सांख्यिकीय दृष्टिकोण II और प्रतिरूपण: सहसंबंध, समाश्रयण, परिकल्पना परीक्षण (t, χ² और ANOVA), सार्थकता और विश्वास्यता सीमाएँ, पर्यावरणीय मॉडल, वैधीकरण और पूर्वानुमान, तथा लोटका–वोल्टेरा और लेस्ली आव्यूह मॉडल
1. सहसंबंध और समाश्रयण
सहसंबंध दो चरों के बीच रैखिक साहचर्य की प्रबलता और दिशा मापता है। कार्ल पियर्सन का गुणनफल-आघूर्ण गुणांक, r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² × Σ(y − ȳ)²], −1 और +1 के बीच होता है: +1 पूर्ण धनात्मक रैखिक संबंध है, −1 पूर्ण ऋणात्मक और 0 कोई रैखिक संबंध नहीं, यद्यपि कोई प्रबल वक्र संबंध भी r को शून्य के निकट दे सकता है। r का वर्ग, निर्धारण गुणांक r², एक चर के विचरण का वह अनुपात है जो दूसरे के साथ उसके रैखिक संबंध से समझाया जाता है। जब आँकड़े कोटियाँ हों या स्पष्टतः अप्रसामान्य हों, तब स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध गुणांक, ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)], जहाँ d हर मद की दो कोटियों का अंतर है, प्रयुक्त होता है।
समाश्रयण बताता है कि एक चर दूसरे के साथ कैसे बदलता है, ताकि एक से दूसरे का पूर्वानुमान हो सके। x पर y की न्यूनतम-वर्ग रेखा, y = a + bx, अंतःखंड a और ढाल b को ऐसे चुनती है कि रेखा से बिंदुओं के ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम हो: b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)² और a = ȳ − bx̄, अतः रेखा सदा बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती है। x पर y का समाश्रयण गुणांक byx = r × sy ÷ sx है, और y पर x का bxy = r × sx ÷ sy; अतः r = ±√(byx × bxy), दोनों समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य, उनके साझा चिह्न सहित। सहसंबंध x और y में सममित है; समाश्रयण नहीं, क्योंकि वह एक चर को पूर्वानुमापक मानता है।
| यातायात x (हज़ार वाहन प्रति घंटा) | NO₂ y (µg/m³) | x − x̄ | y − ȳ | गुणनफल | (x − x̄)² | (y − ȳ)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 20 | −2 | −20 | 40 | 4 | 400 |
| 2 | 40 | −1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 50 | 0 | 10 | 0 | 0 | 100 |
| 4 | 40 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 50 | 2 | 10 | 20 | 4 | 100 |
| माध्य 3 | माध्य 40 | योग 0 | योग 0 | योग 60 | योग 10 | योग 600 |
इन पाँच सड़क-किनारे पाठ्यांकों हेतु r = 60 ÷ √(10 × 600) = 60 ÷ √6,000 ≈ 60 ÷ 77.46 ≈ 0.77, और r² = 3,600 ÷ 6,000 = 0.60, अतः यातायात NO₂ के विचरण का 60% समझाता है। ढाल b = 60 ÷ 10 = 6 µg/m³ प्रति हज़ार वाहन है और अंतःखंड a = 40 − 6 × 3 = 22, जिससे NO₂ = 22 + 6x मिलता है। 4.5 हज़ार वाहनों पर पूर्वानुमान (49 µg/m³) अंतर्वेशन है; 20 हज़ार पर पूर्वानुमान आँकड़ों से बहुत आगे बहिर्वेशन है और उस पर भरोसा नहीं करना चाहिए।
2. परिकल्पना परीक्षण: तर्क, t-परीक्षण और χ²-परीक्षण
परिकल्पना परीक्षण एक शून्य परिकल्पना, H₀, से आरंभ होता है, सामान्यतः कोई अंतर या कोई प्रभाव न होने की (औसत नाइट्रेट स्तर मानक के बराबर है; दो स्थल भिन्न नहीं हैं), और एक वैकल्पिक परिकल्पना, H₁, से। नमूने से एक परीक्षण सांख्यिकी परिकलित की जाती है और H₀ के अंतर्गत उसके प्रतिचयन वितरण से तुलना की जाती है। सार्थकता स्तर, α, सामान्यतः 0.05 या 0.01, H₀ के सत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है, जो प्रथम प्रकार की त्रुटि है; H₀ के असत्य होने पर उसे स्वीकार करना द्वितीय प्रकार की त्रुटि है, जिसकी प्रायिकता β है, और 1 − β परीक्षण की शक्ति है। p-मान वह प्रायिकता है कि, यदि H₀ सत्य होती, तो प्रेक्षित परिणाम जितना या उससे अधिक चरम परिणाम मिलता; p के α से कम होने पर H₀ अस्वीकार की जाती है। द्विपुच्छीय परीक्षण किसी भी दिशा में अंतर खोजता है; एकपुच्छीय परीक्षण केवल एक बताई गई दिशा में।
| परीक्षण | सांख्यिकी | स्वातंत्र्य कोटि | पर्यावरणीय उपयोग |
|---|---|---|---|
| एक-नमूना t | t = (x̄ − µ₀) ÷ (s ÷ √n) | n − 1 | क्या किसी स्थल की औसत सांद्रता किसी मानक से भिन्न है? |
| स्वतंत्र द्वि-नमूना t | माध्यों का अंतर भाग उसकी संयुक्त मानक त्रुटि | n₁ + n₂ − 2 | धारा के ऊपर बनाम नीचे का BOD |
| युग्मित t | युग्मित अंतरों का माध्य भाग उसकी मानक त्रुटि | n − 1 (युग्म) | किसी उपचार से पहले और बाद वही कुएँ |
| χ² उपयुक्तता | χ² = Σ(O − E)² ÷ E | k − 1, आँकड़ों से आकलित हर प्राचल हेतु एक कम | क्या प्रेक्षित गणनाएँ किसी अपेक्षित अनुपात या वितरण से मेल खाती हैं? |
| χ² स्वतंत्रता परीक्षण | χ² = Σ(O − E)² ÷ E, जहाँ E = पंक्ति योग × स्तंभ योग ÷ महायोग | (r − 1)(c − 1) | क्या प्रजाति की उपस्थिति आवास प्रकार से स्वतंत्र है? |
दो हल उदाहरण। एक कूप क्षेत्र से सोलह नाइट्रेट नमूनों का माध्य 52 mg/L और मानक विचलन 4 mg/L है; 50 mg/L के विरुद्ध परीक्षण में t = (52 − 50) ÷ (4 ÷ √16) = 2 ÷ 1 = 2.0, 15 स्वातंत्र्य कोटि सहित। 15 स्वातंत्र्य कोटि हेतु द्विपुच्छीय 5% क्रांतिक मान 2.131 है, अतः अंतर 5% स्तर पर सार्थक नहीं है, यद्यपि वह प्रसामान्य मान 1.96 से अधिक होता; छोटे नमूनों को t की चौड़ी सीमाएँ चाहिए। आगे, चार समान आकार के आवास खंडों में 100 घोंसले गिने जाते हैं, 30, 20, 25 और 25, जबकि घोंसले समान रूप से बने होते तो हर एक में 25 अपेक्षित थे: χ² = (25 + 25 + 0 + 0) ÷ 25 = 2.0, 3 स्वातंत्र्य कोटि सहित, जो 7.815 के 5% क्रांतिक मान से बहुत नीचे है, अतः गणनाएँ एकरूपता से सार्थक रूप से भिन्न नहीं हैं। χ²-परीक्षण आवृत्तियों पर लगाया जाता है, प्रतिशतों या मापनों पर नहीं, और हर अपेक्षित आवृत्ति सामान्यतः कम से कम 5 होनी चाहिए।
3. प्रसरण विश्लेषण, सार्थकता और विश्वास्यता सीमाएँ
प्रसरण विश्लेषण (ANOVA), जिसे आर. ए. फ़िशर ने विकसित किया, तीन या अधिक समूहों के माध्यों की एक ही परीक्षण में तुलना करता है, जिससे अनेक युग्मवार t-परीक्षणों की बढ़ी हुई प्रथम प्रकार की त्रुटि से बचा जाता है। एकमार्गी ANOVA में कुल वर्ग-योग को समूहों के बीच वाले भाग और समूहों के भीतर वाले (त्रुटि) भाग में बाँटा जाता है; k समूहों और N प्रेक्षणों हेतु हर एक को उसकी स्वातंत्र्य कोटि, k − 1 और N − k, से भाग देकर माध्य वर्ग मिलते हैं, और F = बीच का माध्य वर्ग ÷ भीतर का माध्य वर्ग की तुलना F-वितरण से की जाती है। द्विमार्गी ANOVA दो कारकों, जैसे स्थल और ऋतु, की एक साथ जाँच करता है: पुनरावृत्ति के बिना यह दोनों मुख्य प्रभावों का अवशिष्ट के विरुद्ध परीक्षण करता है, (r − 1)(c − 1) त्रुटि स्वातंत्र्य कोटि सहित; पुनरावृत्ति सहित यह उनकी अंतःक्रिया का भी परीक्षण करता है, अर्थात् क्या स्थल का प्रभाव ऋतु-दर-ऋतु बदलता है। ANOVA स्वतंत्र प्रेक्षण, प्रसामान्य रूप से वितरित त्रुटियाँ और समूहों में समान प्रसरण मानता है; सार्थक F केवल यह बताता है कि सभी माध्य समान नहीं हैं, और फिर तुकी जैसा पश्च परीक्षण दिखाता है कि कौन-से युग्म भिन्न हैं।
| विचरण का स्रोत | वर्ग-योग | स्वातंत्र्य कोटि | माध्य वर्ग | F |
|---|---|---|---|---|
| स्थलों के बीच | 40 | 3 − 1 = 2 | 40 ÷ 2 = 20 | 20 ÷ 5 = 4.0 |
| स्थलों के भीतर (त्रुटि) | 60 | 15 − 3 = 12 | 60 ÷ 12 = 5 | — |
| कुल | 100 | 15 − 1 = 14 | — | — |
यह तालिका तीन स्थलों पर, हर एक पर पाँच नमूनों सहित, आविलता का एकमार्गी ANOVA है। 5% स्तर पर 2 और 12 स्वातंत्र्य कोटि हेतु क्रांतिक F लगभग 3.89 है, अतः F = 4.0 सार्थक है: सभी स्थलों की औसत आविलता समान नहीं है।
विश्वास्यता सीमाएँ वह परास देती हैं जिसमें समष्टि प्राचल होने की संभावना है। किसी माध्य हेतु 95% विश्वास्यता अंतराल x̄ ± t × SE है, जहाँ t, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि हेतु द्विपुच्छीय 5% मान है; बड़े नमूनों हेतु t, 1.96 की ओर जाता है, और 2.58 से 99% सीमाएँ मिलती हैं। पिछले अध्याय के पाँच घुली-ऑक्सीजन पाठ्यांकों हेतु, माध्य 6 mg/L और SE लगभग 0.707 mg/L सहित, 4 स्वातंत्र्य कोटि हेतु t = 2.776 है, अतः अंतराल 6 ± 1.96 है, लगभग 4.04 से 7.96 mg/L। इसका अर्थ है कि इस प्रकार बने 95% अंतराल वास्तविक माध्य को समाहित करेंगे; छोटा नमूना, अधिक परिवर्ती नमूना या उच्च विश्वास्यता स्तर चौड़ा अंतराल देता है। विश्वास्यता अंतराल और द्विपुच्छीय परीक्षण सहमत होते हैं: 95% अंतराल के बाहर का कोई परिकल्पित मान 5% स्तर पर अस्वीकार होगा।
4. पर्यावरणीय मॉडल: दृष्टिकोण, समाश्रयण मॉडल, वैधीकरण और पूर्वानुमान
मॉडल किसी तंत्र का सरलीकृत निरूपण है जिसका प्रयोग उसे समझने या उसके व्यवहार का पूर्वानुमान करने हेतु होता है। पर्यावरणीय मॉडलों का कई प्रकार से वर्गीकरण होता है: आनुभविक या सांख्यिकीय मॉडल, जो समाश्रयण जैसे प्रेक्षित संबंधों से बनते हैं, बनाम क्रियाविधिक या प्रक्रिया-आधारित मॉडल, जो भौतिक, रासायनिक और जैविक नियमों से बनते हैं, जैसे पिछले अध्यायों में आए स्ट्रीटर–फ़ेल्प्स ऑक्सीजन-अवनमन और गाउसीय प्लूम मॉडल; नियतात्मक मॉडल, जो दिए गए निवेश हेतु एक निर्गत देते हैं, बनाम प्रसंभाव्य मॉडल, जो यादृच्छिक विचरण सम्मिलित करते हैं और परिणामों का वितरण देते हैं; स्थैतिक बनाम गतिक मॉडल, जो समय के साथ परिवर्तन का अनुसरण करते हैं; और संकेंद्रित मॉडल, जो तंत्र को एकसमान मानते हैं, बनाम वितरित मॉडल, जो उसे स्थान में विभाजित करते हैं।
- समस्या और प्रयोजन परिभाषित करना: मॉडल को किस प्रश्न का, किस पैमाने पर और किस परिशुद्धता से उत्तर देना है।
- अवधारणात्मक मॉडल बनाना: घटक, उनके बीच के प्रवाह और तंत्र की सीमाएँ, प्रायः बॉक्स-और-तीर आरेख के रूप में।
- उसे गणितीय रूप में, समीकरणों के रूप में, सूत्रित करना और कंप्यूटर प्रोग्राम के रूप में लिखना; फिर सत्यापन जाँचता है कि प्रोग्राम समीकरणों को सही हल करता है।
- उसका अंशांकन करना: प्राचलों को तब तक समायोजित करना जब तक निर्गत प्रेक्षित आँकड़ों के एक समुच्चय से मेल न खाए।
- उसका वैधीकरण करना: निर्गत की तुलना अंशांकन में अप्रयुक्त स्वतंत्र आँकड़ों से करना, निर्धारण गुणांक, वर्ग-माध्य-मूल त्रुटि और अभिनति जैसे मापों का प्रयोग करते हुए।
- संवेदनशीलता विश्लेषण करना, यह पता लगाते हुए कि कौन-से प्राचल निर्गत को सबसे अधिक प्रभावित करते हैं, और फिर मॉडल को परिदृश्यों और पूर्वानुमानों पर लागू करना।
रैखिक समाश्रयण मॉडल सबसे सामान्य आनुभविक मॉडल हैं। सरल रैखिक समाश्रयण मॉडल, y = a + bx + e, एक अनुक्रिया को एक पूर्वानुमापक से जोड़ता है, e यादृच्छिक त्रुटि है। बहु समाश्रयण मॉडल, y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + … + bₖxₖ + e, अनेक पूर्वानुमापकों का प्रयोग करता है, जैसे तापमान, सौर विकिरण और पवन वेग से ओज़ोन का पूर्वानुमान; हर आंशिक समाश्रयण गुणांक अन्य को स्थिर रखते हुए उस पूर्वानुमापक में इकाई परिवर्तन पर y का परिवर्तन देता है। इसकी उपयुक्तता बहु निर्धारण गुणांक R² से और, क्योंकि पूर्वानुमापक जोड़ने पर R² कभी घटता नहीं, समायोजित R² से आँकी जाती है, जो अनावश्यक पूर्वानुमापकों पर दंड लगाता है। प्रबल रूप से अंतःसहसंबद्ध पूर्वानुमापक, अर्थात् बहुसंरेखता, अलग-अलग गुणांकों को अस्थिर बना देते हैं। जो संबंध रैखिक नहीं है उसे प्रायः रूपांतरण से रैखिक बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए किसी घात नियम या चरघातांकी क्षय का लघुगणक लेकर।
पूर्वानुमान किसी वैधीकृत मॉडल का प्रयोग भावी अवस्थाओं या किसी परिदृश्य की अनुक्रिया के पूर्वानुमान हेतु करता है, जैसे नई उत्सर्जन सूची के अंतर्गत वायु गुणवत्ता या नए निस्सरण के अंतर्गत नदी गुणवत्ता। पूर्वानुमान मॉडल को बनाने और परखने में प्रयुक्त दशाओं के परास के भीतर सबसे विश्वसनीय होते हैं; उसके आगे बहिर्वेशन, बदली हुई जलवायु में भी, बढ़ती अनिश्चितता रखता है, इसीलिए पूर्वानुमान विश्वास्यता या पूर्वानुमान अंतरालों सहित दिए जाने चाहिए और नए आँकड़े आने पर मॉडलों का पुनः वैधीकरण किया जाता है।
5. समष्टि वृद्धि और अंतःक्रिया के मॉडल: लोटका–वोल्टेरा और लेस्ली आव्यूह
सबसे सरल समष्टि मॉडल, जो इकाई III में आए, चरघातांकी वृद्धि, dN/dt = rN, और लॉजिस्टिक वृद्धि, dN/dt = rN(1 − N/K), हैं, जिसमें समष्टि N के वहन क्षमता K के निकट आने पर वृद्धि धीमी होती है। लोटका–वोल्टेरा मॉडल, जिन्हें अल्फ़्रेड लोटका (1925) और वीटो वोल्टेरा (1926) ने स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित किया, इन्हें दो अंतःक्रियाशील प्रजातियों तक बढ़ाते हैं। पाठ्यक्रम का "Lotka-Voltera", Volterra की अशुद्ध वर्तनी है।
परभक्षी–शिकार मॉडल में शिकार N परभक्षियों के बिना चरघातांकी रूप से बढ़ते हैं और मुठभेड़ों के अनुपात में हटाए जाते हैं, dN/dt = rN − αNP, जबकि परभक्षी P पकड़े गए शिकार को संतति में बदलते हैं और स्थिर दर से मरते हैं, dP/dt = βNP − mP, जहाँ α आक्रमण दर है, β पकड़े गए शिकार का परभक्षी वृद्धि में रूपांतरण और m परभक्षी मृत्यु दर। दोनों दरों को शून्य रखने पर साम्य N* = m ÷ β और P* = r ÷ α मिलता है: शिकार का साम्य परभक्षी के प्राचलों से और परभक्षी का साम्य शिकार की वृद्धि दर से तय होता है। साम्य से दूर दोनों समष्टियाँ उदासीन चक्रों में दोलन करती हैं, परभक्षी शिखर शिकार शिखर से एक-चौथाई चक्र पीछे रहता है, यह प्रतिरूप प्रायः लिंक्स और स्नोशू खरगोश के हडसन बे कंपनी के दीर्घ फ़र अभिलेखों से तुलना किया जाता है।
प्रतिस्पर्धा मॉडल हर प्रजाति के लॉजिस्टिक समीकरण में दूसरी का प्रभाव जोड़ता है: dN₁/dt = r₁N₁(K₁ − N₁ − α₁₂N₂) ÷ K₁ और dN₂/dt = r₂N₂(K₂ − N₂ − α₂₁N₁) ÷ K₂, जहाँ α₁₂ प्रतिस्पर्धा गुणांक है, प्रजाति 2 के एक सदस्य का प्रजाति 1 पर प्रभाव, प्रजाति 1 की इकाइयों में। शून्य-वृद्धि समनति रेखाएँ (आइसोक्लाइन) आलेखित करने पर चार परिणाम मिलते हैं: कोई भी प्रजाति पूर्णतः जीत सकती है, विजेता आरंभिक संख्या पर निर्भर हो सकता है (अस्थिर साम्य), या दोनों स्थिर रूप से सहअस्तित्व रख सकती हैं जब K₁ < K₂ ÷ α₂₁ और K₂ < K₁ ÷ α₁₂, अर्थात् जब हर प्रजाति स्वयं को दूसरी से अधिक सीमित करती है। जब प्रजातियाँ अत्यधिक समान हों, तब परिणाम प्रतिस्पर्धी अपवर्जन, गॉज़ का सिद्धांत, होता है।
लेस्ली आव्यूह मॉडल (पी. एच. लेस्ली, 1945) किसी आयु-संरचित समष्टि का असतत काल चरणों में प्रक्षेपण करता है। समष्टि हर आयु वर्ग की संख्याओं का एक सदिश, n(t), है, और आव्यूह L की शीर्ष पंक्ति में आयु-विशिष्ट प्रजनन-क्षमताएँ तथा उपविकर्ण पर हर वर्ग से अगले वर्ग तक उत्तरजीविता प्रायिकताएँ होती हैं, शेष स्थानों पर शून्य; तब n(t + 1) = L × n(t)। बार-बार प्रक्षेपण एक स्थिर आयु वितरण में स्थिर हो जाता है, जो L के प्रभावी आइगेन सदिश से मिलता है, और हर चरण में प्रभावी आइगेनमान λ से बढ़ता है: λ > 1 का अर्थ वृद्धि, λ = 1 स्थिर समष्टि और λ < 1 ह्रास। इसका प्रयोग दोहन योजना, संकटग्रस्त प्रजातियों की पुनर्प्राप्ति के प्रक्षेपण और यह पूछने में होता है कि कौन-सी जीवन अवस्था λ को सबसे अधिक प्रभावित करती है।
| लेस्ली आव्यूह पंक्ति | आयु वर्ग 0 | आयु वर्ग 1 | आयु वर्ग 2 | n(0) | n(1) = L × n(0) |
|---|---|---|---|---|---|
| प्रजनन-क्षमताएँ (वर्ग 0 को) | 0 | 4 | 3 | 10 | 0 × 10 + 4 × 10 + 3 × 10 = 70 |
| वर्ग 1 तक उत्तरजीविता | 0.5 | 0 | 0 | 10 | 0.5 × 10 = 5 |
| वर्ग 2 तक उत्तरजीविता | 0 | 0.25 | 0 | 10 | 0.25 × 10 = 2.5 |
तीनों आयु वर्गों में से हर एक में 10 सदस्यों से आरंभ करने पर एक चरण 70 नवजात, 5 एक-वर्षीय और 2.5 द्वि-वर्षीय देता है, कुल 77.5, जबकि पहले 30 थे। आयु संरचना आरंभ में स्थिर से बहुत दूर है; कई चरणों के बाद ही वर्गों के बीच अनुपात स्थिर होता है और कुल स्थिर गुणक λ से बढ़ता है।
मुख्य बिंदु
- पियर्सन का r, −1 से +1 तक होता है और r² समझाए गए विचरण का भाग है; स्पीयरमैन का ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)] कोटियों हेतु है; r = ±√(byx × bxy), और समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं। सहसंबंध कारणता नहीं है।
- α प्रथम प्रकार की त्रुटि (सत्य H₀ को अस्वीकार करना) की प्रायिकता है और 1 − β शक्ति; t माध्यों का परीक्षण करता है (एक नमूने हेतु df n − 1, दो हेतु n₁ + n₂ − 2), और χ² = Σ(O − E)² ÷ E आवृत्तियों का (उपयुक्तता हेतु df k − 1, स्वतंत्रता हेतु (r − 1)(c − 1))।
- ANOVA तीन या अधिक माध्यों की तुलना F = बीच का MS ÷ भीतर का MS (df k − 1 और N − k) से करता है; पुनरावृत्ति सहित द्विमार्गी ANOVA अंतःक्रिया का परीक्षण करता है; 95% विश्वास्यता सीमाएँ x̄ ± t × SE हैं, जो बड़े नमूनों हेतु ± 1.96 SE की ओर जाती हैं।
- मॉडल आनुभविक या क्रियाविधिक, नियतात्मक या प्रसंभाव्य, स्थैतिक या गतिक, संकेंद्रित या वितरित होते हैं; पूर्वानुमान से पहले उन्हें सूत्रित, सत्यापित, अंशांकित, स्वतंत्र आँकड़ों पर वैधीकृत और संवेदनशीलता हेतु परखा जाता है, और बहु समाश्रयण समायोजित R² से आँका जाता है।
- लोटका–वोल्टेरा ("Voltera" नहीं) परभक्षी–शिकार साम्य N* = m ÷ β, P* = r ÷ α है, परभक्षी शिखर शिकार शिखरों से पीछे रहते हैं; प्रतिस्पर्धी तब सहअस्तित्व रखते हैं जब हर एक स्वयं को दूसरे से अधिक सीमित करे; लेस्ली आव्यूह n(t + 1) = L × n(t) का प्रक्षेपण करता है, जिसमें λ > 1 का अर्थ वृद्धि है।
अभ्यास प्रश्न (10)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक अध्ययन वाहन घनत्व और सड़क-किनारे कार्बन मोनोऑक्साइड के बीच r = 0.8 का सहसंबंध गुणांक पाता है। कार्बन मोनोऑक्साइड के विचरण का कितना अनुपात वाहन घनत्व के साथ उसके रैखिक संबंध से समझाया जाता है?
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उत्तर: A — 64%
निर्धारण गुणांक r² = 0.8 × 0.8 = 0.64 है, अतः विचरण का 64% रैखिक संबंध से समझाया जाता है और 36% अन्य कारकों पर छूटता है। स्वयं r को अनुपात मानना 80% देता है, और 89% r का वर्ग नहीं बल्कि उसका वर्गमूल होगा।पाँच झीलों को दो प्रेक्षक सुपोषण की गंभीरता के आधार पर कोटि देते हैं, और उनकी कोटियों के अंतरों के वर्गों का योग, Σd², 4 है। स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध गुणांक क्या है? उत्तर एक दशमलव स्थान तक दीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.8
ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)] = 1 − (6 × 4) ÷ (5 × 24) = 1 − 24 ÷ 120 = 1 − 0.2 = 0.8, जो प्रेक्षकों के बीच प्रबल सहमति है। हर में n² − 1 के स्थान पर n² लेना, या 6 का गुणक भूलना, गलत मान देता है।सोलह नाइट्रेट नमूनों का माध्य 52 mg/L और मानक विचलन 4 mg/L है। 50 mg/L के मान के विरुद्ध परीक्षण में t = 2.0 है, 15 स्वातंत्र्य कोटि सहित, और द्विपुच्छीय 5% क्रांतिक मान 2.131 है। सही निष्कर्ष यह है कि
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उत्तर: D — 5% स्तर पर शून्य परिकल्पना अस्वीकार नहीं होती, क्योंकि 2.0, 2.131 से कम है
15 स्वातंत्र्य कोटि पर t सीमा, 2.131, प्रसामान्य 1.96 से चौड़ी है, और 2.0 उसके भीतर आता है, अतः H₀ अस्वीकार नहीं होती। इससे यह सिद्ध नहीं होता कि माध्य ठीक 50 है; इसका अर्थ केवल यह है कि साक्ष्य अपर्याप्त है। t-परीक्षण ठीक छोटे नमूनों के लिए ही है।एक एकमार्गी ANOVA तीन स्थलों पर, हर एक पर पाँच नमूनों सहित, आविलता की तुलना करता है। कौन-से कथन सही हैं? सभी सही विकल्प चुनिए।
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उत्तर: B — F, स्थलों के बीच का माध्य वर्ग भाग स्थलों के भीतर का माध्य वर्ग है; D — स्थलों के बीच और स्थलों के भीतर की स्वातंत्र्य कोटि 2 और 12 हैं
k = 3 और N = 15 पर स्वातंत्र्य कोटि k − 1 = 2 और N − k = 12 हैं, और F दोनों माध्य वर्गों का अनुपात है। सार्थक F का अर्थ केवल यह है कि सभी माध्य समान नहीं हैं; पश्च परीक्षण दिखाता है कि कौन-से भिन्न हैं। ANOVA समान प्रसरण, प्रसामान्य त्रुटियाँ और स्वतंत्रता मानता है।3 आवास प्रकारों गुणा 4 पक्षी प्रजातियों की एक आसंग सारणी पर χ² स्वतंत्रता परीक्षण लगाया जाता है। स्वातंत्र्य कोटि हैं
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उत्तर: D — 6
स्वतंत्रता परीक्षण हेतु df = (r − 1)(c − 1) = (3 − 1)(4 − 1) = 2 × 3 = 6। 12 कोष्ठकों की संख्या है, 11 कोष्ठकों की संख्या में से एक कम है, जो 12 श्रेणियों पर उपयुक्तता परीक्षण में लागू होता, और 7 दोनों घटाई गई विमाओं का गुणा करने के स्थान पर उन्हें जोड़ता है।अभिकथन (A): दो पर्यावरणीय चरों के बीच सांख्यिकीय रूप से सार्थक सहसंबंध स्वयं यह नहीं दर्शाता कि एक दूसरे का कारण है। कारण (R): दोनों चर किसी तीसरे चर, जैसे तापमान या ऋतु, पर प्रतिक्रिया कर सकते हैं। सही विकल्प चुनिए।
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उत्तर: A — A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
दोनों सत्य हैं और R, A की व्याख्या करता है। कोई भ्रामक तीसरा चर वह पारंपरिक कारण है जिससे सहसंबंध कारणता स्थापित नहीं कर सकता: शैवाल प्रस्फुटन और मछलियों की मृत्यु में सहसंबंध हो सकता है क्योंकि दोनों गर्म, पोषक-समृद्ध दशाओं के पीछे आते हैं। कारणता के लिए क्रियाविधि, सही कालक्रम और आदर्शतः प्रयोग चाहिए।लोटका–वोल्टेरा परभक्षी–शिकार मॉडल, dN/dt = rN − αNP और dP/dt = βNP − mP, में r = 0.5, α = 0.01, β = 0.002 और m = 0.2 है। शिकार N* और परभक्षियों P* की साम्य समष्टियाँ हैं
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उत्तर: C — N* = 100 और P* = 50
dP/dt = 0 रखने पर N* = m ÷ β = 0.2 ÷ 0.002 = 100 मिलता है, और dN/dt = 0 रखने पर P* = r ÷ α = 0.5 ÷ 0.01 = 50। शिकार का साम्य परभक्षी के प्राचलों पर निर्भर है और परभक्षी का शिकार के प्राचलों पर; अन्य विकल्प प्राचलों को गलत जोड़ते हैं।किसी पर्यावरणीय मॉडल को विकसित करने और परखने के विषय में कौन-से कथन सही हैं? सभी सही विकल्प चुनिए।
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उत्तर: A — संवेदनशीलता विश्लेषण उन प्राचलों की पहचान करता है जो निर्गत को सबसे अधिक प्रभावित करते हैं; B — अंशांकन आँकड़ों के परास से बहुत बाहर के पूर्वानुमान बढ़ती अनिश्चितता रखते हैं; D — वैधीकरण मॉडल निर्गत की तुलना अंशांकन में अप्रयुक्त स्वतंत्र आँकड़ों से करता है
वैधीकरण को वे आँकड़े चाहिए जो मॉडल ने नहीं देखे, संवेदनशीलता विश्लेषण प्राचलों के प्रभाव को क्रम देता है, और परखे गए परास से आगे बहिर्वेशन उत्तरोत्तर अनिश्चित होता है। अंशांकन आँकड़ों से निकट मेल तो निर्माण से ही अपेक्षित है और बहुत कम सिद्ध करता है, क्योंकि पर्याप्त प्राचल लगभग किसी भी चीज़ से मेल बैठा सकते हैं।एक लेस्ली आव्यूह में आयु वर्ग 0, 1 और 2 हेतु प्रजनन-क्षमताएँ 0, 4 और 3 हैं, वर्ग 0 से वर्ग 1 तक उत्तरजीविता 0.5 और वर्ग 1 से वर्ग 2 तक 0.25 है। यदि अभी हर वर्ग में 10 सदस्य हैं, तो एक काल चरण के बाद कितने नवजात (वर्ग 0) होंगे?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 70
लेस्ली आव्यूह की शीर्ष पंक्ति नवजात देती है: 0 × 10 + 4 × 10 + 3 × 10 = 70। उत्तरजीविता पद इसके स्थान पर बड़े वर्ग भरते हैं, वर्ग 1 में 0.5 × 10 = 5 और वर्ग 2 में 0.25 × 10 = 2.5, कुल 77.5।पाठ्यक्रम "Lotka-Voltera model" सूचीबद्ध करता है। पारंपरिक लोटका–वोल्टेरा परभक्षी–शिकार मॉडल के विषय में कौन-सा कथन सही है?
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उत्तर: C — परभक्षी और शिकार समष्टियाँ दोलन करती हैं, परभक्षी शिखर शिकार शिखर से पीछे रहता है
लोटका और वोल्टेरा के नाम पर यह मॉडल (पाठ्यक्रम एक "r" छोड़ देता है) उदासीन चक्र देता है जिनमें शिकार प्रचुर होने के बाद परभक्षी बढ़ते हैं, अतः परभक्षी शिखर पीछे रहता है। इसमें शिकार परभक्षियों के बिना लॉजिस्टिक नहीं, चरघातांकी रूप से बढ़ते हैं, और आयु वर्ग लेस्ली आव्यूह मॉडल के हैं।