असत्य हो, अतः r, F होना चाहिए (4 पंक्तियाँ) और p ∨ q, T। उन 4 पंक्तियों में p ∨ q केवल तब असत्य है जब p = F और q = F, अतः वह उनमें से 3 में सत्य है। कथन ठीक 3 पंक्तियों में असत्य है।