प्रबंध हेतु सांख्यिकी: केंद्रीय प्रवृत्ति, परिक्षेपण, प्रायिकता बंटन, आँकड़ा संग्रह, प्रतिचयन, परिकल्पना परीक्षण, सहसंबंध व समाश्रयण

इकाई 8 उस सांख्यिकी से खुलती है जो प्रबंधक को चाहिए और पेपर परखता: औसत व उनके संबंध, प्रसार के माप, पाठ्यक्रम में नामित चार प्रायिकता बंटन, आँकड़े कैसे एकत्र व प्रश्नावली कैसे अभिकल्पित, प्रतिदर्श कैसे लिए, परिकल्पना परीक्षण की प्रक्रिया व चार नामित परीक्षणों में कौन किस स्थिति में, और सहसंबंध व समाश्रयण। प्रश्न छोटी गणनाएँ व 'कौन-सा परीक्षण' निर्णय; यहाँ हर सूत्र उस एक संख्या सहित जो पेपर प्रायः रखता।

1. प्रबंध हेतु सांख्यिकी: केंद्रीय प्रवृत्ति व परिक्षेपण के माप

प्रबंध हेतु सांख्यिकी निर्णयों हेतु संख्यात्मक आँकड़ों का संग्रह, प्रस्तुति, विश्लेषण व निर्वचन; वर्णनात्मक सांख्यिकी आँकड़े सारांशित व अनुमानात्मक प्रतिदर्श से समष्टि पर सामान्यीकरण। आँकड़े प्राथमिक या द्वितीयक, अनुप्रस्थ या काल-शृंखला, और चार मापकों पर — नामिक (श्रेणियाँ), क्रमिक (कोटियाँ), अंतराल (समान अंतराल, यादृच्छिक शून्य — तापमान) व अनुपात (सच्चा शून्य — आय)। केंद्रीय प्रवृत्ति माप एक मान जो पूरे समुच्चय का प्रतिनिधित्व करे। समांतर माध्य Σx/n (समूहित आँकड़ों हेतु भारित माध्य Σwx/Σw) हर मान प्रयोग करता व बीजगणितीय रूप से सुगम पर चरम मानों से खिंचता; माध्यिका, क्रमित समुच्चय का मध्य मान (n+1 बटा 2 स्थिति; समूहित बंटन में अंतर्वेशन से), चरमों से अप्रभावित व क्रमिक आँकड़ों व खुले-अंत वर्गों हेतु औसत; बहुलक, सर्वाधिक बारंबार मान, नामिक आँकड़ों हेतु एकमात्र औसत व अनुपस्थित या बहु हो सकता। गुणोत्तर माध्य, गुणनफल का n-वाँ मूल, अनुपातों, सूचकांकों व वृद्धि दरों हेतु सही औसत; हरात्मक माध्य, व्युत्क्रमों के माध्य का व्युत्क्रम, गति जैसी दरों हेतु सही औसत; धनात्मक मानों हेतु AM ≥ GM ≥ HM। मध्यम विषम बंटन में बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य (कार्ल पियर्सन का आनुभविक संबंध); सममित में तीनों संपाती; धनात्मक विषमता में माध्य > माध्यिका > बहुलक व ऋणात्मक में क्रम उलट। चतुर्थक, दशमक व शतमक विभाजन मान।

परिक्षेपण, विषमता व ककुदता के माप
मापसूत्रगुण
परासअधिकतम − न्यूनतम; गुणांक (L − S)/(L + S)स्थूल; दो मान; नियंत्रण चार्टों का आधार
चतुर्थक विचलन (अर्ध-अंतःचतुर्थक परास)(Q3 − Q1)/2; गुणांक (Q3 − Q1)/(Q3 + Q1)चरमों की उपेक्षा; मध्य आधे का प्रसार
माध्य विचलनमाध्य, माध्यिका या बहुलक से Σ|x − A|/n; माध्यिका से न्यूनतमचिह्नों की उपेक्षा, अतः बीजगणितीय नहीं
मानक विचलन (कार्ल पियर्सन, 1893)समष्टि हेतु σ = √[Σ(x − माध्य)²/n], प्रतिदर्श हेतु n − 1 सहित s; प्रसरण σ²; दो समूहों का संयुक्त SD उनके माध्य व आकार प्रयोगप्रतिचयन उच्चावचन से न्यूनतम प्रभावित, बीजगणितीय, सभी अनुमान का आधार; माध्य से न्यूनतम; प्रसामान्य वक्र हेतु SD ≥ MD ≥ QD लगभग 15 : 12 : 10
विचरण गुणांकCV = σ/माध्य × 100सापेक्ष परिक्षेपण, इकाई-मुक्त, शृंखलाओं में परिवर्तनशीलता या संगति तुलना — निम्न CV अधिक सुसंगत
विषमताकार्ल पियर्सन गुणांक (माध्य − बहुलक)/σ या 3(माध्य − माध्यिका)/σ, −3 व +3 के बीच; बॉले का चतुर्थक गुणांक (Q3 + Q1 − 2Q2)/(Q3 − Q1), −1 व +1 के बीच; आघूर्ण गुणांक β1 = μ3²/μ2³धनात्मक विषमता — लंबी दाहिनी पूँछ, माध्य > माध्यिका > बहुलक; सममित वक्र हेतु शून्य
ककुदताβ2 = μ4/μ2²; मध्यककुदी = 3 (प्रसामान्य), तुंगककुदी > 3 (शिखरदार), चिपटककुदी < 3 (सपाट)प्रसामान्य वक्र के सापेक्ष शिखरता
🧠 दो संख्याएँ जो पेपर रखता
माध्य 50, माध्यिका 48: पियर्सन संबंध से बहुलक = 3 × 48 − 2 × 50 = 44, और माध्य > माध्यिका > बहुलक से बंटन धनात्मक विषम। शृंखला A का माध्य 40 व SD 8, शृंखला B का माध्य 100 व SD 15: CV(A) = 20%, CV(B) = 15%, अतः B अधिक सुसंगत यद्यपि उसका निरपेक्ष SD बड़ा। हर मान में स्थिरांक जोड़ने से SD अपरिवर्तित; हर मान को k से गुणा SD को |k| से गुणा।

2. प्रायिकता बंटन: द्विपद, प्वासों, प्रसामान्य व चरघातांकी

चार बंटन
बंटनस्थितिप्रायिकता फलन, माध्य व प्रसरणगुण व उपयोग
द्विपद (बर्नूली, 1713)n स्वतंत्र परीक्षण, प्रत्येक स्थिर प्रायिकता p से सफलता; सफलताओं की गिनती; असततP(x) = nCx p^x q^(n−x); माध्य np; प्रसरण npq; SD √(npq)p = 0.5 पर सममित, p < 0.5 पर धनात्मक विषम; माध्य सदा प्रसरण से अधिक; n बड़ा व p छोटा हो तो प्वासों से, और np व nq दोनों 5 से अधिक हो तो प्रसामान्य से सन्निकट; नियत प्रतिदर्श सहित गुणवत्ता नियंत्रण, हाँ/नहीं सर्वेक्षण मदें
प्वासों (1837)समय या स्थान के नियत अंतराल में विरल घटनाओं की गिनती जब घटनाएँ स्वतंत्र व स्थिर औसत दर λ पर; असततP(x) = e^(−λ) λ^x / x!; माध्य λ; प्रसरण λ (माध्य = प्रसरण)n → ∞ व p → 0, np = λ पर द्विपद की सीमा; धनात्मक विषम, λ बढ़ने पर प्रसामान्य की ओर; काउंटर पर आगमन, प्रति इकाई दोष, प्रति घंटा कॉल, दुर्घटनाएँ; पंक्ति सिद्धांत का आधार (प्वासों आगमन)
प्रसामान्य (गॉस, द मोइवर)माध्य के चारों ओर सममित गुच्छित सतत माप — ऊँचाइयाँ, त्रुटियाँ, केंद्रीय सीमा प्रमेय से प्रतिदर्श माध्यμ व σ से परिभाषित घंटी वक्र; मानक प्रसामान्य z = (x − μ)/σ, माध्य 0 व SD 1; वक्र के नीचे क्षेत्र 1माध्य = माध्यिका = बहुलक; सममित, अक्ष की अनंतस्पर्शी; ±1σ में 68.27%, ±2σ में 95.45%, ±3σ में 99.73% मान; ±1.96σ में 95% व ±2.58σ में 99%; QD = 0.6745σ व MD = 0.7979σ; μ ± σ पर नति-परिवर्तन बिंदु; z-परीक्षणों, नियंत्रण सीमाओं व विश्वास्यता अंतरालों का आधार
चरघातांकीक्रमिक प्वासों घटनाओं के बीच समय या दूरी — अगले आगमन तक प्रतीक्षा समय, स्थिर विफलता दर वाले घटक का जीवन; सततx ≥ 0 हेतु f(x) = λ e^(−λx); P(X > x) = e^(−λx); माध्य 1/λ; प्रसरण 1/λ²; SD = माध्यस्मृतिहीन — और t मिनट प्रतीक्षा की संभावना पहले की प्रतीक्षा पर निर्भर नहीं; धनात्मक विषम; पंक्ति में सेवा व अंतर-आगमन समय (M/M/1), विश्वसनीयता व प्रतिस्थापन मॉडल
🧠 प्रश्न से बंटन पहचानना
'10 मदों में से, 5% दोषपूर्ण होने पर ठीक 2 दोषपूर्ण होने की प्रायिकता' — द्विपद n = 10, p = 0.05। 'औसतन 3 ग्राहक प्रति मिनट आते; एक मिनट में ठीक 5 की प्रायिकता' — प्वासों λ = 3। 'अंक माध्य 60 व SD 10 से प्रसामान्य बंटित; 80 से ऊपर कितना अनुपात' — प्रसामान्य, z = 2, लगभग 2.28%। 'आगमनों के बीच समय औसत 2 मिनट; अगला 1 मिनट में आने की प्रायिकता' — चरघातांकी λ = 0.5, 1 − e^(−0.5) ≈ 0.39। माध्य = प्रसरण तो पेपर प्वासों चाहता; माध्य > प्रसरण तो द्विपद; SD = माध्य तो चरघातांकी।

3. आँकड़ा संग्रह व प्रश्नावली अभिकल्पना; प्रतिचयन — संकल्पना, प्रक्रिया व तकनीकें

प्राथमिक आँकड़े विचाराधीन समस्या हेतु प्रथम-हस्त एकत्र — अवलोकन (संरचित या असंरचित, प्रच्छन्न या अप्रच्छन्न, प्राकृतिक या कृत्रिम; यांत्रिक अवलोकन — नेत्र-ट्रैकिंग, पीपल मीटर, वेब विश्लेषिकी), प्रयोग (प्रयोगशाला या क्षेत्र; परीक्षण बाज़ार), व संचार — वैयक्तिक साक्षात्कार से सर्वेक्षण (सर्वाधिक प्रतिक्रिया व लचीलापन, सबसे महँगा, साक्षात्कारकर्ता पूर्वाग्रह), टेलीफ़ोन, डाक (सबसे सस्ता, न्यूनतम प्रतिक्रिया, कोई साक्षात्कारकर्ता पूर्वाग्रह नहीं), ऑनलाइन व मोबाइल पैनल, व गुणात्मक आँकड़ों हेतु फ़ोकस समूह, गहन साक्षात्कार व प्रक्षेपी तकनीकें। द्वितीयक आँकड़े — आंतरिक अभिलेख, सरकारी सांख्यिकी (जनगणना, NSO सर्वेक्षण, RBI), व्यापार निकाय, सिंडिकेटेड सेवाएँ (नील्सन, IMRB), प्रकाशित शोध, इंटरनेट — सस्ते व तीव्र पर प्रासंगिकता, सटीकता, समसामयिकता व संग्रह-प्रयोजन हेतु जाँचने होते। प्रश्नावली अभिकल्पना आवश्यक सूचना व साक्षात्कार विधि से, प्रश्न सामग्री (क्या आवश्यक, उत्तरदाता उत्तर दे सकता, देगा), प्रश्न रूप (खुले बनाम बंद — द्विभाजी, बहुविकल्प, सहमति का लिकर्ट मापक, द्विध्रुवी विशेषणों के बीच अर्थ-विभेदक, महत्व व रेटिंग मापक, कोटि क्रम, स्थिर योग, स्टैपल मापक), शब्दावली (सरल, अस्पष्टता-मुक्त, कोई अग्रणी, भारित या दो-नली प्रश्न नहीं, कोई अंतर्निहित मान्यताएँ या सामान्यीकरण नहीं), क्रम (सामान्य से विशिष्ट फ़नल उपागम, सरल व रुचिकर प्रश्न पहले, संवेदी व जनसांख्यिकीय अंत में, तार्किक क्रम, फ़िल्टर व शाखा प्रश्न), लेआउट व लंबाई, से पूर्व-परीक्षण (पायलट सर्वेक्षण) व संशोधन तक; चार मापन मापक — नामिक, क्रमिक, अंतराल, अनुपात — तय करते कौन-सी सांख्यिकी गणित हो सकती।

प्रतिचयन: संकल्पना, प्रक्रिया व तकनीकें
मदसामग्री
संकल्पनाप्रतिदर्श समष्टि (समग्र) का भाग जो पूरे पर निष्कर्ष हेतु अध्ययित; प्रतिचयन लागत व समय बचाता, विनाशकारी परीक्षण या अनंत समष्टि हेतु एकमात्र मार्ग, व बुरी गणना से अधिक सटीक हो सकता; जनगणना सबको गिनती; प्रतिचयन ढाँचा वह सूची जिससे इकाइयाँ ली जातीं; प्राचल समष्टि, सांख्यिकी प्रतिदर्श वर्णित; प्रतिचयन त्रुटि उनके बीच संयोग अंतर (प्रतिदर्श आकार से घटती) व अप्रतिचयन त्रुटि (ढाँचा, अप्रतिक्रिया, मापन, प्रक्रमण) नहीं
प्रक्रियालक्ष्य समष्टि परिभाषित; प्रतिचयन ढाँचा निर्दिष्ट; प्रतिचयन इकाई चुनना; प्रतिचयन तकनीक चुनना (प्रायिकता या अप्रायिकता); प्रतिदर्श आकार निर्धारित (इच्छित परिशुद्धता, विश्वास्यता स्तर व परिवर्तनशीलता से — माध्य हेतु n = (zσ/E)², अनुपात हेतु n = z²pq/E²; लागत व समय); प्रतिदर्श निष्पादन व वैधीकरण
प्रायिकता (यादृच्छिक) तकनीकेंसरल यादृच्छिक प्रतिचयन (हर इकाई समान संभावना — लॉटरी, यादृच्छिक संख्याएँ; प्रतिस्थापन सहित या बिना); व्यवस्थित प्रतिचयन (यादृच्छिक आरंभ के बाद हर k-वीं इकाई, k = N/n — आवर्तिता ख़तरा); स्तरित प्रतिचयन (समरूप स्तरों में बाँटें, प्रत्येक से प्रतिदर्श — आनुपातिक या अनानुपातिक — परिशुद्धता व उप-समूह आकलन हेतु); गुच्छ प्रतिचयन (विषम गुच्छों में बाँटें, पूरे गुच्छ प्रतिदर्श — क्षेत्र प्रतिचयन — सस्ता, कम परिशुद्ध); बहु-चरण प्रतिचयन (गुच्छ, फिर उनमें इकाइयाँ); आकार-आनुपातिक प्रायिकता
अप्रायिकता तकनीकेंसुविधा प्रतिचयन (जो हाथ में — मॉल इंटरसेप्ट); विवेक या सप्रयोजन प्रतिचयन (शोधकर्ता प्रारूपिक या विशेषज्ञ इकाइयाँ चुनता); कोटा प्रतिचयन (स्तरित का अयादृच्छिक प्रतिरूप — विशेषता से कोटा भरें); स्नोबॉल प्रतिचयन (उत्तरदाता अन्यों को संदर्भित — विरल या छिपी समष्टि); स्व-चयन; प्रतिचयन त्रुटि गणित नहीं व परिणाम सांख्यिकीय सामान्यीकृत नहीं
प्रतिचयन बंटनकेंद्रीय सीमा प्रमेय — माध्य का प्रतिचयन बंटन n बढ़ने पर (n ≥ 30 अंगूठा-नियम) समष्टि के आकार की परवाह बिना प्रसामान्य की ओर, माध्य μ व मानक त्रुटि σ/√n; अनुपात की मानक त्रुटि √(pq/n); मानक त्रुटि प्रतिदर्श आकार के वर्गमूल से घटती — n चौगुना उसे आधा; अज्ञात σ वाले छोटे प्रतिदर्शों हेतु t-बंटन प्रसामान्य का स्थान; परिमित समष्टि सुधार √[(N − n)/(N − 1)]

4. परिकल्पना परीक्षण — प्रक्रिया व t, Z, F व काई-वर्ग परीक्षण; सहसंबंध व समाश्रयण

  1. परिकल्पनाएँ कथित करें — शून्य परिकल्पना H0 (कोई अंतर नहीं, कोई प्रभाव नहीं, यथास्थिति, सदा समता सहित) व वैकल्पिक H1 (शोधकर्ता का संदेह; द्वि-पुच्छीय ≠, या एक-पुच्छीय > या <)।
  2. सार्थकता स्तर α चुनें — सत्य H0 अस्वीकारने की प्रायिकता (प्रकार I त्रुटि), परंपरागत 5% या 1%; β असत्य H0 स्वीकारने की प्रायिकता (प्रकार II त्रुटि) व 1 − β परीक्षण की शक्ति; दिए प्रतिदर्श आकार पर दोनों त्रुटियाँ विनिमय।
  3. परीक्षण चुनें व परीक्षण सांख्यिकी गणित करें — प्राचल, प्रतिदर्श आकार, σ ज्ञात या नहीं, व समूह संख्या के अनुसार Z, t, F या काई-वर्ग; H0 में उसका प्रतिचयन बंटन ज्ञात।
  4. क्रांतिक मान या p-मान पाएँ — क्रांतिक क्षेत्र पुच्छ क्षेत्र α (द्वि-पुच्छीय परीक्षण में दो पुच्छों में बँटा); p-मान H0 सत्य हो तो अवलोकित के बराबर या अधिक चरम परिणाम की प्रायिकता।
  5. निर्णय व निर्वचन — सांख्यिकी क्रांतिक क्षेत्र में या p < α तो H0 अस्वीकार; अन्यथा H0 अस्वीकार करने में विफल (कभी 'सिद्ध' नहीं); निष्कर्ष समस्या के पदों में, स्मरण रखें सांख्यिकीय सार्थकता व्यावहारिक महत्व नहीं।
पाठ्यक्रम में नामित चार परीक्षण
परीक्षणकिस हेतुसांख्यिकी व स्वातंत्र्य कोटियाँशर्तें
Z-परीक्षणबड़े प्रतिदर्शों या σ ज्ञात होने पर माध्य या अनुपात, या दो माध्यों या अनुपातों का अंतरz = (x̄ − μ)/(σ/√n); अनुपात हेतु z = (p − P)/√(PQ/n); क्रांतिक मान द्वि-पुच्छीय 5% पर ±1.96 व 1% पर ±2.58, एक-पुच्छीय 1.645 व 2.33; कोई स्वातंत्र्य कोटि नहींn ≥ 30, या ज्ञात σ सहित प्रसामान्य समष्टि
t-परीक्षण (स्टूडेंट — डब्ल्यू. एस. गॉसेट, 1908)अज्ञात σ वाले छोटे प्रतिदर्शों में माध्य या दो माध्यों का अंतर: एक-प्रतिदर्श, दो स्वतंत्र प्रतिदर्श, युग्मित (मेल) प्रतिदर्श; सहसंबंध या समाश्रयण गुणांक की सार्थकता भीt = (x̄ − μ)/(s/√n), df = n − 1; दो स्वतंत्र प्रतिदर्श df = n1 + n2 − 2 संयुक्त प्रसरण सहित; अंतरों पर युग्मित t, df = n − 1; t-वक्र प्रसामान्य से चिपटा व df बढ़ने पर उसकी ओरn < 30, σ अज्ञात, समष्टि लगभग प्रसामान्य; दो प्रतिदर्शों हेतु समान प्रसरण (अन्यथा वेल्च रूप)
F-परीक्षण (फ़िशर, स्नेडेकर)दो प्रसरणों की समता; और, प्रसरण विश्लेषण (ANOVA) के रूप में, तीन या अधिक माध्यों की समता — एक-मार्गी (एक कारक) व द्वि-मार्गी (दो कारक, अंतःक्रिया सहित या बिना); समाश्रयण की समग्र सार्थकताF = बड़ा प्रसरण/छोटा प्रसरण, df (n1 − 1, n2 − 1); ANOVA में F = समूहों के बीच माध्य वर्ग/समूहों के भीतर माध्य वर्ग, df (k − 1, N − k); सदा दक्षिण-पुच्छीयप्रसामान्य समष्टि, स्वतंत्र प्रतिदर्श, प्रसरण समरूपता; सार्थक ANOVA के बाद पश्च-परीक्षण (टूकी, शेफ़े, डंकन)
काई-वर्ग परीक्षण (कार्ल पियर्सन, 1900)श्रेणीबद्ध (नामिक) आँकड़े: अवलोकित बारंबारताओं का प्रत्याशित बंटन से मेल; आसंग सारणी में दो गुणों की स्वतंत्रता; कई समष्टियों की समरूपता; समष्टि प्रसरणχ² = Σ(O − E)²/E; मेल हेतु df = k − 1 (आकलित प्राचल घटा); स्वतंत्रता df = (r − 1)(c − 1); 2 × 2 सारणी df = 1 व येट्स सांतत्य सुधार; बंटन धनात्मक विषम व दक्षिण-पुच्छीयबारंबारताएँ, प्रतिशत नहीं; हर कोष्ठ में प्रत्याशित बारंबारता कम से कम 5 (अन्यथा कोष्ठ मिलाएँ); यादृच्छिक प्रतिदर्श; अप्राचलिक (बंटन-मुक्त) परीक्षण
🧠 प्रश्न से कौन-सा परीक्षण
एक माध्य, बड़ा प्रतिदर्श या ज्ञात σ — Z। एक माध्य, छोटा प्रतिदर्श, σ अज्ञात — t। दो माध्य, स्वतंत्र छोटे प्रतिदर्श — दो-प्रतिदर्श t; वही विषय पहले व बाद — युग्मित t। तीन या अधिक माध्य — ANOVA (F)। दो प्रसरण — F। श्रेणियों में गिनती, या 'क्या लिंग व ब्रांड वरीयता में साहचर्य' — काई-वर्ग, df = (r − 1)(c − 1): 3 × 4 सारणी में 6। α = 0.05 पर 0.03 का p-मान H0 अस्वीकार; α = 0.01 पर नहीं। सत्य शून्य अस्वीकारना प्रकार I; स्तर α उसकी प्रायिकता।

सहसंबंध दो चरों के रैखिक संबंध की मात्रा व दिशा मापता, कारणता का निहितार्थ बिना। कार्ल पियर्सन गुणांक r = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/√[Σ(x − x̄)² Σ(y − ȳ)²] = Cov(x, y)/(σx σy) −1 व +1 के बीच: +1 पूर्ण धनात्मक, −1 पूर्ण ऋणात्मक, 0 कोई रैखिक सहसंबंध नहीं; मूल व मापक से स्वतंत्र, x व y में सममित, व दो समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य। इसका वर्ग, निर्धारण गुणांक r², y के विचरण का x से समझाया अनुपात — r = 0.8 अर्थात 64% समझाया; 1 − r² अनिर्धारण गुणांक। संभाव्य त्रुटि 0.6745(1 − r²)/√n सार्थकता आँकती — r सार्थक यदि अपनी संभाव्य त्रुटि के छह गुने से अधिक — और df = n − 2 सहित t-परीक्षण सटीक रूप। स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] क्रमिक आँकड़ों व छोटे प्रतिदर्शों हेतु (बद्ध कोटियों हेतु सुधार सहित); केंडल का टाऊ विकल्प; प्रकीर्ण आरेख चित्र देता, व समवर्ती विचलन त्वरित चिह्न परीक्षण। साझा कारण से मिथ्या सहसंबंध व पारिस्थितिक भ्रांति जाल। समाश्रयण स्वतंत्र चर से आश्रित चर का मान आकलित: x पर y की रेखा, y = a + byx·x, वर्गित ऊर्ध्व विचलनों का योग न्यूनतम (न्यूनतम वर्ग — गॉस, लजांड्र), ढाल byx = r σy/σx = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/Σ(x − x̄)² व अंतःखंड a = ȳ − byx x̄; y पर x की रेखा bxy = r σx/σy। दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) पर काटतीं, r = ±1 पर संपाती व r = 0 पर लंब; दोनों समाश्रयण गुणांक r का चिह्न रखते, गुणनफल r², व गुणोत्तर माध्य r (अतः दोनों साथ 1 से अधिक नहीं)। आकलन की मानक त्रुटि σy√(1 − r²) रेखा के चारों ओर प्रकीर्णन मापती; बहु समाश्रयण y = a + b1x1 + b2x2 + … पूर्वानुमानक जोड़ता, R², समायोजित R², आंशिक गुणांक, समग्र मेल हेतु F-परीक्षण, हर गुणांक हेतु t-परीक्षण, व रैखिकता, स्वतंत्रता, समप्रसारिता, प्रसामान्य त्रुटियाँ व बहु-संरेखता-अभाव की मान्यताएँ; डर्बिन-वाटसन सांख्यिकी स्वसहसंबंध परखती।

मुख्य बिंदु

  • माध्य सब मान प्रयोग व चरमों से खिंचता, माध्यिका स्थितिपरक व बहुलक नामिक आँकड़ों हेतु एकमात्र औसत; मध्यम विषमता में बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य; AM ≥ GM ≥ HM; विचरण गुणांक संगति तुलना व निम्न अधिक सुसंगत।
  • द्विपद का माध्य np व प्रसरण npq (माध्य अधिक); प्वासों का माध्य = प्रसरण λ व विरल घटनाएँ; प्रसामान्य में एक, दो व तीन SD में 68-95-99.7 व 1.96 में 95%; चरघातांकी का माध्य 1/λ, SD = माध्य, व स्मृतिहीन।
  • प्रश्नावली सामान्य से विशिष्ट फ़नल, जनसांख्यिकी अंत में व कोई अग्रणी या दो-नली प्रश्न नहीं; प्रायिकता प्रतिचयन सरल यादृच्छिक, व्यवस्थित, स्तरित, गुच्छ व बहु-चरण, अप्रायिकता सुविधा, विवेक, कोटा व स्नोबॉल; मानक त्रुटि σ/√n व केंद्रीय सीमा प्रमेय प्रतिदर्श माध्य प्रसामान्य।
  • H0 समता रखती; α प्रकार I त्रुटि दर व 1 − β शक्ति; बड़े प्रतिदर्श या ज्ञात σ हेतु Z, छोटे प्रतिदर्श हेतु df n − 1 सहित t, प्रसरण व ANOVA हेतु F, श्रेणीबद्ध बारंबारताओं हेतु df (r − 1)(c − 1) सहित काई-वर्ग; p < α पर अस्वीकार।
  • r −1 व +1 के बीच, r² समझाया अनुपात, स्पीयरमैन का ρ कोटियों हेतु; दोनों समाश्रयण रेखाएँ माध्यों पर मिलतीं, दोनों गुणांक r का चिह्न, गुणनफल r², व byx = r σy/σx।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. माध्य 50 व माध्यिका 48 वाले मध्यम विषम बंटन हेतु कार्ल पियर्सन का आनुभविक संबंध बहुलक देता:

    1. 44
    2. 46
    3. 52
    4. 49
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 44

    बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य = 144 − 100 = 44। माध्य > माध्यिका > बहुलक से बंटन धनात्मक विषम, लंबी पूँछ दाएँ।

  2. शृंखला A का माध्य 40 व मानक विचलन 8; शृंखला B का माध्य 100 व मानक विचलन 15। कौन अधिक सुसंगत?

    1. B, क्योंकि उसका विचरण गुणांक (15%) A के (20%) से कम
    2. A, क्योंकि उसका मानक विचलन छोटा
    3. दोनों समान, क्योंकि SD का अनुपात माध्यों के अनुपात के बराबर
    4. माध्यिकाओं बिना निर्धारित नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — B, क्योंकि उसका विचरण गुणांक (15%) A के (20%) से कम

    संगति सापेक्ष परिक्षेपण, CV = SD/माध्य × 100 से: A 8/40 = 20%, B 15/100 = 15%। माध्य भिन्न होने पर निरपेक्ष SD भ्रमित।

  3. किस प्रायिकता बंटन का माध्य उसके प्रसरण के बराबर?

    1. प्वासों
    2. द्विपद
    3. प्रसामान्य
    4. चरघातांकी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्वासों

    प्वासों का माध्य व प्रसरण दोनों λ। द्विपद का माध्य np प्रसरण npq से अधिक; प्रसामान्य के माध्य व प्रसरण स्वतंत्र प्राचल; चरघातांकी का माध्य 1/λ व प्रसरण 1/λ², अतः उसका SD, प्रसरण नहीं, माध्य के बराबर।

  4. प्रसामान्य बंटन में माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन के भीतर अवलोकनों का अनुपात लगभग:

    1. 68%
    2. 95%
    3. 50%
    4. 99.7%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 68%

    आनुभविक नियम: ±1σ में 68.27%, ±2σ में 95.45%, ±3σ में 99.73%; ±1.96σ में 95%, 5% सार्थकता स्तर के पीछे का अंक।

  5. शोधकर्ता नगर के घरों को आय स्तरों में बाँटता और फिर हर स्तर से उसके आकार के अनुपात में यादृच्छिक प्रतिदर्श लेता। यह है:

    1. आनुपातिक स्तरित यादृच्छिक प्रतिचयन
    2. गुच्छ प्रतिचयन
    3. कोटा प्रतिचयन
    4. व्यवस्थित प्रतिचयन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आनुपातिक स्तरित यादृच्छिक प्रतिचयन

    स्तर भीतर से समरूप व हर स्तर यादृच्छिक प्रतिदर्शित, जो परिशुद्धता बढ़ाता। गुच्छ प्रतिचयन पूरे विषम समूह; कोटा प्रतिचयन वही अनुपात अयादृच्छिक भरता; व्यवस्थित हर k-वीं इकाई।

  6. प्रतिदर्श आकार चार गुना बढ़ाने पर प्रतिदर्श माध्य की मानक त्रुटि:

    1. आधी हो जाती
    2. एक-चौथाई हो जाती
    3. दोगुनी हो जाती
    4. अपरिवर्तित रहती
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आधी हो जाती

    मानक त्रुटि = σ/√n; n को 4 से गुणा √n को 2 से गुणा, अतः त्रुटि आधी। परिशुद्धता केवल प्रतिदर्श आकार के वर्गमूल से सुधरती, इसीलिए सटीकता दोगुनी चार गुना प्रतिदर्श।

  7. वास्तव में सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकारना है:

    1. प्रकार I त्रुटि, जिसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α
    2. प्रकार II त्रुटि, जिसकी प्रायिकता β
    3. परीक्षण की शक्ति
    4. प्रतिचयन त्रुटि
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रकार I त्रुटि, जिसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α

    प्रकार I मिथ्या चेतावनी व α उसकी प्रायिकता; प्रकार II असत्य शून्य अस्वीकारने में विफलता व β उसकी प्रायिकता; शक्ति 1 − β, वास्तविक प्रभाव पहचानने की संभावना। नियत प्रतिदर्श आकार पर α घटाना β बढ़ाता।

  8. 3 × 4 आसंग सारणी से ब्रांड वरीयता लिंग से स्वतंत्र है या नहीं परखने हेतु उपयुक्त परीक्षण व उसकी स्वातंत्र्य कोटियाँ:

    1. 6 स्वातंत्र्य कोटियों सहित काई-वर्ग परीक्षण
    2. 12 स्वातंत्र्य कोटियों सहित काई-वर्ग परीक्षण
    3. (2, 3) स्वातंत्र्य कोटियों सहित F-परीक्षण
    4. 11 स्वातंत्र्य कोटियों सहित t-परीक्षण
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 6 स्वातंत्र्य कोटियों सहित काई-वर्ग परीक्षण

    आसंग सारणी में श्रेणीबद्ध बारंबारताएँ df = (r − 1)(c − 1) = 2 × 3 = 6 सहित काई-वर्ग स्वतंत्रता परीक्षण चाहतीं। F प्रसरण या कई माध्य तुलना, t एक या दो माध्य।

  9. चार क्षेत्रों की औसत बिक्री की तुलना कि वे सार्थक रूप से भिन्न हैं या नहीं, चाहती:

    1. एक-मार्गी प्रसरण विश्लेषण (F-परीक्षण)
    2. युग्मित t-परीक्षण
    3. एक माध्य हेतु Z-परीक्षण
    4. काई-वर्ग मेल परीक्षण
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक-मार्गी प्रसरण विश्लेषण (F-परीक्षण)

    तीन या अधिक माध्यों को ANOVA चाहिए, जो कुल विचरण को समूहों-के-बीच व समूहों-के-भीतर घटकों में बाँटता और उनके अनुपात को (k − 1, N − k) स्वातंत्र्य कोटियों सहित F के रूप में परखता। t-परीक्षण अधिकतम दो माध्य; काई-वर्ग बारंबारताएँ।

  10. यदि दो समाश्रयण गुणांक byx = 0.8 व bxy = 0.45 हों, तो सहसंबंध गुणांक है:

    1. 0.6
    2. 0.36
    3. 0.625
    4. 1.25
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.6

    r समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य: √(0.8 × 0.45) = √0.36 = 0.6, धनात्मक क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक। 0.36 r², निर्धारण गुणांक — 36% विचरण समझाया।