भौगोलिक तकनीकें III: सांख्यिकीय विधियाँ — केंद्रीय प्रवृत्ति, प्रकीर्णन, असमानता, प्रतिचयन, परिकल्पना परीक्षण, सहसंबंध, सूचकांक, PCA और गुच्छ विश्लेषण — और आकारमितीय विश्लेषण

माध्य हर मान का प्रयोग करता है पर चरम मानों से खिंचता है; माध्यिका (मध्य मान) उनसे अप्रभावित रहती है और आय जैसे विषम आँकड़ों के योग्य है; बहुलक (सर्वाधिक बारंबार मान) नामिक आँकड़ों हेतु एकमात्र औसत है। प्रकीर्णन परास, चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन और, सबसे बढ़कर, मानक विचलन, σ = √[Σ(x − x̄)² ÷ n], से मापा जाता है। आठ मानों 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 और 9 का माध्य 40 ÷ 8 = 5 है, वर्गित विचलनों का योग 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 है, अतः σ = √(32 ÷ 8) = √4 = 2। भिन्न माध्यों वाली श्रेणियों के बीच परिवर्तनशीलता की तुलना हेतु विचरण गुणांक, CV = σ ÷ x̄ × 100, का प्रयोग करें — यहाँ 2 ÷ 5 × 100 = 40 प्रतिशत; वर्षा का ऊँचा CV एक अविश्वसनीय, सूखा-प्रवण प्रदेश चिह्नित करता है।

असमानता के अपने माप हैं। लॉरेंज़ वक्र किसी राशि (आय, भूमि, जनसंख्या) के संचयी अंश को इकाइयों के संचयी अंश के सापेक्ष अंकित करता है; विकर्ण पूर्ण समानता है। गिनी गुणांक विकर्ण और वक्र के बीच का क्षेत्रफल विकर्ण के नीचे के पूरे क्षेत्रफल से भाग है — पूर्ण समानता हेतु 0, अधिकतम असमानता हेतु 1। अवस्थिति भागफल, LQ = (eᵢ ÷ e) ÷ (Eᵢ ÷ E), किसी गतिविधि के प्रदेश में अंश की राष्ट्र में उसके अंश से तुलना करता है: यदि किसी ज़िले के 20 प्रतिशत श्रमिक विनिर्माण में हैं और राष्ट्रीय स्तर पर 10 प्रतिशत, तो LQ = 0.20 ÷ 0.10 = 2 — स्पष्ट संकेंद्रण (1 से ऊपर LQ का अर्थ विशेषीकरण, 1 से नीचे अल्प-प्रतिनिधित्व)।

समष्टि की विशेषताओं का अनुमान लगाने हेतु एक प्रतिदर्श का अध्ययन किया जाता है। प्रायिकता अभिकल्प हर इकाई को चयन की ज्ञात संभावना देते हैं — सरल यादृच्छिक, व्यवस्थित (हर k-वीं इकाई), स्तरीकृत (उप-समूहों के भीतर यादृच्छिक, स्तरों के भिन्न होने पर परिशुद्धता बढ़ाता) और गुच्छ या बहु-चरणीय प्रतिचयन; अप्रायिकता अभिकल्प — उद्देश्यपूर्ण, कोटा, हिमकंदुक — औपचारिक अनुमिति का आधार नहीं बन सकते। भूगोलवेत्ता बिंदुओं, रेखाओं (अनुप्रस्थ-पथों) और क्षेत्रों (क्वाड्रेट) द्वारा स्थानिक प्रतिचयन जोड़ते हैं, हर एक यादृच्छिक, व्यवस्थित या स्तरों से चुना हुआ। परिकल्पना परीक्षण एक शून्य परिकल्पना (H₀: कोई अंतर या कोई साहचर्य नहीं) को एक वैकल्पिक के विरुद्ध रखता है, एक सार्थकता स्तर (प्रायः α = 0.05) चुनता है, परीक्षण-सांख्यिकी परिकलित करता है और उसकी सही स्वातंत्र्य कोटि हेतु क्रांतिक मान से तुलना करता है। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रकार I त्रुटि है; असत्य को अस्वीकार न करना प्रकार II त्रुटि है।

एक हल किया काई-वर्ग: समान क्षेत्रफल के दो भू-भागों में 40 भूस्खलन दर्ज होते हैं, 30 शेल पर और 10 ग्रेनाइट पर। यदि चट्टान-प्रकार से कोई अंतर न पड़ता तो हम हर एक पर 20 की अपेक्षा करते, अतः χ² = (30 − 20)² ÷ 20 + (10 − 20)² ÷ 20 = 5 + 5 = 10, df = 1 के साथ। 0.05 स्तर पर क्रांतिक मान 3.84 है, अतः H₀ अस्वीकृत होती है: भूस्खलन शेल से सार्थक रूप से संबद्ध हैं। परीक्षण का चयन स्वयं एक सामान्य प्रश्न है: श्रेणियों में गणनाएँ χ² माँगती हैं; दो माध्य t; तीन या अधिक माध्य ANOVA।

काल-श्रेणी को दीर्घकालिक प्रवृत्ति (दीर्घ अवधि की दिशा), मौसमी भिन्नता, चक्रीय भिन्नता और अनियमित उतार-चढ़ाव में विघटित किया जाता है; प्रवृत्ति चल माध्यों, अर्ध-माध्य विधि या न्यूनतम-वर्ग प्रवृत्ति रेखा से पृथक की जाती है। सहसंबंध एक रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा मापता है: पियर्सन का r = सहप्रसरण ÷ (σₓ σᵧ), −1 से +1 तक; स्पियरमैन का कोटि सहसंबंध, ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)], कोटियों का प्रयोग करता है और क्रमिक आँकड़ों के योग्य है — Σd² = 10 वाले 5 ज़िलों हेतु ρ = 1 − 60 ÷ 120 = 0.5। समाश्रयण न्यूनतम वर्गों से रेखा y = a + bx बैठाता है, जहाँ b x में इकाई परिवर्तन हेतु y में परिवर्तन है; निर्धारण गुणांक, r², y के प्रसरण का व्याख्यायित अंश है, और अवशिष्टों का मानचित्र दिखाता है कि स्थान संबंध से कहाँ विचलित होते हैं — प्रायः विश्लेषण का सबसे भौगोलिक भाग।

विकास और कल्याण भिन्न इकाइयों में कई संकेतकों से बने सूचकांकों से मापे जाते हैं — प्रतिशत में साक्षरता, रुपयों में आय, प्रति लाख अस्पताल-शय्याएँ। उन्हें पहले मापनी-मुक्त बनाना आवश्यक है। z-अंक, z = (x − x̄) ÷ σ, हर मान को माध्य से मानक विचलनों में व्यक्त करता है। परास (न्यूनतम–अधिकतम) सामान्यीकरण, (x − न्यूनतम) ÷ (अधिकतम − न्यूनतम), 0–1 पर पुनर्मापित करता है: 70 प्रतिशत साक्षरता दर, जहाँ न्यूनतम 40 और अधिकतम 90 है, (70 − 40) ÷ (90 − 40) = 30 ÷ 50 = 0.6 बन जाती है — वह विधि जिसे HDI नियत "गोलपोस्ट" के साथ प्रयुक्त करता है। अन्य विकल्प हैं माध्य से अनुपात और कोटि-निर्धारण (केंडल)। फिर समग्र सूचकांक मानकीकृत संकेतकों को सरल या भारित औसत से मिलाता है — या, जैसा HDI 2010 से करता है, गुणोत्तर माध्य से, जो आयामों के बीच प्रतिस्थापन को सीमित करता है। प्रमुख घटक विश्लेषण (PCA) अनेक सहसंबद्ध चरों को कम असहसंबद्ध घटकों में रूपांतरित करता है, हर एक के साथ एक आइगेन-मान जो उसके द्वारा व्याख्यायित प्रसरण बताता है और भार (लोडिंग) जो उसे मूल चरों से जोड़ते हैं; 1 से ऊपर आइगेन-मान वाले घटक प्रायः रखे जाते हैं (कैसर कसौटी), और पहला घटक प्रायः विकास सूचकांक के रूप में प्रयुक्त होता है। गुच्छ विश्लेषण क्षेत्रीय इकाइयों को अनेक चरों में उनकी समानता से समूहित करता है — पदानुक्रमिक रूप से, जैसे वार्ड विधि अपने वृक्षारेख (डेंड्रोग्राम) के साथ, या अपदानुक्रमिक रूप से, जैसे k-माध्य — और प्रदेशीकरण का सांख्यिकीय आधार है।

धारा क्रम-निर्धारण ए.एन. स्ट्रालर (1952, 1957) का अनुसरण करता है, जिन्होंने आर.ई. हॉर्टन की योजना (1945) को संशोधित किया: अशाखित अंगुलि-शीर्ष वाहिकाएँ प्रथम क्रम की हैं; जहाँ क्रम u की दो धाराएँ मिलती हैं, नीचे की धारा क्रम u + 1 की होती है; जहाँ निम्न-क्रम की धारा उच्च-क्रम की धारा से मिलती है, क्रम नहीं बढ़ता। (इसके विपरीत श्रेव की परिमाण-विधि प्रथम-क्रम कड़ियों की संख्याओं को जोड़ती है।) हॉर्टन का धारा-संख्या नियम कहता है कि क्रमिक क्रमों की धाराओं की संख्याएँ एक गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं, जिसका अनुपात द्विशाखन अनुपात है, Rb = Nᵤ ÷ Nᵤ₊₁। 40 प्रथम-क्रम और 10 द्वितीय-क्रम धाराओं के साथ Rb = 40 ÷ 10 = 4। प्रबल संरचनात्मक नियंत्रण-रहित द्रोणियों में Rb प्रायः 3 और 5 के बीच होता है; बहुत ऊँचे मान संरचनात्मक नियंत्रण दर्शाते हैं — भ्रंशों या वलनों से निर्देशित लंबी द्रोणियाँ।

परिच्छेदिकाएँ किसी रेखा के साथ उच्चावच प्रदर्शित करती हैं: क्रमिक परिच्छेदिकाएँ किसी क्षेत्र के आर-पार अंतरालों पर खींची जाती हैं; अध्यारोपित परिच्छेदिकाएँ समरूप शिखर-स्तर प्रकट करने हेतु एक ही आधार पर खींची जाती हैं; प्रक्षेपित परिच्छेदिकाएँ, दूर से देखने पर, केवल वे भाग दिखाती हैं जो निकटतर भूमि से छिपे नहीं; संयुक्त परिच्छेदिकाएँ कई समांतर परिच्छेदिकाओं के उच्चतम बिंदु दिखाती हैं; और किसी नदी की अनुदैर्ध्य परिच्छेदिका उसकी प्रवणता, संतुलित अवतलता और निक-बिंदु दिखाती है। ढाल विश्लेषण समोच्च-अंतराल से औसत ढाल का मानचित्रण करता है — विधियों में वेंटवर्थ (1930) की जाली के साथ समोच्च-प्रतिच्छेदनों की गणना और स्मिथ (1935) का सापेक्ष उच्चावच (इकाई क्षेत्र में उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं का अंतर) हैं। प्रवणता-वक्र (क्लाइनोग्राफ़िक वक्र) (हैन्सन-लो, 1935) क्रमिक समोच्च रेखाओं के बीच औसत ढाल को ऊँचाई के सापेक्ष अंकित करता है, दिखाते हुए कि किन ऊँचाइयों पर प्रदेश खड़ा या मंद है। क्षेत्र-ऊँचाई वक्र (हिप्सोग्राफ़िक वक्र) ऊँचाई को उस क्षेत्रफल के सापेक्ष अंकित करता है जो हर ऊँचाई से ऊपर है; इसका प्रतिशत रूप, स्ट्रालर का हिप्सोमीट्रिक वक्र (1952), सापेक्ष ऊँचाई को सापेक्ष क्षेत्रफल के सापेक्ष प्रयुक्त करता है, और इसका हिप्सोमीट्रिक समाकल अपरदन की अवस्था दर्शाता है — युवा द्रोणियों हेतु ऊँचे मान, पुरानी, समतलीकृत द्रोणियों हेतु कम। तुंगता आवृत्ति आलेख ऊँचाई-वर्गों में बिंदु-ऊँचाइयों या शिखर-ऊँचाइयों की बारंबारता का आयतचित्र है; इसके शिखर विशेष स्तरों पर अपरदन (समतलन) सतहें प्रकट करते हैं।