तर्कशास्त्र I: सत्य और वैधता, पद और प्रतिज्ञप्तियाँ, विचार के नियम, विरोध-चतुष्कोण और निरपेक्ष न्यायवाक्य

इकाई 9 आकारिक तर्कशास्त्र है, और उसकी परीक्षा समस्याएँ हल करके होती है, सिद्धांतों के नाम लेकर नहीं। यह अध्याय पारंपरिक (अरस्तूवादी) तर्कशास्त्र लेता है: सत्य और वैधता, वाच्यार्थ और लक्ष्यार्थ, प्रतिज्ञप्तियों का स्वरूप और वर्गीकरण, विचार के नियम, अपनी पारंपरिक और बूलीय दोनों व्याख्याओं में विरोध-चतुष्कोण, और निरपेक्ष न्यायवाक्य, संस्थान (मूड), आकृति, नियमों और उनके दोषों तथा वेन आरेख परीक्षा सहित। अध्याय का हर अनुमान हल करके दिखाया गया है और चरण-दर-चरण जाँचा जा सकता है। पेपर-1 के तर्क-अध्याय यही A, E, I, O आकार अभिवृत्ति-स्तर पर प्रस्तुत करते हैं; यहाँ उन्हें उस गहराई तक विकसित किया गया है जो दर्शन का प्रश्न-पत्र रखता है, प्रत्येक व्याख्या में वैध आकारों की गणना सहित। अगले दो अध्याय प्रतिज्ञप्ति-तर्कशास्त्र और परिमाणन लेते हैं।

1. सत्य और वैधता; वाच्यार्थ और लक्ष्यार्थ

सत्य और असत्य प्रतिज्ञप्तियों के होते हैं; वैधता और अवैधता निगमनात्मक युक्तियों की। निगमनात्मक युक्ति तब वैध है जब उसके आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य होना असंभव हो, उसके अंशों का वास्तविक सत्य जो भी हो; वैधता केवल आकार पर निर्भर है। सभी सत्य आधार-वाक्यों वाली वैध युक्ति प्रामाणिक (साउंड) है, और प्रामाणिक युक्ति का निष्कर्ष सत्य होना ही चाहिए। सत्य और वैधता का हर संयोग संभव है सिवाय एक के: वैध युक्ति के आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य नहीं हो सकता।

सत्य और वैधता: कौन-से संयोग संभव हैं
आधार-वाक्यनिष्कर्षवैध युक्ति?अवैध युक्ति?
सत्यसत्यसंभव (प्रामाणिक)संभव
सत्यअसत्यअसंभवसंभव
कम से कम एक असत्यसत्यसंभवसंभव
कम से कम एक असत्यअसत्यसंभवसंभव

वाच्यार्थ और लक्ष्यार्थ (डिनोटेशन और कोनोटेशन), जे. एस. मिल के पदों में, सामान्य पद के अर्थ के दो पक्ष हैं। "ग्रह" का वाच्यार्थ (विस्तार) उन वस्तुओं का समूह है जिन पर वह लागू होता है, बुध, शुक्र, पृथ्वी आदि; उसका लक्ष्यार्थ (गुणार्थ) उन गुणों का समूह है जो किसी वस्तु में उसके अंतर्गत आने के लिए होने चाहिए। व्युत्क्रम परिवर्तन का नियम कहता है कि लक्ष्यार्थ बढ़ने पर वाच्यार्थ घटता है या उतना ही रहता है, और विलोमतः: "प्राणी", "बौद्धिक प्राणी", "भारत में जन्मा बौद्धिक प्राणी" क्रमशः संकरे वर्गों के नाम हैं। "या उतना ही रहता है" की शर्त महत्त्वपूर्ण है, क्योंकि ऐसा गुण जोड़ना जो हर सदस्य में पहले से है (उदाहरण "शरीर वाला प्राणी") वाच्यार्थ को अपरिवर्तित छोड़ता है।

2. प्रतिज्ञप्तियाँ, व्याप्ति और विचार के नियम

प्रतिज्ञप्तियाँ संबंध (निरपेक्ष, सापेक्ष "यदि p तो q", वैकल्पिक "या तो p या q"), निश्चयता (वास्तविक, संभाव्य, अनिवार्य) और, निरपेक्ष प्रतिज्ञप्तियों के लिए, गुण (स्वीकारात्मक या निषेधात्मक) तथा परिमाण (सर्वव्यापी या अंशव्यापी) से वर्गीकृत होती हैं। चार मानक-आकार निरपेक्ष प्रतिज्ञप्तियों के नाम affirmo (मैं स्वीकार करता हूँ) और nego (मैं निषेध करता हूँ) के स्वरों से हैं। कोई पद किसी प्रतिज्ञप्ति में व्याप्त (डिस्ट्रिब्यूटेड) है जब प्रतिज्ञप्ति उस पद द्वारा नामित वर्ग के हर सदस्य का उल्लेख करे।

चार निरपेक्ष प्रतिज्ञप्तियाँ और उनके पदों की व्याप्ति
नामआकारपरिमाण और गुणउद्देश्य व्याप्त?विधेय व्याप्त?
Aसभी S, P हैंसर्वव्यापी स्वीकारात्मकहाँनहीं
Eकोई S, P नहीं हैसर्वव्यापी निषेधात्मकहाँहाँ
Iकुछ S, P हैंअंशव्यापी स्वीकारात्मकनहींनहीं
Oकुछ S, P नहीं हैंअंशव्यापी निषेधात्मकनहींहाँ
🧠 सर्वव्यापी उद्देश्य व्याप्त करते हैं, निषेधात्मक विधेय
तालिका को दो नियमों के रूप में पढ़िए। सर्वव्यापी प्रतिज्ञप्तियाँ (A, E) अपना उद्देश्य व्याप्त करती हैं; निषेधात्मक प्रतिज्ञप्तियाँ (E, O) अपना विधेय व्याप्त करती हैं। अतः E दोनों पद व्याप्त करता है, I कोई नहीं, A केवल उद्देश्य और O केवल विधेय। न्यायवाक्य का लगभग हर दोष व्याप्ति की विफलता है, अतः यह नियम-युग्म इकाई 9 का अधिकांश कार्य करता है।
  • तादात्म्य का नियम: जो है, वह है; A, A है। प्रतिज्ञप्ति-रूप में p ⊃ p।
  • व्याघात का नियम: कुछ भी (एक ही दृष्टि से एक ही समय) हो और न हो, दोनों नहीं हो सकता; ~(p · ~p)।
  • मध्य-परिहार का नियम: हर वस्तु या तो है या नहीं है; p ∨ ~p। लाइबनिज़ का पर्याप्त कारण का सिद्धांत कभी-कभी विचार के चौथे नियम के रूप में जोड़ा जाता है, पर वह आकारिक तर्कशास्त्र का नियम नहीं।

3. विरोध-चतुष्कोण: पारंपरिक और बूलीय

पारंपरिक चतुष्कोण के चार संबंध
संबंधयुग्मनियम
व्याघातीA और O; E और Iठीक एक सत्य: दोनों सत्य नहीं हो सकते और दोनों असत्य नहीं हो सकते
विपरीतA और Eदोनों सत्य नहीं हो सकते; दोनों असत्य हो सकते हैं
उपविपरीतI और Oदोनों असत्य नहीं हो सकते; दोनों सत्य हो सकते हैं
उपाश्रयणA से I; E से Oसत्य सर्वव्यापी से अंशव्यापी की ओर नीचे जाता है; असत्य अंशव्यापी से सर्वव्यापी की ओर ऊपर
पारंपरिक चतुष्कोण पर हल किए अनुमान
दिया गयाAEIO
A सत्यTF (विपरीत)T (उपाश्रित)F (व्याघाती)
E सत्यFTFT
I सत्यअनिर्धारितFTअनिर्धारित
O सत्यFअनिर्धारितअनिर्धारितT
A असत्यFअनिर्धारितअनिर्धारितT
E असत्यअनिर्धारितFTअनिर्धारित
I असत्यFTFT
O असत्यTFTF

"O असत्य" के लिए तालिका कैसे हल होती है: O का व्याघाती A सत्य होना चाहिए; A सत्य होने से उसका विपरीत E असत्य होता है; A सत्य अपने उपाश्रित I तक सत्य पहुँचाता है। हर अन्य पंक्ति इसी प्रकार हल होती है, व्याघाती से आरंभ करके, जो सदा निर्धारित होता है। पारंपरिक चतुष्कोण मानता है कि उद्देश्य-वर्ग के सदस्य हैं (अस्तित्वात्मक आशय)।

बूलीय (आधुनिक) व्याख्या सर्वव्यापी प्रतिज्ञप्तियों के लिए यह मान्यता छोड़ देती है: "सभी S, P हैं" का अर्थ केवल यह है कि "ऐसा कुछ नहीं जो S हो और P न हो", जो सत्य है यदि कोई S है ही नहीं ("सभी एकशृंगों का एक सींग है" रिक्त रूप से सत्य है)। अंशव्यापी प्रतिज्ञप्तियाँ अब भी अस्तित्व का दावा करती हैं ("कुछ S, P हैं" का अर्थ है कि कम से कम एक S है जो P है)। इस व्याख्या में केवल व्याघाती संबंध बचते हैं। विपरीतता, उपविपरीतता और उपाश्रयण सभी विफल होते हैं, क्योंकि S रिक्त होने पर A और E दोनों सत्य होते हैं और I तथा O दोनों असत्य। जो अनुमान उन पर निर्भर है, जैसे A से I, वह अस्तित्वात्मक दोष करता है। तात्कालिक अनुमानों में E और I का परिवर्तन, चारों का प्रतिवर्तन और A तथा O का प्रतिपरिवर्तन वैध रहते हैं; सीमित परिवर्तन (A से I) और सीमित प्रतिपरिवर्तन (E से O) केवल पारंपरिक रूप से वैध हैं।

4. निरपेक्ष न्यायवाक्य: संस्थान, आकृति, नियम और दोष

मानक-आकार निरपेक्ष न्यायवाक्य में तीन निरपेक्ष प्रतिज्ञप्तियाँ और ठीक तीन पद होते हैं, प्रत्येक दो बार प्रयुक्त: साध्य पद (P, निष्कर्ष का विधेय), पक्ष पद (S, निष्कर्ष का उद्देश्य) और हेतु पद (M, जो दोनों आधार-वाक्यों में आता है पर निष्कर्ष में नहीं)। P वाला साध्य आधार-वाक्य पहले लिखा जाता है। संस्थान (मूड) साध्य आधार-वाक्य, पक्ष आधार-वाक्य और निष्कर्ष के तीन अक्षर उसी क्रम में है; आकृति हेतु पद की स्थिति से निर्धारित होती है।

चार आकृतियाँ
आकृतिसाध्य आधार-वाक्यपक्ष आधार-वाक्यM की स्थिति
1M – PS – Mउद्देश्य, फिर विधेय
2P – MS – Mदोनों में विधेय
3M – PM – Sदोनों में उद्देश्य
4P – MM – Sविधेय, फिर उद्देश्य
न्यायवाक्य के नियम और उनके पकड़े दोष (बूलीय मानक)
नियमभंग होने पर दोष
1. ठीक तीन पद, एक ही अर्थ में प्रयुक्तचतुष्पद दोष
2. हेतु पद कम से कम एक बार व्याप्त होअव्याप्त हेतु
3. निष्कर्ष में व्याप्त पद अपने आधार-वाक्य में व्याप्त होअवैध साध्य (P), अवैध पक्ष (S)
4. दो निषेधात्मक आधार-वाक्यों वाला न्यायवाक्य नहींनिषेधात्मक आधार-वाक्य दोष
5. निषेधात्मक आधार-वाक्य निषेधात्मक निष्कर्ष माँगता है, और निषेधात्मक निष्कर्ष निषेधात्मक आधार-वाक्यनिषेधात्मक आधार-वाक्य से स्वीकारात्मक निष्कर्ष, या स्वीकारात्मक आधार-वाक्यों से निषेधात्मक निष्कर्ष
6. दो सर्वव्यापी आधार-वाक्यों से अंशव्यापी निष्कर्ष नहीं (केवल बूलीय)अस्तित्वात्मक दोष
  • हल, अव्याप्त हेतु: "सभी कुत्ते स्तनधारी हैं; सभी बिल्लियाँ स्तनधारी हैं; अतः सभी बिल्लियाँ कुत्ते हैं" AAA-2 (P–M, S–M) है। हेतु पद "स्तनधारी" दो A प्रतिज्ञप्तियों का विधेय है और किसी में व्याप्त नहीं, अतः नियम 2 विफल।
  • हल, अवैध साध्य: "सभी M, P हैं; कोई S, M नहीं है; अतः कोई S, P नहीं है" AEE-1 है। निष्कर्ष (E) P को व्याप्त करता है, पर साध्य आधार-वाक्य (A) में P विधेय है और अव्याप्त, अतः साध्य पद के लिए नियम 3 विफल।
  • हल, अवैध पक्ष: "सभी M, P हैं; सभी M, S हैं; अतः सभी S, P हैं" AAA-3 है। निष्कर्ष (A) S को व्याप्त करता है, पर पक्ष आधार-वाक्य (A) में S विधेय है और अव्याप्त, अतः पक्ष पद के लिए नियम 3 विफल। (निष्कर्ष को "कुछ S, P हैं" तक दुर्बल करने पर डाराप्ति, AAI-3, मिलता है, जो केवल पारंपरिक रूप से वैध है।)
पंद्रह अनिरपेक्ष रूप से वैध आकार (बूलीय) और नौ सापेक्ष रूप से वैध (केवल पारंपरिक)
आकृतिअनिरपेक्ष रूप से वैधकेवल अस्तित्वात्मक आशय से वैध
1AAA बारबरा, EAE सेलारेंट, AII डारी, EIO फ़ेरियोAAI बारबारी, EAO सेलारॉन्ट
2EAE सेसारे, AEE कामेस्ट्रेस, EIO फ़ेस्टिनो, AOO बारोकोEAO सेसारो, AEO कामेस्ट्रोस
3IAI डिसामिस, AII डाटिसी, OAO बोकार्डो, EIO फ़ेरिसोनAAI डाराप्ति, EAO फ़ेलाप्टॉन
4AEE कामेनेस, IAI डिमारिस, EIO फ़्रेसिसोनAAI बामालिप, AEO कालेमोस, EAO फ़ेसापो

गणना: प्रत्येक आधार-वाक्य और निष्कर्ष A, E, I या O हो सकता है, अतः 4 × 4 × 4 = 64 संस्थान हैं, और चार आकृतियों के साथ 64 × 4 = 256 मानक आकार। इनमें से 15 बूलीय व्याख्या में वैध हैं (आकृति-वार 4 + 4 + 4 + 3) और 24 पारंपरिक व्याख्या में, अतिरिक्त 9 वे "दुर्बलीकृत" और "सबलीकृत" आकार हैं जो सर्वव्यापी आधार-वाक्यों से अंशव्यापी निष्कर्ष निकालते हैं और केवल तभी वैध हैं जब संबंधित वर्ग अरिक्त हो।

ℹ️ वेन आरेख परीक्षा
S, P और M के लिए तीन परस्पर व्यापी वृत्त बनाइए। पहले सर्वव्यापी आधार-वाक्य अंकित कीजिए: उस क्षेत्र को छायांकित कीजिए जिसे वह रिक्त बताता है ("सभी M, P हैं" के लिए M का वह भाग जो P के बाहर है)। फिर अंशव्यापी आधार-वाक्य अंकित कीजिए: जिस क्षेत्र को वह भरा बताता है उसमें X रखिए, और यदि आधार-वाक्य उस क्षेत्र को एक रेखा से बँटा छोड़ें, तो X रेखा पर रखिए। न्यायवाक्य वैध है यदि और केवल यदि आधार-वाक्यों के अंकन ने निष्कर्ष को पहले ही अंकित कर दिया हो। बारबरा के लिए P के बाहर वाले M और M के बाहर वाले S को छायांकित करने पर P के बाहर वाला पूरा S छायांकित हो जाता है, जो ठीक "सभी S, P हैं" है।

मुख्य बिंदु

  • वैधता आकार का विषय है: वैध युक्ति के आधार-वाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य नहीं हो सकते; प्रामाणिक युक्ति सत्य आधार-वाक्यों वाली वैध युक्ति है। लक्ष्यार्थ और वाच्यार्थ व्युत्क्रम रूप से बदलते हैं (लक्ष्यार्थ बढ़ने पर वाच्यार्थ घटता या उतना ही रहता है)।
  • A, S को व्याप्त करता है; E, S और P दोनों को; I किसी को नहीं; O, P को। विचार के नियम: तादात्म्य (p ⊃ p), व्याघात ~(p · ~p), मध्य-परिहार (p ∨ ~p)।
  • पारंपरिक चतुष्कोण: व्याघाती (A–O, E–I), विपरीत (A–E), उपविपरीत (I–O), उपाश्रयण (A→I, E→O)। बूलीय चतुष्कोण: केवल व्याघाती बचते हैं; A से I अस्तित्वात्मक दोष है।
  • संस्थान क्रम में तीन अक्षर है; आकृति M की स्थिति है (1: M–P, S–M; 2: P–M, S–M; 3: M–P, M–S; 4: P–M, M–S)। नियम: तीन पद, हेतु व्याप्त, कोई अवैध प्रक्रिया नहीं, दो निषेधात्मक नहीं, निषेधात्मक भीतर तो निषेधात्मक बाहर, कोई अस्तित्वात्मक दोष नहीं।
  • 256 आकार (64 संस्थान × 4 आकृतियाँ); बूलीय व्याख्या में 15 वैध, पारंपरिक रूप से 24; बारबरा AAA-1, सेलारेंट EAE-1, डारी AII-1, फ़ेरियो EIO-1; वैध यदि आधार-वाक्यों का वेन आरेख पहले ही निष्कर्ष दिखाए।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. कौन-सी निरपेक्ष प्रतिज्ञप्ति अपने उद्देश्य और विधेय दोनों को व्याप्त करती है?

    1. O (कुछ S, P नहीं हैं)
    2. I (कुछ S, P हैं)
    3. A (सभी S, P हैं)
    4. E (कोई S, P नहीं है)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — E (कोई S, P नहीं है)

    E सर्वव्यापी है, अतः अपना उद्देश्य व्याप्त करता है, और निषेधात्मक है, अतः अपना विधेय व्याप्त करता है। A केवल उद्देश्य, O केवल विधेय, और I कोई नहीं व्याप्त करता।

  2. "कोई M, P नहीं है। कुछ S, M हैं। अतः कुछ S, P नहीं हैं।" संस्थान और आकृति क्या हैं?

    1. EIO-1 (फ़ेरियो)
    2. EIO-4 (फ़्रेसिसोन)
    3. EIO-2 (फ़ेस्टिनो)
    4. EIO-3 (फ़ेरिसोन)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — EIO-1 (फ़ेरियो)

    आधार-वाक्य E, I और निष्कर्ष O है, अतः संस्थान EIO है। M साध्य आधार-वाक्य का उद्देश्य (M–P) और पक्ष का विधेय (S–M) है, जो पहली आकृति है: फ़ेरियो। EIO चारों आकृतियों में वैध है, इसलिए आकृति M की स्थिति से पढ़नी चाहिए।

  3. "सभी M, P हैं। कोई S, M नहीं है। अतः कोई S, P नहीं है।" यह न्यायवाक्य कौन-सा दोष करता है?

    1. निषेधात्मक आधार-वाक्य दोष
    2. अव्याप्त हेतु
    3. अवैध साध्य
    4. अवैध पक्ष
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — अवैध साध्य

    यह AEE-1 है। निष्कर्ष, एक E प्रतिज्ञप्ति, P को व्याप्त करता है; साध्य आधार-वाक्य, एक A प्रतिज्ञप्ति, में P विधेय है और इसलिए अव्याप्त। निष्कर्ष में व्याप्त पर अपने आधार-वाक्य में अव्याप्त पद अवैध प्रक्रिया है, यहाँ साध्य पद की। M साध्य आधार-वाक्य में व्याप्त है, और केवल एक आधार-वाक्य निषेधात्मक है।

  4. पारंपरिक विरोध-चतुष्कोण पर यदि "कुछ S, P नहीं हैं" (O) असत्य है, तो:

    1. A अनिर्धारित, E असत्य और I सत्य है
    2. A असत्य, E सत्य और I असत्य है
    3. A सत्य, E अनिर्धारित और I सत्य है
    4. A सत्य, E असत्य और I सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — A सत्य, E असत्य और I सत्य है

    O असत्य होने से उसका व्याघाती A सत्य होता है। A सत्य होने से उसका विपरीत E असत्य होता है (विपरीत दोनों सत्य नहीं हो सकते) और उसका उपाश्रित I सत्य होता है (सत्य नीचे जाता है)। अतः A सत्य, E असत्य, I सत्य: सब निर्धारित है।

  5. अभिकथन (A): किसी पद का लक्ष्यार्थ बढ़ाने से सामान्यतः उसका वाच्यार्थ घटता है, या अपरिवर्तित रहता है। कारण (R): किसी पद का लक्ष्यार्थ उन वस्तुओं का समूह है जिन पर पद लागू होता है। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — A सत्य है, पर R असत्य है

    A सत्य है: यह व्युत्क्रम परिवर्तन का नियम है, इस शर्त के साथ कि वाच्यार्थ उतना ही रह सकता है। R असत्य है: पद जिन वस्तुओं पर लागू होता है उनका समूह उसका वाच्यार्थ (विस्तार) है; उसका लक्ष्यार्थ (गुणार्थ) उन गुणों का समूह है जो सदस्यता निर्धारित करते हैं।

  6. अभिकथन (A): पारंपरिक चतुष्कोण पर उपविपरीत दोनों असत्य हो सकते हैं। कारण (R): समान उद्देश्य और विधेय वाली I और O प्रतिज्ञप्तियाँ उपविपरीत हैं। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — A असत्य है, पर R सत्य है

    A असत्य है: उपविपरीत दोनों असत्य नहीं हो सकते, यद्यपि दोनों सत्य हो सकते हैं। यदि I असत्य होता, तो उसका व्याघाती E सत्य होता और E का उपाश्रित O सत्य, अतः O भी असत्य नहीं हो सकता। R सत्य है: I और O उपविपरीत युग्म हैं।

  7. निम्नलिखित में से कौन-से न्यायवाक्य आकार बूलीय व्याख्या में वैध हैं? सभी सही चुनिए।

    1. AII-2
    2. EAO-3
    3. AAA-1
    4. OAO-3
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — AAA-1; D — OAO-3

    AAA-1 (बारबरा) और OAO-3 (बोकार्डो) अनिरपेक्ष रूप से वैध हैं। AII-2 (सभी P, M हैं; कुछ S, M हैं; अतः कुछ S, P हैं) में M अव्याप्त रहता है, क्योंकि M एक A और एक I प्रतिज्ञप्ति का विधेय है। EAO-3 (फ़ेलाप्टॉन) सर्वव्यापी आधार-वाक्यों से अंशव्यापी निष्कर्ष निकालता है और केवल पारंपरिक रूप से वैध है, अतः बूलीय व्याख्या में वह अस्तित्वात्मक दोष करता है।

  8. निम्नलिखित में से किन निरपेक्ष प्रतिज्ञप्तियों में विधेय पद व्याप्त है? सभी सही चुनिए।

    1. A
    2. E
    3. I
    4. O
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — E; D — O

    निषेधात्मक प्रतिज्ञप्तियाँ अपने विधेय व्याप्त करती हैं: E ("कोई S, P नहीं है" S को पूरे P से बाहर करता है) और O ("कुछ S, P नहीं हैं" कुछ S को पूरे P से बाहर करता है)। A और I, स्वीकारात्मक होने से, विधेय को अव्याप्त छोड़ते हैं।

  9. संस्थान और आकृति के हर संयोग को गिनते हुए कितने मानक-आकार निरपेक्ष न्यायवाक्य आकार हैं? संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 256

    तीनों प्रतिज्ञप्तियों में प्रत्येक A, E, I या O हो सकती है, जिससे 4 × 4 × 4 = 64 संस्थान बनते हैं; हर संस्थान 4 आकृतियों में आ सकता है, जिससे 64 × 4 = 256 आकार बनते हैं।

  10. बूलीय व्याख्या में कितने मानक-आकार न्यायवाक्य अनिरपेक्ष रूप से वैध हैं? संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 15

    पंद्रह: पहली आकृति में चार (बारबरा, सेलारेंट, डारी, फ़ेरियो), दूसरी में चार (सेसारे, कामेस्ट्रेस, फ़ेस्टिनो, बारोको), तीसरी में चार (डिसामिस, डाटिसी, बोकार्डो, फ़ेरिसोन) और चौथी में तीन (कामेनेस, डिमारिस, फ़्रेसिसोन)। पारंपरिक व्याख्या नौ सापेक्ष रूप से वैध आकार जोड़ती है, जिससे 24 होते हैं।