समुच्चय, फलन व संततता, अनुक्रम व श्रेणी, तथा अर्थशास्त्र में अवकल कलन

इकाई 4 साधन-पेटी इकाई है — वह गणित जिसका इकाई 1, 2 व 8 वास्तव में उपयोग करतीं। यह अध्याय समुच्चय व फलन, संततता, अनुक्रम व श्रेणी की आधारभूत भाषा, तथा आर्थिक अनुकूलन पर लागू अवकल कलन को समेटता है; अगला अध्याय रैखिक बीजगणित, स्थैतिक अनुकूलन, आगत-निर्गत/रैखिक प्रोग्रामन मॉडल, व अंतर/अवकल समीकरणों को समेटता है।

1. समुच्चय, फलन व संततता

एक फलन f: X → Y, X (प्रांत) के हर अवयव को Y (सहप्रांत) के ठीक एक अवयव से जोड़ता है; यह एकैकी (एक-एक) है यदि भिन्न आगत सदैव भिन्न निर्गत में मानचित्रित हों, आच्छादक (आच्छादी) यदि Y का हर अवयव X के किसी अवयव का प्रतिबिंब हो, व एकैकी-आच्छादक यदि दोनों — एक एकैकी-आच्छादक फलन ठीक वह शर्त है जो प्रतिलोम फलन के अस्तित्व हेतु आवश्यक है। कोई फलन किसी बिंदु पर संतत है यदि आगत में छोटे परिवर्तन निर्गत में मनमाने छोटे परिवर्तन उत्पन्न करें — औपचारिक रूप से, x के किसी बिंदु के निकट पहुँचने पर f(x) की सीमा उस बिंदु पर f के मान के बराबर हो — व माँग, आपूर्ति व उत्पादन फलनों की संततता ही वह आधार है जिस पर (स्थिर-बिंदु प्रमेयों के माध्यम से) इकाई 1 व 3 में समेटे गए मॉडलों में बाज़ार या सामान्य संतुलन का अस्तित्व टिका है।

ℹ️ ध्यान दें
एक फलन परिबद्ध है यदि इसके मान किसी परिमित परिसर के भीतर रहें, व एक समुच्चय उन्नतोदर है यदि इसके किसी भी दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड पूर्णतः समुच्चय के भीतर स्थित हो — अधिमानों (तटस्थता वक्रों), उत्पादन समुच्चयों, व बजट/साध्य समुच्चयों की उन्नतोदरता ठीक वह गणितीय गुणधर्म है जो इकाई 1 भर में उपभोक्ता व उत्पादक अनुकूलन समस्याओं के सुव्यवहृत, अद्वितीय स्पर्श-हल की गारंटी देता है।

2. अनुक्रम व श्रेणी

एक अनुक्रम किसी सीमा L की ओर अभिसरित होता है यदि सूचकांक के असीमित बढ़ने पर इसके पद L के मनमाने निकट पहुँच जाएँ; एक श्रेणी (किसी अनुक्रम के पदों का योग) अभिसरित होती है यदि इसके आंशिक योगों का अनुक्रम किसी परिमित सीमा की ओर अभिसरित हो। प्रथम पद a व सामान्य अनुपात r वाली गुणोत्तर श्रेणी तभी व केवल तभी अभिसरित होती (a/(1−r) की ओर) जब |r| < 1 — यह एकल परिणाम गुणक की व्युत्पत्ति को सीधे आधार देता: प्रेरित व्यय के क्रमिक दौरों को MPC के बराबर अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी के रूप में लिखते हुए, व क्योंकि 0 < MPC < 1, श्रेणी इकाई 2 में समेटे गए संवृत-रूप गुणक 1/(1−MPC) की ओर अभिसरित होती है।

🎯 गुणक को अभिसरण शर्त के लागू होने की आवश्यकता क्यों है
यदि MPC ≥ 1 हो, तो प्रेरित व्यय के क्रमिक दौरों को दर्शाने वाली गुणोत्तर श्रेणी अपसारित हो जाती — कुल व्यय असीमित रूप से बढ़ता, जो एक स्थिर संसाधन-आधार वाली बंद अर्थव्यवस्था हेतु आर्थिक रूप से बेतुका है। सैद्धांतिक अपेक्षा 0 < MPC < 1 अतः कोई मनमाना प्रतिबंध नहीं बल्कि ठीक वह गणितीय अभिसरण शर्त |r| < 1 है जो गुणक की अपनी गुणोत्तर श्रेणी पर लागू है।

3. अवकल कलन व इसके अनुप्रयोग

अवकलज f'(x), x के सापेक्ष f में परिवर्तन की तात्क्षणिक दर देता, व अर्थशास्त्र में हर 'सीमांत' संकल्पना के पीछे यही औपचारिक परिभाषा है — सीमांत उपयोगिता कुल उपयोगिता का अवकलज है, सीमांत लागत कुल लागत का अवकलज, सीमांत उत्पाद कुल उत्पाद का अवकलज। किसी सुचारु फलन के अ-प्रतिबंधित इष्टतम (अधिकतम या न्यूनतम) हेतु, प्रथम-कोटि शर्त f'(x) = 0 माँगती है; यह अकेला किसी अधिकतम को न्यूनतम या काठी-बिंदु से अलग नहीं करता, यही कारण है कि द्वितीय-कोटि शर्त f''(x) के चिह्न की जाँच करती — अधिकतम हेतु ऋणात्मक (वहाँ फलन नतोदर है), न्यूनतम हेतु धनात्मक (वहाँ उन्नतोदर है)। लाभ-अधिकतमीकारी फर्म की शर्त MR = MC ठीक लाभ फलन π(Q) = TR(Q) − TC(Q) पर लागू प्रथम-कोटि शर्त dπ/dQ = 0 है, व MC का MR को नीचे से (ऊपर से नहीं) काटने की अपेक्षा ठीक न्यूनतम की बजाय अधिकतम की द्वितीय-कोटि शर्त है।

प्रचलित आर्थिक अवकलज (विशेष रूप से लोच)
संकल्पनाकलन अभिव्यक्ति
सीमांत फलनसंबंधित कुल फलन का प्रथम अवकलज (जैसे MC = dTC/dQ)।
माँग की बिंदु लोचe = (dQ/dP) × (P/Q) — एक अत्यंत सूक्ष्म कीमत-परिवर्तन हेतु अवकलज का उपयोग कर पुनर्लिखित प्रतिशत-परिवर्तन सूत्र।
किसी फलन की नतोदरता/उन्नतोदरताद्वितीय अवकलज f''(x) का चिह्न — पूरे में ऋणात्मक का अर्थ नतोदर (जैसे ह्रासमान सीमांत उपयोगिता के अधीन कुल उपयोगिता)।
⚠️ f'(x) = 0 अधिकतम हेतु आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं
केवल प्रथम-कोटि शर्त को संतुष्ट करने वाला बिंदु अधिकतम, न्यूनतम, या विभक्ति/काठी-बिंदु हो सकता है — सबसे आम NET त्रुटि f''(x) की जाँच किए बिना f'(x) = 0 पर रुक जाना है। NET ने विशेष रूप से ऐसे मामले परखे हैं जहाँ किसी वर्णित फलन की प्रथम-कोटि शर्त एक बिंदु पर संतुष्ट होती जो, द्वितीय अवकलज की जाँच पर, एक जल्दबाज़ी में मान लिए गए अधिकतम की बजाय न्यूनतम निकलता।

4. आगे के अनुप्रयोग: आंशिक अवकलज व लोच

  • आंशिक अवकलज — उत्पादन फलन Q = f(L, K) जैसे बहु-चर फलन हेतु, आंशिक अवकलज ∂Q/∂L (K को स्थिर रखते हुए) ठीक श्रम का सीमांत उत्पाद है, व यही MRTS = MPL/MPK हेतु व कॉब-डगलस उत्पादन फलन के घातांकों को हर आगत के सापेक्ष उत्पादन-लोच के रूप में सीधे पढ़े जाने हेतु कलन-आधार है।
  • कुल अवकलन व अंतर्निहित फलन नियम — संपूर्ण प्रणाली को स्पष्ट रूप से हल किए बिना तुलनात्मक-स्थैतिक परिणाम (जैसे संतुलन कीमत/मात्रा किसी स्थानांतरण-प्राचल के प्रति कैसे अनुक्रिया करती) व्युत्पन्न करने हेतु उपयोग होता, इकाई 1 व 2 भर में उद्धृत ढाल-परिणामों के पीछे मानक तकनीक।

मुख्य बिंदु

  • एकैकी-आच्छादक फलन का प्रतिलोम होता; माँग/आपूर्ति/उत्पादन फलनों की संततता बाज़ार व सामान्य संतुलन के अस्तित्व का आधार है; अधिमान व उत्पादन समुच्चयों की उन्नतोदरता सुव्यवहृत अनुकूलन हलों की गारंटी देती।
  • गुणोत्तर श्रेणी तभी अभिसरित होती जब |r| < 1; कीन्सीय गुणक का 1/(1−MPC) की ओर अभिसरण ठीक यही शर्त है जो प्रेरित-व्यय दौरों के सामान्य अनुपात के रूप में MPC पर लागू है।
  • अर्थशास्त्र में हर 'सीमांत' संकल्पना एक प्रथम अवकलज है; f'(x)=0 इष्टतम हेतु आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं, व द्वितीय-कोटि शर्त (f''(x) का चिह्न) अधिकतम को न्यूनतम से अलग करती।
  • MR = MC लाभ-अधिकतमीकरण की प्रथम-कोटि शर्त है (dπ/dQ = 0); MC का MR को नीचे से काटना न्यूनतम की बजाय अधिकतम की पुष्टि करने वाली द्वितीय-कोटि शर्त है।
  • उत्पादन फलन के आंशिक अवकलज सीमांत उत्पाद देते हैं; कॉब-डगलस फलन के घातांक हर आगत के सापेक्ष उत्पादन-लोच के रूप में सीधे पढ़े जा सकते हैं।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एकैकी व आच्छादक दोनों वाले फलन को क्या कहा जाता है?

    1. एकैकी-आच्छादक
    2. संतत
    3. उन्नतोदर
    4. परिबद्ध
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एकैकी-आच्छादक

    एक एकैकी-आच्छादक फलन एक-एक व आच्छादी दोनों है, जो ठीक वह शर्त है जो प्रतिलोम फलन के अस्तित्व की गारंटी देती है।

  2. प्रथम पद a व सामान्य अनुपात r वाली गुणोत्तर श्रेणी तभी व केवल तभी किसी परिमित योग तक अभिसरित होती है जब:

    1. |r| < 1
    2. r > 1
    3. a = 0
    4. r ऋणात्मक हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — |r| < 1

    अभिसरण शर्त |r| < 1 ठीक वह कारण है जिससे कीन्सीय गुणक की गुणोत्तर श्रेणी (सामान्य अनुपात = MPC, सदैव 0 व 1 के बीच) संवृत-रूप मान 1/(1−MPC) तक अभिसरित होती है।

  3. सीमांत लागत, कलन की भाषा में, क्या है?

    1. उत्पादन के सापेक्ष कुल लागत का प्रथम अवकलज
    2. कुल लागत का द्वितीय अवकलज
    3. औसत लागत का समाकल
    4. उत्पादन से स्वतंत्र एक स्थिरांक
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उत्पादन के सापेक्ष कुल लागत का प्रथम अवकलज

    अर्थशास्त्र में हर 'सीमांत' संकल्पना संबंधित कुल फलन के अवकलज (तात्क्षणिक परिवर्तन-दर) के रूप में परिभाषित है — MC = dTC/dQ मानक उदाहरण है।

  4. किसी सुचारु फलन हेतु, अकेली प्रथम-कोटि शर्त f'(x) = 0 क्या करती है?

    1. अधिकतम हेतु आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं — f''(x) पर द्वितीय-कोटि शर्त भी आवश्यक है
    2. सदैव एक अद्वितीय वैश्विक अधिकतम पहचानती है
    3. स्वयं किसी भी इष्टतम हेतु पर्याप्त है
    4. केवल रैखिक फलनों पर लागू होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अधिकतम हेतु आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं — f''(x) पर द्वितीय-कोटि शर्त भी आवश्यक है

    f'(x) = 0 को संतुष्ट करने वाला बिंदु अधिकतम, न्यूनतम, या विभक्ति-बिंदु हो सकता है; द्वितीय अवकलज f''(x) का चिह्न — अधिकतम हेतु ऋणात्मक, न्यूनतम हेतु धनात्मक — वही है जो वास्तव में उन्हें अलग करता है।

  5. लाभ-अधिकतमीकरण हेतु MC का MR को नीचे से (ऊपर से नहीं) काटने की शर्त क्या है?

    1. द्वितीय-कोटि शर्त, लाभ के न्यूनतम की बजाय अधिकतम की पुष्टि करती हुई
    2. प्रथम-कोटि शर्त
    3. लाभ-अधिकतमीकरण से असंबद्ध
    4. केवल पूर्ण प्रतिस्पर्धा हेतु प्रासंगिक शर्त
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — द्वितीय-कोटि शर्त, लाभ के न्यूनतम की बजाय अधिकतम की पुष्टि करती हुई

    अकेला MR = MC (प्रथम-कोटि शर्त) लाभ के अधिकतम व न्यूनतम दोनों पर संतुष्ट होता है; MC का MR को नीचे से काटने की अपेक्षा वह द्वितीय-कोटि शर्त है जो अधिकतम को अलग करती है।

  6. कॉब-डगलस उत्पादन फलन Q = A L^α K^β में, घातांक α को सीधे किस रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है?

    1. श्रम की उत्पादन-लोच
    2. श्रम की कुल लागत
    3. पूँजी की कीमत
    4. ब्याज दर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — श्रम की उत्पादन-लोच

    आंशिक अवकलज लेकर व सरल करने पर α = (∂Q/∂L)(L/Q) दिखता, जो श्रम के सापेक्ष उत्पादन-लोच की परिभाषा है — यही विशिष्ट कारण है कि कॉब-डगलस घातांकों को सादे भार की बजाय लोच के रूप में पढ़ा जाता है।

  7. उपभोक्ता के अधिमान समुच्चय की उन्नतोदरता (सुव्यवहृत तटस्थता वक्र) महत्वपूर्ण क्यों है, यह क्या गारंटी देती है?

    1. उपभोक्ता की अनुकूलन समस्या का एक सुव्यवहृत, सामान्यतः अद्वितीय स्पर्श-हल
    2. कि कीमतें सदैव धनात्मक हों
    3. कि आय सदैव पूरी तरह एक ही वस्तु पर खर्च हो
    4. कि माँग वक्र सदैव ऊर्ध्वाधर हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उपभोक्ता की अनुकूलन समस्या का एक सुव्यवहृत, सामान्यतः अद्वितीय स्पर्श-हल

    उन्नतोदर तटस्थता वक्र ऐसे आंतरिक स्थानीय इष्टतम को नकारते जो वैश्विक इष्टतम न हों, अतः तटस्थता वक्र व बजट रेखा के बीच स्पर्श एक सुपरिभाषित, सामान्यतः अद्वितीय उपभोक्ता संतुलन देता है।

  8. किसी बिंदु पर संतत फलन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?

    1. x के उस बिंदु के निकट पहुँचने पर फलन की सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर है
    2. उस बिंदु के निकट आगत में छोटे परिवर्तन निर्गत में मनमाने छोटे परिवर्तन उत्पन्न करते
    3. माँग/आपूर्ति फलनों की संततता संतुलन के अस्तित्व के स्थिर-बिंदु-प्रमेय प्रमाणों का आधार है
    4. फलन का रैखिक होना आवश्यक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x के उस बिंदु के निकट पहुँचने पर फलन की सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर है; B — उस बिंदु के निकट आगत में छोटे परिवर्तन निर्गत में मनमाने छोटे परिवर्तन उत्पन्न करते; C — माँग/आपूर्ति फलनों की संततता संतुलन के अस्तित्व के स्थिर-बिंदु-प्रमेय प्रमाणों का आधार है

    पहली तीन संततता व इसके आर्थिक उपयोग को सही ढंग से वर्णित करती हैं; संततता को बिल्कुल रैखिकता की आवश्यकता नहीं — अनेक संतत आर्थिक फलन (उपयोगिता, उत्पादन, लागत) जान-बूझकर अ-रैखिक हैं।

  9. किसी फलन के द्वितीय अवकलज (किसी अंतराल भर में ऋणात्मक) के उस गणितीय गुणधर्म का नाम बताइए जो ह्रासमान सीमांत उपयोगिता के नियम के अधीन कुल उपयोगिता का वर्णन करता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: concavity

    किसी अंतराल भर में ऋणात्मक द्वितीय अवकलज एक नतोदर फलन परिभाषित करता है; घटती दर से बढ़ती कुल उपयोगिता (ह्रासमान सीमांत उपयोगिता) ठीक उपभोग की मात्रा का नतोदर फलन होने वाली कुल उपयोगिता है।