सांख्यिकीय दृष्टिकोण I: गुण और चर, मापन के पैमाने, केंद्रीय प्रवृत्ति और प्रकीर्णन, मानक त्रुटि, आघूर्ण, विषमता और ककुदता, प्रायिकता, प्रतिचयन सिद्धांत, और प्रसामान्य, लघुगणक-प्रसामान्य, द्विपद, प्वासों, t, χ² और F वितरण

इकाई IX पर्यावरण वैज्ञानिक को निगरानी आँकड़े पढ़ने और मॉडल बनाने के सांख्यिकीय उपकरण देती है। यह अध्याय उसका पहला विषय लेता है: गुण और चर तथा उनके प्रकार; मापन के चार पैमाने; केंद्रीय प्रवृत्ति और प्रकीर्णन के माप, विषम पर्यावरणीय आँकड़ों हेतु गुणोत्तर माध्य सहित; मानक त्रुटि; आघूर्ण, विषमता और ककुदता; प्रायिकता की मूल अवधारणाएँ; प्रतिचयन सिद्धांत; और पाठ्यक्रम में नामित वितरण, प्रसामान्य, लघुगणक-प्रसामान्य, द्विपद, प्वासों, t, χ² और F। आधिकारिक पाठ्यक्रम के पाठ ने निष्कर्षण में एक यूनानी अक्षर खो दिया है, अतः उसके "2 and F-distribution" और "2-test" को χ² (काई-वर्ग) और F वितरण तथा χ²-परीक्षण के रूप में पढ़ना है। शोध सांख्यिकी इस मंच के अन्य पाठ्यक्रमों में भी पढ़ाई गई है; यहाँ उदाहरण पर्यावरणीय हैं, और एक मानक त्रुटि, एक द्विपद प्रायिकता और एक विषमता गुणांक हल किए गए हैं।

1. गुण और चर, और मापन के पैमाने

गुण एक गुणात्मक अभिलक्षण है जिसे केवल वर्गीकृत या गिना जा सकता है, जैसे किसी वृक्ष की प्रजाति, किसी पिक्सेल का भूमि-उपयोग वर्ग या कोई नमूना किसी मानक से अधिक है या नहीं। चर वह अभिलक्षण है जिसे मापा जा सकता है और जो एक प्रेक्षण से दूसरे में बदलता है। मात्रात्मक चर असतत होते हैं, अलग-अलग मान लेते हुए, सामान्यतः गणनाएँ (किसी घोंसले में अंडों की संख्या, प्लेट पर कॉलोनियाँ), या सतत, किसी सीमा में कोई भी मान लेते हुए (तापमान, सांद्रता, वर्षा)। किसी प्रयोग या मॉडल में जिस चर में परिवर्तन किया जाए या जिससे भविष्यवाणी की जाए वह स्वतंत्र चर है, और जो अनुक्रिया करे वह आश्रित चर।

पैमाना (स्टीवन्स, 1946)गुणपर्यावरणीय उदाहरणअनुमेय सांख्यिकी
नामिकबिना क्रम की श्रेणियाँमृदा प्रकार, प्रजाति, भूमि-उपयोग वर्गआवृत्तियाँ, बहुलक, χ² परीक्षण
क्रमिकक्रमबद्ध श्रेणियाँ, असमान या अज्ञात अंतरालवायु गुणवत्ता सूचकांक श्रेणियाँ, IUCN संकट श्रेणियाँ, प्रदूषण-सहिष्णुता क्रमांकनमाध्यिका, शतमक, कोटि सहसंबंध
अंतरालसमान अंतराल पर स्वेच्छ शून्य, अतः अनुपात अर्थहीन°C में तापमान, pH को प्रायः ऐसे माना जाता हैमाध्य, मानक विचलन, सहसंबंध
अनुपातसमान अंतराल और वास्तविक शून्य, अतः अनुपात सार्थकसांद्रता, वर्षा, द्रव्यमान, केल्विन में तापमानसभी सांख्यिकी, गुणोत्तर माध्य और विचरण गुणांक सहित

2. केंद्रीय प्रवृत्ति, प्रकीर्णन और मानक त्रुटि

समांतर माध्य मानों का योग भाग उनकी संख्या है; यह सभी आँकड़ों का प्रयोग करता है पर चरम मानों से खिंचता है। माध्यिका आँकड़ों को क्रमबद्ध करने पर मध्य मान है और बाहरी मानों से अप्रभावित रहती है; बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है। पर्यावरणीय सांद्रताएँ प्रायः दाईं ओर विषम होती हैं, अनेक निम्न मानों और कुछ बहुत उच्च मानों के साथ, और ऐसे आँकड़ों हेतु, विशेषकर जीवाणुओं की गणनाओं हेतु, गुणोत्तर माध्य, n मानों के गुणनफल का n-वाँ मूल (समतुल्य रूप से लघुगणकों के माध्य का प्रतिलघुगणक), पसंदीदा औसत है: प्रति 100 mL 10, 100 और 1,000 की कोलिफ़ॉर्म गणनाओं हेतु गुणोत्तर माध्य 100 है, जबकि समांतर माध्य, 370, एकल उच्च गणना से हावी है। हरात्मक माध्य दरों के औसत हेतु उपयुक्त है।

प्रकीर्णन आँकड़ों का फैलाव मापता है। परास सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का अंतर है; माध्य विचलन माध्य से निरपेक्ष विचलनों का औसत है; प्रसरण वर्गित विचलनों का औसत है, नमूने हेतु s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1), जिसमें भाजक n − 1 नमूने से समष्टि प्रसरण के आकलन की अभिनति का संशोधन करता है; मानक विचलन s प्रसरण का वर्गमूल है, मूल इकाइयों में; और विचरण गुणांक, CV = (s ÷ x̄) × 100, माध्य के सापेक्ष फैलाव व्यक्त करता है, भिन्न इकाइयों या परिमाणों वाले चरों के बीच परिवर्तनशीलता की तुलना संभव बनाता हुआ। माध्य की मानक त्रुटि, SE = s ÷ √n, मापती है कि नमूना माध्य समष्टि माध्य का कितनी परिशुद्धता से आकलन करता है, और यह नमूना बढ़ने पर घटती है: इसे आधा करने हेतु नमूना चौगुना करना होता है।

घुली ऑक्सीजन (mg/L) xविचलन x − x̄वर्गित विचलन
4−24
824
600
5−11
711
योग 30, माध्य 6योग 0योग 10

इन पाँच पाठ्यांकों हेतु s² = 10 ÷ 4 = 2.5, s = √2.5 ≈ 1.58 mg/L, CV = 1.58 ÷ 6 × 100 ≈ 26% और SE = 1.58 ÷ √5 ≈ 0.71 mg/L। माध्य से विचलनों का योग सदा शून्य होता है, इसीलिए उनका वर्ग किया जाता है।

3. आघूर्ण, विषमता और ककुदता

किसी वितरण का r-वाँ केंद्रीय आघूर्ण माध्य से विचलनों की r-वीं घात का माध्य है, μr = Σ(x − x̄)^r ÷ n। पहला केंद्रीय आघूर्ण सदा शून्य है; दूसरा प्रसरण है; तीसरा असममिति मापता है; और चौथा पुच्छों का भार और शिखरता मापता है। विषमता आघूर्ण गुणांक γ₁ = μ₃ ÷ σ³ (या β₁ = μ₃² ÷ μ₂³) से मापी जाती है: सममित वितरण हेतु शून्य, धनात्मक जब लंबी पुच्छ दाईं ओर हो (माध्य > माध्यिका > बहुलक), जैसे अधिकांश प्रदूषक सांद्रताओं और आय में, और ऋणात्मक जब वह बाईं ओर हो। कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक माध्य, बहुलक और माध्यिका का प्रयोग करता है: Sk = (माध्य − बहुलक) ÷ s, या, चूँकि मध्यम विषम वितरणों में माध्य − बहुलक ≈ 3(माध्य − माध्यिका), Sk ≈ 3(माध्य − माध्यिका) ÷ s। 40 माध्य, 36 माध्यिका और 12 मानक विचलन के साथ Sk = 3 × 4 ÷ 12 = 1.0, एक स्पष्ट धनात्मक विषमता।

ककुदता β₂ = μ₄ ÷ σ⁴ से मापी जाती है, जो प्रसामान्य वितरण हेतु 3 के बराबर है; अतः अतिरिक्त ककुदता, β₂ − 3, प्रसामान्य वक्र हेतु शून्य है। β₂ > 3 वाला वितरण तुंगककुदी है, भारी पुच्छों सहित तीक्ष्ण शिखर वाला, जिसका अर्थ है कि चरम मान प्रसामान्य वक्र की भविष्यवाणी से अधिक बार आते हैं, जो पर्यावरणीय जोखिम हेतु चेतावनी है; β₂ < 3 वाला चिपिटककुदी है, हल्की पुच्छों सहित चपटे शीर्ष वाला; और β₂ = 3 वाला मध्यककुदी है।

⚠️ धनात्मक विषमता का अर्थ है पुच्छ दाईं ओर है
धनात्मक विषम वितरण में अधिकांश आँकड़े निम्न मानों पर होते हैं और कुछ उच्च मान पुच्छ को दाईं ओर खींचते हैं, अतः माध्य माध्यिका से अधिक होता है, जो बहुलक से अधिक होती है। "धनात्मक" को "अधिकांश मान उच्च हैं" पढ़ना इसे उलट देता है। और 3 का ककुदता गुणांक प्रसामान्य है, "शून्य ककुदता" नहीं; अतिरिक्त ककुदता शून्य होती है।

4. मूल प्रायिकता सिद्धांत और प्रतिचयन सिद्धांत

प्रायिकता किसी घटना की संभावना को 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के पैमाने पर मापती है। इसे शास्त्रीय रूप से, अनुकूल परिणाम भाग समान रूप से संभावित संभव परिणाम; आनुभविक रूप से, दीर्घकालिक सापेक्ष आवृत्ति के रूप में; या स्वयंसिद्ध रूप से (कोल्मोगोरोव) परिभाषित किया जा सकता है। योग नियम P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B) देता है, जो परस्पर अपवर्जी घटनाओं हेतु P(A) + P(B) हो जाता है; गुणन नियम स्वतंत्र घटनाओं हेतु P(A और B) = P(A) × P(B) और सामान्यतः P(A) × P(B | A) देता है, जहाँ P(B | A), A दिए होने पर B की सप्रतिबंध प्रायिकता है। बेज़ प्रमेय सप्रतिबंध प्रायिकताओं को उलटता है और नए साक्ष्य से जोखिम आकलनों के अद्यतन का आधार है। पर्यावरणीय अनुप्रयोगों में बाढ़ का प्रत्यावर्तन काल, T = 1 ÷ p, शामिल है, जहाँ p अतिक्रमण की वार्षिक प्रायिकता है: "100-वर्षीय बाढ़" की किसी भी वर्ष में होने की 1% संभावना है, और 30 वर्षों में कम से कम एक की संभावना 1 − 0.99³⁰ ≈ 26% है।

प्रतिचयन सिद्धांत एक नमूने से किसी समष्टि, रुचि की इकाइयों के पूरे समुच्चय, के विषय में निष्कर्ष निकालने से संबंधित है। नमूने से परिकलित सांख्यिकी (जैसे x̄) समष्टि के प्राचल (जैसे µ) का आकलन करती है। सरल यादृच्छिक प्रतिचयन में हर इकाई के चयन की समान संभावना होती है; स्तरित यादृच्छिक प्रतिचयन समष्टि को समरूप स्तरों (उदाहरण के लिए मृदा प्रकार या भूमि-उपयोग क्षेत्र) में बाँटकर हर एक का प्रतिचयन करता है, परिशुद्धता सुधारते हुए; क्रमबद्ध प्रतिचयन हर k-वीं इकाई लेता है या ग्रिड पर बिंदु रखता है, जो क्षेत्रीय सर्वेक्षणों में सामान्य है; और गुच्छ प्रतिचयन इकाइयों के समूहों का प्रतिचयन करता है। सुविधा और विवेक प्रतिचयन जैसी अयादृच्छिक विधियाँ सस्ती हैं पर अभिनत हो सकती हैं। सभी संभव नमूनों पर किसी सांख्यिकी का वितरण उसका प्रतिचयन वितरण है; केंद्रीय सीमा प्रमेय से, नमूना आकार बढ़ने पर माध्य का प्रतिचयन वितरण प्रसामान्य वितरण की ओर जाता है, समष्टि का आकार चाहे जो हो, जिसका मानक विचलन मानक त्रुटि के बराबर होता है। सांख्यिकी और प्राचल का अंतर प्रतिचयन त्रुटि है, जो बड़े नमूनों से घटती है; मापन की त्रुटियाँ और अभिनति अप्रतिचयन त्रुटियाँ हैं जिन्हें बड़े नमूने नहीं हटाते।

5. वितरण: प्रसामान्य, लघुगणक-प्रसामान्य, द्विपद, प्वासों, t, χ² और F

वितरणरूप और प्राचलपर्यावरणीय उपयोग
प्रसामान्यसतत, सममित और घंटी-आकार, माध्य = माध्यिका = बहुलक सहित; प्राचल µ और σ; लगभग 68.3% मान ±1σ, 95.4% ±2σ और 99.7% ±3σ के भीतरमापन त्रुटियाँ, अनेक भौतिक राशियाँ, केंद्रीय सीमा प्रमेय से नमूना माध्य
लघुगणक-प्रसामान्यचर का लघुगणक प्रसामान्य है; चर धनात्मक और दाईं ओर विषम है; गुणोत्तर माध्य और गुणोत्तर मानक विचलन से सारांशितप्रदूषक सांद्रताएँ, कण आकार, जीवाणु गणनाएँ, मृदा में संदूषक स्तर
द्विपदअसतत: n स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या, हर एक की प्रायिकता p; माध्य np, प्रसरण np(1 − p)n में से किसी मानक से अधिक नमूनों की संख्या; भूखंडों में किसी प्रजाति की उपस्थिति या अनुपस्थिति
प्वासोंअसतत: किसी निश्चित अंतराल में दुर्लभ, स्वतंत्र घटनाओं की संख्या; P(x) = e^(−λ) λ^x ÷ x!; माध्य = प्रसरण = λयादृच्छिक परिक्षेपण में प्रति क्वाड्रैट जीवों की गणना, प्रति सेकंड रेडियोधर्मी क्षय, प्रति वर्ष दुर्घटनाएँ
स्टूडेंट का tप्रसामान्य की तरह शून्य के परितः सममित पर भारी पुच्छों सहित; एक प्राचल, स्वातंत्र्य कोटि (एक नमूने हेतु n − 1); स्वातंत्र्य कोटि बढ़ने पर प्रसामान्य की ओर; डब्ल्यू. एस. गॉसेट ("स्टूडेंट", 1908) द्वारा प्रस्तुतσ अज्ञात होने पर छोटे नमूनों से माध्यों के विषय में अनुमिति
काई-वर्ग (χ²)k स्वतंत्र मानक प्रसामान्य चरों के वर्गों का योग; केवल धनात्मक मान, दाईं ओर विषम, माध्य उसकी स्वातंत्र्य कोटि के बराबरउपयुक्तता परीक्षण, आसंग सारणियों में स्वतंत्रता के परीक्षण, प्रसरण हेतु विश्वास्यता अंतराल
Fदो स्वतंत्र χ² चरों का अनुपात, हर एक अपनी स्वातंत्र्य कोटि से विभाजित, अर्थात् दो प्रसरणों का अनुपात; स्वातंत्र्य कोटि के दो प्राचल; आर. ए. फ़िशर के नाम परप्रसरणों की तुलना और प्रसरण विश्लेषण (ANOVA)

दो हल उदाहरण। यदि चार जल नमूनों में से प्रत्येक की किसी मानक से अधिक होने की स्वतंत्र प्रायिकता 0.5 हो, तो ठीक दो के अधिक होने की प्रायिकता C(4, 2) × 0.5² × 0.5² = 6 × 0.0625 = 0.375 है। यदि किसी प्रसामान्य रूप से वितरित सांद्रता का माध्य 50 µg/m³ और मानक विचलन 10 µg/m³ हो, तो 70 से ऊपर का मान माध्य से 2 मानक विचलन ऊपर है (z = 2), और उससे अधिक होने की प्रायिकता लगभग 2.3% है। प्रति क्वाड्रैट 2 माध्य वाली प्वासों गणना हेतु रिक्त क्वाड्रैट की प्रायिकता e⁻² ≈ 0.135 है।

मुख्य बिंदु

  • गुण वर्गीकृत और चर मापे जाते हैं; पैमाने नामिक, क्रमिक, अंतराल (°C, स्वेच्छ शून्य) और अनुपात (सांद्रता, वास्तविक शून्य) हैं, हर एक अपनी सांख्यिकी अनुमत करता है।
  • गुणोत्तर माध्य कोलिफ़ॉर्म गणनाओं जैसे विषम आँकड़ों हेतु उपयुक्त है; s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1), CV = s ÷ x̄ × 100 और SE = s ÷ √n, जो केवल n चौगुना करने पर आधी होती है।
  • तीसरा आघूर्ण विषमता देता है (धनात्मक जब पुच्छ दाईं ओर हो, माध्य > माध्यिका > बहुलक) और चौथा ककुदता (β₂ = 3 प्रसामान्य, 3 से ऊपर तुंगककुदी); पियर्सन का Sk ≈ 3(माध्य − माध्यिका) ÷ s।
  • परस्पर अपवर्जी घटनाओं हेतु प्रायिकताएँ जुड़ती और स्वतंत्र घटनाओं हेतु गुणा होती हैं; बाढ़ का प्रत्यावर्तन काल 1 ÷ p है; क्षेत्र में स्तरित और क्रमबद्ध प्रतिचयन सामान्य हैं, और केंद्रीय सीमा प्रमेय नमूना माध्यों को लगभग प्रसामान्य बनाता है।
  • प्रसामान्य आँकड़े 1/2/3σ के भीतर 68.3/95.4/99.7% होते हैं; सांद्रताएँ प्रायः लघुगणक-प्रसामान्य होती हैं; द्विपद सफलताएँ गिनता है (माध्य np), प्वासों दुर्लभ घटनाएँ (माध्य = प्रसरण); t छोटे नमूनों, χ² उपयुक्तता और स्वतंत्रता, और F प्रसरणों के अनुपात हेतु है; पाठ्यक्रम का "2", χ² है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. मापन के किस पैमाने में समान अंतराल और वास्तविक शून्य होता है, जिससे "दोगुना" जैसे अनुपात सार्थक होते हैं?

    1. अंतराल पैमाना, जैसे °C में तापमान हेतु
    2. अनुपात पैमाना, जैसे प्रदूषक सांद्रता हेतु
    3. क्रमिक पैमाना, जैसे वायु गुणवत्ता सूचकांक श्रेणियों हेतु
    4. नामिक पैमाना, जैसे मृदा प्रकार हेतु
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अनुपात पैमाना, जैसे प्रदूषक सांद्रता हेतु

    20 mg/L की सांद्रता वास्तव में 10 mg/L की दोगुनी है क्योंकि शून्य का अर्थ कुछ नहीं है, जो इसे अनुपात पैमाना बनाता है। °C में तापमान के समान अंतराल हैं पर शून्य स्वेच्छ है, अतः 20 °C, 10 °C से दोगुना गर्म नहीं; क्रमिक और नामिक पैमानों में समान अंतराल होते ही नहीं।

  2. 4, 8, 6, 5 और 7 mg/L के पाँच घुली-ऑक्सीजन पाठ्यांकों का नमूना मानक विचलन √2.5 mg/L है। mg/L में माध्य की मानक त्रुटि, दो दशमलव स्थान तक, क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.71

    SE = s ÷ √n = √2.5 ÷ √5 = √0.5 = 0.707, अर्थात् 0.71 mg/L। स्वयं मानक विचलन (1.58) बताना आँकड़ों के फैलाव को उनके माध्य की परिशुद्धता से भ्रमित करता है।

  3. 3 से अधिक ककुदता आघूर्ण गुणांक β₂ वाले वितरण का वर्णन है

    1. मध्यककुदी, ठीक प्रसामान्य वक्र जैसा
    2. तुंगककुदी, प्रसामान्य से भारी पुच्छों सहित तीक्ष्ण शिखर वाला
    3. चिपिटककुदी, हल्की पुच्छों सहित चपटे शीर्ष वाला
    4. धनात्मक रूप से विषम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — तुंगककुदी, प्रसामान्य से भारी पुच्छों सहित तीक्ष्ण शिखर वाला

    प्रसामान्य वक्र हेतु β₂ = 3; 3 से ऊपर वितरण तुंगककुदी है, अर्थात् चरम मान प्रसामान्य वक्र के सुझाव से अधिक संभावित हैं। 3 से नीचे यह चिपिटककुदी है। ककुदता पुच्छों और शिखरता से, जबकि विषमता असममिति से संबंधित है।

  4. प्वासों वितरण के विषय में कौन-से कथन सही हैं? सभी सही विकल्प चुनिए।

    1. यह सदा सममित और घंटी-आकार होता है
    2. इसका माध्य इसके प्रसरण के बराबर है
    3. यह किसी निश्चित अंतराल में दुर्लभ, स्वतंत्र घटनाओं की संख्या का वर्णन करता है
    4. यह एक असतत वितरण है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — इसका माध्य इसके प्रसरण के बराबर है; C — यह किसी निश्चित अंतराल में दुर्लभ, स्वतंत्र घटनाओं की संख्या का वर्णन करता है; D — यह एक असतत वितरण है

    प्वासों गणनाएँ असतत हैं, क्षय या यादृच्छिक परिक्षेपण में प्रति क्वाड्रैट जीवों जैसी दुर्लभ स्वतंत्र घटनाओं का वर्णन करती हैं, और माध्य = प्रसरण = λ रखती हैं, जो परिक्षेपण के प्रसरण-माध्य परीक्षण का आधार है। छोटे λ हेतु यह प्रबल रूप से दाईं ओर विषम है, केवल बड़े λ हेतु लगभग प्रसामान्य होता है।

  5. चार जल नमूनों में से प्रत्येक की किसी निस्सरण मानक से अधिक होने की स्वतंत्र प्रायिकता 0.5 है। चार में से ठीक दो के अधिक होने की प्रायिकता क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थान तक दीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.375

    द्विपद वितरण से P(2) = C(4, 2) p² (1 − p)² = 6 × 0.25 × 0.25 = 0.375। यह भूलना कि कौन-से दो नमूने अधिक हैं यह छह प्रकार से चुना जा सकता है, 0.0625 देता है, जो केवल एक विशेष व्यवस्था की प्रायिकता है।

  6. अभिकथन (A): कोलिफ़ॉर्म गणनाओं के सारांश हेतु समांतर माध्य की तुलना में गुणोत्तर माध्य को वरीयता दी जाती है। कारण (R): ऐसी गणनाएँ सामान्यतः दाईं ओर विषम और लगभग लघुगणक-प्रसामान्य होती हैं, अतः कुछ बहुत उच्च मान समांतर माध्य को विकृत करते हैं। सही विकल्प चुनिए।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है

    दोनों सत्य हैं और R, A की व्याख्या करता है। लघुगणकों का औसत लेना, जो गुणोत्तर माध्य करता है, आँकड़ों को उस पैमाने पर लेता है जिस पर वे लगभग प्रसामान्य हैं, अतः 10, 100 और 1,000 की गणनाएँ एक उच्च गणना द्वारा तय समांतर 370 के बजाय 100 देती हैं।

  7. एक प्रसामान्य रूप से वितरित प्रदूषक सांद्रता का माध्य 50 µg/m³ और मानक विचलन 10 µg/m³ है। किसी एकल मापन के 70 µg/m³ से अधिक होने की प्रायिकता लगभग है

    1. 2.3%
    2. 0.3%
    3. 5%
    4. 16%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2.3%

    70 माध्य से दो मानक विचलन ऊपर है (z = 2), और प्रसामान्य वितरण का लगभग 95.4% ±2σ के भीतर है, जिससे हर पुच्छ में लगभग 2.3% बचता है। 16% एक मानक विचलन से आगे की पुच्छ है और 0.3% ±3σ से आगे का कुल है।

  8. स्टूडेंट के t-वितरण के विषय में कौन-से कथन सही हैं? सभी सही विकल्प चुनिए।

    1. यह केवल धनात्मक मान लेता है
    2. यह शून्य के परितः सममित है
    3. स्वातंत्र्य कोटि बढ़ने पर यह प्रसामान्य वितरण की ओर जाता है
    4. इसका प्रसरण स्वातंत्र्य कोटि चाहे जो हो, 1 के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — यह शून्य के परितः सममित है; C — स्वातंत्र्य कोटि बढ़ने पर यह प्रसामान्य वितरण की ओर जाता है

    t-वितरण प्रसामान्य की तरह सममित है पर उसकी पुच्छें भारी हैं, और स्वातंत्र्य कोटि बढ़ने पर वह मानक प्रसामान्य में अभिसरित होता है। इसका प्रसरण, df ÷ (df − 2), छोटे नमूनों हेतु 1 से अधिक है, और यह धनात्मक के साथ ऋणात्मक मान भी लेता है; यहाँ केवल-धनात्मक वितरण χ² और F हैं।

  9. मृदा-सीसे के मापनों के एक समुच्चय का माध्य 40 mg/kg, माध्यिका 36 mg/kg और मानक विचलन 12 mg/kg है। पियर्सन का विषमता गुणांक, 3(माध्य − माध्यिका) ÷ s, है

    1. 0.33, ऋणात्मक विषमता दर्शाता हुआ
    2. 0, सममिति दर्शाता हुआ
    3. −1.0, ऋणात्मक विषमता दर्शाता हुआ
    4. 1.0, धनात्मक विषमता दर्शाता हुआ
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 1.0, धनात्मक विषमता दर्शाता हुआ

    Sk = 3 × (40 − 36) ÷ 12 = 12 ÷ 12 = 1.0। माध्यिका से ऊपर माध्य दाईं ओर उच्च मानों की पुच्छ दर्शाता है, जो संदूषक आँकड़ों में विशिष्ट है; 3 का गुणक छोड़ना 0.33 देता है, और माध्य > माध्यिका से कोई धनात्मक मान निकलता है, ऋणात्मक नहीं।

  10. पाठ्यक्रम का पाठ "t, 2 and F-distribution" पढ़ता है, एक यूनानी अक्षर खो जाने के कारण। दो स्वतंत्र प्रसरण आकलनों का अनुपात, हर एक अपनी स्वातंत्र्य कोटि से विभाजित, के रूप में परिभाषित वितरण है

    1. t-वितरण
    2. F-वितरण
    3. प्वासों वितरण
    4. χ² (काई-वर्ग) वितरण
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — F-वितरण

    F-वितरण दो मापित χ² चरों, अर्थात् दो प्रसरणों, का अनुपात है और ANOVA का आधार है। पाठ्यक्रम का खोया "2", χ² है, जो स्वयं वर्गित मानक प्रसामान्य चरों का योग है; t किसी माध्य का उसकी मानक त्रुटि पर वर्णन करता है।