काइनेसियोलॉजी और जैवयांत्रिकी II: गति के नियम और खेलों में उनका अनुप्रयोग, प्रक्षेप्य और प्रक्षेपण के सिद्धांत, रैखिक और कोणीय शुद्ध गतिकी तथा गतिज, घर्षण, घूर्णन (स्पिन), संघट्ट और प्रत्यास्थता, और वायु तथा जल गतिकी

न्यूटन का प्रथम नियम, जड़त्व का नियम: कोई पिंड विराम में या सीधी रेखा में एकसमान गति में बना रहता है जब तक उस पर कोई बाह्य बल न लगे। जड़त्व द्रव्यमान के समानुपाती है, इसीलिए भारी गोले को चलाना कठिन है और भारी रग्बी फ़ॉरवर्ड को रोकना कठिन, और इसीलिए स्प्रिंटर को शरीर के जड़त्व पर विजय पाने हेतु ब्लॉकों में बड़े बल उत्पन्न करने पड़ते हैं। न्यूटन का द्वितीय नियम, त्वरण का नियम: किसी पिंड का त्वरण उस पर लगे कुल बल के समानुपाती और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है, F = ma; 60 kg के स्प्रिंटर पर 600 N का कुल बल 10 m/s² का त्वरण उत्पन्न करता है। न्यूटन का तृतीय नियम, क्रिया और प्रतिक्रिया का नियम: हर क्रिया की बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। कूदने वाला भूमि को नीचे और पीछे धकेलता है और भूमि प्रतिक्रिया बल उसे ऊपर और आगे ले जाता है; तैराक पानी को पीछे धकेलता है और आगे बढ़ता है; स्प्रिंटर ब्लॉकों को पीछे धकेलता है।

संवेग गति की मात्रा है, p = द्रव्यमान × वेग, जिसे kg·m/s में मापा जाता है: 5 m/s से दौड़ रहे 80 kg के रग्बी खिलाड़ी का संवेग 400 kg·m/s है। आवेग बल × उसके लगने का समय है, और यह संवेग परिवर्तन के बराबर है: F × t = m × Δv। आवेग-संवेग संबंध तकनीकों के दो परिवारों को समझाता है। संवेग में बड़ा परिवर्तन उत्पन्न करने हेतु बल अधिक देर तक लगाइए: तैराकी स्ट्रोक का लंबा खिंचाव, फेंक की पूरी सीमा, किक या स्ट्रोक में फ़ॉलो-थ्रू। रुकते समय शरीर पर बल घटाने हेतु संवेग परिवर्तन को अधिक समय में फैलाइए: अवतरण पर घुटने मोड़ना, क्रिकेट गेंद पकड़ते समय हाथों को "ढीला छोड़ना", ऊँची कूद में नरम अवतरण गड्ढा। उदाहरण: 0.45 kg की फ़ुटबॉल को 0.01 s के पैर-संपर्क से विराम से 20 m/s तक किक किया जाता है; उसका संवेग परिवर्तन 0.45 × 20 = 9 kg·m/s है और औसत बल 9 ÷ 0.01 = 900 N है।

प्रक्षेप्य कोई भी पिंड है जो हवा में छोड़ा जाता है और फिर केवल गुरुत्व और वायु प्रतिरोध से प्रभावित होता है: गोला, भाला, गेंद, या उछाल के बाद कूदने वाले का अपना शरीर। वायु प्रतिरोध छोड़ दें तो इसका क्षैतिज वेग स्थिर रहता है जबकि ऊर्ध्वाधर वेग 9.8 m/s² (गणना हेतु प्रायः 10 m/s²) की दर से बदलता है, अतः इसका पथ परवलय होता है। पिंड के हवा में होने के बाद गुरुत्व केंद्र की उड़ान नहीं बदली जा सकती; कूदने वाला उसके चारों ओर केवल अंगों को पुनर्व्यवस्थित कर सकता है। तीन मोचन कारक परिणाम तय करते हैं: मोचन की गति, मोचन का कोण और मोचन की ऊँचाई, और इनमें गति सबसे अधिक महत्त्वपूर्ण है, क्योंकि परास उसके वर्ग पर निर्भर है।

जब मोचन और अवतरण समान ऊँचाई पर हों, तो क्षैतिज परास R = v² sin 2θ ÷ g, उड़ान का समय T = 2v sin θ ÷ g और अधिकतम ऊँचाई H = v² sin²θ ÷ 2g है। क्योंकि sin 2θ सबसे अधिक (1 के बराबर) तब होता है जब 2θ = 90°, परास θ = 45° पर सबसे अधिक होती है, और 30° और 60° या 15° और 75° जैसे पूरक कोण समान परास देते हैं। g = 10 m/s² के साथ हल उदाहरण: 10 m/s और 45° पर R = 100 × 1 ÷ 10 = 10 m; 20 m/s और 15° पर R = 400 × sin 30° ÷ 10 = 400 × 0.5 ÷ 10 = 20 m; 20 m/s और 30° पर T = 2 × 20 × 0.5 ÷ 10 = 2 s और H = 400 × 0.25 ÷ 20 = 5 m। मोचन गति दोगुनी करने से परास चार गुना होती है।

वास्तविक खिलाड़ी 45° से काफ़ी नीचे छोड़ते हैं, तीन कारणों से। पहला, मोचन की ऊँचाई अवतरण की ऊँचाई से अधिक है: गोला लगभग 2 m पर छोड़ा जाता है और भूमि पर गिरता है, अतः प्रक्षेप्य को चलने हेतु अतिरिक्त समय मिलता है और इष्टतम कोण 45° से नीचे आ जाता है, और फेंकी गई दूरी के सापेक्ष मोचन ऊँचाई जितनी अधिक हो उतना अधिक। दूसरा, और सबसे महत्त्वपूर्ण, मोचन गति मोचन कोण से स्वतंत्र नहीं है: मानव शरीर अधिक क्षैतिज प्रक्षेपण करते समय अधिक गति उत्पन्न कर सकता है, क्योंकि पेशियाँ और संधियाँ ऊपर की तुलना में आगे धकेलने हेतु बेहतर स्थित हैं और छोड़ते समय गुरुत्व के विरुद्ध कम कार्य होता है; अतः अधिक गति सहित थोड़ा कम कोण कम गति सहित 45° को पीछे छोड़ देता है। तीसरा, वायुगतिकी: भाला और चक्का उत्थापक बल और कर्षण उत्पन्न करते हैं, जो इष्टतम को बदलते हैं। परिणाम यह है कि उत्कृष्ट गोला फेंकने वाले लगभग 35–38° पर, भाला फेंकने वाले 30 के निचले से मध्य दशक में छोड़ते हैं, और लंबी कूद वाले केवल लगभग 18–25° पर उछलते हैं, क्योंकि लगभग 10 m/s से दौड़ता कूदने वाला उस क्षैतिज गति के अधिकांश भाग को खोए बिना उसे खड़ी उछाल में नहीं बदल सकता। बास्केटबॉल शॉट को रिंग में जाने हेतु अधिक खड़ा चाप चाहिए, और स्की जंपर या चक्का फेंकने वाला गुरुत्व जितना ही वायुगतिकीय बलों के भीतर काम करता है।

रैखिक गति (स्थानांतरण) वह गति है जिसमें किसी पिंड के सभी भाग समान दिशा में समान दूरी चलते हैं: सरकता स्केटर, साइकिल सवार का धड़। कोणीय (घूर्णी) गति किसी अक्ष के परितः गति है: छड़ पर जिम्नास्ट, कूल्हे पर झूलती टाँग। अधिकांश खेल-गति सामान्य गति है, एक संयोजन, जिसमें अंगों की कोणीय गतियाँ शरीर या उपकरण की रैखिक गति उत्पन्न करती हैं। रैखिक शुद्ध गतिकी दूरी और विस्थापन, चाल और वेग, और त्वरण का प्रयोग करती है; उदाहरण के लिए दौड़ने की चाल कदम लंबाई × कदम आवृत्ति के बराबर है। कोणीय शुद्ध गतिकी कोणीय विस्थापन (अंश या रेडियन; 360° = 2π rad), कोणीय वेग ω = कोणीय विस्थापन ÷ समय और कोणीय त्वरण का प्रयोग करती है। ढाई कलाबाज़ियाँ (900°) 1.5 s में पूरी करने वाले गोताखोर का औसत कोणीय वेग 600°/s है। घूमते पिंड पर किसी बिंदु का रैखिक वेग v = ωr है, ω रेडियन प्रति सेकंड में: 30 rad/s से घूमते स्विंग के अक्ष से 1.5 m दूर गोल्फ़ क्लब का सिर 45 m/s से चलता है, इसीलिए समान कोणीय वेग पर लंबा उत्तोलक अधिक तेज़ प्रहार करता है।

कोणीय गतिज घूर्णन के कारण का अध्ययन है। बल-आघूर्ण (बल का आघूर्ण) = बल × अक्ष से लंबवत दूरी; अक्ष से होकर जाने वाला बल कोई घूर्णन उत्पन्न नहीं करता। द्रव्यमान का कोणीय समतुल्य जड़त्व आघूर्ण है, I = Σmr², जो इस पर निर्भर है कि द्रव्यमान अक्ष के चारों ओर कैसे वितरित है: द्रव्यमान अक्ष से जितना दूर, घूर्णन के प्रति प्रतिरोध उतना अधिक। कोणीय संवेग L = Iω, और जब कोई बाह्य बल-आघूर्ण न लगे, जैसे उड़ान में, यह संरक्षित रहता है। अतः कसकर सिकुड़ने वाला गोताखोर या जिम्नास्ट I घटाकर तेज़ घूमता है, फिर प्रवेश या अवतरण से पहले धीमा होने हेतु खुल जाता है; फ़िगर स्केटर तेज़ घूमने हेतु भुजाएँ भीतर खींचता है; और स्प्रिंटर पुनर्प्राप्ति टाँग को मोड़कर कूल्हे के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण घटाता है। न्यूटन के नियमों के कोणीय समरूप हैं: पिंड स्थिर कोणीय संवेग से घूमता रहता है जब तक कोई बल-आघूर्ण न लगे; बल-आघूर्ण = I × कोणीय त्वरण; और हर बल-आघूर्ण का बराबर और विपरीत बल-आघूर्ण होता है, जैसे हवा में लंबी कूद वाले की घूमती भुजा धड़ को विपरीत दिशा में घुमाती है।

घर्षण वह बल है जो एक सतह के दूसरी पर सरकने का विरोध करता है। इसका परिमाण F = μ × R है, जहाँ R सतहों को आपस में दबाने वाला अभिलंब प्रतिक्रिया बल है और μ घर्षण गुणांक है, जो दोनों सतहों पर निर्भर है; 600 N के भार को सरकाना आरंभ करने हेतु 300 N बल की आवश्यकता का अर्थ है μ = 0.5। सरकना आरंभ होने से पहले का स्थैतिक घर्षण उसके आरंभ होने के बाद के गतिज (सर्पी) घर्षण से अधिक होता है, और लोटनिक घर्षण उससे भी कम। खेल को कुछ स्थानों पर घर्षण चाहिए और अन्य में उसे घटाता है: स्पाइक, स्टड, रबर के तलवे, जिम्नास्ट के हाथों पर चूर्ण और रैकेटों पर पकड़ इसे बढ़ाते हैं; स्की पर मोम, स्केटिंग हेतु चिकनी बर्फ़ और साइकिलों में बॉल बेयरिंग इसे घटाते हैं।

स्पिन गेंद की उड़ान और टप्पा दोनों को बदलता है। उड़ान में घूमती गेंद अपने साथ वायु की एक पतली परत घुमाती है, अतः उसकी दोनों ओर वायु की गति और दाब भिन्न होते हैं और उस पर एक पार्श्व बल, मैग्नस बल, लगता है। टॉपस्पिन (गेंद का ऊपरी भाग आगे घूमता हुआ) नीचे की ओर बल उत्पन्न करता है, अतः गेंद तेज़ी से नीचे आती है, जैसे टेनिस टॉपस्पिन ड्राइव या क्रॉसबार के नीचे गिरने वाला फ़ुटबॉल शॉट; बैकस्पिन उत्थापक बल उत्पन्न करता है, अतः गेंद तैरती है और अधिक दूर जाती है, जैसे गोल्फ़ ड्राइव; साइडस्पिन गेंद को बगल की ओर मोड़ता है, जैसे मुड़ती फ़्री किक। टप्पे पर टॉपस्पिन गेंद नीची और तेज़ आगे फिसलती है, जबकि बैकस्पिन गेंद अधिक खड़ी उछलती है और रुकती है। नई क्रिकेट गेंद का स्विंग भिन्न प्रभाव है, जो स्पिन के बजाय सीवन और दोनों ओर की सतह के अंतर से उत्पन्न होता है।

संघट्ट बहुत कम समय में दो पिंडों की टक्कर है, और प्रत्यास्थता किसी पिंड की विरूपण के बाद अपना आकार फिर पाने की क्षमता है। प्रत्यावस्थान गुणांक (e) संघट्ट की प्रत्यास्थता मापता है: e = अलग होने का सापेक्ष वेग ÷ पास आने का सापेक्ष वेग, और स्थिर सतह पर गिराई गई गेंद हेतु e = √(उछाल ऊँचाई ÷ गिराने की ऊँचाई)। 1.0 m से गिराई गई गेंद जो 0.36 m तक उछलती है उसका e = √0.36 = 0.6 है। e 0 (पूर्णतः अप्रत्यास्थ, कोई उछाल नहीं) और 1 (पूर्णतः प्रत्यास्थ) के बीच होता है; यह गेंद और सतह दोनों पर निर्भर है, तापमान के साथ बढ़ता है (गर्म स्क्वैश गेंद अधिक उछलती है) और संघट्ट गति के साथ घटता है, और शासी संस्थाएँ खेल को एकरूप रखने हेतु गिराकर-उछालकर गेंदों का परीक्षण करती हैं। घास पर टेनिस गेंद क्ले की तुलना में नीची और तेज़ उछलती है क्योंकि घास का घर्षण कम है और वह ऊर्जा को भिन्न रूप से अवशोषित करती है।

वायु और जल तरल हैं और गतिमान पिंड पर दो प्रकार के गतिज बल लगाते हैं: कर्षण, जो गति का विरोध करता है, और उत्थापक बल, जो प्रवाह के लंबवत लगता है। कर्षण के तीन घटक हैं: सतह (त्वचा घर्षण) कर्षण, सतह के साथ तरल के रगड़ने से, जिसे चिकने स्किन सूट और शेविंग घटाते हैं; आकृति (दाब) कर्षण, आगे और पीछे के विक्षुब्ध अनुगामी क्षेत्र के बीच दाब अंतर से, जिसे धारारेखीकरण, साइकिल सवार का झुकना और तैराक की क्षैतिज शरीर स्थिति घटाते हैं; और तरंग कर्षण, तैराकी में जल सतह पर, जिसे नियमों के भीतर आरंभ और मोड़ों के बाद पानी के नीचे तैरकर घटाया जाता है। कर्षण लगभग वेग के वर्ग के साथ बढ़ता है, इसीलिए यह साइकिलिंग, स्कीइंग और स्प्रिंट तैराकी में इतना महत्त्वपूर्ण है, और इसीलिए साइकिल सवार एक-दूसरे के पीछे ड्राफ़्टिंग करते हैं। उत्थापक बल तब उत्पन्न होता है जब प्रवाह विक्षेपित होता है, जैसे झुके हुए भाले, चक्के या स्की जंपर के ऊपर, और बर्नूली के सिद्धांत से किसी सतह पर तेज़ प्रवाह का अर्थ है वहाँ कम दाब। गोल्फ़ गेंद के गड्ढे सीमा परत को विक्षुब्ध बनाते हैं ताकि वह गेंद से अधिक देर चिपकी रहे, जिससे अनुगामी क्षेत्र सिकुड़ता है और आकृति कर्षण घटता है।

जल में उत्प्लावकता भी कार्य करती है। आर्किमिडीज़ के सिद्धांत से डूबे हुए पिंड पर उत्क्षेप उसके द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है, अतः कोई व्यक्ति तैरता है या नहीं यह शरीर घनत्व पर निर्भर है: वसा पानी से कम घनी और पेशी तथा अस्थि अधिक घनी होती है, अतः दुबले, पेशीय तैराक डूबने की प्रवृत्ति रखते हैं और अधिक शरीर वसा वाले लोग आसानी से तैरते हैं। उत्प्लावकता केंद्र (विस्थापित जल का केंद्र, फेफड़ों के कारण छाती के पास) प्रायः गुरुत्व केंद्र (कूल्हों के पास) से ऊपर और सिर की ओर होता है, अतः दोनों बल एक बल-युग्म बनाते हैं जो टाँगों को नीचे की ओर घुमाता है, इसीलिए नौसिखियों की टाँगें डूबती हैं और इसीलिए अच्छी किक और सिर नीचे, कूल्हे ऊपर की स्थिति महत्त्वपूर्ण है। तैराकी में प्रणोदन हाथों और पैरों द्वारा उत्पन्न कर्षण और उत्थापक बल दोनों से आता है, और न्यूटन का तृतीय नियम पूरे समय लागू रहता है: तैराक आगे बढ़ने हेतु पानी को पीछे धकेलता है।